Solusi Numerik Fungsi Gelombang Arah Radial Elektron Atom Hidrogen Dengan Efek Relativistik

SOLUSI NUMERIK FUNGSI GELOMBANG ARAH RADIAL

ELEKTRON ATOM HIDROGEN DENGAN EFEK

RELATIVISTIK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ENRA S. TAMBUNAN 090801047

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

SOLUSI NUMERIK FUNGSI GELOMBANG ARAH RADIAL

ELEKTRON ATOM HIDROGEN DENGAN EFEK

RELATIVISTIK

SKRIPSI

ENRA S. TAMBUNAN

090801047

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2014

PERSETUJUAN

Judul : SOLUSI NUMERIK FUNGSI GELOMBANG

ARAH RADIAL ELEKTRON ATOM HIDROGEN DENGAN EFEK RELATIVISTIK

Kategori : SKRIPSI

Nama : ENRA S. TAMBUNAN

NIM : 090801047

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 19 Agustus 2014

Pembimbing I Pembimbing II

Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si

NIP: 197211152000121001 NIP: 195511291987032001 Dra.Manis Sembiring MS

Diketahui/ disetujui oleh

Ketua Departemen Fisika FMIPA USU

NIP: 195510301980031003 Dr. Marhaposan Situmorang

PERNYATAAN

SOLUSI NUMERIK FUNGSI GELOMBANG ARAH RADIAL ELEKTRON ATOM HIDROGEN DENGAN EFEK RELATIVISTIK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 19 Agustus 2014

ENRA S. TAMBUNAN 090801047

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala anugerah dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “SOLUSI NUMERIK FUNGSI DISTRIBUSI ARAH RADIAL

ELEKTRON ATOM HYDROGEN DENGAN EFEK RELATIFISTIK”.

Skripsi ini disusun sebagai syarat akademis dalam menyelesaikan studi program Sarjana (S1) Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan:

1. Kepada Ayah dan Ibu

tercinta D.TAMBUNAN dan R. MANIK, kakak ku tercinta Netty Tambunan, Sri Indah Hastuti Tambunan dan Abang saya Emron Tambunan terimakasih untuk setiap doa, kasih sayang, dukungan dan nasehat yang senantiasa diberikan kepada penulis setiap waktu. Semoga Allah BAPA yang maha pengasih senantisa melimpahkan kasih sayang dan berkah-Nya kepada keluarga kita dan semoga penulis bisa menjadi “pambangkik batang tarandam” di keluarga kita

2. Kepada Alm Bapak

Drs.Tenang Ginting,M.S selaku dosen pembimbing penulis sebelum Beliau wafat.Terima kasih Atas ilmu selama diperkuliahan,bimbingan, masukan yang senantiasa diberikan kepada penulis dan Beliau lah yang mengenalkan fisika teori kepada penulis.

3. Bapak Tua Raja

Simbolon, S.Si, M.Si dan Dra Manis Sembiring M.S selaku dosen pembimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih untuk setiap ilmu, bimbingan, masukan dan motivasi yang senantiasa diberikan kepada penulis.

4. Bapak Drs.

penulis. Terimakasih untuk ilmu yang diberikan, masukan dan motivasi yang senantiasa diberikan kepada penulis.

5. Kepada Bapak

Dr.Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta dosen dan staff pegawai kantor departemen Fisika USU.

6. Kepada teman-teman

penulis di Fisika Stambuk Breaving ’09: Terkhusus kepada teman seperjuangan penulis Soni Togatorop, Poltak, Sabam, Kalam siregar, Ade Irma, Fitri, Villa, Agus, Suhartina, Herdiana, Resdina, Rieni, Valentina, Esra, Timbul, Wenny, Septi, Jannah, Ferdi, dan teman – teman yang lainnya, terima kasih untuk setiap kebersamaan dan motivasinya.

7. Kepada Rusel angkatan

2011 Fisika USU, terima kasih atas bantuan, dukungan dan waktu yang diberikann kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.

8. Kepada Bang Mangara,

Bang Rolas, Bangn Indra dan Kak Dewi, dan bang Donal terima kasih untuk ilmu dan dukungannya.

9. Kepada adik stambuk

angkatan 2010, 2011, 2012 dan 2013 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu.

10. Kepada Deby Apriliani

Simanjuntak yang penulis cintai dan sayangi, terimakasih untuk setiap waktu, kasih sayang, dukungan, masukan, nasehat, doa dan bantuan diberikan kepada penulis.

11. Kepada teman kost

penulis Frengki, Jhonri, Riama, Livia, Rafles terimakasih telah membantu penulis menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan untuk penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya.

Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat terutama bagi penulis dan pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini.

Medan,

Penulis

SOLUSI NUMERIK ARAH RADIAL ELEKTRON ATOM HIDROGEN DENGAN EFEK RELATIVISTIK

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan numerik fungsi gelombang arah radial elektron atom hidrogen dengan efek relativistik menggunakan metode beda hingga. Perhitungan ini dimulai dari teori relativistik khusus Einstein pada persamaan gelombang Schrodinger klasik untuk atom hidrogen. Persamaan gelombang Schrodinger ini menyerupai fisika klasik Newton pada benda yang bergerak dan juga menyerupai persamaan gelombang Schrodinger klasik yang melibatkan distribusi diffrensial radial yang sangat sulit untuk mencari solusi analitik, namun dapat diselesaikan dengan solusi Numerik. Dengan menggunakan pemisahan variabel dari persamaan Schrodinger koordinat bola didapat fungsi gelombang arah radial. Fungsi gelombang elektron arah radial yang dipengaruhi efek relativistik terlihat semakin mengecil seiring dengan meningkatnya jejari atom. Nilai energi dari persamaan gelombang Schrodinger relativistik sama dengan model atom Hidrogen Borh. Pada saat spin-orbit berpasangan tidak diperhitungkan seperti yang dilakukan dalam persamaan gelombang Dirac efek relativistik seperti atom Hidrogen. Sebab tidak ada kondisi awal yang digunakan ketika menyelesaikan solusi numerik persamaan gelombang relativistik. Kondisi normalisasi ini digunakan ketika diuji nilai maksimum fungsi radial elektron atom hidrogen, menggunakan perangkat lunak Microsoff Excel untuk mendapatkan solusi Numerik dengan Metode beda Hingga.

