BAB I LINGKARAN

BAB I LINGKARAN

A. Unsur-unsur Lingkaran

LATIHAN 1 1. Perhatikan gambar lingkaran berikut!

2. Apa yang dimaksuddengan :

a. busur d. tembereng b. tali busur e. juring

c. apotema

3. Gambarlah lingkaran yang memiliki panjang :

a. jari-jari 3 cm b. diameter 5 cm

c. jari-jari 4 cm dan tembereng dengan panjang tali busur 6 cm

4. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm memiliki panjang tali busur 12 cm. Tentukan panjang apotema pada lingkaran tersebut!

5. Perhatikan gambar dibawah!

1 Dari gambar disamping, tentukan:

a. titik pusat e. tali busur b. jari-jari f. tembereng c. diameter g. juring d. busur h. apotema

STANDAR KOMPETENSI : GEOMETRI DAN PENGUKURAN 4. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya

KOMPETENSI DASAR:

4.1 Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran 4.2 Menghitung keliling dan luas lingkaran

4.3 Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah

4.4 Menghitung panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran

4.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga

 O = Pusat Lingkaran

 OA,OB,OD,OC = Jari-jari lingkaran (r)

 AD,BC = Tali Busur

 AB = Diameter ( Tali busur yang melalui O)  ^AC ,^BC ,^_{AD ,BD}^ _{= Busur Lingkaran}

 OE = Apotema

 DaerahOBD = Juring  Daerah BFC = Tembereng

Jika panjang jari-jari lingkaran tersebut 15 cm dan panjang tali busur AB adalah 24 cm, tentukanlah :

a. diameter lingkaran b. apotema OD c. garis CD B. Keliling dan Luas lingkaran

Ringkasan Materi 1. Keliling lingkaran

2. Luas lingkaran (L):

Contoh Soal:

1. Sebuah lingkaran dengan diameter 14 cm. Tentukan :

a. Keliling Lingkaran b. Luas lingkaran Jawab :

a. K = πd K=22

7 ×14 K=44

Jadi keliling lingkaran adalah 44 cm b. L=1

4 π d 2

¿1

4× 22

7 ×14 2

¿1

4× 22

7 ×14 2

¿154

Jadi Luas lingkaran adalah 154cm2

2 (K) = πd ; dengan menggunakan diameter (d)

(K) = 2πr ; dengan menggunakan jari-jari (r)

Catatan: π = 3,14 ; untuk r atau d bukan kelipatan 7 dan π = 22₇ ; untuk r atau d kelipatan 7

L=π r2 , dengan menggunakan jari-jari (r) atau

L=1 4 π d

2

LATIHAN 2 1. Hitunglah keliling lingkaran jika

diketahui ukuran jari-jarinya adalah : a. 6 cm d. 9 cm

b. 7 cm e. 10 cm c. 8 cm

2. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui ukuran diameternya adalah : a. 17 cm d. 20 cm

b. 18 cm e. 21 cm c. 19 cm

3. Keliling sebuah taman berbentuk lingkaran adalah 110 m.

Tentukan :

a. jarak terjauh kedua ujung taman, b. jarak dari titik tengah taman ke ujung

taman.

4. Hitunglah keliling dari setiap bangun datar berikut!

a.

b.

5. Hitunglah keliling lingkaran kedua bangun berikut.

a.

.

6. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui ukuran jari-jarinya adalah sebagai berikut.

a. 3 cm e. 21 cm b. 4 cm d. 7 cm c. 5 cm

7. Hitunglah luas lingkaran jika diketahui ukuran diameternya adalah sebagai berikut.

a. 12 cm e. 18 cm b. 14 cm d. 20 cm c. 16 cm

8. Luas suatu kebun yang berbentuk lingkaran adalah 15.400m2 . Hitunglah:

a. jarak terjauh kedua ujung kebun tersebut,

b. jarak dari titik tengah kebun ke ujung lapangan,

c. keliling lapangan tersebut. 9. Hitunglah luas daerah yang diarsir

berikut ini. a.

.

b.

3 b.

10. Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan: a. keliling bangun tersebut, b. luas daerah yang diarsir.

\

C. Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah

Ringkasan Materi :

1. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.



Contoh :

Perhatikan Gambar berikut!

Jawab :

a. Sudut Pusat(α) 3600 =

panjang busur AB keliling lingkaran

⟺ α

3600=

panjang^_AB 2π r

⟺panjang^_AB= α

3600×2π r

⟺panjang^_AB= 600

3600×2×3,14×10

4 Sudut Pusat(α)

3600 =

panjang busur AB keliling lingkaran=

luas juring OAB luas lingkaran Luas Tembereng AB=Luas JuringOAB−Luas SegitigaOAB

Hirunglah :

a. panjang ^_AB b. Luas juring OAB c. Luas Tembereng AB

⟺panjang^_AB=1 6×62,8

⟺panjang^AB=10,47cm

b. Sudut Pusat(α) 3600 =

luas juringOAB luaslingkaran

⟺ ∝

3600=

luas juring OAB π r2

⟺luas juring OAB= ∝ 3600× π r

2

⟺luas juring OAB= 60 0

3600×3,14×10 2

⟺luas juring OAB=1 6×314 ⟺luas juring OAB=52,33cm2

c. Karena besar ∠AOB=600 maka ∆ AOB adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10 cm, sehingga :

s=1

2× keliling segitiga

¿1

2×(a+b+c)

¿1

2×(10+10+10)

¿1

2×30

¿15cm

Luas ∆ AOB=

√

s(s−a) (s−b)(s−c)

¿

√

15(15−10) (15−10)(15−10)

¿

√

15(5)(5)(5)

¿

√

1.875

¿43,30cm2

Luas Tembereng AB=Luas JuringOAB−Luas SegitigaOAB ¿52,33−43,30

¿9,03cm2

LATIHAN 3 1. Gunakan π=22

7 . Hitung panjang busur BC pada setiap gambar berikut!

2. Diketahui sebuah lingkaran dengan jari-jari 10 cm dan π=22

7 .Hitunglah besar sudut pusat yang sesuai jika panjang busur :

a. 5,5 cm c. 22 cm

b. 11 cm d. 27,5 cm

3. Tentukan jari-jari dari setiap lingkaran O dengan panjang busur PQ seperti dibawah ini!

4. Titik O adalah titik pusat lingkaran dan titik–titik A,B,C dan D adalah titik-titik pada lingkaran. Jika panjang busur AB= adalah 44 cm, maka hitunglah :

5. Diketahui panjang busur AB=271

2cm. Hitunglah : a. jari-jari lingkaran

b. Luas juring COD

6 b.

a.

a. panjang busur CD b. luas juring OAB c. luas juring OCD

c. Panjang busur BC d. Luas juring BOC

6. Lihat gambar!

7. Perhatikan gambar! Jari-jari 10 cm dan ∠APB=1200 , π=3,14 .

Ringkasan Materi

1. Jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali dari besar sudut keliling.

∠AEB=1800−2×∠ABE

∠CEB=1800−2×∠CBE

∠AEC=3600

−(∠AEB+∠CEB)

¿2×∠ABC 2. Sudut keliling:

 Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran selalu membentuk sudut 90˚ atau sudut siku-siku.

 Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.

 Jumlah sudut keliling yang saling berhadapan sama dengan 180°.

LATIHAN 4

7 a. Hitung luas juring APB.

b. ∠APC=600;∠PAC=300 , maka PC= 1

2PB=…

c. Dengan pythagoras pada ∆ APC , maka AC= ...

d. Hitung luas ∆ APB!

e. Hitung luas tembereng AB (kecil) yang diarsit. a. Luas juring AOB (kecil) = ...

b. Luas segitiga AOB = ...

1. Permukaan sebuah jam dinding berbentuk lingkaran. Berapakah besar sudut antara kedua jarum jam pada pukul :

a. 04.00 b. 07.00 c. 11.00 d. 10.30

2. Perhatikan gambar!

Perhatikan gambar (i).

a. ∠AOD=¿ ... ( sudut pusat) b . ∠ACD=¿ ... ( sudut keliling) c . ∠ABD=¿ ... ( sudut keliling)

d. Kesimpulan : Sudut keliling yang menghadap busur 1

2 lingkaran adalah ... 3. Pada gambar (ii), ∠QPR=300 .

a. ∠PRQ=¿ ... b. ∠PQR=¿ ...

c. Buat ruas garis OR. Segitiga apakah ∆ ORQ ? d. Bila jari-jari = 10 cm, hitung panjang QR! Untuk soal nomor 4 dan 5 perhatikan gambar berikut!

4. Pada gambar (i), diketahui ∠BAC=640

a. ∠BOC=2∠…=…0 _{d. ∠BAC+∠BDC=…}0 b. ∠x=1800−∠…=…0 e. ∠ABD+∠ACD=…0

c. ∠BDC=1

2∠…=… 0

f. ∠BAC+∠BDC=∠…+∠…

5. Pada gambar (ii), diketahui ∠AOC=400 dan ∠P=300 a. ∠CDA=∠…=1

2∠…=… 0

b. ∠PAD=∠…=1800−…0=…0

LATIHAN ULANGAN HARIAN I. Pilihlah jawaban yang tepat!

1. Diameter adalah ....

a. tali busur yang melalui titik pusat

b. jarak dari titik pusat ke lengkungan lingkaran

c. garis lengkung dari satu titik ke titik lain pada lengkungan lingkaran d. garis tegak lurus dari tali busur ke titik pusat

2. Jari-jari sebuah lingkaran memiliki panjang 35 cm. Keliling lingkaran tersebut adalah ....

a. 110 cm c. 330 cm

b. 220 cm d. 440 cm

3. Seutas kawat yang panjangnya 88 cm akan dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran kawat tersebut adalah ....

a. 7 cm c. 21 cm

b. 14 cm d. 28 cm

4. Dalam suatu perlombaan, seorang pembalap sepeda menempuh lintasan berbentuk lingkaran dengan jari-jari 500 m. Jika pembalap tersebut menempuh jarak 15.700 m maka jumlah putaran yang ditempuh pembalap tersebut adalah ....

a. 3 c. 5

b. 4 d. 6

5. Sebuah roda berputar sebanyak 50 kali. Jika roda tersebut memiliki diameter 10 cm maka jarak yang ditempuh roda tersebut adalah ....

a. 157 cm c. 15.700 cm

b. 1.570 cm d. 157.000 cm

6. Luas sebuah lingkaran yang memiliki panjang diameter 20 cm adalah ....

7 22

P

S Q

R 40 cm

A. 2.512 cm2 B. 4.112 cm2 C. 5.024 cm2 D. 6.624 cm2

a. 31,4 cm c. 3.140 cm

b. 314 cm d. 31.400 cm

7. Sebuah lingkaran memiliki luas 6.776 cm2. Jarijari lingkaran tersebut adalah ....

a. 21 cm c. 35 cm

b. 28 cm d. 49 cm

8. Luas bangun gambar di samping adalah ... ( π = ) a. 249 cm² c. 350 cm²

b. 273 cm² d. 392 cm²

9. Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini! Diketahui panjang EA = 18 cm, EB = 3 cm, dan EC = 9 cm. Panjang garis ED adalah ...

