PEMODELAN MATEMATIKA PADA STUDI KASUS ANALISIS LABA BUDIDAYA IKAN LELE
PEMODELAN MATEMATIKA PADA STUDI KASUS ANALISIS LABA
BUDIDAYA IKAN LELE
Oleh
Anis Wulandari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014
ABSTRAK
PEMODELAN MATEMATIKA PADA STUDI KASUS ANALISIS LABA
BUDIDAYA IKAN LELE
Oleh
Anis Wulandari
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis perolehan laba budidaya ikan
lele serta mengkontruksi model matematika pada budidaya ikan lele. Model
matematika diartikan sebagai suatu representasi masalah dalam dunia nyata
menggunakan bahasa matematika. Dalam dunia bisnis merupakan dunia penuh
dengan perhitungan yang tidak lepas dari ilmu matematika, setiap langkah atau
keputusan selalu diperhitungkan implikasinya ke depan sehingga dibutuhkan
suatu analisa yang relevan. Dalam hal ini, pengambilan keputusan langsung
dengan menggunakan intuisi tepat digunakan karena banyaknya data yang bersifat
saling berhubungan.
Dari masalah ini yang menjadi peran sains semakin penting dalam menyajikan
alternatif solusinya untuk memberikan dukungan dalam pengambilan keputusankeputusan penting sehingga peran pemodelan matematika diperlukan untuk
mengkonstruksi suatu permasalah menjadi model matematis yang optimal. Pada
penelitian ini peneliti menganalisa pertumbuhan bobot ikan lele dumbo. Diperoleh
bobot awal ikan lele adalah 2,5 gram dan saat pertumbuhan selama 3 bulan dapat
bobot berkisar sampai 200 gram. Sehingga diperoleh logistik budidaya ikan lele
, dengan
merupakan kapasitas batas kolam
adalah
plastik. Setelah
waktu (3 bulan) dapat dimodelkan sebagai berikut
.
Kata kunci : Model matematika, Intuisi, Optimal, Bisnis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................. i
DAFTAR TABEL .......................................................................................... iv
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... v
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1
1.2 Batasan Masalah ............................................................................... 2
1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 3
1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................ 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi ................................................................................................ 4
2.2 Derivatif ............................................................................................ 5
2.3 Persamaan Diferensial ...................................................................... 5
2.4 Persamaan Diferensial Ordo Satu ..................................................... 5
2.5 Integral Tak Tentu ............................................................................. 6
2.6 Fungsi Logaritma Asli ...................................................................... 6
2.7 Fungsi Ekaponensial ......................................................................... 7
2.8 Bilangan e ......................................................................................... 7
i
2.9 Definisi Kredit .................................................................................. 8
2.10 Definisi Bunga .................................................................................. 8
2.11 Definisi Laba ..................................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 11
3.2
Bahan dan Alat ................................................................................ 11
3.3
Metode Penelitian ............................................................................ 11
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Hasil Pengamatan ............................................................................. 12
4.2
Pembahasan ..................................................................................... 14
4.2.1 Logistik pada Budidaya Ikan Lele Dumbo ............................. 14
4.2.2 Model Matematis Fungsi Kredit ............................................ 20
4.2.2.1 Model Bunga Majemuk .............................................. 20
4.2.3 Analisis Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungsi
Budidaya Ikan Lele Dumbo .................................................... 22
4.2.4 Mencari Nilai a dari Setiap Masing-masing Bobot Ikan Lele
Dumbo .................................................................................... 25
4.2.5 Frekuensi Pembayaran Kredit Per Bulan................................ 26
4.2.6 Studi Kasus 1 Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungsi
Budidaya Ikan Lele Dumbo .................................................... 27
4.2.7 Studi Kasus 2 Kenaikan Populasi Ikan Lele Dumbo dalam Jangka
Waktu Satu Tahun .................................................................. 30
ii
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 34
5.2 Saran .................................................................................................. 35
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
iii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Indonesia sebagai salah satu Negara Kepulauan, banyak menyimpan sumber
kekayaan hayati. Salah satu sumber kekayaan hayati di perairan Indonesia adalah
ikan. Sumber daya ikan dapat berperan dalam menambah pendapatan devisa
negara. Namun demikian, sumber daya ikan yang tidak memperhatikan
pemanfaatan yang berkelanjutan dapat menyebabkan hilangnya sumber kekayaan
hayati tersebut. Secara jelas obyek dari manajemen perikanan, yaitu membuat
strategi pemanenan budidaya ikan yang tidak akan membawa suatu spesies dalam
kepunahan. Oleh karena itu, diperlukan tindakan pencegahan sedini mungkin
melalui kebijakan strategi pemanenan yang baik. Sumber daya alam hayati
khususnya ikan lele perlu dibudidayakan. Agar menjadi suatu pendapatan. Pada
saat ini budidaya ikan lele menjadi suatu usaha yang menjanjikan.
Para usaha budidaya ikan lele biasanya kesulitan modal untuk mengembangkan
usahanya, oleh karena itu banyak pengusaha ikan lele memanfaatkan pinjaman
dari bank-bank yang mempunyai program peminjaman untuk usaha kecil
menengah dengan bunga kredit yang rendah. Dengan pinjaman dari bank tersebut
pengusaha ikan lele dapat melanjutkan usahanya dan memenuhi kebutuhan pasar.
