Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman Menggunakan Metode Spektral Homotopi
PENYELESAIAN MASALAH ROTASI ALIRAN FLUIDA
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN METODE
SPEKTRAL HOMOTOPI
PARARAWENDY INDARJO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman Menggunakan Metode Spektral
Homotopi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2015
Pararawendy Indarjo
NIM G54110002
ii
ABSTRAK
PARARAWENDY INDARJO. Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental
Von Karman Menggunakan Metode Spektral Homotopi. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Masalah rotasi aliran fluida kental Von Karman sering muncul pada masalah
rotasi bahan bakar pesawat ruang angkasa yang diluncurkan oleh NASA.
Pengendalian besaran kecepatan rotasi pada aliran Von Karman penting dilakukan.
Persamaan yang menjelaskan rotasi aliran pada fluida kental yang disebabkan oleh
cakram yang berputar terus-menerus adalah persamaan Von Karman. Pada karya
ilmiah ini, pendekatan analitik untuk menyelesaikan persamaan Von Karman
dilakukan dengan metode spektral homotopi. Dalam metode ini, dikombinasikan
metode spektral dan metode homotopi. Sebagaimana metode homotopi, diperlukan
parameter bantu untuk mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaian
yang dihasilkan merupakan suatu rumus rekursif dengan suatu hampiran awal yang
diberikan. Menggunakan perangkat lunak berbasis fungsional, diperoleh penyelesaian
berupa besaran komponen kecepatan yang konvergen ke suatu nilai.
Kata kunci: persamaan Von Karman, metode spektral homotopi, masalah taklinear
ABSTRACT
PARARAWENDY INDARJO. Solution of Von Karman Rotation Viscous Fluid
Flow Problem using Spectral Homotopy Method. Supervised by JAHARUDDIN
and ALI KUSNANTO.
Von Karman viscous fluid flow rotation problem appears frequently on
spacecraft’s fuel rotation problem launched by NASA. The control of speed
magnitude is important to be performed. The equation which explains viscous
fluid flow rotation induced by infinite disk rotation is Von Karman equation. In
this work, an analytic approximation solution of this equation is obtained by
spectral homotopy method. This method consists of a combination between
spectral method and homotopy method. In homotopy method, an embedded
parameter is needed to control the solution’s convergence region. The solution of
this problem is then expressed in term of a recursive formula with a given initial
approximation. Using functional-based software, it is shown that velocity
components converge to a particular value.
Keywords: Von Karman equation, spectral homotopy method, nonlinear problem
iii
PENYELESAIAN MASALAH ROTASI ALIRAN FLUIDA
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN METODE
SPEKTRAL HOMOTOPI
PARARAWENDY INDARJO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah metode penyelesaian sistem persamaan
diferensial, dengan judul Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von
Karman Menggunakan Metode Spektral Homotopi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin MS dan Bapak
Drs Ali Kusnanto MSi selaku pembimbing, serta kepada Ibu Elis Khatizah SSi
MSi selaku dosen penguji. Penghargaan tertinggi penulis berikan kepada kedua
orang tua beserta seluruh keluarga, atas segala doa dan dukungan yang tak ternilai
harganya. Di samping itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada seluruh
rekan di Departemen Matematika, terutama angkatan 48, atas kebersamaan dalam
lebih dari tiga tahun ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2015
Pararawendy Indarjo
i
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
iii
DAFTAR LAMPIRAN
iii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Navier Stokes
2
Metode Homotopi
4
Metode Mean Weight Residual
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi Metode
Studi Kasus
SIMPULAN DAN SARAN
7
8
12
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
28
ii
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Domain fluida dalam koordinat silinder
Penentuan nilai parameter berdasarkan kurva ℎ′
Penentuan nilai parameter c berdasarkan kurva g'
Kurva terhadap dengan = −
Kurva terhadap dengan = −
3
12
13
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan persamaan (10)-(11)
Penurunan persamaan (56)-(59)
Penurunan persamaan (65)-(68)
Penurunan persamaan (74)-(76)
18
20
22
27
iii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rotasi aliran fluida kental Von Karman merupakan masalah yang terkenal
dalam mekanika fluida. Salah satu aplikasinya adalah rotasi bahan bakar pesawat
ruang angkasa yang diluncurkan oleh NASA. Rotasi aliran fluida kental Von
Karman digunakan untuk menganalisis karakteristik bahan bakar pesawat ruang
angkasa yang mudah terbakar dalam keadaan sedikit gravitasi. Kecepatan rotasi
bahan bakar sangat memengaruhi timbulnya percikan api pada media bahan bakar.
Aliran Von Karman mengontrol besaran kecepatan rotasi agar bahan bakar tidak
menimbulkan percikan api yang dapat memengaruhi media bahan bakar (Williams
dan Nayagam 2002). Secara umum, persamaan Von Karman menjelaskan tentang
aliran fluida kental yang disebabkan oleh cakram yang berputar terus-menerus.
Dengan menganggap aliran tunak dan laminar, aliran fluida kental taktermampatkan ini berputar terus-menerus di atas cakram dengan suatu kecepatan
sudut. Persamaan gerak dari fluida ini dinyatakan dalam persamaan kontinuitas
dan persamaan Navier-Stokes dengan suatu kondisi batas tertentu. Von Karman
mengubah persamaan diferensial parsial pada persamaan kontinuitas dan
persamaan Navier-Stokes menjadi persamaan diferensial biasa menggunakan
suatu transformasi (Liao 2004).
Pada kenyataannya, persamaan rotasi aliran fluida kental Von Karman
merupakan persamaan taklinear yang masih sulit untuk ditemukan penyelesaian
eksaknya. Beberapa peneliti telah menggunakan pendekatan numerik atau
kombinasi analitik dan numerik untuk menyelesaikan masalah tersebut,
diantaranya metode pendekatan numerik untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman (Benton 1966), metode homotopi (Liao 2004), dan metode homotopi
tetapi dengan pendekatan deret polinomial (El-Nahhas 2007).
Di sisi lain, terdapat metode spektral yang juga dapat digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Metode ini telah digunakan peneliti
untuk menyelesaikan berbagai permasalahan diferensial. Beberapa diantaranya
adalah analisis kestabilan arus fluida yang berputar (Khorrami et al. 1989),
penentuan penyelesaian numerik dari persamaan Navier-Stokes pada aplikasi
aliran Taylor-Coutte (Moser et al. 1983), dan penyelesaian persamaan
Schrodinger (Feit et al. 1982).
Di dalam karya ilmiah ini, dibahas penyelesaian masalah rotasi aliran
fluida kental menggunakan metode spektral homotopi. Metode ini adalah
modifikasi dari metode homotopi dengan penyelesaian persamaan deformasi di
masing-masing orde ditentukan menggunakan metode spektral.
Perumusan Masalah
Persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes pada rotasi aliran
fluida kental Von Karman merupakan sistem persamaan diferensial taklinear yang
dinyatakan dalam koordinat silinder. Belum ditemukannya penyelesaian eksak
dari persamaan ini hingga kini menjadi salah satu bukti kompleksnya
penyelesaian persamaan. Dalam skripsi ini, akan digunakan metode spektral
2
homotopi untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan dari persamaan tersebut.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang akan diterapkan pada analisis
homotopi.
Tujuan Penelitian
Penelitian dalam karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1. Mengkonstruksi ulang penurunan persamaan kontinuitas fluida dan
persamaan Navier-Stokes dalam sistem koordinat silinder yang merupakan
persamaan Von Karman.
2. Menggunakan metode spektral homotopi untuk menyelesaikan persamaan
Von Karman.
3. Menggambarkan kurva penyelesaian persamaan Von Karman dengan
perangkat lunak berbasis fungsional, kemudian memberikan tafsiran
terhadap hasil-hasil tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam penelitian ini, model matematis yang ditinjau adalah persamaan
Von Karman. Persamaan ini diturunkan dari persamaan Navier Stokes yang
diuraikan berikut ini.
Persamaan Navier Stokes
Persamaan Navier-Stokes diturunkan berdasarkan persamaan gerak pada
fluida. Persamaan gerak ini berpadanan dengan kekekalan momentum yang
menyatakan bahwa rata-rata perubahan momentum merupakan selisih antara ratarata momentum yang masuk dengan rata-rata momentum yang keluar kemudian
dijumlahkan dengan jumlah gaya-gaya yang terjadi pada sistem.
Penurunan persamaan Navier-Stokes dilakukan dengan asumsi-asumsi
sebagai berikut:
1. Fluida memiliki koefisien kekentalan yang konstan.
2. Fluida memiliki sifat tak termampatkan.
3. Kecepatan aliran fluida pada suatu titik tidak bergantung terhadap waktu
(tunak).
4. Aliran fluida bersifat kontinu dan tidak saling berpotongan (laminar).
5. Gaya gravitasi diabaikan.
Berdasarkan asumsi di atas, persamaaan Navier-Stokes dituliskan dalam
persamaan vektor (Streeter dan Wiley 1985) berikut:
��
= � � − �̃
(1)
�
dengan � = , ,
adalah vektor kecepatan dengan , , dan berturut-turut
adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu , , dan . Selanjutnya, �, �̃, dan
3
� berturut-turut merupakan rapat massa fluida, tekanan fluida, dan koefisien
�
kekentalan kinematik. Kemudian, didefinisikan operator sebagai berikut
�
��
��
��
��
��
(2)
= +
+
+
.
�
�
�
�
�
Berdasarkan asumsi bahwa kecepatan aliran fluida bersifat tunak, � tidak
bergantung pada t. Akibatnya, suku pertama di ruas kanan persamaan (2) akan
bernilai nol, atau
��
��
��
��
(3)
=
+
+
.
�
�
�
�
Berdasarkan persamaan (3), persamaan (1) dapat diuraikan menjadi:
[
[
[
�
�
�
�
�
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
] = �[
] = �[
�
�
�
�
�
] = �[
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
�
+
�
]−
]−
]−
��̃
�
��̃
�
,
,
��̃
�
(4)
(5)
.
(6)
Di sisi lain, tinjau persamaan kontinuitas fluida yang diberikan sebagai
berikut
�
= −� . � .
(7)
�
Berdasarkan asumsi bahwa fluida bersifat tak termampatkan, ruas kiri persamaan
(7) akan bernilai nol. Kemudian, karena � bernilai positif, persamaan (7) dapat
ditulis sebagai berikut
.� =
atau
�
�
�
(8)
+
+
= .
�
�
�
Elemen volume yang dilalui fluida dapat berbentuk sebarang. Tinjau fluida
dalam bentuk silinder dengan bagian alas ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Domain fluida dalam koordinat silinder
Selanjutnya, persamaan kontinuitas fluida pada persamaan (8) akan
dinyatakan dalam koordinat silinder. Sistem koordinat silinder dinyatakan sebagai
pasangan terurut , , . Transformasi koordinat kartesian menuju koordinat
silinder diberikan sebagai berikut
= cos ,
(9)
= sin .
4
Jika transformasi variabel pada persamaan (9) dan aturan rantai digunakan,
maka akan diperoleh persamaan berikut
� = cos + sin ,
(10)
� = − sin + cos ,
dengan � dan � berturut-turut menyatakan komponen kecepatan dalam arah
dan . Selanjutnya, dengan menggunakan transformasi (9) dan persamaan (10),
diperoleh persamaan (8) dalam koordinat silinder sebagai berikut
��
� �
��
(11)
+
+
= ,
�
�
�
dengan � adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu . Penurunan
persamaan (10) dan (11) diberikan pada Lampiran 1.
Tinjau kembali persamaan Navier-Stokes dalam koordinat kartesian yang
diberikan pada persamaan (4)-(6). Dengan cara yang serupa pada penurunan
persamaan (11), diperoleh persamaan Navier-Stokes yang dinyatakan dalam
koordinat silinder sebagai berikut:
�
���
�
+�
�
���
�
�
���
�
+�
���
�
−
���
�
+�
��
+
���
�
� ��
= �[�
�� ��
= �[
� ��
= �[�
+
���
+
���
� ��
�
�
+
�
+
� ��
�
���
+
�
� ��
+
�
−
��
]−
� ��
�
]−
−
��̃
�
.
��̃
��
�
],
,
(12)
(13)
(14)
Persamaan (11)-(14) akan diselesaikan dengan metode spektral homotopi. Konsep
metode homotopi diberikan sebagai berikut.
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep metode homotopi yang disarikan dari
(Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut
(15)
]= ,
�[
dengan N operator turunan, t variabel bebas dan u(t) fungsi yang akan ditentukan.
Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear L yang memenuhi
(16)
L[ f] = 0, bila f = 0.
Misalkan
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan
(15) dan q [0,1] suatu parameter. Didefinisikan suatu fungsi H sebagai berikut
] + �[�].
[�; ] = − �[� −
(17)
Berdasarkan persamaan (17), untuk q = 0 dan q = 1 masing-masing memberikan
persamaan berikut:
[� ; ; ] = �[� ; −
]
dan
[� ; ; ] = �[� ; ].
Menurut persamaan (15)-(17) diperoleh bahwa fungsi � ; =
dan
� ; =
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
[� : ; ] = dan [� : ; ] = .
Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 sampai 1 menyatakan perubahan nilai
] ke �[�]. Dalam topologi hal ini disebut deformasi.
[�, ] dari �[� −
Perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan
deformasi orde nol berikut
]=
�[� ; ],
− �[� ; −
(18)
5
adalah pendekatan awal,
dan B(t) masing-masing merupakan
dengan
parameter bantu dan fungsi bantu. Jika q = 0 dan q = 1, maka dari persamaan (18)
akan diperoleh � ; =
dan �[� ; = ]. Selanjutnya, karena
parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka � ; memetakan dari penduga awal
ke penyelesaian eksak u(t). Dengan menggunakan konsep deret Taylor,
� ; dapat diuraikan menjadi
+ ∑+∞
� ; =
=
(19)
dengan
� � ;
=
| .
! �
=
Kemudian dengan menurunkan persamaan (18) terhadap q hingga n kali
serta mengevaluasi pada q = 0 dan dibagi dengan n! akan diperoleh bentuk
persamaan orde ke-n berikut
]=
[⃗ − , ]
−
�[
(20)
−
dengan
[⃗
Untuk
−
, ]=
− !
� �− �[� ; ,ℎ,� ]
� �−
,
, > .
