Metode Transformasi Diferensial Untuk Model Lotka-Volterra
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL
LOTKA-VOLTERRA
PUTRI TSANIYA KARIMA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Transformasi
Diferensial untuk Model Lotka-Volterra adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Putri Tsaniya Karima
NIM G54110062
ABSTRAK
PUTRI TSANIYA KARIMA. Metode Transformasi Diferensial untuk Model
Lotka-Volterra. Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan FAHREN BUKHARI.
Dalam kehidupan nyata, banyak fenomena yang dapat dipelajari
menggunakan model matematika yang biasanya dibentuk dari suatu sistem
persamaan diferensial. Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial
sebuah model menjadi penting. Namun tidak semua sistem persamaan diferensial
dapat diperoleh penyelesaian analitiknya. Oleh karena itu diperlukan metode
iteratif atau pendekatan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan diferensial
tersebut. Salah satu metode iteratif yang dapat digunakan adalah metode
transformasi diferensial. Metode yang dibentuk dengan ide dasar deret Taylor ini
menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik dalam bentuk polinom. Pada
penelitian ini, metode transformasi diferensial digunakan untuk mendapatkan
pendekatan penyelesaian analitik dari model Lotka-Volterra. Hasil penelitian
menunjukkan pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode
transformasi diferensial cukup akurat untuk model Lotka-Volterra dalam horizon
waktu yang kecil.
Kata kunci: model mangsa pemangsa, Lotka-Volterra, metode transformasi
diferensial
ABSTRACT
PUTRI TSANIYA KARIMA. The Solution of Lotka-Volterra Model by
Differential Transformation Method. Supervised by ELIS KHATIZAH and
FAHREN BUKHARI.
There are many phenomena that can be studied using mathematical models
that are usually constructed in the form of a differential equation system. It is
important to determine solution of the differential equation system. However,
some solutions of differential equation system can not be obtained analytically.
Therefore we need an iterative or approach method to obtain the solution of
differential equation system. One of iterative methods that can be used is
differential transformation method. The method that is developed with the basic
idea of the Taylor series generates analytic approach solution in the form of a
polynomial. In this paper, differential transformation method is used to obtain an
approximate solution of Lotka-Volterra model. The results showed that the
completion of an analytical approach using differential transformation method is
accurate enough for Lotka-Volterra model at short time horizon.
Keywords: prey and predator model, Lotka-Volterra, differential transformation
method
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL
LOTKA-VOLTERRA
PUTRI TSANIYA KARIMA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan sebaikbaiknya. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah metode penyelesaian sistem
persamaan diferensial biasa, dengan judul Metode Transformasi Diferensial untuk
Model Lotka-Volterra.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi selaku
dosen pembimbing I dan Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen
pembimbing II atas semua ilmu, kebaikan, kesabaran, motivasi, dan bantuannya
selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada
Bapak Ruhiyat, SSi, MSi selaku dosen penguji yang banyak memberikan bantuan
dan saran. Penghargaan tertinggi penulis berikan kepada ibunda Hj. Nenny
Martini, ayahanda H. Sutarno, kakak dan adik-adik tercinta, beserta seluruh
keluarga, atas kasih sayang, doa, dan dukungan yang luar biasa besar dan tak
ternilai harganya. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada pejuang satu
bimbingan, Arli dan Irma, serta sahabat-sahabat tercinta, Pristi, Lidya, Resty, Sifa,
Intan Fitria, Riefdah, Riski, Alfi, Hanna, Andini, Atikah, Nina, dan seluruh rekan
Departemen Matematika, terutama angkatan 48, atas segala bentuk dukungan
selama lebih dari tiga tahun ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2015
Putri Tsaniya Karima
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Model Lotka-Volterra
4
Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra
5
SIMPULAN
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
22
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram alir algoritme metode transformasi diferensial untuk model
Lotka-Volterra
2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b)
Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4
3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
6
9
10
20
20
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3,
dan Kasus 4
2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi
diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra
3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0
4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode
numerik built-in Mathematica 8.0
13
15
18
20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan nyata, banyak permasalahan yang berkaitan dengan
berbagai disiplin ilmu pengetahuan seperti ilmu hayati, fisika, sosial, maupun
ekonomi. Fenomena dari berbagai permasalahan ini dapat dipelajari menggunakan
model matematik yang merepresentasikan kondisi nyata. Struktur model biasanya
dibangun dari fungsi-fungsi yang ditulis secara matematis yang memenuhi asumsi
tertentu. Beberapa model tersebut biasanya berbentuk sistem persamaan
diferensial biasa, baik linear maupun taklinear.
Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial dalam sebuah model
menjadi penting untuk memenuhi tujuan tertentu. Sistem persamaan diferensial
biasa linear umumnya dapat diselesaikan menggunakan metode analitik atau
langsung seperti metode Laplace. Namun untuk sistem persamaan diferensial
biasa taklinear, penyelesaian secara analitik tidak mudah dilakukan. Persamaan
diferensial biasa taklinear tersebut diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu
untuk selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial
biasa linear. Walaupun begitu, penyelesaian analitik tidak selalu dapat diperoleh.
Untuk itu, digunakan metode iteratif yang menghasilkan suatu pendekatan dari
penyelesaian eksak.
Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat
diterapkan pada persamaan taklinear tanpa linearisasi, yaitu metode transformasi
diferensial. Metode yang menghasilkan pendekatan untuk solusi analitik ini
awalnya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal yang linear dan
taklinear pada analisis sirkuit listrik. Metode ini membangun sebuah teknik
numerik semi-analitik dengan ide dasar deret Taylor untuk menghasilkan
penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk polinom. Salah satu model yang
berbentuk sistem persamaan diferensial biasa taklinear yang dapat diselesaikan
oleh metode ini adalah model mangsa pemangsa (prey-predator).
Model mangsa pemangsa terbentuk berdasarkan pada kenyataan bahwa
makhluk hidup di dunia ini terdiri atas berbagai macam spesies yang membentuk
sebuah populasi dan hidup berdampingan bersama-sama untuk menjaga kestabilan
ekosistem. Setiap makhluk hidup saling membutuhkan dan melakukan proses
interaksi satu sama lain. Proses interaksi atau hubungan yang terjadi antar
individu tersebut salah satunya menimbulkan sebuah siklus yang dikenal sebagai
rantai makanan, yaitu proses perpindahan energi dari sumberdaya tumbuhan ke
organisme lainnya melalui jenjang makanan. Dalam siklus ini, terdapat interaksi
spesies pemangsa dan mangsa, yaitu memakan dan dimakan, yang menyebabkan
perubahan banyaknya populasi kedua spesies terhadap waktu. Dari perilaku
sistem mangsa-pemangsa yang dinamis inilah para ahli membentuk sebuah model
yang mengikuti kaidah sistem persamaan diferensial.
Pada penelitian ini metode transformasi diferensial akan digunakan untuk
menyelesaikan model mangsa pemangsa Lotka-Volterra. Software Scilab 5.5.0
digunakan untuk menjalankan algoritme yang dibentuk sehingga hasil
penyelesaiannya lebih mudah didapatkan.
2
Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1. menerapkan metode transformasi diferensial untuk menentukan pendekatan
penyelesaian analitik model mangsa pemangsa Lotka-Volterra,
2. menyusun program Scilab 5.5.0 untuk metode transformasi diferensial yang
diterapkan pada model mangsa pemangsa Lotka-Volterra,
3. membandingkan grafik hasil penyelesaian metode transformasi diferensial
dengan metode numerik built-in Mathematica 8.0.
