Optimasi Fortofolio Dengan Risiko Downside Fuzzy

OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO
DOWNSIDE FUZZY

TESIS

Oleh
WILMA HANDAYANI
127021001/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014

Universitas Sumatera Utara

OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO
DOWNSIDE FUZZY

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh
WILMA HANDAYANI
127021001/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO
DOWNSIDE FUZZY

Nama Mahasiswa : Wilma Handayani
Nomor Pokok
: 127021001
Program Studi
: Magister Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc)
Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota

Dekan

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 4 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 4 Juni 2014

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Anggota :

Dr. Sutarman, M.Sc
1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Si
3. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Si

Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN

OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN RISIKO DOWNSIDE FUZZY

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 4 Juni 2014
Penulis,
Wilma Handayani

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Pada tesis ini disajikan dua model seleksi portofolio yang tujuannya untuk meminimumkan risiko downside berkendala sehingga expected return dapat tercapai. Diasumsikan tingkat pengembalian dari setiap sekuritas menggunakan pendekatan bilangan LR − f uzzy, dan expected return serta risiko dievaluasi dengan
menggunakan rata-rata interval − valued. Dibangun hubungan antara definisi
mean − interval-nya menggunakan hubungan terurut yang sesuai. Akhirnya, diformulasikan bahwa masalah seleksi portofolio sebagai program linear diamana
setiap asetnya berbentuk trapesium.
Kata kunci : Portofolio, Expected return, Bilangan fuzzy, Fuzzy expected return
Interval-valued expectation, Risiko downside

ii

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
This paper presents two fuzzy portfolio selection models where the objective is to
minimize the downside risk constrained so that a given expected return should be
achieved. We assume that the rates of returns on securities are approximated as
LR-fuzzy numbers of the same shape, and that the expected return and risk are
evaluated by interval-valued means. We establish the relationship between those
mean-interval definitions for a given fuzzy portfolio by using suitable ordering relations. Finally, we formulate the portfolio selection problem as a linear program
when the returns on the assets are of trapezoidal form.

Keyword

: Portofolio, Expected return, Bilangan fuzzy, Fuzzy expected return
Interval-valued expectation, Risiko downside

iii

Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT
yang telah memberikan berkat dan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul ”Optimasi Fortofolio Dengan Risiko Downside Fuzzy”.
Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program
Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Pertama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada

penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Si selaku Pembanding Pertama yang telah banyak
memberikan bimbingan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr Opim Salim Sitompul, M.Si selaku Pembanding Dua yang juga
telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Lembaga Pengelola Dana Pendidikan pada Kementrian keuangan RI yang
telah banyak memberikan beasiswa dana penelitian tesis 2014 sehingga penulis
dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.

iv

Universitas Sumatera Utara

Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU tahun 2012 ganjil (Tiwie-Rini, Romy-Isna, Hari-P’Le-Adi, Arie-Dilla,

Ugie, Silvi, P’Mail, Juli, Fitra, Hana, Weni, Sari, Well, Tiur, Soes,
Ndi) yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam
penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada suami tercinta Ilhamuddin dan Orang Tuaku tercinta yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis serta dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini. Tak lupa pula kepada anak-anakku
Zaky Muhammad Alghifari, Zaida Ramadhani Tasneem, Zia Muhammad Alqudwah, dan Zulfa Ramadhani Sayyeeda yang telah memberikan
semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada sahabat-sahabatku
serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada
penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.

Medan,

4 Juni 2014

Penulis,
Wilma Handayani

v

Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP
Wilma Handayani dilahirkan di Garut pada tanggal 12 Juni 1976 dari pasangan Ibu Ido Hindanih & Bapak Ukab Abdul Manaf. Penulis lulus dari pendidikan
Sekolah Dasar Negeri Talun 1 Garut pada tahun 1989, Sekolah Menengah Pertama
Negeri 1 Garut pada tahun 1992, Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Garut tahun
1995. Pada tahun 1996 memasuki tingkat Perguruan Tinggi di Universitas Pasundan Bandung Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan(S-I) Matematika
lulus tahun 2000. Alhamdulillah penulis sudah menikah dengan Ilhamuddin dan
dikaruniai empat orang anak yaitu Zaky Muhammad Alghifari, Zaida Ramadhani
Tasneem, Zia Muhammad Alqudwah, dan Zulfa Ramadhani Sayyeeda.
Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika di Universitas Sumatera Utara. Selain kegiatan akademik,
penulis juga aktif mengajar sebagai guru bidang studi matematika di SMPN 7
Medan tahun 2006-2013, dan guru matematika di SMKN 10 Medan tahun 2014
sampai sekarang.

vi

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN

i

ABSTRAK

ii

ABSTRACT

iii

KATA PENGANTAR

iv

RIWAYAT HIDUP

vi

DAFTAR ISI

vii

DAFTAR GAMBAR

ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

4

2.1 Investasi

5

2.2 Portofolio

6

2.3 Risiko

7

2.4 Investasi yang Berisiko

7

2.5 Risiko Downside

11

2.6 Himpunan Fuzzy

12

2.6.1 Fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy

12

2.6.2 Bilangan fuzzy

14

vii

Universitas Sumatera Utara

2.6.3 Metode penyelesaian program linear
BAB 3 PEMBAHASAN

15
18

3.1 Model Optimisasi Portofolio

18

3.2 Perumusan Fungsi Objektif Model

18

3.3 Perumusan Fungsi Kendala

19

3.4 Fuzzy Expected Return

20

3.5 Risiko Downside Fuzzy

25

3.5.1 Model optimisasi downside fuzzy

28

3.5.2 Proses fuzzyfikasi

29

3.6 Contoh Permasalahan

30

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

35

4.1 KESIMPULAN

35

DAFTAR PUSTAKA

36

viii

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Hala-

man

ix

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Pada tesis ini disajikan dua model seleksi portofolio yang tujuannya untuk meminimumkan risiko downside berkendala sehingga expected return dapat tercapai. Diasumsikan tingkat pengembalian dari setiap sekuritas menggunakan pendekatan bilangan LR − f uzzy, dan expected return serta risiko dievaluasi dengan
menggunakan rata-rata interval − valued. Dibangun hubungan antara definisi
mean − interval-nya menggunakan hubungan terurut yang sesuai. Akhirnya, diformulasikan bahwa masalah seleksi portofolio sebagai program linear diamana
setiap asetnya berbentuk trapesium.
Kata kunci : Portofolio, Expected return, Bilangan fuzzy, Fuzzy expected return
Interval-valued expectation, Risiko downside

ii

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
This paper presents two fuzzy portfolio selection models where the objective is to
minimize the downside risk constrained so that a given expected return should be
achieved. We assume that the rates of returns on securities are approximated as
LR-fuzzy numbers of the same shape, and that the expected return and risk are
evaluated by interval-valued means. We establish the relationship between those
mean-interval definitions for a given fuzzy portfolio by using suitable ordering relations. Finally, we formulate the portfolio selection problem as a linear program
when the returns on the assets are of trapezoidal form.