= , maka persamaan (19) menjadi
� ;
=
={
+∞
+∑
=
|
=
(21)
(22)
.
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dengan
dan
, n = 1, 2, 3, … yang akan ditentukan.
pendekatan awal
, n = 1, 2, 3, … diperoleh dari persamaan (20)
Penyelesaian pendekatan
dengan terlebih dahulu menentukan operator linear L. (Liao 2004).
Metode spektral homotopi adalah gabungan antara metode homotopi dan
metode spektral. Metode spektral adalah salah satu bentuk khusus dari metode
mean weight residual yang diberikan sebagai berikut.
Metode Mean Weight Residual
Metode Mean Weight Residual (selanjutnya disingkat MWR) adalah
metode yang umum digunakan untuk mendapatkan penyelesaian persamaan
diferensial. Penyelesaian yang akan ditentukan diuraikan dalam bentuk deret dari
fungsi-fungsi basis yang dapat ditentukan berdasarkan persamaan diferensial
sedemikian sehingga diperoleh penyelesaian persamaan diferensial tersebut.
Misalkan diberikan suatu masalah nilai batas sebagai berikut:
,
= ; ,
Ω
(23)
�� ��
, , ,
= ; ,
Γ, batas dari Ω.
�
�
Misalkan penyelesaian masalah nilai batas (23) diambil dalam bentuk
=
�
+∑
=
,
(24)
dengan fungsi diatur agar memenuhi kondisi batas. Selanjutnya fungsi pada
persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial untuk membentuk
sisaan
6
, ,
=
�
+∑
=
.
(25)
Jika sisaan (25) bernilai nol, maka fungsi pada persamaan (24) adalah
penyelesaian eksak. Dalam MWR konstanta ditentukan sedemikian sehingga
rata-rata sisaan (25) menjadi nol. Integral terboboti dari sisaan diatur menjadi nol:
(26)
, = ∫�
�=
= , , … , �.
Berdasarkan persamaan (26), maka persamaan (25) dapat ditulis sebagai
berikut
�
atau
,
∑
=
�
∑
=
=−
=
,
,
,
dengan
=
,
,
=− ,
. Karena fungsi
dan
diketahui
dan fungsi pembobot
telah didefinisikan,
dapat dibalik untuk mendapatkan
, yang akhirnya memberikan pendekatan penyelesaian persamaan (23).
Terdapat banyak cara untuk memilih fungsi pembobot dan setiap pilihan
bersesuaian pada kriteria tertentu MWR. Domain Ω dibagi ke dalam � subdomain
yang lebih kecil, Ω , maka salah satu cara mendefinisikan
adalah sebagai
berikut
,
Ω
={
,
Ω.
Seiring dengan bertambahnya �, persamaan diferensial (23) terpenuhi
secara rata-rata dalam subdomain yang semakin kecil, dan dapat dianggap
mendekati nol dimana-mana.
Dalam perkembangannya, MWR dikembangkan ke dalam beberapa
metode yang lebih spesifik. Diantaranya adalah metode collocation, Galerkin, dan
spektral.
Pada metode collocation, fungsi pembobot dipilih sebagai fungsi delta Dirac
= �( − ),
yang memenuhi kondisi berikut
∫
�
� = | �,
sehingga sisaan bernilai nol pada sejumlah � tertentu titik-titik collocation .
Saat � meningkat, sisaan akan bernilai nol di semakin banyak titik dan dapat
dianggap mendekati nol di mana-mana.
Pada metode Galerkin, fungsi pembobot dipilih sama dengan fungsi basis,
= . Fungsi basis harus dipilih sebagai anggota-anggota dari himpunan fungsi
yang lengkap. Sebuah himpunan fungsi { } disebut lengkap jika fungsi manapun
dari kelas yang diberikan dapat diuraikan dalam suku-suku dari himpunan tersebut,
=∑
. Sehingga deret dalam persamaan (24) dapat merepresentasikan
penyelesaian eksak yang ingin ditentukan. Selanjutnya, metode Galerkin
7
memaksa sisaan menjadi nol dengan membuatnya ortogonal terhadap setiap
anggota dari fungsi himpunan lengkap (saat � → ∞) (Finlayson 1972).
Metode terakhir, metode spektral, dikembangkan berdasarkan konsep
bahwa dalam MWR, penyelesaian
, diuraikan dalam deret berikut
,
∞
=∑
(27)
=
dengan menjadi koefisien urai dan
adalah himpunan fungsi basis yang saling
ortogonal. Pada praktiknya, ekspresi deret
dijumlahkan hingga batas �
tertentu dan fungsi basis yang umum digunakan adalah polinomial Chebyshev
atau Legendre (Ogundare 2009).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Tinjau persamaan Von Karman untuk tunak, berlapis, simetrik terhadap
pusat koordinat yang terinduksi oleh cakram putar tunak takhingga dengan
kecepatan sudut Ω berpusat di sumbu-z pada fluida terisolasi pada separuh-ruang
> di atas cakram. Persamaan Von Karman dalam koordinat silinder , ,
adalah persamaan (11)-(14) dengan kondisi batas yang rata dan licin pada cakram
dan kondisi batas di ketakhinggaan berikut
� = Ω � = � = , saat = ,
(28)
� =� = ,
saat = +∞,
dengan � adalah kerapatan fluida, � adalah koefisien kekentalan kinematik, �̃
adalah tekanan, � , � , dan � secara berurut adalah komponen kecepatan dalam
arah jari-jari , sudut , dan sumbu- , serta Ω adalah konstanta kecepatan sudut.
Langkah pertama yang akan dilakukan adalah penyederhanaan persamaan
(11)-(14). Untuk itu, digunakan transformasi Von Karman berikut:
� = �
,
� = �
,
(29)
̃
,
� = −���� ,
� = √��
dengan = √�/� besaran nondimensional yang menyatakan jarak sepanjang
sumbu rotasi.
Jika transformasi (29) digunakan, maka persamaan (11)-(14) menjadi
persamaan diferensial biasa berikut:
′′
(30)
− ′
−
+
= ,
′′
′
(31)
−
−
= ,
′′
′
′
(32)
−
+�
= ,
′
+
= .
(33)
Kondisi batas (28) menjadi
(34)
= ∞ = ,
= ,
∞ = ,
= .
Dari persamaan (33) diperoleh
�′
(35)
=−
.
Jika persamaan (35) disubstitusikan ke dalam persamaan (30) dan (31),
maka diperoleh persamaan berikut:
′
′
′′′
−
= ,
− ′′
+
(36)
8
′
(37)
= ,
+ ′
−
dan kondisi batas (34) menjadi
(38)
= ′
= ′ ∞ = ,
=
∞ = .
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan (36) dan
(37) dengan kondisi batas (38) menggunakan metode spektral homotopi.
′′
Aplikasi Metode
Berikut ini akan dibahas penggunaan metode spektral homotopi yang telah
diuraikan sebelumnya. Dimulai dengan mentransformasi daerah asal masalah dari
[ , ∞ ke [− , ] menggunakan metode pemotongan daerah asal. Sebelum
transformasi dilakukan, untuk alasan komputasi, selang [ , ∞ digantikan dengan
[ , �] dengan � adalah konstanta yang dipilih sedemikian sehingga lebih besar
dari ketebalan lapisan fluida. Selang [ , �] kemudian ditransformasi ke daerah
asal [− , ] menggunakan transformasi berikut
� = − , � [− , ].
(39)
�
Penyelesaian persamaan (36) – (38) dimisalkan dalam bentuk
=ℎ � +
(40)
(41)
= � +
dengan
dan
adalah fungsi-fungsi yang memenuhi kondisi batas (38).
Aturan rantai memberikan
′
= ℎ′ � + ′ ,
�
(42)
′′
= ℎ′′ � + ′′ ,
′′′
=
′
=
�
ℎ′′′ � +
�
′
� +
′′′
′
,
,
(43)
′′
� + ′′ .
=
�
Substitusi persamaan (40)-(43) ke dalam persamaan (36) dan (37) menghasilkan
ℎ′′′ � + ℎ′′ � + ℎ′ � +
� + ℎ �
′′
′′
ℎ′′ � ℎ � + ℎ′ � ℎ′ � −
�
�
′
ℎ′ � +
� + ℎ �
−
� +
+
dengan
=
,
=
,
�
=−
�
�
�
=−
=−
=−
�
′′′
′′
,
� + ℎ′ �
�
=−
=−
,
′
′
� − ℎ �
�
=
+
+
′
′′
=
�
−
−
�
′′
′
′
′
,
,
� =�
,
(44)
� =�
,
(45)
,
,
=
=−
′
.
+
′
�
,
�
,
,
(46)
9
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (44) dan (45), didefinisikan operatoroperator linear berikut:
̃
̃
̃
� ℎ
� ℎ
�ℎ
(47)
�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] = �� +
+ �� + ̃ + ℎ̃,
��
�� [ℎ̃ �;
, ̃ �;
� �̃
]=
̃
�ℎ
+
��̃
+
ℎ̃ +
+
̃,
(48)
Penyelesaian awal diperoleh dengan menyelesaikan bagian linear dari (44) dan
(45), yaitu
,
�; ] = �
�ℎ [ℎ �; ,
,
�; ] = �
�� [ℎ �; ,
atau
,
� + ℎ � =�
ℎ′′′ � + ℎ′′ � + ℎ′ � +
(49)
′
′
′′
,
� =�
� + ℎ � +
� + ℎ � +
(50)
dengan kondisi batas
= .
− = ,
= ,
ℎ − = ℎ′ − = � ℎ′
(51)
�
Sistem (49)-(51) diselesaikan dengan metode spektral Chebyshev dengan fungsifungsi tak diketahui ℎ � dan
� didekati oleh deret berhingga dari
polinomial Chebyshev dalam bentuk
= , , … , �,
ℎ � ≈ ℎ� (� ) = ∑�= ℎ̂
(52)
, (� ),
�
�
∑
� ≈
(� ) = = ̂
= , , … , �,
(53)
, (� ),
dengan , dan , adalah polinomial Chebyshev ke-k. Koefisien-koefisien
secara berurutan ℎ̂ dan ̂ , � , � , … , �� adalah titik-titik collocation GaussLobatto yang didefinisikan sebagai berikut
(54)
� = cos , = , , … , �,
�
dan � + adalah jumlah titik collocation. Turunan fungsi ℎ � dan
� pada
titik-titik collocation � direpresentasikan sebagai
�� ℎ
����
��
= ∑�= � ℎ � ,
��
�� �
����
��
= ∑�= �
� ,
(55)
dengan
adalah orde turunan dan � adalah matriks diferensial spektral
Chebyshev. Substitusi (52)-(55) ke dalam (49)-(51) menghasilkan
�� = �
(56)
dengan kondisi batas
∑�= � ℎ � = ,
∑�= �� ℎ � = , ℎ �� = ,
(57)
�
�
(58)
�� = ,
� = ,
dan
� + � + �+ �
�
,
�=
�+ �
� + �+ �
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
� = [�
,�
= diag [
= diag [
,
,…,�
,
,…,
�
,�
,…,
�−
� ,,…
� ,
,�
,
�−
�
,
] ,
,…,�
�
�� ]� ,
] ,
�
]� ,
= , , , , .
(59)
10
Penurunan persamaan (56)-(59) diberikan pada Lampiran 2. Pangkat T
melambangkan transpos dan I adalah matriks identitas dengan dimensi � + .
Kondisi batas (57) diterapkan pada baris , �, dan � + dari � di kolom
sampai � + . Pada baris 1, ganti elemen-elemen � kolom 1 hingga � dengan
elemen-elemen matriks diferensial spektral � pada baris 1 kolom 1 hingga �.
Pada baris �, ganti elemen-elemen � kolom 1 hingga � dengan elemen-elemen
matriks diferensial spektral � pada baris � + kolom 1 hingga �. Pada baris
� + , atur elemen-elemen � kolom 1 hingga � menjadi nol. Kondisi batas (58)
diimplementasikan pada baris � + dan � + , berurutan, dengan mengatur
� + , � + = , ( � + , � + ) = dan mengatur semua elemen
lainnya menjadi nol. Selanjutnya atur elemen dari � di baris , �, � + , � + ,
dan � + menjadi nol.
Berdasarkan persamaan (56), maka nilai dari
dapat ditentukan oleh
persamaan berikut
(60)
= �− �,
yang juga memberikan pendekatan awal dari penyelesaian (44) dan (45).
Selanjutnya, akan dicari penyelesaian orde tinggi dari (44) dan (45).
Berdasarkan persamaan (44) dan (45), didefinisikan operator taklinear �ℎ dan ��
sebagai berikut:
̃
̃
̃
̃
� ℎ
� ℎ
�ℎ
� ℎ
�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] =
+
+
+ ̃ + ℎ̃ − ℎ̃
+
��
�� [ℎ̃ �;
, ̃ �;
̃ �ℎ
̃
�ℎ
��
��
−
̃ ,
� �� ��
̃
�ℎ
� �̃
]=
��
�
+
̃
+
��
�̃
�ℎ̃
− ℎ̃
.
��
��
��̃
��
+
�
ℎ̃ +
��
(61)
̃+
(62)
Bedasarkan persamaan (18), persamaan deformasi orde nol diberikan
sebagai berikut
− �ℎ [ℎ̃ �; − ℎ � ] =
(�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] − � ),
(63)
̃
]
[
� =
(�� [ℎ �; , ̃ �; ] − � ),
− �� ̃ �; −
(64)
dengan
[ , ] adalah parameter bantu dan adalah parameter taknol yang
mengontrol kekonvergenan.
Kemudian, berdasarkan persamaan (20)-(22), persamaan orde ke-m
diberikan sebagai berikut
ℎ
,
�ℎ [ℎ � − ℎ − � ] =
(65)
�
]
(66)
�
=
,
� −
�� [
−
dengan kondisi batas
ℎ − = ℎ′ − = ℎ′ − = ,
= ,
− =
(67)
dan
ℎ
� = ℎ′′′− + ℎ′′ − +
ℎ −
− +
−
+ ∑ ( ℎ′ ℎ′
�
=
−�
−
− −
,
−
�
ℎ ℎ′′ −
−
−
− −
)
(68)
11
�
′′
� =
−
+
+
−
ℎ′
−
∑ (ℎ′
�
=
′
+
−
−
− −
+
′
ℎ
ℎ
− −
+
−
−
)−�
,
−
,
,
> .