a. 5 cm c. 6,5 cm

b. 6 cm d. 8 cm

10. Perhatikan gambar di bawah ini! Luas daerah yang diarsir adalah …

a. 308 cm2 _{C. 840 cm}2

b. 385 cm2 _{D. 251,2 cm}2

11. Pada gambar di bawah menunjukkan empat buah busur setengah lingkaran yang besarnya sama berpusat di P,Q,R, dan S dengan diameter 40 cm. Luas daerah tersebut adalah… ( = 3,14)

12. Dalam suatu taman berbentuk persegi , ditengahnya terdapat kolam berbentuk lingkaran dengan diameter 14 m. Apabila panjang sisi persegi itu 25 m, maka luas taman di luar kolam adalah…

A. 154 m2 B. 471 m2 C. 531 m2 D. 616 m2

A. 4 cm B. 4,5 cm C. 6 cm D. 6,5 cm

A C

B 0

6

335

P

O

Q

A. 1470 cm2 B. 1570 cm2 C. 2570 cm2 D. 7850 cm2

14 cm

14 cm

A. 42 cm2 B. 56 cm2 C. 84 cm2 D. 112 cm2

13. Sebuah taman rumput berbentuk lingkaran dengan jari-jari 20m, dan  = 3,14. Di dalam taman itu terdapat kolam berbentuk persegi panjang dengan ukuran 16m x 12m. Bila harga rumput Rp. 3.250,00 per m2 _{dan ongkos tukang Rp. 750.000,00, maka biaya yang} diperlukan untuk penanaman rumput adalah…

A. Rp 4.158.000,00 B. Rp 4.208.000,00 C. Rp 4.530.000,00 D. Rp 4.832.000,00

14. Perhatikan gambar ! Diketahui luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah 334,96 cm2 _{dan  = 3,14. Jika persegi panjang tersebut mempunyai panjang 28 cm dan} lebar 16 cm. Maka jari-jari lingkaran berukuran...

15. Diketahui sudut AOB = 120o, sudut BOC = 150o, dan luas juring AOB = 51

1 3 cm2

dengan  = 227 . Luas juring BOC adalah...

16. Diketahui keliling lingkaran 314 cm, besar ∠POQ=72o , dan nilai π=3,14 . Luas juring OPQ adalah…

17. Perhatikan gambar di samping ! Garis lengkung merupakan busur lingkaran. Luas daerah yang diarsir adalah...

A D

O

.

C B A. 83o B. 93o C. 97o D. 107o

O . _S

T Q P A. 40o B. 60o C. 80o D. 100o R O. E B C F A

D A. 12o_{B. 24o}

C. 48o D. 60o O. A B E F D P C A. 30o B. 28o C. 20o D. 18o A B D C O E A. 35o B. 65o C. 70o D. 115o

18. Diketahui segi-4 tali busur ABCD di samping,  A = 82o,  B = 87o, dan C = 98o. Besar

 D =…

19. Titik-titik P, Q, R, dan S terletak pada lingkaran berpusat di O. Diketahui ∠ POQ = 120o_{, ∠ QOR = 60}o_{, ∠ ROS = 40}o_{. Besar ∠ RTS= …}

20. Perhatikan gambar ! Diketahui titik O adalah pusat lingkaran.  BAD = 84o dan

 ADC = 108o_{. Selisih antara  ABE dan  DCF adalah...}

21. Perhatikan gambar! Diketahui titik O adalah pusat lingkaran .  AEB = 36o,  BFE = 102o_{,  CBE = 44}o_{, dan  BCE = 74}o_{. Besar APB adalah...}

22. Pada gambar lingkaran di samping berpusat di O. Jika besar ∠ ABE=75o dan ∠ BDC=40o _{, besar  DEC adalah...}

23. Berdasarkan gambar di samping,  BOC = 56o. besar  BAD adalah…

O A

B C

D 72o

56o

A. 84o B. 90o C. 100o D. 128o

A B

P

O

Q

R

A. 37o B. 48o C. 72o D. 96o

24. Perhatikan gambar dibawah! Bila diketahui ∠APB+∠AQB+∠ARB=144o maka besar

AOB adalah…

25. Diketahui sebuah  ABC,  A = 90o, AB = 7 cm, dan BC = 25 cm. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut adalah…

A. 8,0 cm B. 12,5 cm C. 16,0 cm D. 25,0 cm

B. Kerjakanlah soal-soal berikut! 1. Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar tersebut, tentukan: a. keliling bangun tersebut, b. luas daerah yang diarsir.

2. Perhatikan gambar berikut.

Jika jari-jari lingkaran tersebut adalah 10 cm maka tentukan:

a. panjang busur AB,

b. luas juring AOB.

3. Perhatikan gambar berikut. Diketahui jari-jari lingkaran tersebut sama dengan 16 cm dan panjang AB sama dengan 28 cm.

Tentukan:

a. diameter lingkaran,

b. panjang garis apotema OC, c. luas juring AOB,

d. luas segitiga AOB,

e. luas tembereng yang diarsir.

4. Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar di samping, tentukan: a. besar sudut AOB,

b. besar sudut ADB, c. besar sudut ACB.

5. Perhatikan gambar berikut.

Jika besar sudut BOC = 122˚ dan sudut AOD = 32˚, tentukan:

a. besar sudut AED, b. besar sudut BEC, c. besar sudut DEC, d. besar sudut AEB.

Ringkasan Materi

Garis Singgung Lingkaran.

A. Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran.

B. Melukis Garis Singgung Lingkaran

Langkah-langkah melukis garis singgung lingkaran:

a. Buat lingkaran dengan jari-jari OA, kemudian diperpanjang. b. Buat busur dengan pusat A, sehingga memotong di B dan C.

c. Buat busur dengan pusat B dan C dengan jari-jari tetap, sehingga saling berpotongan di D dan E.

d. Hubungkan D dan E, sehingga terbentuk garis singgung DE atau l

B. Melukis Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Titik di Luar Lingkaran. Perhatikan gambar disamping!.

a. OA = Jari-jari lingkaran A = Titik Singgung

l = Garis Singgung Lingkaran

b. Garis singgung suatu lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik.

c. Garis singgung suatu lingkaran tegak lurus dengan jari- jari lingkaran yang melalui titik singgungnya

Langkah –langkah melukis :

1) Buatlah lingkaran dengan pusat O dan titik A diluar lingkaran. 2) Hubungkan O dan A.

3) Lukislah busur lingkaran dengan pusat O dan A, sehingga berpotongsn di titik P dan Q.

4) Hubungkan titik P dan Q, sehingga memotong OA di R.

5) Lukislah lingkaran dengan pusat R dengan jari-jari OR, sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik B dan C.

6) Hubungkan titik A dengan B dan titik A dengan C, sehingga garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran.

D. Mengenal Kedudukan Dua Buah Lingkaran .

Lingkaran P berada didalam lingkaran Q dan tidak saling bersinggungan. Maka tidak mempunyai garis singgung persekutuan.

Lingkaran P bersinggungan dengan lingkaran Q. Sehingga mempunyai satu garis singgung persekutuan.

Lingkaran P saling berpotongan dengan lingkaran Q di dua titik persekutuan, sehingga mempunyai dua buah

Garis singgung (1) Garis singgung (2) Garis singgung (3)

E. Panjang Garis Singgung Lingkaran dar Suatu Titik di Luar Lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

Contoh :

F. Layang-Layang Garis Singgung. Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran P bersinggungan diluar dengan lingkaran Q, sehingga mempunyai tiga buah

garis singgung persekutuan.

Lingkaran P berada diluar lingkaran Q, sehingga mempunyai empat buah garis singgung persekutuan.

Menurut teorema Pythagoras: OA2_=OB2

+AB2 Atau

OA=

√

OB2 +AB2

Pada gambar disamping panjang OA =13 cm dan panjang jari-jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB!

Jawab:

OA2=OB2+AB2

⟺AB2 =OA2

−OB2 ⟺AB=

√

OA2−OB2

⟺AB=

√

132−52

⟺AB=

√

169−25

⟺AB=

√

144 ⟺AB=12

Jadi panjang garis singgung AB = 12 cm.

Luas OAPB = s ×r

Keliling OAPB = 2×(s+r) Panjang Tali Busur = 2× s × r_d

Keterangan :

s = panjang garis singgung r = jari-jari lingkaran

Contoh:

Sebuah layang-layang garis singgung luasnya 108 cm2_{, dengan jari-jari lingkaran 9 cm,} hitunglah :

a. panjang garis singgungnya. b. keliling layang-layang.

c. jarak titik pusat lingkaran dengan titik diluar lingkaran.

Jawab :

G. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran.

1. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd).

Keterangan :

sd = garis singgung persekutuan dalam

r₁ = jari-jari lingkaran 1 r₂ = jari-jari lingkaran 2

d = jarak antara kedua titik pusat lingkaran.

Contoh :

Perhatikan gambar dibawah ini !

a. L = s ×r 108 = s ×9 s = 108

9 s = 12 Jadi panjang garis singgungnya 12 cm

b. K = 2×(s+r) = 2×(12+9)

= 2×21 = 42

Jadi keliling layang-layang 42 cm.

c. d2

=s2_+r2 = 122

+92 = 144 + 81 = 225 d=

√

225

d = 15

Jadi jaraknya 15 cm

Perhatikan gambar disamping! Panjang garis singgung persekutuan dalamnya dirumuskan :

s_d2 =d2

2. Garis Singgung Persekutuan Luar (SL) .

Dari gambar berikut ini AB adalah garis singgung persekutuan luar (SL).

Untuk menghitung Garis Singgung Persekutuan Luar lingkaran digunakan rumus : S_L2=d2−

₍

r₂−r₁

)

2

S_L=

√

d2−

(

r₂−r₁

)

2

Contoh:

Jawab :

S_L=

√

OP2−(OB−AP)2 S_L=

√

402

−(34−10)2 S_L=

√

402−242 SL=

√

1600−576

SL=

√

1024

S_L=32

Jadi panjang garis singgung persekutuan luar = 32 cm.

H. Panjang Sabuk Minimal Lilitan

Contoh :

Bila AP = 4 cm, OB = 2 cm dan OP = 10 cm, hitunglah panjang AB!

Jawab :

s_d2=d2−

₍

r₁+r₂

₎

2 AB2=OP2−(AP+OB)2

Dari gambar disamping, bila : OB = 34 cm dan AP = 10 cm. Bila jarak kedua pusat lingkaran (OP) = 40 cm,hitunglah panjang garis sing -gung persekutuan luar (AB)!

Gambar disamping adalah penampang dari 2 buah pipa yang berbentuk tabung dengan jari-jari 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat 2 pipa tersebut!

