Pemodelan klaim asuransi kerugian menggunakan poisson hidden markov untuk data overdispersi

PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN
MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK
DATA OVERDISPERSI

HENDRA GUSTRA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Klaim
Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson Hidden Markov untuk Data
Overdipersi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Hendra Gustra
NIM G54090024

ABSTRAK
HENDRA GUSTRA. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan
Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi. Dibimbing oleh Berlian
Setiawaty dan Ngakan Komang Kutha Ardana.
Untuk mengantisipasi kerugian dari kejadian yang tidak terduga dibutuhkan
jaminan perlindungan dari jasa asuransi yang berupa pembayaran klaim. Jika
banyaknya klaim yang datang setiap hari merupakan proses observasi dan
mengalami overdispersi, yaitu kondisi di mana ragamnya lebih besar dari
rataannya serta penyebab kejadiannya tidak diamati secara langsung dan
membentuk suatu rantai Markov, maka pasangan dari proses observasi dan
penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model
Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Penduga parameternya dapat
diduga dengan algoritme expectation maximization. Model Poisson hidden
Markov diaplikasikan pada data kedatangan klaim untuk menduga rata-rata

banyaknya klaim yang datang per hari. Pendugaan parameter dari model Poisson
hidden Markov dicari dengan menggunakan program komputasi melalui
Mathematica versi 9.0. Diperoleh model terbaik model Poisson hidden Markov 3
state menurut Akaike Information Criterion dengan dugaan rata-rata klaim yang
datang per hari sebanyak
dan model Poisson hidden Markov 2 state
menurut Bayesian Information Criterion dengan dugaan rata-rata klaim yang
datang per hari sebanyak
orang.
Kata kunci: data overdispersi, klaim, model Poisson hidden Markov.

ABSTRACT
HENDRA GUSTRA. Nonlife Insurance Claim Modeling Using Poisson Hidden
Markov for Overdispersed Data. Supervised by Berlian Setiawaty and Ngakan
Komang Kutha Ardana.
In anticipation of losses from unexpected events, assurance of protection in
the form of insurance claims payments is needed. If the number of claims each
day is observed and the data is overdispersed, i.e. the variance is greater than the
mean, and the cause of claim is unobserved and assumed to form a Markov chain,
then the dynamics of the claim can be modeled by Poisson hidden Markov model.

Poisson hidden Markov model is characterized by its parameters and it can be
estimated using expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov
model is applied to data of claim number to estimate the average claim number for
each day. The estimation of parameters are implemented on computational
program by using Mathematica version 9.0. A 3-state Poisson hidden Markov
model is obtained according to Akaike Information Criterion. The expected
number of claims is
per day. A 2-state Poisson hidden Markov model is
obtained according to Bayesian Information Criterion. The expected number of
claims is
per day.
Keywords: claim, overdispersion data, Poisson hidden Markov model.

PEMODELAN KLAIM ASURANSI KERUGIAN
MENGGUNAKAN POISSON HIDDEN MARKOV UNTUK
DATA OVERDISPERSI

HENDRA GUSTRA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson
Hidden Markov untuk Data Overdispersi
Nama
: Hendra Gustra
NIM
: G54090024

Disetujui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS

Pembimbing I

Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2013 ini ialah
asuransi, dengan judul Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan
Poisson Hidden Markov untuk Data Overdispersi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr Berlian Setiawaty, MS dan
Bapak Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku pembimbing. Di samping

itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba,
DEA selaku dosen penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni
Bakhtiar, MSc, berserta jajaran staf dosen lainnya. Staf pendukung Bapak
Mulyono, Bapak Acep Komaruddin, Ibu Ade Yustina, dan Ibu Nunik Susilowati
yang telah membantu selama pengumpulan data. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada Ayah, Ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih
sayangnya. Terima kasih juga disampaikan kepada teman-teman Matematika 46
atas doa dan kebersamaannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2014
Hendra Gustra

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

LANDASAN TEORI

2

Pengertian Asuransi

2

Overdispersi

2

Pengantar Teori Peluang

2

Rantai Markov

6

MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Karakteristik Model

8
8

Pendugaan Parameter

10

Algoritme Pemrograman

13

APLIKASI POISSON HIDDEN MARKOV PADA DATA KLAIM

15

Deskripsi Data

15

Aplikasi Model Poisson Hidden Markov pada Klaim

16

Hasil Komputasi

16

SIMPULAN DAN SARAN

18

Simpulan

18

Saran

18

DAFTAR PUSTAKA

19

LAMPIRAN

20

RIWAYAT HIDUP

38

DAFTAR TABEL
1 Nilai loglikelihood pada iterasi ke- dengan nilai AIC dan BIC

16

DAFTAR GAMBAR
1 Grafik banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan
kimia tahun 1998 di Bergamo

16

DAFTAR LAMPIRAN
1 Data banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan
kimia tahun 1998 di Bergamo
2 Pembuktian overdispersi
3 Pembuktian fungsi
pada re-estimasi parameter
4 Pembuktian
dan pada iterasi ke5 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 9.0

