Metode Verifikasi Penyelesaian Untuk Model Epidemi Populasi Dengan Ketidakpastian

METODE VERIFIKASI PENYELESAIAN UNTUK
MODEL EPIDEMI POPULASI DENGAN
KETIDAKPASTIAN

TESIS

Oleh

SOPAR SIREGAR
097021071/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

METODE VERIFIKASI PENYELESAIAN UNTUK
MODEL EPIDEMI POPULASI DENGAN
KETIDAKPASTIAN

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

SOPAR SIREGAR
097021071/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: METODE VERIFIKASI PENYELESAIAN
UNTUK MODEL EPIDEMI POPULASI
DENGAN KETIDAKPASTIAN
Nama Mahasiswa : Sopar Siregar
Nomor Pokok
: 097021071
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si )
Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 15 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 15 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si

Anggota

:

1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
3. Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut
dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model yang didapat dicari solusinya, aplikasi model bertujuan mengetahui penyebaran penyakit menular pada suatu daerah/wilayah tertentu, misalnya penyebaran penyakit yang diakibatkan oleh virus. Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit menular, dikenal beberapa model penyebaran
penyakit, baik model yang bersifat deterministik, maupun model yang bersifat
stokastik seperti SIRS, SEI, dan SEIR. Model-model tersebut memiliki karakteristik tersendiri, berdasarkan jenis dan bentuk penyebaran penyakit menular yang
diamati. Model epidemi mengkaji dampak infeksi di dalam populasi. Model melibatkan parameter-parameter yang tidak diketahui dengan pasti. Metode verifikasi
penyelesaian analisa interval deret Taylor menunjukkan ketergantungan terhadap

waktu dan ketergantungan terhadap parameter yang tidak pasti dan atau syarat
awal.
Kata kunci : Persamaan differensial biasa, Epidemi, Analisa interval,
Metode verifikasi penyelesaian

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Mathematics model is a tool that can help solving real life problems. The problems
should be brought into mathematical model by using certain assumptions. Furthermore, the application of the solving model will lead to the knowledge of spreading
contagions disease in a certain area, for example the spreading of disease caused by
virus. To know the spreading process contagions disease, some models of the spread
of disease, such as deterministic model and stochastic model like SIRS, SEI, and
SEIR can be applied. The models have their own characteristics according to the
types and forms of contagions disease observed. Epidemi model investigates the impact of infection to the population. The model entangles to uncertain parameters.
The method of solution verification of interval analysis in Taylor series shows the
dependency to time and uncertain parameters and/or initial condition.
Keywords : Ordinary differential equations, Epidemic, Interval analysis,

Verified solution method

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR

Dengan rendah hati penulis ucapkan segala puji dan syukur kehadirat Tuhan
Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
studi Program Magister Matematika pada FMIPA USU. Tesis ini merupakan salah
satu syarat penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika FMIPA
USU. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimaksih yang sebesar - besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr.dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K),
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang juga pembanding dalam tesis ini.
Bapak Prof.

Dr.

Drs.

Iryanto, M.Si, selaku pembimbing yang banyak

memberikan arahan dalam penulisan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku pembimbing yang banyak memberikan
arahan dalam penulisan tesis ini.
Bapak Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si, sebagai pembanding dalam tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah
membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.
Ibu Misiani, S.Si, selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan administrasi selama mengikuti
pendidikan.

iii
Universitas Sumatera Utara

Tak lupa rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU

tahun 2009 dengan harapan semoga persahabatan ini terus menyemangati panggilan kita sebagai pendidik.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas arahan dan bimbingan yang
diberikan Bapak/ Ibu dosen.
Medan, 15 Juni 2011
Penulis,

Sopar Siregar

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Sopar Siregar dilahirkan di Bahalat tanggal 3 April 1960,
anak dari ayah (Alm). P. Siregar dan Ibu K. Sirait. Penulis anak ketiga dari
sembilan bersaudara. Penulis lulus SD lulus tahun 1974 dari sekolah SD Negeri
Bahalat, lulus SMP tahun 1977 dari SMP Taman Siswa Bah Jambi, lulus SMA
tahun 1981 dari SMA UISU Medan. Tahun 1984, penulis lulus dari D-3 IKIP
Negeri Medan, jurusan Matematika. Tahun 1996, penulis menyelesaikan S-1 dari
Universitas Terbuka. Mengawali karir sebagai guru PNS pada tahun 1985 di SMA

Negeri-1 Samatiga. Sejak tahun 2000, penulis berkarya di SMA Negeri-11 Medan.
Tahun 2009, penulis melanjutkan studi S-2 di Universitas Sumatera Utara, program
Magister Matematika.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR TABEL

viii

DAFTAR GAMBAR

ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Rumusan Masalah

2

1.3 Tujuan Penelitian

3

1.4 Manfaat Penelitian

3

1.5 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

4

2.1 Persamaan Diferensial

4

2.2 Model Epidemi

5

2.3 Pertimbangan Ketidakpastian

6

BAB 3 ANALISA INTERVAL DAN METODE VERIFIKASI PENYELESAIAN

8

3.1 Analisa Interval

10

3.2 Metode Verifikasi Penyelesaian

11

3.2.1 Model Taylor

11

3.2.2 Model Dasar SIRS

12
vi
Universitas Sumatera Utara

3.2.3 Model SIRS dengan Parameter Tergantung Waktu

13

3.2.4 Model SEI dengan Total Variabel Populasi

13

3.2.5 Model SEIR dengan Ukuran Variabel Populasi

14

BAB 4 PEMBAHASAN

16

4.1 Model Dasar SIRS

16

4.2 Model SIRS dengan Parameter Tergantung Waktu

17

4.3 Model SEI dengan Total Variabel Populasi

19

4.4 Model SEIR dengan Ukuran Variabel Populasi

20

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

24

5.1 Kesimpulan

24

5.2 Saran

24

DAFTAR PUSTAKA

25

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Judul

Halaman

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
Untuk Kerentanan (s) Populasi Dalam Model SIRS

17

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Infeksi Populasi dalam Model SIRS

18

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
Untuk Infeksi Populasi Dalam Model SEI

20

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Infeksi Populasi dalam Model SEIR

21

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Total Populasi dalam Model SEIR

22

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Judul

Halaman

Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) Untuk Kerentanan (s) Populasi Dalam Model SIRS

17

Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Infeksi Populasi dalam Model SIRS

18

Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) Untuk Infeksi Populasi Dalam Model SEI

20

Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Infeksi Populasi dalam Model SEIR