AB2=102−(4+2)2 AB2

=102 −62 AB2=100−36 AB2=64 AB=

√

64=8

Jawab :

Jari – jari = r = 14 cm, π = 22

7

LATIHAN SOAL

1. Titik T terletak di luar lingkaran dengan pusat P dan berjari-jari 5 cm, sehingga PT= 13 cm.

a. Buat sketsa dari data tersebut.

b. Dengan teorema pythagoras hitung panjang garis singgung TA ( A titik singgung). 2. Panjang garis singgung MB ( M titik singgung) pada lingkaran dengan titik pusat N dan

jari-jari 6 cm adalah 10 cm. Hitunglah panjang NB! 3. Perhatikan gambar berikut:

4. Perhatikan gambar berikut:

Panjang tali minimal

= AB + CD + panjang busur AD + panjang busur BC = ( 2 × AB ) + Keliling lingkaran

= ( 2 × PQ ) + 2 π r

= 2×(14 + 14) + (2× 22

7 ×14)

= 2×28 + 88 = 56 + 88 = 144

Jadi panjang tali minimal untuk mengikat 2 pipa tersebut = 144 cm.

Diketahui jari-jari = 6 cm, dan ∠ATB=600 _. a. Hitung panjang PT

b. Hitung panjang TA

∠BAC=700 _{dan jari-jari lingkaran = 10 cm.} Hitung panjang busur DC!

5. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat P dan Q, dengan panjang jari-jari masing – masing 5 cm dan 3 cm.Jika jarak PQ adalah 17 cm.

a. Hitung panjang garis singgung persekutuan luarnya. b. Hitung panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

6. Diketahui dua buah lingkaran masing-masing dengan jari-jari 17 cm dan 25 cm,.panjang gais singgung persekutuan luarnya 15 cm. Hitung jarak antara kedua pusat lingkaran tersebut!

7. Dua buah roda jarak pusatnya 12 cm. Jari-jari roda yang besar 8 cm dan yang kecil 2 cm. Jika kedua roda itu diputar bersamaan dengan menggunakan tali (kelinden), berapa panjang tali maksimal diperlukan? ( hitung sampai cm terdekat, gunakan π=3,14 )

Ringkasan Materi

J. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga. 1. Lingkaran Dalam Segitga

Lingkaran Dalam Segitiga adalah : lingkaran yang menyinggung sisi-sisi segitiga dibagian dalam.

Pusat Lingkaran mempunyai jarak yang sama terhadap ketiga sisi segitiga, dan itu dapat diperoleh dari perpotongan garis-garis bagi segitiga.

Untuk menentukan Lingkaran Dalam Segitiga, caranya sebagai berikut:

a) Bagilah dua sudut ( misalnya ∠A dan∠B ) menjadi dua sama besar. b) Tentukan titik O yang merupakan titik potong kedua garis bagi.

c) Dari titik pusat O buatlah garis tegak lurus ( OD⊥AB ).

d) OD adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga ABCdengan O sebagai pusat lingkaran.

Dari lingkaran dalam segitiga dibawah ini:

Keliling = a + b + c 2s = a + b + c L = luas ∆ ABC

=

_√

s(s−a) (s−b) (s−c)

L ∆ ABC=L ∆ AOC+L ∆ AOB+L ∆ BOC =

(

1

2br

)

+

(

1 2cr

)

+

(

1 2ar

)

= 1₂r(a+b+c)

= 1 2r×2s = rs

Jadi panjang jari-jari lingkaran dalam adalah : r=L

s

2. Lingkaran Luar Segitiga.

Lingkaran Luar Segitiga adalah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Pusat lingkaran harus berjarak sama terhadap ketiga titik sudut segitiga, oleh karena itu dapat diperoleh dari perpotongan garis-garis sumbu segitiga.

Untuk menentukan Lingkaran Luar Segitiga, caranya sebagai berikut:

a) Bualah garis yang tegak lurus pada sisi PQ dan melalui pertengahan sisi PQ, misalkan garis itu adalah k..

b) Buatlah garis yang tegak lurus QR dan melalui pertengahan sisiQR, msalkan garis itu adalah m .

c) perpotongan k dan m adalah titik pusat lingkaran luar segitiga PQR yaitu titik O.

Perhatikan gambar berikut!

LATIHAN SOAL 1. Perhatikan gambar dibawah ini!

Diketahui luas ∆ ABC=210cm2

Panjang OE= 6 cm, AC=17 cm, dan BC=28 cm. Hitunglah :

a. Panjang AB b. Panjang CD

Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC adalah :

R=a bc 4L

2. Luas segitiga ABC = 6 cm, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dalamnya 1 cm. Panjang AB=3 cm dan BC= 4 cm. Hitunglah :

a. Panjang AC

b. Panjang jari-jari lingkaran luarnya.

3. Jika luas segitiga ABC sama dengan kelilingnya. Hitunglah jari-jari lingkaran dalan segitiga ABC!

4. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang BC= 9 cm dan AC= 12 cm. Jika ada sebuah lingkaran yang menyinggung tiap sisi segitiga ABC, hitunglah :

a. Panjang sisi AB b. Keliling segitiga ABC c. Jari-jari lingkaran itu. 5. Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang BC=8 cm dan AC= 15 cm. Agar titik

A, B, dan C terletak pada busur lingkaran, hitunglah panjang jari-jari lingkaran itu!

LATIHAN ULANGAN HARIAN A. Pilihlah satu jawaban yang benar!

1. Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 2 cm dan 10 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 15 cm. Jarak kedua titik pusat lingkaran adalah ....

a. 13 cm c. 23 cm

b. 17 cm d. 17 cm

2. Dua lingkaran berjari-jari 15 cm dan 9 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran tersebut adalah 16 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah ....

a. 32 cm c. 36 cm

3. Perbandingan jari-jari dua lingkaran adalah 1 : 2. Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 12 cm dan jarak antara kedua pusatnya 15 cm. Panjang jari-jari masingmasing lingkaran adalah ....

a. 2 cm dan 4 cm c. 4 cm dan 8 cm

b. 3 cm dan 6 cm d. 5 cm dan 10 cm

4. Diketahui dua lingkaran yang masing-masing berjari- jari r dan r + 1. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut adalah 3r. Jika jarak kedua titik pusat lingkaran adalah 15 cm maka panjang r adalah ....

a. 3 cm c. 5 cm

b. 4 cm d. 6 cm

5. Perhatikan gambar di samping! AB adalah garis singgung persekutuan luar. Diketahui AM = 16 cm, BN= 7cm dan MN = 41 cm. Panjang AB adalah …

A. 13,5 cm B. 27 cm C. 32 cm D. 40 cm

6. Luas segitiga ABC = 6 cm², sedangkan panjang jari-jari lingkaran dalamnya 1 cm. Panjang AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ...

A. 2,5 cm C. 6,5 cm

B. 5,5 cm D. 8,6 cm

7. Panjang garis singgung lingkaran berjari- jari 6 cm dari titik di luar lingkaran yang berjarak 10 cm dari pusat lingkaran adalah ....

a. 6,5 cm c. 7,5 cm

b. 7 cm d. 8 cm

8. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di O dibuat garis singgung PA. Jika panjang jari-jari 20 cm dan jarak AP = 21 cm maka panjang OP adalah ....

a. 23 cm c. 28 cm

b. 25 cm d. 29 cm

9. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 35 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah 21 cm. Panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah ....

a. 15,5 cm c. 17,5 cm

10. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah ....

a. 3 cm c. 5 cm

b. 4 cm d. 6 cm

B. Kerjakanlah soal-soal berikut!

1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 20 cm dan 10 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran itu 50 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dan garis singgung persekutuan dalamnya.

2. Dua lingkaran yang berpusat di P dan Q terpisah sejauh 25 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran tersebut 34 cm. Jika diketahui jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah 4 cm, hitunglah jari-jari lingkaran dengan pusat Q.

3. Perhatikan gambar berikut.

Panjang PQ = 24 cm, AB = 30 cm dan AP = 10 cm. Hitunglah perbandingan luas lingkaran yang ber pusat di A dengan luas lingkaran yang berpusat di B.

4. Lima buah pipa disusun seperti gambar berikut.

Jika diameter pipa itu 20 cm, berapakah panjang tali minimal untuk mengikat lima pipa itu.

5. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 15 cm maka tentukan

a. jarak kedua pusat lingkaran;

b. panjang garis singgung persekutuan dalamnya.

BAB II

BANGUN RUANG SISI DATAR

Materi Pokok :

Standar Kompetensi :

5. Memahami sifat-sifat kubus, balok , prismadanlimas serta bagian-bagiannya serta menentukan ukurannya.

Kompetensi Dasar :

5.1. Mengidentifikasi sifat-sifat kubus dan balok, prisma dan limasserta bagian-bagiannya.

5.2. Membuat jaring-jaring kubus dan balok.

5.3. Menghitung luas permukaan dan volum kubus dan balok.

Ringkasan Materi

KUBUS

A. Pengertian Kubus

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam buah sisi berbentuk persegi yang kongruen

Perhatikan gambar berikut!

B. Unsur-unsur Kubus 1. Titik Sudut

Titik sudut pada kubus adalah titik temu atau titik potong ketiga rusuk (titik pojok kubus).

Penamaan kubus disesuaikan dengan sisi alas dan sisi atas.Jika sisi alas kubus ABCD, dan sisi atas kubus EFGH maka kubus tersebut dinamakan kubusABCD.EFGH

2. Rusuk Kubus

Rusuk kubus merupakan garis potong antara sisi-sisi kubus. Penulisan atau penamaan rusuk menggunakan notasi dua huruf kapital.

3. Bidang / Sisi Kubus

Perhatikan gambar kubus dibawah ini!

Pada kubus ABCD.EFGH terdapat12 rusuk yang sama panjang yaitu : Rusuk Horisontal : AB, DC,GH, EF.

Rusuk Vertikal : AE, BF, CG, DH Rusuk Ortogonal : , FG, , EH, DA, CB.

Jika panjang rusuk kubus = S, maka jumlah panjang rusuk kubus = 12S Sudut disimbolkan dengan “∠ “

Pada kubus ABCD.EFGH terdapat 8 buah titik sudut yaitu :

∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠F, ∠G, ∠H

sisi kubus EFGH

4. Diagonal Sisi / Bidang

Diagonal sisi / bidang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus.

5. Diagonal Ruang

Diagonal ruang sebuah kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut berhadapan dalam dalam suatu ruang kubus.Diagonal ruang kubus berpotongan di tengah-tengah kubus.

Sebuah kubus memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yangkongruen

Bidang / sisi kubus adalah :

1. Sisi alas = ABCD 4. Sisi belakang = CDHG 2. Sisi atas = EFGH 5. Sisi kiri = ADHE 3. Sisi depan = ABFE 6. Sisi kanan = BCGF

a. Bidang BCGF mempunyai dua diagonal bidang, yaitu CF dan BG. b. Setiap bidang pada kubus mempunyai 2 diagonal bidang.

c. Sebuah kubus mempunyai 12 bidang diagonal.

b. Banyak diagonal ruang pada kubus 4 buah

c. BH, CE, DF, dan AG adalah diagonal ruang pada Kubus ABCD.EFGH. d. Kubus memiliki 6 buah bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang

yang kongruen.

e. Pada kubus ABCS EFGH, panjang diagonal ruang AG =

_√

AB2

+BC2_+CG2 atau AG =

_√

S2+S2+S2 =

_√

3S2 dimana S = panjang rusuk kubus.

E H

A D

B C G 6. Bidang Diagonal

Bidang diagonal kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Bidang diagonal kubus berbentuk persegi.