Penurunan persamaan orde ke-m (65)-(68) diberikan pada Lampiran 3.
Berdasarkan persamaan (47), (48), (65), (66) dan (56), diperoleh
(69)
�+
−
���− −
��� =
+
�− ,
dengan kondisi batas
∑�= � ℎ � = , ∑�= �� ℎ � = , ℎ �� = ,
(70)
�� = .
� = ,
(71)
Matriks � dan � telah didefinisikan pada (59) dan
�� ]� ,
� ,,…
� ,
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
(72)
−
�−
=
∑[
=
(
�
� ℎ
�
�ℎ
−
={
− −
∑ [ �ℎ
=
−
�
ℎ � ℎ
− −
− �
ℎ
− −
−
− −
− −
]
]
)
.
Kondisi batas (70) dan (71) diimplementasikan pada matriks � di ruas kiri
persamaan (69) baris , �, � + , � + , dan
� + , secara berurutan,
sebagaimana pada penyelesaian awal. Baris-baris yang bersesuaian, semua kolom,
dari � di ruas kanan (69), � dan �− semua diatur menjadi nol. Ini akan
menghasilkan formula rekursif berikut, untuk
:
−
̃ ��− + [ �− − −
(73)
�]].
�
=� [
+
̃ adalah matriks � pada (59) namun dengan penerapan kondisi batas,
Matriks �
yakni semua elemen pada baris pertama, �, � + , � + dan � + diatur
menjadi nol.
Jadi, dimulai dari pendekatan awal, yang diperoleh dari persamaan (60),
pendekatan orde yang lebih tinggi dari
� untuk
dapat diperoleh
dengan menggunakan persamaan (73).
̂ dan ̂ orde ke-m,
Selanjutnya, koefisien-koefisien ℎ
pada
persamaan (52) dan (53) dapat diperoleh dengan persamaan
̂� = −
,
(74)
−
̂� =
,
(75)
dengan
̂ � = (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� )� ,
̂ � = ̂ , ̂ , … , ̂� � ,
=(
= (ℎ
�
��
� ,ℎ
⋱
�
�
�
��
� ,…ℎ
),
�� )
(76)
�
12
=(
� ,
�
�� ) .
� ,…
Penurunan persamaan (74)-(76) diberikan pada Lampiran 4. Dengan
demikian, diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan Von Karman (36)
dan (37) dalam bentuk deret orde ke-m sebagai berikut:
,
≈ ∑ = ∑�= ℎ̂ , , � +
(77)
�
.
≈∑ = ∑ = ̂, , � +
(78)
Studi Kasus
Pada bagian ini akan dibahas suatu studi kasus penyelesaian persamaan
Von Karman dengan menggunakan metode spektral homotopi. Berdasarkan
uraian pada bagian aplikasi metode, berikut ini prosedur untuk menentukan
penyelesaian dari persamaan Von Karman (36) dan (38):
1 Misalkan diberikan fungsi-fungsi pendekatan awal
dan
sebagai
berikut
(79)
= − + − − ,
−
=
.
(80)
memenuhi kondisi batas (38).
dan
Jelas bahwa
2 Mencari nilai-nilai koefisien fungsi ℎ � dan
� ,
menggunakan persamaan (74) dan (75), dengan terlebih dahulu mencari
,
secara rekursif menggunakan persamaan (60) (untuk =
) dan (73) (untuk
).
3 Membentuk penyelesaian persamaan Von Karman (36) dan (37)
menggunakan persamaan (77) dan (78).
Misalkan � =
dan � = , maka berdasarkan persamaan (59) diperoleh
matriks segi dengan dimensi 24. Kemudian persamaan (60) memberikan
= − .
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. , . ,
. , , , . , . ,− . , . ,− . , . , . , . , . ,
. , �.
Selanjutnya akan ditentukan nilai parameter
yang sesuai. Nilai
diperoleh dari kurva fungsi ℎ′
dan ′
untuk orde 2 dan orde 3. Kurva fungsi
ℎ′
dan ′
diberikan pada Gambar 2 dan Gambar 3 secara berurutan sebagai
berikut.
0.004
Keterangan:
---: ℎ′
orde 2
---: ℎ′
orde 3
−4
−3
−2
Gambar 2 Penentuan nilai parameter
−1
0.002
ℎ′
1
− 0.002
− 0.004
berdasarkan kurva ℎ′
13
Keterangan:
---: ′
orde 2
---: ′
orde 3
−3
−2
0.02
−1
Gambar 3 Penentuan nilai parameter
′
0.04
1
− 0.02
− 0.04
berdasarkan kurva
′
Berdasarkan Gambar 2 dan Gambar 3, dipilih nilai parameter
=− .
Kemudian, berdasarkan persamaan (73), diperoleh penyelesaian
untuk =
, , , sebagai berikut
=
=
=
=
−
. − .
− . ,−
−
. −
. , .
−
. .
− .
−
. −
− .
,− . − . ,− . ,− . ,− . ,− , ,− . ,
. ,− . , , , . ,− , , . ,− . , . ,− . ,
. , . , − . , − . , �,
. ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,
, , , . , . ,− . , . ,− . , . ,− . ,− . ,
− . , − . , �,
, . , . , . , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
, . , − . , . , − . , − . , − . , . , . , �,
. ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,
,− . , , ,− . ,− . , . ,− . ,− . ,− . ,
. , . , . , . , �.
Selanjutnya, koefisien-koefisien ℎ � dan
oleh persamaan (74) dan (75) sebagai berikut
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
ℎ̂ =
̂ =
−
−
−
.
. −
.
.
.
.
. −
.
.
, . ,− . ,− .
�
− . , .
,
. ,− . , . ,− . , . ,− . , .
�
− . , .
,
,− . , . ,− . ,− . , . ,− .
�
. ,− .
,
, . ,− . , . ,− . , . , . ,−
�
. ,− .
,
. ,− . , . ,− . , . ,− . , .
�
− . , .
.
.
,
,−
.
,−
� hingga orde 4 diberikan
.
,
.
.
,− . ,− .
. ,− . , .
,
�
,
.
, .
,− .
, .
, .
, .
, .
,− .
,
, .
,− .
.
, .
,−
.
, .
,− .
,− .
,
, .
, .
.
,
,−
,
,
,
.
,
14
̂ =
−
̂ =
−
̂ =
−
̂ =
−
.
.
,− .
,− .
, . ,− . , . ,
�
− . ,− .
,
. − . , . ,− . ,− . , . ,− .
�
− . , .
,
. . ,− . , . ,− . , . , . ,−
�
. ,− .
,
. . ,− . , . , . ,− . , . ,−
�
. ,− .
.
.
,− .
.
, .
, .
.
,− .
,− .
, .
,− .
,− .
,− .
, .
, .
, .
,− .
,
,
,
,
Akhirnya diperoleh bentuk penyelesaian persamaan (36) dan (37)
menggunakan persamaan (77) dan (78) sebagai berikut
≈ .
− .
≈ .
+ .
+ .
�− .
� − .
� + .
� + .
� − .
� + .
� − .
� − .
� + .
� +
− .
�− .
� + .
� + .
� − .
� − .
� + .
� − .
� − .
� + .
� +
Berdasarkan persamaan (81) diperoleh kurva fungsi
�
(81)
�
(82)
sebagai berikut.
H
2
4
6
8
10
− 0.2
− 0.4
− 0.6
− 0.8
Gambar 4 Kurva
terhadap
dengan
=−
Berdasarkan Gambar 4, dimulai dari nol, nilai semakin menurun seiring dengan
bertambahnya nilai . Nilai kemudian konvergen menuju -0.875024575 saat
→ ∞. Dengan kata lain, kecepatan partikel dalam arah sumbu yaitu � adalah
− .
× √�Ω dengan � adalah koefisien kekentalan kinematik fluida dan Ω
konstanta kecepatan sudut. Tanda negatif berarti bahwa arah gerak fluida pada
sumbu adalah menuju titik pusat koordinat.
Berikut ini diberikan Tabel 1 yang menyatakan galat antara nilai
dengan literatur (Putri 2013) dengan = − hingga orde ke-4.
15
∞ terhadap literatur beserta galat
Tabel 1 Perbandingan hasil penyelesaian
∞ Sp��tra� Ho�otopi
-0.876244931
-0.876350528
-0.874753263
-0.875024575
orde
1
2
3
4
∞ �it�ratur Putri
-0.859257831
-0.864152428
-0.868545963
-0.876812375
galat
0.0169871
0.0121981
0.0062073
0.0017878
Berdasarkan Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa penyelesaian yang
diperoleh dalam karya tulis ini cukup baik. Terbukti mengacu pada hasil yang
diperoleh literatur (Putri 2013), galat yang dihasilkan oleh metode spektral
homotopi pada karya tulis ini cenderung semakin kecil untuk setiap orde (hingga
orde 4). Nilai galat yang terkecil dihasilkan pada orde 4, yakni kurang dari 0.002.
G
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
Gambar 5 Kurva
3
4
terhadap
5
dengan
6
=−
7
Berdasarkan Gambar 5, kurva
semakin menurun seiring
membesarnya . Sehingga dapat disimpulkan
konvergen ke 0 saat → ∞.
Dikaitkan dengan konteks permasalahan, partikel fluida hampir tidak bergerak
dalam arah tangensial yaitu � untuk fluida yang hampir takkental � → .
Untuk fluida yang hampir kental � → ∞ , kecepatan partikel dalam arah sumbu
yaitu � adalah Ω dengan Ω merupakan kecepatan sudut.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode spektral homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan suatu sistem persamaan diferensial taklinear. Metode ini secara
sederhana dapat dipandang sebagai pemasukan konsep spektral ke dalamanalisis
homotopi. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman berkenaan dengan rotasi aliran fluida kental. Penggunaan metode spektral
homotopi untuk persamaan Von Karman memerlukan suatu operator taklinear
yang ditentukan berdasarkan bentuk taklinear dari persamaan tersebut.
Berdasarkan operator ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk memperoleh
penyelesaian persamaan Von Karman yang dinyatakan dalam polinomial
Chebyshev orde tertentu. Semakin tinggi orde yang digunakan, maka penyelesaian
hampiran persamaan ini semakin mendekati penyelesaian eksaknya.
Dalam penelitian ini, diperoleh penyelesaian masalah berupa besaran
komponen kecepatan fluida dalam arah sumbu- dan komponen kecepatan sudut.
Untuk fuida yang takkental, partikel fluida tidak bergerak dalam arah sudut 0,
namun bergerak dengan kecepatan dalam arah sumbu- sebesar .
× √�Ω
mendekati pusat koordinat. Pemilihan nilai parameter dalam metode spektral
homotopi ikut menentukan kekonvergenan dari penyelesaian masalah tersebut.
Saran
Dalam karya ilmiah ini digunakan beberapa asumsi untuk memperoleh
pendekatan penyelesaian analitik dari masalah Von Karman. Perlu adanya
penelitian lanjutan untuk masalah Von Karman apabila beberapa asumsi tersebut
tidak digunakan.
17
DAFTAR PUSTAKA
Benton ER. 1966. On the flow due to a rotating disk. J.Fluid Mech. 24:781-800.
Doi: http://dx.doi.org/10.1017/S002211206001009.
El-Nahhas A. 2007. Analytic approximations for Von Karman swirling flow.
Science. 44(3):181-187.
Feit MD, Fleck JA, Steiger A. 1982. Solution of the Schrodinger equation by a
spectral method. Journal of Computanional Physics, 47, 412-433.
doi:10.1016/0021-9991(82)90091-2.
Finlayson BA. 1972. The Method of Mean Weight Residual and Variational
Principles. London: Academic Press.
Khorrami MR, Malik MR, Ash RL. 1989. Application of spectral collocation
techniques to the stability of swirling flows. Journal of Computanional
Physic. 81(1), 206-229. doi:10.1016/0021-9991(89)90071-5.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to The Homotopy Analysis
Method. New York (US): Boca Raton.
Moser RD, Moin P, Leonard A. 1983. A spectral numerical method for the
Navier-Stokes equations to Taylor-Couette flow. Journal of Computational
Physics. 52(3), 524-544. doi:10.1016/0021-9991(83)90006-2.
Ogundare BS. 2009. On the pseudo-spektral method of solving linear ordinary
differential equations. Journal of Mathematics and Statistics. 5(2): 136-140.
Putri, RG. 2013. Penyelesaian masalah rotasi aliran fluida kental Von Karman
menggunakan metode homotopi [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Siddiqui AM, Farooq AA, Haroon T, Babcock BS. 2013. A variant of the classical
VonKarman flow for a Jeffrey fluid. Journal of Applied Mathematical
Sciences. 7(20): 983-991.
Streeter VL, Wiley EB. 1985. Mekanika Fluida Jilid 1. Prijono A, penerjemah.
Jakarta(ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Fluid Mechanics, Ed ke-8.
Williams FA, Nayagam V. 2002. Dynamics of diffusion flames in Von Karman
swirling flow studied. Microgravity Research NASA [Internet]. California,
San
Diego.
[diunduh
Oktober
2014].
Tersedia
pada:
www.grc.nasa.gov/WWW/RT/RT2001/6000/6711nayagam.html
18
Lampiran 1 Penurunan persamaan (10) dan (11)
Pertama, akan diturunkan persamaan (10). Tinjau transformasi variabel yang
diberikan pada persamaan (9) berikut
= cos ,
(9)
= sin .
Berdasarkan transformasi (9), diperoleh turunan-turunan parsial dari dan
sebagai berikut:
�
�
= cos ,
= − sin ,
�
�
�
�
(83)
= sin ,
= cos .
�
Untuk mengawali penurunan, akan ditentukan turunan total dari terhadap yang
dinyatakan sebagai komponen kecepatan arah sumbu , yaitu sebagai berikut
� �
� �
�
+
.
= =
(84)
�
�
� �
� �
Berdasarkan turunan-turunan parsial pada persamaan (83) dan � =
�
�
�
dan � =
, maka persamaan (84) dapat ditulis sebagai berikut
(85)
= cos � − sin � .
Cara yang serupa digunakan untuk menyatakan turunan total dari terhadap
yang dinyatakan sebagai komponen kecepatan arah sumbu , yaitu sebagai
berikut
�
�
=
+
,
=
�
�
atau
(86)
= sin � + cos � .
