Statistika 1 bagian 2 Penyimpulan parame
Statistika 1 bagian 2
Penaksiran parameter
• � ,� , …., �� sampel acak ukuran n dari
populasi ukuran N
• Rataan: � =
• Variansi:
�
=
�
�
�
��
�
�
• Simpangan baku: S =
�� − � **2
2
Penaksiran Parameter
• Pendugaan parameter mean dan proporsi
untuk 1 populasi dan 2 populasi
• Bila sampel ukuran n diambil dengan
pengembalian dari populasi berukuran N yang
mempunyai mean μ dan simpangan baku σ,
maka untuk n cukup besar rataan �
mendekati distribusi normal dengan mean μ�
= μ, dan simpangan baku σ� = σ/ �
• Z = � � − μ /σ →~N ,
3
Contoh
• Populasi: P � = = 3/10, P � = = 1/10,
P � = = 1/10, P � = = 1/10, P � = =
3/10, P � = = 1/10
• μ= , σ =5
• n=36 sampel dengam pengembalian
• � → ~ N μ� , σ�
• μ� = μ = 4, σ� = /
= 0,373
,
,
-Φ
=
• P , �, ; = 1,711.
P
> ,
≅ , . Bila μ > 500, nilai t akan lebih
wajar. Disimpulkan terjadi peningkatan mutu produksi
15
Distribusi selisih rataan
•
•
•
•
Populasi 1: μ , σ , � , �
Populasi 2: μ , σ , � , �
Distribusi � - �
Populasi 1: 3, 5, 7: μ = 5, σ =
2: 0, 3: μ = 3/2, σ =
/ , �
• Nilai rataan sampel populasi 1:
, , , , , , , , , ,
, , , , , . Populasi 2:
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , ,
• Selisih rataan: 9× =
/ , � = 2. Populasi
=3
, , , , , ,
, , , , ,
, , , , , , , ,
, , , , ,
16
�
0
1
1
1
2
2
2
3
3
4
5
4
3
2
2
2
1
1
1
0
4
3
3
3
2
2
2
1
5
4
4
4
3
3
3
2
4
3
3
3
2
2
2
1
�
5
5
4
4
4
3
3
3
2
6
5
6
7
6
5
5
5
4
4
4
3
5
4
4
4
3
3
3
2
6
5
5
5
4
4
4
3
7
6
6
6
5
5
5
4
17
� −�
0
1
2
3
4
5
6
7
#
1
P
1/72
5
12
18
18
12
5
1
5/72
12/72
18/72
18/72
12/72
5/72
1/72
18
19
Mean dan Variansi
• μ =
=
• μ =
= 5, Var �
= ; Var �
=
=
=
20
Mean dan Variansi selisih rataan
• μ�
�
• μ�
�
= μ� - μ� = μ − μ
• Var � − �
Var �
=
= Var � − �
�� �
�
+
�� �
�
= 5 – 1,5 = 3,5
• Var � − �
=
= Var �
+
+ =
21
Distribusi selisih rataan
• Z=
�
�
�� � /�
μ
μ
�� � /�
→~N ,
• Contoh � = 5, N μ = , σ = ; � =
4, N μ = , σ = . Tentukan
P � − � ≤ , . μ� � = 50 – 40 = 10,
Var � − �
= + = 2,8, σ�
1,673. P � − � ≤ ,
Φ − ,
= 0,1401
=Φ
,
�
,
=
,
=
=
22
Contoh
• Televisi merek A mempunyai nilai mean umur μ
= 6,5 tahun dan simpangan baku σ = 0,9 tahun.
Merek B mempunyai mean μ = 6 tahun,
simpangan baku σ = 0,8 tahun. Tentukan
peluang sebuah sampel 36 televisi A mempunyai
rataan sekurang-kurangnya satu tahun lebih lama
dari rataan umur 49 merek B. μ� � = 6,5 – 6 =
0,5, σ�
�
=
P � −� >
0,004
,
+
,
=1-Φ
= 0,189.
,
,
= 1 – 0,996 =
23
Latihan
1. Suatu mesin minuman diatur agar volume minuman yang
dikeluarkan rata-rata 50 ml dan simpangan baku 15 ml.
Secara periodik mesin diperiksa dengan mengambil
sampel 40 gelas kemudian dihitung rataannya. Bila rataan
40 gelas berada dalam selang μ� ± σ� mesin berkerja
dengan baik, bila tidak mesin diatur kembali. Kesimpuan
apa yang diperoleh bila rataan 40 gelas adalah � = 236 ml.
