Metode Branch and Bound

Tahap 7. Pengecekan Optimalisasi Tabel Simpleks Iterasi Pertama Pengecekan apakah tabel simpleks pada iterasi pertama telah atau belum optimal. Apabila Z j - C j untuk semua variabel bernilai nol atau negatif, maka penyelesaian problema tersebut telah optimal. Apabila tidak, maka kembali pada prosedur Tahap 4.

3.2. Metode Branch and Bound

Metode Branch and Bound mula-mula dipakai dan dikembangkan oleh Land and Doig 1960 untuk menyelesaikan program integer yang kemudian dimodifikasi oleh Dakin 1965 dan telah dengan sukses menerapkannya di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang dalam memecahkan persoalan program integer Sidabutar, 2008. Metode ini telah menjadi kode komputer standar untuk program integer, dan penerapan-penerapan dalam praktek tampaknya menyarankan bahwa metode ini lebih efisien dibanding dengan pendekatan Gomory. Teknik ini dapat diterapkan baik untuk masalah pure programming maupun mixed programming. Secara umum, bentuk umum dari program integer adalah sebagai berikut. Maksimumkan: ∑ dengan kendala: ∑ ≥, =, ≤ b i ; i = 1, 2, …, m x j ≥ 0 semua bilangan cacah, j = 1, 2, …, n Universitas Sumatera Utara Dengan demikian, penjabaran bentuk umum dari fungsi tujuan dan fungsi kendala program integer adalah sebagai berikut. Asumsikan fungsi tujuan program integer adalah sebagai berikut. Maksimumkan: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n maka, = = ∑ ; j = 1, 2, …, n Selanjutnya, asumsikan fungsi kendala program integer adalah sebagai berikut. maka, ∑ ; i =1, 2, …, m Langkah-langkah Metode Branch and Bound Gagasan yang umum digunakan metode Branch and Bound dalam program integer dapat diuraikan sebagai berikut. Universitas Sumatera Utara Asumsikan suatu masalah program integer. Maksimumkan Kendala dimana S = {x | Ax = b, x ≥ 0, dan integer}. Ide umum dari metode branch and bound adalah pertama untuk menyelesaikan problema sebagai model kontinu, yakni menyelesaikan program integer sebagai program linier: Maksimumkan Kendala dimana T = {x | Ax = b, x ≥ 0}. Andaikan bahwa x r merupakan peubah yang berkendala integer yang mempunyai nilai optimum kontimu x r yang pecahan. Hasil dari tidak memuat solusi integer yang layak. Sebagai akibatnya nilai integer layak dari xr harus memenuhi salah satu dari dua kondisi berikut yakni: atau Kedua kondisi ini bilamana diaplikasikan untuk model yang kontinu maka hasilnya merupakan dua problema saling lepas mutually exclusive dengan himpunan kendala sebagai berikut: i { } ii { } dan bilamana kendala-kendala integernya dimasukkan, maka diperoleh himpunan: S 1 = {x|Ax = b, , x ≥ 0, dan integer} dan S 2 = {x|Ax = b, , x ≥ 0, dan integer} Sebenarnya bentuk ini merupakan pemisahan dari S , yakni , . Solusi optimal x dari problema yang diberikan, harus berada di salah satu S 1 atau S 2 dan harus juga merupakan solusi optimal dari salah satu subproblema berikut: i Maksimumkan z = c.x kendala ii Maksimumkan z = c.x kendala Universitas Sumatera Utara Subproblema-subproblema ini dapat lagi diselesaikan dengan mengulangi proses yang sama dengan merelaksasi kendala integernya dan mencabangkan kembali bila solusi optimal mempunyai komponen yang bernilai pecahan atau tidak integer. Proses percabangan ini akan membangun pohon keputusan, dengan setiap node k dari pohon keputusan tersebut berhubungan dengan sebuah subproblema: Maksimumkan z = c.x kendala . Jika solusi optimal yang berhubungan dengan program linier tersebut layak memenuhi atau mempunyai komponen-komponen bulat, maka solusi ini dicatat dan nilai objektifnya merupakan batas bawah untuk nilai optimum. Dalam kasus seperti ini tidak perlu dilakukan percabangan lebih jauh lagi dari subproblema ini dan node yang demikian difathom atau dipangkas. Node yang belum terfathom