Kata kunci: Atom hydrogen, Metode beda Hingga, gelombang Schrodinger Relativistik, Microsof Excel.

NUMERICAL SOLUTION HYDROGEN ATOM ELECTRON RADIAL DIRECTION WITH RELATIVISTIC EFFECTS

ABSTRACT

It has been conducted numerical calculations of electron radial wave function of hydrogen atoms by relativistic effects using the finite difference method. This calculation starts from Einstein's theory of special relativistic Schrödinger wave equation for the classical hydrogen atom. The Schrodinger wave equation resembles the classical physics of Newton on a moving object and also resembles the classic Schrodinger wave equation involving the radial distribution different very difficult to find an analytic solution, but can be solved with numerical solutions. By using the separation of variables of the Schrodinger equation in spherical coordinates obtained radial wave function. Radial electron wave function is influenced relativistic effects look even smaller with the increasing atomic spokes. Energy value of the relativistic Schrödinger wave equation is equal to the atomic model Hydrogen Bohr. At the time of the spin-orbit pairs are not taken into account as is done in the Dirac wave equation of relativistic effects such as atomic hydrogen. Because there are no initial conditions used when solving the numerical solutions of relativistic wave equations. This normalization condition is used when tested maximum value function of radial electron hydrogen atom, using the Microsoft Excel software to obtain numerical solutions with finite different methods.

Keywords: Atomic hydrogen, finite difference methods, Relativistic Schrodinger wave, Microsoft Excel.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Gambar viii

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Ruang Lingkup Kajian 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penulisan 3

1.6 Sistematika penulisan 3

Bab 2 Tinjauan Pustaka

2.1 Teori Atom Bohr 5

2.2 Teori Relativitas Khusus 5

2.3 Persamaan Maxwell 6

2.4 Model Atom Hidrogen 9

2.5 Persamaan Gelombang Schrodinger Relativistik 13

2.6 Metode Beda Hingga 18

2.6.1 Beda Maju 20

2.6.2 Beda Mundur 21

2.6.3 Beda Tengah 21

Bab 3 Metodologi Penelitian

3.1 Literatur Alir Penelitian 23

Bab 4 Hasil Dan Pembahasan

4.1 Penyelesaian dari Gelombang Relativistik Schrodinger

Dari Atom Hidrogen 24

4.2 Penyelesaian Numerik Dan Fungsi Distribusi Jari-Jari Untuk Persamaan Gelombang Relativistik Schrodinger 30 Bab 5 Kesimpulan Dan Saran

5.1 Kesimpulan 41

5.2 Saran 41

Daftar Pustaka 42

Lampiran

A. Alfabet Yunani 44

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Skema Beda Hingga Pada Arah Radial Elektron 20 Gambar 4.1. Arah Radial Elektron Atom Hidrogen 24 Gambar 4.2 Arah Radial Elektron Atom Hidogen 40 Gambar B.1 Solusi Numerik Arah Radial Atom Hidrogen

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Pandangan terhadap ilmu fisika mulai berubah sejak peristiwa bencana ultraungu yang melahirkan hipotesa Planck, kemudian dilanjutkan oleh teori kuantum cahaya yang dipublikasikan oleh Einstein dan percobaan Efek Compton. Era ini kemudian ditandai dengan lahirnya fisika kuantum.

Teori kuantum kemudian berkembang seiring dengan formulasi matriks Heisenberg dan mekanika gelombang yang digagas oleh Schr dinger. Gagasan ini kemudian dikenal dengan nama Persamaan Schr dinger.

Penerapan persamaan Schrödinger dapat dijumpai pada solusi gerak partikel dalam sebuah potensial seperti sumur potensial, tanggul potensial, dan osilator harmonik. Peluruhan alfa, dioda tunel, dan inversi amoniak adalah beberapa aplikasi persamaan Schrödinger pada tanggul potensial yang dikenal sebagai efek terobosan.

Dalam perkembangan selanjutnya, persamaan Schr dinger diaplikasikan pada teori relativitas khusus Einstein untuk atom yang menyerupai Hidrogen. Selain mirip persamaan persamaan gelombang Schr dinger relativistik klasik melibatkan distribusi diffrensial radial yang sangat sulit untuk mencari solusi analitik, tetapi harus diselesaikan dengan solusi numerik.

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara hitungan (Aritmatika). Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan khususnya Fisika dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematik. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk yang sederhana maka dapat diselesaikan secara analitis.

Namun ada beberapa persoalan fisika yang cukup rumit dan menghabiskan waktu yang banyak untuk menyelesaikannya, misalnya masalah matematika yang

dijumpai bersifat kompleks yang melibatkan banyak variabel dan parameter serta hubungannya saling ketergantungan antara variabel lain dengan yang lainnya sehingga metode analitis sulit diterapkan untuk itu perlu disederhanakan penyelesaiannya dengan menggunakan metode numerik. Karena itu metode numerik sangat membantu dalam mempelajari gejala fisika

Salah satu gejala fisika yang sangat menarik adalah perilaku gelombang dari partikel. Analisis persamaan Schrödinger dapat dilakukan dengan menggunakan model matematika dan menerapkan metode numerik untuk menyederhanakan penyelesaian matematisnya.

Salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan differensial seperti pada persamaan Schrödinger adalah metode beda hingga (Finite Difference Methods). Metode beda hingga lebih mudah dari segi pemrograman dengan komputer dan konsepnya pun tidak sulit untuk dipahami. Oleh karena itu pada penelitian ini akan diterapkan metode beda hingga untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger yaitu pada fungsi gelombang arah radial elektron atom hidrogen dengan efek relativitas.

1.2 Perumusan Masalah

Fokus penelitian ini adalah solusi numerik persamaan gelombang Schr dinger dengan menggunakan metode beda hingga dan juga evaluasi nilai energi elektron maksimum dan fungsi gelombang radial pada atom Hidrogen.

1.3 Ruang Lingkup Kajian

Kajian penelitian ini dibatasi hanya pada persamaan gelombang Schr dinger untuk atom hidrogen sehingga tidak pula mnelibatkan kajian mengenai masalah mekanika kuantum lainnya.

