BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Pengertian Graf Suatu graf G adalah suatu pasangan himpunan VG,EG, dimana VG = { v
1,
v
2,…..
v
n
} adalah himpunan tak kosong berhingga yang terdiri dari titik-titik disebut verteks dan suatu himpunan EG = { e
1,
e
2,…..
e
n
} dengan garis-garis yang menghubungkan verteks-verteks disebut sisi Chartrand dan Oellerman, 1993.
Penulisan yang tepat untuk menyatakan sisi adalah e=v
1
v
2
atau e=v
2
v
1
. Jika e=v
1
v
2
adalah suatu sisi dari graf G, maka dikatakan v
1
dan v
2
bersisian adjacent. G :
e
7
v
6
v
1
e
1
v
2
e
5
e
4
v
5
v
4
e
3
e
6
v
3
e
2
Gambar 2.1. Graf G
Pada gambar 2.1, G adalah graf dengan : VG = { v
1,
v
2,
v
3,
v
4,
v
5,
v
6,
} dan EG = { e
1,
e
2,
e
3,
e
4,
e
5,
e
6,
e
7,
}, dimana e
1
= v
1
v
2
, e
2
= v
1
v
3
, e
3
= v
3
v
4
, e
4
= v
4
v
5
, e
5
= v
4
v
6
, e
6
= v
1
v
4
, dan e
7
= v
3
v
7
.
Suatu gelang loop pada suatu graf G adalah suatu sisi yang verteks awalnya
sama dengan verteks akhir yaitu e=v
1
v
1
.
Dua verteks yang dihubungkan lebih dari satu sisi maka disebut sisi paralel. Suatu graf G disebut graf sederhana jika tidak memuat sisi paralel dan gelang.
Universita Sumatera Utara
G:
v
2
e
3
e
2
v
1
e
1
v
3
e
6
e
4
e
5
Gambar 2.2 Graf Tidak Sederhana Graf G pada gambar 2.2, sisi e4 dan e5 merupakan sisi paralel dan sisi e3
merupakan gelang.
Banyaknya verteks dari suatu graf G disebut ordo orde dengan notasi p dan banyaknya sisi dari suatu graf G disebut ukuran size dengan notasi q. Suatu graf
G dengan ordo p dan ukuran q dinotasikan p,q graf. Suatu graf G, jika v
VG, derajat dari v dinotasikan dengan dv yaitu
banyaknya sisi yang bertemu di v Narsingh, 1986.
Derajat terkecil dari suatu verteks-verteks di G disebut derajat
minimal dengan notasi
G dan derajat terbesar dari suatu verteks-verteks di G
disebut derajat maksimal dengan notasi
Δ G .
Suatu verteks yang berderajat 0 disebut verteks isolasi dan suatu verteks yang derajat 1 disebut verteks ujung pendant serta suatu verteks yang memuat
gelang dianggap verteks yang berderajat 2 Fletcher, 1991. G:
t w
u v
z
x y
Gambar 2.3. Graf dengan derajat minimal dan maksimal
Universita Sumatera Utara
Graf G pada gambar 2.3, du = 4, dv = 4, dw = 3, dx = 2, dy = 2, dz = 1 dan dt = 0 maka
ΔG = 4 dan G = 0.
2.1.1. Keterhubungan graf
Suatu jalan walk dalam suatu graf G adalah barisan berganti-ganti
W : v
0,
e
1,
v
1,
e
2,
v
2, …,
v
n-1,
e
n,
v
n
n ≥0 dari verteks-verteks dan sisi-sisi yang diawali dan diakhiri dengan verteks-verteks, sehingga e
i
= v
i-1
v
i
untuk I = 1, 2, …, n. Karena jalan W diawali dengan v
dan diakhiri dengan v
n,
dinyatakan sebagai suatu jalan v
– v
n
a v – v
n
walk Harary, 1994. Suatu sikel cycle adalaj suatu jalan v
, e
1
, e
2
, …, v
n-1
, e
n
, v
n
dimana n≥3, v
=v
n
dan n verteks v ,v
1
…, v
n
tanpa pengulangan, dinotasikan C
n
. suatu sikel disebut genap jika panjangnya genap. Suatu sikel disebut ganjil jika panjangnya
ganjil. Graf pada gambar 2.4, memuat C
3
, C
4
dan C
5
.
c
3
c
4
c
5
Gambar 2.4. Sikel
Suatu graf G sendiri adalah terhubung connected jika u terhubungkan ke
v untuk setiap pasangan u,v dari verteks-verteks di G.Suatu graf G yang tidak
terhubung dikatakan terputus disconnected.
2.1.2. Subgraf dan graf bipartit Graf G
1
disebut subgraf dari G jika V
1
adalah himpunan bagian dari VG dan E
1
adalah himpunan bagian dari EG dari G
1
sendiri merupakan suatu graf. Graf pada gambar 2.5, G
1
dan G
2
adalah subgraf di G Lipschutz, 2002.
Universita Sumatera Utara
G : G
1
: G
2
:
v w
x y
v w
x y
v
x y
u u
Gambar 2.5. Dua subgragf G
1
dan G
2
dari suatu graf G
Jika v suatu verteks di G, maka G-v adalah suatu subgraf G yang dihasilkan dengan menghilangkan v dan semua sisi yang bersisian di v.
Gambar 2.6 merupakan suatu graf G dengan graf G-v. G :
G-v :
x u
z y
v w
x u
z y
w
Gambar 2.6. Graf G-v
Jika e suatu sisi di G, maka G-e adalah suatu subgraf G yang dihasilkan dengan menghilangkan suatu sisi e di G Liu, 1995.
Gambar 2.7 merupakan suatu graf G dengan G-e. G :
G-e
e
Gambar 2.7. Graf G-e
Suatu bagian G disebut graf bipartit jika VG dapat dipartisi menjadi dua
himpunan bagian V
1
dan V
2
sedemikian sehingga VG = V
1
V
2
yaitu setiap sisi di G terhubungkan dengan suatu verteks di V
1
dan V
2
.
Universita Sumatera Utara
Graf G gambar 2.8a adalah graf bipartit karena VG dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian V
1
= {v
1
,v
6
} dan V
2
= {v
2
, v
3
, v
4
, v
5
} dimana setiap sisi di G terhubungkan dengan verteks di V
1
dan V
2
. Setelah digambar ulang, jelas G adalah graf bipartit, seperti pda gambar 2.8b.
G :
v
1
v
2
v
5
v
6
v
3
v
4
v
1
v
6
v
2
v
5
v
4
v
3
Gambar 2.8. Graf bipartit
Suatu graf tidak trivial G adalah bipartit jika dan hanya jika G tidak memuat sikel ganjil.
Suatu graf G disebut graf lengkap jika setiap pasang verteksnya bersisian. Graf
lengkap dengan ordo p dinotasikan dengan K
p
. Graf pada gambar 2.9 adalah K
p
untuk setiap p = 1, 2, 3, 4, 5.
K
3
K
5
K
4
K
2
K
1
Gambar 2.9. Graf lengkap
2.2. Pewarnaan Graf
Kategori