21

Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Total Populasi dalam Model SEIR

22

ix
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut
dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model yang didapat dicari solusinya, aplikasi model bertujuan mengetahui penyebaran penyakit menular pada suatu daerah/wilayah tertentu, misalnya penyebaran penyakit yang diakibatkan oleh virus. Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit menular, dikenal beberapa model penyebaran
penyakit, baik model yang bersifat deterministik, maupun model yang bersifat
stokastik seperti SIRS, SEI, dan SEIR. Model-model tersebut memiliki karakteristik tersendiri, berdasarkan jenis dan bentuk penyebaran penyakit menular yang
diamati. Model epidemi mengkaji dampak infeksi di dalam populasi. Model melibatkan parameter-parameter yang tidak diketahui dengan pasti. Metode verifikasi
penyelesaian analisa interval deret Taylor menunjukkan ketergantungan terhadap
waktu dan ketergantungan terhadap parameter yang tidak pasti dan atau syarat
awal.
Kata kunci : Persamaan differensial biasa, Epidemi, Analisa interval,
Metode verifikasi penyelesaian

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Mathematics model is a tool that can help solving real life problems. The problems
should be brought into mathematical model by using certain assumptions. Furthermore, the application of the solving model will lead to the knowledge of spreading
contagions disease in a certain area, for example the spreading of disease caused by
virus. To know the spreading process contagions disease, some models of the spread
of disease, such as deterministic model and stochastic model like SIRS, SEI, and
SEIR can be applied. The models have their own characteristics according to the
types and forms of contagions disease observed. Epidemi model investigates the impact of infection to the population. The model entangles to uncertain parameters.
The method of solution verification of interval analysis in Taylor series shows the
dependency to time and uncertain parameters and/or initial condition.
Keywords : Ordinary differential equations, Epidemic, Interval analysis,
Verified solution method

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Persamaan diferensial biasa atau Ordinary Differential Equations (ODEs)
yang selanjutnya akan disebut persamaan diferensial adalah model dasar matematika yang digunakan dalam sains, termasuk model populasi yang digunakan dalam epidemi. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menyangkut satu
atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih
peubah bebas. Kermack-McKendrick (1927) mengembangkan model untuk mensimulasikan penyebaran penyakit infeksi seperti penyakit pes dan kolera. Model
yang digunakan dalam epidemi mempartisi populasi ke dalam kelas-kelas dan laju
perubahan populasi dalam masing-masing kelas.
Variasi model Kermack-McKendrick dikembangkan menggunakan nama yang
didasarkan pada singkatan dari kelas yang terlibat. Model Kermack-McKendrick
terdiri dari tiga kelas yang disebut model SIR (Susceptible, Infected, Recovered).
Generalisasi model ini ada kalanya disebut sebagai model SEIRS dengan memasukkan kelas ke empat yaitu exposed di dalam populasi, yang menyebabkan penyakit
dalam masa inkubasi. Model SEIRS memperhitungkan kekebalan, dengan demikian
memungkinkan individu bisa kembali rentan atau susceptible.
Dalam model SEIRS mekanisme untuk berpindah antar kelas menghasilkan
perubahan yang merupakan fungsi dari populasi satu kelas (proses orde satu) atau
populasi dua kelas (proses orde dua). Sebagai contoh, angka keterpaparan sebanding dengan perkalian populasi yang rentan dan populasi yang terinfeksi, dan
angka kesembuhan sebanding dengan populasi yang terinfeksi.
Model epidemi merupakan sistem ODEs dirumuskan sebagai masalah nilai
awal atau Initial Value Problems (IVPs). Dengan demikian, model diintegrasikan
terhadap waktu, yang dimulai dengan nilai awal yang ditetapkan untuk kelas-kelas
populasi yang berbeda. Makino dan Berz (1996,1999,2003) dalam penelitiannya
menggunakan model populasi yang diselesaikan secara analisa. Akan tetapi dalam
1
Universitas Sumatera Utara

2
sebagian besar kasus tidak ada penyelesaian, dengan demikian diperlukan skema
numerik untuk memperoleh penyelesaian pada populasi masing-masing kelas. Dalam penelitian ini penyelesaian sudah terbukti dengan sistem ODEs yaitu sistem
yang melibatkan ketidakpastian dalam syarat awal atau parameter model. Bahkan
dengan tidak adanya ketidakpastian, sistem ODEs hanya mengaproksimasi penyelesaian karena adanya kesalahan numerik.
Diasumsikan bahwa semua anggota populasi termasuk ke dalam suatu kelas
dengan kondisi rentan, terpapar, terinfeksi atau sudah sembuh. Penyakit cepat
menyebar sehingga menyebabkan peningkatan populasi yang terpapar dan atau
terinfeksi. Hal ini terjadi bila individu yang rentan bertemu dengan individu yang
terinfeksi. Juga diasumsikan bahwa semua individu dalam suatu kelas mempunyai probabilitas yang sama menjadi terinfeksi atau menjadi sembuh. Model yang
didasarkan pada asumsi ini dapat dikembangkan atas skala waktu diskrit (hasil
menghitung), dimana populasi bisa dimodelkan secara stokastik atau deterministik, atau atas skala waktu kontinu (hasil pengukuran), yang dimodelkan dengan
menggunakan ODEs deterministik.
Seorang individu bisa berpindah dari satu kelas ke kelas lainnya melalui proses
yang berbeda-beda, di mana masing-masing proses tergantung populasi atau kepadatan populasi. Hal inilah yang membuat penulis tertarik untuk melakukan penelitian dengan judul, ”Metode Verifikasi Penyelesaian Untuk Model Epidemi Populasi
Dengan Ketidakpastian”. Metode verifikasi penyelesaian yang dimaksudkan dalam
penelitian ini yaitu analisa interval pada model dasar SIRS, Model SEI dan Model
SEIR. Verifikasi dimaknai sebagai tindakan pemeriksaan yang dilakukan terhadap
suatu informasi.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang dikemukan di atas, maka rumusan
masalah dalam tesis ini adalah bagaimana metode verifikasi penyelesaian untuk
model epidemi populasi dengan ketidakpastian.

Universitas Sumatera Utara

3
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memverifikasi dampak infeksi di dalam populasi model epidemi yang didasarkan pada penggunaan interval deret Taylor untuk
menggambarkan ketergantungan model pada waktu dan penggunaan model Taylor untuk menggambarkan ketergantungan model pada parameter yang tidak pasti.

