Latar Belakang Penyelesaian Pemrograman Separabel Menggunakan Fungsi Linier Piecewise Dengan Formulasi Delta

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam keadaan dimana menghadapi persoalan program linier yang besar, maka akan berusaha untuk mencari penyelesaian optimal dengan menggunakan algoritma komputasi, seperti algoritma simpleks dengan biaya sekecil mungkin. Salah satu variasi model program linier adalah pemrograman separabel. Pemrograman separabel adalah pemrograman tak linear yang fungsi objektif dan fungsi kendalanya dapat diekspresikan sebagai penjumlahan fungsi dan setiap fungsinya hanya terdiri atas satu variabel. Secara umum model dasar dari suatu pemrograman separabel adalah sebagai berikut: Optimumkan     1 2 1 , ,..., n n j j j Z f x x x f x     Fungsi kendala :     1 2 1 , ,..., n i n ij j i j g x x x g x atau b      j x  Untuk i = 1,2,..,m j = 1,2,..,n Banyak aplikasi masalah yang dapat diselesaikan dengan pemrograman separabel antara lain masalah fitting, ekonometrik, analisis jaringan listrik, desain dan manajemen sistem suplai air, logistik, dan statistik. Universitas Sumatera Utara Pemrograman separabel hanya digunakan untuk menganalisis persoalan- persoalan yang memiliki fungsi-fungsi kontinu dengan perubahan gradien yang kecil. Jika fungsi kontinu mengalami perubahan besar pada gradiennya, maka dapat menerapkan program integer tercampur. Sifat lainnya adalah pemrograman separabel memberikan optimum pada fungsi nonlinear, sedangkan program integer dapat memberikan global optimum. Pada umumnya masalah pemrograman separabel dapat diselesaikan dengan menggunakan kondisi Karush-Kuhn-Tucker. Selain itu dapat juga diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linier piecewise, atau dengan metode lain seperti metode cutting plane, program dinamik, dan lain-lain. Pada tulisan ini akan membahas masalah pengoptimuman yang menghampiri masalah pemrograman separabel. Hampiran dilakukan dengan mengganti setiap fungsi nonlinier dengan fungsi linier piecewise. Suatu fungsi tujuan j j f x dalam pemrograman separabel dikatakan putus- bersambung piece-wise karena segmen-segmen dari fungsi j j f x tersebut secara sendiri-sendiri terputus-putus dipisah-pisahkan dan membentuk fungsi yang linier sehingga diperoleh 1 1 2 2 3 3 , , f x f x f x , dan seterusnya. Jika fungsi yang diputus- putus tersebut disambung, maka hasilnya diperkirakan akan mendekati fungsi nonlinier. Pada pemrograman separabel, ada tiga kondisi yaitu fungsi tujuannya nonlinier, fungsi kendalanya linier, atau fungsi tujuan dan kendalanya nonlinier. Sehingga pada ketiga kondisi tersebut dapat diganti dengan fungsi linier yang dianggap sama atau mendekati keadaan nonlinier, yaitu dengan cara membagi suatu bidang fungsi nonlinier menjadi beberapa sub bidang atau segmen. Setelah membagi suatu bidang fungsi nonlinier menjadi beberapa sub bidang, ada dua cara untuk memformulasikan fungsi linier piecewise, yaitu dengan formulasi lambda dan formulasi delta. Universitas Sumatera Utara Penyelesaian masalah hampiran fungsi linier piecewise dapat juga diselesaikan metode simpleks dengan restricted basis entry rule variabel terbatas. Jika fungsi objektifnya merupakan fungsi konveks sempurna dan fungsi kendalanya merupakan konveks, maka aturan variabel terbatas pada metode simpleks dapat dihilangkan dan bisa digunakan hanya dengan metode simpleks biasa. Keakuratan dari hampiran fungsi linier piecewise dipengaruhi oleh banyaknya titik kisi. Jika titik kisi bertambah, maka variabel pada masalah hampiran pemrograman linier akan bertambah. Untuk mengatasi hal tersebut, dapat digunakan modifikasi metode hampiran yang menggunakan sedikit titik kisi diawal perhitungan. Misalkan f x dan g x memenuhi semua asumsi dari pemrograman separabel dan fungsi linier bagian demi bagian yang diperoleh, dapat dituliskan kembali sebagai fungsi linier dengan menghapus indeks khusus pada suatu model pemrograman linier, maka penyelesaian optimalnya secara otomatis memenuhi suatu batasan yang diberikan. Cara efisien dan cepat untuk menyelesaikan model tersebut adalah dengan menggunakan jenis tertentu dari metode simpleks yang berhubungan dengan batas atas kendala. Kemudian setelah memperoleh suatu penyelesaian optimal dari model tersebut, maka hitunglah secara berurutan 1 nj j jk k x x    , dengan j=1,2,...,n untuk melihat penyelesaian yang optimal dari pemrograman separabel sebelumnya yang didekati secara bagian demi bagian. Dari uraian di atas, maka penulis memilih judul ” Penyelesaian Pemrograman Separabel Menggunakan fungsi linier Piecewise dengan Formulasi Delta”. Universitas Sumatera Utara

1.2. Perumusan Masalah