80 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
9. Selesaikan SPL tridiagonal
Ax =
b
dengan
a ii
= 4;
a i;i
1 =
a i;i+1
= 1;
i =
1; 2;
:::; 100;
b =
1; 1;
:::; 1
T :
Gunakan MATLAB untuk menghasilkan matriks
A
dan vektor
b
. Se- lesaikan SPL tersebut dengan program
tridiagonal .
10. Tunjukkan bahwa banyaknya perkalian dan pembagian yang diper- lukan untuk menyelesaikan SPL tridiagonal
n n
adalah
5n 4
.
2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU
Suatu masalah yang sering dihadapi di dalam menyelesaikan SPL
A
X =B
adalah perlunya mendapatkan beberapa penyelesaian untuk berbagai vektor B, sedangkan matriks
A
tetap. Penggunaan metode eliminasi Gauss mengharuskan penyelesaian setiap SPL
A
X =B secara terpisah un-
tuk setiap vektor B, dengan menggunakan operasi aritmetika yang pada prinsipnya sama sampai dilakukan proses penyulihan balik. Suatu proses
yang dikenal sebagai faktorisasi LU menangani permasalahan ini dengan hanya berkonsentrasi pada matriks koefisien,
A
. Jika matriks bujur sangkar
A
dapat difaktorkan menjadi
A =
LU
, dengan
L
adalah suatu matriks segitiga bawah dan
U
matriks segitiga atas, maka kita menyebut hal ini sebagai faktorisasi
LU
dari
A
. Sebagai contoh sekaligus penjelasan, misalkan
A
matriks berukuran
4 4
,
Faktorisai LU matriks
A
menyatakan matriks
A
sebagai hasil kali matriks segitiga bawah
L
dan matriks segitiga atas
U
.
B B
a 11
a 12
a 13
a 14
a 21
a 22
a 23
a 24
a 31
a 32
a 33
a 34
a 41
a 42
a 43
a 44
1 C
C A
= B
B 11
21 22
31 32
33 41
42 43
44 1
C C
A B
B 11
12 13
14 22
23 24
33 34
44 1
C C
A :
2.11
Penyelesaian SPL
A
X =B kemudian dapat diperoleh dengan cara se-
bagai berikut:
AX =
LU X
= LY
= B;
dengan Y=
U
X . Jadi permasalahnnya sekarang dapat diselesaikan melalui
dua tahap, yakni 1 mencari vektor Y yang memenuhi
L
Y =B, dan 2
mencari vektor X yang memenuhi Y=
U
X .
Oleh karena
L
adalah matriks segitiga bawah, penyelesaian
L
Y =B
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
82 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
C
ONTOH
2.9.
Perhatikan SPL
2x 1
+ 4x
2 2x
3 =
6 x
1 x
2 +
5x 3
= 4x
1 +
x 2
2x 3
= 2
Matriks koefisien dari SPL ini adalah
A =
2 4
2 1
1 5
4 1
2 1
A
Elemen pivotnya adalah
a 11
= 2
; pengali-pengalinya adalah
m 21
= 1=2
dan
m 31
= 4=2
= 2
. Setelah membuat nol elemen-elemen di bawah pivot, matriks koefisien menjadi
A 1
= 2
4 2
3 6
7 2
1 A
:
Misalkan matriks
M 1
dibentuk dengan menggunakan pengali-pengali
m 21
dan
m 31
. Elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1, kolom pertama di bawah diagonal utama merupakan negatif dari pengali-pengali tersebut, sedang-
kan semua elemen lainnya bernilai nol. Maka
M 1
adalah
M 1
= 1
1=2 1
2 1
1 A
:
Perhatikan hasil kali
M 1
dan
A 1
1=2 1
2 1
1 A
2 4
2 1
1 5
4 1
2 1
A =
2 4
2 3
6 7
2 1
A :
Ternyata diperoleh
M 1
A =
A 1
2.14 Apabila kita lanjutkan proses eliminasi untuk membuat nol elemen-elemen
pada kolom kedua di bawah diagonal utama dengan menggunakan pengali
m 32
= 7=
3 =
7=3
, maka kita peroleh matriks yang tereduksi, Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 83
A 2
= 2
4 2
3 6
12 1
A :
Sekarang misalkan matriks
M 2
adalah suatu matriks dengan diagonal utama satuan, kolom kedua di bawah diagonal utama merupakan negatif dari
pengali di atas, dan elemen-elemen lainnya bernilai nol, yakni
M 2
= 1
1 7=3
1 1
A :
Perhatikan hasilkali
M 2
dan
A 1
:
1 1
7=3 1
1 A
2 4
2 3
6 7
2 1
A =
2 4
2 3
6 12
1 A
:
Ternyata diperoleh hubungan
M 2
A 1
= A
2 :
2.15 Dari 2.14 dan 2.15 diperoleh
M 2
M 1
A =
A 2
:
2.16 Misalkan
M 1
1
adalah invers matriks
M 1
dan
M 1
2
adalah invers matriks
M 2
. Maka
M 1
1 =
1 1=2
1 2
1 1
A
dan
M 1
2 =
1 1
7=3 1
1 A
:
Dari 2.16 kita dapatkan
A =
I I
A =
M 1
1 M
1 2
M 2
M 1
A =
M 1
1 M
1 2
M 2
M 1
A =
M 1
1 M
1 2
A 2
:
2.17 Akan tetapi, oleh karena
M 1
1
dan
M 1
2
adalah matriks-matriks segitiga bawah, maka demikian juga
M 1
1 M
1 2
. Juga kita tahu
A 2
merupakan matriks segitiga atas. Jika kita tuliskan
L =
M 1
1 M
1 2
dan
U =
A 2
, maka dari 2.17 Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 85
4. 1.
