Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial
PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Poisson
Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Juniawan Prasetyo
NIM G54090059
ABSTRAK
JUNIAWAN PRASETYO. Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi
Nosokomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi
tersebut berkembang dan menyebar disebabkan beberapa faktor antara lain
kekebalan mikroorganisme dalam tubuh dari antibiotik, penyebaran
mikroorganisme antar pasien, kurangnya menjaga kebersihan pada tenaga medis
dan alat medis. Jika penyebab infeksi nosokomial diasumsikan tidak diamati
secara langsung dan membentuk rantai Markov maka banyaknya infeksi
nosokomial dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model
Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Parameter model diduga
menggunakan metode maximum likelihood dan algoritme expectation
maximization. Model Poisson hidden Markov kemudian diaplikasikan pada data
infeksi nosokomial untuk menduga banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi.
Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, proses komputasi dilakukan
dengan menggunakan software Mathematica 10.0. Setelah penduga parameter
didapatkan maka dapat dibangkitkan barisan data observasi. Diperoleh model
terbaik adalah model Poisson hidden Markov 3-state dengan root mean square
error
.
Kata kunci: infeksi nosokomial, model Poisson hidden Markov.
ABSTRACT
JUNIAWAN PRASETYO. The Poisson Hidden Markov Modeling for
Nosocomial Infection. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Nosocomial infections are infections from the hospital. Development and spread
of the infections is caused by several factors such as the immunity of
microorganisms in the body of antibiotics, the spread of microorganisms between
patients, the lack of hygiene in medical personnel and medical devices. If we
assume that the cause of nosocomial infection is not observed directly and form a
Markov chain then the number of nosocomial infections can be modeled by a
Poisson hidden Markov. Poisson hidden Markov model is characterized by its
parameters. Model parameters are estimated using maximum likelihood method
and the expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov model is
then applied to the data of nosocomial infections for estimating the number of
nosocomial infections that occur. To simplify the process of estimating the
parameters, the computation conducted by using the software Mathematica 10.0.
After the model parameters are derived, observation data can be generated. The
best model obtained is 3-state Poisson hidden Markov model with root mean
square error
.
Keywords: nosocomial infections, Poisson hidden Markov model.
PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial
Nama
: Juniawan Prasetyo
NIM
: G54090059
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan
karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak.
Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak dan Ibu yang saya cintai, terima kasih atas kasih sayang, didikan,
nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya buat penulis.
2. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ir N K Kutha Ardhana,
M.Sc selaku pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan
dan kesabarannya dalam membimbing penulis.
3. Dr Ir I Endar H Nugrahani, M.S selaku dosen penguji. Terima kasih atas
waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Adik Rezki M Ardiyanti dan Nurul Fiandari yang selalu memberi dukungan,
doa, dan semangat kepada penulis.
5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang diberikan.
6. Seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya
dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis.
7. Keluarga besar Sosetomo dan keluarga besar Sumanto yang telah
memberikan dukungan, doa, dan semangat kepada penulis.
8. Seluruh teman-teman Matematika Angkatan 46 yang. Terima kasih atas doa,
semangat, dan dukungan yang diberikan kepada penulis.
9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 45.
10. Adik-adik Matematika Angkatan 47.
Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu
pengetahuan khususnya Matematika.
Bogor, Februari 2015
Juniawan Prasetyo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Infeksi Nosokomial
2
Teori Peluang
2
Rantai Markov
6
Teori Pengukuran Kesalahan
8
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
8
8
Pendugaan Parameter
10
Algoritme Pemrograman
13
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN METHICILLIN-RESISTANT
STAPHYLOCOCCUS AUREUS
14
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus
14
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
15
Hasil Komputasi
15
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
18
DAFTAR TABEL
1
Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data
bangkitan setiap state terhadap data observasi
16
DAFTAR GRAFIK
1
2
Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan
Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov
tiga state dengan data observasi
15
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya
Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
19
20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi
tersebut muncul ketika seseorang yang dirawat di rumah sakit atau setelah dirawat
memiliki gejala–gejala terinfeksi suatu penyakit. Secara umum infeksi nosokomial
terjadi ketika seseorang yang baru masuk rumah sakit dan telah terinfeksi setelah
beberapa hari dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial ini dapat berasal dari
tubuh pasien sendiri atau berasal dari pasien lain.
Infeksi nosokomial berkembang dari beberapa faktor. Pertama, adanya
kekebalan dari mikroorganisme di dalam tubuh dari antibiotik. Dalam hal ini,
bakteri resisten terhadap antibiotik yang diminum oleh pasien yang terinfeksi
(Harniza 2009). Kemudian adanya penyebaran mikroorganisme antar pasien. Hal
tersebut terjadi akibat adanya kontak langsung dari seorang pasien yang terinfeksi
dengan dokter atau perawat kemudian dokter atau perawat tersebut kontak
langsung dengan pasien yang lain sehingga pasien yang lain bisa terinfeksi. Selain
itu, ada beberapa faktor yang menyebabkan seseorang terinfeksi yaitu karena
faktor alat medis.
Infeksi nosokomial menyebabkan kerugian yaitu semakin memburuknya
keadaan seorang pasien. Akibatnya seorang pasien harus lebih lama dirawat di
rumah sakit. Oleh karena itu perlu adanya pengamatan terhadap berapa banyak
mikroorganisme yang memiliki peluang untuk menginfeksi seorang pasien. Hal
tersebut bertujuan untuk membantu rumah sakit dalam menanggulangi infeksi
nosokomial.
Pengamatan data terhadap penularan bakteri patogen nosokomial biasanya
menggunakan analisis deret waktu yang pendek dengan low numbered counts dari
pasien yang terinfeksi. Namun biasanya analisis tersebut menunjukan penyebaran
yang berlebihan dan autokorelasi. Selain menggunakan metode tersebut,
pengamatan data bisa dilakukan dengan analisis model hidden Markov.
Analisis model hidden Markov merupakan metode baru dalam menganalisis
model mekanistik dari proses epidemik. Dalam menganalisis, dibuatkan model
hidden Markov yang terstruktur dengan deret waktu tertentu dari sebuah bakteri
nosokomial yang diamati (Cooper et al. 2004). Kemudian melalui analisis hidden
Markov, dapat diramalkan berapa banyak infeksi nosokomial yang mungkin
terjadi di rumah sakit.
Tujuan Penelitian
Tujuan umum karya ilmiah ini adalah memodelkan infeksi nosokomial yang
biasa terjadi di rumah sakit dengan model Poisson hidden Markov dan menduga
barisan observasi berdasarkan model Poisson hidden Markov yang diperoleh.
LANDASAN TEORI
Infeksi Nosokomial
Infeksi nosokomial adalah infeksi yang berasal dari rumah sakit, yang
awalnya tidak ada atau sedang mengalami masa inkubasi sebelum dirawat di
rumah sakit. Infeksi nosokomial juga disebabkan oleh adanya kekebalan
mikroorganisme seperti virus, jamur, dan bakteri terhadap antibiotik. Penyebaran
infeksi sendiri lebih banyak terjadi di rumah sakit. Banyak kasus penyebaran
infeksi nosokomial disebabkan karena penggunaaan alat-alat medis yang tidak
bersih. Hal tersebut mengakibatkan infeksi lebih mudah dalam penyebarannya.
Penyebaran infeksi nosokomial berasal dari pasien yang menderita suatu
penyakit. Mikroorganisme yang ada di dalam tubuh penderita menempel di alatalat medis atau di bagian tubuh tenaga medis. Mikroorganisme yang menempel di
alat-alat medis atau di bagian tubuh tenaga medis akan menempel di alat-alat
makan atau pasien lain yang tidak terinfeksi sebelumnya. Selain itu,
mikroorganisme juga bisa menginfeksi orang yang masih sehat.
Infeksi nosokomial akan menginfeksi seseorang dalam jangka waktu
tertentu. Jika mikroorganisme yang menginfeksi termasuk kuat, maka masa
inkubasinya hanya 24 jam. Tetapi dalam beberapa kasus, masa inkubasi bakteri
nosokomial di dalam tubuh rata-rata mencapai 72 jam. Beberapa faktor yang
membuat seseorang bisa terinfeksi atau tidak juga bisa tergantung sistem imun
dari orang yang terinfeksi. Selain itu faktor lainnya adalah resistensi bakteri
terhadap sistem imun dari orang yang akan terinfeksi. Jika sistem imun seseorang
yang akan terinfeksi lemah dan resistensi mikroorganisme cukup kuat, maka
orang tersebut bisa terinfeksi.
Beberapa kasus infeksi nosokomial terjadi di Indonesia. Infeksi nosokomial
ini sering terjadi di Unit Gawat Darurat (UGD). Beberapa penyebabnya adalah
penggunaan alat-alat medis yang kurang steril, tenaga medis yang kurang steril
dalam melakukan pemeriksaan, bank darah yang terkontaminasi, dan lain-lain.
Selain itu penyebabnya bisa dari dalam tubuh seseorang seperti kurang kuatnya
sistem imun seseorang.
Teori Peluang
Definisi Percobaan Acak
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua
kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat
ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2000)
Definisi Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
(Ghahramani 2005)
Definisi Medan-σ
Medan-σ adalah suatu koleksi yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta
memenuhi syarat-syarat berikut.
3
1.
;
;
2. Jika
, maka
3. Jika
maka
, dengan
himpunan A.
(Ghahramani 2005)
menyatakan komplemen dari
Definisi Ukuran Peluang
Suatu ukuran peluang P pada
adalah suatu fungsi
yang
memenuhi syarat-syarat berikut.