Kebutuhan pasar yang belum tercukupi tersebut dapat di manfaatkan oleh
1
pengusaha tersebut. Dalam mengembangkan usahanya dengan mendapatkan
pinjaman kredit dari bank sehingga pengusaha budidaya ikan lele dapat
mengembangkan usahanya dan memenuhi permintaan pasar, hal tersebut juga
menambah keuntungan bagi pengusaha tersebut.
Mengingat masalah situasi yang dihadapi bersifat kompleks, pengusaha
memerlukan data dan informasi yang dibutuhkan untuk mendukung pengambilan
keputusan sebanding dengan kompleksitas permasalahan yang dihadapi. Dalam
hal ini, pengambilan keputusan
langsung dengan menggunakan intuisi tepat
digunakan karena banyaknya data yang bersifat saling berhubungan. Dari masalah
ini yang menjadi peran sains manajemen semakin penting dalam menyajikan
alternatif solusinya untuk memberikan dukungan dalam pengambilan keputusankeputusan penting sehingga peran pemodelan matematika diperlukan untuk
mengkonstruksi suatu permasalah menjadi model matematis.
Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika .
Pemodelan matematika diharapkan bisa membantu permasalahan pada budidaya
ikan lele. Oleh karena itu, penulis akan meneliti analisis laba budidaya ikan lele
menggunakan model matematika.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, akan menganalisis variabel-variabel dalam perkreditan yaitu
jangka waktu kredit, waktu kredit dan frekuensi pembayaran bunga kredit yang
2
sangat signifikan berpengaruh dalam perolehan laba serta sistem perhitungan
bunga kredit dan budidaya ikan lele.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukan penelitian ini adalah:
1. Mengkontruksi model matematika untuk budidaya ikan lele dan fungsi kredit
serta mencari hubungan yang optimal.
2. Menganalisis perolehan laba budidaya ikan lele.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Menambah pengetahuan peranan atau aplikasi ilmu matematika terhadap
dunia bisnis
2. Memberikan motifasi kepada mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNILA
akan pentingnya ilmu dan terapan matematika pada dunia bisnis.
3. Memberikan informasi dan solusi dalam pengembalian keputusan bunga
kredit untuk modal usaha budidaya ikan lele.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi
Definisi:
Sebuah
fungsi
adalah
suatu
aturan
korespondensi
(padanan)
yang
menghubungkan setiap obyek
dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal,
dengan sebuah nilai tunggal
dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai
yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.
Sebuah Fungsi
A
B
●
●
●
●
●
●
●
Daerah Asal
Daerah Hasil
(Purcell, 2003)
Gambar 1. Fungsi
4
2.2 Derivatif
Definisi:
Turunan sebuah fungsi
bilangan
adalah fungsi lain
yang nialinya pada sebarang
adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan
atau
. (Purcell, 2003)
2.3 Persamaan Diferensial
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan yang berbentuk :
(
peubah tak bebas
)
yang menyatakan hubungan antara peubah bebas
dan turunannya yaitu
,
.
Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat)
jika turunan
yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke
. Dan suatu
persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat)
jika turunan yang
tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat . (Kartono, 1999)
2.4 Persamaan Diferensial Ordo Satu
Persamaan diferensial orde satu merupakan persamaan yang mempunyai turunan
pertama dari suatu fungsi, dalam arti dunia nyata yaitu menyatakan perilaku
perubahan yang hanya melibatkan laju perubahan saja. Berikut ini diberikan
definisi persamaan diferensial orde satu :
Definisi 1 Diberikan persamaan diferensial orde satu :
x f t, x
; x
dx
dt
2.1.1
5
dengan f : E Rn adalah fungsi kontinue, t R , x R n , dan E Rn .
Solusi dari persamaan (2.1.1) diberikan dalam teorema berikut :
Teorema 2 Diberikan persamaan diferensial orde satu (2.1.1) yaitu :
x f t, x
memilki solusi jika fungsi f dan
f
kontinue pada domainnya. (Logan, 2006)
t
2.5 Integral Tak Tentu
Ingat :
. Bila ditulis
disebut diferensial
ditanyakan
. Pengerjaan
mengintegralkan
Definisi :
Jika
dari
. Sekarang bila yang diketahui
sehingga memperoleh
,
disebut
ke , notasi : ∫
kontinue dan
, maka
, ditulis ∫
disebut integral tak tentu
.(Gazali Wikarya, 2007)
2.6 Fungsi Logaritma Asli
Definisi:
Fungsi logaritma asli ditulis sebagai
∫
| |
, dengan syarat
yang didefinisikan sebagai berikut:
. Daerah definisinya adalah
himpunan bilangan riil positif. Turunan logaritma asli ;
Sifat-sifat logaritma asli;
6
(Purcell, 2003)
2.7
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Eksponen Asli
Turunan fungsi
langsung diperoleh dari sifat inversnya. Berdasarkan
rumus turunan fungsi invers, dari fungsi
(Koko Martono, 1999)
2.8 Bilangan e
Perhatikan fungsi-fungsi berikut:
[
]
]
[
[
[
]
[
]
]
dst….
