Statistika 2

(1)

Universitas Mercu Buana

MODUL 2

STATISTIKA DAN PROBABILITAS (2 sks)

2.1. MATERI KULIAH :

Pengertian tentang dasar probabilitas dan nilai harapan.

2.2. POKOK BAHASAN :

Pengertian probabilitas dan nilai harapan

Oleh Ir. Nunung Widyaningsih,Pg.Dip.(Eng)

2.3 PROBABILITAS DAN NILAI HARAPAN 2.4 DEFINISI DARI PROBABILITAS

Dasar dari teori statistika adalah perumusan dari masalah probabilitas. Berbicara tentang probabilitas maka kita menunjukan pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa-peristiwa lainnya (trial).

Definisi 1:

Suatu peristiwa A, jika terjadi suatu peristiwa s dan suatu peristiwa lain f , dimana seluruh kemungkinan peristiwa tersebut adalah s+f, maka probabilitas dari peristiwa A adalah:

Pr(A)

s

s f

=

+

Definisi 2:

Suatu peristiwa A, terjadi suatu peristiwa s dalam n trial, maka probabilitas peristiwa A dalam satu kemungkinan peristiwa dimana relative frequency adalah s/n maka:

Pr(A)

s

n

ana n

=

dim

→

∝

Aturan-aturan tambahan:

(2)

B) dan Pr(A -Pr(B) + Pr(A) = B) atau Pr(A : maka keduanya atau kedua atau di satu terja peristiwa bahwa as probabilit maka B, dan A peristiwa 2 terjadi Jika 5. terjadi) pasti A peristiwa lain kata (dengan 1 ) Pr(A maka; ,...A A , A dimana peristiwa, m n terjadi kemungkina Jika 4. A terjadi peristiwa 1 = Pr(A) 3. rjadi mungkin te A tidak peristiwa 0 = Pr(A) 2. A peristiwa suatu untuk 1 Pr(A) 0 1. m 1 = i i m 2 1 = ≤ ≤

∑

Kombinasi beberapa peristiwa

1. Peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif (mutually exclusive).

Dua peristiwa A dan B disebut saling eksklusif bila mereka tidak bisa terjadi bersama-sama.

Pr(A dan B) = 0

2. Probabilitas berkondisi (probabilitas bersyarat = conditional probability).

Dua peristiwa A dan B disebut probabilitas berkondisi bila peristiwa A terjadi setelah peristiwa B.

Pr(A/B) = Pr(AdanB) Pr(B) 3. Independent

Dua peristiwa A dan B disebut independent bila probabilitas peristiwa satu dengan lainnya tidak saling tergantung. Maka A dan B adalah independent bila:

Pr(A

B

)

=

Pr(A

)

Contoh:

1. Suatu jalan raya yang panjangnya 100 km, dinyatakan;

(3)

A = suatu kecelakaan dalam kilometer antara 0 sampai 30 B = suatu kecelakaan dalam kilometer antara 20 sampai 60

Dengan demikian,

P(A)

dan P(B) =

40

100 =

30

100

P(A/B) =

10

100

40

100

10

40 =

2. Suatu persimpangan jalan terbagi atas 3 jurusan dimana persimpangan 1 menuju ring road kearah Timur, 2 persimpangan menuju ring road lain yang menuju arah Barat.

Probabilitas dimana seseorang menuju ring road atau menuju arah Timur adalah:

Pr(ring road atau Timur ) Pr(ring road) Pr(Timur ) Pr(ring road dan Timur ) =2

= + − + − =3

5 1 5

4 5

Contoh diatas;

Pr(ring road / menyusuri jalan)

≠

Pr(ring road)

Sehingga pemakai jalan dalam memilih arah akan menggunakan jalan yang menuju ring road dan menyusuri jalan, dimana hubungan keduanya adalah saling ketergantungan (dependent).

Contoh lain adalah; bila pemakai jalan mendekati persimpangan dan memutuskan akan membelok kekiri atau kekanan. Pada hal ini dalam penyelidikan; kita memiliki warna setiap mobil dimana bila kita tidak mengharapkan tidak adalagi warna merah yang membelok kekiri. Maka:

Pr(kiri / merah)

=

Pr(kiri)

Jadi berbelok kekiri dan warna merah adalah tidak saling bergantung (independent).

(4)

2.5. NILAI HARAPAN: VARIABEL ACAK (DISCRETE VARIABLES).

X adalah varibel acak dimana dapat diambil dari N angka kemungkinan:

x , x ...x

₁ ₂ _N

Maka, probabilitas bahwa X akan memberikan angka

x

_i (i = 1, 2, ..., N) dengan Pr(

x

_i)

a. Sehingga, Nilai Harapan (expected value) dari variabel acak X adalah,

E ( X )

x

Pr

( x

)

i 1 N

=

∑

dimana: juga disebut nilai rata-rata dari X, dapat dituliskan menjadi;

μ

=

E X

b. Varians (variance) dari X adalah:

Va r(X)

x P r(x )

_i2 _i

i 1 N

=

−

∑

E X

atau dapat juga dituliskan sebagai berikut

Var X( )=E X[ −E X[ ]2

Dimana E X 2 dikenal sebagai purata kuadrat (mean-square) dari X

Secara dimensional, varians X juga dikenal seperti populasi varians, dan bisa dituliskan lagi sebagai berikut:

σ

2 =

Var(X)

(5)

Maka akar pangkat dua dari varians, atau deviasi standar ( standard deviation):

σ

=

Var(X)

Contoh 2.2.

Suatu data beberapa kerata tertunda keberangkatannya per hari dalam tahun 1996, dimana terdiri dari 2 rute jalur yaitu arah Barat dan Timur:

No. kereta yang tertunda

0 1 2

Timur 32 301 32

Barat 83 199 83

Maka bahwa hanya 1 kereta yang tertunda dari arah Timur pada suatu hari di tahun 1996 adalah:

Pr(

X

)

=

301

365

Jadi Nilai Harapan dari kereta dari arah Timur yang akan tertunda per hari adalah:

E X

0 x

32

365 1 x

301

365 2 x

32

365

1 =

+

=

demikian juga Nilai Harapan kereta api dari arah Barat yang tertunda juga

E X

=

1

Sehingga berdasarkan Nilai Harapan (atau mean), maka dapat disimpulkan bahwa terlihat tidak ada perbedaan diantara kedua arah tersebut tetapi bila kita hitung variansnya maka didapat:

Va r(X

T

)=[02 x

32

365 +12 x

301

365 +22 x

32

365 ]-

12 =

64

365

dan

Var X

(

)

=

166

365

(6)

2.6. NILAI HARAPAN: VARIABEL MENERUS (CONTINUOUS VARIABLES).

Dengan cara yang sama, nilai purata ( mean value) untuk suatu variabel acak yang kontinu (menerus) adalah:

2 2

_Var(X)

₍

₎

dan

)

(

(X)

μ

σ

μ

−

=

∑

∝ ∝ − ∝ ∝ −

dx

x

xf

dx

x

xf

E

2.7. CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN SPSS

Frequencies

Statistics

BERAT

Valid ₄₀

Missing 0

Mean _146.05

Std. Error of Mean 2.19

Median _145.50

Mode 135

Std. Deviation _13.82

Variance 190.97

Skewness _.086

Std. Error of Skewness .374

Kurtosis _-.206

Std. Error of Kurtosis .733

Range 58

Minimum 118

Maximum 176

Sum ₅₈₄₂

BERAT

Frequency Percent

Valid Percent

Cumulative Percent

118 1 2.5 2.5 2.5

119 ₁ _2.5 _2.5 _5.0

125 1 2.5 2.5 7.5

126 ₁ _2.5 _2.5 _10.0

128 1 2.5 2.5 12.5

132 ₁ _2.5 _2.5 _15.0

135 3 7.5 7.5 22.5

Valid

136 ₁ _2.5 _2.5 _25.0

(7)

138 2 5.0 5.0 30.0

140 ₂ _5.0 _5.0 _35.0

142 2 5.0 5.0 40.0

144 ₂ _5.0 _5.0 _45.0

145 2 5.0 5.0 50.0

146 ₂ _5.0 _5.0 _55.0

147 2 5.0 5.0 60.0

149 ₁ _2.5 _2.5 _62.5

150 2 5.0 5.0 67.5

152 ₁ _2.5 _2.5 _70.0

153 1 2.5 2.5 72.5

154 ₁ _2.5 _2.5 _75.0

156 1 2.5 2.5 77.5

157 ₁ _2.5 _2.5 _80.0

158 1 2.5 2.5 82.5

161 ₁ _2.5 _2.5 _85.0

163 1 2.5 2.5 87.5

164 ₁ _2.5 _2.5 _90.0

165 1 2.5 2.5 92.5

168 ₁ _2.5 _2.5 _95.0

173 1 2.5 2.5 97.5

176 1 2.5 2.5 100.0

Total 40 100.0 100.0

Bar Chart - BERAT

BERAT

173 165 163 158 156 153 150 147 145 142 138 135 128 125 118

req

3.5

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.0

Graph Histogram-Berat

(8)

BERAT

175.0 170.0 165.0 160.0 155.0 150.0 145.0 140.0 135.0 130.0 125.0 120.0 10

Std. Dev = 13.82 Mean = 146.1 N = 40.00 2

1 3

2 4 4 8

2 2 2

2.8. LATIHAN.

1. Suatu kantong belok kanan sepanjang 60 ft direncanakan pada suatu persimpang jalan. Misalkanlah bahwa hanya ada dua jenis kendaraan yang akan menggunakannya; tipe A akan menempati 15 ft dari kantong, sedangkan tipe B 30 ft.

a. Tentukanlah semua kombinasi yang mungkin dari tipe A dan B yang menunggu kesempatan belok kanan dari kantong.

b. Kelompokanlah kemungkinan kemungkinan ini ke dalam peristiwa1, 2, 3 dan 4 kendaraan yang menunggu untuk belok ke kanan.

2.

Penurunan yang mungkin dari tiga perletakan jematan yang diperlihatkan dalam gambar adalah sebagai berikut:

tumpuan A – 0 inci, 1 inci, 2 inci tumpuan B – 0 inci, 2 inci, tumpuan C – 0 inci, 1 inci, 2 inci.

(9)

a. Tentukanlah ruangsampel yang memberikan semua penurunan yang mungkin dari tiga tumpuan; misalnya ( 1,0,2) berarti A menurunkan 1 inci, B menurunkan 0 inci, dan C menurunkan 2 inci.

b. Jika E adalah peristiwa penurunan diffrensial 2 inci antara dua himpunan yang berdekatan, tentukanlah titik-titik sampel dari E.

3.

Telah diamati bahwa kendaraan-kendaraan yang mendekati suatu persimpangan tertentu dalam arah yang diketahui cenderung dua kali lipat untuk terus lurus ke depan ketimbang belok ke kanan ; juga belok kiri berkecendrungan setengah dari belok kanan.

a.

berapakah semua kemungkinan (yakni arah yang berbeda-beda yang dapat diambil oleh kendaraan?

b.

berapakah probabilitas untuk belok ke kanan jika seluruh kendaraan secara pasti akan membelok?

4.

Masalah penurunan (settlement) dari suatu portal baja dapat diidealisir sebagai berikut: A dan B menyatakan dua pondasi telapak yang duduk pada tanah. Masing-masing pondasi boleh jadi tetap pada tinggi semula atau mengalami penurunan 5 cm. Probabilitas penurunan dalam masing-masing pondasi adalah 0,1. Namun, probabilitas bahwa satu pondasi akan turun, dengan catatan bahwa yang lainnya telah turun, adalah 0,8.

a. Kondisi yang mungkin dari kedua pondasi

b. Probabilitas penurunan yaitu, salah satu dari A dan B akan turun, c. Jika kita berminat di dalam peristiwa E.

5.

Pondasi dari suatu banguna tinggi bisa runtuh akibat kapasitas dukung, atau akibat penurunan yang berlebihan. Misalkanlah B dan S menyatakan masing-masing ragam keruntuhan. Jika P(B) = 0,001, P(S) = 0,008; dan P(B/S) = 0,1, yaitu probabilitas keruntuhan dalam kapasitas dukung di mana telah terjadi penurunan yang berlebihan, maka tentukanlah

a. Probabilitas keruntuhan pondasi

b. Probabilitas bahwa bangunan telah mengalami penurunan yang berlebihan namun tidak ada keruntuhan dalam kapasitas dukung.

(10)

6.

Ada du arus yang melewati suatu lokasi pabrik industri. Tingkatan dari oksigen yang dipisahkan (DO atau dissorered oxygen) dalam air di hilir merupakan penunjuk dari derajad pencemaran akibat pembuangan limbah lokasi industri itu. A menyatakan peristiwa bahwa aliran a tercemar, dan B peristiwa bahwa aliran b tercemar. Dari penguuran yang dilakukan atas tingkatan DO dari masing-masing arus sepanjang tahun yang lalu, ditetapkan bahwa dlam satu hari tertentu

a. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran a juga tercemar dimana aliran b telah tercemar. b. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran b juga tercemar bila aliran a telah tercemar.

7.

Hitunglah simpangan baku dari data berikut:

x = upah bulanan karyawan suatu perusahaan, dalam ribuan rupiah.

1.

x1 = 50, x2 = 50, x3 = 50, x4 = 50, x5 = 50 (kelompok karyawan pertama)

2.

x2 = 50, x2 = 40, x3 = 30, x4 = 60, x5 = 70 (kelompok karyawan kedua)

3.

x3 = 100, x2 = 40, x3 = 80, x4 = 20, x5 = 10 (kelompok karyawan ketiga)

(1)

Maka akar pangkat dua dari varians, atau deviasi standar ( standard deviation):

σ

=

Var(X)

Contoh 2.2.

Suatu data beberapa kerata tertunda keberangkatannya per hari dalam tahun 1996, dimana terdiri dari 2 rute jalur yaitu arah Barat dan Timur:

No. kereta yang tertunda

0 1 2

Timur 32 301 32

Barat 83 199 83

Maka bahwa hanya 1 kereta yang tertunda dari arah Timur pada suatu hari di tahun 1996 adalah:

Pr(

X

)

=

301

365

Jadi Nilai Harapan dari kereta dari arah Timur yang akan tertunda per hari adalah:

E X

0 x

32

365 1 x

301

365 2 x

32

365

1 =

+

=

demikian juga Nilai Harapan kereta api dari arah Barat yang tertunda juga

E X

=

1

Sehingga berdasarkan Nilai Harapan (atau mean), maka dapat disimpulkan bahwa terlihat tidak ada perbedaan diantara kedua arah tersebut tetapi bila kita hitung variansnya maka didapat:

Va r(X

T

)=[02 x

32

365 +12 x

301

365 +22 x

32

365 ]-

12 =

64

365

dan

Var X

(

)

=

166

365

(2)

2.6. NILAI HARAPAN: VARIABEL MENERUS (CONTINUOUS VARIABLES).

Dengan cara yang sama, nilai purata ( mean value) untuk suatu variabel acak yang kontinu (menerus) adalah:

_Var(X)

₍

₎

dan

)

(

(X)

μ

σ

μ

−

=

∑

∝ ∝ − ∝ ∝ −

dx

x

xf

dx

x

xf

E

2.7. CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN SPSS

Frequencies

Statistics

BERAT

Valid ₄₀

Missing 0

Mean _146.05

Std. Error of Mean 2.19

Median _145.50

Mode 135

Std. Deviation _13.82

Variance 190.97

Skewness _.086

Std. Error of Skewness .374

Kurtosis _-.206

Std. Error of Kurtosis .733

Range 58

Minimum 118

Maximum 176

Sum ₅₈₄₂

BERAT

Frequency Percent

Valid Percent

Cumulative Percent

118 1 2.5 2.5 2.5

119 ₁ _2.5 _2.5 _5.0

125 1 2.5 2.5 7.5

126 ₁ _2.5 _2.5 _10.0

128 1 2.5 2.5 12.5

132 ₁ _2.5 _2.5 _15.0

135 3 7.5 7.5 22.5

Valid

136 ₁ _2.5 _2.5 _25.0

(3)

138 2 5.0 5.0 30.0

140 ₂ _5.0 _5.0 _35.0

142 2 5.0 5.0 40.0

144 ₂ _5.0 _5.0 _45.0

145 2 5.0 5.0 50.0

146 ₂ _5.0 _5.0 _55.0

147 2 5.0 5.0 60.0

149 ₁ _2.5 _2.5 _62.5

150 2 5.0 5.0 67.5

152 ₁ _2.5 _2.5 _70.0

153 1 2.5 2.5 72.5

154 ₁ _2.5 _2.5 _75.0

156 1 2.5 2.5 77.5

157 ₁ _2.5 _2.5 _80.0

158 1 2.5 2.5 82.5

161 ₁ _2.5 _2.5 _85.0

163 1 2.5 2.5 87.5

164 ₁ _2.5 _2.5 _90.0

165 1 2.5 2.5 92.5

168 ₁ _2.5 _2.5 _95.0

173 1 2.5 2.5 97.5

176 1 2.5 2.5 100.0

Total 40 100.0 100.0

Bar Chart - BERAT

BERAT

173 165 163 158 156 153 150 147 145 142 138 135 128 125 118

req

3.5 3.0 2.5 2.0

1.5 1.0 .5 0.0

Graph Histogram-Berat

(4)

BERAT

175.0 170.0 165.0 160.0 155.0 150.0 145.0 140.0 135.0 130.0 125.0 120.0 10

Std. Dev = 13.82 Mean = 146.1 N = 40.00 2

1 3 2 4 4 8

2 2 2

2.8. LATIHAN.

a. Tentukanlah semua kombinasi yang mungkin dari tipe A dan B yang menunggu kesempatan belok kanan dari kantong.

b. Kelompokanlah kemungkinan kemungkinan ini ke dalam peristiwa1, 2, 3 dan 4 kendaraan yang menunggu untuk belok ke kanan.

2.

Penurunan yang mungkin dari tiga perletakan jematan yang diperlihatkan dalam gambar adalah sebagai berikut:

tumpuan A – 0 inci, 1 inci, 2 inci tumpuan B – 0 inci, 2 inci, tumpuan C – 0 inci, 1 inci, 2 inci.

(5)

a. Tentukanlah ruangsampel yang memberikan semua penurunan yang mungkin dari tiga tumpuan; misalnya ( 1,0,2) berarti A menurunkan 1 inci, B menurunkan 0 inci, dan C menurunkan 2 inci.

b. Jika E adalah peristiwa penurunan diffrensial 2 inci antara dua himpunan yang berdekatan, tentukanlah titik-titik sampel dari E.

3. a.

berapakah semua kemungkinan (yakni arah yang berbeda-beda yang dapat diambil oleh kendaraan?

b.

berapakah probabilitas untuk belok ke kanan jika seluruh kendaraan secara pasti akan membelok?

4.

a. Kondisi yang mungkin dari kedua pondasi

b. Probabilitas penurunan yaitu, salah satu dari A dan B akan turun, c. Jika kita berminat di dalam peristiwa E.

5.

a. Probabilitas keruntuhan pondasi

b. Probabilitas bahwa bangunan telah mengalami penurunan yang berlebihan namun tidak ada keruntuhan dalam kapasitas dukung.

(6)

6.

a. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran a juga tercemar dimana aliran b telah tercemar. b. Tentukanlah probabilitas bahwa aliran b juga tercemar bila aliran a telah tercemar.

7.

Hitunglah simpangan baku dari data berikut:

x = upah bulanan karyawan suatu perusahaan, dalam ribuan rupiah.

1.

x1 = 50, x2 = 50, x3 = 50, x4 = 50, x5 = 50 (kelompok karyawan pertama)

2.

x2 = 50, x2 = 40, x3 = 30, x4 = 60, x5 = 70 (kelompok karyawan kedua)

3.

x3 = 100, x2 = 40, x3 = 80, x4 = 20, x5 = 10 (kelompok karyawan ketiga)