Pemodelan Persoalan Lokasi Berkapasitas Dengan Dua Eselon Dan Satu Sumber
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Oleh
RANI FARIDA SINAGA
117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RANI FARIDA SINAGA
117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
Nama Mahasiswa : Rani Farida Sinaga
Nomor Pokok
: 117021045
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Desember 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal: 17 Desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
3. Dr. Sutarman, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS DENGAN
DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa buku
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Rani Farida Sinaga
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi
dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas
memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan
lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon
kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari
satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh
tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and
bound.
Kata kunci
: Fasilitas, Lokasi, Eselon
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution,
transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem,
each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each
customer receives supply from exactly one facility is called the single-source capacitated location problem. The capacitated facility location problem in that exist
two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be
supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by only one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single
source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
Keyword
: Facility, Location, Echelon
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat
dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul: Pemodelan Persoalan Lokasi Berkapasitas Dengan Dua Eselon Dan Satu
Sumber
Penulis menyampaikan terima kasih kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembanding II yang telah
memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis
ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku pembanding I atas saran dan kritik
dalam penyempurnaan penulisan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA
Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ayahanda dan Ibunda tercinta, Paris Sinaga, S.Pd dan Lasmauli Manik, S.Pd
yang telah memberikan motivasi dan dukungan baik moril maupun materil selama
penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan genap reguler tahun 2011 genap, dan semua
pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga
Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah
diberikan.
Medan,
Penulis,
Rani Farida Sinaga
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Rani Farida Sinaga lahir di Salak pada tanggal 30 Mei 1988, merupakan
anak pertama dari empat bersaudara dengan ayah Paris Sinaga, S.Pd dan ibunda
Lasmauli Manik, S.Pd. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di
SD Negeri 030384 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2000, Sekolah Menengah
Pertama (SMP) di SMP Negeri 2 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2003, dan
Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Sidikalang pada tahun 2006.
Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Peengetahuan Alam di Universitas Negeri Medan
dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada Maret tahun 2011.
Pada Februari 2012, penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 LANDASAN TEORI
7
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber
BAB 4 PEMBAHASAN
7
11
16
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan
Satu Sumber
16
4.2 Lagrangian Heuristik
17
4.2.1 Relaksasi Lagrangian
18
vii
Universitas Sumatera Utara
4.2.2 Prosedur Branch and Bound(B&B)
20
BAB 5 KESIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
24
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi
dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas
memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan
lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon
kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari
satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh
tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and
bound.
Kata kunci
: Fasilitas, Lokasi, Eselon
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution,
transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem,
each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each
customer receives supply from exactly one facility is called the single-source capacitated location problem. The capacitated facility location problem in that exist
two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be
supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by only one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single
source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
Keyword
: Facility, Location, Echelon
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan lokasi berkapasitas adalah persoalan yang dikenal dalam optimisasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasilitas dari suatu himpunan tempat atau lokasi potensial sehingga pelanggan dapat
meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini dilakukan pembatasan untuk memenuhi permintaan pelanggan dan tiap fasilitas tidak dapat
memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.
Persoalan lokasi berfasilitas berfokus pada permasalahan keputusan mengenai lokasi fasilitas untuk meminimumkan total biaya dalam melayani pelanggan. K. Holmberg et al., (1999) menyajikan pengalamannya dalam menggunakan
persoalan lokasi berkapasitas untuk mengambil keputusan pada permasalahan
mengenai jumlah, ukuran, desain, lokasi, dan pola layanan. Dalam persoalan
lokasi berfasilitas, mempertimbangkan situasi dimana satu komoditas disuplai
dan menyeleksi dari satu set lokasi ke lokasi potensial untuk melayani permintaan klien. Terdapat biaya-biaya tetap yaitu biaya membuka lokasi dan biaya
transportasi dalam mensuplai komoditas dari lokasi potensial atau lokasi fasilitas
berkapasitas kepada pelanggan.
Dalam menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang
tepat agar dapat meminimalkan biaya. Apabila, masing-masing fasilitas terbatas
untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas. Dan, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani
pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas. Dalam persoalan lokasi tak berkapasitas, setiap fasilitas diasumsikan tidak memiliki
batasan dalam tiap kapasitasnya. Dalam hal ini, setiap pelanggan menerima permintaan dari tepat satu fasilitas. Perluasan dari persoalan lokasi tak berkapasitas,
dimana terdapat dua eselon yang terlibat yang dinamakan persoalan lokasi tidak
berkapasitas dengan dua eselon (Doyen et al., 2012).
1
Universitas Sumatera Utara
2
Dalam persoalan ini, pengiriman yang terjadi dari fasilitas eselon pertama
(contohnya pabrik atau depot) kepada pelanggan melalui fasilitas eselon kedua
seperti gudang. Tujuannya adalah untuk menentukan jumlah dan lokasi berkapasitas setiap eselon, aliran produk terhadap fasilitas dan penugasan dari pelanggan terhadap fasilitas dalam eselon kedua. Tragantalerngsak et al., (2000)
mengemukakan bahwa dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap
pelanggan menerima persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi
lokasi fasilitas berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan
dari satu fasilitas eselon pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat
satu fasilitas.
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi dan telekomunikasi. Dalam sistem distribusi dimana terdapat berbagai
gudang atau pabrik yang potensial dari armada kendaraan yang dijalankan. Model ini secara simultan menentukan banyaknya pabrik dan kendaraan yang dibutuhkan, lokasi dari pabrik terbuka, dan setiap pelanggan dapat dilayani dengan
kendaraanArya et al., (2004). Contoh lainnya adalah kotak surat yang dikirim
dimana terdapat beberapa gudang dari perusahaan pelayanan surat dan dimana
setiap pabrik memiliki beberapa van pengiriman.
Penelitian sebelumnya oleh Tragantalerngsak et al., (2000) membahas persoalan lokasi berkapasitas dengan mengajukan sebuah metode yang eksak dengan
algoritma B&B untuk masalah ini yang didasarkan sebagian besar pada heuristik
lagrangian. Relaksasi lagrangian merupakan kombinasi dari optmisasi sub gradien yang secara luas digunakan untuk menentukan solusi dan masalah optmisasi
kombinatorial. Holmberg et al., (1999) telah mengajukan algoritma Branch and
Bound (B&B) berdasarkan heuristik lagrangian untuk menempatkan pabrik dan
gudang dalam dua level sistem distribusi. Sedangkan, Litvincef dan Espinosa
(2011) mengusulkan beberapa relaksasi lagrangian yaitu heuristik lagrangian untuk menghasilkan solusi yang memungkinkan agar dapat meminimisasi biaya dari
pabrik atau gudang yang potensial.