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penetitian ini adalah

1. Menentukan fungsi gelombang arah radial secara relativistik

2. Menentukan fungsi gelombang arah radial elektron yang dipengaruhi relativistik numerik

1.5Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :

1. Bagi penulis, sebagai tambahan informasi dan wawasan mengenai bagaimana menentukan solusi numerik fungsi gelombang arah radial electron atom hydrogen dengan efek relativistik

2. Bagi pembaca, sebagai masukan dan sumbangan pemikiran untuk memecahkan permasalahan dalam menentukan fungsi gelombang arah radial electron atom hidrogen dengan menggunakan metode beda hingga.

1.6 Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing bab dipecah beberapa sub-bab dengan memerinci pokok-pokok permasalahan sehingga penyajian tugas akhir ini dapat dilakukan secara sistematis:

BAB 1 Pendahuluan

Berisi uraian mengenai hal-hal yang melatarbelakangi penulisan permasalahan, batasan permasalahan, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.

BAB 2 Tinjauan Pustaka

Berisi tentang teori yang berhubungan dengan teori atom Bohr, teori relativitas Einstein, persamaan Schr dinger radial dan juga metode beda hingga.

BAB 3 Metode Penelitian

BAB 4 Hasil dan Pembahasan

Bab ini membahas tentang persamaan gelombang Schr dinger klasik, evaluasi nilai maksimum fungsi gelombang radial, dan mendapatkan solusi numerik dengan menggunakan metode beda hingga

BAB 5 Kesimpulan dan Saran

Berisi hasil-hasil yang didapatkan dari penelitian ini dan saran-saran untuk penelitian lebih lanjut.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Atom Bohr

Pada tahun 1913, Niels Bohr, fisikawan berkebangsaan Swedia, mengikuti jejak Einstein menerapkan teori kuantum untuk menerangkan hasil studinya mengenai spektrum atom hidrogen. Bohr mengemukakan teori baru mengenai struktur dan sifat-sifat atom. Teori atom Bohr ini pada prinsipnya menggabungkan teori kuantum Planck dan teori atom dari Ernest Rutherford yang dikemukakan pada tahun 1911. Bohr mengemukakan bahwa apabila elektron dalam orbit atom menyerap suatu kuantum energi, elektron akan meloncat keluar menuju orbit yang lebih tinggi. Sebaliknya, jika elektron itu memancarkan suatu kuantum energi, elektron akan jatuh ke orbit yang lebih dekat dengan inti atom. Meski demikian Bohr menggunakan fisika klasik Newton. Pada saat perhitungan jumlah tingkat energi pada atom Hidrogen Bohr mematuhi hukum Newton energi kinetik (Ek) pada elektron yang mengorbiti proton atom Hidrogen:

Dengan

= Energi Kinetik (J) = Massa elektron (Kg) = Kecepatan elektron (m/s)

2.2 Teori Relativits Khusus

Teori relativitas khusus di kemukakan Einstein pada tahun 1905 merupakan salah satu tulang punggung fisika moderen. Sumbangannya terutama dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep-konsep dasar dalam fisika, khususnya yang berkaitan dengan ruang-waktu, momentum-energi sebagai aspek kinematika semua gejala alam. Diawal abab ke 20-an Einstein mengembangkan teori energi

kinetik benda yang bergerak. Rumusan energi kinetik yang di kembang itu sebagai berikut:

Pada persamaan (2.2) massa relativitas, adalah massa diam dan c adalah kecepatan cahaya, juga adalah massa relatif benda yang berpindah akan bertambah dengan kecepatan v oleh fungsi kecepatan berikut:

Demikian massa ( ) relatif setiap benda akan mendekati takhingga dalam batas kecepatan v mendekati kecepatan cahaya c. jika massa diam lebih besar dari nol ( ). Jika diterapkan pada ekspansi binomial untuk energi kinetik dalam persamaan (2.2) dibanding dengan kecepatan jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya . Energi kinetik relativistik dijelaskan oleh persamaan (2.2) sebanding dengan hukum Newton pada persamaan (2.1) untuk elektron:

Dengan,

= Energi kinetik (j) = Massa relativitas (kg)

=Massa elektron diam (kg) =Kecepatan elektron (m/s) =Kecepatan cahaya (m/s)

2.3 Persamaan Maxwell

Teori relativitas khusus merupakan perkembangan yang dihasilkan empat persamaan Maxwell elektromagnetik kecepatan cahaya (c), dalam sistem satuan (MKS) dapat di tentukan fungsi dua konstanta bebas dan untuk interaksi elektromagnetik.

Adapun keempat (4) persamaan Maxwell tersebut adalah sebagai berikut:

Dimana,

Untuk mendapatkan nilai kecepatan cahaya, perhatikan penjabaran persamaan berikut:

Dimana,

Dengan,

= Operator Del

= Besar medan listrik (N/C) =Besar medan magnet (T) =Intensitas medan magnet =Kerapatan Fluks listrik

= Permebilitas magnetik ruang hampa ( )

=Kecepatan cahaya ( )

Jika persamaan Maxwell berlaku dalam setiap kerangka acuan baik diam atau bergerak, maka kecepatan cahaya (c) juga konstanta secara teoritis. Jika kecepatan cahaya konstan hasil dari persamaan (2.3) untuk massa dari setiap benda bergerak serta penurnan dilatasi waktu untuk benda bergerak terhadap suatu benda saat diam

Dalam kasus sederhana dari atom Hidrogen kecepatan rata-rata jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya, sehingga persamaan (2.1) berlaku untuk energi kinetik, tapi dengan meningkatnya nomor atom Z dalam atom yang lebih besar, elektron atom memiliki kecepatan rata-rata yang mendekati kecepatan cahaya. kemudian, persamaan (2.1) tidak berlaku lagi terhadap energi kinetik elektron dari hasil persamaan (2.2) harus di manfaatkan untuk menentukan tingkat energi dari relativistik model atom Bohr menyerupai Hidrogen yang mungkin lebih dari satu proton dalam inti dan hanya satu elektron di sekitar inti, memulai dengan konservasi energi, dari konservasi energi jumlah energi kinetik dan energi potensial dalam setiap sistem kedua partikel terikat konstan, yang disebut sebagai energi mekanik (EM) total dan konstan lebil kecil dari nol

Pada energi potensial elektron berinteraksi dengan inti atom bermuatan positif fungsi negatif hukum coloumb, interaksi antara dua partikel pada bola.

