79 ∈ [ , ]
∈ Selanjutnya, terdaat yaitu tingkat kepuasan secara keseluruhan untuk solusi
berdasarkan tujuan fuzzy dan koefisien. Menurut aturan Bellman-Zadeh dihitung sebagai
= min {α, } dimana α, adalah dua parameter yang tidak diketahui. P
arameter α menunjukkan tingkat kemungkinan koefisien fuzzy dan parameter menunjukkan tingkat kompromi antara fungsi tujuan yang berbeda.
Pada portofolio Black Litterman tersebut, terdapat dua fungsi objektif yaitu fungsi tujuan return dan fungsi risiko dimana salah satunya adalah fuzzy dan non-fuzzy.
Fungsi objektif return menggunakan Fuzzy-BL sedangkan fungsi risiko menggunakan portofolio beta. Karena portofolio beta dihitung berdasarkan data masa lampau, dan
tidak berdasarkan views investor, oleh karena itu fungsi risiko tidak dianggap sebagai bilangan fuzzy.
C. Penerapan Pembentukan Portofolio
Pandangan investor mengenai keuntungan investasi yang diharapkan akan mempengaruhi pemilihan saham dalam membentuk portofolio. Pandangan tersebut
merupakan sesuatu yang tidak pasti, oleh karena itu views investor dianggap sebagai bilangan fuzzy. Fuzzy Compromise Programming digunakan untuk menyelesaikan
persamaan program linier tujuan ganda untuk pada portofolio Black Litterman. Saham yang digunakan adalah saham-saham yang tercatat dalam BEI khusunya yang
80 tergabung dalam JII Jakarta Islamic Index. Tahap pemilihan saham adalah sebagai
berikut:
Pemilihan Saham
a. Mengumpulkan Data Harga Saham Saham yang dianalisis adalah saham yang tergabung dalam Jakarta Islamic Index
pada periode November 2015 sampai dengan Maret 2017 yaitu sejumlah 72 periode yang terlampir pada Lampiran 1 halaman 102 . Data saham berupa harga penutupan
mingguan weekly closing price yang merupakan data sekunder yang diambil dari www.yahoofinance.com.
b. Menghitung Return Data Harga Saham Return adalah hasil yang diperoleh dari investasi yang dilakukan. Return harga
saham mingguan dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut:
1 1
,
t t
t t
i
P P
P R
. dengan,
t
P
: Harga sekuritas pada periode ke-t,
1
t
P
: Harga sekuritas pada periode ke-t-1. Sedangkan return pasar dapat dihitung menggunakan rumus
1 1
t t
t t
, i
IHSG IHSG
IHSG R
dengan, : Harga IHSG sampel pada periode ke-t
81
−
: Harga IHSG sampel pada periode ke-t-1 c. Memilih Data Return Saham yang Berdistribusi Normal
Memilih data return saham yang berdistribusi normal dari 30 saham dilakukan dengan menggunakan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov dengan bantuan
software SPSS. Data return saham selengkapnya terdapat pada Lampiran 2 halaman 111 dan Output SPSS untuk uji normalitas selengkapnya dapat dilihat pada
Lampiran 3 Halaman 121. Perhitungan p-value untuk uji normalitas terdapat pada Tabel 3.1 sebagai berikut:
Tabel 3. 1 Return Saham Berdistribusi Normal
NO Kode Saham
P-Value 16
KLBF 0.055
17 ITMG
0.2 18
INTP 0.091
19 INDF
0.018 20
INCO 0.053
21 AALI
0.2 22
ADRO 0.2
23 AKRA
0.2 24
ANTM 0.044
25 ASII
0.066 26
ASRI 0.097
27 BMTR
0.01 28
BSDE 0.2
29 CPIN
0.2 30
ICBP NO
Kode Saham P-Value
1 WIKA
0.074 2
UNVR 0.2
3 UNTR
0.2 4
SMGR 0.2
5 TLKM
0.2 6
SMRA 0.028
7 SSMS
0.2 8
SILO 0.2
9 PTPP
0.001 10
PTBA 0.2
11 PGAS
0.2 12
MPPA 0.2
13 MNCN
0.2 14
LSIP 0.2
15 LPKR
0.018
82 Data return saham tidak berdistribusi normal apabila p-value KS
