Dekomposisi Faktorisasi LU My published book (extract from Chap 2), "Komputasi Numerik dengan MATLAB" (Penerbit ANDI, 2005)

80 Bab 2. Sistem Persamaan Linier 9. Selesaikan SPL tridiagonal Ax = b dengan a ii = 4; a i;i 1 = a i;i+1 = 1; i = 1; 2; :::; 100; b = 1; 1; :::; 1 T : Gunakan MATLAB untuk menghasilkan matriks A dan vektor b . Se- lesaikan SPL tersebut dengan program tridiagonal . 10. Tunjukkan bahwa banyaknya perkalian dan pembagian yang diper- lukan untuk menyelesaikan SPL tridiagonal n n adalah 5n 4 .

2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU

Suatu masalah yang sering dihadapi di dalam menyelesaikan SPL A X =B adalah perlunya mendapatkan beberapa penyelesaian untuk berbagai vektor B, sedangkan matriks A tetap. Penggunaan metode eliminasi Gauss mengharuskan penyelesaian setiap SPL A X =B secara terpisah un- tuk setiap vektor B, dengan menggunakan operasi aritmetika yang pada prinsipnya sama sampai dilakukan proses penyulihan balik. Suatu proses yang dikenal sebagai faktorisasi LU menangani permasalahan ini dengan hanya berkonsentrasi pada matriks koefisien, A . Jika matriks bujur sangkar A dapat difaktorkan menjadi A = LU , dengan L adalah suatu matriks segitiga bawah dan U matriks segitiga atas, maka kita menyebut hal ini sebagai faktorisasi LU dari A . Sebagai contoh sekaligus penjelasan, misalkan A matriks berukuran 4 4 , Faktorisai LU matriks A menyatakan matriks A sebagai hasil kali matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U . B B a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 1 C C A = B B 11 21 22 31 32 33 41 42 43 44 1 C C A B B 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44 1 C C A : 2.11 Penyelesaian SPL A X =B kemudian dapat diperoleh dengan cara se- bagai berikut: AX = LU X = LY = B; dengan Y= U X . Jadi permasalahnnya sekarang dapat diselesaikan melalui dua tahap, yakni 1 mencari vektor Y yang memenuhi L Y =B, dan 2 mencari vektor X yang memenuhi Y= U X . Oleh karena L adalah matriks segitiga bawah, penyelesaian L Y =B Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 82 Bab 2. Sistem Persamaan Linier C ONTOH 2.9. Perhatikan SPL 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 6 x 1 x 2 + 5x 3 = 4x 1 + x 2 2x 3 = 2 Matriks koefisien dari SPL ini adalah A = 2 4 2 1 1 5 4 1 2 1 A Elemen pivotnya adalah a 11 = 2 ; pengali-pengalinya adalah m 21 = 1=2 dan m 31 = 4=2 = 2 . Setelah membuat nol elemen-elemen di bawah pivot, matriks koefisien menjadi A 1 = 2 4 2 3 6 7 2 1 A : Misalkan matriks M 1 dibentuk dengan menggunakan pengali-pengali m 21 dan m 31 . Elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1, kolom pertama di bawah diagonal utama merupakan negatif dari pengali-pengali tersebut, sedang- kan semua elemen lainnya bernilai nol. Maka M 1 adalah M 1 = 1 1=2 1 2 1 1 A : Perhatikan hasil kali M 1 dan A 1 1=2 1 2 1 1 A 2 4 2 1 1 5 4 1 2 1 A = 2 4 2 3 6 7 2 1 A : Ternyata diperoleh M 1 A = A 1 2.14 Apabila kita lanjutkan proses eliminasi untuk membuat nol elemen-elemen pada kolom kedua di bawah diagonal utama dengan menggunakan pengali m 32 = 7= 3 = 7=3 , maka kita peroleh matriks yang tereduksi, Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 83 A 2 = 2 4 2 3 6 12 1 A : Sekarang misalkan matriks M 2 adalah suatu matriks dengan diagonal utama satuan, kolom kedua di bawah diagonal utama merupakan negatif dari pengali di atas, dan elemen-elemen lainnya bernilai nol, yakni M 2 = 1 1 7=3 1 1 A : Perhatikan hasilkali M 2 dan A 1 : 1 1 7=3 1 1 A 2 4 2 3 6 7 2 1 A = 2 4 2 3 6 12 1 A : Ternyata diperoleh hubungan M 2 A 1 = A 2 : 2.15 Dari 2.14 dan 2.15 diperoleh M 2 M 1 A = A 2 : 2.16 Misalkan M 1 1 adalah invers matriks M 1 dan M 1 2 adalah invers matriks M 2 . Maka M 1 1 = 1 1=2 1 2 1 1 A dan M 1 2 = 1 1 7=3 1 1 A : Dari 2.16 kita dapatkan A = I I A = M 1 1 M 1 2 M 2 M 1 A = M 1 1 M 1 2 M 2 M 1 A = M 1 1 M 1 2 A 2 : 2.17 Akan tetapi, oleh karena M 1 1 dan M 1 2 adalah matriks-matriks segitiga bawah, maka demikian juga M 1 1 M 1 2 . Juga kita tahu A 2 merupakan matriks segitiga atas. Jika kita tuliskan L = M 1 1 M 1 2 dan U = A 2 , maka dari 2.17 Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 85 4. 1. - 2. 0. 3.5 - 1. 0. 0. 5.1428571 L = 1. 0. 0. 0.5 1. 0. 0.25 - 0.3571429 1. LU ans = 4. 1. 2. 2. 4. - 2. 1. - 1. 5. EA ans = 4. 1. 2. 2. 4. - 2. 1. - 1. 5. Ternyata hasil faktorisasi LU yang diberikan oleh MATLAB ber- Faktorisasi LU tidak bersifat tunggal. beda dengan hasil faktorisasi kita di atas. Hal ini tidaklah mengherankan, karena faktorisasi LU tergantung pada operasi-operasi baris yang digu- nakan di dalam proses eliminasi. Dengan kata lain, faktorisasi LU tidak bersifat tunggal. Pada hasil keluaran MATLAB di atas E merupakan ma- triks permutasi yang menunjukkan proses eliminasi, dan hubungannya dengan matriks A , L , dan U adalah E A = L U .