LATIHAN 1 1. Perhatikan gambar kubus ABCD EFGH di bawah ini

a. Sebutkan rusuk-rusuk yang bertemu di titik F b. Sebutkan rusuk-rusuk yang bertemu di titik H c. Sebutkan rusuk-rusuk yang sejajar dengan AD d. Sebutkan rusuk-rusuk yang sejajar dengan CD e. Sebutkan sisi-sisi yang melalui rusuk CD 2. Perhatikan gambar kubus PQRS TUVW disamping

a. Sebutkan tiga kelompok rusuk yang saling sejajar

a. Banyak bidang diagonal suatu kubus adalah 6 buah

b. ABGH, CDFE, BCHE, ADGF, BDHF dan ACGE adalah bidang diagonal kubus ABCD.EFGH.

b. Sebutkan tiga pasang sisi yang sejajar

c. Sebutkan rusuk-rusuk yang berpotongan di R d. Sebutkan sisi-sisi yang berpotongan di rusuk QR 3. Perhatikan gambar disamping

a. Hitunglah panjang rusuk AE b. Hitunglah panjang rusuk DC c. Hitunglah panjang rusuk EH

4. Perhatikan gambar kubus ABCD EFGH di samping

a. Banyak titik sudut ada buah. Yaitu titik A, B, , , , , , dan

b. Banyak rusuk ada buah. Yaitu AB, BC, CD, , , , , EH, AE, , , dan

c. Banyak sisi ada buah. Yaitu sisi ABCD, ABFE, , , , dan

5. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r satuan dibawah ini!

6. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r satuan dibawah ini! a. BG adalah diagonal sisi/diagonal bidang. tentukan

diagonal bidang yang lain!

Jawab : _____________________________________ b. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, hitunglah

panjang diagonal bidang BG!

Jawab :_____________________________________ _____________________________________ c. Bagaimana panjang setiap diagonal bidang Kubus?

Jawab : _____________________________________ E

H

A D

B C G F

5

cm

5 cm

E H

A D

B C G F

7. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r satuan dibawah ini!

C. Jaring-jaring Kubus 1. Jaring-jaring Kubus

Sebuah kubus apabila dipotong menurut rusuk-rusuknya kemudian tiap sisinya direntangkan akan menghasilkan jaring-jaring kubus.

Jaring-jaring kubus terdiri dari enam buah persegi kongruen yang saling berhubungan

2. Membuat Jaring-jaring Kubus

Apabila pada bagian tadi kita membuat jaring-jaring kubus dengan cara memotong kubus yang sudah jadi menurut rusuk-rusuknya, sekarang kita akan membuat jaring-jaring kubus.

Enam buah persegi yang kongruen kalau disusun belum tentu merupakan jaring-jaring kubus.

Susunan persegi tersebut merupakan jaring-jaring kubus apabila dilipat kembali keenam sisi kubus tepat tertutup oleh 6 buah persegi yang kongruen tersebut

Pilihlah jaring-jaring berikut manakah yang merupakan jaring-jaring kubus ? a. Sebutkan semua diagonal ruangnya!

Jawab : _______________________________________ b. Dengan memperhatikan ∆DBF, hitunglah panjang

diagonal ruang DF!

Jawab:________________________________________ ________________________________________

a. CDEF adalah bidang diagonal. Sebutkan bidang diagonal yang lain!

Jawab :

__________________________________ b. Berbentuk apakah CDEF?

Jawab :

__________________________________ c. Hitunglah luas bidang CDEF!

Jawab :

(a) (b) (c) (d) LATIHAN 2

1. Diantara gambar berikut, manakah yang merupakan jaring-jaring kubus?

2. Perhatikan jaring-jaring kubus dibawah ini !

3. Gambarlah jaring-jaring kubus dengn panjang rusuknya 4 cm satuan menurut seleramu pada kertas berpetak!

D. Luas Permukaan Kubus 1. Luas Permukaan Kubus

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk s satuan

L=s2

Luas BCGF = s x s = s2

Luas Permukaan Kubus ABCD.EFGH

Jika nomor 3 sebagai alas kubus, nomor berapakah yng menjadi tutup kubus?

= 6 x Luas BCGF = 6.s2

Luas Permukaan Kubus dengan panjang sisi s satuan adalah 6.s2_{satuan luas}

Contoh Soal

1. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 9 cm. Tentukan luas permukaan kubus tersebut!

Jawab :

Panjang rusuk = s = 9 cm

Luas permukaan kubus = L = 6s2 = 6 x 92 = 6 x 81 = 486

Jadi luas permukaan kubus adalah 486 cm2

2. Sebuah kubus panjang rusuknya 4 cm. Tentukanlah jumlah panjang sebuah batang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka kubus itu!

Jawab :

J = 12 x s = 12 x 4 cm = 48 cm E. Volum Kubus

Kubus ABCD dengan panjang rusuk s satuan

Luas Alas ABCD = sisi x sisi = s x s

= s2

Volum Kubus = Luas Alas ABCD x tinggi = s2 x s

= s3

Volum Kubus dengan panjang sisi s satuan adalah s3 _{satuan volum.}

Contoh Soal

1. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 8 cm. Tentukan volume kubus tersebut! Jawab :

Panjang rusuk = s = 8 cm Volume kubus = V = s3

= 83 = 512

Jadi, volume kubus adalah 512 cm3

2. Luas permukaan kubus adalah 2.166 cm2_{. Hitunglah volume kubus!} Jawab :

TT WW

PP SS

QQ RR VV UU

2.166 = 6 x 22 _{↔ 6 . s}2 _{= 2166} s2 _{= 361}

s = 19

Volume kubus = s3 = 193 = 6.859

Jadi, volume kubus adalah 6.859 cm3

LATIHAN 3 A. Pilih jawaban yang paling tepat

1. Keliling alas sebuah kubus 20 cm. Luas permukaan kubus tersebut adalah … A. 150 cm2

B. 200 cm2 C. 400 cm2 D. 500 cm2

2. Luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 7 cm adalah …. A. 196 cm2

B. 245 cm2 C. 294 cm2 D. 343 cm2

3. Luas permukaan sebuah kubus 1.176 cm2_{. Volume kubus tersebut adalah …} A. 1.984 cm3

B. 2.154 cm3 C. 2.554 cm3 D. 2.744 cm3

4. Doni mempunyai kawat sepanjang 182 cm. Jika ia akan membuat sebuah kerangka kubus dengan panjang setiap rusuk 14,5 cm, panjang kawat yang tersisa adalah …. A. 8 cm

B. 9,5 cm C. 11 cm D. 12,5 cm

5. Panjang setiap rusuk kubus 12 cm. Jumlah luas seluruh bidang diagonal kubus tersebut adalah ….

A. 742

_√

2 cm2 B. 746

√

3 cm2 C. 864

_√

2 cm2 D. 942

√

2 cm2

6. Diketahui kubus PQRS, TUVW dengan panjang diagonal ruangnya 8

_√

3 cm. Luas dan volume kubus tersebut berturut-turut adalah ….

A. 512 cm2 _{dan 384 cm}3

B. 1536 cm2 _{dan 2.048}

_√

_{2 cm}3 C. 384

√

2 cm2 _{dan 512}

_√

_{2 cm}3

D. 384 cm2 _{dan 512 cm}3

7. Kerangka sebuah kubus dibuat dari sebatang kawat yang panjangnya 180 cm. Luas karton yang diperlukan untuk menutup kerangka kubus tersebut adalah ….

A. 1.350 cm2 B. 900 cm2 C. 225 cm2 D. 90 cm2

B. Kerjakan soal-soal berikut secara lengkap

1. Sebuah kubus mempunyai ukuran panjang rusuk 10 cm. Hitunglah luas permukaan kubus tersebut

2. Gambar disamping adalah kubus yang terbuat dari karton. Hitunglah : a. Luas alas kubus

b. Luas permukaan kubus

c. Luas permukaan kubus tanpa tutup atas

3. Sepotong kayu berbentuk kubus. Panjang rusuknya 5,2 cm. Jika kayu tersebut ingin dicat, berapa luas permukaan kayu yang dicat?

4. Tentukan luas sisi kubus jika jumlah panjang rusuk kubus :

a. 216 cm d. 156 cm

b. 96 cm e. 538 cm

c. 396 cm

ULANGAN HARIAN

A. Berilah tanda silang (x) pada huruf A, B, C atau D di depan jawaban yang benar! 1. Pernyataan dibawah ini yang benar adalah ….

A. banyak rusuk kubus ada 8 B. banyak sisi kubus ada 6 C. banyak titik sudut ada 12

D. banyak diagonal sisi kubus ada 8

2. Jika jumlah panjang rusuk sebuah kubus 216 cm, panjang setiap rusuk kubus adalah ….

A. 12 cm B. 14 cm C. 16 cm D. 18 cm

3. Sebuah kubus dibatasi oleh 6 bidang sisi berbentuk …. A. persegi panjang

15 cm 15 cm

15

c

B. belah ketupat C. jajaran genjang D. bujur sangkar

4. Pernyataan dibawah ini benar untuk sebuah kubus, kecuali …. A. mempunyai 12 buah bidang sisi

B. mempunyai 4 buah diagonal ruang C. mempunyai 12 buah rusuk

D. mempunyai 8 buah titik sudut

5. Diantara rangkaian bujur sangkar berikut ini yang merupakan jarring-jaring kubus adalah ….

A. C.

B. D.

6. Sebuah rusuk kerangka kubus panjangnya 20 cm, maka panjang semua rusuk kerangka kubus tersebut adalah ….

A. 120 cm B. 240 cm C. 360 cm D. 480 cm

7. Banyaknya diagonal pada bidang sisi vertikal sebuah kubus adalah …. A. 2

B. 4 C. 6 D. 8

8. Banyaknya diagonal ruang kubus adalah …. A. 3

B. 4 C. 6 D. 8

9. Banyaknya bidang diagonal sebuah kubus adalah …. A. 4

B. 6 C. 8 D. 12

10. Bangun dari bidang diagonal kubus adalah …. A. jajaran genjang

B. bujur sangkar C. persegi panjang D. belah ketupat

11. Luas seluruh bidang sisi sebuah kubus 96 cm2_{. Volume kubus tersebut adalah ….} A. 64 cm3

B. 48 cm3 C. 36 cm3 D. 16 cm3

12. Volume sebuah kubus adalah 125 cm3_{. Panjang kayu yang diperlukan untuk membuat} kerangka kubus tersebut adalah ….

A. 5 cm B. 10 cm C. 30 cm D. 60 cm

13. Jika jumlah panjang seluruh diagonal ruang suatu kubus 48

√

3 , panjang setiap rusuk kubus adalah ….