Dengan

= Energi potensial (J) = Energi kinetic (J)

= Energi total (J) Z = Nomor atom

q = Muatan electron (C)

Menggabungkan persamaan (2.2) untuk energi relativitas elektron dengan persamaan (2.15) untuk energi potensial, menghasilkan jumlah tingkat energi relativistik model atom Bohr menyerupai Hidrogen

Dalam persamaaan (2.16) adalah jumlah energi total Em pada ikatan dalam atom hidrogen yang dapat ditentukan dengan prinsip fungsi nomor bilangan kuantum.

Dengan

= Massa relativitas (kg) =Massa diam (kg) Z = Nomor atom

q = Muatan electron (C)

r = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) = Energi total (J)

2.4. Model Atom Hidrogen

Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya. Jika elektron berpindah dari kuli terluar ke kulit terdalam maka akan melepas energi, demikiaan sebaliknya jika elektron berpindah dari kulit terdalam ke kulit terluar maka akan menarik energi.

Model kuantum atom hidrogen, elektron mengelilingi lintasan disekitar inti atom dengan jarak r. Demikian keliling dari lintasan elektron disekitar inti dengan jarak r:

Dibalik pemikiran model kuantum Bohr ialah dualisme partikel dan juga bagian dari gelombang, berasal dari Louis de Broglie, pada awal abad ke 20, Louis de Broglie membuat fungsi invers panjang gelombang pada partikel yang berpindahndan besar partikel momentum (p) relatifistik

Persamaan (2.18) h merupakan konstanta Planck dan m merupakan massa relativistik pada partikel yang berpindah dengan kecepatan v. Setiap jumlah orbit lingkaran, keliling s jumlah bilangan kuantum pada panjang gelombang pada parikel yang bergerak dan n lebih besar dari nol (n>0)

Dengan

= Mmomentum Relativistik (Kg m/s) = Jumlah keliling orbit lingkaran = Tetapan Planck ( )

= Bilangan kuantum utama

= Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) = Panjang gelombang (m)

Persamaan (2.19) merupakan prinsip gelombang tetap. Disamping itu untuk setiap orbit lingkaran, besarnya gaya sentrifugal harus sama dengan gaya tarik

antara partikel orbit lingkaran dan jauh lebih besar partikel di pusat orbit

Pada saat persamaan diterapkan disekitar elektron orbit elektron pada atom hidrogen,dimana besar jumlah muatan elektron.

Jika persamaan (2.21) dibagi r sehingga menjadi

Dengan

= Gaya sentrifugal (N)

= Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) = Massa elektron (kg)

= Kecepatan elektron (m/s) Z = Nomor atom

Dari persamaan (2.19) hubungan antara besar momentum relativistik dengan jarak r dari orbit lingkaran:

Dari subtitusi persamaan (2.23) ke (2.22) dapat ditentukan nilai kecepatan v yang merupakan kecepatan tangensial dari elektron dalam orbit lingkaran atom Hidrogen:

Sehingga perbandingan kecepatan elektron v dengan kecepatan cahaya c

Massa elektron relativistik dalam model atom Bohr menjadi

lebih kecil hasil bagi pada persamaan (2.25), dan sama dengan setengah akar muatan elektron dibagi dengan konstanta Planck, permibilitas elektrostatis pada ruang dengan kecepatan cahaya

Dengan

=Konstanta atom hidrogen.

dan dalam mekanika kuantum relativistik, digunakan secara konsisten. Oleh karena itu, dalam teori, jika inti adalah titik massa dengan lebih dari 137 foton, serendah mungkin n = 1 tingkat kuantum bisa tidak ada karena elektron akan dari pada memiliki kecepatan lebih besar dari cahaya pada bilangan gelombang kuantum n sama dengan satu (n = 1). Namun, jika ada inti dengan nomor atom lebih besar 137 (Z > 137), jumlah massa atom mungkin akan menjadi sekitar 300 (A 300). Hal ini sangat mungkin, karena itu, bahwa n=1 jari-jari Bohr relativistik akan kurang dari jari-jari seperti inti yang besar.

Karena satu sekarang memiliki besarnya elektrik kecepatan v sebagai fungsi dari gelombang bilangan kuantum n, adalah mungkin untuk determinan besarnya sirkular orbit jari r sebagai fungsi dari juga. Dengan subtitusi persamaan (2.26) dan (2.27) ke persamaan (2.19) untuk elektron dalam orbit lingkaran, dan pemecahan untuk r.

Dengan

r = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) n = Bilangan kuantum

= Massa diam (kg)

= Kecepatan elektron (m/s) Z = Nomor atom

q = Muatan elektron (C)

= Tetapan Planck ( ) = Permitivitas ruang hampa

Kembali ke persamaan (2.16), sekarang mungkin untuk mengevaluasi pertanyaan jumlah mekanik energi En untuk model Bohr relativistik atom hidrogen seperti dengan substitusi dari persamaan (2.29) ke persamaan (2.16)

Dengan

=Jumlah energi mekanik atom Bohr (J)

Perhatikan selama nomor atom Z kurang dari 138, nilai numerik dari persamaan (2.34) adalah negatif yang konsisten dengan sistem dua partikel terikat. Ekspresi dalam persamaan (2.34) akan digunakan dalam menentukan tingkat energi terkuantisasi di bagian mendatang mengenai persamaan gelombang Schrodinger relativistik, karena spin-orbit kopling tidak dipertimbangkan. juga, elektrodinamika kuantum tidak akan termasuk baik.