LANDASAN TEORI
Definisi 1 (sistem persamaan diferensial)
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan
state variabel
yang dinyatakan dengan buah persamaan diferensial biasa yang
bergantung pada waktu dan vektor parameter , maka sistem persamaan
diferensialnya didefinisikan sebagai berikut:
atau
.
(Luenberger 1979)
Definisi 2 (sistem persamaan diferensial taklinear)
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai:
̇
dengan
[
] dan
(1)
[
].
Jika
fungsi taklinear pada
, maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial taklinear.
(Braun 1983)
3
Definisi 3 (deret Taylor)
Diberikan fungsi dan semua turunannya,
selang
. Misalkan
, untuk nilai-nilai
dapat diekspansi ke dalam deret Taylor:
di dalam
di sekitar
dan
,
.
Jika
, maka:
.
(Munir 2003)
Definisi 4 (metode transformasi diferensial untuk persamaan diferensial)
Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk
memperoleh penyelesaian analitik deret Taylor dari persamaan diferensial.
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk fungsi yang memiliki turunan
pada setiap titik di persekitaran domain sebagai berikut:
[
]
,
(2)
dengan
merupakan fungsi asli dan
merupakan fungsi transformasi.
Suatu fungsi di dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
∑
[
]
(3)
Berdasarkan Persamaan (2), maka Persamaan (3) berubah menjadi
Saat
, diperoleh
∑
.
∑
(4)
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial.
(Yesilce 2010)
Batiha (2015) dalam artikelnya The Solution of The Prey and Predator
Problem by Differential Transformation Method menyebutkan bahwa terdapat
beberapa teorema yang menunjukkan sifat operasi dasar metode transformasi
diferensial. Adapun teorema-teorema tersebut adalah sebagai berikut.
Teorema 1
Jika
, maka
.
4
Teorema 2
Jika
Teorema 3
Jika
, maka
.
, maka
.
Teorema 4
Jika
, maka
.
Teorema 5
Jika
, maka
Teorema 6
Jika
, maka
Teorema 7
Jika
, maka
Teorema 8
Jika
Teorema 9
Jika
{
}.
{
}.
{
, maka
, maka
Teorema 10
Jika
.
, maka
}.
∑
, dengan
.
adalah konstanta.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Lotka-Volterra
Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model dasar mangsa
pemangsa Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra menggambarkan sistem interaksi
dua spesies yang diperkenalkan secara terpisah oleh Alfred J. Lotka dan Vito
Volterra sekitar tahun 1920. Interaksi yang memberikan pengaruh terhadap
banyaknya populasi dua spesies tersebut adalah rantai makanan. Asumsi-asumsi
yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut:
1. Hanya terdapat dua spesies yaitu mangsa (prey) dan pemangsa (predator).
2. Persediaan makanan untuk mangsa cukup.
3. Persediaan makanan pemangsa bergantung pada populasi mangsa.
5
4. Populasi mangsa akan menurun pada saat terjadinya interaksi mangsa dengan
pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan
pertumbuhannya.
5. Populasi pemangsa akan meningkat pada saat terjadinya interaksi mangsa dan
pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan
pertumbuhannya.
6. Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak sehingga
setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.
7. Sepanjang terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa, habitat kedua
spesies tersebut tetap dan tidak adanya perpindahan.
Secara matematis, model Lotka-Volterra dinyatakan sebagai berikut:
(
(
)
(5)
)
dengan
dan konstanta
, serta
: banyaknya populasi mangsa pada waktu (satuan populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu (satuan populasi),
: laju pertumbuhan populasi mangsa (satuan 1/waktu),
: tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang
berpengaruh terhadap populasi mangsa (satuan 1/(populasi.waktu)),
: laju kematian alami populasi pemangsa (satuan 1/waktu),
: tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang
berpengaruh terhadap populasi pemangsa (satuan 1/(populasi.waktu)).
Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan penyelesaian dari model LotkaVolterra menggunakan metode transformasi diferensial. Penyelesaian yang
diperoleh akan menunjukkan banyaknya populasi mangsa dan pemangsa setelah
terjadi interaksi di antara keduanya pada waktu tertentu. Hal ini menjadi sangat
penting dalam pembahasan ilmu ekologi karena kelangsungan hidup manusia
tergantung pada keseimbangan lingkungan sekitarnya. Dan keseimbangan tersebut
dapat tercapai jika jumlah rata-rata spesies dari dua populasi yaitu populasi
mangsa dan pemangsa yang berinteraksi satu sama lain bersesuaian dengan
ukuran atau proporsinya.
Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra
Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah metode transformasi
diferensial. Rumusan deret Taylor yang dijabarkan pada Definisi 4 merupakan ide
awal Zhou (1986) merancang metode ini. Dengan metode ini, dihasilkan suatu
polinom yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik untuk persamaan
diferensial linear maupun taklinear. Khusus untuk persamaan diferensial taklinear
tidak perlu pelinearan sebagaimana metode yang lazim digunakan.
Alur penggunaan metode transformasi diferensial linear maupun taklinear
melibatkan perhitungan yang dapat dilakukan secara manual. Langkah pertama
untuk menyelesaikan model Lotka-Volterra dengan metode transformasi
6
diferensial adalah membentuk Sistem (9) menjadi dua fungsi transformasi sesuai
Definisi 4, Teorema 1, Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 9. Diperoleh
∑
∑
,
(6)
.
(7)
Dengan menyubstitusi nilai awal
dan
serta parameter , , , dan
tertentu akan diperoleh koefisien polinom hasil invers transformasi sesuai
Persamaan (4). Polinom inilah yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik
Sistem (5). Proses iteratif dalam menentukan koefisien polinom tersebut ada
kalanya melibatkan perhitungan yang rumit dan tidak efektif sehingga perlu
bantuan komputer. Oleh karena itu, penulis menyusun sebuah algoritme metode
transformasi diferensial khusus untuk model Lotka-Volterra. Algoritme untuk
metode ini diimplementasikan dengan membuat program dalam Scilab 5.5.0 yang
hasilnya terdapat pada Lampiran 2. Adapun bagan alir algoritme metode ini
adalah sebagai berikut.
Mulai
Input
a,b,c,d,k,x(0),y(0)
For i = 0 to k+1
For m = 1 to i
Hitung nilai f untuk
perhitungan x dan y
Next m
Hitung x dan y
Buat f = 0
Next i
Print x dan y
Selesai
Gambar 1 Diagram alir algoritme metode transformasi
diferensial untuk model Lotka-Volterra
7
Selanjutnya, akan dibahas empat kasus Model Lotka-Volterra yang
dibedakan berdasarkan jumlah populasi awal mangsa dan pemangsa, serta laju
pertumbuhan mangsa dan laju kematian alami pemangsa. Secara ringkas, keempat
kasus ini dapat dibedakan atas pemilihan nilai awal dan parameter yang tertera
pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai awal dan parameter untuk empat kasus model Lotka-Volterra
Kasus
1
2
3
4
14
14
16
16
18
18
10
10
1
0.1
0.1
1
1
1
1
1
0.1
1
1
0.1
1
1
1
1
Kasus 1
Pada Kasus 1 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih kecil
daripada jumlah populasi awal pemangsa dan laju pertumbuhan populasi mangsa
lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan
parameter yang bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut
,
,
,
,
, dan
.