Universitas Sumatera Utara
3
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik dimana
terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon
pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas.
Maka dibutuhkan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon
dan satu sumber.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membangun suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermamfaat untuk memperkaya literatur tentang persoalan lokasi
berkapasitas dan memberikan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan
dua eselon agar dapat diaplikasikasikan dalam kehidupan.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari
berbagai jurnal. Langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai persoalan lokasi
berkapasitas.
2. Mempelajari teori berkenaan dengan relaksasi lagrangian, heuristik lagrangian dan metode Branch & Bound.
3. Membahas persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
4. Membangun model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan
satu sumber.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor
biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempengaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, produksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani
permintaan dari pelanggan. Jadi, untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masingmasing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi
persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas
untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas.
Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima
persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi lokasi fasilitas berkapasitas
dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon
pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Tragantalerngsak et al., (2000) mengusulkan enam perbedaan lagrangian heuristik untuk
menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
Seluruh heuristik diimplementasikan dan hasilnya menunjukkan bahwa lagrangian
berdasarkan heuristik batas bawah yang lebih baik daripada yang ditentukan dari
relaksasi Linier Programming (LP). Solusi yang lebih memungkinkan juga untuk
menentukan batas atas dapat dilakukan lebih efektif. Hal ini memberikan akibat bahwa algoritma Branch and Bound (B&B) berdasarkan relaksasi lagrangian
merupakan pencapaian yang efisien.
Prins dan Prodhon (2007) mengajukan, relaksasi Lagrangian dibuat dengan
menghilangkan himpunan kendala-kendala, pembobotan dengan lagrangian multiplier dan menempatkannya dalam fungsi tujuan. Hal ini bertujuan untuk untuk
menetapkan sebuah masalah yang dihilangkan disebut masalah pokok lagrangi4
Universitas Sumatera Utara
5
an yang lebih mudah diselesaikan daripada masalah sebenarnya. Nilai objektif dari masalah relaksasi lagrangian, diberikan himpunan pengali, memberikan
sebuah batas bawah (dalam hal minimisasi) untuk solusi optimal dari masalah
sebenarnya. Batas bawah terbaik dapat diperoleh dengan menyelesaikan dual
lagrangian. Karena fungsi dual sering bukan merupakan diferensial dimana dibutuhkan sebuah metode khusus untuk menyelesaikan masalah khusus ini. Metode
yang sering dan efisien yang digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi
yang ditetapkan dari relaksasi lagrangian sering digunakan oleh aplikasi heuristik
terikat untuk membangun solusi yang memungkinkan dan karena batas atas dari
masalah yang sebenarnya.
Berikut ini beberapa penelitian yang memberikan model persoalan lokasi
berkapasitas :
1. Penyelesaian persoalan rute lokasi berkapasitas dengan relaksasi lagrangean
koperatif granular heuristik tabu search
min g1 (u) = Oi yi +
P
(cik − uk )Xik
k∈K
Formulasi tersebut untuk meminisasi total biaya dari lokasi berfasilitas,
transportasi dan kekurangan.(Prins dan Prodhon, 2007)
2. Algoritma yang eksak untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber
min
P
j∈C1
gj wj +
P
hj vj
j∈C2
Formulasi tersebut untuk meminisasi biaya penugasan dari fasilitas terbuka.
(Holmberg, et al., 1999)
Universitas Sumatera Utara
6
3. Batas lagrangian dan heuristik untuk dua tahap masalah lokasi fasilitas
berkapasitas
min
P
i
fi yi +
P
j
gj zj +
P
(i,j)
cij xij +
P
djk sjk
(j,k)
Formulasi ini meminimisasi biaya dari lokasi kepada himpunan pabrik atau
depot yang potensial. (Litvinchev dan Espinosa, 2011)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Banyak heuristik dan pendekatan algoritma yang tepat untuk menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang telah diusulkan dalam literatur.
Salah satunya adalah dengan mengunakan relaksasi lagrangian dimana jumlah
permintaan terbatas dengan atau penambahan jumlah kapasitas.
Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdiri
dari j dan k unsur dengan j adalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasilitas yang memadai dan k adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi
dari fasilitas yang tersedia
Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location
Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang
mempunyai model sebagai berikut :
XX
X
Z=
Ckj xkj +
fj yj
k∈K j∈J
(3.1)
j∈J
Dengan kendala sebagai berikut :
X
xkj = 1, ∀k ∈ K
(3.2)
dk xkj 6 sj yj , ∀j ∈ J
(3.3)
j∈J
X
j∈J
X
sj yj > dk
(3.4)
j∈J
xkj − yi 6 0, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.5)
0 6 xkj 6 1 , 0 6 yj 6 1, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.6)
yj ∈ {0, 1}
(3.7)
7
Universitas Sumatera Utara
8
dimana :
Z
= fungsi tujuan.
J
= himpunan semua lokasi potensial.
K
= himpunan semesta.
Ckj
= biaya persediaan dk dari pelanggan ks′ dari fasilitas j.
ff
= biaya operasi fasilitas j dan kapasitas Cj juga dibuka.
xkj
= biaya permintaan pelanggan ks′ dari fasilitas j.