Keyword

: Portofolio, Expected return, Bilangan fuzzy, Fuzzy expected return
Interval-valued expectation, Risiko downside

iii

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Pada dasarnya setiap investor dalam menginvestasikan asetnya pasti menginginkan tingkat keuntungan tertentu dengan risiko terendah. Setiap investor juga
harus bisa mengidentifikasi saham atau sekuritas mana yang akan dipilih dan
ditentukan besaran investasinya.
Mengidentifikasi saham atau sekuritas mana yang akan dipilih dan berapa
proporsi dana yang akan ditanamkan pada masing-masing saham atau sekuritas
tersebut adalah proses pemilihan portofolio. Pemilihan portofolio dari banyak
sekuritas dimaksudkan untuk meminimumkan risiko yang ditanggung. Teori optimisasi sangat aplikatif pada permasalahan yang menyangkut masalah pengoptimalan (Markowitz (1952) dalam Fuller dan Maljender (2003)).
Secara matematis portofolio pertama kali diformulasikan oleh Markowitz
(1952). Dengan formula matematika ini membahas permasalahan bagaimana
mengalokasikan penanaman modal dengan harapan mendapatkan keuntungan optimum dengan risiko minimum. Teori manajemen portofolio yang dicetuskan oleh
Markowitz menggabungkan teori probabilitas dan teori optimisasi menjadi suatu
model yang sesuai dengan perilaku para pelaku ekonomi (Fuller dan Maljender,
2003).
Portofolio sangat erat hubungannya dengan cara menemukan kebijakan optimum untuk menginvestasikan berbagai aset. Markowitz (1959) juga mengemukakan analisis mean−variance. Analisis ini memegang peranan penting dalam
teori seleksi portofolio dengan risiko pengembalian sangat yang diperhitungkan.
Selanjutnya Bilbao et al., (2005) mengemukakan bahwa teori mean − variance
Markowitz yang optimum adalah pendekatan yang paling banyak digunakan dalam pembentukan portofolio. Teori ini memberikan bobot yang sama pada setiap
data dan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal dalam mengoptimisasi
parameter seperti returns, variances, dan covariances.

1

Universitas Sumatera Utara

2
Bermudez et al., (2005) berpendapat bahwa untuk membentuk portofolio yang optimum, investor harus menentukan portofolio efisien terlebih dahulu.
Ef f icient f rontier merupakan kumpulan portofolio efisien. Portofolio efisien
adalah portofolio yang menghasilkan tingkat keuntungan tertentu dengan risiko
terendah, atau risiko tertentu dengan tingkat keuntungan tertinggi. Sedangkan
portofolio optimal merupakan portofolio yang dipilih seorang investor dari sekian
banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio yang efisien.
Masalah pemilihan portofolio berhubungan dengan cara membuat portofolio
sesuai dengan yang diinginkan. Masalahan seleksi portofolio dalam menentukan
sekuritas yang dipilih sulit dilakukan karena ada unsur ketidakpastian pada setiap
returnnya. Tujuan umum seleksi portofolio adalah untuk mendapatkan proporsi
yang optimum antara return dan risiko. Pemilihan portofolio berpedoman pada
optimisasi alokasi aset portofolio. Dalam alokasi asset portofolio akan berkaitan
dengan probabilitas penurunan harga asset. Hubungan demikian akan berkaitan
dengan apa yang disebut risiko downside.
Selain itu Carlson et al., (2002) berpendapat bahwa asumsi terpenting dari
model pemilihan portofolio adalah adanya investsi yang pasti, artinya seorang
investor harus mengetahui dengan pasti kapan memulai investasi dan mengakhiri
investasi, namun sebagian besar praktik investasi dilakukan tanpa batasan waktu
tertentu. Hal ini menjadi salah satu alasan penting bahwa unsur ketidakpastian
dimasukkan ke dalam model pemilihan portofolio terkait dengan waktu investasi.
Satu cara untuk menyelesaikan pemilihan portofolio dengan unsur ketidakpastian adalah dengan menggunakan himpunan fuzzy. Kemudian masalah ketidakpastian return aset yang melibatkan perilaku pasar keuangan dapat menggunakan cara fuzzy dan atau kendala fuzzy dan beberapa elemen dapat menjadi
fuzzy dalam masalah seleksi portofolio (Bilbao et al., 2005).
Dubois dan Prade (1987) memperkenalkan interval rata-rata dari sejumlah
fuzzy sebagai sebuah interval tertutup yang dibatasi oleh ekspektasi hitung dari
nilai rata-rata probabilitas bawah dan atas. Carlsson dan Fuller (2001) mendefinisikan rata-rata interval-value probabilistik untuk bilangan fuzzy. Definisi mereka
konsisten berdasarkan pada himpunan level-cut.

Universitas Sumatera Utara

3
1.2 Perumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini terkait seleksi portofolio optimum dengan optimisasi alokasi aset portofolio yang berhubungan dengan risiko downside serta
ketidakpastian pengembalian aset yang dimodelkan dengan himpunan fuzzy.

1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk optimisasi portofolio dengan risiko downside fuzzy.
Selanjutnya penelitian ini dapat digunakan untuk mengatur masalah pemilihan
portofolio dengan menggunakan ekspektasi interval-valued.

1.4 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan agar dapat menambah khasanah ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya pada model pemilihan portofolio dengan adanya
unsur ketidakpastian.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diuraikan konsep dan teori yang ada kaitannya dengan optimasi
portofolio dengan risiko downside fuzzy. Salah satu konsep yang dibahas adalah
f uzzy portf olio optimization downside risk measure (Bermudez et al., 2005).
Selanjutnya akan diuraikan juga mengenai investasi, portofolio, risiko, investasi
yang berisiko, risiko downside, himpunan fuzzy.
Pada era globalisasi, pasar saham tidak lagi didominasi oleh perusahaan
besar dan investor institusi, investor individu juga mulai memasukinya. Hal
tersebut disebabkan mudahnya menentukan alokasi aset keuangan sesuai dengan
yang diinginkan. Penentukan alokasi aset tersebut, sering berhubungan dengan
naik dan turunnya aset. Hal tersebut berakibat juga pada adanya ketidakpastian
pengembalian aset. Ketidakpastian pengembalian aset bisa juga berasal dari kondisi sosial, faktor analisis statistik data historis dan faktor ambigu seperti aspek
psikologi investor serta efisiensi informasi.
Persoalan pemilihan alokasi aset keuangan secara umum disebut persoalan
pemilihan portofolio. Persoalan tersebut kajiannya terus dilakukan sampai sekarang. Seperti penelitian pendekatan matematika Markowitz (1952) telah mengusulkan model mean − variance dalam persoalan pemilihan portofolio. Pendekatan ini menjadi pusat kegiatan penelitian di bidang keuangan.
Seperti dikemukakan sebelumnya bahwa dalam menentukan alokasi aset
berhubungan dengan naik dan turunya harga aset. Hubungan tersebut berkaitan dengan risiko downside (Sukono et al., 2008). Peneliti lainnya yang melakukan pemilihan portofolio dengan risiko downside diantaranya adalah Post et al.,
(2002), Nowrochi dan David (1999).
Ada juga beberapa penelitian mendasar tentang kondisi ketidakpastian yang
berhubungan dengan persoalan pemilihan portofolio, Bilbao-Terol et al., (2005),
Carlsson et al., (2002), Tanaka dan Guo (1999), Jones (1992), Ishibuchi dan
Tanaka (1990) dan Watada (1997).

