Optimasi Portofolio Obligasi Yang Terimunisasi Dengan Goal Programming

ABSTRAK
AYU MERYANTI GALMAYURA. Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan
Goal Programming. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI
Dalam suatu istilah investasi, portofolio didefinisikan sebagai suatu kumpulan investasi,
baik berupa aset riil maupun aset keuangan. Portofolio dapat tersusun dari berbagai jenis sekuritas
baik obligasi maupun saham. Obligasi dianggap sebagai jenis sekuritas yang memiliki risiko yang
lebih kecil daripada saham. Berdasarkan jenisnya, obligasi dibagi menjadi dua macam yaitu:
obligasi pemerintah dan obligasi swasta. Risiko obligasi diperoleh dari risiko tingkat suku bunga
yang berubah-ubah, waktu jatuh tempo dan risiko gagal bayar (default risk) yang ada pada setiap
obligasi. Risiko-risiko tersebut memengaruhi harga obligasi, sehingga harga portofolio yang
dimiliki investor juga akan berubah-ubah. Dalam hal ini, investor tetap mengharapkan tingkat
pengembalian yang sama atau lebih besar dari harga beli obligasinya. Oleh sebab itu, muncul
konsep imunisasi yang akan mengimunisasi tingkat risiko pada portofolio yang disusun dari
berbagai jenis obligasi. Dalam mengelola portofolio obligasi yang terimunisasi timbul
permasalahan yang harus dihadapi, yakni meminimumkan risiko-risiko yang ada pada obligasi
yang akan memengaruhi tingkat pengembalian yang diperoleh investor di masa datang.
Permasalahan optimasi portofolio obligasi yang terimunisasi dapat diselesaikan dengan goal
programming sebagai salah satu teknik alternatif untuk mencari portofolio obligasi terimunisasi
yang optimal dan menggunakan software LINGO 11.0. Hasil yang diperoleh dari optimasi ini
adalah proporsi dari portofolio obligasi yang terimunisasi yang membuat investor mendapatkan

yield yang maksimal dan risiko yang minimal pada periode investasi tertentu.

vii

ABSTRACT
AYU MERYANTI GALMAYURA. Optimization of Immunized Bond Portfolios using Goal
Programming. Supervised by FARIDA HANUM and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI.
In a term investments, portfolio is defined as a collection of securities, i.e. real or
financial assets. Portfolio can be arranged in a form of bonds or stocks. Bonds are considered as
types of securities that have smaller risk than stocks. Based on the type, the bonds are divided into
government and corporate bonds. The risk of bonds is obtained from the risk of interest rate swing,
maturity, and default risk that exist on each bond. Those risks affect bond prices, so the price of
the portfolio will also vary. In this case, investors still expect the rate of return equal to or greater
than the purchase price of the bonds. Therefore, the concept of immunization is introduced to
reduce the level of risk in the portfolio composed by various types of bonds. In the immunized
bond portfolio the risk that exist on the bonds will be minimized so that the rate of return obtained
by investors in the future will be maximized. The implementation of optimizing the immunized
bond portfolios is carried out using goal programming with LINGO 11.0. The result of this
optimization is the proportion of immunized bond portfolios which gives maximal return and
minimal risk over a particular investment period.

vii

Judul : Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan Goal Programming
Nama : Ayu Meryanti Galmayura
NIM : G54070041

Menyetujui,
Pembimbing I

Pembimbing II

Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19651019 199103 2 002

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
NIP. 19631228 198903 2 001

Mengetahui,
Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

vii

DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL.............................................................................................

viii

DAFTAR LAMPIRAN.......................................................................................

viii

I

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .....................................................................................
1.2 Tujuan..................................................................................................

1
1

II LANDASAN TEORI
2.1 Istilah-Istilah Keuangan ..........................................................................
2.2 Pemrograman Linear ..............................................................................
2.3 Fungsi Konveks .....................................................................................
2.4 Goal Programming..................................................................................

1
3
3
3

III PEMBAHASAN
3.1 Pengimunisasian Obligasi dari Risiko Gagal Bayar........................................

3.2 Pemaksimuman Yield Portofolio Saat Jatuh Tempo (Term to Maturity)..............
3.3 Pengendalian Risiko Gagal Bayar ..............................................................
3.4 Kendala Pemilihan Portofolio Bullet...........................................................
3.5 Formulasi Masalah Imunisasi dengan Goal Programming..............................

6
7
7
8
8

IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA
4.1 Contoh Kasus Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi ....................... 10
4.2 Penyelesaian Masalah Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi............... 13
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan ..............................................................................................
5.2 Saran ...................................................................................................

15
15

DAFTAR PUSTAKA.........................................................................................

16

LAMPIRAN.....................................................................................................

17

vii

KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan
pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah
Riset Operasi dengan judul Optimasi Portofolio Obligasi yang Terimunisasi dengan Goal
Programming. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima
kasih penulis ucapkan kepada :
1

Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. dan Ibu Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku
dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis;
tak lupa kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku penguji;
2 Ibunda Anik Zuhriyah dan Ayahanda Ariyadi yang banyak memberi wejangan dan
nasihat serta dukungan yang tak terkira, Adikku Enggar Puspita Ningrum dan Sultan
Arkaan Al Mufid atas semangat belajar dan mengingatkan yang tiada henti, dan Sukma
Kukuh Pribadi atas segenap perhatian, semangat serta kesabarannya selama penyusunan
skripsi;
3 keluarga besar dan staf Penilai Harga Efek Indonesia (Indonesia Bond Pricing Agency):
Mbak Rani, Mas Irfan, dkk yang telah memberi semangat dan membantu penyusunan
skripsi ini;
4 keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu
Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam
penyusunan skripsi;
5 teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 44: Iyat, Iam, Wahyu, Indin, Ipul, Cepi,
Cita, Ririh, Imam, Ali, Aswin, Eka, Aje, Yuyun, Deva, Wenti, Ndep, Titi, Ayung, Melon,
Rachma, Sri, Fajar, Rofi, Ima, Fitri, Lingga, Naim, Dhika, Nadiroh, Nurus, Endro,
Puying, Lukman, Olih, Dian, Pandi, Vianey, Dela, Anis, Iresa, Sari, Masayu, Yuli, Diana,
Arina, Abe, Tyas atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis
menempuh studi di Departemen Matematika IPB;

6 kakak-kakak mahasiswa Matematika angkatan 43: kak Slamet, kak Ecka, dkk atas segala
bantuan dan motivasinya; adik-adik mahasiswa Matematika angkatan 45: Gita, Feni, Icha,
Bolo, dkk yang telah mendukung penulis dalam penyusunan skripsi; keluarga besar, staf
dan pengajar ELLIPS: Teh Walidah, Teh Lia, Teh Cici, Mega, Kak Iput, Mba Ana, Kak
Ian, terima kasih atas bantuannya selama ini;
7 keluarga besar Gentra Kaheman: Kang Afdal, Punjung, Tyas, Putri, dkk yang telah
memberikan pandangan dan pengalaman baru dalam hidup penulis;
8 keluarga besar Manggis 49: Bunda, Bapak, Ipin, Mirna, Fahmi, Ude, Dian, Fahren, dkk
dan teman-teman alumni SMA 1 Tambun Selatan, serta untuk sahabatku Kasfy, Apri,
Febi, dan Upeh terima kasih sudah memberi motivasi selama penulisan skripsi ini;
9 keluarga besar Kost Raya Darmaga no 6: Bu Titi, Devi, Mbak Dinda, Kak Tyas, Nunu,
Nia, Sari, Kak Lina, Kak Lia, terima kasih atas semangat yang tidak pernah berhenti;
10 adik-adik bimbingan belajar: Dewi, Tanty, Yodi, Tyas, Septa, Farida, Mery, Vian, Icha,
Nova, Novi, Nay, Nurul, dkk, terima kasih atas dukungan dan semangat yang tiada henti;
11 juga pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat
disebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Juli 2011