dengan asumsi sebagai berikut:
yj =
(
0, jika fasilitas j ditutup,
1, untuk fasilitas j dibuka
kendala persamaan (3.2) merupakan kendala permintaan
kendala persamaan (3.3) merupakan kendala kapasitas
kendala persamaan (3.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan
kendala persamaan (3.5) merupakan penambahan batas implisit
Dengan asumsi:
Ckj > 0, ∀k ∈ K, j ∈ J
(3.8)
ff > 0, ∀j ∈ J
(3.9)
sj > 0, ∀j ∈ J
(3.10)
dk > 0, ∀k ∈ K
X
X
dk
sj > d(K) =
(3.11)
j∈J
(3.12)
k∈K
Dengan menerapkan relaksasi lagrangian ke dalam permasalahan CFPLP dengan
mengabaikan kendala (3.2) maka model relaksasi lagrangian adalah
ZD (η) =
X
k∈K
ηk + minx,y
XX
k∈K
)j∈J (Ckj − ηk )xk j +
X
fj yj
(3.13)
j∈J
Universitas Sumatera Utara
9
dengan kendala :
X
dk xkj 6 sj yj
(3.14)
X
sj yj > d(K)
(3.15)
j∈J
j∈J
xkj − yj 6 0, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.16)
0 6 xkj 6 1 , ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.17)
0 6 yj 6 1 , ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.18)
yj ∈ {0, 1}
(3.19)
Jika kendala persamaan (3.2) diganti dengan pengali ηk dengan k ∈ K maka
pengali lagrangian optimal yaitu nopt dapat ditentukan dari interval [η min , η max ]
dimana :
η min = min(Ckj , j ∈ J\j(k)) > 0
(3.20)
Ckj = minj∈J Ckj
(3.21)
η max = maxj∈j Ckj
(3.22)
Didefenisikan bahwa:
Vj = maxx {
X
(ηk − Ckj )xkj |
X
dk xk j > sj , 0 6 xkj 6 1 ∀k ∈ K}
(3.23)
j∈J
k∈K
Jika persamaan (3.23) direduksi ke dalam persamaaan (3.13) diperoleh:
ZD (η) = η0 +
X
ηk
(3.24)
k∈k
Dimana:
η0 = min{
P
j∈J
(ff − vj )yf |
P
sj yj , yj ∈ (0, 1), ∀k ∈ K}
j∈J
Jadi, langrangian dari persamaan (3.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangian
ZD (η) pada himpunan [η min , η max ], selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
10
Diasumsikan:
{y z , t ∈ T y } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.25)
{xzj , t ∈ Tjz } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.23)
Dan untuk semua t ∈ T y dan t ∈ Tjz didefenisikan :
Ft =
X
fj yjt
(3.25)
Ckj xtkj
(3.26)
j∈J
Ctj =
X
k∈K
Dengan menggunakan persamaan (3.23) dan (3.25) maka persamaan (3.13) dapat
ditulis menjadi :
ZD = maxη0 +
X
ηk
(3.27)
k∈K
Dengan kendala:
η0 +
X
yjt vj 6 Ft , ∀t ∈ Tjx
(3.28)
j∈J
X
x
xkj
t ηk − vj 6 CT J , ∀j ∈ J, ∀t ∈ Tj
(3.29)
k∈K
uj > 0, ∀j ∈ J
(3.30)
η m ink 6 ηk 6 η m axk , ∀k ∈ K
(3.31)
η0 ∈ R
(3.32)
Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang
bentuknya adalah:
ZD =
X
t∈Ty
Ft αt +
XX
Ctj Btj +
j∈J t∈Tjx
X
η max pk − η min pk
(3.33)
k∈K
Dengan batasan:
X
αt = 1
(3.34)
t∈T y
X
t∈T y
yjt αt −
X
βtj
(3.35)
t∈Tjx
Universitas Sumatera Utara
11
XX
j∈J
xtkj βtj + pk − (p)k > 1, ∀k ∈ K
(3.36)
t∈Tjx
αt > 0, ∀t ∈ Tjy
(3.37)
βtj > 0, ∀j ∈ J, ∀t ∈ Tjx
(3.38)
pk , pk > 0, ∀k ∈ K
(3.39)
dimana :
αt
= variabel rangkap dari persamaan (3.22).
βt
= variabel rangkap dari persamaan (3.23).
pk dan pk= variabel rangkap dari persamaan (3.25).
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber
Persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber adalah kasus khusus dalam persoalan lokasi berkapasitas dimana setiap pelanggan hanya boleh dilayani
oleh satu fasilitas. Untuk merumuskan model matematika dalam persoalan tersebut, misalkan m adalah jumlah potensial dari fasilitas, n adalah jumlah pelanggan,
aj adalah permintaan pelanggan, bj adalah kapasitas dari setiap fasilitas, fi adalah
biaya tetap yang digunakan untuk membuka fasilitas, cij adalah biaya penugasan
pelanggan j kepada fasilitas i. Setiap koefisien diasumsikan positif. Didefinisikan
variabel keputusan berikut:
yi =
(
xij =
(
1, jika fasilitas i dibuka,
0, untuk sebaliknya
1, jika fasilitas i melayani pelanggan j,
0, untuk sebaliknya
Masalah tersebut dapat dinyatakan dalam program berikut: [P ]
v ∗ = min
m P
n
n
P
P
(cij xij ) +
fi yi
i=1 j=
i=1
Universitas Sumatera Utara
12
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.40)
j=1
n
X
xij = 1, ∀j
(3.41)
i=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.42)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.43)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.44)
Fungsi objektif bertujuan untuk menimimisasi biaya penugasan dari pelanggan ke fasilitas yang dibuka dan biaya untuk mendirikan fasilitas. Kendala (3.40)
dapat dijadikan sebagai kendala kapasitas dan menjamin bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh fasilitas yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.41)
merupakan kendala permintaan pelanggan dan menjamin setiap pelanggan ditugaskan hanya pada satu fasilitas. Kendala (3.43) menjamin bahwa penugasan
hanya pada fasilitas yang dibuka. Kendala (3.44) berlebihan dalam [P ], tetapi
relaksasi linier programming.
Salah satu pencapaian yang sukses dalam penyelesaian persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber adalah lagrangian heuristik. Heuristik tersebut
berdasarkan relaksasi lagrangian dan penyelesaiannya berhubungan dengan masalah dual, melalui penyelesaian barisan yang lebih kecil dan bagian dari persoalan yang lebih sederhana. Untuk menjamin bahwa pembentukan solusi yang
memungkinkan beberapa prosedur heuristik harus diadopsi dimana diberikan beberapa beberapa sub masalah penyelesaian dual untuk mengeneralisasi solusi yang
memungkinkan.
Heuristik lagrangian terdiri atas beberapa bagian berikut. Sebuah relaksasi lagrangian dengan hasil batas bawah merupakan nilai fungsi objektif, namun
jarang menjadi solusi yang memungkinkan. Sebuah prosedur subgradien digunakan untuk menyelesaikan dual lagrangian, perbaikan hasil pada batas bawah.
Sebuah heuristik primal digunakan untuk menemukan solusi primal yang memungkinkan, sesuai dengan batas bawah.
Universitas Sumatera Utara
13
Relaksasi lagrangian dapat diaplikasikan terhadap persoalan lokasi berkapasitas dalam berbagai cara. Dalam Ahlander (1994) sebuah perbandingan komputasi dari berbagai relaksasi telah dibuat.