Berikan penjelasannya
2. Suatu baterai memcapai usia rata-rata 30 jam. 16 baterai
diuji setiap bulan. Bila nilai t terletak antara -�,
dan
� ,
produksi in control. Kesimpulan apa yg diperoleh
bila � = 27,5 jam dan simpangan baku s = 5 jam
24
Penaksiran parameter
• Satu populasi. Penaksiran mean. μ = �. Sebaran
� berpusat di μ. σ� = σ/ � → 0, n → ∞, rataan
menghasilkan ragam yang kecil (akurat)
• P �−
σ
��
�
< μ 30, � = 2,6, S = 0,3. σ ≅ = 0,3, �,
,
1,96. 95% SK untuk μ: 2,6 ± 1,96×
=
2,6 ± , → , 0; ,70
=
25
Selisih dua mean
•
− α 100% selang konfidensi untuk
μ − μ : � − � �α
�� �
�
+
�� �
�
• � = 50, � = 75, � = , = 6, � =
, = 8. Tentukan selang konfidensi 96%
untuk μ − μ ; � − � = 76 – 82 = -6. �, =
2,05. -6 ± 2,05
+
: (-8,57; -3,43)
26
Variansi tidak diketahui
• � < 30, � < 30, sampel kecil, σ = σ = σ
•
=
�
�
�
�
�
�
�
�
• Selang konfidensi utk μ − μ : (� − � ) ±
+
�α,�
• � = 12, � = 10, � = , = 4, � = , = 5.
Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih mean.
� − � = 85 – 81 = 4.
=
×
×
=
,
α = 10%, �, ; = 1,725. SK : 4 ± ,
× ,
, ; ,
Metode I lebih unggul dari metode II
= 4,478,
+
→
27
Proporsi
• p proporsi sukses percobaan binomial. Penaksir
�
� = , x menyatakan banyak sukses dari n
�
ulangan.
− α 100% untuk parameter
• Selang konfidensi
p: � ± �α
�
• n=500, 160 menyukai seafood. Selang
konfidensi 95% untuk proporsi sesunguhnya yg
menyukai seafood: 0,32 ± ,
0,04
,
×
= 0,32 ±
28
Selisih proporsi
• Selang konfidensi
� ± �α
�
+
�
− α 100% untuk � − � : � -
• 2400 dari 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000
penduduk disekitar kota setuju dgn rencana
pembangunan gedung serba guna. Tentukan selang
konfidensi 90% untuk selisih proporsi sebenarnya
= , ,� =
= , . � −� =
� =
− ,
,
.
�: − ,
→ − ,
±
,
;− ,
×,
+
,
×,
=− ,
±
29
Latihan
1. Sistem peluncuran roket yg baru
dipertimbangkan utk digunakan. Sistem lama
peluang keberhasilan 0,8. Sistem baru dari 40
peluncuran, 34 berhasil a. Selang konfidensi 95%
utk p b. apakah sistem baru lebih baik
2. 52 dari 100 penduduk kota dan 34 dari 125
penduduk sekitar kota setuju dgn pembangunan
listrik tenaga nuklir. Tentukan selang konfidensi
96% untuk selisih selisih proporsi
30
Penaksiran parameter
• � ,� , …., �� sampel acak ukuran n dari
populasi ukuran N
• Rataan: � =
• Variansi:
�
=
�
�
�
��
�
�
• Simpangan baku: S =
�� − � **2
2
Penaksiran Parameter
• Pendugaan parameter mean dan proporsi
untuk 1 populasi dan 2 populasi
• Bila sampel ukuran n diambil dengan
pengembalian dari populasi berukuran N yang
mempunyai mean μ dan simpangan baku σ,
maka untuk n cukup besar rataan �
mendekati distribusi normal dengan mean μ�
= μ, dan simpangan baku σ� = σ/ �
• Z = � � − μ /σ →~N ,
3
Contoh
• Populasi: P � = = 3/10, P � = = 1/10,
P � = = 1/10, P � = = 1/10, P � = =
3/10, P � = = 1/10
• μ= , σ =5
• n=36 sampel dengam pengembalian
• � → ~ N μ� , σ�
• μ� = μ = 4, σ� = /
= 0,373
,
,
-Φ
=
• P , �, ; = 1,711.
P
> ,
≅ , . Bila μ > 500, nilai t akan lebih
wajar. Disimpulkan terjadi peningkatan mutu produksi
15
Distribusi selisih rataan
•
•
•
•
Populasi 1: μ , σ , � , �
Populasi 2: μ , σ , � , �
Distribusi � - �
Populasi 1: 3, 5, 7: μ = 5, σ =
2: 0, 3: μ = 3/2, σ =
/ , �
• Nilai rataan sampel populasi 1:
, , , , , , , , , ,
, , , , , . Populasi 2:
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , ,
• Selisih rataan: 9× =
/ , � = 2. Populasi
=3
, , , , , ,
, , , , ,
, , , , , , , ,
, , , , ,
16
�
0
1
1
1
2
2
2
3
3
4
5
4
3
2
2
2
1
1
1
0
4
3
3
3
2
2
2
1
5
4
4
4
3
3
3
2
4
3
3
3
2
2
2
1
�
5
5
4
4
4
3
3
3
2
6
5
6
7
6
5
5
5
4
4
4
3
5
4
4
4
3
3
3
2
6
5
5
5
4
4
4
3
7
6
6
6
5
5
5
4
17
� −�
0
1
2
3
4
5
6
7
#
1
P
1/72
5
12
18
18
12
5
1
5/72
12/72
18/72
18/72
12/72
5/72
1/72
18
19
Mean dan Variansi
• μ =
=
• μ =
= 5, Var �
= ; Var �
=
=
=
20
Mean dan Variansi selisih rataan
• μ�
�
• μ�
�
= μ� - μ� = μ − μ
• Var � − �
Var �
=
= Var � − �
�� �
�
+
�� �
�
= 5 – 1,5 = 3,5
• Var � − �
=
= Var �
+
+ =
21
Distribusi selisih rataan
• Z=
�
�
�� � /�
μ
μ
�� � /�
→~N ,
• Contoh � = 5, N μ = , σ = ; � =
4, N μ = , σ = . Tentukan
P � − � ≤ , . μ� � = 50 – 40 = 10,
Var � − �
= + = 2,8, σ�
1,673. P � − � ≤ ,
Φ − ,
= 0,1401
=Φ
,
�
,
=
,
=
=
22
Contoh
• Televisi merek A mempunyai nilai mean umur μ
= 6,5 tahun dan simpangan baku σ = 0,9 tahun.