Ayu Meryanti Galmayura

vii

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 23 Maret 1990 dari pasangan Aryadi dan
Anik Zuhriyah. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Pada tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tambun Selatan. Penulis melanjutkan
studinya di Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk ( USMI) IPB
pada tahun 2007. Penulis juga memilih minor Manajemen, Departemen Manajemen, Fakultas
Ekonomi dan Manajemen sebagai bidang keahlian pelengkap untuk menambah kompetensi
penulis.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan, di antaranya
pada tahun 2007-2008 menjabat sebagai anggota Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman dan
UKM kewirausahaan CENTURY, serta mengikuti kepanitiaan dari beberapa kegiatan selama
rentang waktu 2007-2011. Penulis juga aktif dalam kegiatan mengajar. Pada tahun 2008-2011
penulis menjadi staf pengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I pada Lembaga Bimbingan

Belajar ELLIPS. Pada tahun 2009 penulis juga menjadi asisten dosen untuk beberapa mata kuliah,
di antaranya Kalkulus II pada tahun 2009, Pemrograman Linear pada Januari 2010, dan
Pemrograman Taklinear pada tahun 2010.

vii

OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI
DENGAN GOAL PROGRAMMING

AYU MERYANTI GALMAYURA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR

2011
vii

DAFTAR TABEL
Halaman
1
2
3
4

Informasi obligasi ........................................................................................
Matriks data untuk seluruh obligasi .................................................................
Proporsi optimal portofolio obligasi yang terimunisasi .........................................
Pencapaian multisasaran portofolio obligasi yang terimunisasi ..............................

10
12
15
15

DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1
2
3
4
5

Pembuktian Teorema 2 dan Teorema 3 ..........................................................
Pembuktian ��∗ dan V fungsi konveks dari λ ..................................................
Pembuktian persamaan (6), (7), (8), (11), dan (12) ............................................
Informasi obligasi ......................................................................................
Solusi optimal untuk model goal programming ...............................................

18
19
20
23
28

vii

vii

OPTIMASI PORTOFOLIO OBLIGASI YANG TERIMUNISASI
DENGAN GOAL PROGRAMMING

AYU MERYANTI GALMAYURA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Istilah obligasi telah dikenal masyarakat
luas. Obligasi digunakan sebagai pengganti
surat utang yang dikeluarkan oleh suatu
lembaga tertentu. Pihak yang menerbitkan
obligasi akan membayar imbalan berupa
kupon bunga yang tetap pada periode tertentu
dan melunasi pokok utang pada waktu yang
telah ditentukan kepada pihak pembeli
obligasi tersebut.
Investor seringkali menggunakan obligasi
untuk menyusun portofolio. Nilai portofolio
akan berubah sesuai dengan harga obligasi
yang menyusun portofolio tersebut. Jika nilai
portofolio naik, artinya nilai kekayaan
investor bertambah, sedangkan nilai kekayaan
investor menurun jika nilai portofolio turun.
Oleh sebab itu, diperlukan suatu cara untuk
mengatasi naik turunnya nilai portofolio
investor.
Konsep imunisasi obligasi diperkenalkan
untuk mencegah risiko-risiko obligasi.
Imunisasi obligasi berfungsi untuk melindungi
investor dari perubahan harga obligasi yang
dipengaruhi tingkat suku bunga dan risiko
gagal bayar (default risk). Investor harus
memilih portofolio yang optimal dengan

meminimumkan risiko dan memaksimalkan
waktu jatuh tempo obligasi sehingga investor
mendapatkan imbal hasil (yield) yang
maksimum.
Permasalahan
pemilihan
portofolio
optimal yang terimunisasi dapat diselesaikan
dengan menggunakan goal programming
(GP). Goal programming (GP) adalah
perluasan pemrograman linear (PL). Goal
programming digunakan untuk permasalahan
yang menggunakan multifungsi objektif.
Selain itu, masalah ini akan diselesaikan
dengan menggunakan software LINGO 11.0.
Sumber utama karya ilmiah ini adalah
artikel yang berjudul Using Linear and Goal
Programming to Immunize Bond Portfolios
yang ditulis oleh Alexander, G.J. dan Resnick,
B.G pada tahun 1985.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
menyajikan penyelesaian masalah imunisasi
portofolio obligasi dengan menggunakan goal
programming sebagai salah satu teknik untuk
mengetahui
portofolio
optimal
yang
terimunisasi.

II LANDASAN TEORI
Untuk memahami masalah optimasi
portofolio
obligasi
yang
terimunisasi
diperlukan definisi dan beberapa konsep
berikut.

Definisi 3 (Risiko)
Risiko (risk) didefinisikan sebagai
penyimpangan atas yield yang diperkirakan;
diukur sebagai standar deviasi dari yield.
(Keown et al. 2001)

2.1 Istilah-Istilah Keuangan
Definisi 1 (Portofolio)
Portofolio merupakan suatu kumpulan
investasi, baik berupa aset riil maupun aset
keuangan.
(Sartono 1997)
Portofolio dapat tersusun dari berbagai jenis
sekuritas baik obligasi maupun saham.
Definisi 2 (Imunisasi)
Imunisasi merupakan suatu strategi untuk
membuat durasi aset sama dengan durasi
kewajiban sehingga nilai investasi tidak
terpengaruh oleh pergerakan suku bunga.
(Bodie et al. 2006)

Terdapat tiga sikap investor dalam
menghadapi risiko berinvestasi; (1) risk
averse investor yaitu investor yang lebih
senang terhadap pilihan investasi dengan
risiko yang lebih kecil pada tingkat
keuntungan yang sama; (2) risk neutral
investor yaitu investor yang bersikap netral
terhadap risiko; (3) risk seeker investor yaitu
investor yang lebih senang dengan memilih
risiko yang lebih tinggi.
(Sartono 1997)
Definisi 4 (Obligasi)
Obligasi (bond) adalah surat utang yang
diterbitkan oleh pihak peminjam obligasi yang
mewajibkan pihak penerbit obligasi untuk
melakukan pembayaran bunga yang disebut
sebagai pembayaran kupon kepada pemegang
obligasi selama masa obligasi, kemudian