Dari persamaan (85) dan (86), diperoleh persamaan (10) sebagai berikut
� = cos + sin ,
� = − sin + cos .
�
Selanjutnya, akan diturunkan persamaan (11) yang merupakan hasil
transformasi dari persamaan (8) ke dalam koordinat silinder. Langkah pertama,
perhatikan bahwa transformasi (9) dapat dituliskan sebagai berikut:
=
+ ,
(87)
= arctan .
Dari persamaan (84), diperoleh turunan-turunan parsial dari dan sebagai
berikut:
�
�
= cos ,
= sin ,
�
�
�
�
= − sin ,
= cos .
�
�
Kemudian tinjau persamaan (8) yang akan diturunkan berikut
�
�
�
+
+
= .
�
�
�
Akan ditentukan representasi suku-suku pada ruas kiri persamaan (8) tersebut
dalam koordinat silinder. Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
�
�
�
(88)
= cos
− sin
,
�
�
�
19
�
�
= sin
�
�
+ cos
�
�
.
(89)
Lalu, karena dan � sama-sama menyatakan komponen kecepatan dalam arah
sumbu , maka diperoleh hubungan berikut
= �,
sehingga diperoleh
��
�
(90)
= � �.
�
Jika persamaan (88)-(90) dijumlahkan, maka diperoleh persamaan berikut
�
�
�
�
��
(91)
− sin
+ sin
+ cos
+
= .
cos
�
�
�
�
�
Kemudian sisipkan ekspresi
cos + sin
+
pada persamaan (90), diperoleh
�
�
cos + sin
− sin
+
cos
�
�
− cos − sin
+ sin
�
�
+ cos
�
�
+
(92)
��
− cos − sin + � � = .
Ruas kiri persamaan (92) adalah penjabaran dari ekspresi berikut
�(
cos + sin )
� − sin + cos
��
+
+
.
�
�
�
Berdasarkan persamaan (10), ekspresi (92) dapat dituliskan sebagai berikut
� �
��
��
+
+
�
�
�
yang juga merupakan ruas kiri persamaan yang ingin diturunkan. Jadi,
berdasarkan persamaan (92), telah diturunkan persamaan kontinuitas fluida dalam
koordinat silinder sebagai berikut
� �
��
��
+
+
= .
�
�
�
20
Lampiran 2 Penurunan persamaan (56)-(59)
Substitusikan (52) dan (53) berikut
�
̂
ℎ � ≈ ℎ (� ) = ∑ ℎ
�
�
� ≈
dan (55) berikut
�
=
�
(� ) = ∑ ̂
ℎ
= ∑� ℎ � ,
�
=
�
∑� ℎ �
=
=�
yang ekuivalen dengan
�
∑� ℎ �
=
+
�
ℎ′ � +
�
∑� ℎ �
+
(� ),
,
=
ke dalam persamaan (49) berikut
ℎ′′′ � + ℎ′′ � +
menghasilkan
(� ),
,
=
�
=
�
= , , … , �,
= ∑�
=
� +
�
� ,
ℎ � =�
+
∑� ℎ �
+
=
�
∑� ℎ �
+
∑� ℎ �
= , , … , �,
=
+
+
ℎ +
ℎ
.
=�
Karena titik collocation � berjumlah � + titik dan demikian halnya dengan
jumlah indeks , maka ∑�= � ℎ (� ) akan membentuk matriks segi berdimensi
� + . Karena ada � + titik collocation, maka koefisien , = , , , , dan
� , = , akan membentuk vektor berukuran � + pula. Sehingga, vektor
perlu dibuat menjadi matriks segi dengan dimensi yang sama � +
agar
∑�= � ℎ � terdefinisi, yakni dengan cara membuatnya menjadi matriks
diagonal. Selanjutnya, diperoleh persamaan matriks berikut
�
+ �
+ � + � + �
, … , � � ]�
,�
= [�
atau setara dengan
�
, … , � � ]� .
,�
= [�
� + � + �+ �
�
Persamaan ini merupakan bentuk matriks dari (49). Dengan menerapkan cara
yang serupa, diperoleh bentuk matriks dari persamaan (50).
Berdasarkan persamaan (49) dan (50) diperoleh
�� = �
dengan
� + � + �+ �
�
,
�=
�+ �
� + �+ �
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
� = [�
= diag [
,�
,
,…,�
,…,
�
,�
� ,
�−
,
,�
� ,,…
�
] ,
�� ]� ,
,…,�
�
]� ,
21
= diag [
,…,
,
,
�−
�
] ,
= , , , , .
Selanjutnya penurunan kondisi batas yang bersesuaian. Dimulai dengan kondisi
batas yang diberikan oleh persamaan (51) berikut
= ℎ′ − = ℎ′
= .
− = ,
= ,
�
�
Perhatikan titik-titik collocation � , = , , … , � . Berdasarkan definisi titik
collocation pada (54), diketahui � = − saat = � dan � = saat = .
ℎ −
Kemudian, dengan menerapkan fakta bahwa
kondisi batas (51) memberikan
�
�
∑� ℎ �
=
= ,
�
�
�
∑ �� ℎ �
=
= ,
�� ℎ
����
= ∑�= � ℎ �
= , ℎ �� = ,
�� = .
, maka
22
Lampiran 3 Penurunan persamaan (65)- (68)
Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke-m, kedua ruas pada
persamaan deformasi orde nol (63) dan (64) diturunkan terhadap q sebanyak m
kali, kemudian dibagi dengan m! dan substitusikan nilai q=0.
Pertama, tinjau persamaan deformasi orde nol untuk fungsi h pada persamaan (63)
berikut
�ℎ [ℎ̃ �;
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
−ℎ � ]=
Turunan pertama persamaan (63) terhadap q adalah
−�ℎ [ℎ̃ �;
−ℎ � ]+
−
�ℎ [
̃ �;
(�ℎ [ℎ
=
�
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
�ℎ [ℎ ,
] − � ).
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
]−� )+
Substitusi nilai q=0 memberikan
�ℎ [ℎ ] =
]
, ̃ �;
, ̃ �;
] − � ).
]−� .
Turunan kedua persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
ℎ̃ �;
�
]+
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
−
�
�ℎ [
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
]
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
]−� )+
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
�
(�ℎ [ℎ̃ �;
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
, ̃ �;
Turunan ketiga persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
�
�
�
ℎ̃ �;
]+
(�ℎ [ℎ̃ �;
−
�ℎ [
, ̃ �;
�
�
ℎ̃ �;
]−� )+
]
�
�
, ̃ �;
] − � )|
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
=
] − � ).
=
.
, ̃ �;
] − � ).
23
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
] − � )|
�
yang ekuivalen dengan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
Turunan keempat persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
�
ℎ̃ �;
]+
(�ℎ [ℎ̃ �;
�ℎ [
−
, ̃ �;
�
ℎ̃ �;
�
]
]−� )+
�
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
! �ℎ [ℎ − ℎ ] =
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
Untuk turunan ke-m dengan
− �ℎ [
=
�
−
�
−
�
�
−
ℎ̃ �;
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
]+
!
−
−
atau
−
]=
�
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
]−� )+
]=
�
�
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ
−
, ̃ �;
, diperoleh
�ℎ [
!
−
]
�
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
−
�
�
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
Substitusi nilai q=0 memberikan
! �ℎ [ℎ − ℎ
�
−
−
̃ �;
(�ℎ [ℎ
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
.
=
, ̃ �;
] − � )|
, ̃ �;
=
] − � ).
=
=
.
, ̃ �;
] − � )|
] − � ).
=
] − � )|
=
24
�ℎ [ℎ −
dengan
ℎ
=
�
−
dan
!�
−
ℎ
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
−
={
ℎ
]=
,
,
,
, ̃ �;
] − � )|
=
> .
Cara yang serupa diterapkan pada persamaan (64), diperoleh
�� [
dengan
�
=
�
−
dan
!�
−
−
−
−
(�� [ℎ̃ �;
={
,
]=
,
,
, ̃ �;
] − � )|
=
> .
Selanjutnya, berdasarkan definisi operator taklinear �ℎ dan �� pada persamaan
(61) dan (62), substitusikan definisi �ℎ dan �� pada ekspresi
ℎ
�
ℎ
ℎ
=
=
=
=
−
−
!�
+
−
�ℎ̃ �ℎ̃
−
� �� ��
�
!�
+
ℎ′′′ +
ℎ′′′ +
� ℎ̃
+
��
−
�
�
−
−
̃
ℎ′′ +
�
̃ −� |
�ℎ̃
+
��
� ̃
+
��
�ℎ̃
�̃
− ℎ̃
−� |
��
��
ℎ′′ +
+
� ℎ̃
+
��
ℎ′ +
ℎ′ +
ℎ ℎ −
+
+
−
=
�ℎ̃
+
��
̃+
�̃
+
��
ℎ̃ +
=
ℎ −
ℎ −
�
�
ℎ ℎ′′ +
ℎ ℎ′′ −
ℎ
�
dan
ℎ̃ −
�
ℎ̃
� ℎ̃
��
̃
�
�
ℎ ℎ −
ℎ ℎ′′ +
�
ℎ ℎ
−�
25
ℎ
=
!
ℎ′′′ +
(
−
−
�
ℎ′′ +
ℎ ℎ′′ +
yang ekuivalen dengan
ℎ
ℎ
ℎ′′′ +
=
=
!
+
ℎ′′′ +
(
−
−
ℎ′ +
ℎ ℎ +
�
ℎ ℎ′′ −
−
yang ekuivalen dengan
ℎ
ℎ′′′ +
=
−
−
ℎ′′ +
ℎ′′′− +
=
ℎ ℎ +
ℎ′ +
ℎ′′ − +
−
+ ∑ ( ℎ′ ℎ′
�
=
ℎ ℎ +
�
−
�
ℎ −
ℎ ℎ +
−
− −
+
−
−
�
ℎ
�
ℎ ℎ +
−
ℎ ℎ′′ −
�
�
ℎ ℎ −
−
ℎ −
�
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ +
)
�
ℎ ℎ +
−
�
−
−
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ′′ −
ℎ ℎ′′ −
�
−
ℎ ℎ +
ℎ −
ℎ −
ℎ ℎ′′ −
�
+
�
+
−
�
ℎ ℎ −
�
ℎ ℎ′′ +
ℎ′ +
−
+
+
�
ℎ ℎ′′ +
�
atau secara umum
ℎ
�
ℎ′′ +
�
ℎ ℎ +
�
)
ℎ′′ +
ℎ′ +
�
�
ℎ ℎ′′
ℎ ℎ′′
�
ℎ ℎ +
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ′′
�
ℎ ℎ −
− −
)
�
ℎ ℎ
ℎ ℎ′′
.
−
−�
Telah diturunkan bagian pertama persamaan (68). Selanjutnya, bagian kedua
persamaan (68) dapat diturunkan dengan cara serupa.
�
�
�
′′
=
′′
=
=
!
(
ℎ′ +
+
+
−
′′
ℎ′ +
�
+
′
+ ℎ′
�
ℎ
′
′
+
+
ℎ′ +
−
�
+ ℎ′
�
ℎ +
+ ℎ′
�
ℎ +
′
′
+
ℎ −
−
�
′
ℎ +
ℎ −
�
�
′
+ ℎ′
�
′
+ ℎ′
�
ℎ )
ℎ −�
−
�
′
+ ℎ′
�
ℎ
26
yang ekuivalen dengan
�
�
′′
=
=
!
+
−
′′
(
+
ℎ′ +
�
+
�
−
�
′
′
ℎ −
ℎ′
′
yang ekuivalen dengan
�
′′
=
+
+
ℎ )
ℎ′ +
′
+ ℎ′
�
� =
′′
�
ℎ′ +
−
atau secara umum
�
+
−
+
+
�
+
�
−
′
ℎ +
ℎ −
′
ℎ′
�
′
ℎ′
ℎ −
∑ (ℎ′
=
+
ℎ +
−
′
�
+
ℎ
ℎ +
−
�
− −
+ ℎ′
�
′
�
′
ℎ −
−
−
�
+
′
+
ℎ −
+ ℎ′
�
′
+ ℎ′
�
ℎ
′
�
�
′
ℎ′
ℎ −
+ ℎ′
�
ℎ −
ℎ
− −
−
+ ℎ′
�
�
+
′
)−�
ℎ
�
+
′
�
ℎ
ℎ′
+ ℎ′
�
−
−
.
27
Lampiran 4 Penurunan persamaan (74) – (76)
Telah diketahui bahwa untuk setiap orde m,
, ℎ didekati sebagai fungsi
polinom berorde N dengan masing-masing sukunya adalah polinomial Chebysev
berorde 0,1,...,N. Kemudian untuk setiap suku, polinomial Chebyshev ini
dievaluasi pada titik-titik collocation � , = , , … , �, sehingga diperoleh sistem
persamaan linear berikut
̂
� ℎ̂
� � ℎ�
�
= (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� )
⋱
̂
�� ℎ̂
� �� ℎ�
dengan vektor variabel yang ingin dicari adalah koefisien-koefisien
�
(ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) . Sistem persamaan linear tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut
�
� �
�
�
⋱
(
) (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) = (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� ) .
��
� ��
̂, ℎ
̂, … , ℎ̂� )� dapat dicari dengan persamaan
Selanjutnya, jelas bahwa (ℎ
−
�
�
�
�
�
⋱
(ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) = (
) (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� ) .
��
� ��
ekuivalen dengan yang ingin diturunkan. Serupa untuk penurunan koefisien ̂� ,
diperoleh
̂� = −
,
−
̂� =
,
dengan
̂ � = (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� )� ,
̂ � = ̂ , ̂ , … , ̂
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN METODE
SPEKTRAL HOMOTOPI
PARARAWENDY INDARJO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah
Rotasi Aliran Fluida Kental Von Karman Menggunakan Metode Spektral
Homotopi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2015
Pararawendy Indarjo
NIM G54110002
ii
ABSTRAK
PARARAWENDY INDARJO. Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental
Von Karman Menggunakan Metode Spektral Homotopi. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Masalah rotasi aliran fluida kental Von Karman sering muncul pada masalah
rotasi bahan bakar pesawat ruang angkasa yang diluncurkan oleh NASA.
