12 mengulur-ngulur waktu, membenci guru, tidak mau bertanya
untuk hal-hal yang tidak diketahui dan sebagainya. b.
Faktor Eksternal 1
Lingkungan keluarga, seperti ketidakharmonisan hubungan antara ayah dan ibu serta kesulitan ekonomi keluarga.
2 Lingkungan masyarakat, seperti wilayah perkampungan kumuh,
dan teman sepermainan yang nakal. 3
Lingkungan sekolah, seperti kondisi dan letak gedung yang kurang nyaman, kondisi guru dan alat-alat belajar yang
berkualitas rendah. 4
Kebijakan penilaian tentang hasil belajar merupakan puncak harapan siswa. Secara kejiwaan terpengaruh hasil belajar, oleh
karena itu guru harus aktif dan bijaksana dalam penilaian.
4. Kelipatan Persekutuan Terkecil KPK
Menurut Dedi Junaedi 1994:19 kelipatan suatu bilangan cacah
X
merupakan kelipatan suatu bilangan cacah p, bila
X
diperoleh dari mengalikan p dengan bilangan cacah lain.
Contoh: 2 x 4 = 8 8 kelipatan dari 4 8 diperoleh dari mengalikan 4 dengan 2
2 x p =
X X
kelipatan dari p
X
diperoleh dari mengalikan p dengan 2 0,1,2,3,4,5, … adalah kelipatan dari 1 , karena :
0 x 1 = 0 ; 1x 2 = 2 ; 1x 3 = 3 ; 1 x 4 = 4 ; 1 x 5 =5 dan seterusnya
13 Suatu bilangan cacah
X
mungkin merupakan kelipatan dari beberapa bilangan cacah lainnya.
Contoh : 8 adalah kelipatan dari 1,2,4 dan 8.
24 dan 48 adalah kelipatan 6. Tetapi juga dapat dinyatakan sebagai kelipatan 8.
Kelipatan persekutuan adalah anggota kelipatan suatu bilangan yang sama dari dua bilangan atau lebih. Sedangkan kelipatan persekutuan
terkecil dari dua bilangan atau lebih adalah kelipatan persekutuan terkecil yang bukan nol, karena jika nol, maka kelipatan persekutuan terkecil dua
bilangan atau lebih selalu nol. Contoh 1:
a. Kelipatan 2 adalah 0 , 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…
Kelipatan 3 adalah 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 … Kelipatan persekutuan dari 2 dan 3 adalah 0, 6, 12, 18, …
Kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan 3 adalah 6 b.
Keliptan 6 adalah 0, 6, 12, 18, 24, … Kelipatan 8 adalah 0, 8, 16, 24, 32, …
Kelipatan persekutuan dari 6 dan 8 adalah 0, 24, 48, 72, … Kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8 adalah 24.
c. Kelipatan 4 adalah 0 , 4, 8, 12, 16, 20…
Kelipatan 5 adalah 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, … Kelipatan persekutuan dari 4 dan 5 adalah 0, 20, …
14 Kelipatan persekutuan terkecil dari 4 dan 5 adalah 20
d. Kelipatan 5 adalah 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
Kelipatan 10 adalah 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,… Kelipatan persekutuan dari 5 dan 10 adalah 0, 10, 20, 30 …
Kelipatan persekutuan terkecil dari 5 dan 10 adalah 10 Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil KPK dari
bilangan-bilangan yang besar memang agak sulit. Maka untuk mempermudah
digunakan cara perkalian bilangan berpangkat. Adapun langkah- langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Ubahlah masing-masing bilangan pada setiap pasangan menjadi
bentuk perkalian bilangan berpangkat. Contoh:
8 = 2
3
2 disebut bilangan pokok
3 disebut bilangan pangkat
8 disebut hasil perpangkatan
b. KPKnya adalah hasil kali dari semua bilangan pokok dengan pangkat
terbesar yang terdapat pada bentuk perkalian bilangan berpangkat. Contoh 2:
KPK dari 6, 8, dan 9 dapat dicari dengan menggunakan perkalian bilangan berpangkat. Perkalian bilangan berpangkat dari masing-
masing bilangan tersebut adalah :
15 6 = 2 x 3
8 = 2 x 2 x 2 = 2
3
9 = 3 x 3 = 3
2
KPK = 2
3
x 3
2
= 8 x 9 = 72
Pangkat tertinggi dari 2 adalah 3 yang merupakan faktor dari 8, pangkat tertinggi dari 3 adalah 2 yang merupakan faktor dari 9.
Contoh 3: KPK dari 12, 16, dan 25 dapat dicari dengan menggunakan perkalian
bilangan berpangkat. Perkalian bilangan berpangkat dari masing- masing bilangan tersebut adalah :
12 = 2 x 2x 3 = 2
2
x 3 16 = 2 x 2 x 2 x 2
= 2
4
25 = 5 x 5 = 5
2
KPK 12,16,25 = 2
4
x 3 x 5
2
= 1200 Contoh 4:
KPK dari 80 dan 100 dapat dicari dengan menggunakan perkalian bilangan berpangkat. Perkalian bilangan berpangkat dari masing-
masing bilangan tersebut adalah : 80 = 2 x 2x 2 x 2 x 5
= 2
4
x 5 100 = 2 x 2 x 5 x 5
= 2
2
x 5
2
= 2
4
x 5
2
16 =
16 x
25 Jadi, KPK 80,100
= 400 Pangkat tertinggi dari 2 adalah 4 yang merupakan faktor dari 80,
pangkat tertinggi dari 5 adalah 2 yang merupakan faktor dari 100. Menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan
atau lebih dapat juga dicari dengan menggunakan pohon faktor. Contoh:
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 18 dan 30 dengan menggunakan pohon faktor.
18 30
9 15
Perkalian seluruh faktor prima dari 18 dan 30 dengan pangkat tertinggi adalah:
2 x 3
2
x 5. Jadi KPK 18,30= 2 x 3
2
x 5 Selain dengan menggunakan perkalian bilangan berpangkat,
kelipatan persekutuan terkecil KPK dari dua bilangan atau lebih dapat juga dicari dengan menggunakan alat peraga sederhana yaitu
2
5 4
3 3
2
17 lipatan kertas yang ada lambang bilangannya. Adapun cara
menggunakan alat peraga tersebut adalah sebagai berikut. 1.
Meletakkan lipatan kertas yang ada lambang bilangannya, pada papan planel atau papan tulis.
2. menentukan kelipatan dari tiap-tiap bilangan pada setiap pasang.
3. Menentukan kelipatan persekutuannnya.
4. Menentukan bilangan terkecil pada kelipatan persekutuan.
Bilangan tersebut merupakan KPK dari pasangan tersebut. Contoh:
Tentukan KPK dari 18 dan 30
Untuk pasangan bilangan 18 dan 30 Keliptan dari 18 adalah 18, 36, 54, 72, 90 , 108, 126, 144, 162, 180 ,…
Kelipatan dari 30 adalah 30, 60, 90 , 120, 150, 150, 180,… Bilangan yang berada didalam kotak merupakan keliptan
persekutuan Kelipatan persekutuan dari 18 dan 30 adalah 90,180, …
Jadi KPK dari 18 dan 30 adalah 90. 54
72 108
90 126
144 180
36 162
60 210
180 150
120 90
18
5. Alat Peraga