Berikut, tiga pendekatan yang telah diselidiki:
1. Himpunan kendala relaksasi (3.40). Submasalah yang diperoleh merupakan
sebuah persoalan lokasi tak berkapasitas, yang sangat efisien diselesaikan
dengan metode Erlenkotter (1998)
2. Himpunan kendala relaksasi (3.41). Submasalah yang diperoleh dengan memisahkan ke dalam m masalah knapsak, satu untuk setiap fasilitas yang dapat diselesaikan dengan kode knapsak yang dapat ditemukan dalam Martello
dan Toth (1990)
3. Himpunan kendala (3.43) dengan menghapus variabel y dari kendala (3.40).
Submasalah diperoleh dengan memisahkan kedalam satu masalah trivial
dalam y dan masalah penugasan yang digeneralisasikan dalam x. Hal ini
merupakan masalah yang rumit, namun dapat diselesaikan dengan sebuah
metode yang dapat ditemukan dalam Martello dan Toth (1990).
Heuristik lagrangian cukup mudah diaplikasikan dalam primal heuristik dan
diuji coba pada masalah berukuran m = 50 dan n = 500. Hasilnya dapat dibandingkan dalam Ahlander (1994) bahwa pendekatan ke dua terlihat lebih efisien,
pendekatan ke tiga tidak begitu efisien sedangkan pendekatan pertama jelas tidak
cukup baik. Walaupun uji coba yang dilakukan Ahlander (1994) dapat dianggap
cukup, kesimpulan yang sama yang sama juga dikemukakan oleh Cortinhal dan
Captivo (2003). Oleh sebab itu, pendekatan yang dipilih adalah relaksasi kedua.
Relaksasi lagrangian dengan kendala (3.41) yaitu kendala permintaan satu
sumber. Hal ini juga telah dilakukan oleh Pirkull (1987) perbedaannya pada
heuristik primal dan kerangka kerja branch and bound. Dinotasikan pengali yang
terkait dengan kendala (3.41) dengan hasil uj dengan relaksasi lagragian sebagai
berikut:
Universitas Sumatera Utara
14
g(u) = min
n
m X
X
cij xij +
i=1 j=1
m
X
fi yi +
i=1
n
X
uj (1 −
j=1
m
X
xij )
(3.45)
i=1
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.46)
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.47)
j=1
n
X
j=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.48)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.49)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.50)
Persoalan ini dipisahkan dalam satu masalah untuk setiap fasilitas. Untuk
setiap i,
gi (u) = min
m
X
(cij − uj )xij + fi yi
(3.51)
j=1
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.52)
j=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.53)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.54)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.55)
Masalah knapsak ini telah diselesaikan dengan code MTR dalam Martello dan
Toth (1990).
Universitas Sumatera Utara
15
Masalah dual lagrangian adalah sebagai berikut :
(LD) vl = maxg(u)
(3.56)
dan subgradien d, pada fungsi konkaf g(u) dapat diperoleh sebagai berikut:
dj = 1 −
m
X
xij , ∀j
(3.57)
i=1
dimana x diperoleh dari solusi optimal (3.45). Masalah dual dapat diselesaikan
dengan metode optimisasi subgradien. Relaksasi lagrangian bersama dengan optimisasi subgradien memberikan batas bawah yang baik terhadap masalah tersebut.
Heuristik primal juga sangat baik dan cepat untuk menemukan nilai optimal atau
yang mendekati solusi optimal. Melalui, kombinasi pendekatan dual dan primal,
heurisrik lagrangian merupakan pendekatan heuristik yang efisien dalam menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan Satu
Sumber
Formulasi untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber yang diperkenalkan oleh Tragantalerngsak, et al., (2000) adalah sebagai
berikut.
Misalkan :
I
= {1, ..., m}, himpunan fasilitas potensial.
J
= {1, ..., n}, himpunan para pelanggan.
K
= {1, ..., o}, himpunan dari depot gudang potensial.
aj
= permintaan dari pelanggan j, ∀j ∈ J.
bi
= kapasitas dari fasilitas i, ∀i ∈ I.
fik
= biaya dari fasilitas i ke depot k pelayanan pelanggan j, ∀i ∈ I, j ∈ J,
k ∈ K.
cijk
= biaya dari fasilitas i ke depot k pelayanan pelanggan j, ∀i ∈ I, j ∈ J,
k ∈ K.
gk
= biaya pengaturan sebuah gudang pada lokasi k depot k, ∀k ∈ K.
yik =
(
xijk =
zk =
1, jika fasilitas i dibuka dan dilayani dari depot k, ∀i ∈ I, k ∈ K.
0, untuk sebaliknya.
(
(
1, jika fasilitas i dilayani oleh depot k pelayanan pelanggan.
0, untuk sebaliknya.
1, jika depot ditetapkan pada sebuah lokasi, ∀k ∈ K.
0, untuk sebaliknya.
Persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai
[P ] = min
XXX
cijk xijk +
i∈I k∈K j∈J
XX
i∈I k∈K
fik yik +
X
gk zk
(4.1)
k∈K
16
Universitas Sumatera Utara
17
dengan kendala :
X
aj xijk 6 bi , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.2)
j∈J
XX
xijk = 1, ∀j ∈ J
(4.3)
j∈J k∈K
X
yik 6 1, ∀i ∈ I
(4.4)
k∈K
xijk 6 yijk , ∀i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K
(4.5)
yik 6 zk , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.6)
xijk , yik , zk = {0, 1},
(4.7)
Fungsi objektif (4.1) adalah total biaya yang terdiri atas biaya penugasan dari
pelanggan ke fasilitas, biaya untuk mendirikan fasilitas, dan biaya pembukaan
gudang. Kendala (4.2) menjamin bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh ketentuan fasilitas yang tidak melebihi kapasitas. Kendala (4.3) menjamin bahwa
bahwa setiap pelanggan dilayani oleh tepat satu fasilitas. Kendala (4.4) menjamin
bahwa setiap fasilitas dilayani oleh satu pabrik dan (4.5) menjamin bahwa penugasan yang terjadi adalah pada fasilitas yang dibuka. Persyaratan yang sesuai
dari penugasan fasilitas kepada pabrik yang dibuka dijamin oleh (4.6). Akhirnya,
setiap variabel yang digunakan dalam model adalah sesuai dengan biner. Standar persoalan lokasi berkapasitas adalah NP-hard. Pada masalah khusus ini, juga
sesuai dengan NP-hard.