1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memberikan gambaran ringkas dari model
epidemi populasi umum yang digunakan. Selain itu, penelitian ini dapat dijadikan
sebagai informasi awal pada bidang kesehatan dalam menangani masalah epidemi.

1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian dilakukan dengan metode tinjauan pustaka. Langkahlangkah yang akan dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menjelaskan model epidemi untuk mengkaji dampak infeksi di dalam populasi.
2. Menjelaskan persamaan diferensial biasa sebagai model dasar matematika
yang digunakan dalam model epidemi.
3. Menyajikan metode verifikasi penyelesaian dengan model yang digunakan untuk model epidemi.
4. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan Diferensial
Shepley (1984), menyatakan persamaan diferensial adalah persamaan yang
menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau lebih peubah bebas. Tingkat (orde) persamaan diferensial adalah
tingkat tertinggi turunan yang timbul. Sedangkan derajat (pangkat) persamaan
diferensial yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan, adalah derajat
turunan tingkat tertinggi yang terjadi.
Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua
macam yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial.
a. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang menyangkut
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu
peubah bebas.
= 2x + ty
Contoh: dx
dt
b. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menyangkut
satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap lebih
dari satu peubah bebas.
2

d v
Contoh: dx
2 +

d2 v
dy 2

=

1 dv
c2 dt

Sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya
juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan
diferensial nonlinear.
1. Persamaan Diferensial Linear.
Suatu persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial linear jika
memenuhi dua hal berikut:
(a) Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu.
4
Universitas Sumatera Utara

5
(b) Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan
lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan.
Jadi istilah linear berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah y, y 1 . . . , y 11 berderajat satu atau nol.
Bentuk umum persamaan diferensial linear orde-n adalah:
an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + a1(x)y 1 + a0(x)y = f(x)
Contoh: xy 1 − 2y = x3
2. Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial yang bukan
persamaan diferensial linear.
Dengan demikian persamaan diferensial F (x, y 1, . . . , y m ) = 0 adalah persamaan diferensial nonlinear, jika salah satu dari berikut dipenuhi F :
(a) F tidak berbentuk polinom, dalam y, y 1, . . . , y m
(b) F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari dua, dalam y, y 1, . . . , y m
Contoh: yy 1 + xy 11 = 0, persamaan diferensial nonlinear
Karena, F (x, y, y 1, y 11) = yy 1 + xy 11 polinom berpangkat dua dalam y, y 1, y 11

2.2 Model Epidemi
Model epidemi dapat digunakan untuk mengkaji dampak infeksi di dalam
populasi. Model ini sering melibatkan parameter-parameter yang tidak diketahui
dengan pasti.

Dengan menggunakan metode penyelesaian dapat memberi ba-

tasan lintasan penyakit untuk batasan tertentu atas parameter yang tidak pasti.
Metode didasarkan pada penggunaan interval deret Taylor untuk menggambarkan
ketergantungan pada waktu dan penggunaan model Taylor untuk menggambarkan
ketergantungan pada parameter yang tidak pasti dan/atau syarat awal. Penggunaan metode ini dalam epidemi dibuktikan dengan menggunakan model SIRS, dan
variasi model Kermack-McKendrick lainnya.
Anderson dan May (1979) meneliti model SIRS dengan berbagai mekanisme
antara kelas-kelas populasi, tetapi dengan mengasumsikan total populasi konstan

Universitas Sumatera Utara

6
yaitu dengan mengasumsikan tidak ada kematian dalam populasi atau jumlah
kelahiran orang yang rentan setara dengan jumlah kematian dari seluruh kelas
populasi. Penelitiannya membahas penggunaan pemodelan pada berbagai jenis
penyakit, termasuk campak, cacar air dan tetanus.
Hethcote (1976) meneliti berbagai model antara kelas-kelas populasi dan interaksinya yang merupakan himpunan bagian dari model SEIRS. Beberapa peneliti
fokus pada model spesifik tunggal, dengan menghitung keadaan sementara dan
keadaan permanen dari penyebaran penyakit yang meliputi penelitian tentang
model SEI (Pugliese (1990)), model SEIR (Li et al.(1999)) dan model SEIS (Fan
et al.(2001)).

2.3 Pertimbangan Ketidakpastian
Pertimbangan ketidakpastian sangat penting dalam konteks model epidemi,
karena populasi awal dan parameter tidak diketahui dengan persis. Akan diasumsikan bahwa kuantitas tidak pasti, hanya batas atas dan batas bawah yang tersedia. Kuantitas ketidakpastian disajikan dengan interval. Hal ini menyatakan secara
tidak langsung bahwa terdapat tak berhingga banyaknya nilai yang mungkin untuk
kuantitas yang tidak pasti, maka diperoleh tak berhingga banyaknya penyelesaian
sistem ODEs, yang bersesuaian dengan nilai yang berbeda-beda dari kuantitaskuantitas yang tidak pasti. (Nedialkov et al.(1999), Neher et al.(2007)).
Allen dan Burgin (2000) dalam penelitiannya menyatakan untuk menentukan
batas yang kuat atas penyelesaian sistem ODEs, dengan atau tanpa ketidakpastian,
penggunaan analisa interval adalah merupakan pendekatan analisa interval untuk
masalah nilai awal atau Initial Value Problems (IVPs) dilakukan untuk kasus di
mana nilai awal diberikan dengan interval.
Dalam penelitian Lin dan Stadtherr (2007) dibahas penggunaan solver (pemecah masalah) untuk ODEs parametrik yang disebut VSPODE (Verifying Solver
for Parametric ODEs), yang digunakan untuk menghasilkan batas yang terjamin
atas penyelesaian sistem dengan keadaan awal dan parameter bernilai-interval.
VSPODE menggunakan model Taylor, untuk masalah kuantitas yang tidak pasti
dari parameter dan nilai awal. Penelitiannya menggunakan metode model Tay-

Universitas Sumatera Utara

7
lor untuk penyebaran ketidakpastian melalui model ODEs nonlinear pada epidemi
populasi. Model ODEs nonlinear maksudnya parameter yang ada tergantung pada
waktu.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
ANALISA INTERVAL DAN METODE VERIFIKASI
PENYELESAIAN