1.
dan
;
2. Jika
adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu
, untuk setiap
dengan
, maka
.
Pasangan
disebut ruang peluang. (Ghahramani 2005)
Definisi Kejadian Saling Bebas
Misalkan
adalah ruang peluang dan
. Kejadian A dan B
dikatakan saling bebas jika
. Secara umum, misalnya I
adalah himpunan indeks, himpunan kejadian
disebut saling bebas jika
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peluang Bersyarat
Misalkan
adalah ruang peluang dan
. Jika
peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian B adalah
maka
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak
Misalkan
adalah ruang peluang. Peubah acak X merupakan fungsi
di mana
untuk setiap
. Peubah acak
dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut
dinotasikan dengan huruf kecil. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang contoh,
adalah medan- dari
dan
adalah
himpunan berhingga. Suatu fungsi
disebut peubah acak diskret jika
memenuhi sifat untuk setiap
berlaku
(Ghahramani
2005)
Definisi Fungsi Sebaran
Misalkan
adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian
, maka peluang dari kejadian adalah
. Fungsi
disebut fungsi sebaran dari peubah acak . (Hogg et al. 2013)
4
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah dan
yang diberikan oleh
adalah fungsi
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah
acak disret X adalah fungsi
yang didefinisikan oleh
untuk setiap
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari
peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi
yang
didefinisikan oleh
untuk setiap
. (Grimmet
& Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat
dari X jika diberikan
dengan
untuk setiap y adalah
(Ross 2000)
Definisi Fungsi Kerapatan Marginal
Misalkan
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari dua peubah
acak diskret dan . Misalkan adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan
adalah himpunan nilai yang mungkin dari Y. Selanjutnya fungsi
dan
masing-masing disebut fungsi kerapatan marginal dari
Stirzaker 2001)
dan
. (Grimmet &
Definisi Kejadian Saling Bebas
Misalkan kejadian tidak mempengaruhi kejadian dengan peluang
sedemikian sehingga peluang bersyarat
jika diketahui
adalah
maka kejadian
dan
dikatakan saling bebas. Kemudian dapat
diperoleh peluang bersamanya
dan
untuk
peluang bersyarat
jika diketahui
adalah
(Hogg et al. 2013)
5
Definisi Bebas Stokastik Identik
Misalkan
adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi
kerapatan yang sama, yaitu
sehingga
maka fungsi kerapatan bersamanya adalah
Peubah acak
disebut bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2013)
Definisi Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
maka nilai harapan dari peubah acak X adalah
(Ghahramani 2005)
Definisi Ragam
Misalkan merupakan sebuah peubah acak diskret dan
adalah
. Ragam dari
(Ghahramani 2005)
Teorema
(Ghahramani 2005)
Definisi Peubah Acak Poisson
Suatu peubah acak dengan nilai
parameter , dengan
, jika
disebut peubah acak Poisson dengan
(Ghahramani 2005)
Teorema
(Ghahramani 2005)
Teorema
Jika X adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter , maka
(Ghahramani 2005)
.
6
Rantai Markov
Definisi Ruang State
Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang
state. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Proses Stokastik
Proses stokastik
yang terdefinisi pada ruang peluang
adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke suatu ruang
state S sehingga untuk setiap
adalah peubah acak. Dalam hal ini,
dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
sebagai state
(keadaan) dari proses pada waktu k. (Ross 2000)
Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan S disebut rantai Markov dengan
waktu
diskret
jika
untuk
setiap
berlaku
untuk semua kemungkinan nilai dari
. (Ross 2000)
Definisi Matriks Peluang Transisi
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S berukuran N. Matriks
adalah matriks peluang transisi di mana
untuk semua
. Nilai
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state I maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah
tak negatif dan proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku:
1.
, untuk semua
;
, untuk semua
.
2.
(Ross 2000)
Definisi Rantai Markov Homogen
Rantai Markov
yang terdefinisi pada
dengan ruang state S
dikatakan homogen jika
untuk semua
. Pada rantai Markov homogen, nilai
tidak bergantung pada
.
(Ross 2000)
Definisi Peluang Transisi n-step
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Peluang transisi n-step
adalah peluang suatu proses
berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai
.
(Ross 2000)
7
Definisi Terakses
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses dari state i, dinotasikan
jika ada sebuah bilangan bulat
sehingga
. (Ross 2000)
,
Definisi Berkomunikasi
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Dua state i dan state j disebut berkomunikasi, dinotasikan
, jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.
(Ross 2000)
Definisi Kelas State
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kosong
sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang
lainnya, serta tidak ada anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang
bukan anggota C. (Ross 2000)
Definisi Rantai Markov Tak Tereduksi
Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state,
yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 2000)
Definisi Berulang
State i dari suatu rantai Markov disebut berulang (recurrent) jika
(Ross 1996)
.
Definisi Periode, Periodik, dan Aperiodik
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu state i disebut memiliki periode d ditulis d(i) jika d
adalah persekutuan terbesar bagi n sehingga
, dinotasikan
. Suatu state i disebut periodik jika
dan aperiodik jika
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Positive Recurent dan Null Recurrent
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state . Suatu state disebut positive recurrent jika state tersebut
adalah recurrent serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan
dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga.
State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 2000)
Definisi Ergodik
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. (Ross
2000)
Teorema
Misalkan
adalah rantai Markov ergodik yang terdefinisi pada
dengan ruang state S berukuran . Misalkan
merupakan
8
matriks peluang transisi berukuran
dengan
Nilai harapan Nilai harapan dari dinotasikan
, di mana
dan
(Ross 2000)
.
yang memenuhi
Teori Pengukuran Kesalahan
Definisi Root Mean Square Error
Pengukuran kesalahan pada data duga dengan menghitung rata-rata kuadrat dari
perbedaan nilai estimasi dengan nilai observasi suatu variabel. Jika nilai RMSE
semakin kecil maka estimasi model atau variabel tersebut semakin valid. Nilai
statistik RMSE adalah
dengan merupakan nilai dari data duga pada waktu , merupakan nilai dari
data observasi pada waktu , dan merupakan banyaknya data. (Hyndman &
Koehler 2006)
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta
karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov
dengan waktu diskret yang terdiri atas pasangan
.
merupakan
penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu
rantai Markov. Sedangkan
adalah proses observasinya yang bergantung
pada
. Jika diasumsikan untuk setiap t,
dengan diketahui
adalah
peubah acak Poisson, maka pasangan
disebut model Poisson hidden
Markov.
Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai
berikut.
1. Diasumsikan
adalah rantai Markov yang diskret, homogen, aperiodik,
dan tak tereduksi dengan ruang state
.
2. Matriks peluang state transisi
, di mana matriks berukuran
Dalam model Poisson hidden Markov peubah
yang diamati menyebar
Poisson untuk setiap . Saat
berada pada state i
, maka
sebaran bersyarat
jika diketahui
adalah peubah acak Poisson dengan
9
parameter
observasi
. Untuk setiap
, dengan
3. Vektor peluang state awal
dengan
, matriks peluang dari proses
, di mana
merupakan vektor berukuran
Karena rantai Markov
diasumsikan rantai Markov yang ergodic, maka
merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan
.
4. Untuk setiap
, fungsi sebaran marginal dari yaitu
Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari
diberikan oleh
dengan merupakan vektor yang didefinisikan sebagai
untuk ragam dari diberikan oleh
. Nilai harapan dari
. Kemudian
ar
ar
dengan merupakan diag . Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa
terjadinya overdispersi, yaitu
(Bukti lihat Gustra 2014)
Jadi model Poisson hidden Markov {
dan
dengan
dicirikan oleh parameter
dan
10
Pendugaan Parameter
Suatu barisan observasi
diasumsikan dibangkitkan oleh model
Poisson hidden Markov. Didefinisikan fungsi likelihood
dengan parameter
sebagai berikut
dengan
Pada subbab sebelumnya telah diketahui model Poisson hidden Markov
bergantung pada beberapa parameter. Parameter tersebut adalah vektor peluang
state awal
, matriks peluang transisi
dengan
dengan
dan peluang state dari proses observasinya
adalah vektor dari parameter yang
dan
. Misalkan
akan diduga dengan metode maksimum likelihood dengan fungsi likelihood yang
sudah didefinisikan sebelumnya dan merupakan ruang paramaternya.
Algoritma Expectation Maximization
Mendapatkan penduga maksimum likelihood secara analitik sangatlah
sulit. Oleh sebab itu, digunakanlah metode numerik untuk menemukan maksimum
likelihood. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menduga maksimum
likelihood adalah menggunakan algoritme Expectation Maximization (Algoritme
EM). Algoritme EM terdiri atas dua langkah pada setiap iterasinya. Langkah
pertama adalah langkah E yang menduga data yang tidak diamati. Setelah
pendugaan data yang tidak diamati, kemudian akan diduga parameter-parameter
pada langkah M.
Ambil
sebagai fungsi yang didefinisikan pada langkah E, yaitu
untuk setiap vektor
yang berada pada ruang parameter . Langkah-langkah
dalam algoritme EM adalah sebagai berikut. Ambil
sebagai vektor penduga
yang didapat pada iterasi kepada iterasi kelangkah E dan M didefinisikan sebagai berikut.
1. Langkah E – diberikan
, hitung
2. Langkah M – cari
untuk setiap langkah
yang memaksimumkan
.
, sehingga
11
Langkah E dan M diulang hingga
konvergen atau selisih
kurang dari galat yang diinginkan.