4.2 Lagrangian Heuristik
Sebuah relaksasi lagrangian dibentuk dengan menghilangkan sebuah himpunan kendala, pembobotannya dengan pengali lagrangian dan kemudian menempatkannya dalam fungsi objektif. Hal ini bertujuan untuk menentukan sebuah masalah yang relaks yang dinamakan sub masalah lagrangian yang lebih
mudah diselesaikan dari pada masalah awalnya. Nilai objektif dari relaksasi lagrangian, untuk beberapa pengali himpunan, menyediakan sebuah batas bawah
(dalam kasus minimisasi) untuk solusi opimal terhadapa masalah awal. Batas
Universitas Sumatera Utara
18
bawah terbaik dapat diperoleh dari penyelesaian dual lagrangian. Oleh karena
fungsi dual lebih sering untuk yang tak terdiferensialkan dimana dibutuhkan sebuah metode khusus untuk jenis masalah ini. Metode yang sering dan efisien yang
digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi yang terdapat dari relaksasi
lagrangian sering digunakan dalam aplikasi yang tergantung pada heuristik untuk
membangun solusi yang memungkinkan dan batas atas untuk masalah asalnya.
4.2.1
Relaksasi Lagrangian
Kendala (4.5) dalam [P ] menghubungkan variabel y dan z. Jika kendala
tersebut direlaksasi, [P ] dipisahkan ke dalam dua bagian masalah, masalah pertama menyangkut variabel x dan y dan yang lain variabel z. Lebih dari itu,
jika himpunan kendala (4.2) dengan paksaan setiap pelanggan ditugaskan tepat
kepada tepat satu fasilitas yang direlakskan, dapat digunakan struktur himpunan
masalah yang ada pada kendala (4.1). Relaksasi ini dapat diperbaharui dengan
menyertakan dua himpunan kendala yang berlebihan yang mungkin mengetatkan
formulasi relaksasi. Pertama-tama adalah sebuah pemaksaan kendala minimal
satu pabrik harus dibuka.
X
zk > 1,
(4.8)
k∈K
Kedua adalah pemaksaan kendala fasilitas yang dibuka untuk memiliki kapasitas
yang dapat memenuhi total permintaan pelanggan
XX
bi yik >
i∈I k∈K
X
aj ,
(4.9)
j∈J
Penambahan kendala di atas dan relaksasi himpunan kendala (4.2) dan (4.5)
dengan vektor pengali λ dan ω masing-masing memberikan relaksasi lagrangian
berikut:
PP
P
P
PP P
(cijk − λj )xijk +
(fik + wik )yik +
(gk − wik )zk +
[LR] = min
i∈I k∈K
i∈I
i∈I k∈K j∈J
k∈K
P
αj
j∈J
dengan kendala (4.1),(4.3),(4.4),(4.6),(4.7).
Universitas Sumatera Utara
19
Model ini dipisahkan ke dalam dua sub masalah yang dinamakan:
[LRz ] = min
X
(gk −
X
wik )zk
(4.10)
i∈I
k∈K
dengan kendala :
X
zk > 1,
(4.11)
k∈K
zk ∈ {0, 1}, ∀k ∈ K
(4.12)
dan
[LRz ] = min
XXX
(cijk − λj )xijk +
i∈I k∈K j∈J
XX
(fk + wik )yik +
X
λj
(4.13)
j∈J
i∈J k∈K
dengan kendala:
X
aj xijk > bi , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.14)
j∈J
X
yik > 1, ∀i ∈ I
(4.15)
k∈K
XX
i∈I k∈K
bi yik >
X
aj ,
(4.16)
j∈j
xijk , yik ∈ {0, 1}, ∀i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K
(4.17)
Masalah pertama merupakan masalah knapsak dan yang kedua dapat diformulasikan kedalam beberapa jumlah masalah knapsak.
Batas bawah dari fungsi objektif dengan nilai [P ] diberikan oleh v(LRxy )
+v(LRz ). Masalah [LR]z ) dapat dengan mudah diselesaikan dengan inspeksi.
Untuk menyelesaikan masalah [LRxy ], hal ini dapat dirumuskan kembali dalam
bentuk masalah knapsak.
Universitas Sumatera Utara
20
Sebuah relaksasi langrangian yang mendekati solusi yang memungkinkan
penyediaaan batas atas. Di sini, digunakan sebuah heuristik berdasarkan penyelesaian sebuah GAP (Generalized Assignment Problem) dimana setiap pelanggan
ditugaskan untuk sebelum pemilihan beberapa dari fasilitas yang ditugaskan ke
beberapa pabrik. Heuristik ini diadaptasi dari sebuah heuristik yang diusulkan
oleh Pirkul (1987) untuk menentukan solusi yang memungkinkan pada satu sumber, persoalan lokasi berkapasitas.
Optimisasi subgradien adalah sebuah metode yang efektif untuk menemukan
sebuah pengali lagrangian dan untuk menyelesaikan masalah dual. Diberikan sebuah vektor λ0 , sebuah barisan dari λz yang digeneralisasikan dengan mengambil
sebuah langkah berukuran yt . Langkah ini dapat didefinisikan dengan sebuah aturan umum yang praktis yaitu: θt = dt (Z−v(LRλ2 )/ky t k 2
Dimana Z adalah sebuah batas atas dari nilai optimal fungsi objektif. Sebagian besar, dikenal dengan solusi terbaik yang memungkinkan [P ] digunakan, k.k
dinotasikan dengan aturan Euclid dan dt akan dipenuhi setiap saat pada prosedur
melalui jumlah tetap dari iterasi yang terjadi tanpa perbaikan di batas bawah.
4.2.2
Prosedur Branch and Bound(B&B)
Branch and bound merupakan metode yang membagi permasalahan menjadi
subregion yang mengarah ke solusi (branching) dengan membentuk sebuah struktur pohon pencarian (search tree) dan melakukan pembatasan (bounding) untuk
mencapai solusi optimal. Proses branch merupakan membangun semua cabang
yang menuju solusi, sedangkan proses bound merupakan menghitung titik dengan
memperhatikan batas kendala.
Prosedur di dalam branch and bound dilakukan berulang secara rekursif hingga membentuk sebuah pohon pencarian (search tree) dan melakukan proses bounding dengan menentukan batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound).
Ketika tangkai pohon (node) dicabangkan, satu atau lebih node ditambahkan ke
job yang ada di depannya. Pemilihan node untuk cabang yang memiliki jumlah
job paling besar. Sebuah lower bound dihitung berdasarkan masing-masing node
yang dihasilkan.