Notasi yang digunakan untuk menjelaskan model epidemi yang diteliti dinyatakan dengan masalah Persamaan diferensial biasa atau Ordinary Differential
Equations ODEs. Variabel dan parameter model epidemi populasi mencakup semua model spesifik yang akan digunakan. Notasi Edelstein-Keshet (2005) dalam
model mengasumsikan bahwa semua anggota populasi termasuk ke dalam suatu
kelas rentan, terpapar, terinfeksi atau sudah sembuh. Penyakit yang menyebar
menyebabkan peningkatan populasi yang terpapar dan atau terinfeksi, bila anggota
yang rentan bertemu dengan anggota yang terinfeksi. Juga diasumsikan bahwa semua anggota dalam suatu kelas mempunyai probabilitas yang sama menjadi terinfeksi atau menjadi sembuh. Model yang didasarkan pada asumsi ini dikembangkan
atas skala waktu diskrit, di mana populasi dimodelkan secara stokastik atau deterministik atau dengan kata lain populasi dimodelkan dengan menggunakan ODEs
deterministik.
Seorang individu bisa berpindah dari satu kelas ke kelas lainnya melalui proses
yang berbeda-beda. Proses ini meliputi:
1. Keterpaparan (eksposure). Ini merupakan proses di mana orang keluar dari
kelas rentan dan masuk kelas terpapar. Angka keterpaparan diberikan dengan βsi, perkalian populasi rentan s dan populasi terinfeksi i menyatakan
frekuensi anggota yang rentan bertemu dengan anggota yang terinfeksi, dan β
mempresentasikan kemungkinan bahwa pertemuan yang terjadi dapat menyebarkan penyakit. Hal ini sesuai dengan apa yang diteliti oleh Li et al.(1999).
2. Infeksi (infection). Dalam proses ini, orang berpindah dari kelas terpapar ke
kelas terinfeksi. Ini terjadi pada pertumbuhan yang sebanding dengan populasi yang terpapar e, dengan konstanta kesebandingan ε. Dengan demikian,
angka infeksi adalah εe.
3. Kesembuhan (recovery). Dalam proses ini, anggota-anggota berpindah dari
kelas terinfeksi ke kelas sembuh r, dengan angka yang sebanding dengan
8
Universitas Sumatera Utara

9
populasi terinfeksi i. Dengan demikian angka kesembuhan dinyatakan dengan
vi, di mana konstanta kesebandingan v adalah konstanta angka kesembuhan.
4. Kehilangan kekebalan (loss of immunity) atau kerentanan (susceptibility).
Dalam proses ini, menyatakan secara tidak langsung bahwa kekebalan hanya
bersifat sementara, orang berpindah dari kelas sembuh ke kelas rentan, dengan angka yang sebanding dengan populasi yang sembuh r, dan dinyatakan
dengan γr, dengan γ sebagai konstanta kesebandingan.
Populasi suatu kelas juga tergantung pada asumsi yang ditetapkan tentang
kelahiran dan kematian yang ditetapkan dengan probabilitas dari kematian d diasumsikan untuk semua kelas, tetapi bertambah menjadi d + α untuk kelas terinfeksi. Maka, angka kematian adalah ds, de dan dr masing-masing untuk kelas
rentan, terpapar dan sembuh, dan (d + α)i untuk kelas terinfeksi.
Kelahiran baru diasumsikan bertambah pada kelas rentan yaitu, tidak ada orang
dilahirkan sebagai terpapar, terinfeksi atau sembuh. Probabilitas dari kelahiran b
umumnya diberikan kepada semua kelas, tetapi bisa bertambah untuk kelas terpapar dan atau kelas terinfeksi. Dengan mengasumsikan probabilitas kelahiran sama
untuk semua kelas, total angka kelahiran adalah bn, di mana n = s + e + i + r
adalah total populasi semua kelas.
Variasi spesifik dari kerangka SEIRS dikembangkan dengan keputusan kelas mana yang ada, peningkatan apa yang ada antar kelas, bagaimana kelahiran
dan kematian ditangani, dan apakah SEIRS terbuka atau tertutup. Keseimbangan
populasi dilaksanakan atas masing-masing kelas, yang didasarkan pada tipe yang
dijelaskan di atas, untuk pergerakan antar kelas serta untuk kelahiran dan kematian. Hal ini secara langsung menghasilkan himpunan ODEs yang menggambarkan
perubahan angka setiap populasi.
Setiap model SEIRS variasinya dapat digambarkan sebagai suatu sistem ODEs,
untuk masalah nilai awal atau Initial Value Problems (IVPs) yang harus diselesaikan. Seperti yang telah dibahas di atas, nilai awal dan parameter dalam model
ODEs, sering tidak pasti dan dengan demikian kuantitas ini akan dinyatakan de-

Universitas Sumatera Utara

10
ngan interval. Dalam bentuk umum, ditulis sebagai:
Y 1(t) = f(y, θ), y(t0) = y0 ∈ [y0], θ ∈ [θ],

(1)

di mana t ∈ [t0, tm ] untuk suatu tm > t0. Di sini y adalah vektor dimensi-n
dari variabel dengan nilai awal y0, dan θ adalah vektor dimensi-p dari parameter
invarian waktu. [y0] dan [θ] adalah vektor-vektor interval yang mencakup ketidakpastian dalam keadaan awal dan parameter. Diasumsikan bahwa f terdiferensialkan (k − 1) dengan y dan (q + 1) kontinu terhadap θ. Di sini, k adalah pembuat
error pada metode interval deret Taylor atau Interval Taylor Series (ITS) dalam
model VSPODE, dan q adalah model Taylor pada VSPODE yang digunakan untuk
menyatakan ketergantungan parameter dan nilai awal. Model ODEs persamaan (1)
dikonversi dengan menambahkan variabel baru yang sama dengan t untuk mendapatkan variabel y dari t0 ke tm .

3.1 Analisa Interval
Vektor interval riil [x] = [x, x
¯] adalah penutup vektor riil x = [x1, . . . , xn ]T , n ≥
1. Vektor riil x = [x1 , . . . , xn ]T dan x¯ = [¯
x1 , . . . , x
¯n ]T memberikan masing-masing
batas bawah dan batas atas komponen-komponen x. Yaitu, xi ≤ xi ≤ xi atau
xi ∈ [x1, x
¯i ], Vektor interval dimensi-n dapat ditafsirkan secara geometrik sebagai
dimensi-n.
Operasi dasar didefenisikan atas skalar interval menurut [x]◦[y] = {x◦y | x ∈
[x], y ∈ [y]}, ◦ ∈ {+, −, ×, :}, dengan pembagian dalam kasus [y] mengandung nol
hanya diperbolehkan dalam perluasan aritmetik interval. Fungsi elementer versi
interval didefenisikan (Hansen dan Walster (2004).
Untuk fungsi riil f(x), perluasan interval f 1 ([x]) mencakup rentang dari f(x)
untuk x ∈ [x]. Yaitu, f 1 ([x]) ⊇ {f(x) | x ∈ [x]}. Jika f(x) dapat ditulis sebagai
deret operasi aritmetik dan fungsi elementer, perluasan interval dapat diperoleh
dengan mensubstitusikan [x] ke dalam f(x) dan mengevaluasinya dengan menggunakan aritmetik interval. Dalam kasus ini f 1 ([x]) = f([x]), disebut sebagai
perluasan interval. Dengan menghitung perluasan interval dapat menghasilkan penaksiran yang tinggi atas rentang fungsi interval karena disebabkan masalah keter-

