B. Kajian Teoritis Tentang Sistem Persamaan Linear
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Penyelesaian sistem persamaan linear adalah nilai - nilai variabel yang
memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah himpunan semua
penyelesaian sistem persamaan linear a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel Sistem persamaan linear adalah dua buah persamaan yang hanya
memiliki dua variabel dan masing - masing variabel berpangkat satu. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah mencari
nilai - nilai x dan y yang dicari demikian sehingga memenuhi kedua persamaan linear Agus, 2007 : 75. Himpunan penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua variabel adalah himpunan semua pasangan terurut x , y yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem
persamaan tersebut. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, yaitu diantaranya adalah metode substitusi dan metode eliminasi.
1 Metode Substitusi Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode
substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut
menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain. langkah- langkah penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan
metode substitusi sebagai berikut. Langkah 1
Pilihlah salah satu persamaan jika ada pilih yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.
Langkah 2 Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain.
Contoh: Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.
{
2 x−3 y=7 3 x +2 y=4
Jawab : Dari persamaan
2 x −3 y=7
⟺ 2 x =7+3 y
⟺ x=
7+3 y 2
Substitusikan ke persamaan
3 x+2 y=4
, diperoleh: 3
7+3 y 2
+ 2 y=4 , masing-masing ruas dikalikan 2
⟺
3 7+3 y
+ 4 y =8
⟺ 21+9 y +4 y=8
⟺ 13 y=−13
⟺ y=−1
Substitusikan nilai
y=−1
ke persamaan x= 7+3 y
2 , diperoleh:
⟺ x=
7+3 −1 2
⟺ x=2
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah
{
2,−1
}
. 2 Metode Eliminasi
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan car menghilangkan salah satu variabel untuk dapat
menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan
{
x +4 y=14 3 x+ y=20
Jawab :
{
x +4 y=14 3 x+ y=20
Nilai y akan dicari dengan mengeliminasi peubah x. x+4 y =14
3 x + y=20
|
×3 ×1
|
3 x+12 y=42 3 x + y =20
11 y=22
y=2 Nilai x akan dicari dengan mengeliminasi peubah y.
x+4 y =14 3 x + y=20
|
×1 × 4
|
x +4 y=14 12 x +4 y=80
− 11 x=−66
x=6
Jadi, HP ¿
{
6,2
}
b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah himpunan semua triple terurut x , y , z yang memenuhi setiap
persamaan linear pada sistem persamaan tersebut. 1 Metode Substitusi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dalam x, y, dan z dengan menggunakan metode substitusi adalah sebagai berikut.
Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x
sebagai fungsi x dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Langkah 2 Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam
dua persamaan yang lainnya sehingga didapat SPLDV. Langkah 3
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2. Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut dengan metode substitusi.
{
x−2 y+z =6 3 x + y−2 z=4
7 x−6 y−z=10
Jawab : Dari persamaan x−2 y+ z=6 ⟺ x=2 y−z+6 .
Peubah ini disubstitusikan ke persamaan 3 x+ y −2 z=4 dan 7 x−6 y−z=10 , diperoleh:
3 2 y −z+6+ y−2 z=4 ⟺
6 y−3 z +18+ y−2 z=4
⟺ 7 y−5 z=−14
................................................................. 1
dan 7 2 y −z+6−6 y −z=10
⟺ 14 y−7 z +42−6 y−z=10
⟺ 8 y−8 z=−32
⟺ y−z=4
........................................................................... 2
Persamaan 1 dan 2 membentuk SPLDV y dan z:
{
7 y −5 z=−14 y−z=−4
Dari persamaan
y−z=−4 ⟺
y=z−4
. Peubah y disubstitusikan ke persamaan
7 y−5 z=−14
, diperoleh:
7 z−4
− 5 z=−14
⟺ 7 z−28−5 z=−14
⟺ 2 z =14
⟺ z=7
Substitusi nilai
z=7
ke persamaan
y=z−4
, diperoleh:
y=7−4=3 Substitusi nilai y=3 dan z=7 ke persamaan x=2 y−z +6 ,
diperoleh: x=2 3−7+6=5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{
5, 3,7
}
. 2 Metode Eliminasi
Langkah-langkah penyelesaian SPLTV dalam x, y, dan z dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.
Langkah 1 Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV.
Langkah 2 Selesaikan SPLDV yang didapat pada langkah 1.
Langkah 3 Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 ke
dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.
Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan metode
eliminasi.
{
2 x− y +z=6 x −3 y+z =−2
x +2 y−z=3 Jawab :
Eliminasi Peubah z:
Dari persamaan pertama dan kedua: 2 x − y+ z=6
x−3 y +z=−2 x+ 2 y =8
............................................................. 1 Dari persamaan kedua dan ketiga:
x−3 y +z=−2
x+2 y −z=3 2 x − y=1
............................................................. 2 Persamaan 1 dan 2 membentuk SPLDV x dan y.
{
x +2 y=8 2 x− y =1
Eliminasi peubah y:
x+2 y =8
2 x − y=1 × 1
× 2
⟺
⟺
x+2 y =8
4 x −2 y =2
⟺ 5 x=10
x=2 Eliminasi peubah x:
x+2 y =8
2 x − y=1
× 2 × 1
⟺
⟺
2 x +4 y=16
2 x − y=1
⟺ 5 y=15
y=3
Nilai z dicari dengan mensubstitusikan
x=2
dan
y=3
ke salah satu persamaan semula.
Misalnya dipilih persamaan
x+2 y −z=3
, diperoleh:
2+2 3
− z=3
⟺ z=5
Jadi, himpunan penyelesaian SPLTV itu adalah
{
2, 3,5
}
.
C. Penerapan Metode Talking Stick pada Materi Pokok Sistem Persamaan Linear
Kategori