72 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
Dengan substitusi mundur kita dapatkan
x 4
= 3
x 3
= 4
+ 2x
4 =
4 +
2 3
= 2
dari baris ketiga
x 3
= 2
x 4
= 1
= 2
3 =
5
dari baris kedua Ternyata nilai
x 3
tidak tunggal. Ini artinya SPL di atas tidak mempunyai penye- lesaian. Dengan kata lain SPL di atas tidak konsisten.
2.2.1 Analisis Algoritma Eliminasi Gauss
Untuk mengetahui banyaknya operasi hitung yang diperlukan oleh Al- goritma 2.1 untuk menyelesaikan SPL
AX =
B
dengan
n
variabel kita lihat langkah-langkah pada algoritma tersebut. Tabel 2.1 menyajikan hasil
analisis ini.
Tabel 2.1: Analisis Algoritma Eliminasi Gauss
Langkah perhitungan Cacah Penjumlahan
Cacah Perkalian Pengurangan
Pembagian 1di.
m j
i =
a j
i =a
ii n
i
1dii.
a j
k =
a j
k m
j i
a ik
n in
i n
in i
1diii.
b j
= b
j m
j i
b i
n i
n i
3.
x n
= b
n =a
nn
1 4.
x i
= b
i P
n j
=i+1 a
ij x
j a
ii n
i n
i
Jumlah
P n
1 i=1
n i
2 +
2n i
1 +
P n
1 i=1
n i
2 +
3n i
=
n 1n2n+5
6
=
n 1nn+4+3
3
Sistem tridiagonal
Metode eliminasi Gauss merupakan metode yang sederhana untuk digu- nakan khususnya jika semua koefisien tak nol terkumpul pada diagonal
utama dan beberapa diagonal di sekitarnya. Suatu sistem yang bersifat
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
2.2 Eliminasi Gauss 73
demikian disebut banded dan banyaknya diagonal yang memuat koefisien- koefisien tak nol disebut bandwidth. Sebuah contoh khusus, namun sering
dijumpai, adalah sistem tridiagonal
Bandwidth suatu SPL, sistem tridiagonal
B B
B B
B B
B a
11 a
12 :
: :
a 21
a 22
a 23
: :
: a
32 a
33 a
34 :
: :
.. .
.. .
. .. ... ... ..
. ..
.
: :
: a
n 1;n
1 a
n 1;n
: :
: a
n;n 1
a nn
1 C
C C
C C
C C
A B
B B
B B
B B
B B
x 1
x 2
x 3
x 4
.. .
x n
1 x
n 1
C C
C C
C C
C C
C A
= B
B B
B B
B B
B B
b 1
b 2
b 3
b 4
.. .
b n
1 b
n 1
C C
C C
C C
C C
C A
2.7
yang mempunyai bandwidth tiga. Sistem-sistem demikian muncul, mi- salnya, pada penyelesaian numerik untuk menyusun spline kubik dan
pada penyelesaian masalah syarat batas. Proses eliminasi untuk sistem demikian bersifat trivial karena hanya dengan membentuk sebuah subdi-
agonal nol tambahan, proses penyulihan mundur segera dapat dilakukan. Dengan
n 1
operasi baris yang dilakukan berurutan:
a ij
= a
ij a
i 1;j
a i;i
1 a
i 1;i
1 ;
b i
= b
i b
i 1
a i;i
1 a
i 1;i
1 ;
2.8 untuk
i =
2; 3;
: :
: ;
n; j
= i
1; ;
diperoleh sistem dalam bentuk
B B
B B
B B
B a
11 a
12 :
: :
a 22
a 23
: :
: a
33 a
34 :
: :
.. .
.. .
. .. ... ... ..
. ..
.
: :
: a
n 1;n
1 a
n 1;n
: :
: a
nn 1
C C
C C
C C
C A
B B
B B
B B
B B
B x
1 x
2 x
3 x
4
.. .
x n
1 x
n 1
C C
C C
C C
C C
C A
= B
B B
B B
B B
B B
b 1
b 2
b 3
b 4
.. .
b n
1 b
n 1
C C
C C
C C
C C
C A
2.9
yang memiliki penyelesaian
Penyelesaian SPL tridiagonal
x n
= b
n a
nn ;
x i
= b
i a
i;i+1 x
i+1 a
ii ;
i =
n 1;
n 2;
: :
: ;
1:
2.10 Keseluruhan prosedur 2.8 dan 2.10 untuk menyelesaikan SPL
Pengantar Komputasi Numerik c
Sahid 2004 – 2012
76 Bab 2. Sistem Persamaan Linier
5. Dengan menggunakan operasi-operasi
P 1
= P
1 3=2
P 3
,
P 2
= P
2 +
1=2 P
3
, dan
P 4
= P
4 2P
3
matriks augmentednya menjadi
B B
1 2
11 1
1 5
1 1
4 2
4 1
C C
A
6. Sekarang kita bagi baris keempat dengan 2 dengan operasi
P 4
= P
4 =2
dan kemudian lakukan operasi-operasi
P 1
= P
1 +
2P 4
,
P 2
= P
2 P
4
, dan
P 3
= P
3 P
4
untuk memperoleh
B B
1 7
1 3
1 2
1 2
1 C
C A
7. Sekarang kita telah memperoleh matriks diagonal satuan, sehingga pe- nyelesaian SPL di atas dapat dibaca pada kolom terakhir, yakni
X =
7 3
2 2
T
.
Catatan: Metode ini memerlukan lebih banyak operasi daripada eliminasi Gauss,
selama proses reduksi matriks. Akan tetapi setelah itu kita tidak lagi memerlukan operasi hitung untuk mendapatkan penyelesaian SPL. De-
ngan demikian metode eliminasi Gauss–Jordan kurang efisien untuk menyelesaian sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss
jika kita ingin menyelesaikan sejumlah SPL dengan matriks koefisien sama.
2.2.3 Penyelesaian
