Pandu Gelombang LANDASAN TEORI

6

BAB II LANDASAN TEORI

II.1. Pandu Gelombang

Pandu gelombang diasumsikan berbentuk persegi empat panjang rectangular, maka akan terdapat dimensi L x , L y , dan L z , dengan sumbu z dimulai dari z = 0 ke arah sumbu z positif. Hal ini berlaku karena pada arah x dan y mengalami peredaman gelombang. Gambar 2.1. Pandu gelombang rectangular Kinsler et.al, 2000 Persamaan gelombang pada koordinat kartesian Brewer, 1992 : cos cos , , z k t i y x z e y k x k A z y x P − = ω 2.1 Untuk menentukan arah rambat gelombang hanya ke arah sumbu z positif, maka arah rambat gelombang ke arah x dan y dihilangkan dengan menggunakan: 2 2 2 2 1 t P c P ∂ ∂ = ∇ 2.2 7 Dengan laplacian pada koordinat kartesian : 2 2 2 2 2 2 2 z P y P x P P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ 2.3 persamaan gelombangnya akan menjadi : 2 2 2 2 cos cos cos cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − − − c e y k x k A k k k e y k x k A z k t i y x z y x z k t i y x z z ω ω ω 2.4 Dengan mengeliminasi faktor yang sama pada ruas kiri dan ruas kanan maka persamaan 2.4 akan menjadi persamaan : 2 2 2 2 z y x k k k c + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ω 2.5 Jika diasumsikan pandu gelombang berlaku pada dinding pejal dengan komponen kecepatan partikel di dalamnya nol, maka komponen normal tekanan harus sama dengan nol, sehingga dengan persamaan cosinus akan didapatkan nilai bilangan gelombang pada arah sumbu x dan sumbu y adalah : x x L l k π = l = 0,1,2,… 2.6 y y L m k π = m = 0,1,2,… 2.7 Parameter l dan m adalah konstanta pada gelombang berdiri untuk arah sumbu x dan y. k z merupakan konstanta gelombang yang akan mengakibatkan gelombang hanya akan merambat pada sumbu z jika, 2 2 y x ml k k k + = 2.8 Untuk menentukan kondisi k z, maka dapat digunakan persamaan 2.5, sehingga besarnya nilai k z adalah : 8 2 2 2 2 2 ml y x z k c k k c k − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ω ω 2.9 Jika 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ml k c ω , maka k z akan bernilai real, artinya gelombang akan merambat menuju ke arah sumbu z negatif. Jika 2 2 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ml k c ω , maka nilai k z adalah : 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ± = c k i k ml z ω 2.10 Untuk menghindari pertambahan k z dari kenaikan z, maka dipilih nilai negatifnya. Dengan mensubstitusikan persamaan 2.10 dan persamaan 2.1, maka akan didapatkan persamaan gelombang yang merambat hanya pada sumbu z positif, dengan f adalah nilai eksponensial terhadap nilai z. Sehingga persamaan gelombang yang merambat pada sumbu z positif dan sebagai gelombang berdiri adalah : 2 2 cos cos , , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = c k z t i y x ml e e y k x k A z y x P ω ω 2.11 sehingga dari f dapat ditentukan besarnya nilai cutoff frequency yaitu : ml c ck = ω 2.12 Dengan menghilangkan penyebaran bunyi pada arah sumbu x dan y, maka akan didapatkan suatu gelombang bunyi pada arah sumbu z positif, yang dapat dianggap sebagai gelombang berdiri. Prinsip inilah yang digunakan untuk menganalisis gelombang bunyi di dalam resonator Brewer, 1992. 9

II.2. Lumped analisis