Pengendalian besaran kecepatan rotasi pada aliran Von Karman penting dilakukan.
Persamaan yang menjelaskan rotasi aliran pada fluida kental yang disebabkan oleh
cakram yang berputar terus-menerus adalah persamaan Von Karman. Pada karya
ilmiah ini, pendekatan analitik untuk menyelesaikan persamaan Von Karman
dilakukan dengan metode spektral homotopi. Dalam metode ini, dikombinasikan
metode spektral dan metode homotopi. Sebagaimana metode homotopi, diperlukan
parameter bantu untuk mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaian
yang dihasilkan merupakan suatu rumus rekursif dengan suatu hampiran awal yang
diberikan. Menggunakan perangkat lunak berbasis fungsional, diperoleh penyelesaian
berupa besaran komponen kecepatan yang konvergen ke suatu nilai.
Kata kunci: persamaan Von Karman, metode spektral homotopi, masalah taklinear
ABSTRACT
PARARAWENDY INDARJO. Solution of Von Karman Rotation Viscous Fluid
Flow Problem using Spectral Homotopy Method. Supervised by JAHARUDDIN
and ALI KUSNANTO.
Von Karman viscous fluid flow rotation problem appears frequently on
spacecraft’s fuel rotation problem launched by NASA. The control of speed
magnitude is important to be performed. The equation which explains viscous
fluid flow rotation induced by infinite disk rotation is Von Karman equation. In
this work, an analytic approximation solution of this equation is obtained by
spectral homotopy method. This method consists of a combination between
spectral method and homotopy method. In homotopy method, an embedded
parameter is needed to control the solution’s convergence region. The solution of
this problem is then expressed in term of a recursive formula with a given initial
approximation. Using functional-based software, it is shown that velocity
components converge to a particular value.
Keywords: Von Karman equation, spectral homotopy method, nonlinear problem
iii
PENYELESAIAN MASALAH ROTASI ALIRAN FLUIDA
KENTAL VON KARMAN MENGGUNAKAN METODE
SPEKTRAL HOMOTOPI
PARARAWENDY INDARJO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian ini ialah metode penyelesaian sistem persamaan
diferensial, dengan judul Penyelesaian Masalah Rotasi Aliran Fluida Kental Von
Karman Menggunakan Metode Spektral Homotopi.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Jaharuddin MS dan Bapak
Drs Ali Kusnanto MSi selaku pembimbing, serta kepada Ibu Elis Khatizah SSi
MSi selaku dosen penguji. Penghargaan tertinggi penulis berikan kepada kedua
orang tua beserta seluruh keluarga, atas segala doa dan dukungan yang tak ternilai
harganya. Di samping itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada seluruh
rekan di Departemen Matematika, terutama angkatan 48, atas kebersamaan dalam
lebih dari tiga tahun ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2015
Pararawendy Indarjo
i
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
iii
DAFTAR LAMPIRAN
iii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Navier Stokes
2
Metode Homotopi
4
Metode Mean Weight Residual
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi Metode
Studi Kasus
SIMPULAN DAN SARAN
7
8
12
16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
28
ii
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
Domain fluida dalam koordinat silinder
Penentuan nilai parameter berdasarkan kurva ℎ′
Penentuan nilai parameter c berdasarkan kurva g'
Kurva terhadap dengan = −
Kurva terhadap dengan = −
3
12
13
14
15
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
Penurunan persamaan (10)-(11)
Penurunan persamaan (56)-(59)
Penurunan persamaan (65)-(68)
Penurunan persamaan (74)-(76)
18
20
22
27
iii
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Rotasi aliran fluida kental Von Karman merupakan masalah yang terkenal
dalam mekanika fluida. Salah satu aplikasinya adalah rotasi bahan bakar pesawat
ruang angkasa yang diluncurkan oleh NASA. Rotasi aliran fluida kental Von
Karman digunakan untuk menganalisis karakteristik bahan bakar pesawat ruang
angkasa yang mudah terbakar dalam keadaan sedikit gravitasi. Kecepatan rotasi
bahan bakar sangat memengaruhi timbulnya percikan api pada media bahan bakar.
Aliran Von Karman mengontrol besaran kecepatan rotasi agar bahan bakar tidak
menimbulkan percikan api yang dapat memengaruhi media bahan bakar (Williams
dan Nayagam 2002). Secara umum, persamaan Von Karman menjelaskan tentang
aliran fluida kental yang disebabkan oleh cakram yang berputar terus-menerus.
Dengan menganggap aliran tunak dan laminar, aliran fluida kental taktermampatkan ini berputar terus-menerus di atas cakram dengan suatu kecepatan
sudut. Persamaan gerak dari fluida ini dinyatakan dalam persamaan kontinuitas
dan persamaan Navier-Stokes dengan suatu kondisi batas tertentu. Von Karman
mengubah persamaan diferensial parsial pada persamaan kontinuitas dan
persamaan Navier-Stokes menjadi persamaan diferensial biasa menggunakan
suatu transformasi (Liao 2004).
Pada kenyataannya, persamaan rotasi aliran fluida kental Von Karman
merupakan persamaan taklinear yang masih sulit untuk ditemukan penyelesaian
eksaknya. Beberapa peneliti telah menggunakan pendekatan numerik atau
kombinasi analitik dan numerik untuk menyelesaikan masalah tersebut,
diantaranya metode pendekatan numerik untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman (Benton 1966), metode homotopi (Liao 2004), dan metode homotopi
tetapi dengan pendekatan deret polinomial (El-Nahhas 2007).
Di sisi lain, terdapat metode spektral yang juga dapat digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Metode ini telah digunakan peneliti
untuk menyelesaikan berbagai permasalahan diferensial. Beberapa diantaranya
adalah analisis kestabilan arus fluida yang berputar (Khorrami et al. 1989),
penentuan penyelesaian numerik dari persamaan Navier-Stokes pada aplikasi
aliran Taylor-Coutte (Moser et al. 1983), dan penyelesaian persamaan
Schrodinger (Feit et al. 1982).
Di dalam karya ilmiah ini, dibahas penyelesaian masalah rotasi aliran
fluida kental menggunakan metode spektral homotopi. Metode ini adalah
modifikasi dari metode homotopi dengan penyelesaian persamaan deformasi di
masing-masing orde ditentukan menggunakan metode spektral.
Perumusan Masalah
Persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes pada rotasi aliran
fluida kental Von Karman merupakan sistem persamaan diferensial taklinear yang
dinyatakan dalam koordinat silinder. Belum ditemukannya penyelesaian eksak
dari persamaan ini hingga kini menjadi salah satu bukti kompleksnya
penyelesaian persamaan. Dalam skripsi ini, akan digunakan metode spektral
2
homotopi untuk mendapatkan penyelesaian pendekatan dari persamaan tersebut.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang akan diterapkan pada analisis
homotopi.
Tujuan Penelitian
Penelitian dalam karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1. Mengkonstruksi ulang penurunan persamaan kontinuitas fluida dan
persamaan Navier-Stokes dalam sistem koordinat silinder yang merupakan
persamaan Von Karman.
2. Menggunakan metode spektral homotopi untuk menyelesaikan persamaan
Von Karman.
3. Menggambarkan kurva penyelesaian persamaan Von Karman dengan
perangkat lunak berbasis fungsional, kemudian memberikan tafsiran
terhadap hasil-hasil tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA
Dalam penelitian ini, model matematis yang ditinjau adalah persamaan
Von Karman. Persamaan ini diturunkan dari persamaan Navier Stokes yang
diuraikan berikut ini.
Persamaan Navier Stokes
Persamaan Navier-Stokes diturunkan berdasarkan persamaan gerak pada
fluida. Persamaan gerak ini berpadanan dengan kekekalan momentum yang
menyatakan bahwa rata-rata perubahan momentum merupakan selisih antara ratarata momentum yang masuk dengan rata-rata momentum yang keluar kemudian
dijumlahkan dengan jumlah gaya-gaya yang terjadi pada sistem.
Penurunan persamaan Navier-Stokes dilakukan dengan asumsi-asumsi
sebagai berikut:
1. Fluida memiliki koefisien kekentalan yang konstan.
2. Fluida memiliki sifat tak termampatkan.
3. Kecepatan aliran fluida pada suatu titik tidak bergantung terhadap waktu
(tunak).
4. Aliran fluida bersifat kontinu dan tidak saling berpotongan (laminar).
5. Gaya gravitasi diabaikan.
Berdasarkan asumsi di atas, persamaaan Navier-Stokes dituliskan dalam
persamaan vektor (Streeter dan Wiley 1985) berikut:
��
= � � − �̃
(1)
�
dengan � = , ,
adalah vektor kecepatan dengan , , dan berturut-turut
adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu , , dan . Selanjutnya, �, �̃, dan
3
� berturut-turut merupakan rapat massa fluida, tekanan fluida, dan koefisien
�
kekentalan kinematik. Kemudian, didefinisikan operator sebagai berikut
�
��
��
��
��
��
(2)
= +
+
+
.
�
�
�
�
�
Berdasarkan asumsi bahwa kecepatan aliran fluida bersifat tunak, � tidak
bergantung pada t. Akibatnya, suku pertama di ruas kanan persamaan (2) akan
bernilai nol, atau
��
��
��
��
(3)
=
+
+
.
�
�
�
�
Berdasarkan persamaan (3), persamaan (1) dapat diuraikan menjadi:
[
[
[
�
�
�
�
�
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
] = �[
] = �[
�
�
�
�
�
] = �[
�
+
+
+
�
�
�
�
�
�
+
+
�
�
�
�
�
+
�
]−
]−
]−
��̃
�
��̃
�
,
,
��̃
�
(4)
(5)
.
(6)
Di sisi lain, tinjau persamaan kontinuitas fluida yang diberikan sebagai
berikut
�
= −� . � .
(7)
�
Berdasarkan asumsi bahwa fluida bersifat tak termampatkan, ruas kiri persamaan
(7) akan bernilai nol. Kemudian, karena � bernilai positif, persamaan (7) dapat
ditulis sebagai berikut
.� =
atau
�
�
�
(8)
+
+
= .
�
�
�
Elemen volume yang dilalui fluida dapat berbentuk sebarang. Tinjau fluida
dalam bentuk silinder dengan bagian alas ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1 Domain fluida dalam koordinat silinder
Selanjutnya, persamaan kontinuitas fluida pada persamaan (8) akan
dinyatakan dalam koordinat silinder. Sistem koordinat silinder dinyatakan sebagai
pasangan terurut , , . Transformasi koordinat kartesian menuju koordinat
silinder diberikan sebagai berikut
= cos ,
(9)
= sin .
4
Jika transformasi variabel pada persamaan (9) dan aturan rantai digunakan,
maka akan diperoleh persamaan berikut
� = cos + sin ,
(10)
� = − sin + cos ,
dengan � dan � berturut-turut menyatakan komponen kecepatan dalam arah
dan . Selanjutnya, dengan menggunakan transformasi (9) dan persamaan (10),
diperoleh persamaan (8) dalam koordinat silinder sebagai berikut
��
� �
��
(11)
+
+
= ,
�
�
�
dengan � adalah komponen kecepatan dalam arah sumbu . Penurunan
persamaan (10) dan (11) diberikan pada Lampiran 1.
Tinjau kembali persamaan Navier-Stokes dalam koordinat kartesian yang
diberikan pada persamaan (4)-(6). Dengan cara yang serupa pada penurunan
persamaan (11), diperoleh persamaan Navier-Stokes yang dinyatakan dalam
koordinat silinder sebagai berikut:
�
���
�
+�
�
���
�
�
���
�
+�
���
�
−
���
�
+�
��
+
���
�
� ��
= �[�
�� ��
= �[
� ��
= �[�
+
���
+
���
� ��
�
�
+
�
+
� ��
�
���
+
�
� ��
+
�
−
��
]−
� ��
�
]−
−
��̃
�
.
��̃
��
�
],
,
(12)
(13)
(14)
Persamaan (11)-(14) akan diselesaikan dengan metode spektral homotopi. Konsep
metode homotopi diberikan sebagai berikut.
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep metode homotopi yang disarikan dari
(Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut
(15)
]= ,
�[
dengan N operator turunan, t variabel bebas dan u(t) fungsi yang akan ditentukan.
Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear L yang memenuhi
(16)
L[ f] = 0, bila f = 0.
Misalkan
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan
(15) dan q [0,1] suatu parameter. Didefinisikan suatu fungsi H sebagai berikut
] + �[�].
[�; ] = − �[� −
(17)
Berdasarkan persamaan (17), untuk q = 0 dan q = 1 masing-masing memberikan
persamaan berikut:
[� ; ; ] = �[� ; −
]
dan
[� ; ; ] = �[� ; ].
Menurut persamaan (15)-(17) diperoleh bahwa fungsi � ; =
dan
� ; =
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
[� : ; ] = dan [� : ; ] = .
Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 sampai 1 menyatakan perubahan nilai
] ke �[�]. Dalam topologi hal ini disebut deformasi.
[�, ] dari �[� −
Perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan
deformasi orde nol berikut
]=
�[� ; ],
− �[� ; −
(18)
5
adalah pendekatan awal,
dan B(t) masing-masing merupakan
dengan
parameter bantu dan fungsi bantu. Jika q = 0 dan q = 1, maka dari persamaan (18)
akan diperoleh � ; =
dan �[� ; = ]. Selanjutnya, karena
parameter q bernilai dari 0 sampai 1, maka � ; memetakan dari penduga awal
ke penyelesaian eksak u(t). Dengan menggunakan konsep deret Taylor,
� ; dapat diuraikan menjadi
+ ∑+∞
� ; =
=
(19)
dengan
� � ;
=
| .
! �
=
Kemudian dengan menurunkan persamaan (18) terhadap q hingga n kali
serta mengevaluasi pada q = 0 dan dibagi dengan n! akan diperoleh bentuk
persamaan orde ke-n berikut
]=
[⃗ − , ]
−
�[
(20)
−
dengan
[⃗
Untuk
−
, ]=
− !
� �− �[� ; ,ℎ,� ]
� �−
,
, > .
= , maka persamaan (19) menjadi
� ;
=
={
+∞
+∑
=
|
=
(21)
(22)
.
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dengan
dan
, n = 1, 2, 3, … yang akan ditentukan.
pendekatan awal
, n = 1, 2, 3, … diperoleh dari persamaan (20)
Penyelesaian pendekatan
dengan terlebih dahulu menentukan operator linear L. (Liao 2004).