Teorema
untuk setiap dan bilangan kecil yang sebarang, maka
Misal
1. himpunan bagian yang terbatas dari
;
2.
kontinu di dan terturunkan di interior ;
3.
kompak untuk setiap
;
kontinu pada dan
.
4.
(Bukti lihat Paroli et al. 2000).
Jika algoritme konvergen pada iterasi ke, maka bisa dikatakan
adalah titik stasioner dan
adalah penduga
maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter Poisson
harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner yang
konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang maksimum
global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, penentuan titik
awal sangatlah penting.
Algoritme Forward-Backward
Algoritme forward-backward digunakan untuk menentukan peluang
munculnya barisan observasi
, yaitu
Peluang forward yang dinotasikan
adalah peluang dari observasi
dan berada pada state i di waktu t, yaitu
Prosedur algoritme forward
1. Diberikan nilai awal untuk
.
2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan
Sedangkan peluang backward yang dinotasikan
adalah peluang observasi
parsial
dan berada pada state i di waktu t, yaitu
Prosedur algoritme backward
1. Diberikan nilai awal untuk
.
12
2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan
(Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010)
Re-estimasi Parameter
Pada tahap ini, akan dimaksimumkan peluang observasi
untuk memperoleh nilai parameter model Poisson hidden Markov
yang dapat dengan baik mendeskripsikan rangkaian observasi yang
, maka dapat
terjadi. Dengan memaksimumkan fungsi yaitu
pada langkah E pada
meningkatkan nilai fungsi likelihood. Fungsi
iterasi kepada algoritma EM adalah
(Bukti lihat Gustra 2014)
di mana
dan
nilainya didapatkan berdasarkan formula dari
persamaan
,
,
,
, dan
, masing-masing persamaan berdasarkan
nilai dari parameter
yang didapat pada iterasi ke- , sedangkan untuk
didapat dari persamaan
. Berdasarkan asumsi,
memuat
untuk setiap
informasi tentang matriks peluang transisi , karena
Menurut Basawa dan Rao (1980), untuk T yang sangat besar, pengaruh dari
bisa diabaikan. Sehingga pada langkah M pada iterasi ke, untuk
mendapatkan
, penjumlahan pertama pada formula
dapat dilewati pada
. Penduga maksimum likelihood
yang
saat memaksimumkan
didapat pada iterasi kedengan algoritme EM, yaitu
untuk setiap state i dan state j pada rantai Markov
maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke-
untuk setiap state i pada rantai Markov
. Sedangkan penduga
, yaitu
. (Bukti lihat Gustra 2014)
13
Algoritme Pemrograman
Diketahui barisan data
. Akan diduga parameter model Poisson
Hidden Markov
yang memaksimumkan fungsi likelihood. Algoritme
yang digunakan adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Input data
dengan banyaknya data .
Langkah 2:
Input kode untuk mencari yang memenuhi syarat
.
Input kode untuk mencari
secara acak, di mana
dan
,
.
memenuhi syarat
Input kode untuk mencari secara acak, di mana
dan memenuhi
syarat
,
.
Input kode untuk menentukan kelas dari proses yang lebih spesifik.
Input kode untuk formula Root Mean Square Error (RMSE).
Langkah 3:
Tetapkan nilai SeedRandom agar nilai tidak berubah.
Bangkitkan untuk
.
Masukkan nilai parameter awal untuk
yaitu
pada fungsi
HiddenMarkovProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0.
Fungsi HiddenMarkovProccess merupakan fungsi yang sudah ada di
Mathematica 10.0 yang digunakan untuk memasukkan parameter awal.
Langkah 4:
Estimasi proses dari fungsi HiddenMarkovProcess yang sudah diisi dengan
nilai awal parameter menggunakan fungsi EstimatedProcess yang telah ada
pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi EstimatedProcess merupakan
fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk menduga
suatu proses dari data yang sudah diperoleh.
Langkah 5:
Mencari nilai loglikelihood dari model yang telah didapat dari fungsi
EstimatedProcess dengan fungsi.
Langkah 6:
Tetapkan nilai SeedRandom agar barisan data bangkitan
tetap.
Bangkitkan barisan data bangkitan
berdasarkan model estimasi yang
didapat.
Langkah 7:
Hitung besaran error dari barisan data bangkitan
dengan RMSE.
Kembali ke langkah 3, lakukan untuk
.
terhadap data observasi
14
Untuk
, bandingkan nilai RMSE
dengan
lebih kecil dari
, kembali ke langkah 3.
Berhenti ketika nilai RMSE
lebih kecil dari .
. Jika nilai RMSE
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA
INFEKSI NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN
METHICILLIN-RESISTANT STAPHYLOCOCCUS AUREUS
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus
Methicilin merupakan antibiotik yang digunakan sebagai terapi pasien
dengan infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus. Semakin bertambah
jumlah infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus maka semakin
meningkat pula penggunaan methicillin oleh pasien. Hal tersebut mengakibatkan
munculnya bakteri yang resisten terhadap antibiotik methicillin.
Methicillin-resistant Staphylococcus aureus (MRSA) merupakan bakteri
yang sering ditemukan pada pasien di rumah sakit. Methicillin-resistant
Staphylococcus aureus merupakan bakteri primer penyebab infeksi nosokomial,
terutama pada pasien usia tua yang dirawat di rumah sakit atau Intensive Care
Unit (ICU). Namun beberapa dekade ini ditemukan MRSA di luar rumah sakit
(comummunity-associated MRSA/CA-MRSA) dan pasien yang tidak memiliki
riwayat pernah dirawat atau terpapar di unit kesehatan lain. CA-MRSA
menyebabkan infeksi kulit dan jaringan lunak, pustolosis, furunkulosis, maupun
abses. Laporan yang telah ditemukan mengungkapkan bahwa ada juga pasien
pneumonia berat yang diakibatkan CA-MRSA. Tentunya semenjak dilaporkan
kasus infeksi CA-MRSA unit pelayanan kesehatan dan rumah sakit sudah terpapar
oleh bakteri ini (Harniza 2009).
MRSA sama seperti bakteri Staphylococcus yang menginfeksi pada bagian
kulit dan saluran pernapasan. Pada umumnya ciri-ciri seseorang telah terinfeksi
adalah munculnya benjolan yang menyerupai jerawat, bisul, atau gigitan laba-laba.
Kemudian benjolan tersebut bisa menyakitkan yang membutuhkan pembedahan.
Kadang-kadang infeksi juga dapat masuk ke dalam tubuh dan mengancam nyawa,
misalnya menyebabkan infeksi pada tulang, sendi, luka bedah, aliran darah, katup
jantung, dan paru-paru.
Cara pencegahan penularan infeksi MRSA sangat mudah. Alkohol 70%
dapat efektif sebagai sanitasi pencegahan penularan infeksi MRSA. Kemudian
dengan pembersihan rutin ruang-ruang rawat dengan Nonflammable Alcohol
Vapor in CO2 (NAV-CO2) system yaitu zat yang sering digunakan untuk sanitasi
ruangan pasien dengan MRSA. Selain itu para pengunjung juga selalu cuci tangan
dengan sabun ketika pulang dari rumah sakit.
Pengobatan dari infeksi MRSA dapat dilakukan dengan penggunaan
antibiotik selain jenis penicillin beserta turunannya seperti methicillin,
dicloxacillin, nafcillin, dan oxacillin. Tetapi dalam beberapa kasus, antibiotik
mungkin tidak diperlukan. Terkadang dokter hanya menguras abses dangkal yaitu
15
suatu cairan nanah akibat reaksi pertahanan tubuh terhadap benda asing yang
terlihat.
Data yang digunakan pada skripsi ini didapat dari ICARE (Intensive Care
Antimicrobial Resistance Epidemiology) project, sebuah studi pengamatan di
dalam Intensive Care Units (ICUs) dari bulan April 1998 sampai dengan Oktober
2005 (Cooper et al. 2004). Pengamatan tersebut dilakukan di 41 rumah sakit di
Amerika. Tujuan dari pengamatan tersebut adalah untuk mengetahui berapa
banyak pasien yang terinfeksi bakteri nosokomial per bulan.
9
8
Banyaknya infeksi
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Bulan ke-
Grafik 1 Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
Diasumsikan kedatangan barisan data infeksi dibangkitkan berdasarkan
pengaruh dari proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan
tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi
nosokomial di rumah sakit diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov
yang dinotasikan dengan
. Data observasi banyaknya infeksi diasumsikan
menyebar Poisson dan mengalami overdispersi yang dinotasikan dengan
.
Jika diasumsikan untuk setiap t, diketahui dengan diketahui adalah peubah
acak Poisson, maka pasangan
disebut model Poisson hidden Markov.
Hasil Komputasi
Dari algoritme pemrograman dibuat program komputasi dengan
menggunakan perangkat lunak Mathematica 10.0.
Berdasarkan fungsi EstimatedProcess, banyaknya state yang dapat
diestimasi adalah 4 state. Nilai kesalahan yang didapat dari Root Mean Square
Error (RMSE) dan nilai loglikelihood dapat dilihat pada Tabel 1.
16
Loglikelihood
RMSE
1
-121.521
1.5239
2
3
-97.8056
-95.3273
1.3663
1.2953
4
-93.9389
1.3944
Tabel 1 Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data bangkitan
setiap state terhadap data observasi
Dari nilai yang ditunjukkan pada Tabel 1, model Poisson hidden Markov
tiga state atau
memiliki kesalahan terkecil dibandingkan dengan model
Poisson hidden Markov dengan
. Nilai kesalahan untuk
berdasarkan
RMSE adalah
.
Matriks peluang transisi untuk
yang didapat dari proses estimasi,
yaitu:
di mana
merupakan peluang penyebab infeksi nosokomial. Dapat dilihat
peluang infeksi setelah datangnya infeksi yang disebabkan oleh state 1 akan
kembali terjadi lagi oleh penyebab state 1 sebesar
. Terdapat peluang
bahwa akan terjadi infeksi yang disebabkan pada state 2 setelah
terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 1 dan seterusnya hingga peluang
akan terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3 setelah terjadinya infeksi
yang disebabkan oleh state 3.
Berdasarkan matriks peluang transisi yang didapat setelah proses estimasi,
peluang vektor awal yang memenuhi syarat
, yaitu:
di mana peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state 1 adalah
, peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state
2 adalah
, peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan
oleh state 3 adalah .
Vektor penduga parameter Poisson yang didapat dari proses estimasi, yaitu:
di mana dari vektor tersebut diduga akan terjadi infeksi yang disebabkan
state 1 dengan laju
per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan
state 2 dengan laju
per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan state
1 dengan laju
per bulan.
Dari parameter yang telah didapat dari proses estimasi untuk
yaitu
matriks peluang transisi , vektor peluang awal , dan vektor parameter Poisson
, telah dibangkitkan barisan data berdasarkan proses estimasi yang dapat dilihat
pada Gambar 2. Dari Gambar 2 dapat dilihat infeksi terbanyak adalah lima infeksi
per bulan pada bulan ke-41 dan bulan ke-42. Untuk paling sedikit infeksi adalah
nol atau tidak ada infeksi per bulan. Rata-rata terjadinya infeksi nosokomial pada
data dugaan adalah
per bulan. Dari Gambar 2 dilihat beberapa bulan
tidak terdapat infeksi nosokomial. Hal tersebut sama dengan data observasinya
yang terdapat beberapa bulan tidak ada infeksi nosokomial.
17
9
8
7
Banyaknya Infeksi
6
5
data dugaan
4
data observasi
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Bulan ke-
Grafik 2 Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov
tiga state dengan data observasi
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model Poisson hidden Markov digunakan untuk memodelkan banyaknya
infeksi nosokomial yang terjadi pada 41 rumah sakit di Amerika per bulan dari
April 1998 sampai dengan Oktober 2005. Berdasarkan pengukuran kesalahan dari
RMSE diperoleh model Poisson hidden Markov yang terbaik adalah 3 state. Nilai
kesalahan berdasarkan RMSE yang didapat adalah
. Dari data dugaan
didapat infeksi terbanyak adalah 5 infeksi per bulan dan paling terkecil adalah
tidak terjadi infeksi. Rata-rata infeksi nosokomial per bulan pada data dugaan
adalah
per bulan.
Saran
Model Poisson hidden Markov pada karya ilmiah belum secara realistik
memodelkan data infeksi nosokomial yang terjadi. Selain itu data yang digunakan
adalah data dari rumah sakit yang ada di Amerika sehingga masih belum diketahui
apakah model ini cocok untuk data rumah sakit yang ada di Indonesia. Oleh sebab
itu karya ilmiah ini masih memungkinkan untuk dilanjutkan dengan membuat
model deret waktu Poisson hidden Markov waktu sebelumnya dan dengan
menggunakan data terbaru yang ada di Indonesia.
18
DAFTAR PUSTAKA
Basawa IV, Rao BLSP. 1980. Statistical Inference for Stochastic Processes.
London: Academic Press.
Cooper B, Lipsitch M. 2004. The Analysis of hospital infection data using hidden
Markov models. Biostatistics, 5:223-237.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-2. New Jersey: Prentice
Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford: Clarendon Press.
Gustra H. 2014. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson
Hidden Markov untuk Data Overdispersi. [Skripsi] IPB.
Harniza Y. 2009. Pola Resistensi Bakteri yang Diisolasi dari Bangsal Bedah
Rumah Sakit Umum Pusat Nasional Cipto Mangunkusumo pada Tahun 20032006. [Skripsi] Universitas Indonesia.
Hyndman RJ, Koehler AB. 2006. Another look at measures of forecast accuracy.
International Journal of Forecasting, 22:679-688.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2013. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-7. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
MacDonald IL, Zucchini W. 1997. Hidden Markov and Other Models for
Discrete-valued Time Series. London: Chapman & Hall.
Paroli R, Redaelli G, Spezia L. 2000. Poisson hidden Markov models for time
series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium: 461-474.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons.
Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. Burlington:
Academic Press.
Wijayanti H. 2010. Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme
Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. [Tesis] IPB.
19
Lampiran 1 Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya
Bulan ke Data Observasi
1
1
2
0
3
1
4
8
5
3
6
5
7
0
8
1
9
3
10
0
11
3
12
3
13
1
14
4
15
0
16
0
17
0
18
0
19
0
20
0
21
2
22
2
23
2
24
0
25
0
26
0
27
0
28
0
29
0
30
0
31
0
32
0
33
0
34
2
35
1
36
2
37
1
38
2
39
1
Data Dugaan
3
3
2
1
3
1
0
1
1
2
2
4
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
1
0
3
2
Bulan ke
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
Data Observasi
2
2
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
Data Dugaan
1
5
2
5
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
Bulan ke
79
80
81
82
83
84
Data Observasi
0
2
0
1
1
0
Data Dugaan
0
0
1
0
0
0
Bulan ke
85
86
87
88
89
90
Data Observasi
2
0
0
0
0
1
Data Dugaan
0
0
0
0
0
0
Dari data tersebut didapat
dan
. Dari kedua hasil
tersebut dapat disimpulkan bahwa data tersebut overdispersi. Kemudian yang
berlabel warna kuning merupakan perbedaan nilai antara data observasi dengan
data dugaan.
Lampiran 2 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
21
22
23
24
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Gunung Kidul pada tanggal 4 Juni 1991 dari ayah
Subardiyono dan ibu Sugiyanti. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan
beragama Islam. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2003
penulis lulus dari SD Negeri 01 Pondok Jaya Tangerang Selatan, tahun 2006
penulis lulus dari SMP Negeri 12 Tangerang Selatan dan tahun 2009 penulis lulus
dari SMA Negeri 4 Tangerang Selatan. Pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika
FMIPA IPB.
Penulis juga aktif sebagai staf Divisi Kesekretariatan himpunan profesi
Matematika GUMATIKA IPB 2010/2011 dan staf Divisi Komunikasi dan
Publikasi GUMATIKA IPB 2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif dalam
mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan Pesta Sains Nasional 2010/2011 sebagai
staf Divisi Kesekretariatan, Pesta Sains Nasional 2011/2012 sebagai staf Divisi
Kesekretariatan, dan IPB Mathematics Challenge (IMC) 2011/2012 sebagai ketua
Divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi.
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Poisson
Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Juniawan Prasetyo
NIM G54090059
ABSTRAK
JUNIAWAN PRASETYO. Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi
Nosokomial. Dibimbing oleh BERLIAN SETIAWATY dan NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi
tersebut berkembang dan menyebar disebabkan beberapa faktor antara lain
kekebalan mikroorganisme dalam tubuh dari antibiotik, penyebaran
mikroorganisme antar pasien, kurangnya menjaga kebersihan pada tenaga medis
dan alat medis. Jika penyebab infeksi nosokomial diasumsikan tidak diamati
secara langsung dan membentuk rantai Markov maka banyaknya infeksi
nosokomial dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov. Model
Poisson hidden Markov dicirikan oleh parameternya. Parameter model diduga
menggunakan metode maximum likelihood dan algoritme expectation
maximization. Model Poisson hidden Markov kemudian diaplikasikan pada data
infeksi nosokomial untuk menduga banyaknya infeksi nosokomial yang terjadi.
Untuk mempermudah proses pendugaan parameter, proses komputasi dilakukan
dengan menggunakan software Mathematica 10.0. Setelah penduga parameter
didapatkan maka dapat dibangkitkan barisan data observasi. Diperoleh model
terbaik adalah model Poisson hidden Markov 3-state dengan root mean square
error
.
Kata kunci: infeksi nosokomial, model Poisson hidden Markov.
ABSTRACT
JUNIAWAN PRASETYO. The Poisson Hidden Markov Modeling for
Nosocomial Infection. Supervised by BERLIAN SETIAWATY and NGAKAN
KOMANG KUTHA ARDANA.
Nosocomial infections are infections from the hospital. Development and spread
of the infections is caused by several factors such as the immunity of
microorganisms in the body of antibiotics, the spread of microorganisms between
patients, the lack of hygiene in medical personnel and medical devices. If we
assume that the cause of nosocomial infection is not observed directly and form a
Markov chain then the number of nosocomial infections can be modeled by a
Poisson hidden Markov. Poisson hidden Markov model is characterized by its
parameters. Model parameters are estimated using maximum likelihood method
and the expectation maximization algorithm. Poisson hidden Markov model is
then applied to the data of nosocomial infections for estimating the number of
nosocomial infections that occur. To simplify the process of estimating the
parameters, the computation conducted by using the software Mathematica 10.0.
After the model parameters are derived, observation data can be generated. The
best model obtained is 3-state Poisson hidden Markov model with root mean
square error
.
Keywords: nosocomial infections, Poisson hidden Markov model.
PEMODELAN POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL
JUNIAWAN PRASETYO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pemodelan Poisson Hidden Markov pada Infeksi Nosokomial
Nama
: Juniawan Prasetyo
NIM
: G54090059
Disetujui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Pembimbing I
Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penyusunan
karya ilmiah ini tidak terlepas dari dukungan dan bantuan dari berbagai pihak.