2.3.1 Beberapa Metode Faktorisasi Lain

Misalkan kita ingin memfaktorkan matriks A = B B 6 2 1 1 2 4 1 1 1 4 1 1 1 3 1 C C A Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 2.3 Dekomposisi Faktorisasi LU 87 Jadi, U berbentuk U = B B 1 u 12 u 13 u 14 1 u 23 u 24 1 u 34 1 1 C C A : Nilai-nilai u ij dan l ij dapat dihitung dengan cara mirip rumus 2.18 Faktorisasi Crout menghasilkan A = LU , dengan L = L D dan U = D 1 U , A = L U adalah hasil faktorisasi Doolitle , dan D matriks diagonal dari U . dan 2.19. Akan tetapi menarik untuk diperhatikan bahwa, jika D menunjukkan matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya u k k dan L dan U adalah hasil faktorisasi LU dengan metode Doolitle, maka A = L U = L D D 1 U = L D D 1 U = LU: Jadi faktorisasi Crout dan Doolitle saling terkait erat. Metode Choleski. Jika A matriks nyata, simetris, dan definit positif, Faktorisasi Choleski menghasilkan A = LL T untuk matriks A bersifat simetris dan definit positif. maka kita dapat menemukan suatu matriks segitiga bawah L se- demikian hingga A = LL T . Cara ini dikenal sebagai faktorisasi Choleski. Matriks L dihitung dengan menyelesaikan persamaan- persamaan r 1 X j =1 l 2 r j + l 2 r r = a r r ; i 1 X j =1 l r j l ij + l r i l ii = a r i ; 2.20 untuk r = 1; 2; : : : ; n dan untuk setiap r ; i = 1; 2; : : : ; r 1 . C ONTOH 2.10. Dengan menggunakan metode Doolitle matriks A di atas dapat difaktorkan men- jadi B B 6 2 1 1 2 4 1 1 1 4 1 1 1 3 1 C C A = B B 1 l 21 1 l 31 l 32 1 l 41 l 42 l 43 1 1 C C A B B u 11 u 12 u 13 u 14 u 22 u 23 u 24 u 33 u 34 u 44 1 C C A Dengan mengalikan kedua matriks pada ruas kanan diperoleh matriks B B u 11 u 12 u 13 u 14 l 21 u 11 l 21 u 12 + u 22 l 21 u 13 + u 23 l 21 u 14 + u 24 l 31 u 11 l 31 u 12 + l 32 u 22 l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 l 31 u 14 + l 32 u 24 + u 34 l 41 u 11 l 41 u 12 + l 42 u 22 l 41 u 13 + l 42 u 23 + l 43 u 33 l 41 u 14 + l 42 u 24 + l 43 u 34 + u 44 1 C C A Dengan menyamakan matriks tersebut dan matriks A diperoleh Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 88 Bab 2. Sistem Persamaan Linier u 11 = 6 ; u 12 = 2 ; u 13 = 1 ; u 14 = 1 ; 6l 21 = 2; 6l 31 = 1; 6l 41 = 1; atau l 21 = 1=3 ; l 31 = 1=6 ; l 41 = 1=6 ; 1 3 2 + u 22 = 4; 1 3 1 + u 23 = 1; 1 3 + u 24 = 0; atau u 22 = 3 1 3 u 23 = 2=3 u 24 = 1=3 ; 1 6 2 + 10 3 l 32 = 1; 1 6 2 + 10 3 l 42 = 0; atau l 32 = 1=5 l 42 = 1=10 1 6 1 + 1 5 2 3 + u 33 = 4; 1 6 1 + 1 5 1 3 + u 34 = 1; atau u 33 = 3 7 10 u 34 = 9=10 ; 1 6 1 + 1 10 2 3 + 37 10 l 43 = 1; atau l 43 = 9=37 ; dan 1 6 + 1 10 1 3 + 9 37 9 10 + u 44 = 3; atau u 44 = 191 =74 : Jadi, matriks L dan U tersebut adalah L = B B B B B 1 1=3 1 1=6 1=5 1 1=6 1=10 9=37 1 1 C C C C C A dan U = B B B B B 6 2 1 1 10 =3 2=3 1=3 37 =10 9=10 191 =74 1 C C C C C A : C ONTOH 2.11. Carilah dekomposisi Choleski dari matriks A sebagai berikut 2 1 1 2 1 1 2 1 A Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 90 Bab 2. Sistem Persamaan Linier melalui substitusi mundur. Metode ini bermanfaat khususnya apabila kita mempunyai sejumlah SPL dengan matriks koefisien sama. C ONTOH 2.12. Selesaikan SPL 6x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 = 9 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 13 x 1 + x 2 + 4x 3 x 4 = 11 x 1 x 3 + 3x 4 = 8 Penyelesaian: SPL tersebut dapat ditulis sebagai AX = b dengan A adalah matriks koefisien A = B B 6 2 1 1 2 4 1 1 1 4 1 1 1 3 1 C C A : Dalam contoh sebelumnya kita sudah menghitung faktorisasi LU dari A , yakni L = B B 1 1=3 1 1=6 1=5 1 1=6 1=10 9=37 1 1 C C A dan U = B B 6 2 1 1 10 =3 2=3 1=3 37 =10 9=10 191 =74 1 C C A : SPL LZ = b diberikan oleh B B 1 1=3 1 1=6 1=5 1 1=6 1=10 9=37 1 1 C C A B B z 1 z 2 z 3 z 4 1 C C A = B B 9 13 11 8 1 C C A ; sehingga z 1 = 9 , 1 3 z 1 + z 2 = 13 = z 2 = 10; 1 6 z 1 + 1 5 z 2 + z 3 = 11 = z 3 = 11 3 2 2 = 15 2 ; Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 92 Bab 2. Sistem Persamaan Linier 3710 -910 19174 E = 1 1 1 1 b=[9;13;11;8] b = 9 13 11 8 Z=L\b Penyelesian LZ=b Z = 9 10 152 38237 X=U\Z Penyelesaian UX=Z X = 1 2 3 4 X=A\b Bandingkan dengan penyelesaian langsung X = 1 2 3 4 LATIHAN 2.3 1. Carilah faktorisasi LU matriks-matriks A di bawah ini, kemudian selesaikan SPL AX = B . Pengantar Komputasi Numerik c Sahid 2004 – 2012 94 Bab 2. Sistem Persamaan Linier 2; 10; 11; 4 T , dengan A = LU adalah B B 2 4 4 1 5 5 3 2 3 1 3 1 4 2 2 1 C C A = B B 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 2 3 1 2 1 1 C C A B B 2 4 4 3 3 3 4 2 3 1 C C A

2.4 Galat dalam Penyelesaian SPL