- 2. 0.
3.5 - 1.
0. 0.
5.1428571 L
= 1.
0. 0.
0.5 1.
0. 0.25
- 0.3571429 1.
LU ans
= 4.
1. 2.
2. 4.
- 2. 1.
- 1. 5.
EA ans
= 4.
1. 2.
2. 4.
- 2. 1.
- 1. 5.
Ternyata hasil faktorisasi LU yang diberikan oleh MATLAB ber-
Faktorisasi LU tidak bersifat tunggal.
beda dengan hasil faktorisasi kita di atas. Hal ini tidaklah mengherankan, karena faktorisasi LU tergantung pada operasi-operasi baris yang digu-
nakan di dalam proses eliminasi. Dengan kata lain, faktorisasi LU tidak bersifat tunggal. Pada hasil keluaran MATLAB di atas
E
merupakan ma- triks permutasi yang menunjukkan proses eliminasi, dan hubungannya
dengan matriks
A
,
L
, dan
U
adalah
E A
= L
U
.
2.3.1 Beberapa Metode Faktorisasi Lain
Misalkan kita ingin memfaktorkan matriks
A =
B B
6 2
1 1
2 4
1 1
1 4
1 1
1 3
1 C
C A
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 87
Jadi,
U
berbentuk
U =
B B
1 u
12 u
13 u
14 1
u 23
u 24
1 u
34 1
1 C
C A
:
Nilai-nilai
u ij
dan
l ij
dapat dihitung dengan cara mirip rumus 2.18
Faktorisasi Crout
menghasilkan
A =
LU
, dengan
L =
L D
dan
U =
D 1
U
,
A =
L U
adalah hasil faktorisasi
Doolitle , dan
D
matriks diagonal dari
U
.
dan 2.19. Akan tetapi menarik untuk diperhatikan bahwa, jika
D
menunjukkan matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya
u k
k
dan
L
dan
U
adalah hasil faktorisasi LU dengan metode Doolitle, maka
A =
L U
= L
D D
1 U
= L
D D
1 U
= LU:
Jadi faktorisasi Crout dan Doolitle saling terkait erat.
Metode Choleski. Jika
A
matriks nyata, simetris, dan definit positif,
Faktorisasi Choleski
menghasilkan
A =
LL T
untuk matriks
A
bersifat simetris dan definit
positif.
maka kita dapat menemukan suatu matriks segitiga bawah
L
se- demikian hingga
A =
LL T
. Cara ini dikenal sebagai faktorisasi Choleski. Matriks
L
dihitung dengan menyelesaikan persamaan- persamaan
r 1
X j
=1 l
2 r
j +
l 2
r r
= a
r r
; i
1 X
j =1
l r
j l
ij +
l r
i l
ii =
a r
i ;
2.20 untuk
r =
1; 2;
: :
: ;
n
dan untuk setiap
r ;
i =
1; 2;
: :
: ;
r 1
. C
ONTOH
2.10.