2.5 Persamaan Gelombang Schr dinger Relativistik

Ketika Niels Bohr bekerja di luar struktur kuantum dari atom hidrogen menggunakan fisika klasik Newton, dia tidak mempertimbangkan tingkat kuantum yang memiliki bentuk orbit elips atau gerakan osilasi sederhana tanpa momentum angular. Dalam orbit elips, ada kecepatan radial serta kecepatan sudut yang muncul karena momentum sudut kurang dari nilai maksimal yang mungkin, karena momentum sudut maksimum terjadi untuk sistem dua-tubuh terikat hanya ketika orbit dalam bentuk melingkar. di samping itu, ia diperlakukan karakteristik partikel subatomik serta untuk foton ligth tiga-dimensi. Tiga gelombang dimensi dijelaskan oleh persamaan gelombang berikut fisika newtonian menggunakan persegi panjang koordinat x, y, dan z dimensi keempat waktu t

dalam persamaan (2.34), adalah fungsi gelombang dan v adalah besarnya kecepatan gelombang dari gelombang tiga dimensi klasik, yang merupakan produk dari gelombang frekuensi f dan panjang gelombang :

dan T periode gelombang tiga dimensi klasik menjadi kebalikan dari frekuensi

solusi analitis genaral dengan ekspresi diferensial dalam persamaan (2.34) adalah fungsi berikut koordinat posisi persegi panjang dan waktu:

untuk menurunkan persamaan gelombang Schr dinger untuk partikel bebas, pertama subtitusikan rumus umum dari persamaan (2.37) untuk persamaan (2.34) untuk menghasilkan berikut:

setelah itu, satu kemudian menggunakan ekspresi dalam persamaan (2.19) untuk menggabungkan dualisme gelombang-partikel menghasilkan:

melihat bahwa dalam persamaan (2.39), hasilnya adalah persamaan gelombang Schrodinger dari partikel bebas, dan dapat disusun kembali ke dalam ekspresi teks dalam jangka momentum kuadrat dari partikel bergerak:

dalam notasi vektor, p momentum vektor dari partikel bergerak bebas direpresentasikan sebagai

dimana dalam sistem koordinat Cartesian, vektor satuan x, y, dan z sumbu direpresentasikan sebagai x, y, dan z. notasi vektor menggunakan, persamaan (2.40) menjadi partikel untuk bergerak bebas:

dan ekspresi diffrensial dalam persamaan (2.42) dalam notasi vektor menjadi operator momentum-squared untuk partikel bebas yang memiliki sebagai fungsi gelombang nya.

kembali ke ekspresi yang diberikan dalam persamaan (2.16) :

perlu untuk menurunkan persamaan (2.16) menjadi rumus matematika dalam volving momentum relativistik kuadrat dari partikel menggunakan persamaan (2.34) tentang dualitas gelombang-partikel dari elektron dalam atom hidrogen seperti. Untuk menyelesaikan tugas ini, diperlukan kembali ke persamaan (2.3) untuk massa relativistik dari objek yang bergerak

Persamaan (2.3) dapat di ubah dengan kedua sisi dan persamaan kuadrat, dikalikan terus dengan kecepatan cahaya yang ditingkatkan ke tenaga keempat untuk memperoleh:

Kemudian gunakan sifat distribusi dari matematika dan menyusun yang lainya menjadi persamaan (2.44):

Dengan

= Massa relativitas (kg) = Massa diam (kg)

= Kecepatan cahaya ( ) = Kecepatan elektron (m/s)

p = Momentum relativistik (kg m/s)

Penjumlahan dari momentum relativitas kuadrat , waktu dari kecepatan kuadrat cahaya dan masa enegi kuadrat adalah sama dengan masa relativitas energi kuadrat dari perpindahan partikel setelah

mengambil akar kuadrat kedua sisi dan persamaan (2.45), mengungkapkan bahwa itu dapat disubtitusi kedalam persamaan gelombang relativitas Schr dinger dari persamaan (2.16) untuk pergerakan elektron:

Mensubsitusi persamaan (2.37) kedalam persamaan (2.16) diikuti dengan menambahkan masa energi dan energi potensial pada kedua sisinya dari persamaan (2.16).

Karena orbit perputaran alat penghubung tidak diambil pertimbangan elektron akan sama jika nilai putaran intrinsik adalah nol dari satu setengah dan masa energi dari elektron adalah konstan, nilai energi En dari model atom relativitas Bohr (persamaan 2.33) adalah menambahkan nilai masa elektron ke hasil persamaan gelombang relativitas Schr dingeruntuk nilai energi En:

Dengan

= Energi mekanika atom Bohr (J)

Tak sama dengan hasil energi dari model atom hidrogen relativitas Bohr hasil bilangan dari persamaan (2.48) adalah lebih baik dari nol, positif n lebih dari satu ketika ada lebih dari 137 proton didalam atom nukleus (Z>137). Jadi, persamaan (2.48) sekarang menjadi:

Demikian, setelah mengkuadratkan kedua sisi dari persamaan (2.50) dan menunjukan beberapa manipulasi aljabar:

Dengan mensubsitusi persamaan (2.43) dan menyatakan differensial dari partikel-partikel ke persamaan (2.55), diikuti satu versi dari persamaan gelombang relativitas Schr dinger:

Langkah selanjutnya adalah membagi persamaan (2.56) dengan hasil dan diikuti pernyataan dan diperoleh:

Kemudian, setelah beberapa aljabar, persamaan (2.57) menjadi versi yang sederhana dari hasil persamaan gelombang relativitas Schr dinger ke nol kemudian massa :

Dan setelah mensubsitusi kedalam persamaan (2.48) untuk perhitungan tingkatan energi En, persamaan (2.58):

Setelah ditambahkan, untuk mengikuti hasil bagi dari konstanta Planck h dan hasil akan di susun :

Bagian yang akan datang memberikan pembicaran bagaiman memecahkan pernyataan sebagian differential di persamaan (2.59) menggunakan polar Spherical dari pada koordinat kartesius segi empat., operator momentum kuadrat dapat dipisahkan kedalam penjumlahan dari momentum jari-jari lingkaran kuadrat dan operator momentum kuadrat angular jika satu persamaan (2.59) terus

dengan :

Ini tepat karena adalah penjumlahan urut untuk momentum angular.

2.6. Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)

Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi.

Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskriisasi elemennya hanya berbentuk segi empat saja.

Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu

yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984). Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:

Dengan h adalah Δr, subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation

error yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan

sebagai berikut,

Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.

Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.

Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.62), terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur, dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada arah radial.

∆r ∆θ

i,j+1

i,j i,j-1

Θi

rj i+1,J i-1,j

Gambar 2.2 Skema beda hingga pada arah radial elektron

2.6.1. Beda Maju

Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke depan sebesar ∆r. Berikut ekspansi Taylor :

Secara umum, symbol ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi R pada jika r digeser sebesar ∆r. Sementara symbol ∂ 2R/∂r2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.

2.6.2. Beda Mundur

Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke belakang sebesar ∆r. Berikut ekspansi Taylor :

Maka,

Secara umum, symbol ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi R pada jika r digeser sebesar ∆r. Sementara symbol ∂ 2R/∂r2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.

2.6.3. Beda Tengah

Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

Secara umum, symbol ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi R pada jika r digeser sebesar ∆r. Sementara symbol ∂ 2R/∂r2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1. Literatur Alir Penelitian

Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini dapat dilihat pada diagram di bawah ini:

MODEL ATOM BOHR (ATOM HIDROGEN)

KLASIK RELATIVISTIK

PERSAMAAN

SCH DINGER

TAK BERGANTUNG WAKTU

NUMERIK (BEDA HINGGA)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penyelesaian dari Persamaan Gelombang Relativitas Schr dinger Dari Atom Hidrogen

Karena energi potensial diantara elektron dan nukleus positif yang tergantung pada pemisahan jarak r dari tengah lokasi asal nukleus, bagian differential dan persamaan gelombang relativitas Schr dinger harus di transformasikan dengan koordinat kartesius segi empat x,y, dan bahwa dari koordinat polar bola dan

memperoleh penyelesaikan ke persamaan (2.62), jika menentukan satu digunakan sisiten koordinat kartesius segi empat, penyelesaian analitik lainya dengan segitiga yang baik.

Gambar 4.1 koordinat polar bola

Pada persamaan (4.1), dan adalah Dan komponen dari vektor r sepanjang dan akses dan komponennya mengikuti fungsi dan

dan . :

(4.3)

Dengan

= Proyeksi vector r terhadap sumbu x = Proyeksi vector r terhadap sumbu y =Proyeksi vector r terhadap sumbu z

Pada koordinat polar bola, menetukan sudut di antara poros z dan vektor r tidak ditempatkan. Untuk memperlihatkan vektor dari massa tengah atom nukleus dari elektron dan sepanjang poros x dan poros y pada lokasi asalnya, sudut adalah diantara poros x dan proyeksi dan vector r diatas xy. Karena dan adalah fungsi dari x,y dan z, ketika mengggunakan operator momentum kuadrat diatas fungsi gelombang y, perbedaan kalkulus vektor menggunakan momentum kuadrat dalam kooardinat polar bola :

Setelah menunjukan angka dari perpindahan matematika, persamaan (4.5) diikuti perbedaan pernyataan dalam sistem koordinat polar bola:

Sebuah perbedaan, persamaan (4.6) menjadi:

Subsitusi persamaan (4.7) ke persamaan 2.62) dihasilkan persamaan gelombang relativitas Schr dinger:

Jadi, ketika menyisipkan fungsi gelombang ke persamaan (4.8) dengan penyelesain, suatu hasil mengikuti persamaan defferensial sama dengan nol

Dengan

= Fungsi gelombang Schr dinger = Operator Del

Z = Nomor atom

= Konstanta Atom Hidrogen = Massa Elektron Diam (kg)

= Tetapan Planck ( )

Dengan pernyataan differensial dari persamaan (4.9), solusi matematika

Kembali mengikuti hasil dari dua fungsi gelombang differensial. untuk koordinat polar bola dan

(4.10) Sekarang, memungkinkan untuk memisahkan variable r dari 2 variabel lainnya dan Memasukkan ke penyelesaian, persamaan (4.10) ke dalam persamaan (4.9) sebagian persamaan differensial menjadi:

Untuk persamaan (4.11), diikuti persamaan differensial dihubungkan ke operator momentum angular pengoprasian diatas fungsi gelombang angular y,

dan sudut dan dalam mekanis kuantum:

Dan, karena itu operator mengangkat tenaga kedua. Itu turunan penyelesain analitik Seperti hasilnya bahwa diikuti momentum angular kuadrat:

Dengan,

= Momentum angular = Tetapan Planck (Js)

= Momentum kuantum Orbital L= Momentum Sudut Elektron

adalah bilangan momentum kuantum Orbital dimana selalu bernilai positif atau bernilai nol ,sama dengan gelombang kuantum bilangan n untuk model relativitas Bohr dari atom Hidrogen yang membicarakan sesi sebelumnya dan l dari vektor momentum angular untuk itu :

Hasil ini juga didalam penambahan kuantum magnetik m, dalam atom hidrogen dimana diikuti dengan pemilihan :

setelah terpecahkan untuk , sesuatu akan dapat dibagi pernyataan diffrensial dalam persamaan (4.11) dengan penyelesaain untuk sampai pada persamaan diffrensial untuk fungsi elektron radial R(r) :

Dengan

= Momentum angular = Tetapan Planck (Js)

= Momentum kuantum Orbital

Persamaan (4.16) dibagi dengan dan menambahkan difrensial lengkap dengan r, nilainya diikuti dengan persamaan difrensial dari fungsi distribusi radial untuk elektron dari atom hidrogen dalam persamaan gelombang relativitas Schr dinger:

Berbeda dengan yang diikuti dengan fungsi difrensial radial:

Mirip dengan persamaan persamaan gelombang klasik Schr dinger digunakan pada koordinat polar bola:

Ini tidak penyelesaian anlitik untuk fungsi distribusi radial R(r) dalam persamaan (4.17) seperti pemakaian pemilihan peraturan diantara bilangan kuantum l dan n: Oleh karena itu teknik bilangan seperti pembatas difrensial yang dapat diperoleh dalam Microsoft excel yang memecahkan pernyataan difrensial dalam persamaan (4.17) akan di bicarakan dalam sesi selanjutnya.