4

Universitas Sumatera Utara

5
Leon et al., (2004) mengemukakan bahwa rata-rata dari sejumlah bilangan
fuzzy bisa digunakan untuk mengevaluasi pengembalian yang diharapkan dan
risiko portofolio yang diberikan. Dubois dan Prade (1987) memperkenalkan interval rata-rata dari bilangan fuzzy sebagai sebuah interval tertutup yang dibatasi
oleh beberapa ekspektasi yang dihitung dari probabilitas bawah dan atas.
Popularitas risiko downside kalangan investor tumbuh dan berkembang dalam seleksi portofolio. Ukuran risiko downside hanya mempertimbangkan pengembalian yang berada di bawah risiko. Ide di balik dunia risiko downside adalah
bahwa sisi kiri dari distribusi kembali melibatkan risiko sementara sisi kanan berisi
peluang investasi yang lebih baik .
2.1 Investasi
Setiap manusia pernah melakukan kegiatan investasi dalam hidupnya. Kegiatan
investasi sebenarnya adalah kegiatan yang penuh dengan ketidakpastian atas sesuatu yang terjadi pada waktu yang akan datang. Karena investasi merupakan
kegiatan investor yang menanamkan modalnya pada saat sekarang dengan harapan memperoleh pendapatan atau tingkat keuntungan di waktu yang akan datang
selama umur investasi tersebut.
Bilbao-Terol et al., (2006) mengatakan bahwa investasi secara sederhana
dapat diartikan sebagai komitmen atas sejumlah dana yang dilakukan pada saat
ini agar memperoleh sejumlah keuntungan di masa mendatang. Harapan keuntungan di masa depan tersebut merupakan konpensasi atas waktu dan risiko yang
berkaitan dengan investasi yang dilakukan. Harapan tingkat keuntungan tersebut
sering disebut sebagai return, sedangkan risiko merupakan seberapa jauh hasil
yang diperoleh atau return yang menyimpang dari nilai yang diharapkan. Dari
pengertian investasi tersebut, menunjukkan bahwa tujuan dari investasi tidak lain
adalah untuk meningkatkan kesejahteraan investor baik sekarang maupun di masa
mendatang.
Investasi ke dalam aktiva keuangan dapat berupa investasi langsung dan
investasi tidak langsung. Investasi langsung dilakukan dengan membeli langsung
aktiva keuangan dari suatu perusahaan baik melalui perantara maupun dengan
cara lain. Investasi tidak langsung dilakukan dengan membeli saham dari perusahaan investasi yang mempunyai portofolio aktiva keuangan perusahaan lain.
Universitas Sumatera Utara

6
Dalam melakukan investasi di pasar modal diperlukan pengetahuan yang
cukup, pengalaman dan naluri bisnis untuk menganalisa sekuritas atau mana
yang akan dibeli, dijual dan mana yang dapat dimiliki. Sebagai seorang investor
harus dapat bersikap rasional dalam menghadapi pasar jual beli saham. Selain
itu juga investor harus mempunyai ketajaman dalam memperkirakan masa depan
saham perusahaan yang akan di beli maupun di jual. Investor yang rasional tentunya tidak akan menyukai ketidakpastian atau risiko. Sikap investor terhadap
risiko yang sangat bergantung kepada preferensi investor terhadap risiko. Investor yang mempunyai sikap enggan terhadap risiko disebut sebagai risk averse
investors, yaitu investor yang tidak mau mengambil risiko jika investasi tersebut
tidak memberikan harapan return yang layak sebagai kompensasi terhadap risiko
yang ditanggung. Sedangkan investor yang berani mengambil risiko disebut sebagai risk taker investors, yaitu investor yang lebih berani memilih risiko investasi
yang tinggi dengan diikuti oleh harapan return yang tinggi juga (Carlsson et al.,
(2002)).
Pada umumnya investasi dibedakan menjadi dua, yaitu investasi pada f inan−
cial assets dan investasi pada real assets.

Investasi pada f inancial assets

dilakukan di pasar uang, misalnya berupa deposito, commercial paper, surat
berharga, dan yang lainnya. Atau dilakukan di pasar modal, misalnya berupa
saham, obligasi, waran, opsi, dan lainnya. Sedangkan investasi pada real assets
diwujudkan dalam bentuk pembelian aset produktif, pendirian pabrik, pembukaan
pertambangan, pembukaan perkebunan, dan lainnya.

2.2 Portofolio
Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset, baik berupa real assets maupun f inancial assets yang dimiliki oleh investor. Adapun tujuan membuat portofolio investasi untuk melakukan diversifikasi risiko agar dana
yang dimiliki mempunyai risiko yang minimum. Dalam melakukan portofolio yang
diinginkan maka ada dua tahap yang harus dipahami dalam mengelola portofolio
tersebut. Dua tahap tersebut, yaitu konstruksi portofolio dan evaluasi terhadap
portofolio investasi yang dimiliki.

Universitas Sumatera Utara

7
Dalam pembentukkan portofolio hubungan antar instrumen portofolio perlu diperhatikan agar risiko yang diperoleh dapat optimum atau terkecil. Dan
tahap akhir dalam tindakan portofolio yaitu melakukan evaluasi portofolio investasi. Tahap ini dilakukan bila ada konstruksi portofolio yang dibangun, begitu
juga sebaliknya. Dan untuk melakukan pembentukkan portofolio, investor selalu
menginginkan return yang maksimum dengan risiko yang minimum.
2.3 Risiko
Risiko adalah segala sesuatu yang dapat mempengaruhi pencapaian tujuan organisasi. Sedangkan manajemen risiko adalah serangkaian prosedur dan metodologi
yang digunakan untuk mengidentifikasi, mengukur, memantau, dan mengandalikan risiko yang timbul dari kegiatan usaha.
Model yang berkembang dalam manajemen risiko adalah mengintegrasikan
risiko dan pengelolaan usaha. Model tersebut dirancang supaya manajemen risiko
memberikan nilai. Ada beberapa jenis risiko yaitu:
1. Risiko lingkungan (eksternal environmental risk), yakni kerugian karena bencana alam, perubahan rasa dan preferansi pelanggan, kompetitor,
lingkunga politis, dan ketersediaan modal dan tenaga kerja.
2. Risko proses usaha (business process risk), yakni kerugian yang diakibatkan tidak efektif dan efisien dalam memperoleh, membiayai, mentransformasikan, dan memasarkan barang-barang dan jasa, serta ancaman kerugian
aktiva, termasuk reputasi perusahaan.
3. Risiko informasi (inf ormation risk), yakni kerugian yang diakibatkan informasi yang bermutu rendah untuk pengambilan keputusan usaha dan kesalahan memberikan informasi kepada pihak luar.
Faktor-faktor keberhasilan dalam pengelolaan risiko terdiri dari komitmen, tanggung jawab, kesadaran, kebijakan, metodologi, keterampilan, dan pemantauan.
2.4 Investasi yang Berisiko
Dalam konteks manajemen investasi, risiko merupakan besarnya penyimpangan
antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat
Universitas Sumatera Utara