20
21
21
28
32

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang sering menderita kerugian dari suatu kejadian atau peristiwa
yang tak terduga, misalnya kecelakaan dalam perjalanan, kebakaran, dan lainnya.
Untuk mengantisipasi kerugian atau risiko yang diderita dari suatu kejadian yang
tidak diinginkan ini maka dibutuhkan jaminan perlindungan dari jasa asuransi,
yaitu dalam bentuk pembayaran klaim.
Distribusi Poisson biasa digunakan untuk memodelkan kedatangan klaim
pada asuransi kerugian (nonlife insurance), karena dari sejumlah besar nasabah
asuransi hanya sedikit atau kecil peluang terjadinya kecelakaan di antara para
nasabah tersebut.
Dalam distribusi Poisson diasumsikan bahwa rata-rata dan ragam dari
peubah respon bernilai sama. Dalam hal ini peubah responnya yaitu proses
kedatangan klaim asuransi, akan tetapi dalam penerapannya seringkali terjadi
kondisi overdispersi (overdispersion) pada data kedatangan klaim asuransi.
Overdispersi adalah kondisi di mana ragam dari peubah respon lebih besar dari
rata-rata peubah respon. Overdispersi pada klaim asuransi dapat terjadi karena
berbagai faktor yang tidak bisa diamati, seperti dalam hal kecelakaan kendaraan
tergantung pada perilaku mengemudi dari berbagai individu. Jika terjadi
overdispersi, maka distribusi Poisson dapat dikatakan tidak tepat untuk
memodelkan klaim karena asumsinya yang tidak terpenuhi.
Proses kedatangan klaim terkait erat dengan penyebab kejadiannya, tetapi
penyebab kejadian ini sangat banyak dan tidak diamati secara langsung, seperti
cuaca, kondisi fisik, kepribadian dan lain-lain. Jika penyebab kejadian ini
diasumsikan membentuk rantai Markov dan sebaran datanya kontinu serta
menyebar normal maka pasangan proses kedatangan klaim dan penyebabnya
dapat dimodelkan dengan model hidden Markov. Akan tetapi seperti yang telah
dijelaskan proses kedatangan klaim pada asuransi kerugian menggunakan
distribusi Poisson atau datanya menyebar Poisson. Oleh karena itu untuk
memodelkan proses kedatangan klaim akan digunakan model Poisson campuran
(Poisson Mixture Model) yaitu model Poisson hidden Markov. Dalam
perkembangan lebih lanjut, akan dibuat suatu program komputasi untuk
menyelesaikan masalah model Poisson hidden Markov diskret. Software yang
digunakan adalah Mathematica versi 9.0.
Rujukan utama karya ilmiah ini bersumber dari tulisan Roberta Paroli,
Giovanna Redaelli, dan Luigi Spezia (2000) yang berjudul “Poisson Hidden
Markov Models for Time Series of Overdispersed Insurance Counts.”
Tujuan Penelitian
1. Mempelajari model Poisson hidden Markov (MPHM) dan pendugaan
parameternya.
2. Mengimplementasikan model Poisson hidden Markov pada data klaim yang
overdispersi pada asuransi kerugian.
3. Memprediksi rata-rata banyaknya klaim yang datang setiap hari.

2

LANDASAN TEORI
Pada Bab ini dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan
dalam pembahasan selanjutnya.
Pengertian Asuransi
Pengertian asuransi secara umum adalah menyerahkan pertanggungan risiko
kepada penanggung yaitu perusahaan asuransi untuk jangka waktu dan perjanjianperjanjian yang telah disepakati. Definisi asuransi menurut Kitab Undang-Undang
Hukum Dagang (KUHD), tentang asuransi atau pertanggungan seumurnya, Bab 9,
Pasal 246: Asuransi atau Pertanggungan adalah suatu perjanjian dengan mana
seorang penanggung mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan
menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepadanya karena suatu
kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin
akan dideritanya karena suatu peristiwa yang tak tertentu. Kerugian risiko yang
dibayarkan oleh pihak asuransi kepada pihak tertanggung disebut klaim.
Pembayaran klaim ini sesuai ketentuan yang tertulis pada kontrak polis.
Sedangkan definisi asuransi kerugian (nonlife insurance) Undang-Undang No 2
tahun 1992 tentang usaha asuransi menjelaskan bahwa asuransi kerugian
menjalankan usaha memberikan jasa untuk menanggulangi suatu risiko atas
kerugian, kehilangan manfaat dan tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga
dari suatu peristiwa yang tidak pasti
Overdispersi
Dalam model regresi Poisson terdapat asumsi yang harus dipenuhi. Asumsi
tersebut adalah nilai rata-rata dari peubah respon harus bernilai sama dengan
ragam peubah respon, yang disebut juga ekuidispersi. Namun, dalam analisis data
diskret sering dijumpai data dengan ragam peubah respon bernilai lebih besar dari
rata-rata peubah respon, biasa disebut dengan overdispersi. Fenomena
overdispersi dapat ditulis var(Y) > E(Y). Sebaliknya, data yang ragam peubah
respon bernilai lebih kecil dari rata-rata peubah respon disebut dengan
underdispersi (McCullagh & Nelder 1989). Long (1997) dalam Jackman (2007)
menyatakan overdispersi dapat terjadi karena adanya sumber keragaman yang
tidak teramati pada data atau adanya pengaruh peubah lain yang mengakibatkan
peluang terjadinya suatu kejadian bergantung pada kejadian sebelumnya.
Pengantar Teori Peluang
Definisi Percobaan Acak
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam
kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui,
tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. (Hogg et
al. 2005)

