KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR PARAMETER

Vol 2, No.1 Januari 2016

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER

1. PENDAHULUAN

parameter yaitu parameter bentuk (p,q), parameter lokasi (µ), dan parameter skala (

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi

diantaranya yaitu: McDonald dan Newey (1988), Boyer dkk (2003), Chan dkk (2007), Lee dkk (2012).

four-parameter generalized t

fungsi beta. Sudah banyak peneliti yang membahas tentang distribusi

σ) serta B sebagai

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

GENERALIZED-t

Rahman Cahyadi ¹ , Warsono ² , Mustofa Usman ³ , Dian Kurniasari ⁴ ₁ Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Pringsewu

bentuk perumuman dari distribusi t dengan menambahkan lagi parameter yang lain. Distribusi four-parameter

parameter generalized t merupakan

dari keluarga distribusi peluang kontinu yang penurunannya berdasarkan distribusi normal baku dan distribusi khi-kuadrat. Distribusi four-

Distribusi t merupakan salah satu

Keywords: four-parameter generalized t distribution, characteristic function, graph simulation

This research is about the characteristic function of four-parameter generalized t

distribution. Four-parameter generalized t distribution has four parameters which

are µ as a location parameter, σ as a scale parameter, p and q as a shape

parameter, and B as a function of beta. The characteristic function are retrieved

from the expectation of ^itx e , where i as a imaginary number. Then, the characteristic

function of four-parameter generalized t distribution was able to be determined by

using definition and trigonometric expansions. Based on those two methods this

study got the same results and then will be continued proving the fundamental

properties of the characteristic function of four-parameter generalized t distribution.

Furthermore, it needs graph simulation on a characteristic function of four-

parameter generalized t distribution. Graph simulation result on the characteristic

function of four- parameter generalized t distribution was formed a closed curve

(circle) are smooth.

₂ Matematika, Universitas Lampung ₃ Matematika, Universitas Lampung ₄ Matematika, Universitas Lampung

Abstract

generalized t memiliki empat Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath karakteristik. Teorema inversi fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik juga memiliki sifat-sifat dasar. Namun demikian, sejauh penelusuran yang telah penulis lakukan bahwa belum ditemukan penjelasan tentang fungsi karakteristik khususnya fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t .

Pada penelitian ini, penulis akan membahas lebih dalam mengenai fungsi karakteristik, dan pembuktian sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter

μ ∈ R adalah parameter lokasi





Generalized t Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi generalized t , dengan parameter

1) Distribusi Four-Parameter

2. PEMBAHASAN

generalized t ”.

latar belakang yang telah diuraikan dalam penelitian ini akan dibahas kajian tentang “Fungsi Karakteristik dari Distribusi four-parameter

parameter generalized t . Berdasarkan

Fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dapat diperoleh dari fungsi pembangkit momen dengan menambahkan i sebagai bagian imaginer dan ekspansi trigonometri. Dalam penelitian ini digunakan dua cara tersebut untuk mencari fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t. Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dan melakukan simulasi grafik gambar fungsi kepekatan peluang dan fungsi karakteristik dari distribusi four-

dan q > 0 keduanya parameter bentuk dan B ( . ) Apakah fungsi beta (Chan et al , 2007),

σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

Dimana

generalized t (1), kemudian akan

     x (1)

for

  

2 , , , ;  

1 1 ,

   ₁ ₁

     

   



   

B q p GT q p x

:  

_p _p _p x q q p

dilanjutkan dengan melakukan simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan software MATLAB R2010b. Menurut McDonald dan Newey (1988) distribusi generalized t memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk

, p dan q , dan jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang dari X adalah

Gambar 2. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0

parameter generalized t

dengan menggunakan software MATLAB

R2010b.

(1) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

parameter generalized t dengan

nilai p tetap, q meningkat,

meningkat, µ tetap

(2) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

Generalized t

parameter generalized t

dengan nilai p tetap, q menurun,

menurun, µ tetap

Gambar 3. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=(4,3,2,1), σ=(125,100,75,50), µ=0

(3) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

parameter generalized t dengan

nilai p meningkat, q meningkat,

Pada bagian ini akan dibahas mengenai simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari ditribusi four-

Peluang Distribusi Four-Parameter

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

  _q

_p _p x q q p

B q p GT q p x









   

     

   ₁ ₁

1 1 ,

2 , , , ;  

2) Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan

  

for     

(2) Dimana

μ ∈ R adalah parameter lokasi

σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

dan q > 0 keduanya parameter bentuk dan B ( . ) Adalah fungsi beta (Chan et al, 2007).