2

melunasi nilai nominal pada waktu jatuh
tempo.
(Bodie et al. 2006)
Secara umum jenis obligasi dapat dilihat
dari penerbitnya, yaitu obligasi perusahaan
dan obligasi pemerintah. Obligasi pemerintah
disebut juga obligasi bebas risiko. Obligasi
pemerintah ini dianggap lebih aman daripada
obligasi perusahaan. Karena lebih aman,
bunga yang dibayarkan menjadi lebih kecil
dibandingkan dengan bunga dari obligasi
perusahaan.
Definisi 5 (Nilai Pari)
Nilai pari (par value) obligasi yaitu nilai
nominal yang tertera pada lembar obligasi
yang akan dibayarkan kepada pemegang
obligasi pada saat jatuh tempo.
(Keown et al. 2001)
Definisi 6 (Waktu Jatuh Tempo)
Waktu jatuh tempo yaitu lama waktu
sampai penerbit obligasi mengembalikan nilai
pari
ke
pemegang
obligasi
dan
mengembalikan obligasi itu.
(Keown et al. 2001)
Sepanjang pelunasan obligasi telah dilakukan
maka penerbit tidak lagi memiliki kewajiban
kepada pemegang obligasi setelah lewat
tanggal jatuh tempo obligasi tersebut.
Definisi 7 (Kupon)
Kupon adalah besarnya persentase
terhadap nilai pari obligasi yang akan
dibayarkan secara berkala dalam bentuk
bunga.
(Keown et al. 2001)
Biasanya kupon memiliki besaran yang
tetap sepanjang masa berlakunya obligasi,
tetapi juga dapat mengacu kepada suatu
indeks pasar uang. Istilah kupon asal mulanya
digunakan karena di masa lalu secara fisik
obligasi diterbitkan bersama dengan kupon
bunga yang melekat pada obligasi tersebut.
Pada tanggal pembayaran kupon, pemegang
obligasi akan menyerahkan kupon tersebut ke
bank untuk ditukarkan dengan pembayaran
bunga.
Definisi 8 (Peringkat Obligasi)
Peringkat obligasi mencakup penilaian
atas risiko obligasi yang mungkin terjadi
kemudian. Peringkat obligasi umumnya
dipengaruhi oleh proporsi modal terhadap
utang, tingkat profitabilitas perusahaan,
tingkat kepastian dalam menghasilkan

pendapatan, besar kecilnya perusahaan, dan
jumlah
pinjaman
subordinasi
yang
dikeluarkan perusahaan.
(Keown et al. 2001)
Pemeringkatan obligasi dilakukan oleh
sebuah perusahaan independen. Di Indonesia,
perusahaan pemeringkatan tersebut adalah
Pefindo (Pemeringkat Efek Indonesia).
Pefindo memberikan simbol atau nilai
pemeringkatan dari yang tertinggi sampai
yang terendah sebagai berikut: AAA
(superior), AA (very strong), A (strong), BBB
(adequate), BB (somewhat weak), B (noninvestment), CCC (vulnerable), D (default).
Pemeringkatan obligasi memberikan
informasi kepada investor mengenai kapasitas
maupun kemampuan sebuah penerbit obligasi
dalam memenuhi janjinya, yaitu membayar
kupon secara berkala dan mengembalikan
semua pokok atau nilai pari obligasi pada saat
jatuh tempo.
Definisi 9 (Nilai Obligasi)
Nilai obligasi adalah jumlah dari nilai
sekarang (present value) dari tingkat kupon
serta nilai pari obligasi yang akan diterima di
masa datang.
(Keown et al. 2001)
Definisi 10 (Risiko Gagal Bayar)
Risiko gagal bayar (default risk) adalah
risiko yang diterima investor karena penerbit
obligasi
mengalami
kesulitan
untuk
membayar kupon bunga obligasi yang telah
dijanjikan. Potensi gagal bayar dari penerbit
obligasi dapat diketahui dengan melihat
peringkat obligasi tersebut.
(Keown et al. 2001)
Definisi 11 (Imbal Hasil Obligasi )
Imbal hasil (yield) obligasi adalah angka
yang
menunjukkan
keuntungan
yang
diperoleh investor dari obligasi.
(Bodie et al. 2006)
Definisi 12 (Imbal Hasil Saat Jatuh Tempo)
Imbal hasil saat jatuh tempo (yield to
maturity) adalah ukuran rata-rata tingkat
imbal hasil yang akan diterima dari suatu
obligasi yang dimiliki hingga waktu jatuh
tempo.
(Bodie et al. 2006)
Definisi 13 (Yield curve)
Yield curve (yield curve) adalah grafik
dari imbal hasil hingga jatuh tempo (yield to

3

maturity) sebagai fungsi dari waktu jatuh
tempo.
(Bodie et al. 2006)

Berikut ini diberikan teorema yang dapat
digunakan untuk memeriksa kekonveksan
fungsi satu variabel.

2.2 Pemrograman Linear
Pemrograman linear (PL) atau linear
programming (LP) adalah suatu masalah
optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan
sebagai berikut:
a) Tujuan
masalah
tersebut
adalah
memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan.
Fungsi
yang
akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini
disebut fungsi objektif.
b) Nilai variabel-variabel keputusan harus
memenuhi suatu himpunan kendala.
Setiap kendala harus berupa persamaan
linear atau pertaksamaan linear.
c) Ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel � , pembatasan tanda
menentukan � harus taknegatif ( � 0)
atau tidak dibatasi tanda (unrestricted in
sign).
(Winston 2004)

Teorema 1
Jika � fungsi satu variabel yang
terdiferensialkan dua kali pada S, maka �
adalah fungsi konveks pada S jika dan hanya
jika � ′′ ( ) 0 untuk setiap
ϵ . Jika
> 0 untuk setiap
ϵ , maka �
� ′′
dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly
convex).
(Peressini et al. 1988)

2.3 Fungsi Konveks
Sebelum membahas fungsi konveks,
terlebih dahulu akan dibahas himpunan
konveks yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 14 (Himpunan Konveks)
Misalkan S menyatakan himpunan titik.
Himpunan S adalah himpunan konveks jika
segmen
garis
yang
menghubungkan
sembarang titik-titik dalam S seluruhnya
termuat dalam S, atau dengan kata lain
himpunan
⊆ℝ
dikatakan himpunan
konveks jika untuk setiap 1 , 2 ϵ berlaku
� 1 + 1 − � 2 ϵ dengan 0 λ 1.
(Winston 2004)
Definisi 15 (Fungsi Konveks)
Misalkan �: → ℝ, dengan S himpunan
konveks yang takkosong di ℝ . Fungsi
�dikatakan fungsi konveks pada S jika dan
hanya jika
� �

1

+ 1−�

untuk setiap
0 � 1.