Universitas Sumatera Utara
21
Avella dan Boccia (2011), di dalam algoritma branch and bound terdapat 3
buah bagian utama yaitu : ekspresi batas bawah (Lower Bound (LB)), strategi
pencarian dan pencabangan (branching). Di dalam prosedur ini, suatu masalah
dipecah menjadi beberapa sub masalah yang merepresentasikan pembagian kerja
secara parsial. Simpul-simpul terus bercabang lebih jauh sampai diperoleh solusi
lengkap. Jika LB tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus
dienumerasikan satu persatu. Oleh karena itu, LB dikalkulasikan pada setiap simpul. Jika nilai LB yang dikalkulasikan lebih besar dari nilai solusi lengkap terbaik,
eliminasi simpul tersebut. Prosedur ini terus diulang sampai pencarian pada pohon berakhir dan solusi optimal ditemukan. Algoritma branch and bound yang
menggunakan fungsi heuristik merupakan algoritma yang cukup baik dan cukup
efisien untuk menyelesaikan persoalan kombinatorial. Hal ini disebabkan karena
fungsi heuristik lebih mengoptimalisasi solusi yang sudah ada sehingga tidak perlu memeriksa atau mencoba semua kemungkinan yang ada. Untuk, menjalankan
jumlah n > 100 algoritma ini memakan memory yang sangat besar. Sedangkan,
untuk n < 100 algoritma ini tergolong sangat efisien.
Prosedur branch & bound berdasarkan relaksasi lagrangian dan optimisasi
subgradien telah diaplikasikan dengan sukses oleh beberapa peneliti untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas seperti Marin dan Pelegrin (2010), Gendron
dan Semet (2010 ), serta Liu dan Ziu (2011). Salah satu alasan bahwa batas bawah
dari relaksasi lagrangian dapat dibandingkan dan sering lebih baik dari batas yang
ditentukan dari relaksasi linier programming. Hal ini mengakibatkan batas bawah
dari titik dalam pohon B&B.
Nauss (1998) mengajukan sebuah metode B&B berdasarkan relaksasi lagrangian untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas. Tujuan khusus dikombinasikan pada skema optimisasi subgradien untuk menetapkan fasilitas yang dibuka
atau ditutup. Pada setiap titik, variabel fasilitas bebas dengan maksimum penalti
akan dipilih sebagai variabel cabang.
Christofides dan Beasley (1987) mengajukan sebuah prosedur yang mirip
untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan limit atas dan bawah dari jumlah
fasilitas yang dibuka. Beberapa reduksi telah diuji coba dan dikombinasikan dengan optimisasi subgradien. Pada titik ini, dimana setiap fasilitas ditetapkan
Universitas Sumatera Utara
22
untuk dibuka atau ditutup, persoalan ini direduksi pada masalah aliran jaringan
yang digabungkan dengan himpunan fasilitas yang dibuka. Beasley (1993) memodifikasi metode ini dengan mengusulkan solusi yang memungkinkan pengecualian
kendala pada model untuk direduksi pada pohon pencarian yang lebih luas
Untuk persoalan satu sumber, Cortinhal dan Captivo (2003) merumuskan
persoalan sebagai sebuah himpunan partisi dari masalah. Sebuah relaksasi LP
berdasarkan B&B dengan formulasi yang telah dikembangkan untuk menemukan
solusi optimal. Kemudian, persoalan direduksi ke dalam persoalan generalisasi
penugasan.
Persoalan [P ] memuat tiga himpunan dari variabel x,y dan z. Keputusan
untuk tidak membuka sebuah pabrik yaitu zk = 0 berpengaruh kuat terhadap variabel yang lain. Dalam observasi, pemilihan yang tepat akan jumlah dan lokasi
dari pabrik, pada kenyataannya memungkinkan pengaruh yang besar terhadap
biaya operasional. Hal ini diikuti dengan keputusan tentang fasilitas dan penugasan pelanggan secara individual. Pada titik sumber, dua buah batas bawah
yang diusulkan oleh Martello dan Toth (1990), solusi dari GAP untuk masalah
yang lebih besar memungkinkan untuk mendapatkan batas bawah terbaik dan
dapat ditentukan sebagai batas bawah untuk [P ].
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN
Dalam persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber, setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik melalui fasilitas eselon kedua (gudang) yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas
eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Sedemikian dengan model menjadi lebih besar bahkan untuk persoalan
yang berukuran sedang dimana sangat penting untuk mendapatkan model yang
optimal atau dekat dengan solusi optimal. Dalam tulisan ini diusulkan untuk
menggunakan relaksasi lagrangian berdasarkan B&B.
23
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Ahlander, F. 1994. The capacitated facility location problem with single sourching.
LiTH-MAT-EX -1994-07. Lingkoping University. Sweden
Arya, V., Garg, N., Khandekar, R., Meyerson, A., Pandit, V. 2004. Local search
heuristics for k-median and facility location problem. Siam J. Comput. Vol
33, No.3, 544-562
Avella, V., M. Boccia. 2011. A cutting plane algorithm for the capacitated facility
location. Computational Optimization and Application. Vol 43, 39-65.
Beasley, J.E. 1993. An algorithm for solving capacitated warehouse location problem European Journal of Operational Research. Vol 33, 314-325.
Christofides,N., J.E. Beasley. 1987. Extensions to a lagrangian relaxation approach
for the capacitated plant location problem.European Journal of Operational
Research. Vol 12, 19-28.
Cortinhal, M.J, M.E. Captivo. 2003. Upper and lower for the single source capacitated location problem. European Journal Of Operation Research. Vol 151,
333-351
Doyen, A., Aras, N., Barbarosoglu, G. 2012. A two-echelon stochastic facility location model for humanitarian relief logistics. Optim Lett. Vol 6, 1123-1145.
Erlenkotter, D. 1998. A dual based procedure for uncapacitated location problem.Computers and Operation Research . Vol 18, 263-274.
Gendron, B., F. Semet. 2010. Formulations and relaxations for a multi-echelon capacitated location-distribution problem. Computers and Operation Research.
Vol 36, 1335-1355.
Holmberg, K., Ronnqvist, D., Yuan, D. 1999. An exact algorithm for the capacitated facility location problem with single sourching. European Journal of
Operational Research. Vol 113, 544-559.
Litvincef, I., Espinosa, E.L. 2011. Lagrangian bounds and heuristic for the capacitated location problem. Department of Systems Engineering. Universidad
Autonoma de Nuevo Leon, Mexico.
Liu, Z., X. Zhu. 2011. Capacitated fuzzy two-stage location-allocation problem.
International Journal of Innovative Computing, Information and Control.
Vol 3, 987-999.
Marin, A., B. Pelegrin. 2010. Applying Lagrangian relaxation to the solution of
two-stage location problem. Annals of Operation Research. Vol 86, 179-198.
