Espace de Banach quotient Alg `ebre de Banach quotient Spectre dans une alg `ebre de Banach quotient

522 M. Akkar – H. Arroub L.WAELBROECK [6] et l’involution de α dans α devient continue. Aα est dite une alg`ebre de Banach involutive quotient. Soit ˜ a un ´el´ement de Aα, le spectre de ˜a dans l’alg`ebre Aα est not´e par sp α a. sp α a est un compact non vide de C. On se donne un ouvert U de C tel que sp α a ⊂ Bz o , R ⊂ Bz o , R ⊂ U, z o ∈ U, R 0. On d´esigne par hU, A l’espace vectoriel complexe des applications f : U −→ A harmoniques. hU, α est un sous-espace vectoriel de hU, A. On pose hU, Aα = hU, AhU, α. Un ´el´ement de hU, Aα est not´e par ˜ f . Le calcul fonctionnel harmonique dans l’alg`ebre de Banach involutive quotient Aα consiste `a donner un sens `a l’´el´ement ˜ f ˜ a de Aα pour toute application f : U −→ A harmonique. La construction de ce calcul fonctionnel harmonique est bas´ee sur la formule int´egrale de Poisson. L’application qui `a ˜ f associe ˜ f˜ a est lin´eaire et v´erifie : 1 ˜ f ˜ a = ˜1 si f = 1 2 ˜ f ˜ a = ˜ a si f = z o` u z d´esigne l’application qui `a z associe z 3 ˜ f ∗ ˜ a = ˜ f˜ a ∗ si ˜a commute avec ˜ f et ˜ f ∗ . Si f est holomorphe on retrouve le calcul fonctionnel holomorphe d´efini par L.WAELBROECK [6]. Si α = 0 on retrouve le calcul fonctionnel harmonique d´efini par A.ELKINANI [2]. 1 Pr ´eliminaires Dans toute la suite, un espace vectoriel ou une alg`ebre sera sur C et l’unit´e d’une alg`ebre sera not´ee par 1. Nous rappelons tout d’abord quelques notions sur les structures quotients d´efinies par L.WAELBROECK [4], [5], [6].

1.1 Espace de Banach quotient

[4], [5] Soient E, k k un espace de Banach et F un sous-espace vectoriel de E. F est dit un sous espace de Banach de E si F est muni d’une norme d’espace de Banach n F plus fine que celle induite par k k. Le th´eor`eme du graphe ferm´e permet de conclure que de telles normes n F sont ´equivalentes. On dit qu’il n’y a qu’une seule telle norme `a une ´equivalence pr`es. Le quotient EF est appel´e espace de Banach quotient.

1.2 Alg `ebre de Banach quotient

[6] Soient A, k k une alg`ebre de Banach unitaire et α un id´eal bilat`ere distinct de A tel que α soit un sous-espace de Banach de A. Soit n α une norme d’espace de Banach sur α plus fine que celle induite par k k. Le th´eor`eme du graphe ferm´e permet de conclure que les multiplications Calcul fonctionnel harmonique dans une algebre de Banach involutive quotient 523 Axα −→ α αxA −→ α a, x 7−→ ax x, a 7−→ xa sont s´epar´ement continues, donc globalement continues. On pose pour tout x ∈ α kxk α = sup {n α ax|a ∈ A kak ≤ 1}. k k α est une norme d’espace de Banach sur α ´equivalente `a n α . D’autre part on a kaxk α ≤ kakkxk α pour tout a ∈ A et pour tout x ∈ α, donc α, k k α est une alg`ebre de Banach. Aα est dite une alg`ebre de Banach quotient. Si de plus A est `a involution continue et α est un id´eal bilat`ere auto-adjoint de A alors l’involution de α dans α est continue. Aα est dite une alg`ebre de Banach involutive quotient.