A. 10 cm B. 12 cm C. 14 cm D. 16 cm

14. Dua buah kubus mempunyai rusuk masing-masing 18 cm : 36 cm. Perbandingan volume kedua kubus berturut-turut adalah ….

A. 1 : 8 B. 8 : 1 C. 1 : 2 D. 2 : 1

15. Luas permukaan kubus yang panjang rusuknya 10 cm adalah …. A. 60 cm2

B. 120 cm2 C. 400 cm2 D. 600 cm2

16. Volume kubus yang luas permukaannya 150 cm2 _{adalah ….} A. 100 cm3

B. 25 cm3 C. 30 cm3 D. 125 cm3

17. Panjang rusuk dua buah kubus masing-masing 3 cm dan 9 cm. perbandingan volume kedua kubus tersebut adalah ….

A. 1 : 3 B. 1 : 6 C. 1 : 9 D. 1 : 27

18. Dari gambar berikut, pasangan rusuk yang bersilangan adalah …. A. AD dan BC

B. BF dan DH C. AB dan CE D. HE dan EH

19. Pada sebuah kubus ABCD EFGH, garis-garis yang sejajar dengan garis FG adalah ….

B. EH, DC dan BC C. DH, EA dan AD D. EH, AB dan DC

20. Dari gambar jarring-jaring kubus berikut ini, jika C merupakan alas kubus, maka yang menjadi tutup kubus adalah sisi …

A. E B. A C. F D. D

B. KERJAKAN SOAL – SOAL DI BAWAH DENGAN TEPAT!

1. a) Sebutkan garis – garis yang sejajar dengan garis AD b) Sebutkan garis – garis yang sejajar dengan garis EA c) Sebutkan garis – garis yang sejajar dengan garis AB

2. Sebuah kubus mempunyai panjang diagonal sisi 8 cm. Hitunglah : a. panjang rusuk

b. panjang diagonal ruang

3. Buatlah sebuah kubus dengan rusuk yang panjangnya 6 cm. kemudian tentukanlah : a. Jumlah panjang seluruh rusuk kubus itu!

b. Jumlah luas seluruh bidang sisi kubus itu! c. Volume kubus itu!

4. Model suatu kubus dibuat dari lidi yang panjangnya 36 cm. hitunglah : a. Panjang tiap-tiap rusuk kubus itu! b. Luas seluruh bidang sisi kubus itu! c. Volume kubus itu!

5. Luas bidang sisi sebuah kubus adalah 25 cm2_{. Tentukanlah :} a. Panjang rusuk kubus itu

b. Jumlah panjang rusuk kubus itu c. Jumlah panjang seluruh sisi kubus d. Volume kubus itu

6. Jumlah luas seluruh bidang sisi sebuah kubus 54 cm2_{. Tentukanlah :} a. Panjang rusuk kubus itu!

b. Jumlah panjang rusuk kubus tersebut! c. Volume kubus tersebut

7. Volume sebuah kubus adalah 1.000 cm3_{. Tentukanlah :} a. Panjang rusuk kubus itu!

b. Jumlah panjang rusuk kubus tersebut! c. Jumlah panjang seluruh sisi kubus tersebut!

8. Tentukanlah jumlah panjang rusuk sebuah kubus yang volumenya 0,125 liter

9. Akuarium milik Santi berbentuk kubus berisi air sebanyak 245.000 cm3_{. Jika air tersebut} memenuhi 5

7 bagian akuarium, tentukan : a. Tinggi akuarium

A B C

F D

b. Tinggi air dalam akuarium

10. Sebuah kubus dengan panjang setiap rusuknya 8 cm. jika rusuknya diperpanjang menjadi tiga kali semula, tentukan :

a. Volume kubus semula b. Volume kubus baru

c. Perbandingan volume kubus semula dan volume kubus baru!

Ringkasan Materi

BALOK

A. DEFINISI BALOK

Balok adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh 6 persegi panjang , di mana setiap sisi persegipanjang berimpit dengan tepat satu sisi persegipanjang yang lain dan

persegipanjang yang sehadap adalah kongruen.

B. UNSUR-UNSUR BALOK

Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar diatas!

Unsur-unsur balok adalah :

a. Mempunyai 8 titik sudut yaitu : A, B, C,D, E, F, G, H

b. Mempunyai 12 rusuk yaitu :

 Rusuk horizontal : AB, DC, EF, danHG

 Rusuk Vertikal : AE, BF, CG, dan , DH

 Rusuk Ortogonal : AD, BC, FG, dan EH

c. Mempunyai 6 buah sisi yang berbentuk persegipanjang, yaitu :ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, BCGF, dan ADHE.

E H A D B C G F O R K N L M Q P T W P S Q R V

UF 4 c

m

3 cm 5 cm

d. Mempunyai 12 buah bidang diagonal, yaitu : AF, BF, BG, CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan HF.

e. Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu : AG, BH, CE dan DF

f. Mempunyai 6 buah bidang diagonal ,yaitu : BCHE, ADGF, ABGH, CDEF, BDHF, dan ACGE.

g. Pada balok ABCD EFGH, panjang diagonal ruang AG =

_√

AB2

+BC2_+CG2 _atau AG =

_√

p2+l2+t2

LATIHAN 4 A. Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Perhatikan balok ABCD.EFGH dibawah ini :

a. Sebutkan 3 pasang sisi-sisi yang kongruen

b. Sebutkan rusuk-rusuk yang sejajar dengan AB

c. Sebutkan rusuk-rusuk yang berpotongan di titik C

d. Sebutkan rusuk-rusuk tegak pada balok ABCD.EFGH

2. KLMN.OPQR adalah balok

a. Sebutkan sisi-sisi balok yang melalui rusuk KL

b. Sebutkan sisi-sisi balok yang melalui rusuk KO

c. Sebutkan semua sisi yang melalui titik N

d. Sebutkan semua sisi yang melalui titik N

e. Sebutkan semua sisi yang melalui titik P

3. Perhatikan gambar balok PQRS.TUVW dibawah ini :

Sebutkan rusuk-rusuk yang panjangnya 5 cm

a. Sebutkan rusuk-rusuk yang panjangnya 4 cm

b. Sebutkan rusuk-rusuk yang panjangnya 3 cm

4. Gambarlah suatu balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 12 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Kemudian tentukan :

a. Panjang diagonal bidang AH

b. Luas bidang diagonal ABGH

c. Panjang diagonal ruang AG

5. Diketahui sebuah balok dengan ukuran panjang 12 cm, lebar 8 cm dan tinggi 6 cm. Tentukan panjang seluruh balok!

B. Pilihlah jawaban yang paling tepat! 1. Banyak sisi balok adalah ....

A. 4 C. 8

B. 6 D. 12

2. Banyaknya rusuk pada sebuah balok adalah ....

A. 10 C. 12

B. 11 D. 13

3. Perhatikan gambar balok dibawah ini!

E H

C G

F

T

H

P

S

Q M V U

Panjang diagonal ruang AG adalah ....

A. 26 cm C. 32 cm

B. 30 cm D. 38 cm

4. Perhatikan gambar dibawah ini! Daerah yang diarsir merupakan ....

A. Diagonal sisi C. bidang sisi

B. Diagonal ruang D. bidang diagonal

5. Banyak diagonal ruang pada sebuah balok ada ....

A. 4 C. 8

B. 6 D. 12

6. Berdasarkan balok dibawah yang menunjukkan diagonal ruang adalah ....

A. HF C. AC

B. EC D. BG

7. Dari sebuah kawat yang panjangnya 1,4 m akan dibuat kerangka sebuah balok yang alasnya berbentuk persegi. Jika tingginya 9 cm, maka panjang rusuk alasnya adalah…

A. 10 cm C. 12 cm

A

D

B

6 cm

8 cm

E

H

A

D

B C G F

C

A B

D

E _F

G H

A B

C D

H G

F G H

E

H G

E F

Jaring-jaring balok Balok ABCD.EFGH

B. 11 cm D. 13 cm

8. Panjang, lebar dan tinggi sebuah balok berbanding 5 : 4 : 3. Jika jumlah panjang rusuk balok tersebut 240 cm, tinggi balok adalah ....

A. 15 cm C. 25 cm

B. 20 cm D. 30 cm

C. JARING-JARING BALOK

Sebuah balok apabila dipotong menurut rusuk-rusuknya kemudian tiap sisinya direntangkan akan membentuk jaring-jaring balok.

Apabila pada bagian tadi kita membuat jaring-jaring balok dengan cara memotong balok yang sudah jadi menurut rusuk-rusuknya, sekarang kita membuat jaring-jaring balok. Enam buah persegipanjang yang terdiri dari 3 pasang persegipanjang yang kongruen kalau disusun belum tentu merupakan jaring-jaring balok. Susunan persegipanjang tersebut merupakan jaring-jaring balok apabila dilipat kembali membentuk sebuah balok.

LATIHAN 5

1. Dari rangkaian daerah persegipanjang berikut manakah yang merupakan jarring-jaring balok.

2. Pada Kotak di bawah, gambarlah balok KLMN.OPQR. dan jaring-jaringnya, serta berilah nama untuk setiap titik sudutnya, jika balok itu diiris sepanjang rusuk-rusuk : PO, OK, PQ, QR, RN, QL, dan QM

D. LUAS PERMUKAAN BALOK Perhatikan gambar balok !

Luas permukaan balok :

L = sisi ABCD+sisi EFGH+sisi ABFE+sisiDCGH+sisiBCGF+sisiADHE L = p×l + p×l + p×t + p×t + l×t + l×t

L = 2(p×l) + 2 (p×t) + 2 (l×t) L = 2 (p×l + p×t + l×t )

CONTOH SOAL :

Sebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 10 cm, dan tinggi 6 cm. Tentukan luas permukaan balok tersebut!

Jawab :

Panjang = p = 12 cm, lebar = l = 10 cm dan tinggi 6 cm. Luas permukaan balok = L = 2(pl + pt + lt)

= 2 x ((12 x 10) + (12 x 6) + (10 x 6)) = 2 x (120 + 72 + 60)

= 2 x 252 = 504

Jadi, luas permukaan balok adalah 504 cm2

E. VOLUME BALOK

Perhatikan balok ABCD.EFGH !

Luas Alas ABCD = AB x BC = p x l

Volum balok = Luas Alas ABCD x tinggi = p x l x t

CONTOH SOAL :

1. Sebuah balok memiliki panjang 14 cm, lebar 12 cm dan tinggi 7 cm. Tentukan volume balok tersebut!

Jawab :

Panjang = p = 14 cm, lebar = l = 12 cm, dan tinggi = t = 7 cm Volume balok = V = p x l x t

= 14 x 12 x 7 = 1.176 Jadi, volume balok adalah 1.176 cm3

2. Sebuah bak mandi berbentuk balok mempunyai panjang 150 cm, lebar 50 cm dan tinggi 70 cm. Berapa literkah air yang dapat ditampung oleh bak mandi?

Jawab :

Volume balok = panjang x lebar x tinggi V = p x l x t

= 150 x 50 x 70 = 525.000 cm3 = 525 liter

Jadi, air yang dapat ditampung oleh bak mandi adalah 525 liter

LATIHAN 6 Jadi Volum Balok = p x l x t

E H A D B C G F E H A D B C G F

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat!

1. Luas sisi balok adalah 880 cm2_{. Jika panjang balok 20 cm dan tinggi 8 cm maka} hitunglah :

a. Lebar balok b. Volume balok

2. Perbandingan p : l : t sebuah balok adalah 5 : 4 : 3. Jika panjang balok 40 cm, hitunglah :

a. Lebar dan tinggi balok b. Volume balok

3. Sebuah balok dengan volume 1.200 cm3 _{dan memiliki panjang 30 cm. Jika lebar balok} tersebut 10 cm, hitunglah :

a. Tinggi balok b. Luas sisi balok

4. Tentukanlah tinggi balok jika luas sisinya 240 cm2_{, panjang 10 cm dan lebarnya 6 cm!} 5. Sebuah balok jumlah panjang rusuknya 140 cm. Jika panjang 20 cm, lebar 10 cm,

hitunglah luas sisi balok tersebut!