2

1,

��

2ϵ

1

+ 1−� �

2

,

dan untuk setiap
(Peressini et al. 1988)

Teorema 2
Jika �1 + �2 + �3 + ⋯ + �� adalah fungsi
konveks pada himpunan konveks S di ℝ ,
maka � = �1 + �2 + �3 + ⋯ + �� juga fungsi
konveks. Selanjutnya, jika paling sedikit satu
dari �� adalah strictly convex di S, maka �
adalah strictly convex.
(Peressini et al. 1988)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
Teorema 3
Jika � adalah fungsi konveks pada
himpunan konveks S di ℝ dan jika α adalah
bilangan yang positif, maka �� adalah fungsi
konveks pada S.
(Peressini et al. 1988)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
2.4 Goal Programming
Goal programming adalah salah satu
teknik yang dapat digunakan oleh pembuat
keputusan untuk menyelesaikan masalah
optimasi dengan tujuan lebih dari satu.
(Winston 2004)
Goal programming berbeda dengan
pemrograman
linear
karena
goal
programming
dapat
menyelesaikan
permasalahan dengan dua fungsi objektif atau
lebih. Model goal programming merupakan
perluasan dari model pemrograman linear,
sehingga seluruh asumsi, notasi, formulasi
model, prosedur perumusan model dan
penyelesaiannya tidak berbeda. Model goal
programming memiliki sepasang variabel
deviasi � − dan �+ yang taknegatif. Variabel
�− didefinisikan sebagai sejumlah nilai yang
menampung deviasi yang berada di bawah
sasaran ke-j, sedangkan variabel �+
didefinisikan sebagai sejumlah nilai yang
menampung deviasi yang berada di atas

4

sasaran ke-j. Variabel-variabel deviasi ini
harus diminimumkan pada model goal
programming. Suatu tujuan ke-j pada model
goal programming dianggap berhasil dicapai
bila varibel deviasi pada fungsi objektif tujuan
ke-j bernilai 0.
Ilustrasi bentuk model goal programming
dapat dilihat pada Contoh 1.
Contoh 1.
Misalkan formulasi model PL
Maksimumkan
1 + 2
terhadap
7 1 + 3 2 40
10 1 + 5 2 60
5 1 + 4 2 35
100 1 + 60 2 600
0
1, 2

(PL.1)

Dengan mengasumsikan bahwa ada tiga
tujuan yang akan dicapai, yaitu pada kendala
pertama, kedua, dan ketiga, maka dengan
menambahkan variabel deviasi, model PL
dapat
diubah
menjadi
model
goal
programming seperti berikut.
Minimumkan �1− + �2− + �3−
Terhadap 7 1 + 3 2 + �1− − �1+ = 40
10 1 + 5 2 + �2− − �2+ = 60
5 1 + 4 2 + �3− − �3+ = 35
100 1 + 60 2 600
(GP.1)
− +
,
�
,
�
0
=
1,2,3
1 2,

Dengan menggunakan software LINGO 11.0,
maka diperoleh solusi optimal dari (GP.1)
−
−
adalah
1 = 5, 2 = 1.67, �1 = 0, �2 =
−
+ + +
1.67, �3 = 3 dan �1 , �2 , �3 = 0 dengan
nilai fungsi objektif 5. Solusi ini berarti
bahwa tujuan pertama berhasil dicapai
sedangkan tujuan kedua dan ketiga gagal
dicapai.
Masalah penentuan prioritas tujuan sering
menjadi masalah bagi pembuat keputusan.
Masalah ini dapat dituangkan ke dalam model
goal programming dengan mengatur urutan
prioritas peminimuman variabel deviasi.
Untuk menerapkan model ini, pembuat
keputusan harus menentukan peringkat tujuan
mulai dari yang paling penting hingga tujuan
yang tidak terlalu penting. Diasumsikan
bahwa pembuat keputusan memiliki n tujuan.
Urutan prioritas tujuan n yang akan
diminumkan pada fungsi objektif akan
dinotasikan sebagai � . Diasumsikan bahwa
�1 ≫ �2 ≫ �3 ≫ ⋯ ≫ �

Pada model goal programming, fungsi
objektif dapat diubah menjadi
�1 �1− +
−
−
�2 �2 + �3 �3 .
Untuk menerapkan model prioritas ini,
fungsi objektif harus dipisah menjadi n
komponen yang dinotasikan sebagai berikut:
= fungsi objektif yang memuat tujuan ke-j.
dengan j =1,2,...,n.
Berdasarkan fungsi objektif (GP.1),
fungsi objektif dipisah menjadi 3 komponen,
yaitu 1 = �1 �1− , 2 = �2 �2− , dan 3 = �3 �3−
dengan kendala yang sama dengan (GP.1) dan
menambahkan kendala �1− = 0 untuk
formulasi dengan fungsi objektif 2 serta
menambah kendala �1− = 0 dan �2− = 0 untuk
formulasi dengan fungsi objektif 3 .
Ilustrasi bentuk model goal programming
dengan prioritas dapat dilihat pada Contoh 2.
Contoh 2.
Prioritas ke-1
Minimumkan �1−
terhadap 7 1 + 3 2 + �1− − �1+ = 40
10 1 + 5 2 + �2− − �2+ = 60
5 1 + 4 2 + �3− − �3+ = 35
100 1 + 60 2 600
− +
0
= 1,2,3
1 , 2, � , �
(GP.2)
Dengan menggunakan software LINGO 11.0
maka diperoleh solusi optimal dari (GP.2)
−
−
adalah
1 = 5.714, 2 = 0, �1 = 0, �2 =
−
+ + +
2.857, �3 = 6.4285 dan �1 , �2 , �3 = 0.
Kemudian ditambahkan �1− = 0 pada kendala
di prioritas ke-2, sehingga modelnya menjadi
Prioritas ke-2
Minimumkan �2−
terhadap 7 1 + 3 2 + �1− − �1+ = 40
10 1 + 5 2 + �2− − �2+ = 60
5 1 + 4 2 + �3− − �3+ = 35
100 1 + 60 2 600
− +
0
= 1,2,3
1 , 2, � , �
�1− = 0
(GP.3)

Dengan menggunakan software LINGO 11.0
maka diperoleh solusi optimal dari (GP.3)
−
−
adalah
1 = 6, 2 = 0, �1 = 0, �2 = 0,
−
+
+ +
�3 = 5, �1 = 2, dan �2 , �3 = 0.

5

Selanjutnya ditambahkan �1− = 0 dan
= 0 pada kendala di prioritas ke-3,
sehingga modelnya menjadi
�2−

Prioritas ke-3
Minimumkan �3−
terhadap 7 1 + 3 2 + �1− − �1+ = 40
10 1 + 5 2 + �2− − �2+ = 60
5 1 + 4 2 + �3− − �3+ = 35
100 1 + 60 2 600
− +
0
= 1,2,3
1 , 2, � , �
−
�1 = 0
�2− = 0
(GP.4)

Setelah menyelesaikan (GP.4) menggunakan
software LINGO 11.0, maka diperoleh solusi
optimal dari (GP.4) adalah 1 = 6, 2 = 0,
�1− = 0, �2− = 0, �3− = 5,
�1+ = 2,
dan
+ +
�2 , �3 = 0.
Nilai fungsi objektif keseluruhan untuk
Contoh 2 diperoleh dengan menambahkan
hasil optimal dari fungsi objektif pada setiap
prioritas, sehingga pada Contoh 2 diperoleh
nilai fungsi objektif 5 dan solusi optimalnya
−
−
adalah
1 = 6, 2 = 0, �1 = 0, �2 = 0,
−
+
+
+
�3 = 5, �1 = 2, dan �2 , �3 = 0. Solusi pada
Contoh 2 menujukkan bahwa tujuan pertama
dan tujuan kedua berhasil dicapai sedangkan
tujuan ketiga gagal dicapai.