Universitas Sumatera Utara

11
gantungan. Walaupun variabel mengambil suatu nilai di dalam interval, namun
variabel harus mengambil nilai yang sama setiap kali variabel tersebut muncul. Bila
perluasan interval digunakan, rentang yang dihitung untuk fungsi adalah rentang
yang muncul jika setiap variabel kelas tertentu mengambil nilai yang berbeda dalam rentang intervalnya. Jika f(x), di mana tidak ada variabel muncul lebih dari
satu kali, maka perluasan interval bersesuaian dengan rentang fungsi eksak seperti
penelitian yang dilakukan oleh Hansen dan Walster (2004), Jaulin et al.(2001),
Kearfott (1996), dan Neumaier (1990) untuk analisa interval, aritmetik interval
dan aspek lainnya dari penghitungan dengan interval.

3.2

Metode Verifikasi Penyelesaian

3.2.1 Model Taylor
Makino dan Berz (1996; 1999) membahas pendekatan Aljabar Diferensial
Sisa atau Remainder Differential Algebra (RDA) untuk pembatasan rentang fungsi
dan pengendalian masalah ketergantungan dari aritmetik interval. Dalam metode
ini, fungsi digambarkan dengan menggunakan model yang terdiri dari polinomial
Taylor dan batas sisa interval. Model demikian disebut model Taylor.
Satu cara dalam pembentukan model Taylor suatu fungsi adalah menggunakan teorema Taylor. Fungsi riil f(x) yang terdiferensialkan (q + 1) secara parsial
atas [x] dengan memisalkan x0 ∈ [x]. Teorema Taylor menyatakan bahwa, untuk
setiap x ∈ [x], terdapat bilangan riil ζ dengan 0 < ζ < 1 sedemikian sehingga :
f(x) = pf (x − x0 ) + rf (x − x0, ζ),

(2)

di mana pf adalah polinomial orde-q (deret Taylor terpotong) dalam (x − x0) dan
rf adalah sisa, yang dibatasi secara kuantitatif pada 0 < ζ < 1 dan x ∈ [x] dengan
menggunakan aritmetik interval atau metode lainnya untuk memperoleh batas sisa
interval [rf ], model Taylor orde-q Tf = pf + [rf ] untuk f(x) atas [x] terdiri dari
polinomial pf dan batas sisa interval [rf ] yang dinotasikan dengan Tf = (pf , [rf ]).
Dalam hal ini, f ∈ Tf untuk x ∈ [x] dan karenanya Tf mencakup rentang dari f
atas [x]. Dengan demikian fungsi f dibatasi batas atas model Taylor Tf .
Operasi dengan model Taylor dilakukan dengan menggunakan operasi yang

Universitas Sumatera Utara

12
diberikan oleh Makino dan Berz (1996,1999,2003) yang mencakup fungsi penjumlahan, perkalian, kebalikan dan fungsi intrinsik. Fungsi sederhana seperti fungsi
konstanta f(x) = k, untuk mana Tf = (k, [0; 0]) dan fungsi identitas f(xi ) = xi ,
untuk mana Tf = (xi0 + (xi − xi0 ), [0; 0]), dilakukan untuk menghitung model
Taylor. Model Taylor sering menghasilkan batas yang lebih ketat untuk fungsi
sederhana hingga fungsi yang rumit. Kegunaan dan limitasi model Taylor dibahas
secara lebih rinci oleh Neumaier (2003).
Batas interval untuk model Taylor T = (p, [r]) atas [x] dinotasikan dengan
[T ] dan diberikan oleh [T ] = [p] + [r], di mana [p] adalah batas interval untuk
bagian polinomial p. Pembatasan rentang dari polinomial interval [p] = p([x] − x0)
merupakan penting, yang secara langsung mempengaruhi kinerja metode model
Taylor. Skema pembatasan alternatif dalam penelitian Neumaier (2003) sebagian
besar fokus pada pembatasan eksak suku orde satu dan orde dua dari p. Lin dan
Stadtherr (2007) menggunakan pendekatan sederhana di mana hanya suku ordesatu dan suku orde dua yang dipertimbangkan untuk pembatasan eksak, dan suku
lainnya dievaluasi secara langsung menggunakan aritmetik interval.

3.2.2 Model Dasar SIRS
Model dasar SIRS sangat mirip dengan model populasi-konstan yang dikaji
pertama kali oleh Kermack dan McKendrick (1927). Secara aljabar, EdelsteinKeshet (2005) menyatakan model ini berfungsi sebagai masalah test awal yang
digunakan untuk mengevaluasi kinerja VSPODE.
Model SIRS ini mengasumsikan total populasi konstan n = s + i + r. Karena
menentukan populasi yang sembuh dari r = n − s − i, maka hanya membutuhkan
keseimbangan populasi atas kelas rentan dan kelas terinfeksi, dan masalah ini dinotasikan dengan:

ds
= −βsi + γr = −βsi + γ(n − s − i).
dt

(3)

Di sini suku pertama ruas kanan adalah kehilangan individu yang rentan
karena infeksi yaitu peralihan dari kelas rentan ke kelas terinfeksi, dan suku kedua
adalah pertambahan individu yang rentan disebabkan kehilangan kekebalan yaitu

Universitas Sumatera Utara

13
peralihan dari kelas sembuh ke kelas rentan. Masalah ini dinotasikan dengan:
di
= βsi − vi,
(4)
dt
di mana suku kedua ruas kanan menyatakan peralihan dari kelas terinfeksi ke kelas
sembuh.
Karena metode interval mempunyai batas yang lebar, maka perlu diperiksa
keketatan batasan VSPODE melalui perbandingan dengan hasil simulasi Monte
Carlo dengan 100.000 percobaan. Untuk setiap percobaan, nilai riil v dan β diseleksi secara acak dari batas interval yang ditetapkan.
Batas yang diperoleh dari analisa Monte Carlo tidak terjamin dan umumnya akan menghasilkan taksiran dari batas yang sebenarnya. Hasil simulasi Monte
Carlo, mengindikasikan bahwa VSPODE memberikan batas yang sangat ketat atas
populasi untuk sistem ini.