6. Sebuah balok p : l : t = 5 : 4 : 3. Jika panjang diagonal ruang balok

√

200 cm, hitunglah luas sisi balok!

7. Sebuah balok luas sisinya 700 cm2_{, jika p : l : t = 4 : 2 : 1, tentukanlah :} a. Ukuran panjang, lebar dan tinggi

b. Jumlah panjang rusuknya

8. Luas sisi balok adalah 600 cm2_{, 300 cm}2 _{dan 400 cm}2_{. Jika perbandingan p : l : t = 4 :} 3 : 2. Tentukanlah :

a. Panjang, lebar dan tinggi b. Jumlah panjang rusuk

9. Sebuah balok memiliki jumlah panjang rusuk 80 cm. Jika p : l : t = 5 : 4 : 1, tentukanlah :

A. Panjang, lebar dan tinggi balok B. Luas sisi balok

10. Sebuah balok panjang diagonal sisinya adalah 10 cm,

√

136 cm dan

√

164 cm. Jika panjang balok tersebut 10 cm, hitunglah :

a. Lebar dan tinggi balok b. Volume balok

11. Perhatikan gambar balok dibawah dan lengkapilah tabel berikut!

No AB BC CG Luas sisi

1 2 3 4 12 cm 29 cm 10 cm ... 10 cm 22 m ... 10 8 cm .... 4 cm 8 cm .... 3418 cm2

220 cm2 760 cm2

E

H

A

D

B C G F

12. Disediakan kawat sepanjang 104 cm. Kawat tersebut akan dibuat sebuah kerangka balok. Jika panjang dan lebar kerangka balok masing-masing 12 cm dan 8 cm serta kawat tidak bersisa, tentukan tinggi kerangka balok!

13. Diketahui suatu balok mempunyai volume 1.600 cm3_{. Panjang balok adalah dua kali} lebarnya. Jika tinggi balok 8 cm, tentukan panjang dan lebarnya.

14. Sebuah balok mempunyai perbandingan yaitu panjang : lebar : tinggi = 4 : 2 : 1. Jumlah panjang seluruh rusuknya adalah 84 cm. Hitunglah volume balok tersebut! 15. Diketahui balok mempunyai ukuran panjang 6 cm, lebar 5 cm dan tinggi 3 cm. Jika

panjang diperbesar 3 kali, lebar 2 kali dan tinggi 2 kali, tentukan : a. Volume mula-mula

b. Volume setelah ukuran-ukurannya mengalami perubahan c. Perbandingan volume akhir dengan volume mula-mula

16. Sebuah kolam renang panjangnya 24 m, dan lebarnya 16 m. Kedalaman kolam tersebut adalah 2 m. Alas dan sisi-sisinya akan dipasang keramik.

a. Jika biaya pemasangan keramik untuk setiap meter persegi Rp. 15.000,00, berapa rupiah biaya yang harus dikeluarkan untuk pemasangan keramik tersebut?

b. Berapa volume air dalam kolam renang bila airnya memenuhi kolam?

ULANGAN HARIAN

A. PILIHLAH SATU JAWABAN YANG PALING TEPAT! 1. Pernyataan berikut tentang balok benar, kecuali ....

a. termasuk prisma

b. prisma tegak segiempat

c. mempunyai 3 pasang sisi yang kongruen

d. mempunyai 4 buah diagonal ruang yang sama panjang

2. Balok adalah bangun ruang yang rusuknya dapat dikelompokkan menjadi … kelompok

a. 6 c. 4

b. 5 d. 3

3. Dari soal nomor 2 dapat dibuat bidang diagonal sebanyak … buah.

a. 6 c. 4

b. 5 d. 3

4. Sebuah balok memiliki diagonal ruang sebanyak … buah.

a. 4 c. 2

b. 3 d. 1

5. Balok dengan ukuran 15 cm x 8 cm x 12 cm. Luas permukaan balok tersebut adalah … cm2

a. 792 c. 1440

b. 1188 d. 1584

6. Gambar dibawah ini adalah balok ABCD.EFGH dan bidang diagonal BCHE. Bidang diagonal lain yang kongruen dengan BCHE adalah ….

a. ABGH c. CDEF

b. AFGD d. ACGE

7. Balok ABCD.EFGH dengan ABCD sebagai alas mempunyai ukuran panjang 6 cm, lebar 3 cm, dan tinggi 4 cm. Luas bidang diagonal ABGH adalah … cm2

a. 28 c. 36

b. 30 d. 49

8. Luas permukaan balok 468 cm2_{. Perbandingan panjang : lebar : tinggi = 4 : 3 : 2. Volume} balok tersebut adalah … cm3

a. 192 c. 648

b. 432 d. 720

9. Dibawah ini adalah rancangan balok yang mempunyai luas permukaan 496 cm2 _dan volume 576 cm3_{. Rancangan yang benar adalah ….}

a. p = 12 cm, l = 8 cm, t = 6 cm b. p = 16 cm, l = 6 cm, t = 6 cm c. p = 24 cm, l = 6 cm, t = 4 cm d. p = 18 cm, l = 8 cm, t = 4 cm

10. Akuarium berbentuk balok berukuran 80 cm x 40 cm x 60 cm, tiap tepi kaca direkatkan dengan lis aluminium. Panjang lis aluminium yang terpasang adalah ….

a. 1,8 m c. 5,4 m

b. 3,6 m d. 7,2 m

11. Jumlah panjang rusuk sebuah balok adalah 154 cm. Jika balok itu berukuran panjang 18 cm dan lebar 12 cm, tinggi balok itu adalah ….

a. 7 cm c. 10 cm

b. 8,5 cm d. 11,5 cm

12. Kawat sepanjang 10 m akan dibuat model kerangka balok yang berukuran 5 cm x 4 cm x 3 cm. Banyak model kerangka balok yang dapat dibuat adalah ….

a. 16 c. 20

b. 17 d. 21

13. Kawat yang panjangnya 1,5 m akan dgunakan untuk membuat dua model kerangka balok dengan ukuran 7 cm x 3 cm x 5 cm. Panjang sisa kawat adalah ….

a. 30 cm c. 79 cm

b. 45 cm d. 90 cm

14. Untuk membuat kerangka sebuah balok disediakan kawat dengan panjang 2,5 m. Jika kerangka balok itu berukuran 24 cm x 16 cm x 8 cm, sisa kawat yang tidak terpakai adalah ....

a. 48 cm c. 58 cm

b. 54 cm d. 62 cm

15. Tersedia kawat sepanjang 4,35 m. Kawat itu akan dibuat kerangka balok dengan ukuran 18 cm x 12 cm x 6 cm. Banyak kerangka balok yang dapat dibuat adalah ....

a. 3 c. 5

b. 4 d. 6

16. Dari sebuah kawat yang panjangnya 140 cm akan dibuat sebuah balok yang berukuran (5x – 4) cm, 2x cm, dan 3x cm. Ukuran balok tersebut adalah ....

E

H

A

D

B C G F

b. 19 cm x 11 cm x 15 cm d. 16 cm x 8 cm x 12 cm 17. Gambar-gambar berikut ini merupakan jaring-jaring, kecuali ....

a. c.

b. d.

18. Pada gambar balok berikut, salah satu rusuk yang sejajar dengan rusuk EH adalah ....

a. DC c. BC

b. EF d. AE

19. Luas permukaan balok berukuran 4 cm x 5 cm x 8 cm adalah ....

a. 63 cm2 _{c. 160 cm}2

b. 102 cm2 _{d. 184 cm}2

20. Volume balok dengan panjang 10 cm, lebar 6 cm dan tinggi 5 cm adalah ....

a. 84 cm3 _{c. 280 cm}3

b. 125 cm3 _{d. 300 cm}3

B. KERJAKAN SOAL – SOAL DI BAWAH INI DENGAN TEPAT !

1. Berapakah panjang kawat yang diperlukan untuk membuat model kerangka sebuah balok berukuran : panjang = 15 cm, lebar = 12 cm dan tingginya = 10 cm?

2. Berapakah luas seluruh permukaan balok yang memiliki panjang 15 cm, lebar 10 cm dan tingginya 5 cm?

3. Sebuah balok yang panjangnya 4 cm, lebarnya 3 cm dan tebalnya 2 cm. Tentukanlah : a. Jumlah panjang seluruh rusuk-rusuknya

b. Jumlah luas seluruh bidang sisi balok itu

4. Sebuah kotak berukuran 6 cm x 5 cm x 4 cm. Berapakah volumenya?

5. Berapakah volume ruangan yang panjangnya 5 meter, lebarnya 4 meter dan tingginya 3 meter?

6. Isi sebuah balok 480 cm3_{. Jika panjangnya 20 cm dan lebarnya 12 cm, hitunglah} tebalnya!

7. Sebuah balok yang panjangnya 30 cm, lebarnya 20 cm, dan tebalnya 3 cm. Tentukanlah : a. Jumlah panjang rusuk-rusuknya!

b. Jumlah luas seluruh permukaan balok! c. Volume balok!

8. Sebuah kotak berbentuk balok volumenya 3.000 cm3_{. Bila panjangnya = 20 cm, tebalnya} = 10 cm

Tentukanlah : a. Lebar balok!

b. Jumlah panjang seluruh rusuk balok! c. Jumlah luas seluruh permukaan balok!

9. Perbandingan panjang, lebar dan tinggi balok adalah 3 : 2 : 1, jika luas permukaan balok 1100 cm2_{, hitunglah :}

a. panjang, lebar dan tingginya b. volum balok

c. Keliling balok

10.Sebuah balok ABCD.EFGH diketahui AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 24 cm, a. Gambarlah sketsa balok tersebut

b. Tentukan panjang HB c. Tentukan Luas balok 11. Perhatikan gambar di atas

Hitunglah :

a.Panjang diagonal AF

b. Luas bidang diagonal AFGD c. Luas seluruh permukaan balok

12. Sebuah kolam berbentuk balok dengan alas berukuran 10 cm x 5 cm, berisi air 400 m3_, Jika volum air : volum balok = 2 : 3, hitunglah tinggi balok tersebut.

C. PRISMA

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang sejajar yang kongruen dan

beberapa bidang lain yang berpotongan menurut rusuk yang sejajar.

Gambar disamping adalah merupakan Prisma Segitiga, alas dan tutupnya merupakan sebuah segitiga, yaitu segitiga ABC dan segitiga DEF

Prisma ABC.DEF mempunyai tiga buah sisi tegak yang berbentuk persegi panjang, yaitu : 1. Persegi panjang ABED

2. Persegi panjang BCFE 3. Persegi panjang ACFD

Serta mempunyai bidang sisi atas DEF dan bidang sisi bawah ABC saling sejajar dan kongruen.