Gambar 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=20, σ=100, µ=0

^{-200 -150 -100 -50} menurun, µ tetap ^{50 100 150 200}

⁴

⁵

⁶

⁾

⁷

^{x 10}

^-3

^f(

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{-200 -150 -100 -50}

^{50 100 150 200}

^0.001

^0.002

^0.003

^0.004

^0.005

^0.006

^0.007

^0.008

^0.009

^0.01

^f(

⁾

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=1,q1=1,sigma1=50,µ1=0}

^{p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0}

^{p3=1,q3=3,sigma3=100,µ3=0}

^{p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0}

^{-200 -150 -100 -50}

^{50 100 150 200}

^0.001

^0.002

^0.003

^0.004

^0.005

^0.006

^0.007

^0.008

^0.009

^0.01

^f(

⁾

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=1,q1=4,sigma1=125,µ1=0}

^{p2=1,q2=3,sigma2=100,µ2=0}

^{p3=1,q3=2,sigma3=75,µ3=0}

^{p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=0}

_0.008 _0.012 _{0.01 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0}

_{p2=2,q2=2,sigma2=100,µ2=0 p2=3,q2=2,sigma2=75,µ2=0}

_{p4=4,q4=4,sigma4=50,µ4=0}

_{p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=0 p1=4,q1=1,sigma1=50,µ1=0}

_0.008

_0.007

_0.006

_0.009

_0.01

_{p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0}

_{p3=2,q3=3,sigma3=100,µ3=0}

_f(

₎

_0.006

_0.002

_0.004

_f(

_0.005

_0.001

_0.002

_0.003

_0.004

_{-200 -150 -100 -50}

_{50 100 150 200}

^{50 100 150}

Gambar 6. Grafik Fungsi kepekatan

Gambar 4. Grafik Fungsi kepekatan

peluang distribusi

four-parameter

peluang distribusi

four-parameter

generalized t

dengan p

=(4,3,2,1),

generalized t

dengan p

=(1,2,3,4),

=(50,75,100,125), µ

=(1,2,3,4),

=(125,100,75,50), µ

(4) Simulasi grafik fungsi kepekatan

(6) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four- peluang dari distribusi four-

parameter generalized t dengan parameter generalized t dengan

nilai p meningkat, q menurun,

nilai p menurun, q menurun,

meningkat, µ tetap _0.008 _0.009 _0.007 _0.01 _{p2=2,q2=3,sigma2=75,µ2=0} _{p1=1,q1=4,sigma1=50,µ1=0} _{p4=4,q4=1,sigma4=125,µ4=0 p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0} _{p3=3,q3=2,sigma3=100,µ3=0} _{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t} _0.012 _{0.01 p3=2,q3=2,sigma3=100,µ3=0} meningkat, µ tetap _{p4=1,q4=1,sigma4=125,µ4=0} _{p1=4,q1=4,sigma1=50,µ1=0} _{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t} ₎ _f( _x _0.004 _0.005 _0.002 0.006 _{0.003 f(} _x ₎ _0.008 _0.006 _0.001 _{-200 -150 -100 -50} _x _{50 100 150} _0.002 0.004

Gambar 5. Grafik Fungsi kepekatan

_{-200 -150 -100 -50} _{50 100 150} peluang distribusi four-parameter _x

generalized t dengan p=(1,2,3,4), Gambar 7. Grafik Fungsi kepekatan q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0 peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1),

(5) Simulasi grafik fungsi kepekatan

q=(4,3,2,1), σ=(50,75,100,125), µ=0

peluang dari distribusi four- (7)

Simulasi grafik fungsi kepekatan

parameter generalized t dengan

peluang dari distribusi four- nilai p menurun, q meningkat,

σ parameter generalized t dengan

meningkat, µ tetap nilai p meningkat, q tetap,

menurun, µ berbeda Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

σ tetap, µ

Gambar 10. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(1,2,3,4),

nilai p tetap, q meningkat,

parameter generalized t dengan

(11) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

σ=75, µ=0

Gambar 11. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(4,3,2,1),

tetap, µ tetap

nilai p menurun, q menurun,

parameter generalized t dengan

(10) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

σ=75, µ=0

tetap, µ tetap

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

nilai p meningkat, q meningkat,

parameter generalized t dengan

(9) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

Gambar 9. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)

menurun, µ berbeda

nilai p menurun, q tetap,

parameter generalized t dengan

(8) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi four-

Gambar 8. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)