7
Selanjutnya, jika m diperbesar sampai tak berhingga, maka
ke bilangan 2,71828….= e
sehingga :
akan konvergen
dapat didefinisikan sebagai limit untuk
[
]
2.9 Definisi Kredit
Pengertian kredit dalam buku seri Managemen Bank No. 5(1997;31) adalah
penyedian uang atau tagihan yang dapat dipersamaan dengan itu, berdasarkan
persetujuan atau kesepakatan pinjam meminjam antara bank dengan pihak lain
yang mewajibkan peminjaman untuk melunasi utangnya setelah jangka waktu
tertentu dengan jumlah bunga, imbalan, atau pembagian hasil keuntungan. Selain
itu kredit juga bisa berarti kemampuan untuk melaksanakan suatu pembelian atau
mengadakan suatu pinjaman dengan suatu janji pembayarannya akan dilakukan
atau ditangguhkan pada suatu jangka waktu yang disepakati. Sedangkan
pengertian pembiayaan adalah penyediaan uang atau tagihan yang dapat
dipersamakan dengan itu, berdasarkan persetujuan atau kesepakatan antara bank
dengan pihak lain yang mewajibkan pihak yang dibiayai untuk mengembalikan
uang atau tagihan tersebut setelah jangka waktu tertentu dengan imbalan atau bagi
hasil. Dari pengertian di atas dapatlah disimpulkan bahwa kredit atau pembiayaan
dapat berupa uang atau tagihan yang nilainya diukur dengan uang. (Kasmir, SE.,
MM , 2002)
2.10 Definisi Bunga
Suku bunga adalah harga yang dibebankan oleh unit ekonomi yang mengalami
surplus (unit surplus) pada unit ekonomi yang mengalami defisit (unit defisit) atas
8
pinjaman yang diberikan dari tabungannya. Sehingga bunga dapat diartikan harga
sewa yang diterima oleh unit surplus karena menyediakan dana bagi unit deficit.
Bank dapat diartikan sebagai balas jasa yang diberikan oleh bank berdasarkan
prinsip konvensional kepada nasabah yang membeli atau menjual produknya.
Bunga bagi bank juga dapat diartikan sebagai harga yang harus dibayar kepada
nasabah (yang memiliki simpanan) dan harga yang harus dibayar oleh nasabah
kepada bank (nasabah yang memperoleh pinjaman).
Jenis bunga ada dua macam yaitu:
1. Bunga Sederhana
Bunga sederhana adalah bunga yang dibayarkan hanya pada pinjaman atau
investasi pokok saja.
2. Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dibayarkan dari hasil pinjaman
(investasi) ditambahkan terhadap pinjaman pokok secara berkala, sehingga
bunga yang dihasilkan dari pokok pinjaman digabungkan lagi bersamasama.
Sistem bunga ada dua macam yaitu:
1. Flat
System bunga flat adalah sistem perhitungan suku bunga yang besarannya
yang mengacu pada pokok hutang awal.
2. Efektif
Sistem bunga efektif adalah kebalikan dari sistem bunga flat, yaitu porsi
bunga dihitung berdasarkan pokok hutang tersisa.
9
Dalam kegiatan perbankan konvesional sehari-hari, ada dua macam bunga yang
diberikan kepada nasabah yaitu:
1. Bunga Simpanan
Merupakan harga beli yang harus dibayar kepada nasabah pemilik
simpanan. Bunga ini diberikan sebagai rangsangan atas balas jasa, kepada
nasabah yang menyimpan uangnya di bank. Sebagia contoh jasa giro,
bunga tabungan dan bunga deposito.
2. Bunga Pinjaman
Merupakan bunga yang dibebankan kepada para peminjam (Debitur) atau
harga jual yang harus dibayar oleh nasabah peminjam kepada bank. Bagi
bank bunga peminjaman merupakan harga jual dan contoh harga jual
adalah bunga kredit.(Kasmir, 2002)
2.11 Definisi Laba
Analisis biaya volume laba (BVL) adalah metode dasar untuk menganalisa
bagaimana hubungan antara tiga faktor yaitu biaya, pendapatan dan laba. Model
BVL adalah:
Laba = Pendapatan - Total Biaya
Total biaya meliputi elemen biaya tetap dan biaya variabel.
Pendapatan = Biaya Tetap + Biaya Variabel + Laba
(Ambarriani, 2000)
10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
pada semester ganjil (semester 7) tahun 2013-2014.
3.2 Bahan dan Alat
Bahan yang digunakan adalah buku panduan, buku-buku teks, pustakam, internet
dan jurnal penunjang penelitian. Sedangkan alat yang digunakan adalah laptop
dan alat penunjang lainnya.
3.3 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan bahan literature serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan masalah penelitian ini.
2. Mempelajari jenis usaha budidaya ikan lele dan memahami analisis budidaya
ikan lele.
3. Mengumpulkan data serta memperhatikan kenaikan bobot ikan lele.
4. Menganalisis pertumbuhan bobot ikan lele dan menganalisis pertumbuhan
bobot ikan lele dan membandingkan koefisien pembungaan kredit.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan sebelumnya, maka dapat disimpulkan antara lain:
⁄
1. Dari analisa fungsi bunga majemuk
maka frekuensi
pembayaran kredit mempengaruhi besarnya nilai jumlah kredit.