8
pengembalian yang dicapai secara nyata (actual return). Semakin besar penyimpangannya maka semakin besar tingkat risikonya. Adapun alat yang digunakan
sebagai ukuran dalam menghitung tingkat pengembalian dan risiko dalam portofolio adalah sebagai berikut:
1. Return, return ekspektasi dan risiko saham
(a) Return
Pt − Pt−1
Pt−1

Return =

(2.1)

Dimana:
Pt

: Harga saham periode t

Pt−1 : Harga saham periode sebelumnya
(b) Return ekspektasi saham
PN

j=1

E(Ri ) =

Rij

(2.2)

N

E(Ri ) = Tingkat keuntungan yang diharapakan dari nvestasi
Rij

= Return saham i periode j

N

= Jumlah periode

(c) Risiko saham
PN
σi2

− E(Ri ))]2
N

j=1 [(Rij

=

(2.3)

PN

− E(Ri ))]2
σi =
N
Dimana N adalah return yang terjadi pada periode pengamatan
√

j=1 [(Rij

2. Return, return ekspekstasi dan risiko pasar
(a) Return pasar (IHSG)
Rm,t =

IHSGt − IHSGt−1
IHSGt−1

(2.4)

Dimana:
Rm,t

: Return pasar periode t

IHSGt

: IHSG periode t

IHSGt−1 : IHSG periode sebelumnya
Universitas Sumatera Utara

9
(b) Return ekspektasi pasar
PN

Rm, t
N

t=1

E(Rm ) =

(2.5)

Dimana E(Rm ) adalah return ekspektasi pasar
(c) Risiko pasar
PN
2
σm

− E(Rm )]2
N

t−1 [(Rm,t

=

(2.6)

2
Dimana σm
adalah varian pasar

3. Alpha dan beta sekuritas
(a) Alpha sekuritas
E(Ri ) = αi + βi .E(Rm )

(2.7)

(b) Beta sekuritas
βi =
atau

σim
2
σm

(2.8)

Pn
βi =

− E(Ri )).(Rm − E(Rm ))
i=1 (R
Pi n
2
i=1 (E(Rm ) − Rm )

(2.9)

4. Kesalahan residu dan varian dari kesalahan residu
(a) Kesalahan residu
Ri = αi + aβi.Rm + %i

(2.10)

Dimana %i adalah kesalahan residu
(b)Varian dari kesalahan residu
2
2
σi2 = βi2 σm
+ σei

(2.11)

Dimana:
2
σei
: Varian dari kesalahan residu sekuritas ke i

σi2 : Varian saham i
atau
σi2

PN
=

i=1 [(%i

− E(%i ))]2
N

(2.12)

5. Return dan risiko portofolio
(a) Return ekspektasi portofolio

Universitas Sumatera Utara

10
Beta dari portofolio (βp ) yang merupakan rata-rata terimbang dari βp masingmasing sekuritas.
βp =

n
X

ω.(βi )

(2.13)

i=1

Alpha dari portofolio (αp ) yang merupakan rata-rata tertimbang dari αp
tiap-tiap sekuritas.
αp =

n
X

ωi .αi

(2.14)

i=1

Dengan mensubstitusikan karakteristik antara βp dengan αp maka return
ekspektasi portofolio adalah sebagai berikut:
E(Rp ) = αp + βp .E(Rm )

(2.15)

(b) Risiko portofolio varian dari portofolio
X
σp2 = βp2 .σm2 + (
ωi − σei )2
dimana:

ωi =

X
Pk i
j=1

dan

Xi =

(2.16)

Xj

βi
2 (ERBi
σei

− C ∗)

Tanaka dan Guo (1999) mengemukakan sebuah alternatif untuk memilih
saham mana yang masuk dalam portofolio dengan menggunakan excess return to
beta (ERB). Dimana ERB merupakan selisih antara tingkat pengembalian saham
dengan tingkat pengembalian aset bebas risiko yang selanjutnya dibagi dengan
beta saham tersebut. Excess return to beta ini diurutkan dari terbesar sampai
yang terkecil. ERB juga mengukur tingkat tambahan pengembalian pada sebuah
saham per unit dari risiko yang tidak dapat diversifikasi. Untuk menghitung
excess return to beta adalah sebagai berikut:
ERB =

(Ri − Rf )
βi

(2.17)

Dimana:
ERB = Excess return to beta
Ri = Tingkat pengembalian saham ke i
Rf = Tingkat pengembalian aset bebas risiko
βi = Beta saham ke i
Universitas Sumatera Utara

11
Selanjutnya, Carlson et al., (2000) memberikan rumusan mengenai sahamsaham yang masuk dalam portofolio yaitu saham-saham yang memiliki ERB di
atas batas tertentu yang disebut dengan cut − of f − rate, yang dapat dihitung
sebagai berikut:
2
σm

Ci =

Pi

j=1

2
1 + σm

(Ri −Rf )βj
2
βcj

(2.18)

βj2
2
j=1 σej

Pi

Dimana:
Ci

= Cut − of f − rate

2
σm

= Varians tingkat pengembalian pasar

βj

= Beta saham ke j

2
σej

= Varians saham yang tidak dihubungkan dengan pasar ke j

Ri

= Tingkat pengembalian saham ke i

Rf

= Tingkat pengembalian aset bebas risiko
Dubois dan Prade (1987) juga memperkenalkan analisis network atau je-

jaring yang diaplikasikan kepada model portofolio. Model portofoloio ini selalu
dipresentasikan dalam bentuk node yang selalu berhubungan dengan input yang
masing-masing sebagai penawaran (supplies) dan permintaan (demands) dan ini
merupakan komponen pertama. Komponen kedua yang digunakan dalam model portofolio adalah titik transaksi (point transaction) atau node portofolio
(portf olio nodes).