^{-200 -150 -100 -50} tetap ^{50 100 150} ^0.001 ^0.002 ^0.003 ^0.004 ^0.005 ^0.006 ^0.007 ^0.008 ^0.009

^0.01

^f(

⁾

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=-50}

^{p2=2,q2=1,sigma2=100,µ2=-25}

^{p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0}

^{p4=4,q4=1,sigma4=50,µ4=25}

^{-200 -150 -100 -50}

^{50 100 150}

^0.001

^0.002

^0.003

^0.004

^0.005

^0.006

^0.007

^0.008

^0.009

^0.01

^f(

⁾

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=4,q1=1,sigma1=125,µ1=-50}

^{p2=3,q2=1,sigma2=100,µ2=-25}

^{p3=2,q3=1,sigma3=75,µ3=0}

^{p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=25}

^{-200 -150 -100 -50}

^{50 100 150}

⁴

⁵

⁶

⁷

⁾

⁸

^{x 10}

^-3

^f(

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0}

^{p2=2,q2=2,sigma2=75,µ2=0}

^{p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0}

^{p4=4,q4=4,sigma4=75,µ4=0}

^{-200 -150 -100 -50}

^{50 100 150}

⁴

⁵

⁶

⁷

⁾

⁸

^{x 10}

^-3

^f(

^{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t}

^{p1=4,q1=4,sigma1=75,µ1=0}

^{p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0}

^{p3=2,q3=2,sigma3=75,µ3=0}

^{p4=1,q4=1,sigma4=75,µ4=0}

₇ _{x 10} -3 _{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t} ₆ skala dari grafik yang terbentuk. ₅ Sedangkan puncak grafik yang _f( _x ₎ ₄ _{p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0} _{p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0} terbentuk dipengaruhi oleh meningkat ₃ _{p3=1,q3=3,sigma3=75,µ3=0} _{p4=1,q4=4,sigma4=75,µ4=0} atau menurun nilai p dan q. Kemudian adalah parameter lokasi sehingga ₂ µ ₁

dapat di lihat pada gambar bahwa _{-200 -150 -100 -50} _x _{50 100 150} grafik selalu simetri pada µ.

Gambar 12. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter

3) Fungsi Karakteristik Distribusi Four-

generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4),

Parameter Generalized t

σ=75, µ=0

(1) Fungsi Karakteristik Distribusi

(12) Simulasi grafik fungsi kepekatan

Four-Parameter Generalized t

peluang dari distribusi

four-

dengan definisi

parameter generalized t dengan

Pada bagian ini akan dijelaskan fungsi nilai p meningkat, q tetap,

σ tetap,

karakteristik distribusi four-parameter µ tetap _{x 10} _-3 _{PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t} ₇ ₆

generalized t . Fungsi karakteristik ₅

dari distribusi four-parameter ₎ _f( _x _{4 p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0} _{p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0} _{p2=2,q2=1,sigma2=75,µ2=0} generalized t dapat diperoleh dari ₃ ₂ _{p4=4,q4=1,sigma4=75,µ4=0} fungsi pembangkit momen dengan ₁ menambahkan i sebagai bagian _{-200 -150 -100 -50} _x _{50 100 150} imajiner .

Jika X adalah distribusi peubah acak

Gambar 13. Grafik Fungsi kepekatan

distribusi generalized t dengan

peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1,

parameter

μ∈R dan σ , p , q > 0 , maka σ=75, µ=0

fungsi karakteristik X adalah sebagai Dari gambar grafik fungsi berikut : kepekatan peluang distribusi four- _{itx itx} 

 t  E e  e f x dx _{x      }  parameter generalized t dapat di lihat

 

bahwa

σ adalah parameter skala, p dan

Oleh karena batas x pada fungsi

q adalah parameter bentuk sehingga

kepekatan peluang distribusi four- semakin menurun nilai

σ maka parameter generalized t adalah

semakin kecil skala dari grafik yang

   x   ,dan berdasarkan simulasi

terbentuk dan sebaliknya, semakin grafik fungsi kepekatan peluang meningkat nilai

σ maka semakin besar

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

_{p } ₁ _{1  }

1 _{p p} _{1 } ¹

distribusi four-parameter generalized _{itq }

    _{p q}     t  e

   _{x  } t diperoleh grafik plot yang simetri

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi pada µ, maka berdasarkan teorema

four-parameter generalized t adalah

simetri berlaku: _{  t E e e E e e .  t} _{itx it it ( x  ) it}    _{it ( x  )} _ _{x     x  }       

  t  2 e f   x dx   _{x } ¹

 ₁   _p

 