2. Kenaikan bobot ikan lele iakan mengikuti model eksponensial
sehingga akan lebih mudah ditentukan koefisien kenaikan
bobot ikan lele sebagai pedoman dalam pengambilan keputusan bunga kredit.
diperoleh persamaan
3. Berdasarkan persamaan eksponensial
koefisien bobot ikan lele dumbo yaitu
(
(
))
, sehingga
dapat ditentukan koefisien bobot ikan lele dumbo sebagai berikut:
Ikan lele dumbo=
35
4. Hubungan yang optimal antara pihak instansi kredit (bank) dengan pengusaha
budidaya ikan lele nilai koefisien bobot ikan lele
(pembungaan pada
bank).
5. Dalam dunia bisnis akan terjadi 3 kemungkinan, yakni laba, rugi dan
keseimbangan pasar (titik impas). Dimana fungsi laba = Pendapatan –
Pengeluaran, dengan catatan laba > 0, jika tidak > 0 maka akan mengalami
kerugian dan syarat keseimbangan pasar (titik impas) adalah titik total
pendapatan sama dengan total biaya, titik di mana laba sama dengan nol.
5.2 SARAN
Penelitian ini dibatasi hanya pada kasus analisis budidaya ikan lele dalam
perolehan laba menggunakan pemodelan matematika. Untuk peneliti selanjutnya
dapat dilakukan penelitian dengan model logistik pemanenan yang optimal antara
waktu dan kredit dengan hasil penjualan bobot ikan dan bisa dikembangkan tidak
hanya usaha ikan tetapi usaha yang lainnya.
35
DAFTAR PUSTAKA
Ambarriani, Susty. 2000. Managemen Biaya. Salemba Empat: Jakarta.
Chiang, Alpha. 1995. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Erlangga : Jakarta.
Edwin, J. Purcell, Ridgon. 2003. Kalkulus. Erlangga : Jakarta.
Kasmir. 2002. Dasar-Dasar Perbankan. PT Raja Grafindo Persada : Jakarta.
Logan, J.David, 2006, A First Course in Differential Equation, Springer – Verlag ,
New-York, USA.
Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Erlangga : Jakarta.
Widodo. 2011. Pengantar Model Matematika. Jurusan Matematika FMIPA UGM :
Yogyakarta.
Wikarya, Gazali, Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus. Graha Ilmu : Yogyakarta.
A. Langkah menggunakan software maple
1. Buka aplikasi (software maple) pada laptop atau komputer yang sudah
tersedia.
2. Setelah software maple sudah terbuka seperti gambar dibawah ini:
3. Langkah selanjutnya untuk memuai program klik tombol atau sintag pada
layar seperti gambar di bawah ini:
4. Setelah muncul sintag seperti gambar diatas, lalu ketik plot seperti gambar di
bawah ini:
5. Kemudian masukkan atau ketik fungsi yang sudah tersedia dan setiap akhir
penulisan fungsi diakhiri dengan titik koma ( ; ), lihat seperti gambar di
bawah:
6. Kemudian tekan “enter”. Secara otomatis akan muncul gambar grafik yang
kita inginkan. Seperti gambar di bawah ini:
7. Jika ingin menyimpan file software maple, klik file pada icon maple,
kemudian save as, kemudian simpan file di folder yang di inginkan.
B. Langkah menggunakan software wolfram matematica
1. Buka aplikasi (software wolfram matematica) pada laptop atau komputer yang
sudah tersedia.
2. Setelah software terbuka akan terlihat seperti gambar berikut:
3. Jika ingin menambah file, klik file kemudian klik new. Kemudian pilih
notebook. Seperti gambar di bawah:
4. Untuk memulai program silahkan ketik “manipulate” kemudian disambung
dengan “plot” lalu masukkan nilai-nilai yang sudah tersedia serta tampilkan
batas-batas nilai yang akan digunakan. Karena di software wolfram ini
berbeda dengan software maple. Software wolfram matematica menggunakan
batasan nilai-nilai yang tersedia, sedangkan software maple memasukkan nilai
yang sudah tersedia. Dapat dilihat seperti gambar di bawah ini:
5. Setelah selesai memasukkan nilai serta menampilkan batasan nilai yang
digunakan, kemudian klik “shift” dan “enter” secara bersamaan. Secara
otomatis akan muncul grafik fungsi yang kita inginkan seperti gambar di
bawah ini:
6. Setelah gambar grafik muncul, kita harus dapat mengoperasikan nilai yang
kita gunakan. Dapat dilihat pada gambar nilai
yang kita gunakan adalah
47.066.667, yaitu dengan cara mengarahkan kursor ke kanan atau ke kiri
sampai memperoleh nilai 47.066.667. Dapat dilihat seperti gambar di bawah
ini:
7. Setelah angka yang kita inginkan sudah muncul, kita dapat memperoleh
gambar yang kita inginkan dengan maksimal. Seperti gambar berikut:
8. Jika ingin menyimpan file software wolfram matematica klik file, kemudian
save as, dan simpan file dengan nama yang di inginkan.