disimpan dalam master list. Pada beberapa node, nilai optimal nilai integer terbesar yang lebih kecil atau sama dengan nilai optimum jika fungsi objektif mempunyai koefisien- koefisien integer ̅̅̅ dari program linier yang bersangkutan merupakan sebuah batas atas untuk nilai optimum dari semua turunannya. Jika batas atas tersebut lebih kecil dari batas bawah terbaik yang ada, maka subproblema ini tidak dicabangkan lagi. Proses Branch and Bound diteruskan sampai setiap subproblema berhenti karena salah satu dari dua alasan berikut, yakni i Sebuah solusi integer, atau ii Batas atas lebih kecil dari batas bawah yang ada sekarang Bangun, 2004. Berdasarkan uraian di atas, maka prosedur atau langkah-langkah metode Branch and Bound untuk masalah maksimasi adalah sebagai berikut. 1. Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks. 2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel keputusan yang diharapkan merupakan bilangan integer, maka solusi optimum integer telah tercapai. Apabila satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan bilangan integer, lanjutkan ke langkah 3. Universitas Sumatera Utara 3. Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan rounded – down. 4. Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar artinya bilangan desimal terbesar dari masing-masing variabel untuk dijadikan pencabangan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel layak yang diikutsertakan. 5. Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah solusi yang sebelumnya tidak integer kemudian diintegerkan. Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4 Winston, 2004. Perhitungan dalam Metode Branch and Bound Satu kerugian dasar dari metode Branch and Bound adalah bahwa metode ini mengharuskan pemecahan program linier yang lengkap di setiap node. Dalam masalah besar, hal ini dapat sangat memakan waktu, terutama ketika satu-satunya informasi yang diperlukan di node tersebut adalah nilai tujuan optimumnya. Hal ini diperjelas dengan menyadari bahwa sebuah batas yang “baik” diperoleh, “banyak” node dapat disingkirkan dengan diketahui nilai tujuan optimum mereka. Hal di atas mengarah pada pengembangan sebuah prosedur di mana kita tidak perlu memecahkan semua bagian masalah dari pohon pencabangan tersebut. Universitas Sumatera Utara Gagasannya adalah “mengestimasi” sebuah batas atas asumsikan masalah maksimasi dari nilai tujuan optimum di setiap node. Jika batas atas ini menjadi lebih kecil daripada nilai tujuan yang berkaitan dengan pemecahan integer terbaik yang tersedia, node tersebut disingkirkan. Keuntungan utamanya adalah bahwa batas atas tersebut dapat diestimasi dengan cepat dengan perhitungan minimal. Gagasan umum ini mengestimasi penalti yaitu, penurunan nilai tujuan yang dihasilkan dari pemberlakuan kondisi dan . Ini dapat dicapai dengan menambahkan setiap batasan ini ke tabel optimum di node tersebut. Walaupun metode Branch and Bound memiliki kekurangan, dapat dikatakan bahwa sampai sekarang, ini adalah metode yang paling efektif dalam memecahkan program-program integer dengan ukuran praktis. Pada kenyataannya, semua program komersial yang tersedia didasari oleh metode Branch and Bound. Tetapi, ini tidak berarti bahwa setiap program integer dapat dipecahkan dengan metode Branch and Bound. Ini hanya berarti bahwa ketika pilihannya adalah metode pemotongan dan metode Branch and Bound, metode terakhir ini umumnya terbukti lebih baik Taha, 1996. Universitas Sumatera Utara BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan fungsi tujuan dan fungsi kendala akan dirumuskan sebagai berikut: 4.1.Pengumpulan Data Untuk menyelesaikan suatu permasalahan, perlu adanya data yang berhubungan dengan masalah tersebut, baik data primer maupun sekunder. a. Keuntungan laba masing-masing