Pada kesempatan kali ini, penulis juga ingin mengucapkan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak dan Ibu yang saya cintai, terima kasih atas kasih sayang, didikan,
nasihat, semangat serta doa yang tiada henti-hentinya buat penulis.
2. Dr Berlian Setiawaty, MS selaku pembimbing I dan Ir N K Kutha Ardhana,
M.Sc selaku pembimbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan
dan kesabarannya dalam membimbing penulis.
3. Dr Ir I Endar H Nugrahani, M.S selaku dosen penguji. Terima kasih atas
waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.
4. Adik Rezki M Ardiyanti dan Nurul Fiandari yang selalu memberi dukungan,
doa, dan semangat kepada penulis.
5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang diberikan.
6. Seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya
dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis.
7. Keluarga besar Sosetomo dan keluarga besar Sumanto yang telah
memberikan dukungan, doa, dan semangat kepada penulis.
8. Seluruh teman-teman Matematika Angkatan 46 yang. Terima kasih atas doa,
semangat, dan dukungan yang diberikan kepada penulis.
9. Kakak-kakak Matematika Angkatan 45.
10. Adik-adik Matematika Angkatan 47.
Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari
kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu
pengetahuan khususnya Matematika.
Bogor, Februari 2015
Juniawan Prasetyo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Infeksi Nosokomial
2
Teori Peluang
2
Rantai Markov
6
Teori Pengukuran Kesalahan
8
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
8
8
Pendugaan Parameter
10
Algoritme Pemrograman
13
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA INFEKSI
NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN METHICILLIN-RESISTANT
STAPHYLOCOCCUS AUREUS
14
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus
14
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
15
Hasil Komputasi
15
SIMPULAN DAN SARAN
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
18
DAFTAR TABEL
1
Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data
bangkitan setiap state terhadap data observasi
16
DAFTAR GRAFIK
1
2
Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan
Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov
tiga state dengan data observasi
15
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya
Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
19
20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Infeksi nosokomial merupakan infeksi yang berasal dari rumah sakit. Infeksi
tersebut muncul ketika seseorang yang dirawat di rumah sakit atau setelah dirawat
memiliki gejala–gejala terinfeksi suatu penyakit. Secara umum infeksi nosokomial
terjadi ketika seseorang yang baru masuk rumah sakit dan telah terinfeksi setelah
beberapa hari dirawat di rumah sakit. Infeksi nosokomial ini dapat berasal dari
tubuh pasien sendiri atau berasal dari pasien lain.
Infeksi nosokomial berkembang dari beberapa faktor. Pertama, adanya
kekebalan dari mikroorganisme di dalam tubuh dari antibiotik. Dalam hal ini,
bakteri resisten terhadap antibiotik yang diminum oleh pasien yang terinfeksi
(Harniza 2009). Kemudian adanya penyebaran mikroorganisme antar pasien. Hal
tersebut terjadi akibat adanya kontak langsung dari seorang pasien yang terinfeksi
dengan dokter atau perawat kemudian dokter atau perawat tersebut kontak
langsung dengan pasien yang lain sehingga pasien yang lain bisa terinfeksi. Selain
itu, ada beberapa faktor yang menyebabkan seseorang terinfeksi yaitu karena
faktor alat medis.
Infeksi nosokomial menyebabkan kerugian yaitu semakin memburuknya
keadaan seorang pasien. Akibatnya seorang pasien harus lebih lama dirawat di
rumah sakit. Oleh karena itu perlu adanya pengamatan terhadap berapa banyak
mikroorganisme yang memiliki peluang untuk menginfeksi seorang pasien. Hal
tersebut bertujuan untuk membantu rumah sakit dalam menanggulangi infeksi
nosokomial.
Pengamatan data terhadap penularan bakteri patogen nosokomial biasanya
menggunakan analisis deret waktu yang pendek dengan low numbered counts dari
pasien yang terinfeksi. Namun biasanya analisis tersebut menunjukan penyebaran
yang berlebihan dan autokorelasi. Selain menggunakan metode tersebut,
pengamatan data bisa dilakukan dengan analisis model hidden Markov.
Analisis model hidden Markov merupakan metode baru dalam menganalisis
model mekanistik dari proses epidemik. Dalam menganalisis, dibuatkan model
hidden Markov yang terstruktur dengan deret waktu tertentu dari sebuah bakteri
nosokomial yang diamati (Cooper et al. 2004). Kemudian melalui analisis hidden
Markov, dapat diramalkan berapa banyak infeksi nosokomial yang mungkin
terjadi di rumah sakit.
Tujuan Penelitian
Tujuan umum karya ilmiah ini adalah memodelkan infeksi nosokomial yang
biasa terjadi di rumah sakit dengan model Poisson hidden Markov dan menduga
barisan observasi berdasarkan model Poisson hidden Markov yang diperoleh.
LANDASAN TEORI
Infeksi Nosokomial
Infeksi nosokomial adalah infeksi yang berasal dari rumah sakit, yang
awalnya tidak ada atau sedang mengalami masa inkubasi sebelum dirawat di
rumah sakit. Infeksi nosokomial juga disebabkan oleh adanya kekebalan
mikroorganisme seperti virus, jamur, dan bakteri terhadap antibiotik. Penyebaran
infeksi sendiri lebih banyak terjadi di rumah sakit. Banyak kasus penyebaran
infeksi nosokomial disebabkan karena penggunaaan alat-alat medis yang tidak
bersih. Hal tersebut mengakibatkan infeksi lebih mudah dalam penyebarannya.
Penyebaran infeksi nosokomial berasal dari pasien yang menderita suatu
penyakit. Mikroorganisme yang ada di dalam tubuh penderita menempel di alatalat medis atau di bagian tubuh tenaga medis. Mikroorganisme yang menempel di
alat-alat medis atau di bagian tubuh tenaga medis akan menempel di alat-alat
makan atau pasien lain yang tidak terinfeksi sebelumnya. Selain itu,
mikroorganisme juga bisa menginfeksi orang yang masih sehat.
Infeksi nosokomial akan menginfeksi seseorang dalam jangka waktu
tertentu. Jika mikroorganisme yang menginfeksi termasuk kuat, maka masa
inkubasinya hanya 24 jam. Tetapi dalam beberapa kasus, masa inkubasi bakteri
nosokomial di dalam tubuh rata-rata mencapai 72 jam. Beberapa faktor yang
membuat seseorang bisa terinfeksi atau tidak juga bisa tergantung sistem imun
dari orang yang terinfeksi. Selain itu faktor lainnya adalah resistensi bakteri
terhadap sistem imun dari orang yang akan terinfeksi. Jika sistem imun seseorang
yang akan terinfeksi lemah dan resistensi mikroorganisme cukup kuat, maka
orang tersebut bisa terinfeksi.
Beberapa kasus infeksi nosokomial terjadi di Indonesia. Infeksi nosokomial
ini sering terjadi di Unit Gawat Darurat (UGD). Beberapa penyebabnya adalah
penggunaan alat-alat medis yang kurang steril, tenaga medis yang kurang steril
dalam melakukan pemeriksaan, bank darah yang terkontaminasi, dan lain-lain.
Selain itu penyebabnya bisa dari dalam tubuh seseorang seperti kurang kuatnya
sistem imun seseorang.
Teori Peluang
Definisi Percobaan Acak
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua
kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui, tetapi hasilnya tidak dapat
ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak. (Ross 2000)
Definisi Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
(Ghahramani 2005)
Definisi Medan-σ
Medan-σ adalah suatu koleksi yang anggotanya himpunan bagian dari Ω serta
memenuhi syarat-syarat berikut.
3
1.
;
;
2. Jika
, maka
3. Jika
maka
, dengan
himpunan A.
(Ghahramani 2005)
menyatakan komplemen dari
Definisi Ukuran Peluang
Suatu ukuran peluang P pada
adalah suatu fungsi
yang
memenuhi syarat-syarat berikut.
1.
dan
;
2. Jika
adalah himpunan-himpunan yang saling lepas, yaitu
, untuk setiap
dengan
, maka
.