Dengan menggunakan metode Doolitle matriks
A
di atas dapat difaktorkan men- jadi
B B
6 2
1 1
2 4
1 1
1 4
1 1
1 3
1 C
C A
= B
B 1
l 21
1 l
31 l
32 1
l 41
l 42
l 43
1 1
C C
A B
B u
11 u
12 u
13 u
14 u
22 u
23 u
24 u
33 u
34 u
44 1
C C
A
Dengan mengalikan kedua matriks pada ruas kanan diperoleh matriks
B B
u 11
u 12
u 13
u 14
l 21
u 11
l 21
u 12
+ u
22 l
21 u
13 +
u 23
l 21
u 14
+ u
24 l
31 u
11 l
31 u
12 +
l 32
u 22
l 31
u 13
+ l
32 u
23 +
u 33
l 31
u 14
+ l
32 u
24 +
u 34
l 41
u 11
l 41
u 12
+ l
42 u
22 l
41 u
13 +
l 42
u 23
+ l
43 u
33 l
41 u
14 +
l 42
u 24
+ l
43 u
34 +
u 44
1 C
C A
Dengan menyamakan matriks tersebut dan matriks
A
diperoleh Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
88 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
u 11
= 6
; u
12 =
2 ;
u 13
= 1
; u
14 =
1 ;
6l 21
= 2;
6l 31
= 1;
6l 41
= 1;
atau
l 21
= 1=3
; l
31 =
1=6 ;
l 41
= 1=6
; 1
3 2
+ u
22 =
4; 1
3 1
+ u
23 =
1; 1
3 +
u 24
= 0;
atau
u 22
= 3
1 3
u 23
= 2=3
u 24
= 1=3
; 1
6 2
+ 10
3 l
32 =
1; 1
6 2
+ 10
3 l
42 =
0;
atau
l 32
= 1=5
l 42
= 1=10
1 6
1 +
1 5
2 3
+ u
33 =
4; 1
6 1
+ 1
5 1
3 +
u 34
= 1;
atau
u 33
= 3
7 10
u 34
= 9=10
; 1
6 1
+ 1
10 2
3 +
37 10
l 43
= 1;
atau
l 43
= 9=37
;
dan
1 6
+ 1
10 1
3 +
9 37
9 10
+ u
44 =
3;
atau
u 44
= 191 =74
:
Jadi, matriks
L
dan
U
tersebut adalah
L =
B B
B B
B 1
1=3 1
1=6 1=5
1 1=6
1=10 9=37
1 1
C C
C C
C A
dan
U =
B B
B B
B 6
2 1
1 10
=3 2=3
1=3 37
=10 9=10
191 =74
1 C
C C
C C
A :
C
ONTOH
2.11.
Carilah dekomposisi Choleski dari matriks
A
sebagai berikut
2 1
1 2
1 1
2 1
A
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
90 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
melalui substitusi mundur. Metode ini bermanfaat khususnya apabila kita mempunyai sejumlah
SPL dengan matriks koefisien sama.
C
ONTOH
2.12.
Selesaikan SPL
6x 1
+ 2x
2 +
x 3
x 4
= 9
2x 1
+ 4x
2 +
x 3
= 13
x 1
+ x
2 +
4x 3
x 4
= 11
x 1
x 3
+ 3x
4 =
8
Penyelesaian: SPL tersebut dapat ditulis sebagai
AX =
b
dengan
A
adalah matriks koefisien
A =
B B
6 2
1 1
2 4
1 1
1 4
1 1
1 3
1 C
C A
:
Dalam contoh sebelumnya kita sudah menghitung faktorisasi LU dari
A
, yakni
L =
B B
1 1=3
1 1=6
1=5 1
1=6 1=10
9=37 1
1 C
C A
dan
U =
B B
6 2
1 1
10 =3
2=3 1=3
37 =10
9=10 191
=74 1
C C
A :
SPL
LZ =
b
diberikan oleh
B B
1 1=3
1 1=6
1=5 1
1=6 1=10
9=37 1
1 C
C A
B B
z 1
z 2
z 3
z 4
1 C
C A
= B
B 9
13 11
8 1
C C
A ;
sehingga
z 1
= 9
,
1 3
z 1
+ z
2 =
13 =
z 2
= 10;
1 6
z 1
+ 1
5 z
2 +
z 3
= 11
= z
3 =
11 3
2 2
= 15
2 ;
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
92 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
3710 -910
19174 E =
1 1
1 1
b=[9;13;11;8] b =
9 13
11 8
Z=L\b Penyelesian LZ=b Z =
9 10
152 38237
X=U\Z Penyelesaian UX=Z X =
1 2
3 4
X=A\b Bandingkan dengan penyelesaian langsung X =
1 2
3 4
LATIHAN 2.3
1. Carilah faktorisasi LU matriks-matriks
A
di bawah ini, kemudian selesaikan SPL
AX =
B
. Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid 2004 – 2012
94 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
2; 10;
11; 4
T
, dengan
A =
LU
adalah
B B
2 4
4 1
5 5
3 2
3 1
3 1
4 2
2 1
C C
A =
B B
1 1
2 1
1 1
3 1
1 2
2 3
1 2
1 1
C C
A B
B 2
4 4
3 3
3 4
2 3
1 C
C A
2.4 Galat dalam Penyelesaian SPL