3
Definisi Ruang Contoh dan Kejadian
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak dan dinotasikan dengan Ω. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari
ruang contoh Ω. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Medan-σ
Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
dari ruang contoh Ω yang memenuhi kondisi berikut:
1.
.
2. Jika
maka
.
3. Jika
maka ⋃
.
(Grimmet & Stirzaker 2001)

Definisi Ukuran Peluang
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang P pada (Ω, )
adalah suatu fungsi P:
yang memenuhi:
1.
.
2. Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasang
, maka
(⋃

∑

Pasangan (Ω, , P) disebut ruang peluang. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak
Misalkan (Ω, , P) adalah ruang peluang. Peubah acak adalah fungsi
dengan sifat
untuk setiap
. (Grimmet & Stirzaker
2001)
Definisi Fungsi Sebaran
Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi
. Fungsi
disebut fungsi
yang diberikan oleh
sebaran dari peubah acak X. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak Diskret
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya berada hanya pada himpunan bagian
yang terhitung dari . (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan (Ω, , P) adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah
acak diskret X adalah suatu fungsi
yang didefinisikan oleh
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika
al. 2005)

(Hogg et

4
Definisi Peluang Bersyarat
Misalkan
adalah ruang peluang dan
syarat B didefinisikan sebagai

maka peluang A dengan

|

(Hogg et al. 2005)

Definisi Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah fungsi
yang diberikan oleh
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan S adalah himpunan berhingga.
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X dan Y adalah fungsi
didefinisikan oleh
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat
Jika X dan Y merupakan peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang
bersyarat dari X jika diberikan
, terdefinisi untuk setiap y sedemikian
sehingga
adalah
|

(Ross 1996)

Definisi Fungsi Kerapatan Marginal
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari dua peubah
Misalkan
acak diskret X dan Y. Misalkan A adalah himpunan nilai yang mungkin dari X, dan
B adalah himpunan nilai yang mungkin dari Y. Selanjutnya fungsi
∑
∑
berturut-turut disebut fungsi
dan
kerapatan marginal dari X dan Y. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Kejadian Saling Bebas
Misalkan kejadian tidak memengaruhi kejadian
dengan peluang
sedemikian sehingga peluang bersyarat
jika diketahui adalah
|
maka kejadian
dan
dikatakan saling bebas. Kemudian dapat diperoleh
peluang bersamanya
|
peluang bersyarat
jika diketahui adalah
dan untuk
(Hogg et al. 2005)

|

5
Definisi Bebas Stokastik Identik
Kejadian yang saling bebas disebut bebas stokastik. Misalkan
adalah n peubah acak yang memiliki fungsi kepekatan yang sama yaitu
sehingga

maka fungsi kepekatan bersamanya adalah
disebut bebas stokastik identik. (Hogg et

Dalam hal ini, peubah acak
al. 2005)

Definisi Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
harapan X, dinotasikan dengan
adalah

, maka nilai

∑

(Hogg et al. 2005)

Definisi Ragam
Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X
dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai
var
(
(

(Hogg et al. 2005)

Definisi Nilai Harapan Bersyarat
Nilai harapan bersyarat dari X dengan syarat
diberikan oleh

(Ross 1996)

|

∑

|

Teorema Untuk setiap peubah acak X dan Y maka berlaku
dengan kata lain, jika Y adalah peubah acak diskret maka

(Ross 1996)

∑(

|

|

, ditulis oleh

(

Definisi Peubah Acak Poisson
Suatu Peubah Acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter
dengan fungsi kepekatan peluang

(Grimmet & Stirzaker 2001)

,

|

6
Lemma Jika

peubah acak Poisson dengan parameter ,

, maka

(Grimmet & Stirzaker 2001)
Teorema
∑

(Grimmet & Stirzaker 2001)

∑
Rantai Markov

Definisi Ruang State
Misalkan S merupakan himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut
ruang state. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Proses Stokastik
Proses stokastik
yang terdefinisi pada ruang peluang (
) adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke ruang state
S. (Ross 1996)
Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan (
) adalah ruang peluang dan S ruang state. Proses Stokastik
dengan ruang state S, disebut rantai Markov dengan waktu diskret jika
untuk setiap
berlaku
|
|
untuk semua kemungkinan nilai dari
(Grimmet & Stirzaker
2001)
Definisi Rantai Markov yang Homogen
dengan ruang state S disebut homogen jika
Rantai Markov
|
|
untuk
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Matriks Transisi
Misalkan
adalah rantai Markov dengan ruang state S yang berukuran
m. Matriks transisi
(
berukuran
adalah matriks dari peluang
transisi, dengan
|
untuk
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Terakses
Suatu state disebut terakses (accessible) dari state i, jika ada minimal sebuah
. Dengan
berlaku untuk
untuk
bilangan bulat
sehingga

7
, yang berarti sembarang state adalah berkomunikasi dengan dirinya
sendiri. (Ross 1996)
Definisi Berkomunikasi
Dua state i dan j disebut berkomunikasi (communicate), jika state i dapat diakses
dari state j dan state j dapat diakses dari state i. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Kelas State
Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan tak kosong C sehingga semua
pasangan state yang merupakan anggota dari C adalah berkomunikasi satu dengan
yang lainnya, serta tidak ada state yang merupakan anggota C yang
berkomunikasi dengan suatu state yang bukan anggota dari C. (Grimmet &
Stirzaker 2001)
Definisi Tak Tereduksi
Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi (irreducible) jika hanya terdapat satu
kelas state, yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya.
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peluang Transisi n-step (

)

Peluang transisi n-step (
) dari rantai markov
adalah peluang proses
berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefenisikan sebagai
berikut:
|
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Berulang
State i dari suatu rantai Markov disebut berulang (recurrent) jika ∑
(Ross 1996)

.