α. Hasil uji normalitas untuk data return
saham dengan taraf nyata α = 0.05 adalah 24 return saham yang termasuk dalam Jakarta Islamic Index pada periode Noveber 2015
sampai dengan Maret 2017 berdistribusi normal saham bertanda dalam tabel
d. Menghitung Expected Return CAPM Setelah melakukan uji normalitas pada masing-masing saham, selanjutnya
adalah menghitung expected return CAPM sebagai pertimbangan dalam pemilihan saham yang akan dimasukkan dalam portofolio. Expected return
CAPM atau � yang didapatkan dari persamaan 2.33. Dengan bantuan software
Microsoft Excel diperoleh nilai expected return pasar IHSG yang merupakan rata-rata dari harga return saham yaitu sebesar 0.0028489 dan standar deviasi
return pasar sebesar 0.016856 dan return sekuritas bebas risiko adalah sebesar 7,5 per bulan yang diambil dari BI rate pada www.bi.go.id . Hasil perhitungan
expected return CAPM dari 24 saham yang berdistribusi normal terdapat pada Tabel 3. 3
dan nilai pada table 3.2 sebagai berikut:
83 Tabel 3.2 Nilai Beta Masing Masing Saham
Tabel 3. 3 Nilai Expected Return CAPM Masing-Masing Saham
Dari nilai expected return CAPM 24 saham tersebut dapat dilhat bahwa 13 saham memiliki nilai expected return CAPM positif sedangkan 11 saham bernilai negatif. Dalam penelitian ini
penulis hanya memilih saham-saham yang memiliki nilai expected return CAPM positif untuk NO
Kode Saham 1
WIKA 0.495763
2 UNVR
0.950623 3
UNTR 1.136852
4 SMGR
0.922083 5
TLKM 1.021213
6 SSMS
0.446495 7
SILO 1.03124
8 PTBA
0.481121 9
PGAS 0.925206
10 MPPA
1.528934 11
MNCN 1.547395
12 LSIP
1.723221 NO
Kode Saham 13
KLBF 1.155389
14 ITMG
0.812369 15
INTP 1.382468
16 INDF
1.267445 17
INCO 1.534934
18 AALI
0.620608 19
ADRO 1.379419
20 AKRA
0.919388 21
ASII 1.190962
22 ASRI
0.980325 23
BSDE 0.982114
24 CPIN
1.533719
NO Kode Saham
� 13
KLBF -0.00836
14 ITMG
0.016387 15
INTP -0.02475
16 INDF
-0.01645 17
INCO -0.03575
18 AALI
0.030222 19
ADRO -0.02453
20 AKRA
0.008665 21
ASII 0.004269
22 ASRI
0.004139 23
BSDE -0.01935
24 CPIN
0.001551 NO
Kode Saham �
1 WIKA
0.03923 2
UNVR 0.006412
3 UNTR
-0.00703 4
SMGR 0.008471
5 TLKM
0.001318 6
SSMS 0.000595
7 SILO
0.040287 8
PTBA -0.03531
9 PGAS
-0.03665 10
MPPA -0.04933
11 MNCN
-0.05648 12
LSIP 0.016176
84 dimasukkan dalam portofolio. Nilai expected return CAPM dihitung dengan menggunakan rumus
2.27, dan expected return CAPM 13 saham yang bernilai positif terdapat pada Tabel 3.4 berikut: Tabel 3. 4 Nilai Expected Return CAPM Bernilai Positif
NO Kode
Saham �
1
WIKA
0.03923 2
UNVR
0.006412 3
SSMS
0.042785 4
TLKM
0.001318 5
SMRA
0.000595 6
SILO
0.040287 7
LSIP
0.016176 8
ITMG
0.016387 9
AALI
0.030222 10
AKRA
0.008665 11
ASII
0.004269 12
ASRI
0.004139 13
CPIN
0.001551
e. Memilih Saham untuk Portofolio Berdasarkan Tabel 3.4 di atas terdapat 13 saham dengan sektor yang berbeda,
selanjutnya diseleksi lima saham untuk dimasukan dalam portofolio dengan memilih satu saham dari setiap sektor. Pengambilan tersebut dipilih berdasarkan nilai expected return
CAPM yang paling besar. Nilai expected return CAPM dari empat saham terpilih terdapat dalam Tabel 3.5 sebagai berikut:
85 Tabel 3. 5 Nilai Expected Return CAPM Empat Saham Terpilih
NO Kode Saham
� Sektor
1 WIKA
0.03923 Properti
2 SILO
0.040287 Jasa