Metode spektral homotopi adalah gabungan antara metode homotopi dan
metode spektral. Metode spektral adalah salah satu bentuk khusus dari metode
mean weight residual yang diberikan sebagai berikut.
Metode Mean Weight Residual
Metode Mean Weight Residual (selanjutnya disingkat MWR) adalah
metode yang umum digunakan untuk mendapatkan penyelesaian persamaan
diferensial. Penyelesaian yang akan ditentukan diuraikan dalam bentuk deret dari
fungsi-fungsi basis yang dapat ditentukan berdasarkan persamaan diferensial
sedemikian sehingga diperoleh penyelesaian persamaan diferensial tersebut.
Misalkan diberikan suatu masalah nilai batas sebagai berikut:
,
= ; ,
Ω
(23)
�� ��
, , ,
= ; ,
Γ, batas dari Ω.
�
�
Misalkan penyelesaian masalah nilai batas (23) diambil dalam bentuk
=
�
+∑
=
,
(24)
dengan fungsi diatur agar memenuhi kondisi batas. Selanjutnya fungsi pada
persamaan (24) disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial untuk membentuk
sisaan
6
, ,
=
�
+∑
=
.
(25)
Jika sisaan (25) bernilai nol, maka fungsi pada persamaan (24) adalah
penyelesaian eksak. Dalam MWR konstanta ditentukan sedemikian sehingga
rata-rata sisaan (25) menjadi nol. Integral terboboti dari sisaan diatur menjadi nol:
(26)
, = ∫�
�=
= , , … , �.
Berdasarkan persamaan (26), maka persamaan (25) dapat ditulis sebagai
berikut
�
atau
,
∑
=
�
∑
=
=−
=
,
,
,
dengan
=
,
,
=− ,
. Karena fungsi
dan
diketahui
dan fungsi pembobot
telah didefinisikan,
dapat dibalik untuk mendapatkan
, yang akhirnya memberikan pendekatan penyelesaian persamaan (23).
Terdapat banyak cara untuk memilih fungsi pembobot dan setiap pilihan
bersesuaian pada kriteria tertentu MWR. Domain Ω dibagi ke dalam � subdomain
yang lebih kecil, Ω , maka salah satu cara mendefinisikan
adalah sebagai
berikut
,
Ω
={
,
Ω.
Seiring dengan bertambahnya �, persamaan diferensial (23) terpenuhi
secara rata-rata dalam subdomain yang semakin kecil, dan dapat dianggap
mendekati nol dimana-mana.
Dalam perkembangannya, MWR dikembangkan ke dalam beberapa
metode yang lebih spesifik. Diantaranya adalah metode collocation, Galerkin, dan
spektral.
Pada metode collocation, fungsi pembobot dipilih sebagai fungsi delta Dirac
= �( − ),
yang memenuhi kondisi berikut
∫
�
� = | �,
sehingga sisaan bernilai nol pada sejumlah � tertentu titik-titik collocation .
Saat � meningkat, sisaan akan bernilai nol di semakin banyak titik dan dapat
dianggap mendekati nol di mana-mana.
Pada metode Galerkin, fungsi pembobot dipilih sama dengan fungsi basis,
= . Fungsi basis harus dipilih sebagai anggota-anggota dari himpunan fungsi
yang lengkap. Sebuah himpunan fungsi { } disebut lengkap jika fungsi manapun
dari kelas yang diberikan dapat diuraikan dalam suku-suku dari himpunan tersebut,
=∑
. Sehingga deret dalam persamaan (24) dapat merepresentasikan
penyelesaian eksak yang ingin ditentukan. Selanjutnya, metode Galerkin
7
memaksa sisaan menjadi nol dengan membuatnya ortogonal terhadap setiap
anggota dari fungsi himpunan lengkap (saat � → ∞) (Finlayson 1972).
Metode terakhir, metode spektral, dikembangkan berdasarkan konsep
bahwa dalam MWR, penyelesaian
, diuraikan dalam deret berikut
,
∞
=∑
(27)
=
dengan menjadi koefisien urai dan
adalah himpunan fungsi basis yang saling
ortogonal. Pada praktiknya, ekspresi deret
dijumlahkan hingga batas �
tertentu dan fungsi basis yang umum digunakan adalah polinomial Chebyshev
atau Legendre (Ogundare 2009).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Tinjau persamaan Von Karman untuk tunak, berlapis, simetrik terhadap
pusat koordinat yang terinduksi oleh cakram putar tunak takhingga dengan
kecepatan sudut Ω berpusat di sumbu-z pada fluida terisolasi pada separuh-ruang
> di atas cakram. Persamaan Von Karman dalam koordinat silinder , ,
adalah persamaan (11)-(14) dengan kondisi batas yang rata dan licin pada cakram
dan kondisi batas di ketakhinggaan berikut
� = Ω � = � = , saat = ,
(28)
� =� = ,
saat = +∞,
dengan � adalah kerapatan fluida, � adalah koefisien kekentalan kinematik, �̃
adalah tekanan, � , � , dan � secara berurut adalah komponen kecepatan dalam
arah jari-jari , sudut , dan sumbu- , serta Ω adalah konstanta kecepatan sudut.
Langkah pertama yang akan dilakukan adalah penyederhanaan persamaan
(11)-(14). Untuk itu, digunakan transformasi Von Karman berikut:
� = �
,
� = �
,
(29)
̃
,
� = −���� ,
� = √��
dengan = √�/� besaran nondimensional yang menyatakan jarak sepanjang
sumbu rotasi.
Jika transformasi (29) digunakan, maka persamaan (11)-(14) menjadi
persamaan diferensial biasa berikut:
′′
(30)
− ′
−
+
= ,
′′
′
(31)
−
−
= ,
′′
′
′
(32)
−
+�
= ,
′
+
= .
(33)
Kondisi batas (28) menjadi
(34)
= ∞ = ,
= ,
∞ = ,
= .
Dari persamaan (33) diperoleh
�′
(35)
=−
.
Jika persamaan (35) disubstitusikan ke dalam persamaan (30) dan (31),
maka diperoleh persamaan berikut:
′
′
′′′
−
= ,
− ′′
+
(36)
8
′
(37)
= ,
+ ′
−
dan kondisi batas (34) menjadi
(38)
= ′
= ′ ∞ = ,
=
∞ = .
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian persamaan (36) dan
(37) dengan kondisi batas (38) menggunakan metode spektral homotopi.
′′
Aplikasi Metode
Berikut ini akan dibahas penggunaan metode spektral homotopi yang telah
diuraikan sebelumnya. Dimulai dengan mentransformasi daerah asal masalah dari
[ , ∞ ke [− , ] menggunakan metode pemotongan daerah asal. Sebelum
transformasi dilakukan, untuk alasan komputasi, selang [ , ∞ digantikan dengan
[ , �] dengan � adalah konstanta yang dipilih sedemikian sehingga lebih besar
dari ketebalan lapisan fluida. Selang [ , �] kemudian ditransformasi ke daerah
asal [− , ] menggunakan transformasi berikut
� = − , � [− , ].
(39)
�
Penyelesaian persamaan (36) – (38) dimisalkan dalam bentuk
=ℎ � +
(40)
(41)
= � +
dengan
dan
adalah fungsi-fungsi yang memenuhi kondisi batas (38).
Aturan rantai memberikan
′
= ℎ′ � + ′ ,
�
(42)
′′
= ℎ′′ � + ′′ ,
′′′
=
′
=
�
ℎ′′′ � +
�
′
� +
′′′
′
,
,
(43)
′′
� + ′′ .
=
�
Substitusi persamaan (40)-(43) ke dalam persamaan (36) dan (37) menghasilkan
ℎ′′′ � + ℎ′′ � + ℎ′ � +
� + ℎ �
′′
′′
ℎ′′ � ℎ � + ℎ′ � ℎ′ � −
�
�
′
ℎ′ � +
� + ℎ �
−
� +
+
dengan
=
,
=
,
�
=−
�
�
�
=−
=−
=−
�
′′′
′′
,
� + ℎ′ �
�
=−
=−
,
′
′
� − ℎ �
�
=
+
+
′
′′
=
�
−
−
�
′′
′
′
′
,
,
� =�
,
(44)
� =�
,
(45)
,
,
=
=−
′
.
+
′
�
,
�
,
,
(46)
9
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (44) dan (45), didefinisikan operatoroperator linear berikut:
̃
̃
̃
� ℎ
� ℎ
�ℎ
(47)
�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] = �� +
+ �� + ̃ + ℎ̃,
��
�� [ℎ̃ �;
, ̃ �;
� �̃
]=
̃
�ℎ
+
��̃
+
ℎ̃ +
+
̃,
(48)
Penyelesaian awal diperoleh dengan menyelesaikan bagian linear dari (44) dan
(45), yaitu
,
�; ] = �
�ℎ [ℎ �; ,
,
�; ] = �
�� [ℎ �; ,
atau
,
� + ℎ � =�
ℎ′′′ � + ℎ′′ � + ℎ′ � +
(49)
′
′
′′
,
� =�
� + ℎ � +
� + ℎ � +
(50)
dengan kondisi batas
= .
− = ,
= ,
ℎ − = ℎ′ − = � ℎ′
(51)
�
Sistem (49)-(51) diselesaikan dengan metode spektral Chebyshev dengan fungsifungsi tak diketahui ℎ � dan
� didekati oleh deret berhingga dari
polinomial Chebyshev dalam bentuk
= , , … , �,
ℎ � ≈ ℎ� (� ) = ∑�= ℎ̂
(52)
, (� ),
�
�
∑
� ≈
(� ) = = ̂
= , , … , �,
(53)
, (� ),
dengan , dan , adalah polinomial Chebyshev ke-k. Koefisien-koefisien
secara berurutan ℎ̂ dan ̂ , � , � , … , �� adalah titik-titik collocation GaussLobatto yang didefinisikan sebagai berikut
(54)
� = cos , = , , … , �,
�
dan � + adalah jumlah titik collocation. Turunan fungsi ℎ � dan
� pada
titik-titik collocation � direpresentasikan sebagai
�� ℎ
����
��
= ∑�= � ℎ � ,
��
�� �
����
��
= ∑�= �
� ,
(55)
dengan
adalah orde turunan dan � adalah matriks diferensial spektral
Chebyshev. Substitusi (52)-(55) ke dalam (49)-(51) menghasilkan
�� = �
(56)
dengan kondisi batas
∑�= � ℎ � = ,
∑�= �� ℎ � = , ℎ �� = ,
(57)
�
�
(58)
�� = ,
� = ,
dan
� + � + �+ �
�
,
�=
�+ �
� + �+ �
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
� = [�
,�
= diag [
= diag [
,
,…,�
,
,…,
�
,�
,…,
�−
� ,,…
� ,
,�
,
�−
�
,
] ,
,…,�
�
�� ]� ,
] ,
�
]� ,
= , , , , .
(59)
10
Penurunan persamaan (56)-(59) diberikan pada Lampiran 2. Pangkat T
melambangkan transpos dan I adalah matriks identitas dengan dimensi � + .
Kondisi batas (57) diterapkan pada baris , �, dan � + dari � di kolom
sampai � + . Pada baris 1, ganti elemen-elemen � kolom 1 hingga � dengan
elemen-elemen matriks diferensial spektral � pada baris 1 kolom 1 hingga �.
Pada baris �, ganti elemen-elemen � kolom 1 hingga � dengan elemen-elemen
matriks diferensial spektral � pada baris � + kolom 1 hingga �. Pada baris
� + , atur elemen-elemen � kolom 1 hingga � menjadi nol. Kondisi batas (58)
diimplementasikan pada baris � + dan � + , berurutan, dengan mengatur
� + , � + = , ( � + , � + ) = dan mengatur semua elemen
lainnya menjadi nol. Selanjutnya atur elemen dari � di baris , �, � + , � + ,
dan � + menjadi nol.
Berdasarkan persamaan (56), maka nilai dari
dapat ditentukan oleh
persamaan berikut
(60)
= �− �,
yang juga memberikan pendekatan awal dari penyelesaian (44) dan (45).
Selanjutnya, akan dicari penyelesaian orde tinggi dari (44) dan (45).
Berdasarkan persamaan (44) dan (45), didefinisikan operator taklinear �ℎ dan ��
sebagai berikut:
̃
̃
̃
̃
� ℎ
� ℎ
�ℎ
� ℎ
�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] =
+
+
+ ̃ + ℎ̃ − ℎ̃
+
��
�� [ℎ̃ �;
, ̃ �;
̃ �ℎ
̃
�ℎ
��
��
−
̃ ,
� �� ��
̃
�ℎ
� �̃
]=
��
�
+
̃
+
��
�̃
�ℎ̃
− ℎ̃
.
��
��
��̃
��
+
�
ℎ̃ +
��
(61)
̃+
(62)
Bedasarkan persamaan (18), persamaan deformasi orde nol diberikan
sebagai berikut
− �ℎ [ℎ̃ �; − ℎ � ] =
(�ℎ [ℎ̃ �; , ̃ �; ] − � ),
(63)
̃
]
[
� =
(�� [ℎ �; , ̃ �; ] − � ),
− �� ̃ �; −
(64)
dengan
[ , ] adalah parameter bantu dan adalah parameter taknol yang
mengontrol kekonvergenan.
Kemudian, berdasarkan persamaan (20)-(22), persamaan orde ke-m
diberikan sebagai berikut
ℎ
,
�ℎ [ℎ � − ℎ − � ] =
(65)
�
]
(66)
�
=
,
� −
�� [
−
dengan kondisi batas
ℎ − = ℎ′ − = ℎ′ − = ,
= ,
− =
(67)
dan
ℎ
� = ℎ′′′− + ℎ′′ − +
ℎ −
− +
−
+ ∑ ( ℎ′ ℎ′
�
=
−�
−
− −
,
−
�
ℎ ℎ′′ −
−
−
− −
)
(68)
11
�
′′
� =
−
+
+
−
ℎ′
−
∑ (ℎ′
�
=
′
+
−
−
− −
+
′
ℎ
ℎ
− −
+
−
−
)−�
,
−
,
,
> .
Penurunan persamaan orde ke-m (65)-(68) diberikan pada Lampiran 3.