2.5 Risiko Downside
Sebuah estimasi potensi keamanan mengalami penurunan nilai jika kondisi pasar
berubah, atau jumlah kerugian yang dapat diderita sebagai akibat dari penurunan. Pemilihan portofolio berpedoman pada optimisasi alokasi aset portofolio.
Dalam alokasi asset portofolio akan berkaitan dengan probabilitas penurunan harga asset. Hubungan demikian akan berkaitan dengan risiko downside.
Risiko downside menjelaskan ”kasus terburuk” skenario untuk investasi,
atau berapa banyak investor akan mengalami kerugian untuk sebuah investasi.

Universitas Sumatera Utara

12
Beberapa investasi memiliki jumlah terbatas risiko downside, sementara
yang lain memiliki risiko yang tak terbatas. Pembelian saham, misalnya, memiliki jumlah terbatas risiko downside; investor dapat kehilangan seluruh investasinya. Penjualan saham, seperti yang dicapai melalui penjualan pendek (atau
”short-selling”) memerlukan risiko downside terbatas, karena harga bisa terus
meningkat tanpa batas.
2.6 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan
orang tinggi, dan sebagainya. Misalnya, pada himpunan orang tinggi, tidak dapat
ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak tinggi. Anggap
bahwa definisi orang tinggi adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama
dengan 1.75 meter, maka orang yang tingginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya
1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa batas
antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat
ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas
itu, L.A. Zadeh mengaitkan himpunan tersebut dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0, 1]. Himpunan tersebut disebut himpunan fuzzy dan fungsi
ini disebut fungsi keanggotaan (membershipf unction) dan nilai fungsi itu disebut
derajat keanggotaan.
2.6.1 Fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy
Ketika A adalah sebuah himpunan tegas (crisp), fungsi keanggotaannya hanya
terdapat 2 nilai kemungkinan, yaitu 0 dan 1, dengan fA (x) = 1 atau 0 tergantung
pada x termasuk anggota atau tidak termasuk anggota dalam A. Satu (1) berarti
suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan. Nol (0) berarti suatu item
tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.
Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditandai oleh fungsi keanggotaan fA (x)
yang berhubungan dengan setiap titik di X, sebuah bilangan real pada interval
Universitas Sumatera Utara

13
[0, 1] dengan nilai dari fA (x) pada x mewakili derajat keanggotaan x pada A.
Maka, semakin dekat nilai fA (x) ke semesta pembicaraan, semakin tinggi derajat keanggotaan x pada A. Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang
diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy.
Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa
naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan dan nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif atau negatif. Domain himpunan fuzzy
adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik titik input data ke
dalam nilai keanggotaan yang mempunyai interval antara 0 sampai 1.
Definisi 2.1:
X adalah sebuah himpunan tak kosong. Sebuah himpunan fuzzy A pada X ditan−
dai oleh f ungsi keanggotaannya:
A : X → [0, 1]
dan A(x) diinterpretasikan sebagai derajat keanggotaan dari elemen x pada himpunan f uzzy A untuk setiap x ∈ X.
Nilai 0 digunakan untuk mewakili bukan anggota, nilai 1 digunakan untuk mewakili keanggotaan penuh, dan nilainilai di antaranya digunakan untuk
mewakili derajat keanggotaan menengah. Pemetaan A juga disebut sebagai fungsi
keanggotaan dari himpunan fuzzy A.
Definisi 2.2:
Sebuah himpunan fuzzy adalah kosong jika dan hanya jika fungsi keanggotaannya
sama dengan 0 pada X
Definisi 2.3
Dua himpunan fuzzy A dan B adalah sama, ditulis A=B,
jika dan hanya jika fA (x) = fB (x) untuk semua x pada X

Universitas Sumatera Utara

14
2.6.2 Bilangan fuzzy
Sebuah bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan biasa, dalam arti bahwa hal itu tidak mengacu pada suatu nilai tunggal melainkan pada suatu himpunan nilai-nilai yang mungkin berhubungan, dimana setiap nilai kemungkinan
memiliki bobot sendiri antara 0 dan 1. Bobot ini disebut sebagai fungsi keanggotaan. Dengan demikian, sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah kasus khusus dari
himpunan fuzzy konveks. Sama seperti Logika Fuzzy yang merupakan perluasan
dari Logika Boolean (di mana hanya menggunakan ya dan tidak dan tidak ada di
antaranya), bilangan fuzzy merupakan perluasan dari bilangan real. Perhitungan
dengan menggunakan bilangan fuzzy memungkinkan penggabungan ketidakpastian parameter, sifat, geometri, kondisi awal, dan sebagainya.
Sebelum menjelaskan tentang bilangan fuzzy, berikut beberapa hal dan
definisi yang penting dalam teori himpunan fuzzy: (Inuiguchi et al., 1990)
1. Sebuah himpunan fuzzy A pada R (barisan bilangan real) didefinisikan sebagai himpunan pasangan terurut A = {(x, µA (x))|x ∈ R}, di mana µA˜ (x)
disebut sebagai fungsi keanggotaan untuk himpunan fuzzy.
2. Sebuah himpunan fuzzy A disebut normal jika terdapat paling sedikit satu
titik x ∈ R dengan µA˜ (x) = 1
3. Sebuah himpunan fuzzy A pada R adalah konveks jika untuk setiap x, y ∈ R
setiap λ ∈ [0, 1] sehingga µA (λx + (1 − λ)y) ≥ min{µA (x), µA (y)}.
4. Sebuah bilangan fuzzy adalah sebuah himpunan fuzzy pada barisan bilangan
real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas.
Definisi 2.4
Bilangan fuzzy A˜ adalah sebuah normalisasi himpunan fuzzy konveks pada barisan
bilangan R sehingga:
1. Terdapat paling sedikit satu x0 ∈ R dengan µA˜ (x0 ) = 1
2. µA˜ (x) setidaknya kontinu sebagian
Diasumsikan fungsi keanggotaan dari sebarang bilangan fuzzy A˜ adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara

15


1−



µA˜ (x) = 1 −




0,

mA −x
,
αA

m A − α A ≤ x ≤ mA

x−mA
,
βA

mA ≤ x ≤ mA+β

A

(2.19)

untuk yang lainnya

dimana mA adalah nilai rata rata dari A˜ dan αA dan β A adalah penyebaran kiri
dan kanan berturut-turut, ini disebut sebagai bilangan fuzzy triangular. Sebuah
bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan A˜ = (mA , αA , β A ) dan F (R) adalah
himpuanan dari bilangan fuzzy triangular.
Definisi 2.5
Sebuah bilangan fuzzy A˜ = {(x, µA˜ (x))|x ∈ R} adalah non negatif jika dan hanya
jika µA˜ (x) = 0 untuk semua x < 0 . Jadi sebuah bilangan fuzzy triangular
A˜ = (mA , αA , β A ) adalah non negatif jika mA − αA ≥ 0.
Definisi 2.6:
˜ = (mB , αB , β B )
Dua buah bilangan fuzzy triangular A˜ = (mA , αA , β A ) dan B
dikatakan sama jika dan hanya jika mA = mB , αA = αB , danβ A = β B
Definisi 2.7:
Sebuah bilangan fuzzy A˜ = (mA , αA , β A ) dikatakan simetris jika αA = β A
2.6.3 Metode penyelesaian program linear
Permasalahan dalam bentuk Fuzzy Linear Programming (FLP) ditransformasi ke bentuk Linear Programming (LP), akan dicari solusi yang optimal dari
model tersebut dan solusinya digunakan sebagai solusi yang optimal dari FLP.
Linear Programming adalah sebuah metode matematika yang digunakan untuk mencari hasil paling optimum dalam suatu model matematika dengan beberapa daftar kendala yang direpresentasikan dalam persamaan linear. Sebuah
permasalahan LP dapat didefinisikan sebagai berikut:
M aks : z = cx

(2.20)

s.t : Ax ≤ b
x≥0
Universitas Sumatera Utara

16
dimana: x = (x1 , ..., xn )T , c = (c1 , ..., cn ), b = (x1 , ..., xn )T , danA = [aij ]mn
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persoalan LP, diantaranya dengan
menggunakan metode grafik dan metode simplex. Metode grafik tidak dapat
digunakan dalam menyelesaikan persoalan program linear yang memiliki variabel
keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, jadi untuk menyelesaikannya
digunakan metode simplex.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode grafik:
1. Bentuk model matematika dari persoalan untuk:
a. Fungsi tujuan (objective function)
b. Fungsi kendala (constraint)
2. Ubah bentuk pertidaksamaan pada kendala menjadi persamaan.
3. Gambarkan grafik pada langkah ke-2 dan tentukan daerah layak.
4. Uji titiktitik ekstrim yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik ke
fungsi tujuan.
Langkah-langkah penyelesaian program linear dengan metode simplex:
1. Formulasikan dan standarisasikan persoalan ke model linear.
2. Tambahkan variabel slack pada masing masing constraint (pembatas) untuk
memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi
feasible awal dari pembatas bernilai lebih kecil atau sama dengan.
3. Buat tabel simplex awal.
4. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (cj − zj ) yang paling
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (cj − zj ) yang paling
negatif untuk kasus minimasi.
5. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci.
6. Menentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci
dan baris kunci.
Universitas Sumatera Utara

17
7. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris z baru, dan
baris variabel-variabel slack baru.
(a) Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
(b) Baris z baru dan barisbaris lainnya ditentukan dengan cara: Baris
lama(nilai kolom kunci baris yang sesuai baris kunci baru)
(c) Letakkan nilai nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel
8. Lakukan uji optimalitas. Jika semua koefisien pada baris (cj − zj ) sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah
tidak ada lagi bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah ke-4.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
PEMBAHASAN

Pada bab ini akan disajikan konsep optimasi portofolio dengan risiko downside
fuzzy (Bermudez et al., 2005). Untuk melengkapi pembahasan terhadap aplikasinya akan disajikan salah satu contohnya.

3.1 Model Optimisasi Portofolio
Model optimisasi portofolio terdiri dari dua fungsi objektif yaitu memaksimumkan
nilai expected return dan meminimumkan risiko portofolio, risiko dalam hal ini
adalah varian. Sedangkan variabel keputusan adalah proporsi dana yang akan
diinvestasikan pada masing-masing saham dalam portofolio tersebut.

3.2 Perumusan Fungsi Objektif Model
Penentuan fungsi objektif model portofolio mempertimbangkan dua aspek, yaitu
return dan risiko portofolio, sebagai berikut:
1. Fungsi objektif maksimasi expected return
M aksE(P ) =

n
X

E(Pi )(xi )

(3.1)

i=1

Dimana:
E(P ) : Expected return portofolio
E(Pi ) : Expected return dari investasi saham i
xi

: Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham i

2. Fungsi objektif minimasi risiko
M inσp2

=

n
X
i=1

σi2 xi

+

n
n
X
X

xi xh cov(Pi , Ph )

(3.2)

i−1 h=1,h6=1

18

Universitas Sumatera Utara

19
3.3 Perumusan Fungsi Kendala
Dalam memenuhi tujuan optimisasi portofolio tersebut ada beberapa kendala,
antara lain:
1. Fungsi kendala koefisien risiko
Koefisien risiko mengukur korelasi antara nilai investasi dan gerakan pasar
secara keseluruhan. Perumusan fungsi kendala koefisien risiko adalah sebagai berikut:
0<

n
X

βi xi ≤ 1

(3.3)

i=1

Dengan βi yang merupakan nilai koefisien risiko saham i. Karena investor
cenderung menghindar risiko, maka koefisien risiko harus kurang dari atau
sama dengan satu.
2. Fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan
Perumusan fungsi kendala jumlah proporsi dana yang diinvestasikan adalah
sebagai berikut:
n
X

xi = 1

(3.4)

i=1

Jumlah proporsi dana yang diinvestasikan pada masing-masing saham adalah
satu.
Agar dana yang diinvestasikan dapat terisi untuk semua saham, diasumsikan batas
bawah penanaman modal adalah 10 per sen, maka xi ≥ 0, 1. Jadi model optimisasi
portofolio dapat diformulasikan sebagai berikut:
M aksE(P ) =

m
X

E(Pi )(xi )

i=1

σp2

=

n
X
i=1

σi2 xi

+

n
n
X
X

xi xh cov(Pi , Ph )

(3.5)

i=1 h=1,h6=1

Dengan kendala:
0<

m
X

βi xi ≤ 1

i=1
m
X

xi = 1

xi ≥ 0, 1

i = 1, 2, 3, 4, 5

(3.6)

i=1

Universitas Sumatera Utara

20
3.4 Fuzzy Expected Return
Beberapa penulis menggunakan bilangan fuzzy untuk mewakili ketidakpastian
return aset dan mereka menjadikan seleksi portofolio sebagai masalah pemrograman matematika untuk memilih alternatif terbaik dalam masalah pengambilan
keputusan (Carlsson et al., 2002).
Dalam formulasi standar pemilihan portofolio, investor memilih xj , yang
menunjukkan proporsi dari total dana investasi yang ditujukan untuk aset ke
j, untuk n aset berisiko, sehingga portofolio dapat dinotasikan dengan P (x) =
{x1 , ..., xn }. Diasumsikan bahwa uj mewakili masing-masing maksimum dan lj
mewakili masing-masing minimum dari total dana yang dapat diinvestasikan daP
lam aset ke-j, maka persamaan anggaran berikut ini berlaku: nj=1 xj = 1 dengan
lj ≤ lj ≤ uj , j = 1, ..., n. Kendala lj ≥ 0 menyiratkan bahwa short selling dari
sekuritas tidak diperbolehkan.
Return fuzzy dari aset ke-j dalam portofolio P (x), maka rata-rata intervalvaluenya didefinisikan sebagai berikut:
h
i
? ˜
?? ˜
˜
E(Pj ) = E (Pj ), E (Pj ) ,
dimana E ? (P˜j) =