Pasangan
disebut ruang peluang. (Ghahramani 2005)
Definisi Kejadian Saling Bebas
Misalkan
adalah ruang peluang dan
. Kejadian A dan B
dikatakan saling bebas jika
. Secara umum, misalnya I
adalah himpunan indeks, himpunan kejadian
disebut saling bebas jika
untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peluang Bersyarat
Misalkan
adalah ruang peluang dan
. Jika
peluang kejadian A dengan syarat diketahui kejadian B adalah
maka
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak
Misalkan
adalah ruang peluang. Peubah acak X merupakan fungsi
di mana
untuk setiap
. Peubah acak
dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah acak tersebut
dinotasikan dengan huruf kecil. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang contoh,
adalah medan- dari
dan
adalah
himpunan berhingga. Suatu fungsi
disebut peubah acak diskret jika
memenuhi sifat untuk setiap
berlaku
(Ghahramani
2005)
Definisi Fungsi Sebaran
Misalkan
adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian
, maka peluang dari kejadian adalah
. Fungsi
disebut fungsi sebaran dari peubah acak . (Hogg et al. 2013)
4
Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak
Fungsi sebaran bersama dari dua peubah dan
yang diberikan oleh
adalah fungsi
(Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang
Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah
acak disret X adalah fungsi
yang didefinisikan oleh
untuk setiap
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersama Dua Peubah Acak Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang bersama dari
peubah acak diskret X dan Y adalah suatu fungsi
yang
didefinisikan oleh
untuk setiap
. (Grimmet
& Stirzaker 2001)
Definisi Fungsi Kerapatan Peluang Bersyarat
Jika X dan Y adalah peubah acak diskret, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat
dari X jika diberikan
dengan
untuk setiap y adalah
(Ross 2000)
Definisi Fungsi Kerapatan Marginal
Misalkan
adalah fungsi kerapatan peluang bersama dari dua peubah
acak diskret dan . Misalkan adalah himpunan nilai yang mungkin dari dan
adalah himpunan nilai yang mungkin dari Y. Selanjutnya fungsi
dan
masing-masing disebut fungsi kerapatan marginal dari
Stirzaker 2001)
dan
. (Grimmet &
Definisi Kejadian Saling Bebas
Misalkan kejadian tidak mempengaruhi kejadian dengan peluang
sedemikian sehingga peluang bersyarat
jika diketahui
adalah
maka kejadian
dan
dikatakan saling bebas. Kemudian dapat
diperoleh peluang bersamanya
dan
untuk
peluang bersyarat
jika diketahui
adalah
(Hogg et al. 2013)
5
Definisi Bebas Stokastik Identik
Misalkan
adalah barisan peubah acak yang memiliki fungsi
kerapatan yang sama, yaitu
sehingga
maka fungsi kerapatan bersamanya adalah
Peubah acak
disebut bebas stokastik identik. (Hogg et al. 2013)
Definisi Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang
maka nilai harapan dari peubah acak X adalah
(Ghahramani 2005)
Definisi Ragam
Misalkan merupakan sebuah peubah acak diskret dan
adalah
. Ragam dari
(Ghahramani 2005)
Teorema
(Ghahramani 2005)
Definisi Peubah Acak Poisson
Suatu peubah acak dengan nilai
parameter , dengan
, jika
disebut peubah acak Poisson dengan
(Ghahramani 2005)
Teorema
(Ghahramani 2005)
Teorema
Jika X adalah peubah acak yang menyebar Poisson dengan parameter , maka
(Ghahramani 2005)
.
6
Rantai Markov
Definisi Ruang State
Misalkan S adalah himpunan nilai dari barisan peubah acak, maka S disebut ruang
state. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Proses Stokastik
Proses stokastik
yang terdefinisi pada ruang peluang
adalah
suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan ruang contoh ke suatu ruang
state S sehingga untuk setiap
adalah peubah acak. Dalam hal ini,
dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak
sebagai state
(keadaan) dari proses pada waktu k. (Ross 2000)
Definisi Rantai Markov dengan Waktu Diskret
Misalkan
adalah ruang peluang dan S disebut rantai Markov dengan
waktu
diskret
jika
untuk
setiap
berlaku
untuk semua kemungkinan nilai dari
. (Ross 2000)
Definisi Matriks Peluang Transisi
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S berukuran N. Matriks
adalah matriks peluang transisi di mana
untuk semua
. Nilai
menyatakan peluang bahwa jika proses tersebut berada pada
state I maka berikutnya proses akan beralih ke state j. Karena nilai peluang adalah
tak negatif dan proses harus mengalami transisi ke suatu state, maka berlaku:
1.
, untuk semua
;
, untuk semua
.
2.
(Ross 2000)
Definisi Rantai Markov Homogen
Rantai Markov
yang terdefinisi pada
dengan ruang state S
dikatakan homogen jika
untuk semua
. Pada rantai Markov homogen, nilai
tidak bergantung pada
.
(Ross 2000)
Definisi Peluang Transisi n-step
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Peluang transisi n-step
adalah peluang suatu proses
berpindah dari state i ke state j dengan n langkah yang didefinisikan sebagai
.
(Ross 2000)
7
Definisi Terakses
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu state j disebut terakses dari state i, dinotasikan
jika ada sebuah bilangan bulat
sehingga
. (Ross 2000)
,
Definisi Berkomunikasi
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Dua state i dan state j disebut berkomunikasi, dinotasikan
, jika state i dapat diakses dari state j dan state j dapat diakses dari state i.
(Ross 2000)
Definisi Kelas State
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu kelas state adalah suatu himpunan tak kosong
sehingga semua pasangan state anggota C berkomunikasi satu dengan yang
lainnya, serta tidak ada anggota C yang berkomunikasi dengan suatu state yang
bukan anggota C. (Ross 2000)
Definisi Rantai Markov Tak Tereduksi
Suatu rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state,
yaitu jika semua state-nya berkomunikasi satu dengan yang lainnya. (Ross 2000)
Definisi Berulang
State i dari suatu rantai Markov disebut berulang (recurrent) jika
(Ross 1996)
.
Definisi Periode, Periodik, dan Aperiodik
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state S. Suatu state i disebut memiliki periode d ditulis d(i) jika d
adalah persekutuan terbesar bagi n sehingga
, dinotasikan
. Suatu state i disebut periodik jika
dan aperiodik jika
. (Grimmet & Stirzaker 2001)
Definisi Positive Recurent dan Null Recurrent
Misalkan
adalah rantai Markov yang terdefinisi pada
dengan ruang state . Suatu state disebut positive recurrent jika state tersebut
adalah recurrent serta berlaku jika proses dimulai dari state i maka nilai harapan
dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state i adalah bilangan terhingga.
State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null recurrent. (Ross 2000)
Definisi Ergodik
Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. (Ross
2000)
Teorema
Misalkan
adalah rantai Markov ergodik yang terdefinisi pada
dengan ruang state S berukuran . Misalkan
merupakan
8
matriks peluang transisi berukuran
dengan
Nilai harapan Nilai harapan dari dinotasikan
, di mana
dan
(Ross 2000)
.
yang memenuhi
Teori Pengukuran Kesalahan
Definisi Root Mean Square Error
Pengukuran kesalahan pada data duga dengan menghitung rata-rata kuadrat dari
perbedaan nilai estimasi dengan nilai observasi suatu variabel. Jika nilai RMSE
semakin kecil maka estimasi model atau variabel tersebut semakin valid. Nilai
statistik RMSE adalah
dengan merupakan nilai dari data duga pada waktu , merupakan nilai dari
data observasi pada waktu , dan merupakan banyaknya data. (Hyndman &
Koehler 2006)
MODEL POISSON HIDDEN MARKOV
Definisi Model Poisson Hidden Markov dan Karakteristiknya
Pada bab ini akan dibahas model Poisson hidden Markov (MPHM) beserta
karakteristiknya. Model Poisson hidden Markov adalah model hidden Markov
dengan waktu diskret yang terdiri atas pasangan
.
merupakan
penyebab kejadian yang tidak diamati secara langsung dan membentuk suatu
rantai Markov. Sedangkan
adalah proses observasinya yang bergantung
pada
. Jika diasumsikan untuk setiap t,
dengan diketahui
adalah
peubah acak Poisson, maka pasangan
disebut model Poisson hidden
Markov.
Karakteristik dari model Poisson hidden Markov dapat dicirikan sebagai
berikut.
1. Diasumsikan
adalah rantai Markov yang diskret, homogen, aperiodik,
dan tak tereduksi dengan ruang state
.
2. Matriks peluang state transisi
, di mana matriks berukuran
Dalam model Poisson hidden Markov peubah
yang diamati menyebar
Poisson untuk setiap . Saat
berada pada state i
, maka
sebaran bersyarat
jika diketahui
adalah peubah acak Poisson dengan
9
parameter
observasi
. Untuk setiap
, dengan
3. Vektor peluang state awal
dengan
, matriks peluang dari proses
, di mana
merupakan vektor berukuran
Karena rantai Markov
diasumsikan rantai Markov yang ergodic, maka
merupakan sebaran stasioner sehingga memenuhi persamaan
.
4. Untuk setiap
, fungsi sebaran marginal dari yaitu
Selanjutnya akan dicari nilai harapan dan ragam dari
diberikan oleh
dengan merupakan vektor yang didefinisikan sebagai
untuk ragam dari diberikan oleh
. Nilai harapan dari
. Kemudian
ar
ar
dengan merupakan diag . Dari persamaan tersebut dapat ditunjukkan bahwa
terjadinya overdispersi, yaitu
(Bukti lihat Gustra 2014)
Jadi model Poisson hidden Markov {
dan
dengan
dicirikan oleh parameter
dan
10
Pendugaan Parameter
Suatu barisan observasi
diasumsikan dibangkitkan oleh model
Poisson hidden Markov. Didefinisikan fungsi likelihood
dengan parameter
sebagai berikut
dengan
Pada subbab sebelumnya telah diketahui model Poisson hidden Markov
bergantung pada beberapa parameter. Parameter tersebut adalah vektor peluang
state awal
, matriks peluang transisi
dengan
dengan
dan peluang state dari proses observasinya
adalah vektor dari parameter yang
dan
. Misalkan
akan diduga dengan metode maksimum likelihood dengan fungsi likelihood yang
sudah didefinisikan sebelumnya dan merupakan ruang paramaternya.
Algoritma Expectation Maximization
Mendapatkan penduga maksimum likelihood secara analitik sangatlah
sulit. Oleh sebab itu, digunakanlah metode numerik untuk menemukan maksimum
likelihood. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menduga maksimum
likelihood adalah menggunakan algoritme Expectation Maximization (Algoritme
EM). Algoritme EM terdiri atas dua langkah pada setiap iterasinya. Langkah
pertama adalah langkah E yang menduga data yang tidak diamati. Setelah
pendugaan data yang tidak diamati, kemudian akan diduga parameter-parameter
pada langkah M.