Martello, S., Toth, P. 1990. Knapsack problems,algorithms, and computer implementations. Wiley. New York
Nauss, R.M.. 1998. An improved algorithm for the capacitated facility location
problem location problem. Journal of Operation Research. Vol 29, No.3, 11951201
24
Universitas Sumatera Utara
25
Pirkull, H. 1987. Efficient algorithm for the capacitated concetrator location problem. Compuiter and Operation Research. Vol 14, 197-208.
Prins, C., Prodhon, C. 2007. Solving the capacitated location routing problem by a
cooperative lagrangian relaxation granular tabu search heuristic. Transportation Station. Vol 41, No.2, 470-483.
Tragantalerngsak, S., Holt, J., Ronnqvist, M. 2000. An exact method for the twoechelon, single-source, capacitated facility location Problem. European Journal Operational Research. Vol 123, 473-489.
Universitas Sumatera Utara
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Oleh
RANI FARIDA SINAGA
117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RANI FARIDA SINAGA
117021045/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS
DENGAN DUA ESELON DAN SATU SUMBER
Nama Mahasiswa : Rani Farida Sinaga
Nomor Pokok
: 117021045
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Ketua
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Desember 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal: 17 Desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
3. Dr. Sutarman, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PEMODELAN PERSOALAN LOKASI BERKAPASITAS DENGAN
DUA ESELON DAN SATU SUMBER
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa buku
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Rani Farida Sinaga
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi
dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas
memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan
lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon
kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari
satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh
tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and
bound.
Kata kunci
: Fasilitas, Lokasi, Eselon
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution,
transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem,
each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each
customer receives supply from exactly one facility is called the single-source capacitated location problem. The capacitated facility location problem in that exist
two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be
supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by only one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single
source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
Keyword
: Facility, Location, Echelon
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat
dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan
judul: Pemodelan Persoalan Lokasi Berkapasitas Dengan Dua Eselon Dan Satu
Sumber
Penulis menyampaikan terima kasih kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembanding II yang telah
memberikan saran dan kritik dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah
memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis
ini.
Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku pembanding I atas saran dan kritik
dalam penyempurnaan penulisan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA
Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ayahanda dan Ibunda tercinta, Paris Sinaga, S.Pd dan Lasmauli Manik, S.Pd
yang telah memberikan motivasi dan dukungan baik moril maupun materil selama
penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan genap reguler tahun 2011 genap, dan semua
pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga
Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah
diberikan.
Medan,
Penulis,
Rani Farida Sinaga
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Rani Farida Sinaga lahir di Salak pada tanggal 30 Mei 1988, merupakan
anak pertama dari empat bersaudara dengan ayah Paris Sinaga, S.Pd dan ibunda
Lasmauli Manik, S.Pd. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di
SD Negeri 030384 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2000, Sekolah Menengah
Pertama (SMP) di SMP Negeri 2 Siempat Nempu Kanopan pada tahun 2003, dan
Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 1 Sidikalang pada tahun 2006.
Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Peengetahuan Alam di Universitas Negeri Medan
dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada Maret tahun 2011.
Pada Februari 2012, penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
BAB 3 LANDASAN TEORI
7
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber
BAB 4 PEMBAHASAN
7
11
16
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan
Satu Sumber
16
4.2 Lagrangian Heuristik
17
4.2.1 Relaksasi Lagrangian
18
vii
Universitas Sumatera Utara
4.2.2 Prosedur Branch and Bound(B&B)
20
BAB 5 KESIMPULAN
23
DAFTAR PUSTAKA
24
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi
dan telekomunikasi. Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas
memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik yang dinamakan persoalan
lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon
kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari
satu fasilitas eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh
tepat satu fasilitas. Persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber dapat diselesaikan dengan relaksasi lagrangian berdasarkan branch and
bound.
Kata kunci
: Fasilitas, Lokasi, Eselon
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Facility location problem are often encountered in many areas such as distribution,
transportation, and telecomunication. In the capacitated facility location problem,
each facility has a limit capacity. Special case of this problem, in which each
customer receives supply from exactly one facility is called the single-source capacitated location problem. The capacitated facility location problem in that exist
two echelon of facility. Second-echelon facility has a limited capacity and can be
supplied by only one second-echelon facility and each customers is serviced by only one facility. Capacitated facility location problem with two-echelon and single
source can solved by lagrangian relaxation based on branch and bound.
Keyword
: Facility, Location, Echelon
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan lokasi berkapasitas adalah persoalan yang dikenal dalam optimisasi kombinatorial yang diaplikasikan dalam menentukan pembukaan fasilitas dari suatu himpunan tempat atau lokasi potensial sehingga pelanggan dapat
meminimalkan biaya operasional dan transportasi. Dalam hal ini dilakukan pembatasan untuk memenuhi permintaan pelanggan dan tiap fasilitas tidak dapat
memasok melebihi kapasitas dari fasilitas yang dibuka.
Persoalan lokasi berfasilitas berfokus pada permasalahan keputusan mengenai lokasi fasilitas untuk meminimumkan total biaya dalam melayani pelanggan. K. Holmberg et al., (1999) menyajikan pengalamannya dalam menggunakan
persoalan lokasi berkapasitas untuk mengambil keputusan pada permasalahan
mengenai jumlah, ukuran, desain, lokasi, dan pola layanan. Dalam persoalan
lokasi berfasilitas, mempertimbangkan situasi dimana satu komoditas disuplai
dan menyeleksi dari satu set lokasi ke lokasi potensial untuk melayani permintaan klien. Terdapat biaya-biaya tetap yaitu biaya membuka lokasi dan biaya
transportasi dalam mensuplai komoditas dari lokasi potensial atau lokasi fasilitas
berkapasitas kepada pelanggan.
Dalam menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang
tepat agar dapat meminimalkan biaya. Apabila, masing-masing fasilitas terbatas
untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi fasilitas
berkapasitas. Dan, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas untuk melayani
pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas. Dalam persoalan lokasi tak berkapasitas, setiap fasilitas diasumsikan tidak memiliki
batasan dalam tiap kapasitasnya. Dalam hal ini, setiap pelanggan menerima permintaan dari tepat satu fasilitas. Perluasan dari persoalan lokasi tak berkapasitas,
dimana terdapat dua eselon yang terlibat yang dinamakan persoalan lokasi tidak
berkapasitas dengan dua eselon (Doyen et al., 2012).