Merujuk pada Persamaan (6) dan Persamaan (7), fungsi transformasi yang
bersesuaian dengan parameter tersebut adalah sebagai berikut:
∑
Substitusikan nilai awal
untuk
,
dan
,
∑
.
, diperoleh
,
,
untuk
,
∑
untuk
,
∑
,
,
∑
dan seterusnya.
,
∑
,
8
Selanjutnya berdasarkan Persamaan (4), dapat diperoleh pendekatan
penyelesaian analitik Kasus 1 untuk Sistem (5) yang berbentuk polinom sebagai
berikut:
∑
∑
(8)
(9)
Persamaan (8) dan Persamaan (9) tersebut dapat pula diperoleh dengan
bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun
penulis pada Lampiran 2.
Kasus 2
Pada Kasus 2, asumsi yang digunakan sama seperti Kasus 1, yaitu jumlah
populasi awal mangsa lebih kecil daripada jumlah populasi awal pemangsa.
Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa pada Kasus 2 ini lebih kecil
daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan parameter yang
bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut
,
,
,
,
, dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, pendekatan
penyelesaian analitik untuk Kasus 2 adalah sebagai berikut:
∑
∑
(10)
(11)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (10) dan Persamaan (11) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (10) dan Persamaan (11) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
Kasus 3
Pada Kasus 3 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih besar
daripada jumlah populasi awal pemangsa,
dan
. Asumsi ini
berbeda dengan dua kasus sebelumnya. Selanjutnya, laju pertumbuhan populasi
mangsa pada Kasus 3 ini lebih kecil daripada laju kematian alami populasi
pemangsa atau sama dengan Kasus 2. Dengan demikian, nilai parameter yang
digunakan pada Kasus 3 sama dengan Kasus 2, yaitu
,
,
, dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh
pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut:
∑
∑
(12)
(13)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (12) dan Persamaan (13) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (12) dan Persamaan (13) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
9
Kasus 4
Pada Kasus 4, asumsi yang digunakan sama dengan Kasus 3, yaitu jumlah
populasi awal mangsa lebih besar daripada jumlah populasi awal pemangsa,
dan
. Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa
pada Kasus 4 ini lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa,
sebagaimana asumsi pada Kasus 1. Dengan demikian, nilai parameter yang
digunakan pada Kasus 4 sama seperti pada Kasus 1, yaitu
,
,
,
dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh
pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut:
∑
∑
(14)
(15)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (14) dan Persamaan (15) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (14) dan Persamaan (15) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
Dengan menjalankan program yang terdapat pada Lampiran 2 dalam Scilab
5.5.0, diperoleh grafik penyelesaian Sistem (5). Grafik tersebut dapat dilihat pada
Gambar 2.
(a)
(c)
(b)
(d)
Gambar 2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b)
Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4
10
Dari Gambar 2, terlihat bahwa semakin meningkat populasi pemangsa,
maka populasi mangsa akan semakin menurun. Hal ini disebabkan adanya
interaksi antara mangsa dan pemangsa. Namun hingga waktu tertentu, saat
populasi mangsa hampir punah, banyaknya populasi pemangsa akan mengalami
penurunan. Seiring berjalannya waktu, populasi pemangsa menuju kepunahan,
sementara populasi mangsa menuju tak hingga.
Berdasarkan interpretasi Gambar 2, penyelesaian model Lotka-Volterra
menggunakan metode transformasi diferensial cukup realistis untuk periode
pengamatan jangka pendek. Hal ini sesuai dengan realita dinamika populasi
mangsa dan pemangsa. Akan tetapi, metode transformasi diferensial tidak realistis
untuk penyelesaian model Lotka-Volterra dalam periode pengamatan jangka
panjang. Ketidakrealistisan itu mungkin terjadi karena pada dasarnya model Lotka
Volterra dibangun dari asumsi yang sangat sederhana. Model ini tidak
mempertimbangkan persaingan di antara spesies yang sama, mangsa dengan
mangsa yang lain, ataupun pemangsa dengan pemangsa yang lain. Akibatnya,
populasi mangsa dapat tumbuh tak berhingga banyaknya tanpa batasan sumber
daya, dan pemangsa memiliki tingkat konsumsi yang tak terbatas pula (VPISU
1996).
Selanjutnya, grafik penyelesaian model Lotka-Volterra dengan metode
transformasi diferensial akan dibandingkan dengan grafik hasil komputasi metode
numerik built-in Mathematica. Metode numerik built-in Mathematica tersebut
dapat dilihat pada Lampiran 3.
Untuk perbandingan kedua metode ini, penulis akan mengambil Kasus 1
dengan derajat polinom hingga
pada penyelesaian menggunakan metode
transformasi diferensial. Adapun perbandingan kedua metode untuk Kasus 2,
Kasus 3, dan Kasus 4 terdapat pada Lampiran 4.
Perbandingan grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi
diferensial dan metode numerik built-in Mathematica dapat dilihat pada Gambar 3
dan Gambar 4.
x
50
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
40
30
20
10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
t
10
20
Gambar 3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
11
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa setelah waktu
terdapat
simpangan yang besar antara hasil penyelesaian metode transformasi diferensial
dengan metode numerik built-in Mathematica. Hal ini menunjukkan bahwa
metode transformasi diferensial merupakan metode yang bias untuk periode
pengamatan jangka panjang.
SIMPULAN
Sistem persamaan diferensial taklinear seperti model mangsa pemangsa
Lotka-Volterra dapat diselesaikan menggunakan metode transformasi diferensial.
Pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode ini berupa fungsi polinom.
Tanpa perlu proses linearisasi, penyelesaian dari sistem persamaan diferensial
taklinear didapatkan secara sederhana. Namun terdapat simpangan yang besar
antara hasil penyelesaian menggunakan metode transformasi diferensial dengan
metode numerik built-in Mathematica dalam horizon waktu yang besar.
Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi diferensial
yang diterapkan pada model Lotka-Volterra telah berhasil dibuat. Dengan
konstruksi algoritme yang disusun dalam karya ilmiah ini, pencarian solusi dari
model Lotka-Volterra menggunakan metode transformasi diferensial menjadi
sangat mudah dan praktis.
12
DAFTAR PUSTAKA
Batiha B. 2015. The solution of the prey and predator problem by differential
transformation method. International Journal of Basic and Applied Sciences.
4(1):36-43. doi: 10.14419/ijbas.v4i1.4034.
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York (US):
Springer-Verlag.
Luenberger DG. 1979. Introduction to Dynamic System: Theory, Models, and
Applications. New York (US): John Wiley & Sons.
Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika.
[VPISU] Virginia Polytechnic Institute and State University. 1996. Quantitative
Population Ecology. Virginia (US): VPISU. [diunduh 2015 Mar]. Tersedia
pada: https://home.comcast.net/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html.
Yesilce Y. Differential transform method for free vibration analysis of a moving
beam. International Journal of Structural Engineering and Mechanics.
35(5):645-658. doi: 10.12989/sem.2010.35.5.645.
13
Lampiran 1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3,
dan Kasus 4
Kasus 2
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
,
∑
untuk
,
,
∑
,
∑
,
sehingga diperoleh Persamaan 10 dan Persamaan 11.