3 AALI
0.030222 Pertanian
4 SSMS
0.042785 Perkebunan
ITMG 0.016387
Pertambangan
Menentukan Views dari Investor
Pada penelitian ini penulis bertindak sebagai pengamat yang memberikan pandangan secara subjektif terhadap pergerakan return saham. Dalam penelitian ini return prediksi
diperoleh menggunakan metode moving average dari data 13 minggu terakhir yang akan memberikan informasi terhadap kenaikan atau penurunan return suatu saham. Informasi tersebut
akan menjadi dasar investor dalam pembentukan views. Pergerakan return prediksi untuk masing-masing saham ditunjukkan dalam Lampiran 6 halaman 125 . Peneliti memilih return
prediksi ke- +13 untuk kelima saham sebagai berikut: Tabel 3.6 Return Prediksi Saham
NO Kode Saham
+
̂ 1
WIKA -0.00053
2 SILO
0.019762 3
AALI -0.00646
4 SSMS
0.001106 5
ITMG 0.016296
86 Table 3.7 Selisih return saham
NO Kode Saham
+
̂ ̂
Selisih 1
WIKA -0.00053
-0.01606 0.015534
2 SILO
0.019762 0.018182
0.001581 3
AALI -0.00646
-0.00656 0.000101
4 SSMS
0.001106 0.013746
-0.01264 5
ITMG 0.016296
0.016901 -0.00061
Adapun pandangan yang diperoleh yaitu sebagai berikut:
Pandangan 1 : Saya Prediksikan Return Saham WIKA akan meningkat. Pandangan 2 : Saya Prediksikan Return Saham SILO dan AALI akan melampaui saham SSMS
dan ITMG Pada penelitian ini, view investor dianggap sebagai bilangan fuzzy trapesium, fungsi keanggotaan
bilangan fuzzy trapesium dinyatakan sebagai berikut :
Gambar 3. 3 Fungsi Keanggotaan views Investor
Nilai ̃
,
= .. .
artinya views investor akan berkisar antara 0 – 0.3 atau prediksi return saham
berkisar antara 0 – 30 .
87 Kedua view tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
E
�
= ̃
E
�
+ E
�
− E + E
�
= ̃
Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks P dan dengan P. Er=v Maka
diperoleh : � = [
. . − .
− . ] = [
E
�
E
�
+ E
�
− E + E
�
] , = [ ̃̃ ]
Menghitung Return Ekuilibrium
Setelah dilakukan pemilihan saham dan pembentukan views, selanjutnya adalah menghitung return ekuilibrium. Untuk perhitungan return ekuilibrium pada model Black Litterman. Penulis
menggunakan bobot CAPM seperti pada tabel 3.4
Fuzzy Multi-Objective Linear Programming
Berikut adalah pemrograman linear fuzzy tujuan ganda dengan views investor diasumsikan sebagai bilangan fuzzy seperti pada persamaan 3.6
maks � = ̃ + ̃
+ ̃ + ̃
+ ̃ min =
+ +
+ +
3.16 dengan kendala
+ +
+ +
=
Karena pada persamaan 3.9 nilai ̃
= � + �ΣP′ ��Σ
′
+ Ω
−
. − . − �� dan nilai �, �, Σ, serta P dan Ω diketahui maka fungsi tujuan dapat diubah menjadi
88 � =
0.171897 +0.076232α
+
0.112552+ 0.03909 α
+
0.146139+0.058179 α
+
-0.04279 – 0.027516 α
+
-0.14931 – 0.02950 α
3.19 Nilai
adalah ukuran risiko yang dihasilkan pada persamaan 3.2 yang tertera pada tabel 3. 3 maka persamaan minimum risiko menjadi :
min = . + .
+ . + .
+ . 3.20
Dari persamaan 3.19 dan 3.20 maka permasalahan program linear tujuan ganda pada Black litterman adalah :
� =
0.171897 +0.076232α
+
0.112552+ 0.03909 α
+
0.146139+0.058179 α
+
-0.04279 – 0.027516 α
+
-0.14931 – 0.02950 α
min = . + .
+ . + .
+ . dengan kendala
+ +
+ +
=
Selanjutnya untuk setiap α dapat ditentukann tingkat kompromi yang optimum α dengan
langkah menyelesaikan masalah pemrograman linear satu tujuan seperti pada persamaan 3.11 berikut :
max dengan kendala
[∑ [ . − .