BUDIDAYA IKAN LELE
Oleh
Anis Wulandari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014
ABSTRAK
PEMODELAN MATEMATIKA PADA STUDI KASUS ANALISIS LABA
BUDIDAYA IKAN LELE
Oleh
Anis Wulandari
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis perolehan laba budidaya ikan
lele serta mengkontruksi model matematika pada budidaya ikan lele. Model
matematika diartikan sebagai suatu representasi masalah dalam dunia nyata
menggunakan bahasa matematika. Dalam dunia bisnis merupakan dunia penuh
dengan perhitungan yang tidak lepas dari ilmu matematika, setiap langkah atau
keputusan selalu diperhitungkan implikasinya ke depan sehingga dibutuhkan
suatu analisa yang relevan. Dalam hal ini, pengambilan keputusan langsung
dengan menggunakan intuisi tepat digunakan karena banyaknya data yang bersifat
saling berhubungan.
Dari masalah ini yang menjadi peran sains semakin penting dalam menyajikan
alternatif solusinya untuk memberikan dukungan dalam pengambilan keputusankeputusan penting sehingga peran pemodelan matematika diperlukan untuk
mengkonstruksi suatu permasalah menjadi model matematis yang optimal. Pada
penelitian ini peneliti menganalisa pertumbuhan bobot ikan lele dumbo. Diperoleh
bobot awal ikan lele adalah 2,5 gram dan saat pertumbuhan selama 3 bulan dapat
bobot berkisar sampai 200 gram. Sehingga diperoleh logistik budidaya ikan lele
, dengan
merupakan kapasitas batas kolam
adalah
plastik. Setelah
waktu (3 bulan) dapat dimodelkan sebagai berikut
.
Kata kunci : Model matematika, Intuisi, Optimal, Bisnis
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI .................................................................................................. i
DAFTAR TABEL .......................................................................................... iv
DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... v
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1
1.2 Batasan Masalah ............................................................................... 2
1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 3
1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................ 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi ................................................................................................ 4
2.2 Derivatif ............................................................................................ 5
2.3 Persamaan Diferensial ...................................................................... 5
2.4 Persamaan Diferensial Ordo Satu ..................................................... 5
2.5 Integral Tak Tentu ............................................................................. 6
2.6 Fungsi Logaritma Asli ...................................................................... 6
2.7 Fungsi Ekaponensial ......................................................................... 7
2.8 Bilangan e ......................................................................................... 7
i
2.9 Definisi Kredit .................................................................................. 8
2.10 Definisi Bunga .................................................................................. 8
2.11 Definisi Laba ..................................................................................... 10
BAB III METODE PENELITIAN
3.1
Tempat dan Waktu Penelitian ......................................................... 11
3.2
Bahan dan Alat ................................................................................ 11
3.3
Metode Penelitian ............................................................................ 11
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Hasil Pengamatan ............................................................................. 12
4.2
Pembahasan ..................................................................................... 14
4.2.1 Logistik pada Budidaya Ikan Lele Dumbo ............................. 14
4.2.2 Model Matematis Fungsi Kredit ............................................ 20
4.2.2.1 Model Bunga Majemuk .............................................. 20
4.2.3 Analisis Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungsi
Budidaya Ikan Lele Dumbo .................................................... 22
4.2.4 Mencari Nilai a dari Setiap Masing-masing Bobot Ikan Lele
Dumbo .................................................................................... 25
4.2.5 Frekuensi Pembayaran Kredit Per Bulan................................ 26
4.2.6 Studi Kasus 1 Hubungan Optimal Fungsi Kredit dengan Fungsi
Budidaya Ikan Lele Dumbo .................................................... 27
4.2.7 Studi Kasus 2 Kenaikan Populasi Ikan Lele Dumbo dalam Jangka
Waktu Satu Tahun .................................................................. 30
ii
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ........................................................................................ 34
5.2 Saran .................................................................................................. 35
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
iii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Indonesia sebagai salah satu Negara Kepulauan, banyak menyimpan sumber
kekayaan hayati. Salah satu sumber kekayaan hayati di perairan Indonesia adalah
ikan. Sumber daya ikan dapat berperan dalam menambah pendapatan devisa
negara. Namun demikian, sumber daya ikan yang tidak memperhatikan
pemanfaatan yang berkelanjutan dapat menyebabkan hilangnya sumber kekayaan
hayati tersebut. Secara jelas obyek dari manajemen perikanan, yaitu membuat
strategi pemanenan budidaya ikan yang tidak akan membawa suatu spesies dalam
kepunahan. Oleh karena itu, diperlukan tindakan pencegahan sedini mungkin
melalui kebijakan strategi pemanenan yang baik. Sumber daya alam hayati
khususnya ikan lele perlu dibudidayakan. Agar menjadi suatu pendapatan. Pada
saat ini budidaya ikan lele menjadi suatu usaha yang menjanjikan.
Para usaha budidaya ikan lele biasanya kesulitan modal untuk mengembangkan
usahanya, oleh karena itu banyak pengusaha ikan lele memanfaatkan pinjaman
dari bank-bank yang mempunyai program peminjaman untuk usaha kecil
menengah dengan bunga kredit yang rendah. Dengan pinjaman dari bank tersebut
pengusaha ikan lele dapat melanjutkan usahanya dan memenuhi kebutuhan pasar.