Definisi Periode, Periodik, dan Aperiodik
Misalkan
adalah rantai markov yang terdefenisi pada (
) dengan
ruang state S. Suatu state i disebut periode ditulis
jika adalah faktor
, dinotasikan
fpb
persekutuan terbesar bagi sehingga
suatu state i disebut periodik jika
1996)

dan aperiodik jika

. (Ross

Definisi Positive Recurrent dan Null Recurrent
Misalkan
adalah rantai markov yang terdefenisi pada (
) dengan
ruang state S. Suatu state disebut positive recurrent jika state tersebut adalah
recurrent dan berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan dari
waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan berhingga (finite).
State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 1996)

8
Definisi Ergodic
Rantai Markov yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic. (Ross
1996)
Definisi Nilai Harapan Rantai Markov Homogen
Misalkan
adalah rantai markov homogen yang ergodic dengan ruang
state S berukuran m dan misalkan
(
merupakan matriks peluang
|
transisi dan
, maka nilai harapan dari X, dinotasikan
dengan
, memenuhi
dan ∑
. (Ross 1996)

MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Karakteristik Model
Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta
karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov
khusus yang merupakan proses stokastik dengan waktu diskret yang terdiri atas
pasangan {
.
merupakan penyebab kejadian yang tidak diamati
secara langsung dan merupakan suatu rantai Markov. Sedangkan
adalah
proses observasinya yang bergantung pada
. Jika diasumsikan untuk setiap
t,
adalah peubah acak Poisson, maka pasangan {
disebut model
Poisson hidden Markov.
Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai
berikut.
1. Diasumsikan {
adalah rantai Markov yang diskret, homogen, aperiodik,
dan tak tereduksi dengan ruang state
.
2. Matriks peluang state transisi
[ ], di mana matriks berukuran
|

|

∑
3. Dalam model Poisson hidden Markov peubah
yang diamati menyebar
Poisson untuk setiap . Saat
berada pada state i
, maka
sebaran bersyarat adalah peubah acak Poisson dengan parameter . Untuk
setiap
, matriks peluang dari proses observasi
[ ], dengan

∑

|

9
4. Vektor peluang state awal

, di mana

merupakan vektor berukuran

∑
karena rantai Markov
adalah rantai Markov yang ergodic,
merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan
.
5. Untuk setiap

, fungsi sebaran marginal dari

∑

yaitu

|

∑

∑

Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari
diberikan oleh
|

∑
sedangkan ragam dari

. Nilai harapan dari

∑

diberikan oleh
var

(

var

∑

(∑

Maka dapat ditunjukkan bahwa terjadinya overdispersi, yaitu
var
dan
. (Bukti lihat di Lampiran 1)
dengan
Jadi model Poisson hidden Markov {
dicirikan oleh parameter
dan
dengan

[

]

[

]

dan

10
Pendugaan Parameter
Model Poisson hidden Markov bergantung pada beberapa parameter, yaitu
, matriks peluang transisi
vektor peluang state awal
, dan peluang state dari proses observasinya
[ ]
[ ]
.
Pada subbab ini akan dicari penduga dari parameter tersebut, khususnya
akan dicari penduga maksimum likelihood dari
peluang transisi . Kemudian,
akan dicari penduga maksimum likelihood dari m parameter Poisson
yang
terdapat dalam state peluang observasi
. Untuk penduga vektor state awal
bisa dicari dengan menggunakan matriks penduga A melalui persamaan
.
Misalkan
adalah vektor dari parameter yang akan diduga dengan
metode maksimum likelihood, dan
adalah ruang parameternya. Misalkan
adalah vektor dari data observasinya. Vektor y adalah vektor tak
lengkap karena vektor dari data yang tidak diamati
tidak ada. Misalkan
adalah vektor dari data yang tidak diamati. Fungsi likelihood
merupakan peluang gabungan
dari data yang lengkap dinotasikan dengan
dari T data yang diamati dan T state yang tidak diamati, yaitu

∏
maka fungsi likelihood dari data tak lengkap yaitu

dengan

adalah peluang observasi dari

∑ ∑

∏

∑

yang berada pada state

untuk

Algoritme Expectation Maximization
Untuk mendapatkan penduga maksimum likelihood dari , persamaan
likelihood tersebut harus diselesaikan. Tetapi karena sulit untuk mendapatkan
solusi dari persamaan tersebut secara analitik, maka haruslah digunakan algoritme
numerik. Algoritme Expectation Maximization (Algoritme EM) adalah salah satu
cara untuk menyelesaikan persamaan dari data yang tidak lengkap. Algoritme EM
terdiri atas dua langkah pada setiap iterasinya, langkah pertama adalah langkah E
yang menghitung pendugaan (Expectation) dan yang kedua adalah langkah M
yaitu memaksimumkan (Maximization).
Ambil
sebagai fungsi yang didefinisikan pada langkah E, yaitu
|

11
untuk setiap vektor yang termasuk dalam ruang parameter . Langkah-langkah
dalam algoritme EM adalah sebagai berikut. Ambil
sebagai vektor penduga
yang didapat pada iterasi ke-k
(
Pada iterasi kelangkah E dan M didefinisikan sebagai berikut.
1. Langkah E – diberikan
, hitung