III PEMBAHASAN
Pembelian dan penjualan obligasi banyak
dilakukan oleh berbagai institusi seperti
perusahaan asuransi, pendana pensiun dan
bank sentral. Obligasi dipandang sebagai
investasi yang lebih aman daripada saham
karena investor akan mendapat pembayaran
kupon tetap. Investor juga dapat dengan
mudah menjual investasi obligasi daripada
menjual saham. Akan tetapi, persepsi ini tidak
sepenuhnya benar. Bagaimanapun, obligasi
juga dapat berisiko.
Harga dari setiap jenis obligasi berbeda.
Harga obligasi dinyatakan dalam persentase
dari nilai nominal. Harga ini dipengaruhi oleh
tingkat suku bunga dan waktu jatuh
temponya. Harga obligasi berbanding terbalik
dengan tingkat suku bunga. Bila tingkat suku
bunga turun, maka harga obligasi akan naik.
Akan tetapi, bila suku bunga naik maka harga
obligasi akan menurun. Demikian pula dengan
waktu jatuh temponya, semakin jauh waktu
jatuh tempo obligasi maka akan semakin besar
penurunan harganya.
Selain risiko suku bunga dan waktu jatuh
tempo, cara melihat risiko lain yang ada pada
obligasi yaitu dengan melihat pemeringkatan
obligasi yang biasa dikenal dengan istilah
Standard and Poor (S&P). Di Indonesia
pemeringkatan obligasi dilakukan oleh
Pefindo untuk menunjukkan risiko gagal
bayar (default risk) dari pemilik obligasi.
Semakin tinggi peringkatnya, maka akan
semakin sedikit risiko gagal bayarnya. Harga
obligasi juga dapat berubah bergantung pada
peringkatnya. Penurunan peringkat obligasi
akan menyebabkan harga obligasi jatuh.
Perubahan harga pada obligasi juga
berakibat pada portofolio yang disusun. Jika
nilai pada obligasi yang menyusun portofolio

terus menerus jatuh, maka nilai portofolio
juga akan jatuh. Namun, bila ada kesempatan
bagi pemegang obligasi untuk menjual
obligasinya, tingkat suku bunga akan menjadi
masalah utama. Harga pasar obligasi akan
meningkat jika tingkat risiko yang berlaku
jatuh. Salah satu cara mengukur risiko tingkat
suku bunga pada obligasi adalah pada jangka
waktunya
(duration).
Usaha
untuk
mengendalikan risiko ini disebut imunisasi.
Konsep
imunisasi
pertama
kali
diperkenalkan oleh Bierwag dan Khang
(1979). Imunisasi diperlukan untuk menjaga
nilai obligasi dari tingkat suku bunga dan
waktu jatuh tempo serta mengendalikan risiko
gagal bayar (default risk) dari penerbit
obligasi. Usaha imunisasi ini juga dapat
dibantu dengan diversifikasi portofolio.
Diversifikasi portofolio digunakan untuk
menghilangkan risiko portofolio yang
dipengaruhi oleh faktor inflasi, struktur aset
dan struktur modal.
Salah satu permasalahan yang dihadapi
oleh investor adalah memaksimalkan imbal
hasil (yield) dari obligasi-obligasi
yang
menyusun portofolio investor. Investor tidak
hanya mengharapkan kupon, tetapi investor
juga mengharapkan kenaikan nilai (capital
gain) dari obligasi yang diperoleh dari harga
jual obligasi yang lebih tinggi dari harga
belinya. Untuk memaksimalkan imbal hasil
(yield) obligasi tersebut, investor perlu
meminimalkan risiko tingkat suku bunga,
risiko gagal bayar (default risk), serta
memaksimalkan waktu jatuh tempo obligasi
tersebut. Masalah ini dapat dimodelkan
dengan
goal
programming.
Goal
programming mulai diperkenalkan oleh A.
Charnes dan W.M. Cooper pada tahun 1955.

6

Model ini mampu menyelesaikan kasus-kasus
pemrograman linear yang memiliki lebih dari
satu sasaran yang akan dicapai.
Strategi investasi dari imunisasi portofolio
obligasi dapat dihubungkan dengan konsep
durasi Macaulay. Durasi Macaulay dari
obligasi ke-i dapat dihitung dengan persamaan
berikut :

Di 

  Ti

tCi   Ti

 
Ti  
t 
  t 1 (1  yi )   (1  yi )  
  Ti
 

Ci
1

 
Ti  
t 
  t 1 (1  yi )   (1  yi )  

(1)

dengan
yi = yield dari obligasi ke-i
Ti = waktu jatuh tempo obligasi (term to
maturity) ke-i
Ci = tingkat kupon obligasi ke-i
� = durasi dari obligasi ke-i
i = indeks obligasi
Konsep dan persamaan durasi Macaulay
diperkenalkan dalam (Macaulay 1938).
Konsep durasi Macaulay menghubungkan
waktu jatuh tempo dan tingkat kupon untuk
memperoleh durasi yang dapat digunakan
dalam imunisasi obligasi.
3.1 Pengimunisasian Obligasi dari Risiko
Gagal Bayar (Default Risk)
Investor
berharap
untuk
dapat
mengimunisasikan portofolio dari risiko
obligasi yang disebabkan oleh perubahan
tingkat suku bunga. Investor juga berharap
dapat menambahkan obligasi perusahaan yang
memiliki risiko gagal bayar ke dalam
portofolio.
Diasumsikan terdapat dua obligasi yang
berasal dari dua kelas risiko yang berbeda.
Misalkan yield dari dua obligasi tersebut
dinyatakan dengan 1 dan 2 . Berdasarkan
Definisi 9, nilai dari setiap obligasi per rupiah
dari nilai pari dapat dinotasikan sebagai
berikut :
�� =

� = 1,2.

�

�=1

1+

�

�

�

+

1
1 + yi

 Ti
Ci
Gi*   
t m
 t 1 1  yi* 



1
, (4)

T m
 1  yi*  i


Jika Ci > 0 dan

≠

��∗

�

, maka

2

(3)

� ��∗
��

> 0,

sehingga
adalah fungsi konveks dari λ
(Lampiran 2). Nilai dari portofolio obligasi
pada periode investasi m akan sama dengan
� � = �1 �1∗ + �2 �2∗

(5)

Karena ��∗ adalah fungsi konveks maka
berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, V
adalah fungsi konveks dari λ, sehingga V
memiliki nilai minimum (lihat Lampiran 2).
��
Jika � minimum maka
= 0, sehingga
��
diperoleh
 T1 C t  m


T1  m  
q1   1

1


m
t
T  m 1
 i 1 1  y*
1  y1*  1 
1 
 

 T2 C t  m

T2  m  
2

 q2 

0
 i 1 1  y* m t 1 1  y* T2  m 1 




2
2


(6)
(lihat Lampiran 3).
Karena V ( )  V (0), , sehingga investor
harus menyusun portofolio seperti persamaan
(6) dengan mengganti � = 0. Pergantian y1 
dengan y1 dan y2  dengan y2 pada
persamaan (6), akan menghasilkan persamaan
�1 �1
+�2 �2

1

−
2

1+ 1
1+

−

2

−1

−1

=0

(lihat Lampiran 3).
�

Misalkan qi menyatakan banyaknya obligasi
ke-i yang dibeli, maka kendala budget untuk
investor adalah
� = �1 �1 + �2 �2 .