produk Keuntungan dari masing-masing produk dapat dilihat pada Tabel 4.1 berikut: Tabel 4.1.Keuntungan Tiap Produk Bulan Januari 2013 hingga Juni 2013 Produk Keuntungan Rpbuah Celana panjang pria 13.000 Celana panjang wanita 10.000 Celana pendek pria 12.000 Celana pendek wanita 10.000 b. Persediaan bahan baku Jumlah persediaan bahan baku yang diambil adalah rata-rata dari jumlah bahan baku yang tersedia pada bulan Januari 2013 hingga Juni 2013. Jumlah persediaan bahan baku pada bulan Januari 2013 hingga Juni 2013 dapat dilihat pada Tabel 4.2 dan banyaknya kain yang dibutuhkan dalam membuat celana dapat dilihat pada Tabel 4.3. Universitas Sumatera Utara Tabel 4.2. Jumlah Persediaan Bahan Baku Bulan Januari 2013 hingga Juni 2013 Bulan Kain Jeans yar KainKatun yar Januari 53.716 13.250 Februari 60.495 13.110 Maret 63.500 12.880 April 50.404 12.870 Mei 47.105 9.879 Juni 54.780 10.011 Jumlah 330.000 72.000 Rata-rata 55.000 12.000 Tabel 4.3. Bahan Baku yang Dibutuhkan dalam Membuat Celana Jenis Produk Kain Jeans yar Kain Katun yar Celana panjang pria 1,2 0,6 Celana panjang wanita 1,1 0,4 Celana pendek pria 1 0,6 Celana pendek wanita 1 0,4 c. Waktu pembuatan tiap produk Diketahui bahwa tenaga kerja CV. Keris Sakti yang bekerja dalam bagian produksi tersebut terdiri dari 20 orang. Pekerja bekerja selama 8 jam sehari, dalam 1 minggu bekerja dari hari Senin hingga Sabtu, sehingga dalam 1 bulan 1 pekerja bekerja selama 208 jam. Jadi apabila dijumlahkan semua waktu pekerja maka terdapat 4.160 jam. Di samping itu, apabila industri tersebut ingin memproduksi hanya 1 buah celana, maka dibutuhkan waktu sekitar 1 jam untuk celana pria dan 0,75 jam 45 menit untuk celana wanita. d. Jumlah permintaan pasar Data jumlah pemintaan celana pada bulan Januari 2013 hingga Juni 2013 dapat dilihat pada Tabel 4.4. Universitas Sumatera Utara Tabel 4.4. Jumlah Permintaan Pasar Bulan Januari 2013 hingga Juni 2013 Bulan Celana panjang pria Celana panjang wanita Celana pendek pria Celana pendek wanita Januari 1.470 850 1.050 750 Februari 1.450 875 1.175 875 Maret 1.195 900 1.000 630 April 1.375 770 970 790 Mei 1.560 820 1.250 860 Juni 1.600 610 880 775 Dari data pada Tabel 4.4 di atas, data yang diambil sebagai kendala adalah jumlah maksimum tiap celana dari bulan Januari 2013 hingga Juni 2013, yaitu celana panjang pria 1.600 buah, celana panjang wanita 900 buah, celana pendek pria 1.250 buah, dan celana pendek wanita 875 buah. Untuk mengantisipasi agar jumlah produksi dari tiap celana tidak 0, maka ditambah kendala batasan bawah jumlah yang dapat diproduksi oleh industri, yaitu celana panjang pria 1.575 buah, celana panjang wanita 850 buah, celana pendek pria 1.245, dan celana pendek wanita 800 buah. 4.2.Perumusan Fungsi Tujuan Asumsikan: x 1 = Jumlah celana panjang pria per buah x 2 = Jumlah celana panjang wanita per buah x 3 = Jumlah celana pendek pria per buah x 4 = Jumlah celana pendek wanita per buah Fungsi tujuan yang dimaksimalkan adalah laba dari penjualan tiap produk. Koefisien dari variabel keputusan merupakan keuntungan dari tiap-tiap produk. Dengan demikian, fungsi tujuan untuk memaksimalkan atau mengoptimalkan jumlah produksi celana dapat dirumuskan sebagai berikut: Universitas Sumatera Utara Maksimumkan: z = 13.000x 1 + 10.000x 2 + 12.000x 3 + 10.000x 4 4.3.Perumusan Fungsi Kendala Fungsi kendala terdiri dari jumlah persediaan bahan baku, jumlah permintaan pasar terhadap produk, dan waktu pembuatan produk. 