2. Langkah M – cari

untuk setiap

|

(
(

.

yang memaksimumkan (
(

Langkah E dan M diulang hingga {
|

sehingga

(

(

}

(

konvergen atau selisih
|

kurang dari galat yang diinginkan.
dan fungsi
Ruang parameter , penduga maksimum likelihood
harus memenuhi teorema berikut.
Teorema Misal
[ ⁄ ] untuk
dan bilangan kecil yang
sebarang. Maka
1. himpunan bagian yang terbatas dari
kontinu di dan terturunkan di interior ;
2.
;
kompak untuk setiap
3.
4. (
kontinu pada dan
.
(Bukti lihat Paroli et al. 2000).
Jika algoritme konvergen pada iterasi ke, maka bisa dikatakan
(
(
adalah titik stasioner dan
(
adalah
penduga maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter
Poisson
harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner
yang konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang
maksimum global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global,
penentuan titik awal sangatlah penting.
Algoritme Forward-Backward
Algortime forward-backward digunakan untuk menentukan peluang
munculnya barisan observasi
, yaitu
adalah peluang dari observasi
Peluang forward yang dinotasikan
dan berada pada state i di waktu t, yaitu

12
Prosedur algoritme forward
1. Diberikan nilai awal untuk

.
|

2. Dengan cara induksi akan diperoleh

∑
adalah peluang observasi
Sedangkan peluang backward yang dinotasikan
parsial
dan berada pada state i di waktu t, yaitu
|

Prosedur algoritme backward
1. Diberikan nilai awal untuk
|

.

2. Dengan cara induksi akan diperoleh
∑

(Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010)
Re-estimasi Parameter
Pada tahap ketiga, akan dimaksimumkan peluang
untuk memperoleh nilai parameter model Poisson hidden Markov
yang dapat dengan baik mendeskripsikan rangkaian observasi yang terjadi.
Formula re-estimasi dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi
(
Fungsi (
di langkah E pada iterasi kepada
algoritme EM, yaitu
|

(
∑

∑

∑∑
∑

∑

∑

∑
(Bukti lihat Lampiran 2)

∑

13
dihitung berdasarkan formula dari
dan
mana
,
,
,
, dan
, masing-masing menggunakan nilai dari parameter
yang didapat pada iterasi ke-k, sedangkan
didapatkan dari persamaan
. Berdasarkan asumsi,
memuat informasi tentang matriks
∑
peluang transisi A, karena
untuk setiap
.
Menurut Basawa dan Rao (1980) pada jurnal Paroli et al. (2000), untuk T
yang sangat besar, pengaruh dari bisa diabaikan. Maka, di langkah M pada
iterasi ke, untuk mendapatkan
, penjumlahan pertama pada
formula
bisa diabaikan saat memaksimumkan (
. Penduga
maksimum likelihood
yang didapat pada iterasi kedengan algoritme
EM, yaitu
di

∑

∑

untuk setiap state i dan state j pada rantai Markov
maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke-

. Sedangkan penduga
, yaitu

∑

∑

untuk setiap state i pada rantai Markov

. (Bukti lihat Lampiran 3)

Algoritme Pemrograman
. Akan diduga parameter model
Diketahui barisan data
Poisson hidden Markov
yang memaksimumkan fungsi likelihood.
Algoritme yang digunakan adalah sebagai berikut:
Langkah :
 Input data

dengan banyaknya data T.

Langkah :
 Input kode untuk mencari
yang memenuhi syarat
.
 Tentukan nilai awal
yang dibangkitkan secara acak, di mana
(
dan
, dan memenuhi syarat ∑
dan
 Bangkitkan
untuk
yang
merupakan fungsi kepekatan peluang dari data yang menyebar Poisson.
 Asumsikan vektor peluang awal tetap untuk setiap iterasi, yaitu
dan
, untuk setiap
.

14
Langkah :
 Tentukan batasan toleransi untuk iterasi likelihood, yaitu toleransi
|
(
(
|
dan tentukan banyaknya maksimum
iterasi yang dapat dilakukan.
Langkah :
 Hitung



Hitung ∑

∑

sebagai peluang observasi.

Langkah :
 Hitung nilai
Langkah :

Hitung

sampai dengan T.

. Lakukan untuk

terhadap nilai parameter awal.

untuk

.
∑



Lakukan untuk
sampai dengan
Hitung nilai duga parameter
∑

̂
̂
Langkah :

∑

.

∑

∑



Hitung



maksimum berdasarkan toleransi likelihood yang telah ditentukan.
Hitung nilai duga parameter
.



Hitung nilai AIC dan BIC terhadap nilai likelihood.

pada setiap iterasi hingga

konvergen dan

Langkah :
 Untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, lakukan langkah 1-7
dengan
titik awal yang berbeda pada dan .
 Setelah dilakukan iterasi, pilih salah satu dari
titik awal yang memiliki nilai
likelihood terbesar.

15


Vektor parameter pada iterasi tersebut adalah vektor penduga maksimum
likelihood yang dicari.