1.3 Spectre dans une alg `ebre de Banach quotient

Soient Aα une alg`ebre de Banach quotient et ˜ a un ´el´ement de Aα, le spectre de ˜ a dans l’alg`ebre Aα sera not´e par sp α a. Le spectre de A dans A sera not´e par spa. Proposition 1 : voir aussi le cas o` u l’alg`ebre A est commutative de L.WAELBROECK [6]. Soient Aα une alg`ebre de Banach quotient et ˜a un ´el´ement de Aα. Alors sp α a est une partie non vide et compacte de C . Preuve : α est contenu dans un id´eal bilat`ere maximal α ′ de A. Un tel id´eal α ′ est ferm´e dans A. Aα ′ est une alg`ebre de Banach unitaire, donc sp α ′ a est non vide et est contenu dans sp α a d’o` u sp α a est non vide. D’autre part sp α a est contenu dans spa qui est compact, donc sp α a est born´e. Pour conclure il suffit de prouver que sp α a est ferm´e dans C. En effet, soit λ ∈ C\sp α a il existe b λ ∈ A, x λ ∈ α, y λ ∈ α tels que : a − λb λ + x λ = b λ a − λ + y λ = 1. Le groupe des ´el´ements inversibles dans A est ouvert dans A. Donc il existe V λ un voisinage de λ dans C tel que pour tout z ∈ V λ a − zb λ + x λ et b λ a − z + y λ sont inversibles dans A. Pour tout z ∈ V λ on pose : b z = bλ1 − z − λb λ −1 ∈ A x z = x λ 1 − z − λb λ −1 ∈ α y z = 1 − z − λb λ −1 y λ ∈ α On a a − zb z + x z = b z a − z + y z = 1 pour tout z ∈ V λ . D’o` u V λ est contenu dans C\sp α a. Rappelons quelques notations. Soient Aα une alg`ebre de Banach quotient et U un ouvert de R n n ≥ 1. On d´esigne par C p U, A, p ≥ 0 l’alg`ebre unitaire des applications u : U −→ A de classe C p . C p U, α est un id´eal bilat`ere distinct de C p U, A. 524 M. Akkar – H. Arroub On pose : C p U, Aα = C p U, AC p U, α. Un ´el´ement de l’alg`ebre C p U, Aα est not´e par ˜ u la classe d’´equivalence de u modulo C p U, α. Si de plus A est involutive et α est un id´eal bilat`ere auto-adjoint de A alors C p U, α est un id´eal bilat`ere auto-adjoint de l’alg`ebre involutive C p U, A. L’involution de C p U, A dans lui mˆeme qui `a u associe u ∗ envoie C p U, α dans lui mˆeme, donc elle induit une involution de l’alg`ebre C p U, Aα qui `a ˜ u associe ˜ u ∗ . Donc C p U, Aα devient une alg`ebre involutive unitaire. On d´efinit de mˆeme l’alg`ebre C ∞ U, Aα = C ∞ U, AC ∞ U, α et l’involution ˜ u 7−→ ˜ u ∗ dans le cas o` u A est involutive et α est un id´eal bilat`ere auto-adjoint de A. Proposition 2 : Soient Aα une alg`ebre de Banach quotient et ˜ a un ´el´ement de Aα. Alors il existe u : C\sp α a −→ A de classe C ∞ tel que ˜ a − ˜ z˜ u = ˜ u˜ a − ˜ z = ˜1 dans l’alg`ebre C ∞ C\sp α a, Aα o` u z d´esigne l’application qui `a z associe z. Autrement dit ˜ a − ˜ z est inversible dans l’alg` ebre C ∞ C\sp α a, Aα. Preuve : On reprend la preuve de la proposition 1. Pour tout λ ∈ C\sp α a il existe V λ un voisinage de ouvert de λ dans C on peut prendre une boule ouverte tel que : a − zb z + x z = b z a − z + y z = 1 pour tout z ∈ V λ avec b z = b λ 1 − z − λb λ −1 ∈ A x z = x λ 1 − z − λb λ −1 ∈ α y z = 1 − z − λb λ −1 y λ ∈ α Pour tout z ∈ V λ on pose : u λ z = b z , v λ z = x z , w λ z = y z u λ : V λ −→ A et v λ , w λ : V λ −→ α sont analytiques donc de classe C ∞ et v´erifient : a − zu λ z + v λ z = u λ za − z + w λ z = 1 pour tout z ∈ V λ . On pose U = C\sp α a ouvert de C. Les V λ forment un recouvrement d’ouverts de U. Le th´eor`eme d’existence d’une partition de l’unit´e de classe C ∞ subordonn´ee au recouvrement d’ouverts V λ de l’ouvert U met en ´evidence une famille ϕ λ : U −→ R λ ∈ U de fonctions positives de classe C ∞ v´erifiant : i suppϕ λ ⊂ V λ pour tout λ de U. ii Pour tout compact K de U, un nombre fini seulement de ϕ λ ne sont pas identiquement nulles sur K. iii Pour tout z ∈ U on a X λ ∈U ϕ λ z = 1. On d´efinit pour tout λ ∈ U u ′ λ : U −→ A et v ′ λ , w ′ λ : U −→ α par : u ′ λ z = ϕ λ zu λ z si z ∈ V λ et u ′ λ z = 0 sinon v ′ λ z = ϕ λ zv λ z si z ∈ V λ et v ′ λ z = 0 sinon w ′ λ z = ϕ λ zw λ z si z ∈ V λ et w ′ λ z = 0 sinon u ′ λ , v ′ λ , w ′ λ sont de classe C ∞ sur U. On pose : uz = X λ ∈U u ′ λ z Calcul fonctionnel harmonique dans une algebre de Banach involutive quotient 525 vz = X λ ∈U v ′ λ z wz = X λ ∈U w ′ λ z On a u : U −→ A et v, w : U −→ α sont de classe C ∞ et v´erifient : a − zuz + vz = uza − z + wz = 1 pour tout z ∈ U. D’o` u ˜ a − ˜z˜ u = ˜ u˜ a − ˜z = ˜1 dans C ∞ U, Aα. Remarque : Si a ′ est un autre repr´esentant de ˜a et u ′ une autre application u ′ : U −→ A de classe C p v´erifiant ˜ a ′ − ˜z˜ u ′ = ˜ u ′ ˜ a ′ − ˜z = ˜1 alors ˜ u = ˜ u ′ . Ceci d´ecoule de l’unicit´e de l’inverse dans une alg`ebre. Lemme : Soient K un compact de R n , U un voisinage ouvert de K dans R n n ≥ 1. Alors il existe une fonction h : R n −→ [0, 1] de classe C ∞ ` a support contenu dans U et h = 1 sur un voisinage de K. Preuve : Ceci d´ecoule du th´eor`eme d’existence d’une partition de l’unit´e. Proposition 3 : Soient Aα une alg`ebre de Banach quotient, ˜ a ∈ Aα,U un ouvert de C tel que : U ⊃ Bz o , R ⊃ Bz o , R ⊃ sp α a, z o ∈ U, R 0. Avec Bz o , R la boule ouverte de centre z o et de rayon R, Bz o , R la boule ferm´ee de centre z o et de rayon R. Alors il existe h : C −→ [0, 1] de classe C ∞ ` a support contenu dans Bz o , R, h = 1 sur un voisinage de sp α a et u 1 : C −→ A de classe C ∞ tels que : ˜ a − ˜z˜ u 1 = ˜ u 1 ˜ a − ˜ z = ˜1 − ˜ h dans C ∞ C, Aα, o` u z d´esigne l’application qui ` a z associe z. Preuve : Le lemme donne l’existence d’une telle application h. La proposition 2 donne l’existence de u : C\sp α a −→ A et v, w : C\sp α a −→ α de classe C ∞ telles que : a − zuz + vz = uza − z + wz = 1 pour tout z ∈ C\sp α a. On d´efinit u 1 : C −→ A et v 1 , w 1 : C −→ α par : u 1 z = 1 − hzuz si z ∈ C\sp α a et u 1 z = 0 si z ∈ sp α a v 1 z = 1 − hzvz si z ∈ C\sp α a et v 1 z = 0 si z ∈ sp α a w 1 z = 1 − hzwz si z ∈ C\sp α a et w 1 z = 0 si z ∈ sp α a u 1 , v 1 , w 1 sont de classe C ∞ et on a : a − zu 1 z + v 1 z = u 1 za − z + w 1 z = 1 − hz pour tout z ∈ C . D’o` u ˜ a − ˜ z˜ u 1 = ˜ u 1 ˜ a − ˜ z = ˜1 − ˜h dans C ∞ C, Aα. 526 M. Akkar – H. Arroub

1.4 Fonctions harmoniques