Ambil
sebagai fungsi yang didefinisikan pada langkah E, yaitu
untuk setiap vektor
yang berada pada ruang parameter . Langkah-langkah
dalam algoritme EM adalah sebagai berikut. Ambil
sebagai vektor penduga
yang didapat pada iterasi kepada iterasi kelangkah E dan M didefinisikan sebagai berikut.
1. Langkah E – diberikan
, hitung
2. Langkah M – cari
untuk setiap langkah
yang memaksimumkan
.
, sehingga
11
Langkah E dan M diulang hingga
konvergen atau selisih
kurang dari galat yang diinginkan.
Teorema
untuk setiap dan bilangan kecil yang sebarang, maka
Misal
1. himpunan bagian yang terbatas dari
;
2.
kontinu di dan terturunkan di interior ;
3.
kompak untuk setiap
;
kontinu pada dan
.
4.
(Bukti lihat Paroli et al. 2000).
Jika algoritme konvergen pada iterasi ke, maka bisa dikatakan
adalah titik stasioner dan
adalah penduga
maksimum lokal dari fungsi likelihood. Dalam MPHM, parameter Poisson
harus positif dan terbatas. Akan tetapi titik stasioner yang
konvergen dalam algoritme EM belum tentu merupakan titik yang maksimum
global. Maka untuk mengidentifikasi titik yang maksimum global, penentuan titik
awal sangatlah penting.
Algoritme Forward-Backward
Algoritme forward-backward digunakan untuk menentukan peluang
munculnya barisan observasi
, yaitu
Peluang forward yang dinotasikan
adalah peluang dari observasi
dan berada pada state i di waktu t, yaitu
Prosedur algoritme forward
1. Diberikan nilai awal untuk
.
2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan
Sedangkan peluang backward yang dinotasikan
adalah peluang observasi
parsial
dan berada pada state i di waktu t, yaitu
Prosedur algoritme backward
1. Diberikan nilai awal untuk
.
12
2. Dengan cara induksi akan diperoleh
dengan
(Bukti lihat MacDonald & Zucchini 1997; Wijayanti 2010)
Re-estimasi Parameter
Pada tahap ini, akan dimaksimumkan peluang observasi
untuk memperoleh nilai parameter model Poisson hidden Markov
yang dapat dengan baik mendeskripsikan rangkaian observasi yang
, maka dapat
terjadi. Dengan memaksimumkan fungsi yaitu
pada langkah E pada
meningkatkan nilai fungsi likelihood. Fungsi
iterasi kepada algoritma EM adalah
(Bukti lihat Gustra 2014)
di mana
dan
nilainya didapatkan berdasarkan formula dari
persamaan
,
,
,
, dan
, masing-masing persamaan berdasarkan
nilai dari parameter
yang didapat pada iterasi ke- , sedangkan untuk
didapat dari persamaan
. Berdasarkan asumsi,
memuat
untuk setiap
informasi tentang matriks peluang transisi , karena
Menurut Basawa dan Rao (1980), untuk T yang sangat besar, pengaruh dari
bisa diabaikan. Sehingga pada langkah M pada iterasi ke, untuk
mendapatkan
, penjumlahan pertama pada formula
dapat dilewati pada
. Penduga maksimum likelihood
yang
saat memaksimumkan
didapat pada iterasi kedengan algoritme EM, yaitu
untuk setiap state i dan state j pada rantai Markov
maksimum likelihood yang didapat pada iterasi ke-
untuk setiap state i pada rantai Markov
. Sedangkan penduga
, yaitu
. (Bukti lihat Gustra 2014)
13
Algoritme Pemrograman
Diketahui barisan data
. Akan diduga parameter model Poisson
Hidden Markov
yang memaksimumkan fungsi likelihood. Algoritme
yang digunakan adalah sebagai berikut:
Langkah 1:
Input data
dengan banyaknya data .
Langkah 2:
Input kode untuk mencari yang memenuhi syarat
.
Input kode untuk mencari
secara acak, di mana
dan
,
.
memenuhi syarat
Input kode untuk mencari secara acak, di mana
dan memenuhi
syarat
,
.
Input kode untuk menentukan kelas dari proses yang lebih spesifik.
Input kode untuk formula Root Mean Square Error (RMSE).
Langkah 3:
Tetapkan nilai SeedRandom agar nilai tidak berubah.
Bangkitkan untuk
.
Masukkan nilai parameter awal untuk
yaitu
pada fungsi
HiddenMarkovProcess yang telah ada pada perangkat lunak Mathematica 10.0.
Fungsi HiddenMarkovProccess merupakan fungsi yang sudah ada di
Mathematica 10.0 yang digunakan untuk memasukkan parameter awal.
Langkah 4:
Estimasi proses dari fungsi HiddenMarkovProcess yang sudah diisi dengan
nilai awal parameter menggunakan fungsi EstimatedProcess yang telah ada
pada perangkat lunak Mathematica 10.0. Fungsi EstimatedProcess merupakan
fungsi yang sudah ada di Mathematica 10.0 yang digunakan untuk menduga
suatu proses dari data yang sudah diperoleh.
Langkah 5:
Mencari nilai loglikelihood dari model yang telah didapat dari fungsi
EstimatedProcess dengan fungsi.
Langkah 6:
Tetapkan nilai SeedRandom agar barisan data bangkitan
tetap.
Bangkitkan barisan data bangkitan
berdasarkan model estimasi yang
didapat.
Langkah 7:
Hitung besaran error dari barisan data bangkitan
dengan RMSE.
Kembali ke langkah 3, lakukan untuk
.
terhadap data observasi
14
Untuk
, bandingkan nilai RMSE
dengan
lebih kecil dari
, kembali ke langkah 3.
Berhenti ketika nilai RMSE
lebih kecil dari .
. Jika nilai RMSE
APLIKASI MODEL POISSON HIDDEN MARKOV PADA
INFEKSI NOSOKOMIAL YANG DISEBABKAN
METHICILLIN-RESISTANT STAPHYLOCOCCUS AUREUS
Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus dan Data infeksi Methicillinresistant Staphylococcus Aureus
Methicilin merupakan antibiotik yang digunakan sebagai terapi pasien
dengan infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus. Semakin bertambah
jumlah infeksi penicillin-resistant Staphylococcus aureus maka semakin
meningkat pula penggunaan methicillin oleh pasien. Hal tersebut mengakibatkan
munculnya bakteri yang resisten terhadap antibiotik methicillin.
Methicillin-resistant Staphylococcus aureus (MRSA) merupakan bakteri
yang sering ditemukan pada pasien di rumah sakit. Methicillin-resistant
Staphylococcus aureus merupakan bakteri primer penyebab infeksi nosokomial,
terutama pada pasien usia tua yang dirawat di rumah sakit atau Intensive Care
Unit (ICU). Namun beberapa dekade ini ditemukan MRSA di luar rumah sakit
(comummunity-associated MRSA/CA-MRSA) dan pasien yang tidak memiliki
riwayat pernah dirawat atau terpapar di unit kesehatan lain. CA-MRSA
menyebabkan infeksi kulit dan jaringan lunak, pustolosis, furunkulosis, maupun
abses. Laporan yang telah ditemukan mengungkapkan bahwa ada juga pasien
pneumonia berat yang diakibatkan CA-MRSA. Tentunya semenjak dilaporkan
kasus infeksi CA-MRSA unit pelayanan kesehatan dan rumah sakit sudah terpapar
oleh bakteri ini (Harniza 2009).
MRSA sama seperti bakteri Staphylococcus yang menginfeksi pada bagian
kulit dan saluran pernapasan. Pada umumnya ciri-ciri seseorang telah terinfeksi
adalah munculnya benjolan yang menyerupai jerawat, bisul, atau gigitan laba-laba.
Kemudian benjolan tersebut bisa menyakitkan yang membutuhkan pembedahan.
Kadang-kadang infeksi juga dapat masuk ke dalam tubuh dan mengancam nyawa,
misalnya menyebabkan infeksi pada tulang, sendi, luka bedah, aliran darah, katup
jantung, dan paru-paru.
Cara pencegahan penularan infeksi MRSA sangat mudah. Alkohol 70%
dapat efektif sebagai sanitasi pencegahan penularan infeksi MRSA. Kemudian
dengan pembersihan rutin ruang-ruang rawat dengan Nonflammable Alcohol
Vapor in CO2 (NAV-CO2) system yaitu zat yang sering digunakan untuk sanitasi
ruangan pasien dengan MRSA. Selain itu para pengunjung juga selalu cuci tangan
dengan sabun ketika pulang dari rumah sakit.
Pengobatan dari infeksi MRSA dapat dilakukan dengan penggunaan
antibiotik selain jenis penicillin beserta turunannya seperti methicillin,
dicloxacillin, nafcillin, dan oxacillin. Tetapi dalam beberapa kasus, antibiotik
mungkin tidak diperlukan. Terkadang dokter hanya menguras abses dangkal yaitu
15
suatu cairan nanah akibat reaksi pertahanan tubuh terhadap benda asing yang
terlihat.
Data yang digunakan pada skripsi ini didapat dari ICARE (Intensive Care
Antimicrobial Resistance Epidemiology) project, sebuah studi pengamatan di
dalam Intensive Care Units (ICUs) dari bulan April 1998 sampai dengan Oktober
2005 (Cooper et al. 2004). Pengamatan tersebut dilakukan di 41 rumah sakit di
Amerika. Tujuan dari pengamatan tersebut adalah untuk mengetahui berapa
banyak pasien yang terinfeksi bakteri nosokomial per bulan.