Langkah :
 Untuk menentukan dimensi yang paling optimum, lakukan langkah
untuk setiap state
.
 Pilih
yang memaksimumkan selisih dari
, di mana
adalah fungsi loglikelihood yang dimaksimumkan terhadap model
Poisson hidden Markov dengan rantai Markov yang memiliki
state.
Sedangkan
adalah penalti yang bergantung pada state dan barisan
observasi.
 Dua kriteria pemilihan yang digunakan untuk menentukan
adalah Akaike
Information Criterion (AIC) dan Bayesian Information Criterion (BIC).
 AIC adalah kriteria jika
, di mana
adalah banyaknya parameter
yang diduga dengan algoritme EM, yaitu
, sehingga


BIC adalah kriteria jika

, sehingga

APLIKASI POISSON HIDDEN MARKOV PADA DATA
KLAIM
Pada bab ini akan dibahas aplikasi model Poisson hidden Markov pada
data kecelakaan yang terjadi pada perusahaan kimia di Bergamo, Italia. Pada
setiap subbab akan dijelaskan data input yang digunakan sebagai barisan data
observasi. Kemudian dilanjutkan dengan aplikasi model pada data dan penentuan
dimensi modelnya berdasarkan kriteria yang digunakan. Terakhir akan dibahas
hasil komputasi yang didapat dengan menggunakan software Mathematica versi
9.0.
Deskripsi Data
Data yang digunakan adalah data orang yang mengalami kecelakaan di
perusahaan kimia yang berkisar antara bulan Januari tahun 1998 hingga bulan
April tahun 1998 di provinsi Bergamo di Italia. Periode observasi yang
digunakan adalah hari, sehingga terdapat sebanyak 120 barisan data observasi
yang digunakan pada model ini, dengan rataan yang didapat sebesar
dan
ragamnya
. Data banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia yang
berkisar antara bulan Januari 1998 hingga April 1998 di provinsi Bergamo di
Italia dapat dilihat pada Lampiran 1.
Pada Gambar 1 terlihat bahwa cukup banyak data yang berada pada angka nol,
selain itu kecelakaan yang terjadi sering mengalami kenaikan dan penurunan

16
secara bergantian dan ekstrem yang mengakibatkan data tersebut memiliki nilai
ragam yang lebih besar daripada rataannya.

10
8
6
4
2
0

1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
111
116

Banyaknya Kecelakaan

12

Periode (Hari)

Gambar 1 Grafik banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan
kimia tahun 1998 di Bergamo
Aplikasi Model Poisson Hidden Markov pada Klaim
Diasumsikan bahwa barisan data kedatangan klaim dibangkitkan hanya
dipengaruhi oleh proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan
tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya
kecelakaan pada perusahaan kimia diasumsikan sebagai state dari suatu rantai
Markov
. Data observasi
diasumsikan menyebar Poisson dan
mengalami overdispersi. Jadi pasangan {
merupakan model Poisson
hidden Markov.
Hasil Komputasi
Dari algoritme pemrograman pada bagian 3.3 dibuat program komputasi
berdasarkan referensi dari Frey (2009) dengan menggunakan software
Mathematica versi 9.0.
Nilai loglikelihood yang didapat pada setiap state dengan nilai AIC dan
BIC dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai loglikelihood pada iterasi ke- dengan nilai AIC dan BIC
Loglikelihood
AIC
BIC
1
2
3
4
Menurut AIC sebagai kriteria pemilihan model, dipilih rantai Markov tiga
state atau
, di mana terjadinya kecelakaan pada perusahaan kimia di
Bergamo dipengaruhi oleh tiga penyebab. Barisan {
(
} konvergen
pada iterasi kedengan nilai
(
Matriks peluang
transisi yang memaksimumkan fungsi loglikelihood pada iterasi ke- , yaitu

17

[

]

di mana
merupakan peluang penyebab terjadinya kecelakaan tersebut.
Terlihat bahwa setelah terjadi kecelakan yang disebabkan penyebab pada state 1
akan terjadi kembali kecelakaan dengan peluang
bahwa kecelakaan
tersebut akan disebabkan oleh penyebab pada state 1. Terdapat peluang
bahwa akan terjadi kecelakan karena penyebab pada state 2
setelah terjadinya penyebab pada state 1 dan seterusnya hingga terjadinya
kecelakaan yang disebabkan oleh penyebab pada state 3.
Berdasarkan informasi dari matriks peluang transisi
, didapat vektor
peluang awal yang memenuhi
, yaitu

di mana peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 1 adalah
, peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 2
adalah
, dan peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh
state 3 adalah
.
Vektor penduga parameter Poisson pada iterasi ke- , yaitu

Sehingga menurut AIC diduga bahwa akan terjadi kecelakaan karena sebab pada
state 1 dengan laju
orang per hari, karena sebab pada state 2 dengan
laju
orang per hari dan karena sebab pada state 3 dengan laju
orang per hari.
Untuk dugaan rata-rata banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia
yang terjadi setiap hari didapat dari

maka menurut AIC diduga bahwa rata-rata banyaknya kecelakaan yang terjadi
pada perusahaan kimia di Bergamo adalah
orang per hari.
Sedangkan menurut BIC sebagai kriteria pemilihan model, dipilih rantai
Markov dua state atau
yang artinya kecelakaan yang terjadi pada
perusahaan kimia di Bergamo disebabkan oleh dua penyebab. Barisan
{
(
} konvergen pada iterasi kedengan nilai
(
Dengan matriks peluang transisi

di mana menurut BIC setelah terjadi kecelakaan karena sebab di state 1, terdapat
peluang
akan terjadi kembali kecelakaan karena sebab yang sama.

