Ringkasan matematika sma ipa Limit Fungsi
1 4x
= ~ →
3
1
1
12
x Lim 2
= ~ →
− + −
x x x x x x x x
3
12
x Lim 2 2 2 2 2
− + − x x x
x x x x − + −
3 2
12
x Lim
~ →
2. Bentuk tak tentu ~ ~ dapat diselesaikan dengan rumus : a. membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut Contoh :
adalah 4x ; turunan x-1 adalah 1 )
− x
2 2
(turunan 2
4 = 1
1 1 .
=
1
= 1 − +
−
= 0 Bentuk soal tersebut adalah seperti berikut:
~ →
x Lim
- −
...
... 1 1
− − n n m m qx px bx ax
Jika m = 0 hasilnya
p a
Jika m > n hasilnya ~ Jika m< n hasilnya 0 maka dapat langsung dijawab dengan
- x
x Lim
, Jika f(x) atau g(x) merupakan bentuk akar, maka f(x) atau g(x) dikalikan dengan sekawan f(x) atau sekawan g(x). Rumus lain:
−
2
a p b
=
x Lim ( ) q px ax c bx ax
~ →
x g x f
12
) (
a x Lim → ) (
3. Untuk
= 0 karena pangkat pembilang < pangkat penyebut
− + − x x x
~ →
3 2
1
→ x Lim
1
− − x x
2 2
) 1 ( ) 1 (
→ x Lim
1
=
− − x x
2 2
2
1
→ x Lim
Contoh :
=
x g a x x f a x − −
) ( ) (
a x Lim → ) ( ) (
=
G x F x
) (
a x Lim → ) (
a. Memfaktorkan :
1. Bentuk tak tentu dapat diselesaikan dengan 2 cara :
Limit Fungsi Aljabar
Jika hasil substitusi langsung adalah tertentu, maka hasil tersebut adalah hasil akhir, tetapi jika hasilnya tak tentu maka gunakan teorema limit.
LIMIT FUNGSI Pengertian :
= 1 →
x Lim
) 1 ( ) 1 )(
a x Lim →
− − x x
2 2
2
1
→ x Lim
1
Contoh : Penyelesaian di atas dapat juga diselesaikan dengan cara L’Hospital
G x F x
) ( ' '
a x Lim → ) (
F(x) =
b. L’Hospital pembilang dan penyebut didifferensialkan
1 (
= 4
1 1 ( 2 +
1 )
=
2
1 ) 1 (
→ x Lim
1
=
x x x
−
2
- − + + 2 2
- x y
- x y x − y x − y
- x y
- − − →
- − − →
- −
- −
- − −
- − → )
- − →
- − − →
- −
; berlaku jika konstanta kuadratnya sama (nilai a sama)
Lim
sin k ( x a )
−
5. = k
Lim 2 2 x a x a → − x x x x
Contoh: −
2 5 −
2
11 =
( ) x
→ ~ Lim
tan k ( x a )
−
6. = k
x a x a → −
Diketahui : a = 1, b = -2 , p =2
b p
4
2
2
− − − −
= = = -2
2
a
2
2
1 Fungsi Irasional: Jika menemui pembilang atau penyebut mengandung bentuk x - y maka bentuk tersebut disubstitusikan.
1
1 Contoh : =
=
x y −
Limit Fungsi Trigonometri : Lim Lim Lim
sin ax ax sin ax a 1. = = =
x bx x sin bx x sin bx b → → →
Lim Lim Lim
tan ax ax tan ax a 2. = = =
x x tan x tan → bx → bx → bx b
Lim Lim
sin ax tan ax a 3. = =
x tan bx x sin bx b → → 2 Lim Lim
1 cos 2 ax
−
2 sin ax 4. = = 2 2
x x x → → x
Lim
2 sin ax sin ax 2 = = 2 . a.a= 2a
x x x →
catatan: 2 2 cos 2ax = cos ax - sin ax 2 2 cos ax + sin ax = 1 2 2 cos 2ax = 1 - sin ax - sin ax 2 = 1 - 2 sin ax
6
6
− →
6 2 sin 6 4 sin lim
x x x =
6
2
4
x x x =
− =
6
2
=
3
1 Jawabannya adalah D
6 2 sin 4 sin lim
Nilai ⟶ 4
sin
1 B.
3
2 D.
3
1 Jawab:
→ x Lim bx ax
= → x Lim bx ax
− →
sin
= → x Lim bx ax
sin sin
= b a
UN2011 3.
( ) √
= .....
A. 0 B. 4 C. 8 D. 12 E. 16 Jawab: Limit Fungsi
⟶ 4
( ) √ = ⟶ 4 ( ) √
.
√ √
= ⟶ 4
( ) √
.
√ √ =
⟶ 4
( )√
= ⟶ 4
√ + 2 = √4 + 2 = 4 Jawabannya adalah B UN2011
A. B. C. D. E. 1 Jawab : Limit Fungsi cos 2x = cos
(1−2 sin
sin sin = 1 . = Jawabannya adalah D
⟶ 0
2 =
2 sin
⟶ 0
=
2 )
x = ⟶ 0 = ⟶ 0
2
2
x = 1 – 2sin
2
x) – sin
2
x = (1- sin
2
4.Nilai ⟶ 0 = .....
x – sin
1 E.
2
2
2
1
4 lim
x x x x
2
1
1
2
2
1
2
1
=
1
x x x x
2 1 (
1
Contoh Soal: UN2010-UN2012 UN2010
1. Nilai
x x x x
2
2
1
4 lim
=….
A. –2 C. 1 E. 4
B. 0 D. 2 Jawab: Rasionalisasikan penyebut
2
x x x = ….
)
)
2
1
2 1 ( lim
x x x
=
1 1 (
4 lim
= -2 Jawabannya adalah A UN2010
2. Nilai
− →
6 2 sin 4 sin lim
=
1
1
=
2
1
2
1
4 lim
x x x x x x
2
−
x x x x x
4
2
1
A. 1 C.
UN2012 ! 5. = .... " √#
Nilai → 0
A. -30 B. -27 C. 15 D. 30 E. 36 Jawab: ! ! " √# " √# " √# " √#
→ 0 = → 0 ! . ( " √# )
= # (# )
→ 0 ! . ( " √# )
= → 0 = → 0 - 5 . ( 3 + √9 + ) = -5 . ( 3 +
√9 ) = -5 . 6 = -30 Jawabannya A UN2012 6. = ....
'( Nilai → 0
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawab: ,
( )*+ ) '( '( → 0 = → 0
, )*+ '(
= → 0 )*+ .
'( = → 0
)*+ )*+ '( = → 0 2
)*+ )*+ = 1 ; =
'( = 2. 1 . = 1 Jawabannya D