Kasus 3
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
∑
untuk
,
,
,
∑
∑
,
,
,
14
sehingga diperoleh Persamaan 12 dan Persamaan 13.
Kasus 4
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
untuk
,
∑
,
,
∑
,
∑
sehingga diperoleh Persamaan 14 dan Persamaan 15.
,
15
Lampiran 2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi
diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra
//------------------------------------------------------------------------------------------------// Model Lotka-Volterra
// dx/dt = x(a-by)
// dy/dt = -y(c-dx)
// akan menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik
// x(t) = x(0) + x(1)*t + x(2)*t^2 + ...
// y(t) = y(0) + y(1)*t + y(2)*t^2 + ...
// menggunakan metode transformasi diferensial.
//------------------------------------------------------------------------------------------------// Input:
// a,b,c,d = berupa bilangan real positif
// x0, y0 = nilai awal, berupa bilangan real positif
// Input tambahan:
// k = banyaknya iterasi
//------------------------------------------------------------------------------------------------// program dimulai dengan memasukkan input
clear
mprintf("\n Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra")
mprintf("\n Model Umum : dy/dt = -y(c-dx) & dx/dt = x(a-by)")
mprintf("\n Silakan masukkan terlebih dahulu input yang dibutuhkan \n")
a = input(" Nilai laju pertumbuhan mangsa = ");
b = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi mangsa = ");
c = input(" Nilai laju kematian alami pemangsa = ");
d = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi pemangsa = ");
x0 = input(" Nilai awal untuk x = ");
y0 = input(" Nilai awal untuk y = ");
k = input(" Banyaknya iterasi = ");
// kemudian dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan hasil penyelesaian
if k < 0 & a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0
error('Periksa kembali nilai k, nilai parameter, dan nilai awal')
elseif k < 0 then
error('Maaf nilai k yang anda input tidak memenuhi syarat, silakan diulang
kembali program ini.')
elseif a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0 then
error('Input tidak boleh bernilai nol, silakan diulang kembali program ini.')
16
else
x = [x0];
y = [y0];
f = 0;
for i = 1:k+1
for m = 1:i
f = f+(x(m)*y(i-m+1));
end
x = [x (a*x(i)-(b*f))/i];
y = [y ((-1*c*y(i))+d*f)/i];
f = 0;
end
xt = poly(x,'t','coeff');
yt = poly(y,'t','coeff');
disp(xt,'Bentuk polinom dari solusi x pada sistem tersebut adalah')
disp(yt,'Bentuk polinom dari solusi y pada sistem tersebut adalah')
// untuk lebih lengkap, dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan grafik
mprintf("\n Apakah anda ingin lanjut membuat plot dari sistem di atas?")
mprintf("\n Pilih : 1 atau 0")
mprintf("\n 1 : Ya")
mprintf("\n 0 : Tidak")
answer = input(" Jawab : ");
if isempty(answer) then
error('Tidak ada jawaban.')
elseif answer ~= 1 & answer ~= 0 then
error('Jawaban harus berupa bilangan 1 atau 0.')
elseif answer == 0 then
mprintf(" Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.")
elseif answer == 1 then
t = [0:0.01:0.2]; //selang t ini dapat diubah sesuai kebutuhan
m1 = length(x);
m2 = length(y);
n = length(t);
A = zeros(m1,n);
B = zeros(m2,n);
for i = 1:m1
for j = 1:n
if i == 1 then
A(i,j) = x(i);
else
A(i,j) = x(i)*(t(j)^(i-1));
end
end
end
for i = 1:m2
for j = 1:n
17
if i == 1 then
B(i,j) = y(i);
else
B(i,j) = y(i)*(t(j)^(i-1));
end
end
end
grafik1 = sum(A,1);
grafik2 = sum(B,1);
plot(t,grafik1,'b')
plot(t,grafik2,'r')
legend("Mangsa","Pemangsa",5,%f);
xtitle('Model Lotka-Volterra','Waktu','Populasi')
mprintf("\n Diperoleh grafik hasil penyelesaian model Lotka-Volterra \n")
mprintf(" menggunakan metode transformasi diferensial, dalam selang waktu
t dari 0 hingga 0.2 satuan waktu. \n") //keterangan ini diubah sesuai
dengan input
mprintf("\n Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.\n")
end
end
18
Lampiran 3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0
Kasus 1
Kasus 2
19
Kasus 3
Kasus 4
20
Lampiran 4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode
numerik built-in Mathematica 8.0
Kasus 2
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
Kasus 3
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
21
Kasus 4
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
22
RIWAYAT HIDUP
Putri Tsaniya Karima dilahirkan di Bogor pada tanggal 5 Juni 1995 dari
pasangan Ir H. Sutarno, MSc dan Hj. Nenny Martini, SPdI. Penulis merupakan
anak kedua dari lima bersaudara. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Insan Kamil
Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Undangan.
Selama menempuh studi S1 di Departemen Matematika, penulis aktif di
berbagai kegiataan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai
Staf Dewan Gedung Gedung A2 Asrama Tingkat Persiapan Bersama (TPB) 20112012, Staf Departemen Internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA) 2012-2013, dan Staf Departemen
Infokom Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) 2013-2014. Selain itu,
penulis aktif mengikuti beberapa kepanitiaan, antara lain sebagai Staf Divisi
Sponsorship IPB’s Dedication for Education (IDEA) 2012, Staf Divisi Acara
Mathematics Camp 2012, Staf Divisi Sponsorship Explo Science 2013, Staf
Divisi Sponsorship Pesta Sains Nasional (PSN) 2013, Staf Divisi Sponsorship The
3rd IPB Mathematics Challenge (IMC) 2014, dan Ketua Divisi Kesekretariatan
PSN 2014. Penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik
pada semester ganjil tahun akademik 2014-2015.
LOTKA-VOLTERRA
PUTRI TSANIYA KARIMA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Transformasi
Diferensial untuk Model Lotka-Volterra adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2015
Putri Tsaniya Karima
NIM G54110062
ABSTRAK
PUTRI TSANIYA KARIMA. Metode Transformasi Diferensial untuk Model
Lotka-Volterra. Dibimbing oleh ELIS KHATIZAH dan FAHREN BUKHARI.
Dalam kehidupan nyata, banyak fenomena yang dapat dipelajari
menggunakan model matematika yang biasanya dibentuk dari suatu sistem
persamaan diferensial. Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial
sebuah model menjadi penting. Namun tidak semua sistem persamaan diferensial
dapat diperoleh penyelesaian analitiknya. Oleh karena itu diperlukan metode
iteratif atau pendekatan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan diferensial
tersebut. Salah satu metode iteratif yang dapat digunakan adalah metode
transformasi diferensial. Metode yang dibentuk dengan ide dasar deret Taylor ini
menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik dalam bentuk polinom. Pada
penelitian ini, metode transformasi diferensial digunakan untuk mendapatkan
pendekatan penyelesaian analitik dari model Lotka-Volterra. Hasil penelitian
menunjukkan pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode
transformasi diferensial cukup akurat untuk model Lotka-Volterra dalam horizon
waktu yang kecil.
Kata kunci: model mangsa pemangsa, Lotka-Volterra, metode transformasi
diferensial
ABSTRACT
PUTRI TSANIYA KARIMA. The Solution of Lotka-Volterra Model by
Differential Transformation Method. Supervised by ELIS KHATIZAH and
FAHREN BUKHARI.