� =
].� − ̃
� −
] [ ̃
� +
− ̃
� −
] [ ̃
� � −
− � + � + � + � + � ]
[ ̃
� � −
− ̃
� � +
]
∈ [ , ] ∈
89 Tabel 3.8. Hasil untuk Permasalahan Fuzzy
α
+ −
+ −
�
̃ ̃
̃ ̃
̃ 1
0.0703 -0.1100
0.8124 0.4665
0.7201 0.0703
0.0604 0.0686
-0.0061 -0.1100
0.9 0.0804
-0.1139 0.8124
0.4665 0.7748
0.0804 0.0656
0.0763 -0.0098
-0.1139 0.82
0.0885 -0.1171
0.8124 0.4665
0.7845 0.0885
0.0698 0.0825
-0.0127 -0.1171
0.815 0.0891
-0.1173 0.8124
0.4665 0.8179
0.0891 0.0701
0.0829 -0.0129
-0.1173 0.81
0.0896 -0.1174
0.8124 0.4665
0.8204 0.0896
0.0703 0.0833
-0.0131 -0.1174
0.8 0.0906
-0.1178 0.8124
0.4665 0.8251
0.0906 0.0709
0.0841 -0.0134
-0.1178 0.72
0.0987 -0.1210
0.8124 0.4665
0.8619 0.0987
0.0750 0.0903
-0.0164 -0.1210
0.7 0.1007
-0.1218 0.8124
0.4665 0.8707
0.1007 0.0761
0.0918 -0.0171
-0.1218 0.68
0.1028 -0.1226
0.8124 0.4665
0.8794 0.1028
0.0771 0.0934
-0.0178 -0.1226
0.005 0.1714
-0.1491 0.8124
0.4665 1
0.1714 0.1123
0.1458 -0.0426
-0.1491
Tabel 3.9. Hasil untuk Permasalahan Non- Fuzzy
α
+ −
+ −
�
̃ ̃
̃ ̃
̃ Semua
nilai α 0.0357
0.0116 0.8124
0.4665 1
0.0273 0.0357
0.0227 0.0116
0.0175
Menghitung Expected Return Black Litterman
Langkah selanjutnya yaitu menentukan expected return Black-Litterman menggunakan Persamaan 2.67 yiatu:
= = � + �∑�
′
� + ��∑�
′ −
− �� Karena pada penelitian ini views investor dinyatakan dalam bentuk bilangan fuzzy, maka expected
return Black-Litterman menjadi : ̃ =
̃ = � + �ΣP′ Ω + ��Σ
′ −
̃ − ��
90 Selanjutnya diperoleh nilai matriks varians kovarians dari return 5 saham yang terpilih yaitu:
0.001639 0.000236
0.000611 -0.000067
0.000723
∑ =
0.000236 0.001770
0.000370 0.000000
-0.000065 0.000611
0.000370 0.002342
-0.000059 0.000397
-0.000067 0.000000
-0.000059 0.001994
-0.000157 0.000723
-0.000065 0.000397
-0.000157 0.005288
Dalam penelitian ini penulis menggunakan � = , , karena investor masih mempunyai
keraguan terhadap views yang dibentuk. Hasil matriks diagonal kovarian dari views
Ω berdasarkan Persamaan 2.70
sebagai berikut:
Ω = � �∑ � Ω = matriks diagonal varians pada views
Ω = [ . .
] Sehingga diperoleh estimasi return Black Litterman untuk masing-masing saham dengan bantuan
software mocrosoft excel yang terdapat pada Tabel 3.10 sebagai berikut: Tabel 3. 10 Nilai Expected Return Black-Litterman
No Kode Saham
̃ 1
WIKA 0.019432386+0.4997537
̃ + . ̃
2 SILO
0.034362891++0.0662098 ̃ + .
̃ 3
AALI 0.029780048+0.1803603
̃ + . ̃
4 SSMS
0.012239382 – 0.015573̃ − .