Erwin Schr dinger dengan persamaan gelombang klasik dari atom hidrogen dengan menggunakan fisika Newton klasik (persamaan 2.1) dalam mengerjakan Energi kinetik dari atom hidrogen seperti:

Pada pencantuman di persamaan (4.21) bahwa Schr dinger memiliki peraturan dalam persamaan (4.20). Jika suatu tampilan persamaan (2.25) dari model atom hidrogen relativitas Bohr, seperti banyaknya jumlah energi dalam persamaan (2.39) untuk awal dari persamaan gelombang relativitas Schr dinger. Pemilihan peraturan untuk momentum angular bilangan kuantum l dalam persamaan (4.20) akan ditampilkan dalam penambahan orbit singular dari jari-jari r untuk model atom hidrogen relativitas Bohr, diikuti pernyataan yang di tampilkan:

Dengan mensubtitusikan persamaan (2.21) untuk orbit sirkuler jari-jari r membagi dan mengalikan sisi sebelah kiri dari persamaan dengan kecepatan cahaya c dan kemudian digunakan pernyataan pada persamaan (2.3) untuk massa relatifitas dari elektron dengan persamaan (4.22) menjadi

Persamaan (4.23) menjadi:

Setelah membagi massa dan tanpa membagi kecepatan elektron dengan kecepatan cahaya adalah sama dengan {persaman (2.17)}. Hasil ini diikuti dengan hubungan diantara nomor kuantum n dan l untuk lingkaran orbit:

Atau sama dengan persamaan kuadrat massa

Karena n dan l membutuhkan bilangan bulat, dengan n=1 adalah batas bawah untuk bilangan kuantum n, saat batas bawah bilangan kuantum l adalah l=0, satu pilihan dinyatakan dalam persaman (4.20). Untuk itu, dalam mekanisme kuantum, dengan mendekati orbit pada yang tyidak memungkinkan sampai n bilangan yang sangat besar jadi hasilnya dinyatakanbahwa kurang lebih ketika l adalah hasil perhitungan melebihidari satu (l >>1). Dalam fisika nklasik Newton dari gerakan planetarian, korespondensi l<n keorbit lingkaran dimana kecepatan jari-jari lingakaran sama dengan kecepatan tangensial dari momentum angular. Keliling orbital adalah n=l dimana keliling orbital terjadi dimana kecepatan

jari-jari lingkaran sama dengan nol dan momentum angular maksimum memungkinkan untuk mengikari dua bagian dan loncatan pergerakan.

4.2 Penyelesaian Numerik dan Fungsi Distribusi Jari-Jari Untuk Persamaan Gelombang Relativitas Schr dinger

Biasanya untuk mendekati penyelesaian dari bilangan untuk persamaan penting bahwa tidak mengetahui penyelesaian analitik, menggunakan kondisi perputarannya. Bagaimanapun, untuk fungsi pendistribusian jari-jari lingkaran dari elektron dalam persamaan gelombang relativitas Schr dinger, satu yang diketahui bahwa kemungkinan maksimum untuk menentukan bilangan kuantum angular adalah l=0, pada prinsip bilangan kuantum lainnya n, adalah bagian tengah dari inti atom. Jika l>0, momentum angular sekarang ini, kemungkinan dan elektron pada inti atom adalah nol. Bagaimana pun, kondisi yang mengikuti dan keadaaan normal keseluruhan:

Untuk penyelesaian bilangan l=0, kemungkinan maksimum pada pertengahan dan inti atom dapat bervariasi sampai penggabungan bilangan dari persaamaan (4.27) untuk penyelesaian bilangan jari-jari lingkaran ) mendekati persamaan pertama. Untuk jumlah kuantum dari l>0, kemungkinan kecil dari ) menutup inti atom dapat bervariasi sampaikeadaan yang normal yaitu l=0.

Sebelum mambahas teknik bilangan dari perbedaan yang digunakan untuk penyelesaian persamaan (4.17) dengan Mc. Excel, yaitu pentingnya keadaan Unit apa yang akan digunakan. Unit meter—kilogram-sekon (MKS) dari ukuran akan hasil nilai yang sangat kecil yang mana dapat mengakibatkan kesalahan sama seperti kesalahan bilangan ketika melakukan analisis bilangan. Melainkan Angstrom akan digunakan untuk jarak yang cukup dalam meter dimana adalah meter. Massa unit atom akan digunakan dari kilogram (1 unit massa atom adalah kg) dan piko sekon digunakan dari detik pada waktu ketika 1 pikosekon adalah detik.

Itu tidak perlu untuk menunjukan perubahan apa saja untuk permivitas elektrostatik dari ruang hampa dan besar dari listrik dari elektron sejak nilainya adalah masukan unit-less - massa dalam mekanika kuantum relativitas. Dihubungkan kembali dengan persamaan (4.17)

ketika perubahan Angstrom, unit mssa atom, dan piko sekon selesai. Ketiga nilai konstanta diatas menjadi

Pertama dapat dimasukan jumlah bilangan

Dan hasil untuk persamaan (4.17)

Ketika menunjukkan integrasi bilangan menggunakan seperti penambahan hitungan persamaan (4.31) dapat terbagi menjadi diikuti perkiraan:

Setelah penurunan kedua dari dalam persamaan (4.31) dan turunan pertama dari dibagi dengan r itu sendiri dalam persamaan (4.32), lalu digunakan dalam perhitungan pertama untuk memulai dengan jumlah terkeadaan inisial dari pada dan ) dimana awalnya dapat mendekati solusi analisis yang digunakan dari kegunaan jari-jari lingkaran persamaan gelombang klasik Schr dinger. Melalui Ms. Excel, menjumlahkan bilangan distribusi jari-jari lingkaran untuk persamaan gelombang relativitas Schr dinger sampai kesalahan hasil numerik dalam penyimpangan seperti R (r) mendekati nol dalam batas seperti r kenilai tak terbatas ( ) kemudian periksa normalisasi yang didapat dengan penyambungan bilangan dari persamaan (4.30) dari r=0 pada pertengahan dari inti atom yang langsung ke inti sebelum terjadi penyimpangan bilangan:

Menggunakan Mc.Excel, analisis bilangan adalah batas ke Angstrom ketika terjadi kesalahan menjadi permasalahan yang serius dalam hasil bilangan yang keliru Setelah itu, pengaruh relativitas adalah sejak kemungkinan maksimum neklus terendah dari pada solusi klasik dan solusi bilangan untuk persamaan gelombang relativitas Schr dinger mendekati poros r angka tercepat dengan muda.