18
Terdapat peluang
bahwa setelah kecelakaan karena sebab pada state 1
akan terjadi kecelakaan karena sebab pada state 2. Jika terjadi kecelakaan karena
sebab pada state 2 maka terdapat peluang
bahwa akan terjadi
kecelakaan karena sebab pada state 1 setelahnya, dan terdapat peluang
bahwa setelah terjadi kecelakaan karena sebab pada state 2 akan terjadi kembali
kecelakaan karena sebab yang sama.
Dari matriks peluang transisi didapat vektor peluang awal

di mana peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 1 adalah
, dan peluang bahwa kecelakaan pertama terjadi disebabkan oleh state 2
adalah
.
Vektor penduga parameter Poisson pada iterasi ke- , yaitu

yang berarti bahwa diduga terjadinya kecelakaan karena sebab pada state 1
dengan laju
orang per hari, dan terjadinya kecelakaan karena sebab pada
state 2 dengan laju
orang per hari.
Dugaan rata-rata banyaknya kecelakaan pada perusahaan kimia yang
terjadi setiap hari, yaitu

maka menurut BIC diduga bahwa rata-rata banyaknya kecelakaan yang terjadi
pada perusahaan kimia di Bergamo adalah
orang per hari.

SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dengan menggunakan model Poisson hidden Markov untuk memodelkan
data klaim asuransi kerugian pada perusahaan kimia tahun 1998 di Bergamo Italia,
berdasarkan kriteria AIC diperoleh model terbaik model Poisson hidden Markov 3
state dengan dugaan rata-rata terjadinya kecelakaan sebanyak
orang per
hari. Sedangkan menurut kriteria BIC diperoleh model terbaik model Poisson
hidden Markov 2 state dengan dugaan rata-rata terjadinya kecelakaan sebanyak
orang per hari.
Saran
Pada karya ilmiah ini hanya dapat dicari rata-rata dugaan klaim yang datang
per hari, tetapi tidak diketahui cara untuk menduga kedatangan klaim per hari
yaitu ̂
, dan masih belum dapat membandingkan kriteria yang lebih baik
antara AIC dan BIC ketika didapat hasil yang berbeda menurut masing-masing
kriteria. Selain itu data yang digunakan adalah data luar negeri pada tahun 1998

19
sehingga masih belum diketahui apakah model ini cocok untuk data di Indonesia.
Karena itu karya ilmiah ini masih memungkinkan untuk dilanjutkan dengan
mencari cara untuk menduga kedatangan klaim per hari, membandingkan AIC dan
BIC ketika didapat hasil yang berbeda, salah satunya dengan menggunakan
metode Minimum Description Length (MDL) dan dengan menggunakan data
terbaru yang ada di Indonesia.

DAFTAR PUSTAKA
Basawa IV, Rao BLSP. 1980. Statistical Inferences for Stochastic Processes.
London (GB): Academic Pr.
Frey RJ. 2009. Tutorial: Hidden Markov Models with Univariate Gaussian
Outcomes. [Internet]. [diunduh 2014 Maret 17]. Tersedia pada:
http://www.ams.sunysb.edu/~frey.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Clarendon Press. Oxford.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-6. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
Jackman S. 2007. Models for Counts Political Science. [Internet]. [diunduh 2013
September 13]. Tersedia pada: http://jackman.stanford.edu/classes/350C/07/
Poisson.pdf.
Long JS. 1997. Regression Models for Categorical and Limited Dependent
Variables. Number 7 in Advance Quantitive Technique in the Social Sciences.
California: Sage Publications.
MacDonald IL, Zucchini W. 1997. Hidden Markov and Other Models for
Discrete-valued Time Series. London (GB): Chapman & Hall.
McCullagh P, Nelder JA. 1989. Generalized Linear Models. London: Chapman &
Hall.
Paroli R, Redaelli G, Spezia L. 2000. Poisson hidden Markov models for time
series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium:461-474.
Paroli R, Spezia L. 1999. Gaussian hidden Markov models: parameters estimation
and applications to air pollution data. Serie E.P. n. 94 Instituto di Statistica,
Universita Catollica S.C Milano.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York.
Wijayanti H. 2010. Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme
Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. [Tesis] IPB.

20
Lampiran 1 Data banyaknya orang yang mengalami kecelakaan pada perusahaan
kimia tahun 1998 di Bergamo
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

Januari
0
0
0
0
2
0
6
1
4
1
0
0
5
2
4
1
3
1
4
4
3
3
4
0
0
7
5
6
4
6
0

Februari
1
6
4
3
1
3
3
0
3
4
1
3
4
4
1
4
6
8
4
3
3
0
8
7
4
9
3
5

Maret
1
4
3
2
2
4
2
0
4
10
1
5
4
0
0
4
4
5
2
2
4
1
8
6
4
1
3
1
1
9
2

April
3
6
3
2
1
4
5
6
3
4
1
0
2
5
4
3
3
1
1
5
6
10
7
3
2
0
5
5
5
3

(Sumber: Istituto Nazionale per l’Assicurazione contro gli Infortuni sul Lavoro)

21
Lampiran 2 Pembuktian overdispersi
∑
|
adalah nilai harapan bersyarat dari ,
Misalkan
adalah indikator dari suatu kejadian
dengan peubah acak
. Akan
.
dibuktikan terjadi overdispersi, yaitu var
Diketahui
|
(
(
|
,
(
(
(
maka
(
var
((