Berdasarkan persamaan (47), (48), (65), (66) dan (56), diperoleh
(69)
�+
−
���− −
��� =
+
�− ,
dengan kondisi batas
∑�= � ℎ � = , ∑�= �� ℎ � = , ℎ �� = ,
(70)
�� = .
� = ,
(71)
Matriks � dan � telah didefinisikan pada (59) dan
�� ]� ,
� ,,…
� ,
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
(72)
−
�−
=
∑[
=
(
�
� ℎ
�
�ℎ
−
={
− −
∑ [ �ℎ
=
−
�
ℎ � ℎ
− −
− �
ℎ
− −
−
− −
− −
]
]
)
.
Kondisi batas (70) dan (71) diimplementasikan pada matriks � di ruas kiri
persamaan (69) baris , �, � + , � + , dan
� + , secara berurutan,
sebagaimana pada penyelesaian awal. Baris-baris yang bersesuaian, semua kolom,
dari � di ruas kanan (69), � dan �− semua diatur menjadi nol. Ini akan
menghasilkan formula rekursif berikut, untuk
:
−
̃ ��− + [ �− − −
(73)
�]].
�
=� [
+
̃ adalah matriks � pada (59) namun dengan penerapan kondisi batas,
Matriks �
yakni semua elemen pada baris pertama, �, � + , � + dan � + diatur
menjadi nol.
Jadi, dimulai dari pendekatan awal, yang diperoleh dari persamaan (60),
pendekatan orde yang lebih tinggi dari
� untuk
dapat diperoleh
dengan menggunakan persamaan (73).
̂ dan ̂ orde ke-m,
Selanjutnya, koefisien-koefisien ℎ
pada
persamaan (52) dan (53) dapat diperoleh dengan persamaan
̂� = −
,
(74)
−
̂� =
,
(75)
dengan
̂ � = (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� )� ,
̂ � = ̂ , ̂ , … , ̂� � ,
=(
= (ℎ
�
��
� ,ℎ
⋱
�
�
�
��
� ,…ℎ
),
�� )
(76)
�
12
=(
� ,
�
�� ) .
� ,…
Penurunan persamaan (74)-(76) diberikan pada Lampiran 4. Dengan
demikian, diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan Von Karman (36)
dan (37) dalam bentuk deret orde ke-m sebagai berikut:
,
≈ ∑ = ∑�= ℎ̂ , , � +
(77)
�
.
≈∑ = ∑ = ̂, , � +
(78)
Studi Kasus
Pada bagian ini akan dibahas suatu studi kasus penyelesaian persamaan
Von Karman dengan menggunakan metode spektral homotopi. Berdasarkan
uraian pada bagian aplikasi metode, berikut ini prosedur untuk menentukan
penyelesaian dari persamaan Von Karman (36) dan (38):
1 Misalkan diberikan fungsi-fungsi pendekatan awal
dan
sebagai
berikut
(79)
= − + − − ,
−
=
.
(80)
memenuhi kondisi batas (38).
dan
Jelas bahwa
2 Mencari nilai-nilai koefisien fungsi ℎ � dan
� ,
menggunakan persamaan (74) dan (75), dengan terlebih dahulu mencari
,
secara rekursif menggunakan persamaan (60) (untuk =
) dan (73) (untuk
).
3 Membentuk penyelesaian persamaan Von Karman (36) dan (37)
menggunakan persamaan (77) dan (78).
Misalkan � =
dan � = , maka berdasarkan persamaan (59) diperoleh
matriks segi dengan dimensi 24. Kemudian persamaan (60) memberikan
= − .
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. ,
. , . ,
. , , , . , . ,− . , . ,− . , . , . , . , . ,
. , �.
Selanjutnya akan ditentukan nilai parameter
yang sesuai. Nilai
diperoleh dari kurva fungsi ℎ′
dan ′
untuk orde 2 dan orde 3. Kurva fungsi
ℎ′
dan ′
diberikan pada Gambar 2 dan Gambar 3 secara berurutan sebagai
berikut.
0.004
Keterangan:
---: ℎ′
orde 2
---: ℎ′
orde 3
−4
−3
−2
Gambar 2 Penentuan nilai parameter
−1
0.002
ℎ′
1
− 0.002
− 0.004
berdasarkan kurva ℎ′
13
Keterangan:
---: ′
orde 2
---: ′
orde 3
−3
−2
0.02
−1
Gambar 3 Penentuan nilai parameter
′
0.04
1
− 0.02
− 0.04
berdasarkan kurva
′
Berdasarkan Gambar 2 dan Gambar 3, dipilih nilai parameter
=− .
Kemudian, berdasarkan persamaan (73), diperoleh penyelesaian
untuk =
, , , sebagai berikut
=
=
=
=
−
. − .
− . ,−
−
. −
. , .
−
. .
− .
−
. −
− .
,− . − . ,− . ,− . ,− . ,− , ,− . ,
. ,− . , , , . ,− , , . ,− . , . ,− . ,
. , . , − . , − . , �,
. ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,
, , , . , . ,− . , . ,− . , . ,− . ,− . ,
− . , − . , �,
, . , . , . , . , . , . , . , . , . , . , . , . ,
, . , − . , . , − . , − . , − . , . , . , �,
. ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,− . ,
,− . , , ,− . ,− . , . ,− . ,− . ,− . ,
. , . , . , . , �.
Selanjutnya, koefisien-koefisien ℎ � dan
oleh persamaan (74) dan (75) sebagai berikut
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
−
ℎ̂ =
ℎ̂ =
̂ =
−
−
−
.
. −
.
.
.
.
. −
.
.
, . ,− . ,− .
�
− . , .
,
. ,− . , . ,− . , . ,− . , .
�
− . , .
,
,− . , . ,− . ,− . , . ,− .
�
. ,− .
,
, . ,− . , . ,− . , . , . ,−
�
. ,− .
,
. ,− . , . ,− . , . ,− . , .
�
− . , .
.
.
,
,−
.
,−
� hingga orde 4 diberikan
.
,
.
.
,− . ,− .
. ,− . , .
,
�
,
.
, .
,− .
, .
, .
, .
, .
,− .
,
, .
,− .
.
, .
,−
.
, .
,− .
,− .
,
, .
, .
.
,
,−
,
,
,
.
,
14
̂ =
−
̂ =
−
̂ =
−
̂ =
−
.
.
,− .
,− .
, . ,− . , . ,
�
− . ,− .
,
. − . , . ,− . ,− . , . ,− .
�
− . , .
,
. . ,− . , . ,− . , . , . ,−
�
. ,− .
,
. . ,− . , . , . ,− . , . ,−
�
. ,− .
.
.
,− .
.
, .
, .
.
,− .
,− .
, .
,− .
,− .
,− .
, .
, .
, .
,− .
,
,
,
,
Akhirnya diperoleh bentuk penyelesaian persamaan (36) dan (37)
menggunakan persamaan (77) dan (78) sebagai berikut
≈ .
− .
≈ .
+ .
+ .
�− .
� − .
� + .
� + .
� − .
� + .
� − .
� − .
� + .
� +
− .
�− .
� + .
� + .
� − .
� − .
� + .
� − .
� − .
� + .
� +
Berdasarkan persamaan (81) diperoleh kurva fungsi
�
(81)
�
(82)
sebagai berikut.
H
2
4
6
8
10
− 0.2
− 0.4
− 0.6
− 0.8
Gambar 4 Kurva
terhadap
dengan
=−
Berdasarkan Gambar 4, dimulai dari nol, nilai semakin menurun seiring dengan
bertambahnya nilai . Nilai kemudian konvergen menuju -0.875024575 saat
→ ∞. Dengan kata lain, kecepatan partikel dalam arah sumbu yaitu � adalah
− .
× √�Ω dengan � adalah koefisien kekentalan kinematik fluida dan Ω
konstanta kecepatan sudut. Tanda negatif berarti bahwa arah gerak fluida pada
sumbu adalah menuju titik pusat koordinat.
Berikut ini diberikan Tabel 1 yang menyatakan galat antara nilai
dengan literatur (Putri 2013) dengan = − hingga orde ke-4.
15
∞ terhadap literatur beserta galat
Tabel 1 Perbandingan hasil penyelesaian
∞ Sp��tra� Ho�otopi
-0.876244931
-0.876350528
-0.874753263
-0.875024575
orde
1
2
3
4
∞ �it�ratur Putri
-0.859257831
-0.864152428
-0.868545963
-0.876812375
galat
0.0169871
0.0121981
0.0062073
0.0017878
Berdasarkan Tabel 1 dapat disimpulkan bahwa penyelesaian yang
diperoleh dalam karya tulis ini cukup baik. Terbukti mengacu pada hasil yang
diperoleh literatur (Putri 2013), galat yang dihasilkan oleh metode spektral
homotopi pada karya tulis ini cenderung semakin kecil untuk setiap orde (hingga
orde 4). Nilai galat yang terkecil dihasilkan pada orde 4, yakni kurang dari 0.002.
G
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
2
Gambar 5 Kurva
3
4
terhadap
5
dengan
6
=−
7
Berdasarkan Gambar 5, kurva
semakin menurun seiring
membesarnya . Sehingga dapat disimpulkan
konvergen ke 0 saat → ∞.
Dikaitkan dengan konteks permasalahan, partikel fluida hampir tidak bergerak
dalam arah tangensial yaitu � untuk fluida yang hampir takkental � → .
Untuk fluida yang hampir kental � → ∞ , kecepatan partikel dalam arah sumbu
yaitu � adalah Ω dengan Ω merupakan kecepatan sudut.
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode spektral homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan suatu sistem persamaan diferensial taklinear. Metode ini secara
sederhana dapat dipandang sebagai pemasukan konsep spektral ke dalamanalisis
homotopi. Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Von
Karman berkenaan dengan rotasi aliran fluida kental. Penggunaan metode spektral
homotopi untuk persamaan Von Karman memerlukan suatu operator taklinear
yang ditentukan berdasarkan bentuk taklinear dari persamaan tersebut.
Berdasarkan operator ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk memperoleh
penyelesaian persamaan Von Karman yang dinyatakan dalam polinomial
Chebyshev orde tertentu. Semakin tinggi orde yang digunakan, maka penyelesaian
hampiran persamaan ini semakin mendekati penyelesaian eksaknya.
Dalam penelitian ini, diperoleh penyelesaian masalah berupa besaran
komponen kecepatan fluida dalam arah sumbu- dan komponen kecepatan sudut.
Untuk fuida yang takkental, partikel fluida tidak bergerak dalam arah sudut 0,
namun bergerak dengan kecepatan dalam arah sumbu- sebesar .
× √�Ω
mendekati pusat koordinat. Pemilihan nilai parameter dalam metode spektral
homotopi ikut menentukan kekonvergenan dari penyelesaian masalah tersebut.
Saran
Dalam karya ilmiah ini digunakan beberapa asumsi untuk memperoleh
pendekatan penyelesaian analitik dari masalah Von Karman. Perlu adanya
penelitian lanjutan untuk masalah Von Karman apabila beberapa asumsi tersebut
tidak digunakan.
17
DAFTAR PUSTAKA
Benton ER. 1966. On the flow due to a rotating disk. J.Fluid Mech. 24:781-800.
Doi: http://dx.doi.org/10.1017/S002211206001009.
El-Nahhas A. 2007. Analytic approximations for Von Karman swirling flow.
Science. 44(3):181-187.
Feit MD, Fleck JA, Steiger A. 1982. Solution of the Schrodinger equation by a
spectral method. Journal of Computanional Physics, 47, 412-433.
doi:10.1016/0021-9991(82)90091-2.
Finlayson BA. 1972. The Method of Mean Weight Residual and Variational
Principles. London: Academic Press.
Khorrami MR, Malik MR, Ash RL. 1989. Application of spectral collocation
techniques to the stability of swirling flows. Journal of Computanional
Physic. 81(1), 206-229. doi:10.1016/0021-9991(89)90071-5.
Liao S. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to The Homotopy Analysis
Method. New York (US): Boca Raton.
Moser RD, Moin P, Leonard A. 1983. A spectral numerical method for the
Navier-Stokes equations to Taylor-Couette flow. Journal of Computational
Physics. 52(3), 524-544. doi:10.1016/0021-9991(83)90006-2.
Ogundare BS. 2009. On the pseudo-spektral method of solving linear ordinary
differential equations. Journal of Mathematics and Statistics. 5(2): 136-140.
Putri, RG. 2013. Penyelesaian masalah rotasi aliran fluida kental Von Karman
menggunakan metode homotopi [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Siddiqui AM, Farooq AA, Haroon T, Babcock BS. 2013. A variant of the classical
VonKarman flow for a Jeffrey fluid. Journal of Applied Mathematical
Sciences. 7(20): 983-991.
Streeter VL, Wiley EB. 1985. Mekanika Fluida Jilid 1. Prijono A, penerjemah.
Jakarta(ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Fluid Mechanics, Ed ke-8.
Williams FA, Nayagam V. 2002. Dynamics of diffusion flames in Von Karman
swirling flow studied. Microgravity Research NASA [Internet]. California,
San
Diego.
[diunduh
Oktober
2014].
Tersedia
pada:
www.grc.nasa.gov/WWW/RT/RT2001/6000/6711nayagam.html
18
Lampiran 1 Penurunan persamaan (10) dan (11)
Pertama, akan diturunkan persamaan (10). Tinjau transformasi variabel yang
diberikan pada persamaan (9) berikut
= cos ,
(9)
= sin .
Berdasarkan transformasi (9), diperoleh turunan-turunan parsial dari dan
sebagai berikut:
�
�
= cos ,
= − sin ,
�
�
�
�
(83)
= sin ,
= cos .
�
Untuk mengawali penurunan, akan ditentukan turunan total dari terhadap yang
dinyatakan sebagai komponen kecepatan arah sumbu , yaitu sebagai berikut
� �
� �
�
+
.
= =
(84)
�
�
� �
� �
Berdasarkan turunan-turunan parsial pada persamaan (83) dan � =
�
�
�
dan � =
, maka persamaan (84) dapat ditulis sebagai berikut
(85)
= cos � − sin � .
Cara yang serupa digunakan untuk menyatakan turunan total dari terhadap
yang dinyatakan sebagai komponen kecepatan arah sumbu , yaitu sebagai
berikut
�
�
=
+
,
=
�
�
atau
(86)
= sin � + cos � .