Diasumsikan kedua yield curve obligasi
berubah secara acak sebesar � setelah investor
melakukan pembelian obligasi, sehingga yield
curve baru akan berubah menjadi 1∗ = 1 + �
∗
dan
Akibatnya, nilai dari
2 = 2 + �.
investasi pada obligasi ke-i pada periode
investasi m adalah

Didefinisikan
∗
� =

�

−

1+

�

−1

+

7

7

dan misalkan � sebagai proporsi budget A
yang diinvestasikan pada obligasi ke-i
�� ��
� = � , sehingga persamaan (7) dapat
ditulis sebagai
∗
1 1

+

2

∗
2

=

(8)

(lihat Lampiran 3).
Misalkan, terdapat N buah obligasi, maka
persamaan imunisasi menjadi
�
�=1

�

∗
�

=

9

Kemudian, jika semua obligasi berasal dari
kelas risiko yang sama maka yi i adalah
sebuah konstanta. Persamaan (9) dapat
disederhanakan menjadi
�
�=1

�

�

=

(10)

3.2 Pemaksimuman Yield Hingga Jatuh
Tempo (Yield To Maturity) Portofolio
Semakin banyak portofolio yang tersedia
maka investor akan tertarik pada satu obligasi
yang memiliki �(0) yang maksimum karena
portofolio akan memiliki tingkat yield yang
maksimum dan risiko yang minimum.
Dengan
cara
menyederhanakan
persamaan (2) dan persamaan (5) pada kasus
obligasi N buah, maka akan diperoleh
N

V (0)   qi Pi (1  yi ) m

(11)

i 1

(lihat Lampiran 3).
Dengan membagi kedua sisi dengan A pada
persamaan (11) diperoleh

V (0) N
  xi yi,
A
i 1
m
dengan yi  (1  yi )

(12)

(lihat Lampiran 3).
Kemudian, pemaksimuman imbal hasil (yield)
portofolio hingga jatuh tempo akan sama
dengan memaksimumkan persamaan (12).

3.3 Pengendalian Risiko Gagal Bayar
Sebuah portofolio yang diimunisasi akan
mencegah risiko tingkat suku bunga tetapi
portofolio tetap akan mengandung risiko
gagal bayar dari default-grade corporate
bond. Investor berharap untuk mengendalikan
sejumlah risiko gagal bayar pada portofolio
dengan diversifikasi konstrain. Bentuk
konstrain yang pertama diasumsikan sebagai
spesifikasi proporsi maksimum dan minimum
untuk berbagai grup obligasi.
Misalkan � � adalah grup obligasi ke-j
yang dibatasi oleh proporsi investasi
�
. � � adalah grup obligasi
minimum
ke-j yang dibatasi oleh proporsi investasi
�
maksimum
. Pada masalah ini,
diasumsikan bahwa jumlah proporsi budget
dari grup obligasi harus lebih besar dari
proporsi investasi minimum dan jumlah
proporsi budget dari grup obligasi harus lebih
besar dari proporsi investasi maksimum.
Misalkan � adalah proporsi budget
obligasi ke-i, sehingga akan diperoleh kendala
sebagai berikut :



xi   j min

i j min

j=1,…, �
dan



�

(13)

xi   j max

i j max

j=1,…, �

�

(14)

Kendala diversifikasi yang kedua
memungkinkan untuk perluasan premi risiko
gagal bayar pada portofolio. Hal ini diperoleh
dengan menghitung premi risiko gagal bayar
dari setiap obligasi. Kemudian jumlah nilai
premi risiko gagal bayar harus lebih kecil atau
sama dengan sebuah tingkat maksimum
toleransi premi risiko gagal bayar Δ yang
diinginkan
investor.
Misalkan
�
didefinisikan sebagai premi risiko gagal bayar
dari obligasi i , maka kendala ini dapat ditulis
menjadi
�
�=1

� �

∆

(15)

Sebuah
alternatif
untuk
kendala
diversifikasi kedua pada pertaksamaan (15)
dapat dikembangkan untuk menetapkan setiap
kelas risiko obligasi. Alternatif kendala ini

8

juga dapat menetapkan nomor indeks setiap
obligasi pada kelas risikonya dan juga sebagai
kendala rata-rata terboboti pada nomor indeks.
Sebagai contoh, obligasi dapat ditetapkan
kelas risikonya dari pemeringkatan obligasi
yang ditetapkan oleh Pefindo. Peringkat
obligasi yang layak untuk diinvestasikan
hanya obligasi berperingkat AAA sampai
BBB. Obligasi pemerintah akan diberi nilai
indeks 0, peringkat obligasi AAA akan diberi
nilai indeks 1, peringkat obligasi AA akan
diberi nilai indeks 2, peringkat obligasi A
akan diberi nilai indeks 3, dan peringkat
obligasi BBB akan diberi nilai indeks 4.
Misalkan f i didefinisikan sebagai nomor
indeks yang ditetapkan untuk setiap obligasi
ke- i, maka kendala yang diperoleh adalah
�
�=1

� ��

(16)

dengan F adalah toleransi maksimum nilai
indeks. Toleransi maksimum nilai indeks
diperoleh dari nilai indeks obligasi perusahaan
yang memiliki waktu jatuh tempo paling dekat
dengan periode investasi.
3.4 Kendala Pemilihan Portofolio Bullet
Pemilihan portofolio obligasi yang
diimunisasi bukan hanya dari satu kandidat
portofolio saja tetapi dari banyak kandidat.
Kandidat-kandidat ini berasal dari portofolio
bullet, barbell atau ladder. Portofolio bullet
berisi obligasi yang memiliki waktu jatuh
tempo yang singkat. Portofolio barbell berisi
obligasi yang beberapa di antaranya memiliki
waktu jatuh tempo yang sangat singkat dan
beberapa obligasi lainnya memiliki waktu
jatuh tempo yang sangat panjang.Sedangkan,
portofolio ladder berisi obligasi dengan durasi
rentang waktunya sangat luas.
Berdasarkan
penjelasan
tersebut,
performa portofolio bullet lebih baik daripada
portofolio barbell atau portofolio ladder,
sehingga diperlukan sebuah kendala yang
dibutuhkan oleh portofolio obligasi agar
performanya seperti portofolio bullet.
Spesifikasi kendala portofolio bullet
dapat dilakukan dengan dua tahap. Pertama, N
buah obligasi dibagi ke dalam dua grup. Grup
NA berisi obligasi yang memiliki durasi Di
kurang dari periode m, sedangkan grup NB
berisi obligasi yang memiliki durasi Di lebih
panjang daripada periode m. Kedua, deviasi
rata-rata terboboti absolut (Mean Absolute
Deviation/MAD) dari perbedaan durasi kedua

obligasi dengan periodenya dapat dihitung
dengan menggunakan persamaan
MAD 

 x (m  D )   x (D  m),

iN A

i

i

iN B

i

i

(17a)

dengan NA = obligasi yang memiliki waktu
jatuh tempo yang kurang dari periode
investasi, sedangkan NB = obligasi yang
memiliki waktu jatuh tempo yang lebih
panjang dari periode investasi. Persamaan
(17a) dapat disederhanakan menjadi
N

MAD   xi Di  m .

(17b)

i 1

MAD merupakan kesalahan peramalan
(forecasting error) terhadap selisih durasi
dengan periode investasi. Semakin kecil
kesalahan peramalan yang dihasilkan, maka
hasil yang diperoleh semakin baik. Oleh sebab
itu, kendala portofolio bullet diperoleh dari
MAD yang kurang dari atau sama dengan
jumlah arbitrasi  , akibatnya
�
�=1

�

�

−

17c

Sebagai tambahan, jumlah proporsi
budget dari setiap obligasi harus sama dengan
satu dan jumlah proporsi budget dari setiap
obligasi juga harus taknegatif, yaitu
N

x
i 1

�

i

1
0, ∀�

(17d)
(17e)

3.5 Formulasi Masalah Imunisasi dengan
Goal Programming
Penyelesaian imunisasi obligasi dengan
goal programming ini dilakukan dengan
mengatur urutan peminimuman variabel
deviasi dari prioritas yang tertinggi sampai
yang terendah. Urutan peminimuman variabel
deviasi di dalam model akan menentukan
urutan sasaran yang tercapai. Prioritas sasaran
tertinggi untuk imunisasi obligasi akan
dijamin bila yield portofolio paling tidak sama
dengan 1 , dengan 1 didefinisikan sebagai
yield yang diinginkan.

9

Kendala sasaran ini dapat ditunjukkan
dengan persamaan berikut :

N

N

 xi yi  d1  d1  1.

(18)

i 1

Sasaran ini akan muncul dalam fungsi objektif
sebagai
Minimumkan 1 d1 ,

(19)

dengan 1 digunakan untuk menyatakan

1

bahwa d memiliki prioritas teratas.
Spesifikasi pada prioritas kedua dan
ketiga dikembangkan dari tingkat risiko gagal
bayar dan pembentukan portofolio bullet.
Misalkan pengendalian tingkat risiko gagal
bayar adalah prioritas sasaran yang lebih
tinggi daripada pembentukan portofolio
bullet. Misalkan p adalah banyaknya kendala
yang ada pada model untuk � � , sedangkan
q adalah banyaknya kendala yang ada pada
model untuk � � , sehingga investor akan
menambahkan
q
 p

 2   d  j 1   d  j 1 p  d  2  p  q  +
j 1
 j 1


3 d  3 p  q

xi  d  j 1  d  j 1   j min

i j min

j =l,.., �



i j

,

(20)

xi  d  j 1 p  d  j 1 q   j max

i

i

N

i 1

i

i

(23)

Pada persamaan (20), variabel deviasi

d



j 1 dapat

dihilangkan dari fungsi objektif
karena investor tidak menghiraukan jika
jumlah proporsi grup obligasi ke j melebihi
proporsi investasi minimum. Variabel deviasi

d  j 1 p pada

persamaan
(21)
juga
dihilangkan dari fungsi objektif karena
investor tidak menghiraukan jika jumlah
proporsi grup obligasi ke j lebih kecil dari
proporsi investasi maksimum, d  2  p  q dan

d 3 p  q pada persamaan (22a) atau (22b) dan
(23) juga dapat dihilangkan dari fungsi
objektif karena investor tidak menghiraukan
bila nilai persamaan lebih kecil dari nilai di
ruas sisi kanan persamaan.
Prioritas sasaran keempat diperoleh dari
ketiga prioritas sasaran awal. Pada tahap ini
ada lebih dari satu solusi yang
dapat
mencapai ketiga sasaran awal, yaitu
p

q

j 1

j 1

d1   d  j 1   d  j 1 p

Mengingat kemungkinan solusi berganda
(multiple solution),
investor akan lebih
tertarik pada portofolio yang memiliki yield
yang paling tinggi. Masalah ini dapat
diselesaikan dengan menambahkan kendala
sasaran yang keempat, yaitu :
N

�

,

d



(21)

2 p  q

d



2 p  q

 ,

(22a)

dengan Δ adalah tingkat maksimum toleransi
premi risiko gagal bayar Δ yang diinginkan
investor. atau

x f

Di  m  d 3 p  q  d  3 p  q   .

i

i

N

x

i 1

x y  d

max

j=1,..., �
i 1

�

x

 d  2  p  q  d  3 p  q  0

pada fungsi objektif di persamaan (19).
Variabel-variabel deviasi muncul dari
modifikasi persamaan-persamaan berikut ini :



dengan F adalah toleransi maksimum nilai
indeks, dan

 d  2 p  q  d  2 p  q  F ,

(22b)

'
i


4 p  q

 2 ,

(24)

i 1

dengan  2 adalah nilai yield yang besar. Nilai
�2 sama dengan nilai terbesar pada { yi },
sehingga sasaran keempat diperoleh dengan

menambahkan  4 d 4  p  q pada fungsi
objektif.

10

Dari fungsi objektif dan kendala yang
didapat, formulasi goal programming dari
masalah imunisasi portofolio obligasi dapat
ditulis sebagai berikut:

q
 p

 d  2   d  j 1   d  j 1 p  d  2 p  q 
j 1
 j 1


3 p  q

 4 d


4 p  q

i

i 1

i

 d  2 p  q  d  2 p  q  F ,

 x d


j 1


1

N

x
i 1


j 1

d



min
j

�

 2 ,


4 p  q

Di  m  d 3 p  q  d  3 p  q   .

i

N

x D

i min
j

= 1, … , �

'
i

i 1

i 1

i

i

x y  d
 d1  1 ,

'
i

 d  2  p  q  d  2  p  q  ,

N

x y  d
i

i

N

x f
i

N

,

atau
i 1

terhadap

�

= 1, … , �

N


1 1

+ 3 d

xi  d  j 1 p  d  j 1 q   j max

x

Minimumkan





i j max

i

,

i 1

�, �

−

*
i

N

 m, xi  1,
i 1

, �+

0

∀�,

IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA
4.1 Contoh Kasus Optimasi Portofolio
Obligasi yang Terimunisasi
Misalkan terdapat tiga puluh obligasi
yang dipilih dari berbagai risiko gagal bayar
dan jatuh temponya. Terdapat lima kelas
risiko, yaitu: obligasi pemerintah yang tidak
berperingkat dan empat macam obligasi

perusahaan yang berperingkat AAA, AA, A,
dan BBB. Enam obligasi dipilih dari setiap
kelas tersebut dan dipilih obligasi yang
memiliki waktu jatuh tempo yang beragam.
Diasumsikan bahwa obligasi dipilih dengan
tingat kupon rendah dan tidak ada opsi call
(dapat dilihat pada Tabel 1).