Kebutuhan pasar yang belum tercukupi tersebut dapat di manfaatkan oleh
1
pengusaha tersebut. Dalam mengembangkan usahanya dengan mendapatkan
pinjaman kredit dari bank sehingga pengusaha budidaya ikan lele dapat
mengembangkan usahanya dan memenuhi permintaan pasar, hal tersebut juga
menambah keuntungan bagi pengusaha tersebut.
Mengingat masalah situasi yang dihadapi bersifat kompleks, pengusaha
memerlukan data dan informasi yang dibutuhkan untuk mendukung pengambilan
keputusan sebanding dengan kompleksitas permasalahan yang dihadapi. Dalam
hal ini, pengambilan keputusan
langsung dengan menggunakan intuisi tepat
digunakan karena banyaknya data yang bersifat saling berhubungan. Dari masalah
ini yang menjadi peran sains manajemen semakin penting dalam menyajikan
alternatif solusinya untuk memberikan dukungan dalam pengambilan keputusankeputusan penting sehingga peran pemodelan matematika diperlukan untuk
mengkonstruksi suatu permasalah menjadi model matematis.
Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika .
Pemodelan matematika diharapkan bisa membantu permasalahan pada budidaya
ikan lele. Oleh karena itu, penulis akan meneliti analisis laba budidaya ikan lele
menggunakan model matematika.
1.2 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, akan menganalisis variabel-variabel dalam perkreditan yaitu
jangka waktu kredit, waktu kredit dan frekuensi pembayaran bunga kredit yang
2
sangat signifikan berpengaruh dalam perolehan laba serta sistem perhitungan
bunga kredit dan budidaya ikan lele.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dilakukan penelitian ini adalah:
1. Mengkontruksi model matematika untuk budidaya ikan lele dan fungsi kredit
serta mencari hubungan yang optimal.
2. Menganalisis perolehan laba budidaya ikan lele.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah:
1. Menambah pengetahuan peranan atau aplikasi ilmu matematika terhadap
dunia bisnis
2. Memberikan motifasi kepada mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNILA
akan pentingnya ilmu dan terapan matematika pada dunia bisnis.
3. Memberikan informasi dan solusi dalam pengembalian keputusan bunga
kredit untuk modal usaha budidaya ikan lele.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi
Definisi:
Sebuah
fungsi
adalah
suatu
aturan
korespondensi
(padanan)
yang
menghubungkan setiap obyek
dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal,
dengan sebuah nilai tunggal
dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai
yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.
Sebuah Fungsi
A
B
●
●
●
●
●
●
●
Daerah Asal
Daerah Hasil
(Purcell, 2003)
Gambar 1. Fungsi
4
2.2 Derivatif
Definisi:
Turunan sebuah fungsi
bilangan
adalah fungsi lain
yang nialinya pada sebarang
adalah:
Asalkan limit ini ada dan bukan
atau
. (Purcell, 2003)
2.3 Persamaan Diferensial
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan yang berbentuk :
(
peubah tak bebas
)
yang menyatakan hubungan antara peubah bebas
dan turunannya yaitu
,
.
Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat)
jika turunan
yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke
. Dan suatu
persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat)
jika turunan yang
tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat . (Kartono, 1999)
2.4 Persamaan Diferensial Ordo Satu
Persamaan diferensial orde satu merupakan persamaan yang mempunyai turunan
pertama dari suatu fungsi, dalam arti dunia nyata yaitu menyatakan perilaku
perubahan yang hanya melibatkan laju perubahan saja. Berikut ini diberikan
definisi persamaan diferensial orde satu :
Definisi 1 Diberikan persamaan diferensial orde satu :
x f t, x
; x
dx
dt
2.1.1
5
dengan f : E Rn adalah fungsi kontinue, t R , x R n , dan E Rn .
Solusi dari persamaan (2.1.1) diberikan dalam teorema berikut :
Teorema 2 Diberikan persamaan diferensial orde satu (2.1.1) yaitu :
x f t, x
memilki solusi jika fungsi f dan
f
kontinue pada domainnya. (Logan, 2006)
t
2.5 Integral Tak Tentu
Ingat :
. Bila ditulis
disebut diferensial
ditanyakan
. Pengerjaan
mengintegralkan
Definisi :
Jika
dari
. Sekarang bila yang diketahui
sehingga memperoleh
,
disebut
ke , notasi : ∫
kontinue dan
, maka
, ditulis ∫
disebut integral tak tentu
.(Gazali Wikarya, 2007)
2.6 Fungsi Logaritma Asli
Definisi:
Fungsi logaritma asli ditulis sebagai
∫
| |
, dengan syarat
yang didefinisikan sebagai berikut:
. Daerah definisinya adalah
himpunan bilangan riil positif. Turunan logaritma asli ;
Sifat-sifat logaritma asli;
6
(Purcell, 2003)
2.7
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Eksponen Asli
Turunan fungsi
langsung diperoleh dari sifat inversnya. Berdasarkan
rumus turunan fungsi invers, dari fungsi
(Koko Martono, 1999)
2.8 Bilangan e
Perhatikan fungsi-fungsi berikut:
[
]
]
[
[
[
]
[
]
]
dst….
