Ringkasan matematika sma ipa Fungsi dan Pertidaksamaan Eksponen
Fungsi dan Pertidaksamaan
B. Fungsi Eksponen dan Logaritma Eksponen dan Logaritma
1. Grafik Fungsi Eksponen/Pangkat
A. Pertidaksamaan Eksponen dan
x
Jika a > 0 dan a 1 ; x R, maka f : x a atau x ≠ ∈ →
Logaritma f(x) = a disebut fungsi eksponen.
Fungsi eksponen mempunyuai sifat-sifat:
1. Pertidaksamaan Eksponen/Pangkat
a. Kurva terletak di atas sumbu X (definit positif)
b. Hanya memotong sumbu koordinat di titik (0,1)
Bentuk pertidaksamaan eksponen:
c. Memiliki asimtot datar (sumbu X)
untuk a > 1 f ( x ) g ( x )
Grafik Fungsi Eksponen: x y = a untuk a > 0
1. Jika
a > a f(x) > g(x) f ( x ) g ( x ) ⇔
2. Jika a a
< ⇔ f(x) < g(x)
jika a > 1 maka grafiknya monoton naik untuk 0<a <1 f ( x ) g ( x ) 1 . Jika a > a f(x) < g(x) f ( x ) g ( x ) ⇔
2. Jika
a < a f(x) > g(x) ⇔
2. Pertidaksamaan Logaritma Bentuk pertidaksamaan logaritma : x
y = a untuk 0 <a < 1
Untuk a > 1 , f(x) > 0 dan g(x) > 0 berlaku: a a
jika 0 <a < 1 maka grafiknya monoton turun log f(x) > log
f(x) > g(x) ⇔
g(x) 1. a a log log
2. f(x) < f(x) < g(x) ⇔
g(x)
Untuk 0 < a < 1 , f(x) > 0 dan g(x) > 0 berlaku: a a
log f(x) > log
f(x) < g(x) ⇔
g(x) 1. a a f(x) < log
2. log ⇔ f(x)> g(x)
g(x)
2. Grafik Fungsi Logaritma
a Gambar grafik fungsi logaritma Fungsi logaritma f(x) = log x dengan a > 0
Jika a > 1, grafik monoton naik dan a 1 mempunyai sifat-sifat
≠
a. Terdefinisi untuk x = 0
b. Hanya memotong sumbu koordinat di titik (1,0)
c. Memiliki asimtot tegakr (sumbu Y)
d. jika a > 1 maka grafiknya monoton naik grafik fungsi logaritma merupakan invers dari grafik eksponennya seperti diperlihatkan pada gambar:
Jika 0 < a < 1, grafik monoton turun Contoh Soal : Soal-soal UN2010 – 2012
UN2010
1. Perhatikan grafik fungsi eksponen berikut ! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah ….
Jawab: a y y = log x a = x titik potong di (1,0) dan (8,-3) 2
1 A. y = 2 log x C. y = log x E. y = log x
2 2 1 di titik (1,0) : a y = x log
B. y = –2 log x D. y= log x y a = x a = 1 a belum bisa terhitung
Jawab: x di titik (8,-3) y = 2 y 2 − 1 2 a = x x = f = log y ( x ) log x -3 a = 8
Jawabannya adalah C 3 -3 = 8 a = = 2 3 -1 3 -1 UN2011
a = (2 ) a = 2 = 2. Perhatikan gambar! Persamaan grafik fungsi inversnya a 1 adalah..... 2 maka y = x y = x y log log
= x
x x
A. y = 3 B.
y = ( )
C. y = 3 invernya:
x x y D.
E. y = 2 x =
y = ( )
- 1 x
maka f (x) = Jawabannya adalah D
UN2012 Jawab:
3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x x
- Cara 1: 9 – 10 . 9 + 9 > 0, x ∈ R adalah....
cara langsung masukkan nilainya :
A. x < 1 atau x > 9 D. x < 1 atau x > 2
B. x < 0 atau x > 1 E. x < -1 atau x > 1 f(x) X = -1 X = 1 X = 2
x-1
C. x < -1 atau x > 2
2 ¼ tidak
Jawab:
x 2x x 2 – 1 ½ 1 ok 3 - ok ok
9 – 10 . 9 + 9 > 0
2 x log x Tidak
1
misal 9 = y, maka 2
terdefinisi
2
y – 10y + 9 > 0
log ( x – 1 )
(y – 9)(y-1) > 0
x 2 - 2
x yang benar adalah f(x) = 2 – 1 B
1 9
Cara 2:
Grafik Fungsi Eksponen: hasilnya y < 1 atau y > 9 x x x y = a untuk a > 0
9 < 1 atau 9 > 9 x x 1 9 < 9 9 > 9 x < 0 atau x > 1
Jawabannya B 4. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah.... x-1
A. f(x) = 2 x
B. f(x) = 2 – 1 2 C. f(x) = log x 2 D. f(x) = log ( x – 1 ) x x y = a untuk 0 <a < 1
E. f(x) = 2 - 2 x
Dari teori, persamaan grafik yang sesuai adalah y = a x kita tambahkan konstanta menjadi y = a + C dari grafik soal dapat diambil nilai x nya : -1, 0, 1 dan 2 -1 untuk x = -1 a + C = - ½ 1/a + C = - ½ untuk x = 0 1 + C = 0 C = -1 karena C sudah didapat, maka a dapat dicari: 1/a + C = - ½ 1/a – 1 = - ½ 1/a = 1 – ½ 1/a = ½ a = 2 x maka y = f(x) = 2 – 1
Jawabannya B