1. Luas Permukaan Prisma

t

r

q

p

Luas permukaan prisma tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

L = 2

×

Luas segitiga ABC + Luas sisi tegak

2. Volum Prisma

Volum prisma tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : V = tinggi prisma × luas alas

Atau

V = tinggi prisma x luas segitiga ABC

V = t

×

√s(s-p)(s-q)(s-r)

Contoh Soal

L = 2

×

√s(s-p)(s-q)(s-r) + t

×

(p+q+r)

Perhatikan gambar disamping!

Prisma ABC.DEF dengan sisi alasnya merupakan segitiga yang panjang sisi-sisinya secara berturut-turut : p, q, r, dan tingginya adalah t.

Perhatikan gambar disamping!

Prisma ABC.DEF dengan sisi alasnya merupakan segitiga yang panjang sisi-sisinya secara berturut-turut : p, q, r, dan tingginya adalah t.

1. Sebuah prisma segitiga mempunyai alas berbentuk segitiga sama sisi yang panjang sisinya 6 cm dan tingginya 10 cm.

a. Hitunglah luas sisi alasnya b. Luas selimut

c. Luas permukaan prisma

Penyelesaian

a. Karena sisi alas berbentuk segitiga sama sisi, tinggi segitiga sama sisi tersebut yaitu : t2 _{= 6}2 _{– 3}2

t2 _{= 36 – 9} t2 _{= 27}

t =

√

27

=

√

9

x

√

3

=

3

√

3

Luas segitiga sama sisi =

6

x

3

√

3

2

=

18

√

3

2

_{= 9}

√

3

Jadi, luas sisi alas adalah 9

√

3

cm2 b. Luas selimut = keliling alas x tinggi

= (6 + 6 + 6) x 10 = 18 x 10

= 180

Jadi, luas selimut prisma tersebut adalah 180 cm2

c. Luas permukaan prisma = 2 x luas alas + luas selimut = 2 x 9

√

3

+ 180

= 18

√

3

+ 180 = (18

√

3

+ 180) = 18 (

√

3

+ 10)

Jadi, luas permukaan prisma adalah 18 (

√

3

+ 10) cm2

2. Sebuah prisma tegak alasnya berbentuk belah ketupat dengan keliling 60 cm dan panjang salah satu diagonalnya 24 cm. Jika volume prisma itu 9.072 cm3_{, hitunglah tinggi prisma} tersebut.

Penyelesaian

Keliling alas = 60 cm Diagonal 1 (d1) = 24 cm Volume = 9072 cm3

Panjang sisi belah ketupat = 60

Panjang diagonal 2 (d2) = 2 x

√

15

2

−

12

2 = 2 x

√

225

−

144

= 2 x

√

81

= 2 x 9 = 18

Luas alas =

d₁xd₂ 2 ₌

24x18 2 =216 V = La x t

9072 = 216 x t

t = 9072 216 =42

Jadi, tinggi prisma adalah 42 cm

Latihan Soal

I. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 7 cm dan 12 cm, jika tinggi prisma 36 cm, volum prisma... cm3

a. 1512 c. 2415

b. 2242 d. 3024

2. Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang sisi 13 cm, dan panjang salah satu diagonalnya 10 cm, jika tinggi prisma itu 15 cm, maka volumenya, .... cm3

a. 600 c. 1800

b. 900 d. 3600

3. Sebuah prisma tegak yang alasnya berbentuk segitiga siku dengan panjang sisi siku-siku 6 cm dan sisi miring 10 cm serta tinggi prisma 12 cm.

Luas permukaan prisma adalah … cm2_.

a. 436 c. 236

b. 336 d. 136

4. Suatu prisma yang alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan hypotenuse 25 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 7 cm. Jika tinggi prisma 22 cm, maka luas permukaan prisma itu adalah … cm2_.

a. 1400 c. 930

b. 1272 d. 846

5. Alas sebuah prisma segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya 20 cm dan 21 cm. Jika tinggi prisma 30 cm, maka luas sisi prisma adalah … cm2_.

a. 2.310 c. 2.940

b. 2.520 d. 12.600

6. Suatu prisma dengan alas berbentuk segitiga dengan panjang 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Jika luas prisma 60 cm2_{, maka tinggi prisma adalah … cm.}

b. 3 d. 5

7. Sebuah prisma tegak segitiga dengan alas segitiga sama kaki yang sisi-sisinya 13 cm, 13 cm dan 10 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, maka volum prisma …. Cm3_.

a. 900 c. 1.800

b. 975 d. 1.950

8. Suatu prisma tegak segitiga siku-siku degan panjang sisi siku-sikunya 7 cm dan 12 cm. Jika tinggi prisma 36 cm, maka volum prisma adalah … cm3

a. 1.512 c. 2.415

b. 2.242 d. 3.024

9. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 5 cm, 12 cm dan 13 cm. Jika volum prisma 270 cm3_{, maka tingginya adalah … cm}

a. 13 c. 15

b. 13,5 d. 27

10. Jika diketahui luas alas suatu prisma 45 cm2 _{dan volum prisma 540 cm}3_{, maka tinggi} prisma adalah … cm

a. 5 c. 12

b. 9 d. 16

II. Selesaikan soal – soal berikut dengan lengkap!

1. Alas sebuah prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang 9 cm dan lebar 6 cm, jika luas prisma 468 cm2_{, hitunglah :}

a. tinggi prisma b. volum prisma

2. Sebuah prisma alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 24 cm. Jika tinggi prisma = 14 cm, tentukan luas prisma tersebut!

3. Alas prisma berbentuk belah ketupat dengan keliling 60 cm dan panjang salah satu diagonalnya = 24 cm serta tinggi prisma = 14 cm. Hitunglah volumnya!

4. Sebuah prisma alasnya berbentuk trapesium dengan panjang garis yang sejajar 7 cm dan 13 cm, tinggi prisma 9 cm dengan volum = 360 cm3_{. Hitunglah luas permukaan sisi} prisma!

5. Alas sebuah prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang x cm dan lebar ¼ x cm, bila tinggi prisma 12 cm dan volumnya = 432 cm3_{. Tentukan panjang dan lebar alas} prisma tersebut!

Ringkasan Materi

D. LIMAS

A _B

C D

E T

A.Luas Permukaan Limas 1. Limas Segi Empat

Luas permukaan limas segi empat T.ABCD ditentukan dengan rumus : L = Luas Alas + Jumlah luas sisi

tegak

Gambar disamping adalah merupakan

Limas Segi Empat, karena alasnya berbentuk segi empat. Limas T.ABCD disamping mempunya 1 buah Sisi alas, yaitu bidang ABCD dan 4 buah Sisi tegak, yang berbentuk segitiga yaitu :

∆ ABT, ∆ BCT,∆ CDT dan ∆ ADT. Garis AC dan BD pada gambar disamping disebut diagonal sisi alas, sedangkan garis ET disebut tinggi limas T.ABCD

Gambar disamping adalah merupakan sebuah Limas segitiga, karena alas berbentuk segitiga. Limas T.ABC pada gambar disamping

mempunyai satu buah sisi alas yang berbentuk segitiga ABC , siku-siku di titik B dan tiga buah sisi tegak yang berbentuk segitiga yaitu ∆ ABT, ∆BCT, dan ∆ADT. Limas segitiga tidak

mempunyai diagonal alas, sehingga tinggi limas adalah garis BT

Gambar disamping adalah limas segi empat T.ABCD dengan :

* Alas : segi empat ABCD * Tinggi Limas : garis OT

* Sisi tegak: ∆ABT, ∆BCT, ∆ ADT dan ∆ADT. * Tinggi segitiga sisi tegak : garis TE dan TF

T

O

D _C

B A

2. Limas Segitiga Siku-Siku

Contoh Soal :

Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegi panjang dengan sisi-sisinya 32 cm, 18 cm dan tinggi limas 12 cm. Hitunglah luas permukaan limas tersebut.

Jawab :

Penyelesaian

Lihat Δ TOP, cari panjang TP TP2 _{= OP}2 _{+ TO}2

= 162 _{+ 12}2 _{(OP = ½ AB = 16)} = 256 + 144

TP2 _{= 400}

TP =

√

400

=

20

Lihat Δ TOR, cari panjang TR TR2 _{= OR}2 _{+ TO}2

= 92 _{+ 12}2 _{(OP = ½ BC = 9)} = 81+ 144 = 225

TR2 ₌

√

225

=

15

Untuk mencari luas sisi permukaan, perhatikan bentuk jaring-jaringnya. Luas permukaan = luas alas + jumlah luas sisi tegaknya

= 32 x 18 + 2 x L Δ TBC + 2 x L Δ TAB

= 576 + 2 X

18X20 2 +2x

32x15 2 = 576 + 360 + 480 = 1416

Jadi, luas permukaan limas adalah 1.416 cm2

B. Volum Limas

Gambar disamping adalah limas segiti siku-siku T.ABC dengan alas merupakan segitiga ABC siku-siku di titik B, sehingga sisi tegaknya adalah ∆ABT, ∆BCT siku-siku di titik B dan ∆ACT dengan Sisi-sisnya adalah AC, AT dan CT. Tinggi limas adalah garis BT, sehingga luas permukaan limas T.ABC dapat ditentukan

Dengan rumus

Volum Limas dapat ditentukan dengan rumus :

V = luas alas × 1

3 _tinggi

Atau

Contoh Soal :

Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 18 cm dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 15 cm. Hitunglah volum limas tersebut!

Penyelesaian :

Lihat Δ TPC (siku-siku di P) TP2 _{= 15}2 _{– 9}2

= 225 – 81 = 144 TP = 12

Lihat Δ TOP siku-siku di O TO2 _{= 12}2 _{– 9}2

= 144 – 81 = 63 TO =

√

63

= 3

√

7

Volum :

= 1/3 luas alas x tinggi = 1/3 (18.18). 3

√

7

= 324

√

7

Jadi volum limas = 324

√

7

cm3

Latihan Soal

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

V = L. alas ×

1 3 _t

t =

3

V

L

_alas

1. T.PQRS merupakan limas segiempat beraturan. Diketahui PQ = 12 cm dan volume limas T. PQRS = 384 cm3_{. Panjang TB adalah....}

a. 6 cm c. 10 cm

b. 8 cm d. 12 cm

2. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 24 cm. Tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 20 cm. Volume limas tersebut adalah...

a. 3.072 cm3 _{c. 9.216 cm}3

b. 3.840 cm3 _{d. 11.520 cm}3

3. Sebuah limas dengan volume 480 cm3 _{dan alas berbentuk segitiga dengan panjang sisi 12} cm, 16 cm, dan 20 cm. Tinggi limas adalah....

a. 12 cm c. 14 cm

b. 13 cm d. 15 cm

4. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm. Jika tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm, maka tinggi dan volume limas tersebut adalah... a. 400 cm dan 12 cm3

b. 12 cm dan 400 cm3 c. 15 cm dan 400 cm3 d. 13 cm dan 500 cm3

5. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Jika volumenya 336 cm3_{, maka tinggi limas adalah...}

a. 9,5 cm c. 11,5 cm

b. 10,5 cm d. 12,5 cm

6. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Jika tinggi limas 9 cm, maka volume limas tersebut adalah...

a. 52,5 cm3 _{c. 72,5 cm}3

b. 62,5 cm3 _{d. 82,5 cm}3

7. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang 10 cm dan lebar 8 cm. Jika tinggi limas 12 cm, maka volume limas tersebut adalah...

a. 220 cm 3 _{c. 420 cm}3

b. 320 cm3 _{d. 520 cm}3

8. Atap sebuah rumah berbentuk limas dengan panjang 25 m, lebar 15 m, dan tinggi 7 m. Udara yang ada didalam ruang atap tersebut sebanyak....

a. 575 cm 3 _{c. 775 cm}3

b. 675 cm3 _{d. 875 cm}3

9. Sebuah limas T.ABCD Mempunyai alas berbentuk trapesium dengan AB // CD. Panjang AB = 6 cm, CD = 8 cm, dan tinggi trapesium 7 cm. Jika tinggi limas 9 cm, maka volume limas adalah....

a. 417 cm 3 _{c. 147 cm}3

b. 247 cm3 _{d. 348 cm}3

10. Volume sebuah limas 450 cm3 _{dan tingginya 15 cm. Luas alas limas adalah...}

b. 60 cm2 _{d. 120 cm}2 II. Selesaikan soal – soal berikut !