Merek B mempunyai mean μ = 6 tahun,
simpangan baku σ = 0,8 tahun. Tentukan
peluang sebuah sampel 36 televisi A mempunyai
rataan sekurang-kurangnya satu tahun lebih lama
dari rataan umur 49 merek B. μ� � = 6,5 – 6 =
0,5, σ�
�
=
P � −� >
0,004
,
+
,
=1-Φ
= 0,189.
,
,
= 1 – 0,996 =
23
Latihan
1. Suatu mesin minuman diatur agar volume minuman yang
dikeluarkan rata-rata 50 ml dan simpangan baku 15 ml.
Secara periodik mesin diperiksa dengan mengambil
sampel 40 gelas kemudian dihitung rataannya. Bila rataan
40 gelas berada dalam selang μ� ± σ� mesin berkerja
dengan baik, bila tidak mesin diatur kembali. Kesimpuan
apa yang diperoleh bila rataan 40 gelas adalah � = 236 ml.
Berikan penjelasannya
2. Suatu baterai memcapai usia rata-rata 30 jam. 16 baterai
diuji setiap bulan. Bila nilai t terletak antara -�,
dan
� ,
produksi in control. Kesimpulan apa yg diperoleh
bila � = 27,5 jam dan simpangan baku s = 5 jam
24
Penaksiran parameter
• Satu populasi. Penaksiran mean. μ = �. Sebaran
� berpusat di μ. σ� = σ/ � → 0, n → ∞, rataan
menghasilkan ragam yang kecil (akurat)
• P �−
σ
��
�
< μ 30, � = 2,6, S = 0,3. σ ≅ = 0,3, �,
,
1,96. 95% SK untuk μ: 2,6 ± 1,96×
=
2,6 ± , → , 0; ,70
=
25
Selisih dua mean
•
− α 100% selang konfidensi untuk
μ − μ : � − � �α
�� �
�
+
�� �
�
• � = 50, � = 75, � = , = 6, � =
, = 8. Tentukan selang konfidensi 96%
untuk μ − μ ; � − � = 76 – 82 = -6. �, =
2,05. -6 ± 2,05
+
: (-8,57; -3,43)
26
Variansi tidak diketahui
• � < 30, � < 30, sampel kecil, σ = σ = σ
•
=
�
�
�
�
�
�
�
�
• Selang konfidensi utk μ − μ : (� − � ) ±
+
�α,�
• � = 12, � = 10, � = , = 4, � = , = 5.
Tentukan selang konfidensi 90% untuk selisih mean.
� − � = 85 – 81 = 4.
=
×
×
=
,
α = 10%, �, ; = 1,725. SK : 4 ± ,
× ,
, ; ,
Metode I lebih unggul dari metode II
= 4,478,
+
→
27
Proporsi
• p proporsi sukses percobaan binomial. Penaksir
�
� = , x menyatakan banyak sukses dari n
�
ulangan.
− α 100% untuk parameter
• Selang konfidensi
p: � ± �α
�
• n=500, 160 menyukai seafood. Selang
konfidensi 95% untuk proporsi sesunguhnya yg
menyukai seafood: 0,32 ± ,
0,04
,
×
= 0,32 ±
28
Selisih proporsi
• Selang konfidensi
� ± �α
�
+
�
− α 100% untuk � − � : � -
• 2400 dari 5000 penduduk kota dan 1200 dari 2000
penduduk disekitar kota setuju dgn rencana
pembangunan gedung serba guna. Tentukan selang
konfidensi 90% untuk selisih proporsi sebenarnya
= , ,� =
= , . � −� =
� =
− ,
,
.
�: − ,
→ − ,
±
,
;− ,
×,
+
,
×,
=− ,
±
29
Latihan
1. Sistem peluncuran roket yg baru
dipertimbangkan utk digunakan. Sistem lama
peluang keberhasilan 0,8. Sistem baru dari 40
peluncuran, 34 berhasil a. Selang konfidensi 95%
utk p b. apakah sistem baru lebih baik
2. 52 dari 100 penduduk kota dan 34 dari 125
penduduk sekitar kota setuju dgn pembangunan
listrik tenaga nuklir. Tentukan selang konfidensi
96% untuk selisih selisih proporsi
30