3.2.3 Model SIRS dengan Parameter Tergantung Waktu
Kegunaan lain dari model SIRS mengasumsikan bahwa probabilitas infeksi β
adalah variant waktu, yang dinotasikan dengan:


β1
β(t) = β0 1 +
cos(2πt)
n

(5)

Model ini digunakan untuk mensimulasi penyakit influenza seperti dikemukakan
dalam penelitian Dushoff et al. (2004).

3.2.4 Model SEI dengan Total Variabel Populasi
Model SEI dalam penelitian Pugliese (1990) mengasumsikan bahwa kesembuhan dari penyakit tidak mungkin, karena tidak ada kelas sembuh yang perlu
dipertimbangkan. Akan tetapi, model tetap dinamis karena total populasi n =
s+ε+i tidak diasumsikan konstan. Dalam model ini, total populasi bisa meningkat
melalui kelahiran, dengan angka kelahiran yang berbeda-beda untuk masing-masing
kelas populasi. Angka kelahiran yang berbeda-beda digambarkan dengan menggunakan konstanta angka kelahiran dasar b, dan kemudian menguranginya dengan

Universitas Sumatera Utara

14
parameter δ1 untuk kelas terpapar dan δ2 untuk kelas terinfeksi. Juga diasumsikan
bahwa kelas terinfeksi mempunyai angka kematian yang lebih tinggi daripada angka
kematian kelas lainnya, dengan pertambahan α dalam konstanta angka kematian
dasar d, model SEI dinyatakan dengan;
ds
= (b − d)s + b(1 − δ1)e + b(1 − δ2)i − βsi,
dt
de
= βsi − (d + ε)e,
dt
di
= εe − (d + α)i,
dt

(6)
(7)
(8)

Batas-batas trayektori atau lintasan kelas terinfeksi untuk 30 hari pertama,
sebagaimana ditentukan dengan VSPODE menunjukkan bahwa ketidakpastian dalam populasi awal yang rentan merambat ke dalam ketidakpastian pada populasi
terinfeksi, dan ketidapastian ini dibatasi oleh VSPODE.

3.2.5 Model SEIR dengan Ukuran Variabel Populasi
Model ini diteliti oleh Li et al.(1999) mengasumsikan bahwa kesembuhan
dimungkinkan, dengan kesembuhan memberikan kekebalan permanen. Dengan
demikian, ada kelas populasi sembuh, dan tidak terjadi peralihan dari kelas sembuh ke kelas rentan. Satu-satunya pertumbuhan dalam kelas rentan adalah dari
kelahiran baru, dengan angka kelahiran diasumsikan sama untuk semua kelas. Dalam model SEIR ini, ciri penting lainnya yaitu probabilitas penularan β diambil
berbanding terbalik dengan total populasi. Dengan demikian, β = σ/n dengan
n = s + e + i + r dan σ adalah konstanta kesebandingan. Masalah ini dinotasikan
dengan:

ds
= bn − ds − σsi/n
dt
de
= σsi/n − (ε + d)e
dt
di
= εe − (v + d + α)i,
dt
dn
= (b − d)n − αi
dt

(9)
(10)
(11)
(12)

Universitas Sumatera Utara

15
Persamaan terakhir merupakan keseimbangan atas total populasi. Sebagai
alternatif, keseimbangan atas populasi sembuh dapat digunakan. Nilai-nilai parameter yang diberikan oleh Li et al. (1999) diasumsikan sebagai satuan waktu.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PEMBAHASAN

Variasi-variasi atas model populasi umum yang diberikan dalam Bab 3 diselesaikan dengan perhitungan yang dilakukan VSPODE dengan Interval Taylor
Series (ITS) pada model Taylor. Simulasi Monte Carlo digunakan untuk tujuan
perbandingan.

4.1 Model Dasar SIRS
Hasil simulasi VSPODE untuk t = 10 tahun, dalam hal ini hasil perhitungan yang disajikan hanya sampai t = 2 tahun. Hasil memberikan batas s ∈
[4372; 12502] dan i ∈ [485072; 494389].
Hasil numerik ini dibandingkan dengan batas-batas interval eksak yang diperoleh dari penyelesaian ss = v/β = [5009; 12496] dan is = [γn − ss )/(v + γ) =
[485080; 493757].
Hasil simulasi Monte Carlo untuk t = 2 tahun memberikan batas s ∈ [5009; 12496]
dan i ∈ [485080; 493757], yang jelas bukan merupakan batas yang kuat atas penyelesaian yang sebenarnya.
Dalam jangka panjang nilai i besar disebabkan probabilitas kesembuhan sangat
kecil dibandingkan dengan laju kerentanan, seperti hasil perhitungan Monte Carlo
yang ditunjukkan dalam Tabel 4.1 dan Tabel 4.2. Dalam tabel disajikan hanya
perhitungan dalam waktu 2 tahun. Hal ini dimungkinkan dapat mewakili maksud dari penyajian tabel. Sementara itu, grafik diperoleh dari angka-angka yang
diberikan dalam tabel.

16
Universitas Sumatera Utara

17
Tabel 4.1

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
Untuk Kerentanan (s) Populasi Dalam Model SIRS
t
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0

s VSPODE

s− MC

s¯ MC

s¯VSPODE

477193
318703
63839
7769
3988
4194
4324
4361
4370
4372

477197
319584
68319
11062
5528
5053
5013
5010
5010
5009

485712
417148
212357
56262
19204
13459
12631
12515
12494
12496

486323
419180
216113
57489
19673
13590
12670
12528
12505
12502

−

Joshua & Mark (2009)
Secara grafik dinyatakan dengan:

Gambar 4.1 Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) Untuk Kerentanan (s) Populasi Dalam Model SIRS
4.2 Model SIRS dengan Parameter Tergantung Waktu
Hasil Dushoff et al. (2004) menunjukkan bahwa setiap syarat awal dalam
rentang ini akan konvergen. Dengan mendefinisikan t sebagai variabel keadaan
baru kemudian VSPODE digunakan untuk menghitung batas-batas atas populasi
dari t = 0 hingga t = 2 tahun. Perhitungan Monte Carlo ditunjukkan pada tabel
4.2.

Universitas Sumatera Utara

18
Tabel 4.2

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Infeksi Populasi dalam Model SIRS
¯iMC ¯iVSPODE
t
i VSPODE
i MC
−

0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0

−

13612
80385
282559
440344
477942
483989
484904
485045
485068
485072

13728
82448
286360
441604
478411
484123
484945
485062
485079
485080

23751
180048
430625
487722
493240
493713
493753
493756
493757
493757

27761
180898
434961
490957
494764
494565
494436
494400
494391
494389

Joshua & Mark (2009)
Secara grafik dinyatakan dengan:

Gambar 4.2 Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Infeksi Populasi dalam Model SIRS
Hasil simulasi Monte Carlo bukan merupakan batas yang ketat atas penyelesaian yang sebenarnya. Dengan menafsirkan hasil model ini sesuai dengan tabel
4.1 dan tabel 4.2, tampak jelas bahwa suatu epidemi terus berkelanjutan pada
populasi.
Pada kelas infeksi atau i besar akan tetap mempertahankan nilai besar i
dikarenakan kelas infeksi atau i menekan populasi kelas rentan (susceptible) atau
s dan kelas sembuh (recovered) atau r.

Universitas Sumatera Utara

19
4.3 Model SEI dengan Total Variabel Populasi
Perbandingan dengan analisa Monte Carlo menunjukkan bahwa, untuk nilai
waktu yang lebih besar, batas-batas VSPODE semakin kecil. Secara kuantitatif
diperlihatkan dalam Tabel 4.3.
Nilai v = 50 per tahun, γ = 0, 125 per tahun, n = 500.000 indv, β0 = 400 per
tahun dan β1 = 0, 04. Untuk syarat awal, diasumsikan nilai awal dalam interval
i0 ∈ [1000; 4000] indv dan [s0] = n − [i0]. Hasil menunjukkan bahwa setiap syarat
awal dalam rentang ini akan konvergen ke siklus batas yang sama. Jumlah infeksi
dengan nilai maksimum sekitar i = 340.000 indv pada waktu t = 0, 02 tahun.
Pada titik ini, batasan interval i sekitar 20.000 individu dengan peningkatan
kira-kira lima kali lipat dibandingkan dengan ketidakpastian interval atas syarat
awal i0.
Pada waktu t = 932, 13 hari, batasan interval n menyusut menjadi lebih kecil
dan tetap bertahan untuk nilai waktu yang lebih besar. Walaupun ketidakpastian
dalam syarat awal mempengaruhi tingginya infeksi maka trayektori atau lintasan
akan konvergen dengan cepat ke suatu penyelesaian yang tak tergantung pada
keadaan awal. Hasil ini juga sesuai dengan penelitian Dushoff et al. (2004) yang
menunjukkan batas atas interval waktu t ∈ [0, 10] tahun.
Hasil perhitungan disajikan dalam tabel 4.3.

Tabel 4.3 memperlihatkan

bahwa setiap waktu nilai n semakin dapat ditekan atau semakin mengecil. Hal
ini akibat kelas sembuh dan terinfeksi semakin berkurang dari total populasi.

Universitas Sumatera Utara

20
Tabel 4.3

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
Untuk Infeksi Populasi Dalam Model SEI
t
104.88
196.00
283.10
367.74
450.66
532.33
613.03
692.96
772.29
851.22
932.13

nVSPODE
386332
332511
304527
286613
274015
264497
257015
250895
245420
238813
196818

nMC
392070
339078
310961
292756
279870
270088
262387
256136
250804
245638
221081

n
¯ MC n
¯ VSPODE
394594
400326
341463
348021
313300
319723
295064
301193
282127
287968
272308
277884
264575
269931
258294
263521
252971
258339
247947
254756
225851
250080
Joshua & Mark (2009)

Secara grafik dinyatakan dengan:

Gambar 4.3 Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) Untuk Infeksi Populasi Dalam Model SEI
4.4 Model SEIR dengan Ukuran Variabel Populasi
Hal ini menunjukkan bahwa ketidakpastian dalam populasi awal yang rentan
merambat ke dalam ketidakpastian pada populasi terinfeksi, dan ketidapastian
ini dibatasi oleh VSPODE. Untuk masalah ini, pergeseran fase tergantung pada
keadaan awal.

Universitas Sumatera Utara

21
VSPODE memberikan batas-batas yang ketat atas populasi yang mungkin.
Perbandingan yang lebih kuantitatif disajikan pada Tabel 4.4 dan 4.5, di mana ada
perbandingan numerik untuk batas-batas yang diperoleh dari VSPODE dan dari
analisa Monte Carlo.
Hasil analisa Monte Carlo tidak memberikan batas-batas yang sebenarnya.
VSPODE memberikan batas-batas yang kuat. Hasil-hasil yang diperlihatkan sesuai
dengan hasil-hasil Li et al. (1999), yang membahas syarat numerik yang diperlukan
untuk epidemi.
Tabel 4.4

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Infeksi Populasi dalam Model SEIR
¯iMC ¯iVSPODE
t
iVSPODE iMC
1.0
54447
54448 55188
55203
2.0
16743
16753 18112
18115
3.0
8306
8312
9026
9028
4.0
9374
9375
9950
9951
5.0
13949
13950 14541
14545
6.0
16573
16574 17281
17285
7.0
14789
14790 15571
15573
8.0
12967
12970 13707
13709
9.0
12846
12850 13545
13549
10.0
13599
13608 14300
14310
Joshua & Mark (2009)

Secara grafik dinyatakan dengan:

Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Infeksi Populasi dalam Model SEIR

Universitas Sumatera Utara

22
Pada tabel 4.4 memperlihatkan kelas terinfeksi yang tidak pasti dapat ditekan
atau berkurang. Hal ini menunjukkan bahwa sejalan dengan waktu, kemungkinan
infeksi menyebar yang mengakibatkan pertambahan populasi terinfeksi, tidaklah
dapat diketahui dengan pasti.
Tabel 4.5

Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo (MC)
untuk Total Populasi dalam Model SEIR
t
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0

nVSPODE
341797
224886
229684
256999
273219
265838
253450
251486
255898
259120

nMC
341833
224949
229703
257008
273229
265854
253474
251509
255928
259178

n
¯ MC n
¯ VSPODE
357282
357316
239007
239033
242026
242046
269565
269599
286461
286496
279566
279590
267028
267054
264779
264807
269158
269198
272517
272586
Joshua & Mark (2009)

Secara grafik dinyatakan dengan:

Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Hasil VSPODE dengan Simulasi Monte Carlo
(MC) untuk Total Populasi dalam Model SEIR
Nilai-nilai b = 0, 5 per tahun, d = 0, 18 per tahun, σ = 20 per tahun, ε =
4 per tahun, v = 1, 5 per tahun dan α = 6 per tahun. Untuk keadaan awal,
dipilih populasi total n0 = 500.000 indv dengan 10% terinfeksi dengan i0 = 50.000
individu. Populasi awal kelas lainnya tidak pasti dan diasumsikan sebagai s0 ∈
[400000; 405000] indv dan e0 ∈ [10000; 15000] individu. VSPODE diaplikasikan

Universitas Sumatera Utara

23
untuk t = 1 hingga t = 10 tahun. Pada tabel 4.5 memperlihatkan batas atas
dan batas bawah atas populasi yang terinfeksi dan total populasi sebagai fungsi
dari waktu. VSPODE memberikan batas-batas yang sangat ketat atas populasi
untuk sistem ini. Perbandingan yang lebih kuantitatif diberikan oleh Tabel 4.4
dan 4.5, di mana ada perbandingan numerik langsung, hal ini sesuai dengan hasilhasil Li et al. (1999). Dari tabel 4.4 dan tabel 4.5 dapat dinyatakan bahwa infeksi
semakin kecil dalam batasan pupulasi yang hampir sama. Dengan demikian jumlah
yang terinfeksi dapat berkurang akibat pengaruh kerentanan dan kesembuhan yang
cepat.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan
Model epidemi SIRS. SEI, SEIR merupakan model epidemi dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit, kondisi ini dinotasikan dengan s (susceptible), individu yang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi
dengan individu yang terinfeksi, dan akhirnya terinfeksi. Individu yang terinfeksi
tersebut dinotasikan dengan i (infected). Individu yang rentan terinfeksi keluar
dan menyebabkan penyakit dalam masa infukbasi, dinotasikan dengan e (exposed).
Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu yang terinfeksi mungkin akan
sembuh, yang dinotasikan dengan r (recovered).
Model epidemi digunakan untuk mengkaji dampak infeksi di dalam populasi. Model ini melibatkan parameter yang tidak diketahui dengan pasti. Dengan
menggunakan metode verifikasi penyelesaian, model ODEs nonlinear menunjukkan
batasan garis lintasan penyakit dari batasan parameter yang tidak pasti.
Metode verifikasi penyelesaian didasarkan pada penggunaan Interval Deret
Taylor untuk mendeskripsikan ketergantungan pada waktu dan parameter yang
tidak pasti. Ketidakpastian dalam parameter dan syarat awal dinyatakan dengan
interval yang berarti informasi tentang distribusi probabilitas tidak diberikan, yang
diberikan hanyalah batas atas dan batas bawah.
5.2 Saran
Penulis menyarankan untuk penelitian dimasa akan datang agar melakukan
penelitian yang mengkaji model epidemi di mana terdapat distribusi probabilitas
untuk memperoleh batas-batas ketidakpastian.

24
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Allen, L. J. S. and Burgin, A. M. (2000). Comparison of deterministic and stochastic
SIS and SIR models in discrete time, Mathematical Biosciences 163(1): 1-33.
Anderson, R. M. and May, R. M. (1979). Population biology of infectious diseases:
Part 1, Nature 280(5721): 361-367.
Dushoff, J., Plotkin, J. B., Levin, S. A. and Earn, D. J. D. (2004). Dynamical
resonance can account for seasonality of influenza epidemics, Proceedings of
the National Academy of Sciences 101(48): 16915-16916.
Edelstein-Keshet, L. (2005). Mathematical Models in Biology, SIAM, Philadelphia,
PA.
Fan, M., Li, M. Y. and Wang, K. (2001). Global stability of an SEIS epidemic
model with recruitment and a varying total population size, Mathematical
Biosciences 170(2): 199-208.
Hansen, E. R. and Walster, G. W. (2004). Global Optimization Using Interval Analysis, Marcel Dekker, New York, NY.
Hethcote, H. W. (1976). Qualitative analysis of communicable disease models, Mathematical Biosciences 28(4): 335-356.
Joshua A. Enszer, Mark A. Stadtherr (2009). Verified solution method for population
epidemiology Models with uncertainty. J. Appl. Math. Comput. Sci., 2009, Vol.
19, No. 3, 501-512
Jaulin, L., Kieffer, M., Didrit, O. and Walter, E. (2001). Applied Interval Analysis,
Springer-Verlag, London
Kearfott, R. B. (1996). Rigorous Global Search: Continuous Problems, Kluwer, Dordrecht.
Kermack, W. O. and McKendrick, A. G. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society of London, Part A
115(772): 700-721.
Li, M. Y., Graef, J. R., Wand, L. and Karsai, J. (1999). Global dynamics of a SEIR
model with varying total population size, Mathematical Biosciences 160(2):
191-215.
Lin, Y. and Stadtherr,M. A. (2007). Validated solutions of initial value problems
for parametric ODEs, Applied Numerical Mathematics 57(10): 1145-1162.
Makino, K. and Berz, M. (1996). Remainder differential algebras and their applications, in M. Berz, C. Bishof, G. Corliss and A. Griewank (Eds.), Computational
Differentiation: Techniques, Applications, and Tools, SIAM, Philadelphia, PA,
pp. 63-74.
Makino, K. and Berz, M. (1999). Efficient control of the dependency problem based
on Taylor model methods, Reliable Computing 5(1): 3-12.

25
Universitas Sumatera Utara

26
Makino, K. and Berz, M. (2003). Taylor models and other validated functional
inclusion methods, International Journal of Pure and Applied Mathematics
4(4): 379-456.
Nedialkov, N. S., Jackson, K. R. and Corliss, G. F. (1999). Validated solutions of
initial value problems for ordinary differential equations, AppliedMathematics
and Computation 105(1): 21-68.
Neher, M., Jackson, K. R. and Nedialkov, N. S. (2007). On Taylor model based
integration of ODEs, SIAM Journal on Numerical Analysis 45(1): 236-262.
Neumaier, A. (1990). Interval Methods for Systems of Equations, Cambridge University Press, Cambridge.
Neumaier, A. (2003). Taylor forms-Use and limits, Reliable Computing 9(1): 43-79.
Pugliese, A. (1990). An SEI epidemic model with varying population size, in S.
Busenberg and M. Martelli (Eds.), Differential Equations Models in Biology, Epidemiology and Ecology, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 92,
Springer, Berlin, pp. 121-138.
Shepley L.Ross. (1984). Differential Equation. Newyork: John Wiley & Sons

Universitas Sumatera Utara