̃ 5
ITMG -0.090306038+0.233034
̃ − . ̃
91 Karena nilai
̃ = .. .
maka nilai − menggantikan koefisien fuzzy. Sehingga nilai
expected return Fuzzy Black Litterman adalah :
Tabel 3. 11 Nilai Expected Return Fuzzy Black-Litterman i
Kode Saham
�
̃ 1
WIKA 0.171897 +0.076232α
2 SILO
0.112552+ 0.03909 α 3
AALI 0.146139+0.058179 α
4 SSMS
-0.04279 – 0.027516 α
5 ITMG
-0.14931 – 0.02950 α
Hasil perhitungan expected return Black Litterman dari masing-masing metode dengan menggunakan software bantuan Microsoft Excel disajikan pada Tabel 3. 12 sebagai berikut:
Tabel 3. 12 Hasil Expected Return Black Litterman dan Fuzzy Black Litterman No
Kode Saham ̃
̃ 1
WIKA 0.027256848
2 SILO
0.035706982 3
AALI 0.022735263
0.3284 4
SSMS 0.011633724
5 ITMG
0.017519193 0.6716
Expected return Black Litterman yang diperoleh digunakan untuk menghitung bobot Black Litterman.
92
Menghitung Bobot Portofolio
Bobot untuk masing-masing saham dapat dihitung dengan menggunakan persamaan 2.80 sebagai berikut:
BL 1
BL
μ Σ
w
. Diperlukan nilai toleransi dunia terhadap risiko investasi risk aversion parameter yang
disimbolkan
δ
sebesar 2,5 He Litterman, 1999. Bobot untuk masing-masing saham dalam portofolio Black Litterman yaitu
1 1
1
BL BL
μ Σ
w
dan bobot masing-masing saham untuk portofolio Black Litterman dengan pendekatan Fuzzy Compromise Programming yaitu
2 FBL
1 2
FBL
μ Σ
w
.
Hasil perhitungan tersebut terdapat dalam Tabel 3.13: Tabel 3. 13 Bobot Saham Black Litterman
No Kode Saham
1 BL
w
2 FBL
w
1 WIKA
0.291347087 -0.661177152
2 SILO
0.426319487 -0.068432816
3 AALI
0.084895296 0.885480933
4 SSMS
0.154767895 0.065156324
5 ITMG
0.042670235 0.778972712
Tabel 3.12 menunjukkan bahwa pada masing – masing portofolio memiliki alokasi dana
yang berbeda. Pada metode Black Litterman saham SILO memiliki alokasi dana yang paling besar yaitu 42,63 dari 100 dana investasi. Sedangkan dengan metode Fuzzy Black Litterman saham
AALI memiliki alokasi dana yang paling besar yaitu 88,54 dari 100 dana investasi. Saham WIKA dan SILO pada metode FBL menunjukkan bobot yang bernilai negatif, artinya investor
melakukan transaksi penjualan short sale pada saham tersebut. Bobot masing-masing saham yang
93 telah diperoleh kemudian digunakan untuk mencari return portofolio menggunakan persamaan
2.17 yaitu: = ∑
.
=
dan risiko portofolio menggunakan persamaan 2.23:
w Σ
w
p
Sehingga diperoleh return dan risiko untuk masing-masing portofolio dalam Tabel 3.14: Tabel 3. 14 Return dan Risiko Masing-Masing Portofolio
Portofolio BL Portofolio FBL
Return 0.027641978
0.813950011 Risiko
0.025677972 0.070825913
Nilai return dan risiko portofolio untuk masing-masing model pada Tabel 3.14 menunjukkan bahwa risiko FBL lebih tinggi dibandingkan dengan BL, sebanding dengan return yang dihasilkan
yaitu return FBL lebih tinggi disbanding dengan return BL.
Pengukuran Kinerja Portofolio
Nilai return dan risiko dari pembentukan portofolio kedua model tersebut dapat digunakan untuk mengukur kinerja portofolio dengan menggunakan Sharpe ratio. Hasil perhitungan Sharpe ratio
untuk kedua model portofolio dengan menggunakan persamaan 2.82 dapat dilihat pada Tabel 3. 15 berikut:
Tabel 3. 15 Nilai Perhitungan Sharpe Ratio Portofolio
Sharpe ratio BL
1.076486035 FBL
11.49226285
94 Hasil perhitungan Sharpe ratio yang terdapat pada Tabel 3.15 menunjukkan bahwa kedua
portofolio menghasilkan nilai Sharpe ratio yang berbeda. Nilai Sharpe ratio metode FBL lebih tinggi dibandingkan dengan metode BL. Artinya metode FBL lebih baik dibandingkan dengan
metode BL.
D. Ilustrasi perhitungan keuntungan Model Black Litterman.