Untuk menghasilkan persamaan fungsi gelombang radial elektron yang dipengaruhi relativistik subtitusikan persamaan (4.32), (4.33) dan (4.34) disubtitusikan kedalam persamaan (4.31). adapun persamaannya sebagai berikut:

Langkah selanjutnya mencari solusi numerik arah radial elektron atom hidrogen Dengan,

1. Untuk (lampiran B.1)

2. Untuk (lampiran B.2)

= 1

3. Untuk i=2 ( lampiran B.3)

4. Untuk (lampiran B.4)

5. Untuk (lampiran B.5)

6. Untuk (lampiran B.6)

7. Untuk (lampiran (B.7)

8. Untuk (lampiran B.8)

9. Untuk (lampiran B.9)

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matrik tridiagonal sebagai berikut:

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai matrik

Penyelesaian dari adalah . Untuk mencari nilai invers matriks A dengan menggunakan Ms. Excel dapat diselesaikan melalui tahapan berikut:

1. Blok sembarang tempat, namun sesuaikan jumlah baris dan kolom pada matriks A.

2. Gunakan rumus {=MINVERSE(formula)} 3. Tekan ENTER

untuk mendapatkan matriks R dicari cari tahapan berikut:

1. Blok sembarang tempat, namun jumlah baris dan kolom harus sesuai dengan jumlah matriks A

2. Gunakan rumus {=MMULT(formula 1, formula 2)}

3. Tekan ENTER

Adapun mariks R (lihat lamp B) yang didapat sebagai berikut:

Setelah mendapatkan nilai matrik R selanjutnya dapat ditentukan arah Radial Elektron atom Hidrogen.

4.5

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Dengan menggunakan pemisahan variabel dari persamaan Schrodinger koordinat bola didapat persamaan fungsi gelombang arah radial, yaitu:

2. Fungsi gelombang radial elektron yang di pengaruhi efek relativistik dapat dikomputasiakn menggunakan metode beda hingga seperti persamaan berikut:

3. Fungsi gelombang elektron arah radial yang di pengaruhi efek relativistik terlihat semakin mengecil seiring dengan meningkatnya jejari atom.

5.2 Saran

Untuk penelitian selanjutnya yaitu menentukan solusi numerik pada tingkat bilangan kuantum, pertambahan nomor atom maupun untuk atom yang lain dengan menggunakan Ms. Excel.

DAFTAR PUSTAKA

Andreas F.Terzis. 2008 A simple Relativistic Bohr Atom, European Journal of physic

Anugraha, R. 2005. Pengantar Teori relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta: GajahMada University Press.

Arfken, G.B. dan Weber, H.J. 1995. Mathematical Methods for Phisicists. Fourth Edition. San Diego: academic Press.

Beiser, A.1982. Konsep Fisika modern. Edisi ketiga. Jakarta: Erlangga

Daniel, Keppner and Robert J. Kolenkow.1973, An Introduction to Mechanics, McGraw-Hill Book Comps any

Faires, J. Douglas. 1993. Numerical Method. Boston : PWS-KENT Publishing Company.

Gilbert W. Castellan,1971, physical Chemistry, Edition, Addison-Wesley Publishing Company

Handayanto, Agung. Persamaan Differensial Parsial dalam Koordinat Silindris pada Masalah Konduksi Panas. Semarang : IKIP PGRI

Hallliday and Resnick.1974. Fundamental of Phisics. John Wiley& Sons, incorporated

Jamhuri,M.2013.Persamaan Difusi,Penurunan,Solusi Analitik,Solusi

Numerik(Beda Hingga).UIN Press. Malang

Kane, G.1987.Modern Elementary Particle Physics. Addison-Wesley Publising Company.Californiane

Kenneth S,1992, Fisika Moderen, Penerjemah Hans J.Wospakrik,Cetakan I,Penerbit Universitas Indonesia

Leveque,Randal J.2005.Finite Difference Methods For Differential Equations. University Of Wasington

Nasution, Amrinsyah & Zakaria Hasballah. 2001. Metode Numerik dan Ilmu Rekayasa Sipil. Bandung : ITB Press.

Rao, K. Sankara, 2001. Numerical Method for Scientists and Engineering. New Delhi : Prentice Hall of India

Robert, Eisbert and Resnick.1985. Quantum Phisic of Atom, Molecules,

solids,Nuclei and Particles. Edition. John Wiley & Sons, Incorporate

LAMPIRAN A

Alfabet Yunani

Alpha Nu

Beta Xi

Gamma Omicron

Delta Pi

Epsilon Rho

Zeta Sigma

Eta Tau

Theta Upsilon

Iota phi

Kappa Chi

Lambda Psi

LAMPIRAN B

SOLUSI NUMERIK ARAH RADIAL ELEKTRON ATOM HIDROGEN

Dik

Dit: arah radial..? 4. Untuk

= 0,5

2. Untuk

= 1

4. Untuk

= 2

5. Untuk

6. Untuk

7. Untuk

8. Untuk

9. Untuk

Dari persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear

Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matrik tridiagonal sebagai berikut:

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai matrik Misal matrik A adalah:

Dan matrik R adalah:

Kemudian matrik B adalah:

Penyelesaian dari adalah . Dari persamaan matrik A kita akan mendapatkan nilai invers matriknya. Nilai invers A matriknya di nyatatakan persamaan berikut:

Setelah mendapatkan nilai invers matrik A, selanjunya kita akan mencari nilai matrik R, dimana matrik R sebagai berikut:

Setelah mendapatkan nilai matrik R selanjutnya dapat ditentukan arah Radial Elektron atom Hidrogen.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

7. Untuk

8. Untuk

9. Untuk

Dari persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai matrik Misal matrik A adalah:

Dan matrik R adalah:

Kemudian matrik B adalah:

Penyelesaian dari adalah . Dari persamaan matrik A kita akan mendapatkan nilai invers matriknya. Nilai invers A matriknya di nyatatakan persamaan berikut:

Setelah mendapatkan nilai invers matrik A, selanjunya kita akan mencari nilai matrik R, dimana matrik R sebagai berikut:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5