Tabel 1 Informasi obligasi
Obligasi

Jenis obligasi

1

Obligasi Negara th. 2010 RI Seri
FR0055
Obligasi Negara th. 2005 Seri
FR0028
Obligasi Negara th. 2010 RI Seri
FR0053
Obligasi Negara th. 2006 Seri
FR0040
Obligasi Negara th. 2010 RI Seri
FR0056
Obligasi Negara RI Seri FR0050
Bank Ekspor Indonesia IV tahun
2009 Seri B
Bank Ekspor Indonesia IV tahun
2009 Seri C
Bank Ekspor Indonesia IV tahun
2009 Seri D

2
3
4
5
6
7
8
9

Yield to
maturity

Tingkat
kupon

Peringkat
obligasi

Tanggal
jatuh tempo

7.38

-

15-Sep-2016

0.06435

10.00

-

15-Jul-2017

0.06768

8.25

-

15-Jul-2021

0.07402

11.00

-

15-Sep-2025

0.08304

8.38
10.50

-

15-Sep-2026
15-Jul-2038

0.08235
0.09346

11.630

AAA

18-Jun-2012

12.000

AAA

18-Jun-2014

0.09946

12.750

AAA

18-Jun-2016

0.08443

0.09530

11

Tabel 1 Informasi Obligasi (Lanjutan)
Obligasi

Jenis obligasi

10
11

Tingkat
kupon
10.50

Peringkat
obligasi
AAA

Tanggal
jatuh tempo
27-Nov-2012

Yield to
maturity
0.07773

Obligasi Bentoel I tahun 2007
Obligasi II Telkom tahun 2010
Seri A
9.60
AAA
6-Jul-2015
0.08157
12
Obligasi II Telkom tahun 2010
Seri B
10.20
AAA
6-Jul-2020
0.08771
13
Obligasi Astra Sedaya Finance
XI tahun 2010 Seri G
10.90
AA
18-Mar-2014
0.09256
14
Obligasi VII Bank Jabar tahun
2011 Seri C
10.400
AA
9-Feb-2018
0.08925
15
Obligasi XIII Perum Pegadaian
tahun 2009 Seri C
12.875
AA
1-Jul-2019
0.09109
16
Bank BTN XIV tahun 2010
10.250
AA
11-Jun-2020
0.09289
17
Obligasi PLN IX tahun 2007
Seri B
10.90
AA
10-Jul-2022
0.09688
18
Indosat II tahun 2002 Seri B
16.00
AA
6-Nov-2032
0.15540
19
Obligasi Matahari Putra Prima
III tahun 2009 Seri A
16.00
A
14-Apr-2012
0.08153
20
Obligasi Summarecon Agung II
tahun 2008
14.10
A
25-Jun-2013
0.09874
21
Obligasi Verena Multi Finance I
tahun 2011 Seri C
11.25
A
18-Mar-2014
0.10522
22
Obligasi Bank Sulut IV tahun
2010
12.00
A
9-Apr-2015
0.09918
23
Obligasi V Danareksa tahun
2010 Seri B
10.20
A
11-Jan-2016
0.09301
24
Obligasi Subordinasi I Bank
Nagari tahun 2010
10.90
A
13-Jan-2018
0.09882
25
Bank Victoria II tahun 2007
12.00
BBB
21-Mar-2012
0.11993
26
Obligasi Duta Pertiwi V tahun
2007
12.85
BBB
11-Jul-2012
0.09921
27
Obligasi Sinar Mitra Sepadan I
Finance 2010 Seri B
13.15
BBB
8-Jan-2012
0.09158
28
Obligasi Aneka Gas Industri I
tahun 2008
14.50
BBB
8-Jul-2013
0.11782
29
Obligasi I Bakrieland
Developmenttahun 2008 Seri B
12.85
BBB
11-Mar-2013
0.11769
30
Obligasi Sinar Mitra Sepadan I
Finance 2010 Seri C
13.35
BBB
8-Jan-2013
0.09937
Sumber: Penilai Harga Efek Indonesia/Indonesia Bond Pricing Agency (IBPA) (April 2011)
Setiap obligasi diberi nomor indeks yang
dinyatakan sebagai berikut: 0 untuk obligasi
pemerintah, 1 untuk AAA, 2 untuk AA, 3
untuk A, dan 4 untuk BBB pada obligasi
perusahaan. Batas periode investasi m dipilih
36 bulan atau 3 tahun dimulai sejak 13 April
2011.
Diasumsikan bahwa setiap portofolio
terimunisasi harus memiliki karakteristik
sebagai berikut:
 paling sedikit 25% modal harus
diinvestasikan pada obligasi pemerintah
�
= 0.25 , �1 � = 1, 2, … , 6 ,
1







tidak lebih dari 25% modal bisa
diinvestasikan pada setiap obligasi
�
= 0.25 , � � =
perusahaan

+6 | = ,…, 4,

tidak lebih dari 50% modal bisa
diinvestasikan pada dua kelas risiko
dengan peringkat terbawah pada kelas
risiko obligasi perusahaan (A dan BBB)
�
= 0.50 , �25 � = 19, 20, … , 30
25
rata-rata terboboti premi risiko gagal
bayar bisa disesuaikan dengan nomor titik
basis dari gagal bayar yang berhubungan
dengan obligasi yang memiliki peringkat

12





obligasi AA dan waktu jatuh temponya
hampir sama dengan batas periode
investasi
m
∆= 13 = 0.09256 −
0.06435 10000 = 282.09 , atau
rata-rata terboboti dari indeks risiko gagal
bayar bisa disesuaikan dengan obligasi
yang memiliki peringkat obligasi AA,
sehingga = 2.0, dan
portofolio bullet dikonstruksi sehingga
memiliki deviasi rata-rata teroboti absolut
(MAD) yang tidak lebih besar dari
perolehan nilai dengan mengontruksi
sebuah persamaan portofolio yang
terboboti dari dua obligasi dengan
peringkat
obligasi
AA,
sehingga
portofolio memiliki durasi yang dekat
dengan batas durasi investasi

( = (| 14 − | + | 13 − | )/2 =
( 14 − 13 )/2 = (38.777 −
23.796)/2 = 7.4905).
nilai target untuk �1 = 1.3187. �1 adalah
sejumlah nilai present value 1 + �
dari obligasi ke-13. Obligasi ke-13 dipilih
karena waktu jatuh temponya hampir
sama dengan batas durasi investasi (36
bulan) dan memiliki peringkat obligasi
AA, sedangkan �2 adalah yield portofolio
yang lebih besar dari present value
1+ �
terbesar dari keseluruhan
obligasi, maka dipilih �2 = 1.5891 yang
sesuai dengan obligasi ke-18 (lihat Tabel
2).



Tabel 2 Matriks data untuk seluruh obligasi
Obligasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

′
�

= 1+
1.2123
1.2244
1.2478
1.2818
1.2792
1.3222
1.3295
1.3460
1.2871
1.2617
1.2762
1.2997
1.3187
1.3057
1.3129
1.3200
1.3357
1.5891
1.2760
1.3431
1.3693
1.3449
1.3204
1.3434
1.4305
1.3450
1.3148
1.4215
1.4210
1.3457

�

�

34.254
63.396
58.19
86.034
76.39
85.437
18.474
28.708
39.014
29.325
29.224
52.349
23.796
38.777
51.999
51.832
69.788
66.811
18.609
28.718
18.365
28.716
28.899
38.282
28.146
28.711
13.038
28.193
28.203
18.419

∗
Pada matriks data obligasi,
�,
� , dan
dinyatakan
dalam
bulan.
� −
Berdasarkan Tabel 2 yang diberikan, model
goal programming dapa