7
Selanjutnya, jika m diperbesar sampai tak berhingga, maka
ke bilangan 2,71828….= e
sehingga :
akan konvergen
dapat didefinisikan sebagai limit untuk
[
]
2.9 Definisi Kredit
Pengertian kredit dalam buku seri Managemen Bank No. 5(1997;31) adalah
penyedian uang atau tagihan yang dapat dipersamaan dengan itu, berdasarkan
persetujuan atau kesepakatan pinjam meminjam antara bank dengan pihak lain
yang mewajibkan peminjaman untuk melunasi utangnya setelah jangka waktu
tertentu dengan jumlah bunga, imbalan, atau pembagian hasil keuntungan. Selain
itu kredit juga bisa berarti kemampuan untuk melaksanakan suatu pembelian atau
mengadakan suatu pinjaman dengan suatu janji pembayarannya akan dilakukan
atau ditangguhkan pada suatu jangka waktu yang disepakati. Sedangkan
pengertian pembiayaan adalah penyediaan uang atau tagihan yang dapat
dipersamakan dengan itu, berdasarkan persetujuan atau kesepakatan antara bank
dengan pihak lain yang mewajibkan pihak yang dibiayai untuk mengembalikan
uang atau tagihan tersebut setelah jangka waktu tertentu dengan imbalan atau bagi
hasil. Dari pengertian di atas dapatlah disimpulkan bahwa kredit atau pembiayaan
dapat berupa uang atau tagihan yang nilainya diukur dengan uang. (Kasmir, SE.,
MM , 2002)
2.10 Definisi Bunga
Suku bunga adalah harga yang dibebankan oleh unit ekonomi yang mengalami
surplus (unit surplus) pada unit ekonomi yang mengalami defisit (unit defisit) atas
8
pinjaman yang diberikan dari tabungannya. Sehingga bunga dapat diartikan harga
sewa yang diterima oleh unit surplus karena menyediakan dana bagi unit deficit.
Bank dapat diartikan sebagai balas jasa yang diberikan oleh bank berdasarkan
prinsip konvensional kepada nasabah yang membeli atau menjual produknya.
Bunga bagi bank juga dapat diartikan sebagai harga yang harus dibayar kepada
nasabah (yang memiliki simpanan) dan harga yang harus dibayar oleh nasabah
kepada bank (nasabah yang memperoleh pinjaman).
Jenis bunga ada dua macam yaitu:
1. Bunga Sederhana
Bunga sederhana adalah bunga yang dibayarkan hanya pada pinjaman atau
investasi pokok saja.
2. Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dibayarkan dari hasil pinjaman
(investasi) ditambahkan terhadap pinjaman pokok secara berkala, sehingga
bunga yang dihasilkan dari pokok pinjaman digabungkan lagi bersamasama.
Sistem bunga ada dua macam yaitu:
1. Flat
System bunga flat adalah sistem perhitungan suku bunga yang besarannya
yang mengacu pada pokok hutang awal.
2. Efektif
Sistem bunga efektif adalah kebalikan dari sistem bunga flat, yaitu porsi
bunga dihitung berdasarkan pokok hutang tersisa.
9
Dalam kegiatan perbankan konvesional sehari-hari, ada dua macam bunga yang
diberikan kepada nasabah yaitu:
1. Bunga Simpanan
Merupakan harga beli yang harus dibayar kepada nasabah pemilik
simpanan. Bunga ini diberikan sebagai rangsangan atas balas jasa, kepada
nasabah yang menyimpan uangnya di bank. Sebagia contoh jasa giro,
bunga tabungan dan bunga deposito.
2. Bunga Pinjaman
Merupakan bunga yang dibebankan kepada para peminjam (Debitur) atau
harga jual yang harus dibayar oleh nasabah peminjam kepada bank. Bagi
bank bunga peminjaman merupakan harga jual dan contoh harga jual
adalah bunga kredit.(Kasmir, 2002)
2.11 Definisi Laba
Analisis biaya volume laba (BVL) adalah metode dasar untuk menganalisa
bagaimana hubungan antara tiga faktor yaitu biaya, pendapatan dan laba. Model
BVL adalah:
Laba = Pendapatan - Total Biaya
Total biaya meliputi elemen biaya tetap dan biaya variabel.
Pendapatan = Biaya Tetap + Biaya Variabel + Laba
(Ambarriani, 2000)
10
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
pada semester ganjil (semester 7) tahun 2013-2014.
3.2 Bahan dan Alat
Bahan yang digunakan adalah buku panduan, buku-buku teks, pustakam, internet
dan jurnal penunjang penelitian. Sedangkan alat yang digunakan adalah laptop
dan alat penunjang lainnya.
3.3 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan bahan literature serta studi kepustakaan yang berhubungan
dengan masalah penelitian ini.
2. Mempelajari jenis usaha budidaya ikan lele dan memahami analisis budidaya
ikan lele.
3. Mengumpulkan data serta memperhatikan kenaikan bobot ikan lele.
4. Menganalisis pertumbuhan bobot ikan lele dan menganalisis pertumbuhan
bobot ikan lele dan membandingkan koefisien pembungaan kredit.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 KESIMPULAN
Berdasarkan pada pembahasan sebelumnya, maka dapat disimpulkan antara lain:
⁄
1. Dari analisa fungsi bunga majemuk
maka frekuensi
pembayaran kredit mempengaruhi besarnya nilai jumlah kredit.