R1

(inf P˜jα )dα, E ?? (P˜j ) =
0

R1
0

(3.7)

(supP˜jα )dα dan inf P˜jα dan supP˜jα

menunjukkan masing-masing titik ekstrim kiri dan kanan dari level α yang memotong P˜j untuk α ∈ (0, 1).
Dengan menggunakan definisi dari rata-rata interval-valued untuk P˜j (Carlsson dan Fuller (2001)), maka:
h
i
M (P˜j ) = M ? (P˜j ), M ?? (P˜j )
Dimana M ? (P˜j ) = 2

R1
0

α(inf P˜jα )dα dan M ?? (P˜j ) = 2

(3.8)
R1
0

α(supP˜jα )dα. Dan

untuk bilangan LR-Fuzzy dengan penurunan fungsi, maka berlaku:
M (P˜j ) ⊂ E(P˜j )

(3.9)

Berdasarakan definisi-definisi di atas maka akan ditetapkan bahwa untuk portofolio P (x) maka ekspektasi return yang diharapkan kurang sesuai karena bergantung pada besarnya penyebaran bilangan LR-Fuzzy yang merepresentasikan portofolio fuzzy (Dubois dan Prade, 1987). Untuk mengatasinya maka ekspektasi
Universitas Sumatera Utara

21
return diformulasikan dengan nilai keanggotaan fuzzy yang berbentuk trapesium,
karena pada saat tertentu return bisa dalam kondisi naik, turun, atau tetap
(Bermudez et al., 2005) Beberapa definisinya sebagai berikut:
Definisi 1. Bilangan f uzzy A˜ dikatakan suatu bilangan LR − f uzzy, A˜ =
(al , au , c, d)LR , jika f ungsi keanggotaannya sebagai berikut:


), x ∈ [al − c, al ]
L( al −x


c

µA˜ (x) = 1,
x ∈ [al , au ]



 x−au
R( d ), x ∈ [au , au + d]

(3.10)

˜ F ungsi ref erensi L : [0, 1] → [0, +∞] dan
dimana [al , au ] adalah puncak dari A.
R : [0, 1] → [0, +∞], setara tajam menurun dan menuju ke semi−kontinu dari
˜ = {r : µ ˜ (r) > 0} memverif ikasi bahwa L(x) = L(−x), R(x) = R(−x)
sup(A)
A

dan L(0) = R(0) = 1
Khusus saat L dan R berupa fungsi linear A˜ disebut bilangan fuzzy trapesium, dimana A˜ adalah (al − c, au + d) dan L(1) = R(1) = 0. Jika ditambahkan
al = au , maka disebut bilangan fuzzy triangular.
˜ = (al2 , au2 , c2 , d2 )LR adalah
Lemma 1. M isalkan A˜ = (al1 , au1 , c1 , d1 )LR dan B
dua bilangan LR − f uzzy dan λ ∈ R adalah bilangan real, maka:
˜ = (al1 + al2 , au1 + au2 , c1 + c2 , d1 + d2 )LR
a). A˜ + B
˜ = (al1 − al2 , au1 − au2 , c1 − c2 , d1 − d2 )LR
b). A˜ − B

(λal1 , λau1 , λc1 , λd1 )LR ,
λ≥0
˜
c). λA =
(λa , λa , |λ|d , |λ|c ) , λ < 0
u1

l1

1

1 LR

dimana penjumlahan dan perkalian skalar didef inisikan oleh prinsip perpan−
jangan sup − min.
Ditunjukkan bahwa return dari aset ke-j dengan R = (alj , auj , cj , dj ), dengan asumsi bahwa fungsi referensi kiri-kanannya adalah bentuk yang sama untuk
j = 1, ..., n yang memenuhi kombinasi linear total return fuzzy pada portofolio
P (x) = {x1 , ..., n}:
P˜ =

n
X
j=1

˜ j xj =
R

n
X
j=1

aij xj ,

n
X
j=1

auj xj ,

n
X
j=1

cj xj ,

n
X
j=1

!
dj xj

(3.11)
LR

Universitas Sumatera Utara

22
= (Pl (x), Pu (x), C(x), D(x))LR
dimana xij ∈ R+ merupakan proporsi aset ke-j pada komposisi portofolio.
˜ dan
Hal ini secara luas diakui bahwa ekspektasi interval − valued E(A)
˜ tetap aditif dalam penambahan bilangan fuzzy (Carlsson dan Fuller (2001),
M (A)
Dubois dan Prade (1987)). Lalu dipertimbangkan portofolio fuzzy P˜ dimana L
dan R fungsi dengan parameter yang sama yaitu p, dan L(x) = R(x) = max{0, 1−
|x|p }, p > 0. Karena fungsi yang kontinu menurun, maka rata-rata possibilistic interval − valued adalah bagian dari rata-rata possibilitas interval − valued
(Carlsson dan Fuller, 2001).
Kemudian diverifikasi bahwa himpunan α − level dari P˜ memiliki bentuk
sebagai berikut:
[P˜ ]α = [inf P˜α , supP˜α ] = [Pl (x) − C(x)(1 − α)1/p , Pu (x) + D(x)(1 − α)1/p ],(3.12)
α ∈ [0, 1]
yang berarti:
E (P˜ ) =
?

1

Z
0

p
,
(inf P˜α )dα = Pl (x) − C(x)
p+1

(3.13)

maka:


p
p
, Pu (x) + D(x)
E(P˜ ) = Pl (x) − C(x)
,
p+1
p+1
disisi lain dapat dievaluasi bahwa:
Z 1
Z
?? ˜
˜
M (P ) = 2
α(supPα )dα = Pu (x) + 2D(x)
0

(3.14)

1

α(1 − α)1/p dα

(3.15)

0

2p2
= Pu (x) + D(x)
(p + 1)(2p + 1)
maka:

˜
M P ) = Pl (x) − C(x)
(

2p2
2p2
, Pu (x) + D(x)
(p + 1)(2p + 1)
(p + 1)(2p + 1)


(3.16)

Membandingkan keuntungan dari suatu portofolio fuzzy dan beberapa hubungan
pemesanan tidak dapat menjelaskan peringkat antara dua bagian itu atau seluruh
intervalnya tumpang tindih.