There are many phenomena that can be studied using mathematical models
that are usually constructed in the form of a differential equation system. It is
important to determine solution of the differential equation system. However,
some solutions of differential equation system can not be obtained analytically.
Therefore we need an iterative or approach method to obtain the solution of
differential equation system. One of iterative methods that can be used is
differential transformation method. The method that is developed with the basic
idea of the Taylor series generates analytic approach solution in the form of a
polynomial. In this paper, differential transformation method is used to obtain an
approximate solution of Lotka-Volterra model. The results showed that the
completion of an analytical approach using differential transformation method is
accurate enough for Lotka-Volterra model at short time horizon.
Keywords: prey and predator model, Lotka-Volterra, differential transformation
method
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MODEL
LOTKA-VOLTERRA
PUTRI TSANIYA KARIMA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan sebaikbaiknya. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah metode penyelesaian sistem
persamaan diferensial biasa, dengan judul Metode Transformasi Diferensial untuk
Model Lotka-Volterra.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi selaku
dosen pembimbing I dan Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen
pembimbing II atas semua ilmu, kebaikan, kesabaran, motivasi, dan bantuannya
selama penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada
Bapak Ruhiyat, SSi, MSi selaku dosen penguji yang banyak memberikan bantuan
dan saran. Penghargaan tertinggi penulis berikan kepada ibunda Hj. Nenny
Martini, ayahanda H. Sutarno, kakak dan adik-adik tercinta, beserta seluruh
keluarga, atas kasih sayang, doa, dan dukungan yang luar biasa besar dan tak
ternilai harganya. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada pejuang satu
bimbingan, Arli dan Irma, serta sahabat-sahabat tercinta, Pristi, Lidya, Resty, Sifa,
Intan Fitria, Riefdah, Riski, Alfi, Hanna, Andini, Atikah, Nina, dan seluruh rekan
Departemen Matematika, terutama angkatan 48, atas segala bentuk dukungan
selama lebih dari tiga tahun ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Agustus 2015
Putri Tsaniya Karima
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Model Lotka-Volterra
4
Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra
5
SIMPULAN
11
DAFTAR PUSTAKA
12
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
22
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram alir algoritme metode transformasi diferensial untuk model
Lotka-Volterra
2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b)
Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4
3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi (
dan
metode numerik built-in Mathematica
6
9
10
20
20
21
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3,
dan Kasus 4
2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi
diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra
3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0
4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode
numerik built-in Mathematica 8.0
13
15
18
20
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam kehidupan nyata, banyak permasalahan yang berkaitan dengan
berbagai disiplin ilmu pengetahuan seperti ilmu hayati, fisika, sosial, maupun
ekonomi. Fenomena dari berbagai permasalahan ini dapat dipelajari menggunakan
model matematik yang merepresentasikan kondisi nyata. Struktur model biasanya
dibangun dari fungsi-fungsi yang ditulis secara matematis yang memenuhi asumsi
tertentu. Beberapa model tersebut biasanya berbentuk sistem persamaan
diferensial biasa, baik linear maupun taklinear.
Pencarian penyelesaian sistem persamaan diferensial dalam sebuah model
menjadi penting untuk memenuhi tujuan tertentu. Sistem persamaan diferensial
biasa linear umumnya dapat diselesaikan menggunakan metode analitik atau
langsung seperti metode Laplace. Namun untuk sistem persamaan diferensial
biasa taklinear, penyelesaian secara analitik tidak mudah dilakukan. Persamaan
diferensial biasa taklinear tersebut diselesaikan dengan linearisasi terlebih dahulu
untuk selanjutnya diselesaikan dengan metode penyelesaian persamaan diferensial
biasa linear. Walaupun begitu, penyelesaian analitik tidak selalu dapat diperoleh.
Untuk itu, digunakan metode iteratif yang menghasilkan suatu pendekatan dari
penyelesaian eksak.
Pada tahun 1986, Zhou memperkenalkan suatu metode yang dapat
diterapkan pada persamaan taklinear tanpa linearisasi, yaitu metode transformasi
diferensial. Metode yang menghasilkan pendekatan untuk solusi analitik ini
awalnya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai awal yang linear dan
taklinear pada analisis sirkuit listrik. Metode ini membangun sebuah teknik
numerik semi-analitik dengan ide dasar deret Taylor untuk menghasilkan
penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk polinom. Salah satu model yang
berbentuk sistem persamaan diferensial biasa taklinear yang dapat diselesaikan
oleh metode ini adalah model mangsa pemangsa (prey-predator).
Model mangsa pemangsa terbentuk berdasarkan pada kenyataan bahwa
makhluk hidup di dunia ini terdiri atas berbagai macam spesies yang membentuk
sebuah populasi dan hidup berdampingan bersama-sama untuk menjaga kestabilan
ekosistem. Setiap makhluk hidup saling membutuhkan dan melakukan proses
interaksi satu sama lain. Proses interaksi atau hubungan yang terjadi antar
individu tersebut salah satunya menimbulkan sebuah siklus yang dikenal sebagai
rantai makanan, yaitu proses perpindahan energi dari sumberdaya tumbuhan ke
organisme lainnya melalui jenjang makanan. Dalam siklus ini, terdapat interaksi
spesies pemangsa dan mangsa, yaitu memakan dan dimakan, yang menyebabkan
perubahan banyaknya populasi kedua spesies terhadap waktu. Dari perilaku
sistem mangsa-pemangsa yang dinamis inilah para ahli membentuk sebuah model
yang mengikuti kaidah sistem persamaan diferensial.
Pada penelitian ini metode transformasi diferensial akan digunakan untuk
menyelesaikan model mangsa pemangsa Lotka-Volterra. Software Scilab 5.5.0
digunakan untuk menjalankan algoritme yang dibentuk sehingga hasil
penyelesaiannya lebih mudah didapatkan.
2
Tujuan Penelitian
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk:
1. menerapkan metode transformasi diferensial untuk menentukan pendekatan
penyelesaian analitik model mangsa pemangsa Lotka-Volterra,
2. menyusun program Scilab 5.5.0 untuk metode transformasi diferensial yang
diterapkan pada model mangsa pemangsa Lotka-Volterra,
3. membandingkan grafik hasil penyelesaian metode transformasi diferensial
dengan metode numerik built-in Mathematica 8.0.
LANDASAN TEORI
Definisi 1 (sistem persamaan diferensial)
Misalkan terdapat suatu model dinamik dengan
state variabel
yang dinyatakan dengan buah persamaan diferensial biasa yang
bergantung pada waktu dan vektor parameter , maka sistem persamaan
diferensialnya didefinisikan sebagai berikut:
atau
.
(Luenberger 1979)
Definisi 2 (sistem persamaan diferensial taklinear)
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai:
̇
dengan
[
] dan
(1)
[
].
Jika
fungsi taklinear pada
, maka sistem persamaan
diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial taklinear.
(Braun 1983)
3
Definisi 3 (deret Taylor)
Diberikan fungsi dan semua turunannya,
selang
. Misalkan
, untuk nilai-nilai
dapat diekspansi ke dalam deret Taylor:
di dalam
di sekitar
dan
,
.
Jika
, maka:
.
(Munir 2003)
Definisi 4 (metode transformasi diferensial untuk persamaan diferensial)
Transformasi diferensial merupakan suatu langkah iteratif untuk
memperoleh penyelesaian analitik deret Taylor dari persamaan diferensial.
Definisi dasar dari transformasi diferensial untuk fungsi yang memiliki turunan
pada setiap titik di persekitaran domain sebagai berikut:
[
]
,
(2)
dengan
merupakan fungsi asli dan
merupakan fungsi transformasi.
Suatu fungsi di dapat dinyatakan dalam bentuk deret Taylor, yaitu
∑
[
]
(3)
Berdasarkan Persamaan (2), maka Persamaan (3) berubah menjadi
Saat
, diperoleh
∑
.
∑
(4)
yang disebut sebagai invers transformasi diferensial.
(Yesilce 2010)
Batiha (2015) dalam artikelnya The Solution of The Prey and Predator
Problem by Differential Transformation Method menyebutkan bahwa terdapat
beberapa teorema yang menunjukkan sifat operasi dasar metode transformasi
diferensial. Adapun teorema-teorema tersebut adalah sebagai berikut.
Teorema 1
Jika
, maka
.
4
Teorema 2
Jika
Teorema 3
Jika
, maka
.
, maka
.
Teorema 4
Jika
, maka
.
Teorema 5
Jika
, maka
Teorema 6
Jika
, maka
Teorema 7
Jika
, maka
Teorema 8
Jika
Teorema 9
Jika
{
}.
{
}.
{
, maka
, maka
Teorema 10
Jika
.
, maka
}.
∑
, dengan
.
adalah konstanta.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Lotka-Volterra
Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah model dasar mangsa
pemangsa Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra menggambarkan sistem interaksi
dua spesies yang diperkenalkan secara terpisah oleh Alfred J. Lotka dan Vito
Volterra sekitar tahun 1920. Interaksi yang memberikan pengaruh terhadap
banyaknya populasi dua spesies tersebut adalah rantai makanan. Asumsi-asumsi
yang digunakan dalam model ini adalah sebagai berikut:
1. Hanya terdapat dua spesies yaitu mangsa (prey) dan pemangsa (predator).
2. Persediaan makanan untuk mangsa cukup.
3. Persediaan makanan pemangsa bergantung pada populasi mangsa.
5
4. Populasi mangsa akan menurun pada saat terjadinya interaksi mangsa dengan
pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan
pertumbuhannya.
5. Populasi pemangsa akan meningkat pada saat terjadinya interaksi mangsa dan
pemangsa karena mangsa akan dikonversi oleh pemangsa untuk kebutuhan
pertumbuhannya.
6. Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak sehingga
setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.
7. Sepanjang terjadinya interaksi antara mangsa dan pemangsa, habitat kedua
spesies tersebut tetap dan tidak adanya perpindahan.
Secara matematis, model Lotka-Volterra dinyatakan sebagai berikut:
(
(
)
(5)
)
dengan
dan konstanta
, serta
: banyaknya populasi mangsa pada waktu (satuan populasi),
: banyaknya populasi pemangsa pada waktu (satuan populasi),
: laju pertumbuhan populasi mangsa (satuan 1/waktu),
: tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang
berpengaruh terhadap populasi mangsa (satuan 1/(populasi.waktu)),
: laju kematian alami populasi pemangsa (satuan 1/waktu),
: tingkat interaksi antara populasi mangsa dengan populasi pemangsa yang
berpengaruh terhadap populasi pemangsa (satuan 1/(populasi.waktu)).
Dalam karya ilmiah ini, akan ditentukan penyelesaian dari model LotkaVolterra menggunakan metode transformasi diferensial. Penyelesaian yang
diperoleh akan menunjukkan banyaknya populasi mangsa dan pemangsa setelah
terjadi interaksi di antara keduanya pada waktu tertentu. Hal ini menjadi sangat
penting dalam pembahasan ilmu ekologi karena kelangsungan hidup manusia
tergantung pada keseimbangan lingkungan sekitarnya. Dan keseimbangan tersebut
dapat tercapai jika jumlah rata-rata spesies dari dua populasi yaitu populasi
mangsa dan pemangsa yang berinteraksi satu sama lain bersesuaian dengan
ukuran atau proporsinya.
Metode Transformasi Diferensial untuk Model Lotka-Volterra
Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah metode transformasi
diferensial. Rumusan deret Taylor yang dijabarkan pada Definisi 4 merupakan ide
awal Zhou (1986) merancang metode ini. Dengan metode ini, dihasilkan suatu
polinom yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik untuk persamaan
diferensial linear maupun taklinear. Khusus untuk persamaan diferensial taklinear
tidak perlu pelinearan sebagaimana metode yang lazim digunakan.
Alur penggunaan metode transformasi diferensial linear maupun taklinear
melibatkan perhitungan yang dapat dilakukan secara manual. Langkah pertama
untuk menyelesaikan model Lotka-Volterra dengan metode transformasi
6
diferensial adalah membentuk Sistem (9) menjadi dua fungsi transformasi sesuai
Definisi 4, Teorema 1, Teorema 2, Teorema 3, dan Teorema 9. Diperoleh
∑
∑
,
(6)
.
(7)
Dengan menyubstitusi nilai awal
dan
serta parameter , , , dan
tertentu akan diperoleh koefisien polinom hasil invers transformasi sesuai
Persamaan (4). Polinom inilah yang merupakan pendekatan penyelesaian analitik
Sistem (5). Proses iteratif dalam menentukan koefisien polinom tersebut ada
kalanya melibatkan perhitungan yang rumit dan tidak efektif sehingga perlu
bantuan komputer. Oleh karena itu, penulis menyusun sebuah algoritme metode
transformasi diferensial khusus untuk model Lotka-Volterra. Algoritme untuk
metode ini diimplementasikan dengan membuat program dalam Scilab 5.5.0 yang
hasilnya terdapat pada Lampiran 2. Adapun bagan alir algoritme metode ini
adalah sebagai berikut.
Mulai
Input
a,b,c,d,k,x(0),y(0)
For i = 0 to k+1
For m = 1 to i
Hitung nilai f untuk
perhitungan x dan y
Next m
Hitung x dan y
Buat f = 0
Next i
Print x dan y
Selesai
Gambar 1 Diagram alir algoritme metode transformasi
diferensial untuk model Lotka-Volterra
7
Selanjutnya, akan dibahas empat kasus Model Lotka-Volterra yang
dibedakan berdasarkan jumlah populasi awal mangsa dan pemangsa, serta laju
pertumbuhan mangsa dan laju kematian alami pemangsa. Secara ringkas, keempat
kasus ini dapat dibedakan atas pemilihan nilai awal dan parameter yang tertera
pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai awal dan parameter untuk empat kasus model Lotka-Volterra
Kasus
1
2
3
4
14
14
16
16
18
18
10
10
1
0.1
0.1
1
1
1
1
1
0.1
1
1
0.1
1
1
1
1
Kasus 1
Pada Kasus 1 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih kecil
daripada jumlah populasi awal pemangsa dan laju pertumbuhan populasi mangsa
lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan
parameter yang bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut
,
,
,
,
, dan
.
Merujuk pada Persamaan (6) dan Persamaan (7), fungsi transformasi yang
bersesuaian dengan parameter tersebut adalah sebagai berikut:
∑
Substitusikan nilai awal
untuk
,
dan
,
∑
.
, diperoleh
,
,
untuk
,
∑
untuk
,
∑
,
,
∑
dan seterusnya.
,
∑
,
8
Selanjutnya berdasarkan Persamaan (4), dapat diperoleh pendekatan
penyelesaian analitik Kasus 1 untuk Sistem (5) yang berbentuk polinom sebagai
berikut:
∑
∑
(8)
(9)
Persamaan (8) dan Persamaan (9) tersebut dapat pula diperoleh dengan
bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang sudah disusun
penulis pada Lampiran 2.
Kasus 2
Pada Kasus 2, asumsi yang digunakan sama seperti Kasus 1, yaitu jumlah
populasi awal mangsa lebih kecil daripada jumlah populasi awal pemangsa.
Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa pada Kasus 2 ini lebih kecil
daripada laju kematian alami populasi pemangsa. Nilai awal dan parameter yang
bersesuaian dengan asumsi ini berturut-turut
,
,
,
,
, dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, pendekatan
penyelesaian analitik untuk Kasus 2 adalah sebagai berikut:
∑
∑
(10)
(11)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (10) dan Persamaan (11) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (10) dan Persamaan (11) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
Kasus 3
Pada Kasus 3 diasumsikan jumlah populasi awal mangsa lebih besar
daripada jumlah populasi awal pemangsa,
dan
. Asumsi ini
berbeda dengan dua kasus sebelumnya. Selanjutnya, laju pertumbuhan populasi
mangsa pada Kasus 3 ini lebih kecil daripada laju kematian alami populasi
pemangsa atau sama dengan Kasus 2. Dengan demikian, nilai parameter yang
digunakan pada Kasus 3 sama dengan Kasus 2, yaitu
,
,
, dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh
pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut:
∑
∑
(12)
(13)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (12) dan Persamaan (13) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (12) dan Persamaan (13) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
9
Kasus 4
Pada Kasus 4, asumsi yang digunakan sama dengan Kasus 3, yaitu jumlah
populasi awal mangsa lebih besar daripada jumlah populasi awal pemangsa,
dan
. Perbedaannya, laju pertumbuhan populasi mangsa
pada Kasus 4 ini lebih besar daripada laju kematian alami populasi pemangsa,
sebagaimana asumsi pada Kasus 1. Dengan demikian, nilai parameter yang
digunakan pada Kasus 4 sama seperti pada Kasus 1, yaitu
,
,
,
dan
.
Secara manual, dengan langkah yang sama seperti Kasus 1, diperoleh
pendekatan penyelesaian analitik sebagai berikut:
∑
∑
(14)
(15)
Pengerjaan manual untuk Persamaan (14) dan Persamaan (15) dapat dilihat
pada Lampiran 1. Namun Persamaan (14) dan Persamaan (15) tersebut dapat pula
diperoleh dengan bantuan komputer menggunakan skrip dalam Scilab 5.5.0 yang
sudah disusun penulis pada Lampiran 2.
Dengan menjalankan program yang terdapat pada Lampiran 2 dalam Scilab
5.5.0, diperoleh grafik penyelesaian Sistem (5). Grafik tersebut dapat dilihat pada
Gambar 2.
(a)
(c)
(b)
(d)
Gambar 2 Grafik penyelesaian model Lotka-Volterra untuk (a) Kasus 1, (b)
Kasus 2, (c) Kasus 3, dan (d) Kasus 4
10
Dari Gambar 2, terlihat bahwa semakin meningkat populasi pemangsa,
maka populasi mangsa akan semakin menurun. Hal ini disebabkan adanya
interaksi antara mangsa dan pemangsa. Namun hingga waktu tertentu, saat
populasi mangsa hampir punah, banyaknya populasi pemangsa akan mengalami
penurunan. Seiring berjalannya waktu, populasi pemangsa menuju kepunahan,
sementara populasi mangsa menuju tak hingga.
Berdasarkan interpretasi Gambar 2, penyelesaian model Lotka-Volterra
menggunakan metode transformasi diferensial cukup realistis untuk periode
pengamatan jangka pendek. Hal ini sesuai dengan realita dinamika populasi
mangsa dan pemangsa. Akan tetapi, metode transformasi diferensial tidak realistis
untuk penyelesaian model Lotka-Volterra dalam periode pengamatan jangka
panjang. Ketidakrealistisan itu mungkin terjadi karena pada dasarnya model Lotka
Volterra dibangun dari asumsi yang sangat sederhana. Model ini tidak
mempertimbangkan persaingan di antara spesies yang sama, mangsa dengan
mangsa yang lain, ataupun pemangsa dengan pemangsa yang lain. Akibatnya,
populasi mangsa dapat tumbuh tak berhingga banyaknya tanpa batasan sumber
daya, dan pemangsa memiliki tingkat konsumsi yang tak terbatas pula (VPISU
1996).
Selanjutnya, grafik penyelesaian model Lotka-Volterra dengan metode
transformasi diferensial akan dibandingkan dengan grafik hasil komputasi metode
numerik built-in Mathematica. Metode numerik built-in Mathematica tersebut
dapat dilihat pada Lampiran 3.
Untuk perbandingan kedua metode ini, penulis akan mengambil Kasus 1
dengan derajat polinom hingga
pada penyelesaian menggunakan metode
transformasi diferensial. Adapun perbandingan kedua metode untuk Kasus 2,
Kasus 3, dan Kasus 4 terdapat pada Lampiran 4.
Perbandingan grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi
diferensial dan metode numerik built-in Mathematica dapat dilihat pada Gambar 3
dan Gambar 4.
x
50
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
40
30
20
10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
t
10
20
Gambar 3 Grafik penyelesaian Kasus 1 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
11
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa setelah waktu
terdapat
simpangan yang besar antara hasil penyelesaian metode transformasi diferensial
dengan metode numerik built-in Mathematica. Hal ini menunjukkan bahwa
metode transformasi diferensial merupakan metode yang bias untuk periode
pengamatan jangka panjang.
SIMPULAN
Sistem persamaan diferensial taklinear seperti model mangsa pemangsa
Lotka-Volterra dapat diselesaikan menggunakan metode transformasi diferensial.
Pendekatan penyelesaian analitik menggunakan metode ini berupa fungsi polinom.
Tanpa perlu proses linearisasi, penyelesaian dari sistem persamaan diferensial
taklinear didapatkan secara sederhana. Namun terdapat simpangan yang besar
antara hasil penyelesaian menggunakan metode transformasi diferensial dengan
metode numerik built-in Mathematica dalam horizon waktu yang besar.
Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi diferensial
yang diterapkan pada model Lotka-Volterra telah berhasil dibuat. Dengan
konstruksi algoritme yang disusun dalam karya ilmiah ini, pencarian solusi dari
model Lotka-Volterra menggunakan metode transformasi diferensial menjadi
sangat mudah dan praktis.
12
DAFTAR PUSTAKA
Batiha B. 2015. The solution of the prey and predator problem by differential
transformation method. International Journal of Basic and Applied Sciences.
4(1):36-43. doi: 10.14419/ijbas.v4i1.4034.
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York (US):
Springer-Verlag.
Luenberger DG. 1979. Introduction to Dynamic System: Theory, Models, and
Applications. New York (US): John Wiley & Sons.
Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika.
[VPISU] Virginia Polytechnic Institute and State University. 1996. Quantitative
Population Ecology. Virginia (US): VPISU. [diunduh 2015 Mar]. Tersedia
pada: https://home.comcast.net/~sharov/PopEcol/lec10/lotka.html.
Yesilce Y. Differential transform method for free vibration analysis of a moving
beam. International Journal of Structural Engineering and Mechanics.
35(5):645-658. doi: 10.12989/sem.2010.35.5.645.
13
Lampiran 1 Penerapan metode transformasi diferensial pada Kasus 2, Kasus 3,
dan Kasus 4
Kasus 2
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
,
∑
untuk
,
,
∑
,
∑
,
sehingga diperoleh Persamaan 10 dan Persamaan 11.
Kasus 3
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
∑
untuk
,
,
,
∑
∑
,
,
,
14
sehingga diperoleh Persamaan 12 dan Persamaan 13.
Kasus 4
Diberikan nilai awal dan parameter:
, dan
;
untuk
,
,
,
,
,
,
,
untuk
,
∑
untuk
,
∑
,
,
∑
,
∑
sehingga diperoleh Persamaan 14 dan Persamaan 15.
,
15
Lampiran 2 Program Scilab 5.5.0 dari algoritme untuk metode transformasi
diferensial yang diterapkan pada model Lotka-Volterra
//------------------------------------------------------------------------------------------------// Model Lotka-Volterra
// dx/dt = x(a-by)
// dy/dt = -y(c-dx)
// akan menghasilkan pendekatan penyelesaian analitik
// x(t) = x(0) + x(1)*t + x(2)*t^2 + ...
// y(t) = y(0) + y(1)*t + y(2)*t^2 + ...
// menggunakan metode transformasi diferensial.
//------------------------------------------------------------------------------------------------// Input:
// a,b,c,d = berupa bilangan real positif
// x0, y0 = nilai awal, berupa bilangan real positif
// Input tambahan:
// k = banyaknya iterasi
//------------------------------------------------------------------------------------------------// program dimulai dengan memasukkan input
clear
mprintf("\n Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Lotka-Volterra")
mprintf("\n Model Umum : dy/dt = -y(c-dx) & dx/dt = x(a-by)")
mprintf("\n Silakan masukkan terlebih dahulu input yang dibutuhkan \n")
a = input(" Nilai laju pertumbuhan mangsa = ");
b = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi mangsa = ");
c = input(" Nilai laju kematian alami pemangsa = ");
d = input(" Nilai tingkat interaksi mangsa-pemangsa yang berpengaruh terhadap
populasi pemangsa = ");
x0 = input(" Nilai awal untuk x = ");
y0 = input(" Nilai awal untuk y = ");
k = input(" Banyaknya iterasi = ");
// kemudian dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan hasil penyelesaian
if k < 0 & a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0
error('Periksa kembali nilai k, nilai parameter, dan nilai awal')
elseif k < 0 then
error('Maaf nilai k yang anda input tidak memenuhi syarat, silakan diulang
kembali program ini.')
elseif a == 0 | b == 0 | c == 0 | d == 0 | x0 == 0 | y0 == 0 then
error('Input tidak boleh bernilai nol, silakan diulang kembali program ini.')
16
else
x = [x0];
y = [y0];
f = 0;
for i = 1:k+1
for m = 1:i
f = f+(x(m)*y(i-m+1));
end
x = [x (a*x(i)-(b*f))/i];
y = [y ((-1*c*y(i))+d*f)/i];
f = 0;
end
xt = poly(x,'t','coeff');
yt = poly(y,'t','coeff');
disp(xt,'Bentuk polinom dari solusi x pada sistem tersebut adalah')
disp(yt,'Bentuk polinom dari solusi y pada sistem tersebut adalah')
// untuk lebih lengkap, dilakukan proses komputasi untuk mengeluarkan grafik
mprintf("\n Apakah anda ingin lanjut membuat plot dari sistem di atas?")
mprintf("\n Pilih : 1 atau 0")
mprintf("\n 1 : Ya")
mprintf("\n 0 : Tidak")
answer = input(" Jawab : ");
if isempty(answer) then
error('Tidak ada jawaban.')
elseif answer ~= 1 & answer ~= 0 then
error('Jawaban harus berupa bilangan 1 atau 0.')
elseif answer == 0 then
mprintf(" Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.")
elseif answer == 1 then
t = [0:0.01:0.2]; //selang t ini dapat diubah sesuai kebutuhan
m1 = length(x);
m2 = length(y);
n = length(t);
A = zeros(m1,n);
B = zeros(m2,n);
for i = 1:m1
for j = 1:n
if i == 1 then
A(i,j) = x(i);
else
A(i,j) = x(i)*(t(j)^(i-1));
end
end
end
for i = 1:m2
for j = 1:n
17
if i == 1 then
B(i,j) = y(i);
else
B(i,j) = y(i)*(t(j)^(i-1));
end
end
end
grafik1 = sum(A,1);
grafik2 = sum(B,1);
plot(t,grafik1,'b')
plot(t,grafik2,'r')
legend("Mangsa","Pemangsa",5,%f);
xtitle('Model Lotka-Volterra','Waktu','Populasi')
mprintf("\n Diperoleh grafik hasil penyelesaian model Lotka-Volterra \n")
mprintf(" menggunakan metode transformasi diferensial, dalam selang waktu
t dari 0 hingga 0.2 satuan waktu. \n") //keterangan ini diubah sesuai
dengan input
mprintf("\n Terimakasih telah menggunakan komputasi ini.\n")
end
end
18
Lampiran 3 Metode numerik built-in Mathematica 8.0
Kasus 1
Kasus 2
19
Kasus 3
Kasus 4
20
Lampiran 4 Perbandingan grafik metode transformasi diferensial dan metode
numerik built-in Mathematica 8.0
Kasus 2
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 4 Grafik penyelesaian Kasus 2 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
Kasus 3
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 5 Grafik penyelesaian Kasus 3 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
21
Kasus 4
Pemangsa (Mathematica)
Mangsa (Mathematica)
Pemangsa (MTD)
Mangsa (MTD)
Gambar 6 Grafik penyelesaian Kasus 4 dengan metode transformasi (
dan metode numerik built-in Mathematica
22
RIWAYAT HIDUP
Putri Tsaniya Karima dilahirkan di Bogor pada tanggal 5 Juni 1995 dari
pasangan Ir H. Sutarno, MSc dan Hj. Nenny Martini, SPdI. Penulis merupakan
anak kedua dari lima bersaudara. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Insan Kamil
Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor
melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Undangan.
Selama menempuh studi S1 di Departemen Matematika, penulis aktif di
berbagai kegiataan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai
Staf Dewan Gedung Gedung A2 Asrama Tingkat Persiapan Bersama (TPB) 20112012, Staf Departemen Internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA) 2012-2013, dan Staf Departemen
Infokom Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) 2013-2014. Selain itu,
penulis aktif mengikuti beberapa kepanitiaan, antara lain sebagai Staf Divisi
Sponsorship IPB’s Dedication for Education (IDEA) 2012, Staf Divisi Acara
Mathematics Camp 2012, Staf Divisi Sponsorship Explo Science 2013, Staf
Divisi Sponsorship Pesta Sains Nasional (PSN) 2013, Staf Divisi Sponsorship The
3rd IPB Mathematics Challenge (IMC) 2014, dan Ketua Divisi Kesekretariatan
PSN 2014. Penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Analisis Numerik
pada semester ganjil tahun akademik 2014-2015.