9
8
Banyaknya infeksi
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Bulan ke-
Grafik 1 Grafik banyaknya infeksi nosokomial per bulan
Pemodelan Infeksi Nosokomial dengan Model Poisson Hidden Markov
Diasumsikan kedatangan barisan data infeksi dibangkitkan berdasarkan
pengaruh dari proses penyebab kejadian yang membentuk rantai Markov dan
tidak diamati secara langsung. Faktor-faktor yang menyebabkan terjadinya infeksi
nosokomial di rumah sakit diasumsikan sebagai state dari suatu rantai Markov
yang dinotasikan dengan
. Data observasi banyaknya infeksi diasumsikan
menyebar Poisson dan mengalami overdispersi yang dinotasikan dengan
.
Jika diasumsikan untuk setiap t, diketahui dengan diketahui adalah peubah
acak Poisson, maka pasangan
disebut model Poisson hidden Markov.
Hasil Komputasi
Dari algoritme pemrograman dibuat program komputasi dengan
menggunakan perangkat lunak Mathematica 10.0.
Berdasarkan fungsi EstimatedProcess, banyaknya state yang dapat
diestimasi adalah 4 state. Nilai kesalahan yang didapat dari Root Mean Square
Error (RMSE) dan nilai loglikelihood dapat dilihat pada Tabel 1.
16
Loglikelihood
RMSE
1
-121.521
1.5239
2
3
-97.8056
-95.3273
1.3663
1.2953
4
-93.9389
1.3944
Tabel 1 Nilai loglikelihood dan nilai kesalahan berdasarkan barisan data bangkitan
setiap state terhadap data observasi
Dari nilai yang ditunjukkan pada Tabel 1, model Poisson hidden Markov
tiga state atau
memiliki kesalahan terkecil dibandingkan dengan model
Poisson hidden Markov dengan
. Nilai kesalahan untuk
berdasarkan
RMSE adalah
.
Matriks peluang transisi untuk
yang didapat dari proses estimasi,
yaitu:
di mana
merupakan peluang penyebab infeksi nosokomial. Dapat dilihat
peluang infeksi setelah datangnya infeksi yang disebabkan oleh state 1 akan
kembali terjadi lagi oleh penyebab state 1 sebesar
. Terdapat peluang
bahwa akan terjadi infeksi yang disebabkan pada state 2 setelah
terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 1 dan seterusnya hingga peluang
akan terjadinya infeksi yang disebabkan oleh state 3 setelah terjadinya infeksi
yang disebabkan oleh state 3.
Berdasarkan matriks peluang transisi yang didapat setelah proses estimasi,
peluang vektor awal yang memenuhi syarat
, yaitu:
di mana peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state 1 adalah
, peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan oleh state
2 adalah
, peluang terjadinya infeksi pertama yang disebabkan
oleh state 3 adalah .
Vektor penduga parameter Poisson yang didapat dari proses estimasi, yaitu:
di mana dari vektor tersebut diduga akan terjadi infeksi yang disebabkan
state 1 dengan laju
per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan
state 2 dengan laju
per bulan, akan terjadi infeksi yang disebabkan state
1 dengan laju
per bulan.
Dari parameter yang telah didapat dari proses estimasi untuk
yaitu
matriks peluang transisi , vektor peluang awal , dan vektor parameter Poisson
, telah dibangkitkan barisan data berdasarkan proses estimasi yang dapat dilihat
pada Gambar 2. Dari Gambar 2 dapat dilihat infeksi terbanyak adalah lima infeksi
per bulan pada bulan ke-41 dan bulan ke-42. Untuk paling sedikit infeksi adalah
nol atau tidak ada infeksi per bulan. Rata-rata terjadinya infeksi nosokomial pada
data dugaan adalah
per bulan. Dari Gambar 2 dilihat beberapa bulan
tidak terdapat infeksi nosokomial. Hal tersebut sama dengan data observasinya
yang terdapat beberapa bulan tidak ada infeksi nosokomial.
17
9
8
7
Banyaknya Infeksi
6
5
data dugaan
4
data observasi
3
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Bulan ke-
Grafik 2 Perbandingan data dugaan berdasarkan model Poisson hidden Markov
tiga state dengan data observasi
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model Poisson hidden Markov digunakan untuk memodelkan banyaknya
infeksi nosokomial yang terjadi pada 41 rumah sakit di Amerika per bulan dari
April 1998 sampai dengan Oktober 2005. Berdasarkan pengukuran kesalahan dari
RMSE diperoleh model Poisson hidden Markov yang terbaik adalah 3 state. Nilai
kesalahan berdasarkan RMSE yang didapat adalah
. Dari data dugaan
didapat infeksi terbanyak adalah 5 infeksi per bulan dan paling terkecil adalah
tidak terjadi infeksi. Rata-rata infeksi nosokomial per bulan pada data dugaan
adalah
per bulan.
Saran
Model Poisson hidden Markov pada karya ilmiah belum secara realistik
memodelkan data infeksi nosokomial yang terjadi. Selain itu data yang digunakan
adalah data dari rumah sakit yang ada di Amerika sehingga masih belum diketahui
apakah model ini cocok untuk data rumah sakit yang ada di Indonesia. Oleh sebab
itu karya ilmiah ini masih memungkinkan untuk dilanjutkan dengan membuat
model deret waktu Poisson hidden Markov waktu sebelumnya dan dengan
menggunakan data terbaru yang ada di Indonesia.
18
DAFTAR PUSTAKA
Basawa IV, Rao BLSP. 1980. Statistical Inference for Stochastic Processes.
London: Academic Press.
Cooper B, Lipsitch M. 2004. The Analysis of hospital infection data using hidden
Markov models. Biostatistics, 5:223-237.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed ke-2. New Jersey: Prentice
Hall.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed ke-3.
Oxford: Clarendon Press.
Gustra H. 2014. Pemodelan Klaim Asuransi Kerugian Menggunakan Poisson
Hidden Markov untuk Data Overdispersi. [Skripsi] IPB.
Harniza Y. 2009. Pola Resistensi Bakteri yang Diisolasi dari Bangsal Bedah
Rumah Sakit Umum Pusat Nasional Cipto Mangunkusumo pada Tahun 20032006. [Skripsi] Universitas Indonesia.
Hyndman RJ, Koehler AB. 2006. Another look at measures of forecast accuracy.
International Journal of Forecasting, 22:679-688.
Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2013. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-7. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey.
MacDonald IL, Zucchini W. 1997. Hidden Markov and Other Models for
Discrete-valued Time Series. London: Chapman & Hall.
Paroli R, Redaelli G, Spezia L. 2000. Poisson hidden Markov models for time
series of overdispersed insurance counts. Astin Colloquium: 461-474.
Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York: John Wiley & Sons.
Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. Burlington:
Academic Press.
Wijayanti H. 2010. Kajian Model Hidden Markov Diskret dengan Algoritme
Rabiner dan Aplikasinya pada DNA. [Tesis] IPB.
19
Lampiran 1 Data infeksi observasi Methicillin-resistant Staphylococcus Aureus
beserta data dugaannya
Bulan ke Data Observasi
1
1
2
0
3
1
4
8
5
3
6
5
7
0
8
1
9
3
10
0
11
3
12
3
13
1
14
4
15
0
16
0
17
0
18
0
19
0
20
0
21
2
22
2
23
2
24
0
25
0
26
0
27
0
28
0
29
0
30
0
31
0
32
0
33
0
34
2
35
1
36
2
37
1
38
2
39
1
Data Dugaan
3
3
2
1
3
1
0
1
1
2
2
4
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
1
0
3
2
Bulan ke
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
Data Observasi
2
2
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
Data Dugaan
1
5
2
5
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
Bulan ke
79
80
81
82
83
84
Data Observasi
0
2
0
1
1
0
Data Dugaan
0
0
1
0
0
0
Bulan ke
85
86
87
88
89
90
Data Observasi
2
0
0
0
0
1
Data Dugaan
0
0
0
0
0
0
Dari data tersebut didapat
dan
. Dari kedua hasil
tersebut dapat disimpulkan bahwa data tersebut overdispersi. Kemudian yang
berlabel warna kuning merupakan perbedaan nilai antara data observasi dengan
data dugaan.
Lampiran 2 Program untuk mencari parameter menggunakan Mathematica 10.0
21
22
23
24
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Gunung Kidul pada tanggal 4 Juni 1991 dari ayah
Subardiyono dan ibu Sugiyanti. Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan
beragama Islam. Penulis adalah putra pertama dari dua bersaudara. Tahun 2003
penulis lulus dari SD Negeri 01 Pondok Jaya Tangerang Selatan, tahun 2006
penulis lulus dari SMP Negeri 12 Tangerang Selatan dan tahun 2009 penulis lulus
dari SMA Negeri 4 Tangerang Selatan. Pada tahun yang sama penulis lulus
seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi
Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika
FMIPA IPB.
Penulis juga aktif sebagai staf Divisi Kesekretariatan himpunan profesi
Matematika GUMATIKA IPB 2010/2011 dan staf Divisi Komunikasi dan
Publikasi GUMATIKA IPB 2011/2012. Selain itu, penulis juga aktif dalam
mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan Pesta Sains Nasional 2010/2011 sebagai
staf Divisi Kesekretariatan, Pesta Sains Nasional 2011/2012 sebagai staf Divisi
Kesekretariatan, dan IPB Mathematics Challenge (IMC) 2011/2012 sebagai ketua
Divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi.