74 Secara umum prosedur pembentukan portofolio Black Litterman dengan
pendekatan Bayes dapat dilihat dalam kerangka model Black Litterman sebagai berikut:
Gambar 3. 1 Prosedur pendekatan model Black Litterman Idzorek, 2005
B. Fuzzy Compromise Programming untuk Views dalam Portofolio Black
Litterman
Fuzzy Compromise Programming merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan masalah program linear tujuan ganda yaitu metode optimasi dengan
Koefisien Risk
aversion Matriks
varians- kovarians
Ʃ Bobot
kapitalisasi pasar
Views investor
Tingkat keyakinan investor
�
Return ekulibrium CAPM � = Ʃ
Distribusi prior ekuilibrium Distribusi views
�| ~ �, �Ʃ
� ~
, �
Distribusi kombinasi baru posterior expeted return
|� ~ ,
�
75 beberapa fungsi tujuan. salah satu contoh penerapan multiobjective optimization adalah
model Black Litterman, yaitu meminimumkan risiko portofolio dan memaksimalkan return. Terdapat dua fungsi tujuan yang berbeda yaitu Mohsen Gharakhani Seyed
Djafar, 2013 : maks � = ̃
min = 3.4
dengan kendala : ∑
=
=
dengan vektor fuzzy return ̃ adalah sebagai berikut,
̃ = ̃
= � + �ΣP′ ��Σ
′
+ Ω
−
̃ − �� 3.5
dan adalah ukuran risiko CAPM yang didapatkan dari persamaan 3.2. dengan mensubstitusikan persamaan 3.5 dan hasil pada pesamaan 3.2 ke persamaan
3.4 maka diperoleh: maks � = ̃
+ ̃ + + ̃
min = +
+ + 3.6
Terdapat bilangan fuzzy yang berupa himpunan fuzzy trapesium ̃ yaitu
, ,
, dengan fungsi keanggotaan seperti pada persamaan 2.39:
76 µ
̃
[ ] = {
;
− −
; ;
− −
;
Gambar 3. 2 Representasi Fungsi Keanggotaan trapesium
Pada prediksi views dalam model Black Litterman tersebut himpunan universal
views didefinisikan sebagai U= [0, 0.3] dan merupakan bilangan fuzzy trapesium
sehinggan ̃ = [ , . , . , . ] dengan fungsi keanggotaan sebagai berikut :
µ
̃
[ ] = {
; .
− . − ; .
; . . . −
. − . ; . .
Saat a diketahui maka fungsi tujuan � yang akan dimaksimumkan dan akan
diminimumkan disubstitusikan oleh batas atas a-cut untuk kasus maksimasi dan batas bawah a-cut untuk kasus minimasi yang diperoleh melalui permasalahan 2.43 lalu
seperti pada persamaan 2.64, sehingga untuk kasus diatas menjadi Lee dan Li: � = ∑
̃
=
. 3.7
w = ∑
=
77 Pada persamaan 3.5 yang merupakan bilangan fuzzy adalah prediksi views
investor yaitu ̃. Oleh karena itu, disubstitusikan a-cut views investor tersebut
berdasarkan persamaan 2.43. sehingga diperoleh : ̃
= � + �ΣP′ ��Σ
′
+ Ω
−
− −
− �� 3.8
Dengan mensubstitusikan nilai dan
sesuai dengan yang diketahui yaitu 0.3 dan 0.2 sehingga diperoleh :
̃ = � + �ΣP′ ��Σ
′
+ Ω
−
. − . − �� 3.9
Sehingga permasalahan 3.4 menjadi : � = ∑
̃
=
. , min = ∑
=
3.10 dengan kendala
∑
=
= ∈ [ , ]
Selanjutnya untuk setiap α dapat ditentukann tingkat kompromi yang optimum
α dengan langkah menyelesaikan masalah pemrograman linear satu tujuan seperti pada persamaan 2.68 berikut :
max dengan kendala
[∑ [
− −
� =
].� − ̃
� −
] [ ̃
� +
− ̃
� −
]
78
[ ̃
� � −
−∑
� =
.� ] [ ̃
� � −
− ̃
� � +
]
3.11 ∈ [ , ]
∈ Terdapat empat jenis fungsi objektif yang berbeda untuk menyelesaikan suatu
permasalahan. Solusi ideal dan anti-ideal didefinisikan berdasarkan Lee dan Li 1993, yaitu menunjukkan solusi terbaik dan terburuk suatu permasalahan. Diasumsikan
bahwa ̃
+
, ̃
+
dan ̃
−
, ̃
−
secara berurutan adalah solusi ideal dan anti ideal yang dapat didapat melalui pemecahan setiap masalah pemrograman program
linear satu tujuan untuk semua nilai k dan s yang memungkinkan. ∈
̃
+
= ∑ ̃
=
.
∈ ̃
+
= ∑ ̃
=
. 3.14
∈ ̃
−
= ∑
=
.
∈ ̃
−
= ∑
=
. Untuk menemukan tingkat kompromi yang optimum untuk setiap derajat α
dengan langkah menyelesaikan masalah pemrograman linear satu tujuan berikut : max
dengan kendala ̃
̃ 3.15
79 ∈ [ , ]
∈ Selanjutnya, terdaat yaitu tingkat kepuasan secara keseluruhan untuk solusi
berdasarkan tujuan fuzzy dan koefisien. Menurut aturan Bellman-Zadeh dihitung sebagai
= min {α, } dimana α, adalah dua parameter yang tidak diketahui. P
arameter α menunjukkan tingkat kemungkinan koefisien fuzzy dan parameter menunjukkan tingkat kompromi antara fungsi tujuan yang berbeda.
Pada portofolio Black Litterman tersebut, terdapat dua fungsi objektif yaitu fungsi tujuan return dan fungsi risiko dimana salah satunya adalah fuzzy dan non-fuzzy.
Fungsi objektif return menggunakan Fuzzy-BL sedangkan fungsi risiko menggunakan portofolio beta. Karena portofolio beta dihitung berdasarkan data masa lampau, dan
tidak berdasarkan views investor, oleh karena itu fungsi risiko tidak dianggap sebagai bilangan fuzzy.
C. Penerapan Pembentukan Portofolio