2. Kenaikan bobot ikan lele iakan mengikuti model eksponensial
sehingga akan lebih mudah ditentukan koefisien kenaikan
bobot ikan lele sebagai pedoman dalam pengambilan keputusan bunga kredit.
diperoleh persamaan
3. Berdasarkan persamaan eksponensial
koefisien bobot ikan lele dumbo yaitu
(
(
))
, sehingga
dapat ditentukan koefisien bobot ikan lele dumbo sebagai berikut:
Ikan lele dumbo=
35
4. Hubungan yang optimal antara pihak instansi kredit (bank) dengan pengusaha
budidaya ikan lele nilai koefisien bobot ikan lele
(pembungaan pada
bank).
5. Dalam dunia bisnis akan terjadi 3 kemungkinan, yakni laba, rugi dan
keseimbangan pasar (titik impas). Dimana fungsi laba = Pendapatan –
Pengeluaran, dengan catatan laba > 0, jika tidak > 0 maka akan mengalami
kerugian dan syarat keseimbangan pasar (titik impas) adalah titik total
pendapatan sama dengan total biaya, titik di mana laba sama dengan nol.
5.2 SARAN
Penelitian ini dibatasi hanya pada kasus analisis budidaya ikan lele dalam
perolehan laba menggunakan pemodelan matematika. Untuk peneliti selanjutnya
dapat dilakukan penelitian dengan model logistik pemanenan yang optimal antara
waktu dan kredit dengan hasil penjualan bobot ikan dan bisa dikembangkan tidak
hanya usaha ikan tetapi usaha yang lainnya.
35
DAFTAR PUSTAKA
Ambarriani, Susty. 2000. Managemen Biaya. Salemba Empat: Jakarta.
Chiang, Alpha. 1995. Dasar-dasar Matematika Ekonomi. Erlangga : Jakarta.
Edwin, J. Purcell, Ridgon. 2003. Kalkulus. Erlangga : Jakarta.
Kasmir. 2002. Dasar-Dasar Perbankan. PT Raja Grafindo Persada : Jakarta.
Logan, J.David, 2006, A First Course in Differential Equation, Springer – Verlag ,
New-York, USA.
Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Erlangga : Jakarta.
Widodo. 2011. Pengantar Model Matematika. Jurusan Matematika FMIPA UGM :
Yogyakarta.
Wikarya, Gazali, Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus. Graha Ilmu : Yogyakarta.
A. Langkah menggunakan software maple
1. Buka aplikasi (software maple) pada laptop atau komputer yang sudah
tersedia.
2. Setelah software maple sudah terbuka seperti gambar dibawah ini:
3. Langkah selanjutnya untuk memuai program klik tombol atau sintag pada
layar seperti gambar di bawah ini:
4. Setelah muncul sintag seperti gambar diatas, lalu ketik plot seperti gambar di
bawah ini:
5. Kemudian masukkan atau ketik fungsi yang sudah tersedia dan setiap akhir
penulisan fungsi diakhiri dengan titik koma ( ; ), lihat seperti gambar di
bawah:
6. Kemudian tekan “enter”. Secara otomatis akan muncul gambar grafik yang
kita inginkan. Seperti gambar di bawah ini:
7. Jika ingin menyimpan file software maple, klik file pada icon maple,
kemudian save as, kemudian simpan file di folder yang di inginkan.
B. Langkah menggunakan software wolfram matematica
1. Buka aplikasi (software wolfram matematica) pada laptop atau komputer yang
sudah tersedia.
2. Setelah software terbuka akan terlihat seperti gambar berikut:
3. Jika ingin menambah file, klik file kemudian klik new. Kemudian pilih
notebook. Seperti gambar di bawah:
4. Untuk memulai program silahkan ketik “manipulate” kemudian disambung
dengan “plot” lalu masukkan nilai-nilai yang sudah tersedia serta tampilkan
batas-batas nilai yang akan digunakan. Karena di software wolfram ini
berbeda dengan software maple. Software wolfram matematica menggunakan
batasan nilai-nilai yang tersedia, sedangkan software maple memasukkan nilai
yang sudah tersedia. Dapat dilihat seperti gambar di bawah ini:
5. Setelah selesai memasukkan nilai serta menampilkan batasan nilai yang
digunakan, kemudian klik “shift” dan “enter” secara bersamaan. Secara
otomatis akan muncul grafik fungsi yang kita inginkan seperti gambar di
bawah ini:
6. Setelah gambar grafik muncul, kita harus dapat mengoperasikan nilai yang
kita gunakan. Dapat dilihat pada gambar nilai
yang kita gunakan adalah
47.066.667, yaitu dengan cara mengarahkan kursor ke kanan atau ke kiri
sampai memperoleh nilai 47.066.667. Dapat dilihat seperti gambar di bawah
ini:
7. Setelah angka yang kita inginkan sudah muncul, kita dapat memperoleh
gambar yang kita inginkan dengan maksimal. Seperti gambar berikut:
8. Jika ingin menyimpan file software wolfram matematica klik file, kemudian
save as, dan simpan file dengan nama yang di inginkan.