 _p  ^{1 }

 ^{1  it   }   _{it }   _p _{it  p}       _

    _{it ( x  ) p} _

 e . e  e  2 e ^{1 dx} _{ q} _  _i _{p p}   _p   

1 1 x  2 q B , q 1    

  p q

      

(2) _p Fungsi karakteristik distribusi

x  

1 Misalkan kita dapat

y 

four-parameter generalized t

q 

dengan ekspansi trigonometri menulis ulang persamaan ( 2 ) dalam Selain menggunakan metode yang bentuk berikut _ ₁ _ ₁ ₁ dijelaskan sebelumnya , pada bagian

p _{it ( x  )} _{ p p}

ini akan dijelaskan cara lain untuk

   t  e y q  dy _{x } _ _{1  q} _p ₁ _ _{p } p 1 

 1  y   q B , q

 

menentukan fungsi dari karakteristik ,

p   _{ p} ₁ _ ₁ y

1 it ( x ) sebagai berikut : _{ }  e . dy ₁ _q

  _p

 1  _ 1 y   

B , q   Akan ditunjukkan bahwa p

  (3) _itx

  

Menggunakan MacLaurin dari fungsi  t E e E  Cos tx i Sin tx  _{it ( x   )} _{x  }      

  E Cos   tx i E Sin   tx

   

, maka persamaan ( 3 ) dapat

e ₁   _p _{it }   ^{1  }    

  _p

ditulis sebagai

      e _{ p} _ _n ₁ _ ₁ 

  1 it ( x   ) y  

Bukti

 t  . dy _{x   } _ ₁ _{ q}     _p

1 n !   n  1  y     

B , q   _itx p

  t e f x dx

      _x  ₁ _n

 

  1 n n  p 

B  , q  _{  itq   } 

Oleh karena batas x pada fungsi

p p p       _{n  } _{ n !}

1 B , q

kepekatan peluang distribusi four-

  p _n   _p ₁ parameter generalized t adalah

  _{1 n n} itq 

     .  q 

    p p p  

   x   , dan berdasarkan simulasi   ¹ _{n   } n !  .  q

  p

grafik fungsi kepekatan peluang Dengan pendekatan Stirling, diperoleh ₁ _{p p} ₁ ₁ _n distribusi four-parameter generalized

  _{p } 1   1    t diperoleh grafik plot yang simetri itq 

    _{ p q}       (4)

   x   t  _{ }  _n _{ n !} pada µ, maka berdasarkan teorema simetri berlaku:

Dengan menggunakan ekspansi deret

 _{it ( x  )}

 MacLaurin, persamaan (4) dapat

   t  _{x } 2 e f   x dx





 dinyatakan sebagai

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi Beta, kita memiliki

   

 

 

  

  



   ^{  } ^{  } ^{ } ^{  } ^{ } ^ ^ ¹ ⁴ ⁴ ¹ ² ² ¹ ⁴ ⁴ ¹ ⁴ ¹ ⁴ ⁴ ² ² ¹ ² ¹ ² ¹ ¹ ₁ _! ₄ ₁ _! ₂

₁

 dy _y ^y ^{y q} ^t ^dy _y ^y ^q ^t ^dy _y ^y _q _p _B _{p p p} ^{p p} ^{p p} _{p p p} ^{p p} ^p _p ^p _{q q q}  

   

       

   

       

   

     

 







      

 ^  _p ^q _{p p} ^{B q} ^t _p ^q _{p p} ^{B q} ^t ^q

^{Cos dx x f x t}

^{p p}

⁴

₄

₂

₁

^{) (}

⁴



_

   

   

   

 ^dy _y ^y ^{y q} ^t ^dy _y ^y ^{y q} ^t ^dy _y ^y _q _p _B _{q q q} _p ^p ^{p p} _p ^p ^{p p} _p ^p

   

   ^{  } ^ ^ ^ ^ ^ ^ ¹ ⁴ ⁴ ¹ ² ² ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ₁ _! ₄ ₁ _! ₂

₁

^{ dy}

^{q y}

^dy

^{q y}

^dy

^{q q q}

^{p p}

  

  

 

  

  

 

  

  



 

   ^{  } ^ ^ ^ ^ ^ ^ ¹ ⁴ ⁴ ¹ ² ² ¹ ¹ ¹ ⁴ ⁴ ¹ ¹ ² ² ¹ ¹ ₁ _! ₄ ₁ _! ₂

₁

     

   

   

 

 

  

  



      

   

   

   

^{dy q y}

^{x t i x t i}

^{x it}

_{B q}

^{Sin dx x f x t i}

^{p p}



 ¹ ¹ ₁ ₁ ¹ _! _! ₅ ^{) (} ^{) (} ₃ ^{) (} _, ₁ ⁵ ³  

    ^

  (8)

Dengan memisalkan ^p

x q y

   

kita dapat menuliskan persamaan (8) dalam bentuk berikut

    

  



_

₁

₅

₃

₁

₅

_{) (}

₃

_{) (}

₁

^{) (}

_

_

_

^

    

   

 

  

  

  

 



  

  

     

  

      







    _q _p _B ^p ^q ^{p p} ^B ^tq _q _p _B ^p ^q ^{p p} ^B ^tq ^{p p} _, ₁ ⁴ ^, ⁴ ¹ _! ₄ _, ₁ ² ^, ² ¹ _! ₂ ¹ ⁴

(7)

Bagian kedua

   

_{B q}

^dx

^{C x dx x f x t Sin i}

_

ⁿ

^{ }

^

_

   

   

 

  

  

 

  

  

   ¹ ₁ ₁ _{1 ,} ₁ ^{) ( ) (}  

  

_{ }

_dx

^{x t i x t i}

_{x it}

_{B q}

_{p p}

_

^

   

   

 

  

  

 

   

         

   

1 ( 1 )      

                

    ¹ ² ⁵ ³ ^{) (} _! ₁ ₂ _! ¹ ^{) (} ₅ _! ¹ ^{) (} ₃ ¹ ^{) ( ) (} ^

 

         ⁿ ⁿ _{x t i} _n _{Sin x t i x t i x it x t i}

      

Dengan memisahkan menjadi dua bagian, kita selesaikan secara terpisah dari persamaan (5) yang kita miliki,

Bagian pertama     ^dx _x _q _q _p _{B q} ^p ^{C x dx x f x t Cos} _q _p _n ⁿ ⁿ _p _p _ ^{ } ^ _

   

     

1 ) ( !

     

    

   ¹ ₁ ₁ _{1 ,} ₁ ^{) ( ) (}  

   _{ }     dx x q x t x t q p

B q p _ _q _{p p} _p ^    

   

     

   

   

  

  

   



  dx x f x t Sin i x t Cos ) ( ) (

(5) Persamaan (5) akan diselesaikan berikut ini

   

) (      x t Cos x f dan

   

) (      x t Sin x f  

   ) ( _n ⁿ _n C x x f  

1 ) ( !

; dimana

 

1 _n _n f n

C 

Oleh karena,

            ⁿ ⁿ x t n

Cos x t x t x t ² ⁴ ² ) ( !

   

 ¹ ¹

       

   

     

  

 ¹ ¹

1 ! 4 ) (

2 ) ( 1 ,

1 ¹ ⁴ ²      

       

   

     

 

 

 

 

  

  



   ^{  } ^ ^ ^ ^ ^ ^ ¹ ⁴ ¹ ² ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ₁ _! ₄ ^{) (} ₁ _! ₂ ^{) (}

₁

 dy _y ^{y x t} ^dy _y ^{y x t} ^dy _y ^y _q _p _B _{q q q} _p ^p _p ^p _p ^p  

   

  ^{ }       dy y y x t x t q p B ^ ^q ^p ^p ^ ^

   

1 ! 4 ) (

2 ) ( 1 ,

1 ⁴ ²  

   ^  

(6)

Dengan memisalkan ^p

x q y

 

kita dapat menuliskan persamaan ( 6 ) dalam bentuk berikut

          ^{dy q y} ^p ^y ^{x t x t} _q _p _{B q} ^p ^{Cos dx x f x t} ^{p p} ^p ^p ^q

  

  _{ } ¹ ¹ ₁ ₁ ¹ ⁴ ² ¹ ₁ ¹ _! _! ₄ ^{) (} ₂ ^{) (} ₁ _, ₁ _{) (} ^ _ ^{ }

    

   

 

 

  

  

 

_ _{5 p}

1 _ _{1  }  i t x i t x  y (   )

3 (   ) 1    

 itx    dy Cos t x f x dx i Sin t x f x dx

₁

    q _p     3 ! 5 ! 1  y _{B q}    1    ,

  _p _{1 n n}   _n _{1 .}    q      p p p _{ p } ₁ _ _{1 } _{3 p } ₁ _{1 }

_{5 p itq }

₁

_{1 n n}

_{1 y i t ( x ) y i t ( x ) y    q }

         p p p 

  it ( x  ) dy  dy  dy    

 ¹ _{ q  q  q} ¹ ^{1 }

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR PARAMETER