BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Graf
2.1.1 Definisi Graf
Graf G adalah pasangan VG,EG dengan VG adalah himpunan tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, EG adalah himpunan mungkin
kosong pasangan tak berurutan dari titik- titik berbeda di VG yang disebut sisi. Banyaknya unsur di VG disebut order dari G dan dilambangkan dengan pG, dan
banyaknya unsur di EG disebut ukuran dari G dan dilambangkan dengan qG. Jika graf yang dibicarakan hanya graf G, maka order dan ukuran dari G masing-masing
cukup ditulis p dan q. Graf dengan order p dan q disebut graf-p,q.
[1]
Nama “Graf” diberikan karena graf dapat disajikan secara grafik atau gambar, dan justru dengan bentuk gambar inilah sifat-sifat graf dapat dikenali secara detail.
Titik disajikan dalam bentuk noktah atau lingkaran kecil dan sisi disajikan dalam bentuk garis atau kurva yang memasangkan dua titik.
[1]
Perhatikan graf G yang memuat himpunan titik VG dan himpunan sisi EG seperti berikut ini.
VG = {a,b,c,d,e} EG = {a, b, a, c, a, d, b, d, b, c, d, e}
Universitas Sumatera Utara
Graf G tersebut secara lebih jelas dapat digambar sebagai berikut.
Gambar 2.1 Graf G
Graf G mempunyai 5 titik sehingga order G adalah p = 5. Graf G mempunyai 6 sisi sehingga ukuran graf G adalah 6.
Graf G dengan himpunan titik dan sisi masing-masing VG = {a, b, c, d, e}
EG = {a, b, a, c, a, d, b, d, b, c, d, e} Dapat juga ditulis dengan
VG = {a, b, c, d, e} EG = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
} Dengan
e
1 =
a, b e
2 =
a, c e
3 =
a, d e
4 =
b, d e
5 =
b, c e
6 =
d, e
Sisi e = a, b dikatakan menghubungkan titik a dan b. Jika e = a, b adalah sisi graf G, maka a dan b disebut terhubung langsung adjacent, a dan e serta b dan e
disebut terkait langsung incident, dan titik a dan b disebut ujung dari e. Dua sisi
G :
a c
d b
e
e
1
e
2
e
3
e
4
e
6
Universitas Sumatera Utara
berbeda e
1
dan e
2
disebut terhubung langsung adjacent, jika terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi e = a, b akan ditulis e = ab.
2.1.2 Graf Berbobot
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah nilai atau bobot. Bobot pada setiap sisi graf dapat berbeda-beda bergantung pada masalah yang dimodelkan.
Bobot dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, biaya perjalanan antara dua buah kota, waktu tempuh antara dua buah kota, waktu tempuh pesan antara simpul
komunikasi dengan simpul komunikasi lainya, ongkos produksi dan sebagainya. Graf berbobot juga sering dikaitkan dengan istilah graf berlabel.
[7]
Untuk membuat label, masing-masing vertex diberi sebuah label dan setiap edge
diberikan sebuah nilai atau bobot. Tampilan graf berlabel dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Graf Berbobot
2.1.3 Representasi Graf Pada Komputer
Meskipun menggambar merupakan cara yang mudah untuk menjelaskan suatu graf, cara ini tentunya mempunyai kelemahan ketika akan menyimpan data tentang graf
dalam komputer, atau ketika akan mengkaji sifat-sifat sutau graf melalui hitungan matematis. Merepresentasikan graf dalam bentuk matriks akan memberikan
P Q
R S
T 6
9
12 7
9 6
Universitas Sumatera Utara
V
1
V
2
V
3
V
4
v
1
v
2
v
3
v
4
v
1
v
2
v
3
v
4
kemudahan bagi sesorang yang senang menggunakan komputer ketika mengkaji informasi atau menyelesaikan permasalahan yang melibatkan graf.
[1]
Matriks keterhubungan suatu graf G adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1 dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat lup
dan tidak memuat sisi parallel.
Perhatikan contoh berikut. Misalkan graf G dengan himpunan titik VG = {v
1
, v
2
, v
3
, v
4
} Dan himpunan sisi
EG = {v
1
v
2
, v
1
v
4
, v
2
v
3
, v
2
v
4
, v
3
v
4
} Maka, diagram dan matriks keterhubungan graf G sebagai berikut.
= 0 1 0 1
1 0 1 1 0 1 0 1
1 1 1 0
Gambar 2.3 Diagram dan Matriks Keterhubungan Graf G
Derajat suatu simpul degv adalah banyaknya ruas yang menghubungkan suatu simpul. Secara umum, jika graf G dengan order p p ≥ 1 dengan himpunan titik VG
= {v
1
,v
2
, … v
p
} dan A G = [a
ij
], 1 ≤ i, j ≤ p adalah matriks keterhubungan dari G, maka
deg v
i
= ∑
Hal yang sama juga berlaku jika menghitung derajat titik melalui kolom, yaitu
deg v
i
= ∑
Universitas Sumatera Utara
Dengan melihat matriks keterhubungan dari graf G dapat diperoleh bahwa a
11
+ a
12
+ a
13
+ a
14
= 0 + 1 + 0 + 1 = 2 = degv
1
, a
21
+ a
22
+ a
23
+ a
24
= 1 + 0 + 1 + 1 = 3 = degv
2
, a
31
+ a
32
+ a
33
+ a
34
= 0 + 1 + 0 + 1 = 2 = degv
3
, dan a
41
+ a
42
+ a
43
+ a
44
= 1 + 1 + 1 + 0 = 3 = degv
4
.
Dari diagram terlihat bahwa degv
1
= 2, degv
2
= 3, degv
3
= 2, dan degv
4
= 3.
2.2 Algoritma Ant Colony Optimization
Kategori