1. Sebuah limas dengan alas persegi dengan ukuran panjang sisinya 10 cm, jika tinggi limas 12 cm, hitunglah luas sisi tegak limas tersebut!

2. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan, jika panjang AB = 12 cm, dan luas limas 384 cm2_{, Hitunglah :}

a. Panjang TF

b. Volum limas T.ABCD

3. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 20 cm, 16 cm dan 12 cm, jika volum limas = 480 cm3_{, tentukan tinggi limas tersebut!}

4. Sebuah limas alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi = 12 cm, jika tinggi limas = 8 cm, tentukan luas limas tersebut!

5. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 18 cm dan panjang rusuk-rusuk tegaknya = 15 cm. Hitunglah volum limas tersebut!

b. 3 d. 5

7. Sebuah prisma tegak segitiga dengan alas segitiga sama kaki yang sisi-sisinya 13 cm, 13 cm dan 10 cm. Jika tinggi prisma 15 cm, maka volum prisma …. Cm3_.

a. 900 c. 1.800

b. 975 d. 1.950

8. Suatu prisma tegak segitiga siku-siku degan panjang sisi siku-sikunya 7 cm dan 12 cm. Jika tinggi prisma 36 cm, maka volum prisma adalah … cm3

a. 1.512 c. 2.415

b. 2.242 d. 3.024

9. Suatu prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 5 cm, 12 cm dan 13 cm. Jika volum prisma 270 cm3_{, maka tingginya adalah … cm}

a. 13 c. 15

b. 13,5 d. 27

10. Jika diketahui luas alas suatu prisma 45 cm2 _{dan volum prisma 540 cm}3_{, maka tinggi} prisma adalah … cm

a. 5 c. 12

b. 9 d. 16

II. Selesaikan soal – soal berikut dengan lengkap!

1. Alas sebuah prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang 9 cm dan lebar 6 cm, jika luas prisma 468 cm2_{, hitunglah :}

a. tinggi prisma b. volum prisma

2. Sebuah prisma alasnya berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal masing-masing 10 cm dan 24 cm. Jika tinggi prisma = 14 cm, tentukan luas prisma tersebut!

3. Alas prisma berbentuk belah ketupat dengan keliling 60 cm dan panjang salah satu diagonalnya = 24 cm serta tinggi prisma = 14 cm. Hitunglah volumnya!

4. Sebuah prisma alasnya berbentuk trapesium dengan panjang garis yang sejajar 7 cm dan 13 cm, tinggi prisma 9 cm dengan volum = 360 cm3_{. Hitunglah luas permukaan sisi} prisma!

5. Alas sebuah prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang x cm dan lebar ¼ x cm, bila tinggi prisma 12 cm dan volumnya = 432 cm3_{. Tentukan panjang dan lebar alas} prisma tersebut!

Ringkasan Materi

D. LIMAS

A _B

C D

E T

A.Luas Permukaan Limas

1. Limas Segi Empat

Luas permukaan limas segi empat T.ABCD ditentukan dengan rumus : L = Luas Alas + Jumlah luas sisi

tegak

Gambar disamping adalah merupakan

Limas Segi Empat, karena alasnya berbentuk segi empat. Limas T.ABCD disamping mempunya 1 buah Sisi alas, yaitu bidang ABCD dan 4 buah Sisi tegak, yang berbentuk segitiga yaitu :

∆ ABT, ∆ BCT,∆ CDT dan ∆ ADT. Garis AC dan BD pada gambar disamping disebut diagonal sisi alas, sedangkan garis ET disebut tinggi limas T.ABCD

Gambar disamping adalah merupakan sebuah Limas segitiga, karena alas berbentuk segitiga. Limas T.ABC pada gambar disamping

mempunyai satu buah sisi alas yang berbentuk segitiga ABC , siku-siku di titik B dan tiga buah sisi tegak yang berbentuk segitiga yaitu ∆ ABT, ∆BCT, dan ∆ADT. Limas segitiga tidak

mempunyai diagonal alas, sehingga tinggi limas adalah garis BT

Gambar disamping adalah limas segi empat T.ABCD dengan :

* Alas : segi empat ABCD * Tinggi Limas : garis OT

* Sisi tegak: ∆ABT, ∆BCT, ∆ ADT dan ∆ADT. * Tinggi segitiga sisi tegak : garis TE dan TF

T

O

D _C

B A

2. Limas Segitiga Siku-Siku

Contoh Soal :

Sebuah limas tegak alasnya berbentuk persegi panjang dengan sisi-sisinya 32 cm, 18 cm dan tinggi limas 12 cm. Hitunglah luas permukaan limas tersebut.

Jawab : Penyelesaian

Lihat Δ TOP, cari panjang TP TP2 _{= OP}2 _{+ TO}2

= 162 _{+ 12}2 _{(OP = ½ AB = 16)} = 256 + 144

TP2 _{= 400}

TP =

√

400

=

20

Lihat Δ TOR, cari panjang TR TR2 _{= OR}2 _{+ TO}2

= 92 _{+ 12}2 _{(OP = ½ BC = 9)} = 81+ 144 = 225

TR2 ₌

√

225

=

15

Untuk mencari luas sisi permukaan, perhatikan bentuk jaring-jaringnya. Luas permukaan = luas alas + jumlah luas sisi tegaknya

= 32 x 18 + 2 x L Δ TBC + 2 x L Δ TAB = 576 + 2 X

18X20 2 +2x

32x15 2 = 576 + 360 + 480 = 1416

Jadi, luas permukaan limas adalah 1.416 cm2 B. Volum Limas

Gambar disamping adalah limas segiti siku-siku T.ABC dengan alas merupakan segitiga ABC siku-siku di titik B, sehingga sisi tegaknya adalah ∆ABT, ∆BCT siku-siku di titik B dan ∆ACT dengan Sisi-sisnya adalah AC, AT dan CT. Tinggi limas adalah garis BT, sehingga luas permukaan limas T.ABC dapat ditentukan

Dengan rumus

Volum Limas dapat ditentukan dengan rumus : V = luas alas ×

1

3 _tinggi

Atau

Contoh Soal :

Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 18 cm dan panjang rusuk-rusuk tegaknya 15 cm. Hitunglah volum limas tersebut!

Penyelesaian :

Lihat Δ TPC (siku-siku di P) TP2 _{= 15}2 _{– 9}2

= 225 – 81 = 144 TP = 12

Lihat Δ TOP siku-siku di O TO2 _{= 12}2 _{– 9}2

= 144 – 81 = 63 TO =

√

63

= 3

√

7

Volum :

= 1/3 luas alas x tinggi = 1/3 (18.18). 3

√

7

= 324

√

7

Jadi volum limas = 324

√

7

cm3

Latihan Soal

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

V = L. alas ×

1 3 _t

t =

3

V

L

_alas

1. T.PQRS merupakan limas segiempat beraturan. Diketahui PQ = 12 cm dan volume limas T. PQRS = 384 cm3_{. Panjang TB adalah....}

a. 6 cm c. 10 cm

b. 8 cm d. 12 cm

2. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 24 cm. Tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 20 cm. Volume limas tersebut adalah...

a. 3.072 cm3 _{c. 9.216 cm}3

b. 3.840 cm3 _{d. 11.520 cm}3

3. Sebuah limas dengan volume 480 cm3 _{dan alas berbentuk segitiga dengan panjang sisi 12} cm, 16 cm, dan 20 cm. Tinggi limas adalah....

a. 12 cm c. 14 cm

b. 13 cm d. 15 cm

4. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm. Jika tinggi segitiga pada sisi tegaknya adalah 13 cm, maka tinggi dan volume limas tersebut adalah... a. 400 cm dan 12 cm3

b. 12 cm dan 400 cm3 c. 15 cm dan 400 cm3 d. 13 cm dan 500 cm3

5. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar 8 cm. Jika volumenya 336 cm3_{, maka tinggi limas adalah...}

a. 9,5 cm c. 11,5 cm

b. 10,5 cm d. 12,5 cm

6. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing 6 cm, 8 cm dan 10 cm. Jika tinggi limas 9 cm, maka volume limas tersebut adalah...

a. 52,5 cm3 _{c. 72,5 cm}3

b. 62,5 cm3 _{d. 82,5 cm}3

7. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang 10 cm dan lebar 8 cm. Jika tinggi limas 12 cm, maka volume limas tersebut adalah...

a. 220 cm 3 _{c. 420 cm}3

b. 320 cm3 _{d. 520 cm}3

8. Atap sebuah rumah berbentuk limas dengan panjang 25 m, lebar 15 m, dan tinggi 7 m. Udara yang ada didalam ruang atap tersebut sebanyak....

a. 575 cm 3 _{c. 775 cm}3

b. 675 cm3 _{d. 875 cm}3

9. Sebuah limas T.ABCD Mempunyai alas berbentuk trapesium dengan AB // CD. Panjang AB = 6 cm, CD = 8 cm, dan tinggi trapesium 7 cm. Jika tinggi limas 9 cm, maka volume limas adalah....

a. 417 cm 3 _{c. 147 cm}3

b. 247 cm3 _{d. 348 cm}3

10. Volume sebuah limas 450 cm3 _{dan tingginya 15 cm. Luas alas limas adalah...}

b. 60 cm2 _{d. 120 cm}2 II. Selesaikan soal – soal berikut !

1. Sebuah limas dengan alas persegi dengan ukuran panjang sisinya 10 cm, jika tinggi limas 12 cm, hitunglah luas sisi tegak limas tersebut!

2. T.ABCD adalah limas segiempat beraturan, jika panjang AB = 12 cm, dan luas limas 384 cm2_{, Hitunglah :}

a. Panjang TF

b. Volum limas T.ABCD

3. Alas sebuah limas berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi 20 cm, 16 cm dan 12 cm, jika volum limas = 480 cm3_{, tentukan tinggi limas tersebut!}

4. Sebuah limas alasnya berbentuk persegi dengan panjang sisi = 12 cm, jika tinggi limas = 8 cm, tentukan luas limas tersebut!

5. Alas sebuah limas beraturan berbentuk persegi dengan panjang sisi 18 cm dan panjang rusuk-rusuk tegaknya = 15 cm. Hitunglah volum limas tersebut!