Operasi Fasor
12.1.2. Operasi Fasor
Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.
Jika A = A ∠ θ 1 dan B = B ∠ θ 2 maka
C = A B = AB ∠ ( θ 1 + θ 2 )
(12.8) Hal ini mudah difahami, karena jika kita menuliskan
A = Ae j θ 1 dan B = Be j θ 2 maka C = Ae j θ 1 Be j θ 2 = ABe j ( θ 1 + θ 2 ) = AB ∠ ( θ 1 + θ 2 )
Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.
Jika A = A ∠ θ 1 dan B = B ∠ θ 2 maka
1 A = (12.9) ∠ ( θ − θ )
Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskan
A = Ae j θ 1 dan B = Be j θ 2 Ae j θ 1 A
maka D e j θ 1 e − j θ 2 A e j ( θ 1 − θ 2 ) = A j θ = (
= ∠ θ 1 − θ 2 ) Be B B B
Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasor dalam bentuk sudut-siku.
Jika
A = a 1 + jb 1 dan B = a 2 + jb 2 maka
C = A + B = ( a 1 + a 2 )( + j b 1 + b 2 )
= ( a 1 + a 2 2 )( + b b 2 tan − 1 1 1 + 2 2 ) ∠
(12.10) a 1 + a 2
D = A − B = ( a 1 + jb 1 )( − a 2 + jb 2 )
= ( a − a 2 2 − 1 1 1 2 2 )( + b 1 − b 2 ) ∠ tan
a 1 − a 2 Jika
A = A ∠ θ 1 dan B = B ∠ θ 2 maka
C = A + B = ( A cos θ 1 + B cos θ 2 )( + j A sin θ 1 + B sin θ 2 ) (12.11)
D = A − B = ( A cos θ 1 − B cos θ 2 )( + j A sin θ 1 − B sin θ 2 )
Fasor Negatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing komponen riil dan imajiner.
Jika A = a 1 + jb 1 maka Im − A = − a − jb
Fasor konjugat dari A ditulis θ
A. ∗
Re
Jika A = a + jb maka − A 1 A 1
= a 1 − jb 1 Gb.12.2. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya
Dalam bentuk polar,
228 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
Jika
maka − A = A ∠ θ + 180 ( o )
A = o ∠ ( θ − 180 ) dan A * = A ∠ − θ
Fasor Dengan Sudut Fasa 90 o dan 0 o . Bentuk sudut-siku dari
fasor dengan sudut 90 o dan 0 adalah
A = A ∠ 90 o = jA ;
B = B ∠ − 90 o = − jB ; (12.13)
CONTOH-12.1: Ubahlah pernyataan sinyal sinus berikut ini ke
dalam fasor dengan bentuk polar maupun bentuk sudut-siku dan lakukanlah operasi-operasi fasor yang diminta.
a). v 1 ( t ) = 10 cos( 500 t
− o 45 ) b). v
2 ( t ) 15 cos( 500 t
= o + 30 )
c). i 1 ( t ) = − 4 cos 1000 t d). i 2 ( t ) = 3 cos( 1000 t 90 − o )
a). Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah
V 1 = 10 ∠ − 45 o atau
V 1 o = 10 cos( − 45 ) + j 10 sin( − 45 o ) = 7 , 07 − j 7 , 07
b). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku
adalah
V 2 = 15 ∠ 30 o atau
V 2 o = 15 cos( 30 ) + j 15 sin( 30 o ) = 12 , 99 + j 7 , 5
c). Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku
adalah
1 = − 4 ∠ 0 atau I 1 = − 4 cos( 0 ) − j 4 sin( 0 ) = − 4 229 1 = − 4 ∠ 0 atau I 1 = − 4 cos( 0 ) − j 4 sin( 0 ) = − 4 229
adalah
I 2 = 3 ∠ − 90 o atau I = 3 cos( − 90 2 o ) + j 3 sin( − 90 o ) = − j 3
e). Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama.
Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka fasornya dapat kita jumlahkan I 3 = I 1 + I 2 = − 4 − j 3 . Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk polar
S 1 = V I * = ( 10 ∠ − 45 o ) × ( − 4 ∠ 0 o ) = − 40 ∠ − 45 1 o 1
CONTOH-12.2: Ubahlah pernyataan fasor dari sinyal sinus berikut
ini ke pernyataan sinus di kawasan waktu.
a). V 1 = 150 ∠ − 45 o V, pada frekuensi siklus 50 Hz b). V 2 = 30 + j 40 V, pada frekuensi sudut ω = 1000 rad/detik. c). I = 15 + j 5 + 10 ∠ 180 o mA pada , ω = 1000 rad/detik.
Solusi :
a). Sinyal ini mempunyai amplitudo 150 V, dan sudut fasa o − 45 . Frekuensi siklusnya 50 Hz yang berarti frekuensi sudutnya
ω =2 π × 50 = 314 rad/detik. Jadi di kawasan waktu sinyal ini adalah
v 1 ( t ) 150 cos( 314 t 45 = o − ) V
230 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1) 230 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (1)
sudut fasanya θ = tan − 1 = 53 , 1 o . Karena ω = 1000
rad/detik, maka pernyataan sinyal ini di kawasan waktu
adalah v ( t ) = 50 cos( 1000 t 53 , 1 2 o + ) c). Sinyal ini dinyatakan dalam fasor dan merupakan jumlah
dari dua sinyal, satu dalam bentuk sudut siku dan yang lain dalam bentuk polar. Jika dinyatakan dalam bentuk sudut siku, sinyal ini menjadi
I = 15 + j 5 + 10 cos 180 o + j 10 sin 180 o