Dari persamaan (85) dan (86), diperoleh persamaan (10) sebagai berikut
� = cos + sin ,
� = − sin + cos .
�
Selanjutnya, akan diturunkan persamaan (11) yang merupakan hasil
transformasi dari persamaan (8) ke dalam koordinat silinder. Langkah pertama,
perhatikan bahwa transformasi (9) dapat dituliskan sebagai berikut:
=
+ ,
(87)
= arctan .
Dari persamaan (84), diperoleh turunan-turunan parsial dari dan sebagai
berikut:
�
�
= cos ,
= sin ,
�
�
�
�
= − sin ,
= cos .
�
�
Kemudian tinjau persamaan (8) yang akan diturunkan berikut
�
�
�
+
+
= .
�
�
�
Akan ditentukan representasi suku-suku pada ruas kiri persamaan (8) tersebut
dalam koordinat silinder. Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh
�
�
�
(88)
= cos
− sin
,
�
�
�
19
�
�
= sin
�
�
+ cos
�
�
.
(89)
Lalu, karena dan � sama-sama menyatakan komponen kecepatan dalam arah
sumbu , maka diperoleh hubungan berikut
= �,
sehingga diperoleh
��
�
(90)
= � �.
�
Jika persamaan (88)-(90) dijumlahkan, maka diperoleh persamaan berikut
�
�
�
�
��
(91)
− sin
+ sin
+ cos
+
= .
cos
�
�
�
�
�
Kemudian sisipkan ekspresi
cos + sin
+
pada persamaan (90), diperoleh
�
�
cos + sin
− sin
+
cos
�
�
− cos − sin
+ sin
�
�
+ cos
�
�
+
(92)
��
− cos − sin + � � = .
Ruas kiri persamaan (92) adalah penjabaran dari ekspresi berikut
�(
cos + sin )
� − sin + cos
��
+
+
.
�
�
�
Berdasarkan persamaan (10), ekspresi (92) dapat dituliskan sebagai berikut
� �
��
��
+
+
�
�
�
yang juga merupakan ruas kiri persamaan yang ingin diturunkan. Jadi,
berdasarkan persamaan (92), telah diturunkan persamaan kontinuitas fluida dalam
koordinat silinder sebagai berikut
� �
��
��
+
+
= .
�
�
�
20
Lampiran 2 Penurunan persamaan (56)-(59)
Substitusikan (52) dan (53) berikut
�
̂
ℎ � ≈ ℎ (� ) = ∑ ℎ
�
�
� ≈
dan (55) berikut
�
=
�
(� ) = ∑ ̂
ℎ
= ∑� ℎ � ,
�
=
�
∑� ℎ �
=
=�
yang ekuivalen dengan
�
∑� ℎ �
=
+
�
ℎ′ � +
�
∑� ℎ �
+
(� ),
,
=
ke dalam persamaan (49) berikut
ℎ′′′ � + ℎ′′ � +
menghasilkan
(� ),
,
=
�
=
�
= , , … , �,
= ∑�
=
� +
�
� ,
ℎ � =�
+
∑� ℎ �
+
=
�
∑� ℎ �
+
∑� ℎ �
= , , … , �,
=
+
+
ℎ +
ℎ
.
=�
Karena titik collocation � berjumlah � + titik dan demikian halnya dengan
jumlah indeks , maka ∑�= � ℎ (� ) akan membentuk matriks segi berdimensi
� + . Karena ada � + titik collocation, maka koefisien , = , , , , dan
� , = , akan membentuk vektor berukuran � + pula. Sehingga, vektor
perlu dibuat menjadi matriks segi dengan dimensi yang sama � +
agar
∑�= � ℎ � terdefinisi, yakni dengan cara membuatnya menjadi matriks
diagonal. Selanjutnya, diperoleh persamaan matriks berikut
�
+ �
+ � + � + �
, … , � � ]�
,�
= [�
atau setara dengan
�
, … , � � ]� .
,�
= [�
� + � + �+ �
�
Persamaan ini merupakan bentuk matriks dari (49). Dengan menerapkan cara
yang serupa, diperoleh bentuk matriks dari persamaan (50).
Berdasarkan persamaan (49) dan (50) diperoleh
�� = �
dengan
� + � + �+ �
�
,
�=
�+ �
� + �+ �
= [ℎ � , ℎ � , … , ℎ �� ,
� = [�
= diag [
,�
,
,…,�
,…,
�
,�
� ,
�−
,
,�
� ,,…
�
] ,
�� ]� ,
,…,�
�
]� ,
21
= diag [
,…,
,
,
�−
�
] ,
= , , , , .
Selanjutnya penurunan kondisi batas yang bersesuaian. Dimulai dengan kondisi
batas yang diberikan oleh persamaan (51) berikut
= ℎ′ − = ℎ′
= .
− = ,
= ,
�
�
Perhatikan titik-titik collocation � , = , , … , � . Berdasarkan definisi titik
collocation pada (54), diketahui � = − saat = � dan � = saat = .
ℎ −
Kemudian, dengan menerapkan fakta bahwa
kondisi batas (51) memberikan
�
�
∑� ℎ �
=
= ,
�
�
�
∑ �� ℎ �
=
= ,
�� ℎ
����
= ∑�= � ℎ �
= , ℎ �� = ,
�� = .
, maka
22
Lampiran 3 Penurunan persamaan (65)- (68)
Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke-m, kedua ruas pada
persamaan deformasi orde nol (63) dan (64) diturunkan terhadap q sebanyak m
kali, kemudian dibagi dengan m! dan substitusikan nilai q=0.
Pertama, tinjau persamaan deformasi orde nol untuk fungsi h pada persamaan (63)
berikut
�ℎ [ℎ̃ �;
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
−ℎ � ]=
Turunan pertama persamaan (63) terhadap q adalah
−�ℎ [ℎ̃ �;
−ℎ � ]+
−
�ℎ [
̃ �;
(�ℎ [ℎ
=
�
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
�ℎ [ℎ ,
] − � ).
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
]−� )+
Substitusi nilai q=0 memberikan
�ℎ [ℎ ] =
]
, ̃ �;
, ̃ �;
] − � ).
]−� .
Turunan kedua persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
ℎ̃ �;
�
]+
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
−
�
�ℎ [
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
]
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
]−� )+
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
�
(�ℎ [ℎ̃ �;
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
, ̃ �;
Turunan ketiga persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
�
�
�
ℎ̃ �;
]+
(�ℎ [ℎ̃ �;
−
�ℎ [
, ̃ �;
�
�
ℎ̃ �;
]−� )+
]
�
�
, ̃ �;
] − � )|
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
=
] − � ).
=
.
, ̃ �;
] − � ).
23
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
] − � )|
�
yang ekuivalen dengan
�
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
�
Turunan keempat persamaan (63) terhadap q adalah
− �ℎ [
=
�
�
ℎ̃ �;
]+
(�ℎ [ℎ̃ �;
�ℎ [
−
, ̃ �;
�
ℎ̃ �;
�
]
]−� )+
�
Substitusi nilai q=0 memberikan
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
! �ℎ [ℎ − ℎ ] =
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ ] =
Untuk turunan ke-m dengan
− �ℎ [
=
�
−
�
−
�
�
−
ℎ̃ �;
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
]+
!
−
−
atau
−
]=
�
ℎ̃ �;
�
, ̃ �;
]−� )+
]=
�
�
yang ekuivalen dengan
�ℎ [ℎ − ℎ
−
, ̃ �;
, diperoleh
�ℎ [
!
−
]
�
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
−
�
�
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
�
̃ �;
(�ℎ [ℎ
�
Substitusi nilai q=0 memberikan
! �ℎ [ℎ − ℎ
�
−
−
̃ �;
(�ℎ [ℎ
] − � )|
(�ℎ [ℎ̃ �;
, ̃ �;
.
=
, ̃ �;
] − � )|
, ̃ �;
=
] − � ).
=
=
.
, ̃ �;
] − � )|
] − � ).
=
] − � )|
=
24
�ℎ [ℎ −
dengan
ℎ
=
�
−
dan
!�
−
ℎ
−
(�ℎ [ℎ̃ �;
−
={
ℎ
]=
,
,
,
, ̃ �;
] − � )|
=
> .
Cara yang serupa diterapkan pada persamaan (64), diperoleh
�� [
dengan
�
=
�
−
dan
!�
−
−
−
−
(�� [ℎ̃ �;
={
,
]=
,
,
, ̃ �;
] − � )|
=
> .
Selanjutnya, berdasarkan definisi operator taklinear �ℎ dan �� pada persamaan
(61) dan (62), substitusikan definisi �ℎ dan �� pada ekspresi
ℎ
�
ℎ
ℎ
=
=
=
=
−
−
!�
+
−
�ℎ̃ �ℎ̃
−
� �� ��
�
!�
+
ℎ′′′ +
ℎ′′′ +
� ℎ̃
+
��
−
�
�
−
−
̃
ℎ′′ +
�
̃ −� |
�ℎ̃
+
��
� ̃
+
��
�ℎ̃
�̃
− ℎ̃
−� |
��
��
ℎ′′ +
+
� ℎ̃
+
��
ℎ′ +
ℎ′ +
ℎ ℎ −
+
+
−
=
�ℎ̃
+
��
̃+
�̃
+
��
ℎ̃ +
=
ℎ −
ℎ −
�
�
ℎ ℎ′′ +
ℎ ℎ′′ −
ℎ
�
dan
ℎ̃ −
�
ℎ̃
� ℎ̃
��
̃
�
�
ℎ ℎ −
ℎ ℎ′′ +
�
ℎ ℎ
−�
25
ℎ
=
!
ℎ′′′ +
(
−
−
�
ℎ′′ +
ℎ ℎ′′ +
yang ekuivalen dengan
ℎ
ℎ
ℎ′′′ +
=
=
!
+
ℎ′′′ +
(
−
−
ℎ′ +
ℎ ℎ +
�
ℎ ℎ′′ −
−
yang ekuivalen dengan
ℎ
ℎ′′′ +
=
−
−
ℎ′′ +
ℎ′′′− +
=
ℎ ℎ +
ℎ′ +
ℎ′′ − +
−
+ ∑ ( ℎ′ ℎ′
�
=
ℎ ℎ +
�
−
�
ℎ −
ℎ ℎ +
−
− −
+
−
−
�
ℎ
�
ℎ ℎ +
−
ℎ ℎ′′ −
�
�
ℎ ℎ −
−
ℎ −
�
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ +
)
�
ℎ ℎ +
−
�
−
−
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ′′ −
ℎ ℎ′′ −
�
−
ℎ ℎ +
ℎ −
ℎ −
ℎ ℎ′′ −
�
+
�
+
−
�
ℎ ℎ −
�
ℎ ℎ′′ +
ℎ′ +
−
+
+
�
ℎ ℎ′′ +
�
atau secara umum
ℎ
�
ℎ′′ +
�
ℎ ℎ +
�
)
ℎ′′ +
ℎ′ +
�
�
ℎ ℎ′′
ℎ ℎ′′
�
ℎ ℎ +
ℎ ℎ′′ −
�
ℎ ℎ′′
�
ℎ ℎ −
− −
)
�
ℎ ℎ
ℎ ℎ′′
.
−
−�
Telah diturunkan bagian pertama persamaan (68). Selanjutnya, bagian kedua
persamaan (68) dapat diturunkan dengan cara serupa.
�
�
�
′′
=
′′
=
=
!
(
ℎ′ +
+
+
−
′′
ℎ′ +
�
+
′
+ ℎ′
�
ℎ
′
′
+
+
ℎ′ +
−
�
+ ℎ′
�
ℎ +
+ ℎ′
�
ℎ +
′
′
+
ℎ −
−
�
′
ℎ +
ℎ −
�
�
′
+ ℎ′
�
′
+ ℎ′
�
ℎ )
ℎ −�
−
�
′
+ ℎ′
�
ℎ
26
yang ekuivalen dengan
�
�
′′
=
=
!
+
−
′′
(
+
ℎ′ +
�
+
�
−
�
′
′
ℎ −
ℎ′
′
yang ekuivalen dengan
�
′′
=
+
+
ℎ )
ℎ′ +
′
+ ℎ′
�
� =
′′
�
ℎ′ +
−
atau secara umum
�
+
−
+
+
�
+
�
−
′
ℎ +
ℎ −
′
ℎ′
�
′
ℎ′
ℎ −
∑ (ℎ′
=
+
ℎ +
−
′
�
+
ℎ
ℎ +
−
�
− −
+ ℎ′
�
′
�
′
ℎ −
−
−
�
+
′
+
ℎ −
+ ℎ′
�
′
+ ℎ′
�
ℎ
′
�
�
′
ℎ′
ℎ −
+ ℎ′
�
ℎ −
ℎ
− −
−
+ ℎ′
�
�
+
′
)−�
ℎ
�
+
′
�
ℎ
ℎ′
+ ℎ′
�
−
−
.
27
Lampiran 4 Penurunan persamaan (74) – (76)
Telah diketahui bahwa untuk setiap orde m,
, ℎ didekati sebagai fungsi
polinom berorde N dengan masing-masing sukunya adalah polinomial Chebysev
berorde 0,1,...,N. Kemudian untuk setiap suku, polinomial Chebyshev ini
dievaluasi pada titik-titik collocation � , = , , … , �, sehingga diperoleh sistem
persamaan linear berikut
̂
� ℎ̂
� � ℎ�
�
= (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� )
⋱
̂
�� ℎ̂
� �� ℎ�
dengan vektor variabel yang ingin dicari adalah koefisien-koefisien
�
(ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) . Sistem persamaan linear tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut
�
� �
�
�
⋱
(
) (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) = (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� ) .
��
� ��
̂, ℎ
̂, … , ℎ̂� )� dapat dicari dengan persamaan
Selanjutnya, jelas bahwa (ℎ
−
�
�
�
�
�
⋱
(ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� ) = (
) (ℎ � , ℎ � , … ℎ �� ) .
��
� ��
ekuivalen dengan yang ingin diturunkan. Serupa untuk penurunan koefisien ̂� ,
diperoleh
̂� = −
,
−
̂� =
,
dengan
̂ � = (ℎ̂ , ℎ̂ , … , ℎ̂� )� ,
̂ � = ̂ , ̂ , … , ̂