(

(

(

var(
.
Sehingga jelas terlihat bahwa var
Lampiran 3 Pembuktian fungsi

(
pada re-estimasi parameter

Pembuktian pada formula (13) menggunakan referensi dari jurnal Paroli dan
Spezia (1999). Langkah E dari algoritme EM pada iterasi kedidefinisikan
|
∑

∑

|

Dengan melihat bagian likelihood saja, maka

|

maka

∏

|

|
|

|

|

∏
Sedangkan peluang setiap barisan state

untuk

; yaitu:

22

|

|
∏

Sehingga

[(

∏

(∏

]

∑

∑

Selanjutnya dengan teknik penyederhanaan didapat
|

Subtitusikan (2) dan (3) ke (1), maka didapat
∑
[
∑

∑
∑

∑

]

∑

∑

∑

(∑

∑

∑

(∑

23
∑
∑

∑
∑
∑

∑

∑

∑
∑

∑

∑
∑∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑

24
Dengan hanya melihat penjumlahan kedua pada formula (4), maka
∑ ∑ ∑
|

∑ ∑ ∑

]

|

di mana
|

|

|

Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke (5), didapat
|

∑ ∑ ∑

]

|
∑ ∑ ∑

]

|
∑ ∑ ∑

|

|

di mana
|

|

|

25
|

|
Dengan mensubstitusikan (8) ke (7), didapat
∑ ∑ ∑
|

∑ ∑ ∑

|

|

]

]

|

|

Substitusikan persamaan (9) ke (4), maka didapat

∑
∑ ∑ ∑

|

|

∑ ∑

]

|

26
Akan disubstitusikan peubah forward-backward dan beberapa parameter ke
dalam persamaan yang didapat dengan algoritme EM. Dengan melihat pada
pejumlahan pertama pada formula (10), yaitu
∑
Di mana

|
|

|

Pertama akan dilihat terlebih dahulu bagian pembilang pada formula (10)
|

|

|

|

selanjutnya pada bagian penyebut

untuk

∑
|

∑
∑∑

∑

∑

∑

|

27
∑∑
∑

∑

∑ ∑

∑

|

∑

∑∑

∑

|

∑

|

∑

∑

|

∑

∑∑
∑

|

∑

|

∑

|

∑

|

|

|

28
Maka
∑
∑
Sehingga persamaan

|

(

∑

pada langkah E pada iterasi ke-

∑

∑

∑∑

∑

adalah

∑

∑

∑

Lampiran 4 Pembuktian ̂

dan ̂ pada iterasi ke-

Dengan melihat masalah pendugaan parameter sebagai sebuah kendala optimasi
, teknik perkalian Lagrange dapat
dari
.
digunakan untuk menemukan nilai
yang memaksimumkan
Berdasarkan bentuk standard optimasi Lagrange, sebagai fungsi objektif yang
memaksimumkan adalah:
|

(

∑

∑

∑

∑∑

∑

∑

∑

∑

Tetapi menurut Basawa dan Prakasa Rao (1980) pada jurnal Paroli et al. (2000),
Untuk T yang sangat besar pengaruh dari peluang awal bisa diabaikan, sehingga
fungsi objektifnya menjadi:

29
(

∑∑

∑

∑

∑

∑

∑

dengan fungsi kendala, yaitu:
∑

∑

Persamaan Lagrange-nya menjadi

(

(
(

∑

∑

∑

∑

dengan sebagai parameter pengali Lagrange.
Selanjutnya untuk memperoleh penyelesaian (nilai maksimum) pertama akan
dicari penduga dari
, yaitu
(
(

∑∑
∑

∑

∑
∑

∑

∑

30
∑

∑

dengan menjumlahkan j pada kedua ruas maka didapat
∑

∑

∑

∑

substitusikan
∑

, sehingga diperoleh
∑

∑

sehingga penduga
̂

∑

∑

∑

̂

∑
∑

penurunan sederhana yaitu :
(
∑

∑

karena

(∑

∑

, yaitu:

Kedua, akan dicari penduga dari

(∑

∑

, maka

∑

∑

. penduga dari

dapat dicari dengan teknik

31

∑

(

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑
̂

∑

∑

∑

32
Lampiran 5 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 9.0

33

34

35

36

37

38

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Rengat pada tanggal 23 September 1991 dari ayah
Argausman dan ibu Martinalis. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan
beragama Islam. Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara. Tahun 2003
penulis lulus dari SD Negeri 026 Pematang Reba, tahun 2006 penulis lulus dari
SMP Negeri 5 Rengat dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Benai.
Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai
mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB dengan mayor Matematika
dengan pilihan minor Statistika Terapan.
Penulis juga mendapatkan beasiswa prestasi dari PT. Chevron Riau selama
empat tahun. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten praktikum
Kalkulus dua pada semester lima tahun ajaran 2011/2012. Penulis juga aktif
sebagai staf Divisi Keilmuan himpunan profesi Matematika GUMATIKA IPB
2010/2011 dan GUMATIKA IPB 2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif dalam
mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan Pesta Sains Nasional 2010/2011 sebagai
staf Divisi Tim Khusus, Pesta Sains Nasional 2011/2012 sebagai ketua Divisi Tim
Khusus, dan IPB Mathematics Challenge (IMC) 2011/2012 sebagai staf Divisi
Tim Khusus.