Universitas Sumatera Utara

23
Definisi 2. M isalkan A dan B adalah dua interval tertutup pada garis real,
maka:
1) A ≤LR B ↔ aL ≤ bL , dan aR ≤ bR .
2) A ≤mw B ↔ m(A) ≤ m(B), dan hw(A) ≤ hw(B).
Hal ini menunjukkan bahwa relasi order pertama tidak bisa diaplikasikan
untuk order interval mean−valued dan akan dibuktikan bahwa relasi kedua terjadi
saat D(x) > C(x). Kemudian akan digunakan relasi order yang diperpanjang,
yang diperkenalkan oleh Sengupta dan Pal (2000), untuk membandingkan dua
interval alternatif keuntungan dalam masalah memaksimalkan expected return.
Ada peringkat dibuat dalam bentuk nilai dan itu hanya sebagian berlaku untuk
memilih alternatif terbaik dari setiap pengambilan keputusan yang akan diambil.
Definisi 3. M isalkan A dan B dua interval tertutup sehingga m(A) ≤ m(B).
Dilambangkan dengan ≺ sebuah perintah hubungan diperpanjang, sedemikian
rupa sehingga A lebih rendah dari B, A ≺ B, dalam nilai indeks penerimaan
A≺ =

m(B)−m(A)
,
hw(B)+hw(A)

dimana hw(B) + hw(A) 6= 0.

Remark 1. Nilai A≺ dapat ditafsirkan sebagai kelas penerimaan dari premis
”Interval pertama lebih rendah dari interval kedua”. Perhatikan bahwa untuk
m(A) = m(B), kelas penerimaan dari ”A lebih rendah dari B” adalah nol, dan
bahwa kelas ini lebih besar dari satu jika m(A) < m(B) dan A dan B tidak
overlap, yaitu aR = bL . Jika m(A) < m(B) dan aR > bL , premis diterima dengan
kelas yang berbeda dari nilai yang memuaskan di (0, 1).
Propposisi 1. Perhatikan ekspektasi mean-interval dari suatu return fuzzy P˜ =
(Pl (x), Pu (x), C(x), D(x))LR dari portofolio P (x) yang diberikan, dengan asumsi
bilangan LR-fuzzy dengan bentuk yang sama diberikan dengan p > 0. Lalu didapatkan:
1. Jika ”lef t − widht” adalah yang terbesar, yaitu C(x) ≥ D(x), maka
E(P˜ ) ≤mw M (P˜ ),
2. Jika tidak, M (P˜ ) ≺ E(P˜ ) dengan nilai penerimaan yang lebih rendah dari
satu atau sama dengan 1/(4p + 1)

Universitas Sumatera Utara

24
Bukti: Beberapa notasi yang digunakan adalah:
E(P˜ ) = [EL , ER =< m(E)], hw(E) >
dan M (P˜ ) = [ML , MR ] =< m(M ), hw(M ) > Lalu dihitung titik tengah dan
setengah lebar interval:
m(E) =

p
Pl (x) + Pu (x)
+ (D(x) − C(x))
2
2(p + 1)

hw(E) =

Pu (x) − Pl (x)
p
+ (C(x) + D(x))
2
2(p + 1)

dan
m(M ) =

Pl (x) + Pu (x)
p2
+ (D(x) − C(x))
2
(p + 1)(2p + 1)

hw(M ) =

Pu (x) − Pl (x)
p2
+ (C(x) + D(x))
2
(p + 1)(2p + 1)

Pertama-tama, harus dicatat bahwa urutan hubungan ≤LR tidak dapat diterapkan. Selain itu, dari ketidaksamaan 2p < 2p + 1, dapat membuktikan bahwa
hw(E) > hw(M ), karena Pu (x) ≥ Pl (x), C(x) ≥ 0 dan D(x) ≥ 0. Tetapi sehubungan dengan titik tengah, ada dua kasus:
1. Jika C(x) > D(x), menyatakan m(E) < m(M ) kemudian E(P˜ ) ≤mw M (P˜ ).
Ketika portofolio fuzzy adalah bilangan fuzzy simetris, C(x) = D(x), titik
tengah tepat diatas relasi trivial.
2. Jika penyebaran yang tepat adalah yang terbesar, C(x) < D(x), maka
m(E) > m(M ), urutan relasi ≤mw tidak dapat diterapkan. Ketika MR > EL
kita menghitung nilai dari penerimaan premis M (P˜ ) ≺ E(P˜ ) sesuai dengan
Definisi 3:
A≺

p
(D(x) − C(x)) 2(p+1)(2p+1)

Pu (x) − Pl (x) + (D(x) +

p(4p+1)
C(x)) 2(p+1)(2p+1)

<

1
4p + 1

(3.17)

Dimisalkan jika fungsi referensi L dan R dari semua return fuzzy adalah linear, return dari portofolio juga memiliki bentuk trapesium dan ekspektasi meanintervalnya adalah sebagai berikut:
#
" n
n
n
n
X
X
X
X
1
1
cj xj ,
auj xj +
dj xj
E(P˜ ) =
alj xj −
2 j=1
2 j=1
j=1
j=1
Universitas Sumatera Utara

25


1
1
= Pl (x) − C(x), Pu (x) + D(x)
2
2
" n
#
n
n
n
X
X
X
X
1
1
M (P˜ ) =
alj xj −
cj xj ,
auj xj +
dj xj
3
3
j=1
j=1
j=1
j=1


1
1
= Pl (x) − C(x), Pu (x) + D(x)
3
3
Lalu ditunjukkan bahwa interval ini bertepatan dengan himpunan tingkat λ dari
return fuzzy P˜ untuk λ = 1/2 dan λ = 2/3. Di sisi lain, karena bilangan fuzzy
trapesium adalah dengan p = 1, proposisi di atas terpenuhi dan ketika C(x) <
D(x) kelas dari M (P˜ ) ≺ E(P˜ ) dihitung dengan:
A≺ =

1/12(D(x) − C(x))
< 1/5
Pu (x) − Pl (x) + 5/12(D(x) + C(x))

(3.18)

Proposisi 2. M isalkan P˜ adalah bilangan LR-fuzzy dengan fungsi referensi
menurun kontinu, seperti L = R. Jika C(x) < D(x) maka M (P˜ ) ≺ E(P˜ )
dengan nilai akseptabilitas di (0, 1), jika E(P˜ ) ≤mw M (P˜ ).
Bukti: Dengan asumsi yang dikemukakan oleh Fuller dan Majlender (2003) bahwa nilai rata-rata posibilitas interval − value dari suatu portofolio adalah bagian
dari interval nilai rata-rata probabilitas interval − valued, M (P˜ ) ⊆ E(P˜ ), maka
hw(M ) = hw(E). Selain itu, dalam Fuller dan Majlender (2003) terbukti bahwa:
Z 1
Z 1
−1
2αL (α)dα ≤
L−1 (α)dα,
(3.19)
0

0

L − 1(α) menjadi kebalikan dari fungsi referensi. Oleh karena itu, tergantung
pada tanda perbedaan antara kanan dan kiri penyebaran portofolio, D(x) − C(x),
didapatkan m(E) < m(M ) (negatif) atau m(E)