6
BAB II LANDASAN TEORI
II.1. Pandu Gelombang
Pandu gelombang diasumsikan berbentuk persegi empat panjang rectangular, maka akan terdapat dimensi L
x
, L
y
, dan L
z
, dengan sumbu z dimulai dari z = 0 ke arah sumbu z positif. Hal ini berlaku karena pada arah x dan y
mengalami peredaman gelombang.
Gambar 2.1. Pandu gelombang rectangular Kinsler et.al, 2000
Persamaan gelombang pada koordinat kartesian Brewer, 1992 : cos
cos ,
,
z k
t i
y x
z
e y
k x
k A
z y
x P
−
=
ω
2.1 Untuk menentukan arah rambat gelombang hanya ke arah sumbu z positif, maka arah
rambat gelombang ke arah x dan y dihilangkan dengan menggunakan:
2 2
2 2
1 t
P c
P ∂
∂ =
∇ 2.2
7
Dengan laplacian pada koordinat kartesian :
2 2
2 2
2 2
2
z P
y P
x P
P ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂ =
∇ 2.3
persamaan gelombangnya akan menjadi :
2 2
2 2
cos cos
cos cos
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
+ +
−
− −
c e
y k
x k
A k
k k
e y
k x
k A
z k
t i
y x
z y
x z
k t
i y
x
z z
ω
ω ω
2.4 Dengan mengeliminasi faktor yang sama pada ruas kiri dan ruas kanan maka
persamaan 2.4 akan menjadi persamaan :
2 2
2 2
z y
x
k k
k c
+ +
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ω 2.5
Jika diasumsikan pandu gelombang berlaku pada dinding pejal dengan komponen kecepatan partikel di dalamnya nol, maka komponen normal tekanan
harus sama dengan nol, sehingga dengan persamaan cosinus akan didapatkan nilai bilangan gelombang pada arah sumbu x dan sumbu y adalah :
x x
L l
k π
= l = 0,1,2,…
2.6
y y
L m
k
π
=
m = 0,1,2,… 2.7
Parameter l dan m adalah konstanta pada gelombang berdiri untuk arah sumbu x dan y. k
z
merupakan konstanta gelombang yang akan mengakibatkan gelombang hanya akan merambat pada sumbu z jika,
2 2
y x
ml
k k
k +
=
2.8 Untuk menentukan kondisi k
z,
maka dapat digunakan persamaan 2.5, sehingga besarnya nilai k
z
adalah :
8
2 2
2 2
2 ml
y x
z
k c
k k
c k
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
− −
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= ω
ω 2.9
Jika
2 2
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
ml
k c
ω , maka k
z
akan bernilai real, artinya gelombang akan
merambat menuju ke arah sumbu z negatif. Jika
2 2
− ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
ml
k c
ω , maka nilai k
z
adalah :
2 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− ±
= c
k i
k
ml z
ω 2.10
Untuk menghindari pertambahan k
z
dari kenaikan z, maka dipilih nilai negatifnya. Dengan mensubstitusikan persamaan 2.10 dan persamaan 2.1, maka
akan didapatkan persamaan gelombang yang merambat hanya pada sumbu z positif, dengan f adalah nilai eksponensial terhadap nilai z. Sehingga persamaan gelombang
yang merambat pada sumbu z positif dan sebagai gelombang berdiri adalah :
2 2
cos cos
, ,
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
=
c k
z t
i y
x
ml
e e
y k
x k
A z
y x
P
ω ω
2.11 sehingga dari f dapat ditentukan besarnya nilai cutoff frequency yaitu :
ml c
ck =
ω 2.12
Dengan menghilangkan penyebaran bunyi pada arah sumbu x dan y, maka akan didapatkan suatu gelombang bunyi pada arah sumbu z positif, yang dapat
dianggap sebagai gelombang berdiri. Prinsip inilah yang digunakan untuk menganalisis gelombang bunyi di dalam resonator Brewer, 1992.
9
II.2. Lumped analisis