1. Model kendala persediaan bahan baku Dalam memodelkan kendala persediaan bahan baku, data yang digunakan adalah jumlah rata-rata dari tiap produk yang dapat dilihat pada Tabel 4.2 dan berdasarkan banyaknya bahan baku yang dibutuhkan tiap jenis celana Tabel 4.3 maka model kendala persediaan bahan baku dapat dirumuskan sebagai berikut: Kain jeans : 1,2x 1 + 1,1x 2 + x 3 + x 4 ≤ 55.000 Kain katun : 0,6x 1 + 0,4x 2 + 0,6x 3 + 0,4x 4 ≤ 12.000 2. Model kendala waktu pembuatan tiap produk Dalam memodelkan kendala waktu pembuatan produk, data yang digunakan adalah waktu yang dihabiskan dalam membuat tiap jenis celana, sehingga model kendala waktu pembuatan produk dapat dirumuskan sebagai berikut: x 1 + 0,75x 2 + x 3 + 0,75x 4 ≤ 4.160 3. Model kendala jumlah permintaan pasar Berdasarkan jumlah permintaan pasar terhadap produk yang telah diperlihatkan pada Tabel 4.4, maka model kendala permintaan pasar dapat dirumuskan sebagai berikut: Celana panjang pria : 1.575 ≤ x 1 ≤ 1.600 Universitas Sumatera Utara Celana panjang wanita : 850 ≤ x 2 ≤ 900 Celana pendek pria : 1.245 ≤ x 3 ≤ 1.250 Celana pendek wanita : 800 ≤ x 4 ≤ 875 4.4.Analisis dan Pembahasan Dalam mengoptimalkan jumlah produksi celana, metode yang akan digunakan adalah Metode Branch and Bound. Sehingga pertama-tama kita modelkan ke dalam model program integer menjadi: Fungsi tujuan: Maksimumkan z = 13.000x 1 + 10.000x 2 + 12.000x 3 + 10.000x 4 Fungsi kendala: 1. Kendala persediaan bahan baku 1,2x 1 + 1,1x 2 + x 3 + x 4 ≤ 55.000 0,6x 1 + 0,4x 2 + 0,6x 3 + 0,4x 4 ≤ 12.000 2. Kendala waktu pembuatan produk x 1 + 0,75x 2 + x 3 + 0,75x 4 ≤ 4.160 3. Kendala jumlah permintaan pasar x 1 ≤ 1.600 x 2 ≤ 900 x 3 ≤ 1.250 x 4 ≤ 875 x 1 ≥ 1.575 x 2 ≥ 850 x 3 ≥ 1.245 x 4 ≥ 800 Universitas Sumatera Utara Bentuk standarnya menjadi Maksimumkan z = 13.000x 1 + 10.000x 2 + 12.000x 3 + 10.000x 4 Kendala 1,2x 1 + 1,1x 2 + x 3 + x 4 + s 1 = 55.000 0,6x 1 + 0,4x 2 + 0,6x 3 + 0,4x 4 + s 2 = 12.000 x 1 + 0,75x 2 + x 3 + 0,75x 4 + s 3 = 4.160 x 1 + s 4 = 1.600 x 2 + s 5 = 900 x 3 +s 6 =1.250 x 4 + s 7 = 875 x 1 - s 8 + s 12 = 1.575 x 2 - s 9 + s 13 = 850 x 3 - s 10 + s 14 = 1.245 x 4 - s 11 + s 15 = 800 x j ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4 s i ≥ 0; i = 1, 2, 3, …, 15 Berdasarkan perhitungan simpleks dan pohon pencabangan Branch and Bound yang dapat dilihat pada Lampiran 1 dan Lampiran 2, maka perbandingan jumlah tiap celana yang dapat diproduksi industri dengan yang didapat dari perhitungan Branch and Bound adalah sebagai berikut. Tabel 4.5. Perbandingan Jumlah Produksi Optimum Produksi per buah Selisih Jenis Celana Industri Usulan Celana panjang pria 1.575 1.586 1.586 1.586 11 Celana panjang wanita 850 900 898 895 504845 Celana pendek pria 1.245 1.245 1.245 1.245 Celana pendek wanita 800 872 874 875 727475 Keuntungan Rp.51.915.000,- Rp.53.278.000,- Rp.1.363.000,- Universitas Sumatera Utara Metode Branch and Bound diharapkan dapat menyelesaikan suatu problem program integer dengan penyelesaian optimal yang lebih teliti dan lebih baik dari metode lain. Metode ini biasanya menghasilkan lebih dari satu solusi optimal, sehingga baik penulis maupun pemimpin industri dapat membandingkan manakah yang merupakan solusi yang paling optimal diantara solusi-solusi yang dihasilkan tersebut. Adapun kelemahan dari metode Branch and Bound ini adalah prosedur dari metode ini sangat panjang karena metode ini mengharuskan pemecahan program linier yang lengkap pada setiap node. Dalam masalah yang besar, metode ini tidaklah efesien karena metode Branch and Bound hanya fokus pada solusi yang masih bernilai pecahan dan harus mencabangkan solusi yang masih bernilai pecahan ke dalam sub permasalahan baru sehingga akan sangat memakan waktu, terutama ketika satu-satunya informasi yang diperlukan di node tersebut adalah nilai tujuan optimumnya. Selain itu, jika diasumsikan terjadi perubahan harga pada produk selama masa perencanaan produksi, maka hasil dari metode Branch and Bound akan menjadi kurang optimal Alannuariputri, 2013. Universitas Sumatera Utara BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan