Model Hama Penggerek Buah dan Tomcat

oleh interaksi pemangsaan Iswanto, 2012: 135. Akan tetapi apabila terjadi peningkatan jumlah populasi hama penggerek buah maka akan menyebabkan peningkatan jumlah tomcat, hal ini dikarenakan meningkatnya jumlah makanan bagi tomcat. Angka kelahiran hama penggerek buah dan angka kematian tomcat dipengaruhi oleh faktor alami sehingga dapat diasumsikan konstan. Angka kematian hama penggerek buah sebanding dengan banyaknya tomcat di habitat tersebut. Angka kelahiran tomcat sebanding dengan banyak hama penggerek buah yang berhasil dimangsa. Berdasarkan kondisi-kondisi yang ada, maka diambil beberapa asumsi yaitu: 1. Laju kelahiran perkapita hama penggerek buah konstan. 2. Laju kematian perkapita tomcat konstan. 3. Laju kematian perkapita hama penggerek buah sebanding dengan tingkat jumlah kepadatan tomcat. 4. Laju kelahiran perkapita tomcat sebanding dengan jumlah hama penggerek buah yang berhasil dimangsa oleh tomcat. Kelahiran hama penggerek buah menyebabkan bertambahnya persediaan makanan bagi tomcat. Interaksi antara hama penggerek buah dan tomcat menyebabkan kematian hama penggerek buah. Kematian hama penggerek buah akibat interaksi memberikan energi bagi tomcat untuk melakukan perkembangbiakan. Kematian tomcat disebabkan faktor alami dan bukan disebabkan oleh hama penggerek buah. Berdasarkan asumsi-asumsi yang tersedia maka interaksi antara hama penggerek buah dan tomcat dapat ditunjukan dalam diagram berikut Gambar 3.2. Diagram Interaksi Hama Penggerek Buah dan Tomcat Berdasarkan asumsi yang ada, dimisalkan M menyatakan banyaknya populasi hama penggerek buah terhadap waktu, P menyatakan banyaknya populasi tomcat terhadap waktu dan α menyatakan laju kelahiran perkapita. Berdasarkan asumsi pertama maka laju kelahiran perkapita hama penggerek buah adalah αM. Asumsi kedua menyatakan bahwa laju kematian tomcat tidak bergantung pada populasi hama penggerek buah, andaikan β menyatakan kematian perkapita maka laju kematian perkapita tomcat dinyatakan oleh βP. Andaikan tingkat kepadatan hama penggerek buah dinyatakan oleh g maka menurut asumsi ketiga laju kematian perkapita hama penggerek buah dinyatakan oleh gMP . Jika h 0 adalah konstan kesebandingan, sesuai dengan asumsi keempat yaitu laju kelahiran perkapita sebanding dengan populasi hama penggerek buah maka laju kelahiran tomcat dinyatakan oleh ghMP . Maka berdasarkan Gambar 3.1 serta dari asumsi yang ada diperoleh: 3.1a Kelahiran Hama Penggerek Buah Kelahiran Tomcat Kematian Tomcat Kematian Hama Penggerek Buah Interaksi 3.1b dimana µ = gh. Persamaan 3.1a merupakan model laju pertumbuhan populasi hama penggerek buah, sedangkan persamaan 3.1b merupakan model laju pertumbuhan populasi tomcat. Model laju pertumbuhan populasi hama penggerek buah merupakan selisih antara kelahiran hama penggerek buah dengan kematian hama penggerek buah akibat interaksi, sedangkan model laju pertumbuhan populasi tomcat merupakan selisih antara kelahiran tomcat yang disebabkan interaksi dengan kematian tomcat.Model tersebut merupakan model Lotka Voltera dengan dua populasi yaitu populasi hama penggerek buah dan populasi tomcat. Diasumsikan area hidup terbatas akibatnya interaksi antara individu dalam populasi hama penggerek buah dapat mengakibatkan kematian individu.Persamaan 3.1a menunjukan angka kelahiran hama penggerek buah akan menuju tak hingga apabila α 0. Oleh karena itu perlu diberikan suatu batasan populasi, andaikan K menyatakan populasi maksimum hama penggerek buah maka Persamaan 3.1a menjadi 3.2 Persamaan 3.2 merupakan model laju pertumbuhan populasi hama penggerek buah dengan fungsi logistik. Banyaknya tumbuhan mempengaruhi jumlah hama penggerek buah yang berhasil ditangkap oleh tomcat, akan tetapi tidak mempengaruhi laju kelahirannya karena tumbuhan sebagai tempat berlindung dari interaksi perburuan antara tomcat dan hama penggerek buah, dan ketersediaan tumbuhan diasumsikan hanya mempengaruhi laju pemangsaan hama penggerek buah oleh tomcat. Kondisi yang berlaku pada permasalahan skripsi ini yaitu pemangsaan bergantung pada tumbuhan yang menjadi tempat tinggal dan bersembunyi hama penggerek buah dari tomcat. Menurut Ripno J. Iswanto 2012: 135-144, respon fungsional Michaelish Menten merupakan hubungan tiga jenis makhluk hidup yaitu tumbuhan, mangsa hama penggerek buah dan pemangsa tomcat. Kondisi-kondisi yang dipaparkan oleh Ripno Juli Iswanto memenuhi kondisi pada permasalahan skripsi ini, yaitu dimana laju kematian hama penggerek buah dipengaruhi oleh banyaknya tanaman di habitatnya sebagai tempat berlindungnya hama penggerek buah dari perburuan tomcat. Oleh karena itu, pada skripsi ini akan digunakan respon fungsional Michaelis Menten dalam model Lotka Voltera. Pada kondisi ini terjadi dua interaksi, yang pertama adalah interaksi antara tumbuhan dengan hama penggerek buah dan yang kedua adalah interaksi antara hama penggerek buah dengan tomcat. Berdasarkan interaksi-interaksi yang ada maka dapat diambil beberapa asumsi, yaitu: 1. Laju perkembangbiakan tumbuhan konstan. 2. Laju kelahiran perkapita hama penggerek buah konstan. 3. Laju kematian perkapita tomcat konstan. 4. Laju kematian perkapita hama penggerek buah sebanding dengan tingkat jumlah kepadatan tomcat. 5. Laju kelahiran perkapita tomcat sebanding dengan jumlah hama penggerek buah yang berhasil dimangsa oleh tomcat. Berdasarkan asumsi tersebut maka interaksi antara mangsa dan pemangsa dengan respon fungsional Michaelis Menten dapat ditunjukan dalam diagram berikut: Gambar 3.3. Diagram Interaksi Mangsa dan Pemangsa dengan Respon Fungsional Michaelis Menten Restu, 2012: 44 Pada gambar 3.3 kelahiran hama penggerek buah menyebabkan bertambahnya persediaan makanan bagi tomcat. Interaksi antara hama penggerek buah dan tomcat menyebabkan kematian hama penggerek buah. Kematian hama penggerek buah akibat interaksi memberikan energi bagi tomcat untuk melakukan perkembangbiakan dan kematian tomcat disebabkan faktor alami. Banyaknya tumbuhan mempengaruhi jumlah hama penggerek buah yang berhasil ditangkap oleh tomcat. Berdasarkan kondisi dan asumsi Kelahiran Hama Penggerek Buah Kelahiran Tomcat Kematian Tomcat Kematian Hama Penggerek Buah Interaksi Interaksi Ketersediaan Tumbuhan yang ada maka perlu ditambahkannya variable lagi ke dalam Persamaan 3.2. Andaikan laju perkembangbiakan tumbuhan dinyatakan oleh z maka Persamaan 3.2 menjadi 3.3 Angka kematian hama penggerek buah sangat bergantung pada banyak tanaman di habitat tersebut. Semakin banyak tanaman yang ada di habitat tersebut maka semakin sedikit angka kematian hama penggerek buah akibat interaksi perburuan. Respon fungsional Michelis Menten bersifat mengurangi angka kelahiran pada populasi hama penggerek buah, yaitu mempengaruhi angka kematian hama penggerek buah akibat interaksi perburuan. Respon fungsional Michaelis Menten pada laju populasi tomcat bersifat menambah jumlah populasi, hal tersebut disebabkan oleh respon fungsional Michaelis Menten mempengaruhi angka kematian hama penggerek buah akibat interaksi perburuan. Berdasarkan kondisi tersebut maka Persamaan 3.1b menjadi 3.4 Berdasarkan Persamaan 3.3 dan 3.4 maka diperoleh 3.5 Persamaan 3.5 yang diperoleh merupakan model mangsa dan pemangsa dengan fungsi logistik dan respon fungsional Michaelis Menten.

B. Titik Kesetimbangan Model Lotka Voltera dengan Respon Fungsional

Michaelis Menten Untuk mendapatkan titik kesetimbangan akan dicari solusi homogen dari Sistem 3.5, sehingga berlaku 3.6 3.7 Dari Persamaan 3.7 diperoleh atau Persamaan 3.7 akan bernilai benar apabila nilai atau . Nilai dan yang diperoleh akan digunakan untuk mencari nilai dan pada Persamaan 3.6. Langkah untuk mendapatkan nilai dan pada Persamaan 3.6 adalah dengan mensubtitusikan atau ke dalam Persamaan 3.6. Jika disubtitusikan ke dalam Persamaan 3.6 maka didapatkan atau Hasil pertama yang diperoleh dari mensubtitusikan nilai yaitu nilai , diperoleh titik kesetimbangan pertama yaitu . Masih terdapat nilai lain pada Persamaan 3.6 apabila nilai = 0 disubtitusikan ke dalam Persamaan 3.6, yaitu didapatkan dari . Sehingga akan diperoleh nilai sebagai berikut Hasil kedua yang diperoleh dari mensubtitusikan nilai yaitu nilai , diperoleh titik kesetimbangan kedua yaitu . Jika disubtitusikan kedalam Persamaan 3.6 maka didapatkan Dengan mengalikan kedua ruas dengan nilai maka diperoleh