1
Universitas Sumatera Utara
2
Dalam persoalan ini, pengiriman yang terjadi dari fasilitas eselon pertama
(contohnya pabrik atau depot) kepada pelanggan melalui fasilitas eselon kedua
seperti gudang. Tujuannya adalah untuk menentukan jumlah dan lokasi berkapasitas setiap eselon, aliran produk terhadap fasilitas dan penugasan dari pelanggan terhadap fasilitas dalam eselon kedua. Tragantalerngsak et al., (2000)
mengemukakan bahwa dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap
pelanggan menerima persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi
lokasi fasilitas berkapasitas dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan
dari satu fasilitas eselon pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat
satu fasilitas.
Persoalan lokasi berkapasitas sering ditemui dalam bidang transportasi, distribusi dan telekomunikasi. Dalam sistem distribusi dimana terdapat berbagai
gudang atau pabrik yang potensial dari armada kendaraan yang dijalankan. Model ini secara simultan menentukan banyaknya pabrik dan kendaraan yang dibutuhkan, lokasi dari pabrik terbuka, dan setiap pelanggan dapat dilayani dengan
kendaraanArya et al., (2004). Contoh lainnya adalah kotak surat yang dikirim
dimana terdapat beberapa gudang dari perusahaan pelayanan surat dan dimana
setiap pabrik memiliki beberapa van pengiriman.
Penelitian sebelumnya oleh Tragantalerngsak et al., (2000) membahas persoalan lokasi berkapasitas dengan mengajukan sebuah metode yang eksak dengan
algoritma B&B untuk masalah ini yang didasarkan sebagian besar pada heuristik
lagrangian. Relaksasi lagrangian merupakan kombinasi dari optmisasi sub gradien yang secara luas digunakan untuk menentukan solusi dan masalah optmisasi
kombinatorial. Holmberg et al., (1999) telah mengajukan algoritma Branch and
Bound (B&B) berdasarkan heuristik lagrangian untuk menempatkan pabrik dan
gudang dalam dua level sistem distribusi. Sedangkan, Litvincef dan Espinosa
(2011) mengusulkan beberapa relaksasi lagrangian yaitu heuristik lagrangian untuk menghasilkan solusi yang memungkinkan agar dapat meminimisasi biaya dari
pabrik atau gudang yang potensial.
Universitas Sumatera Utara
3
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik dimana
terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua (gudang) memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon
pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas.
Maka dibutuhkan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon
dan satu sumber.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk membangun suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermamfaat untuk memperkaya literatur tentang persoalan lokasi
berkapasitas dan memberikan suatu model persoalan lokasi berkapasitas dengan
dua eselon agar dapat diaplikasikasikan dalam kehidupan.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur kepustakaan dengan mengumpulkan informasi dari
berbagai jurnal. Langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai persoalan lokasi
berkapasitas.
2. Mempelajari teori berkenaan dengan relaksasi lagrangian, heuristik lagrangian dan metode Branch & Bound.
3. Membahas persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
4. Membangun model persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan
satu sumber.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pemilihan suatu lokasi merupakan hal yang sangat penting, karena faktor
biaya dipengaruhi oleh fasilitas yang akan di tempatkan dan biaya juga mempengaruhi untuk menentukan lokasi dimana secara ekonomis dalam membiayai, produksi, transportasi dan distribusi serta biaya memasok kebutuhan untuk melayani
permintaan dari pelanggan. Jadi, untuk menempatkan suatu lokasi fasilitas merupakan suatu keputusan yang tepat agar dapat meminimalkan biaya, jika masingmasing fasilitas terbatas untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi
persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, jika masing-masing fasilitas tidak terbatas
untuk melayani pelanggan maka persoalannya menjadi persoalan lokasi tak berkapasitas.
Dalam persoalan lokasi fasilitas berkapasitas, setiap fasilitas memiliki kapasitas terbatas. Kasus khusus dari persoalan ini, dimana setiap pelanggan menerima
persediaan dari tepat satu fasilitas yang dinamakan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas dengan satu sumber. Dalam persoalan lokasi lokasi fasilitas berkapasitas
dimana terdapat dua eselon dari fasilitas-fasilitas. Fasilitas eselon kedua memiliki kapasitas yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas eselon
pertama dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Tragantalerngsak et al., (2000) mengusulkan enam perbedaan lagrangian heuristik untuk
menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber.
Seluruh heuristik diimplementasikan dan hasilnya menunjukkan bahwa lagrangian
berdasarkan heuristik batas bawah yang lebih baik daripada yang ditentukan dari
relaksasi Linier Programming (LP). Solusi yang lebih memungkinkan juga untuk
menentukan batas atas dapat dilakukan lebih efektif. Hal ini memberikan akibat bahwa algoritma Branch and Bound (B&B) berdasarkan relaksasi lagrangian
merupakan pencapaian yang efisien.
Prins dan Prodhon (2007) mengajukan, relaksasi Lagrangian dibuat dengan
menghilangkan himpunan kendala-kendala, pembobotan dengan lagrangian multiplier dan menempatkannya dalam fungsi tujuan. Hal ini bertujuan untuk untuk
menetapkan sebuah masalah yang dihilangkan disebut masalah pokok lagrangi4
Universitas Sumatera Utara
5
an yang lebih mudah diselesaikan daripada masalah sebenarnya. Nilai objektif dari masalah relaksasi lagrangian, diberikan himpunan pengali, memberikan
sebuah batas bawah (dalam hal minimisasi) untuk solusi optimal dari masalah
sebenarnya. Batas bawah terbaik dapat diperoleh dengan menyelesaikan dual
lagrangian. Karena fungsi dual sering bukan merupakan diferensial dimana dibutuhkan sebuah metode khusus untuk menyelesaikan masalah khusus ini. Metode
yang sering dan efisien yang digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi
yang ditetapkan dari relaksasi lagrangian sering digunakan oleh aplikasi heuristik
terikat untuk membangun solusi yang memungkinkan dan karena batas atas dari
masalah yang sebenarnya.
Berikut ini beberapa penelitian yang memberikan model persoalan lokasi
berkapasitas :
1. Penyelesaian persoalan rute lokasi berkapasitas dengan relaksasi lagrangean
koperatif granular heuristik tabu search
min g1 (u) = Oi yi +
P
(cik − uk )Xik
k∈K
Formulasi tersebut untuk meminisasi total biaya dari lokasi berfasilitas,
transportasi dan kekurangan.(Prins dan Prodhon, 2007)
2. Algoritma yang eksak untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber
min
P
j∈C1
gj wj +
P
hj vj
j∈C2
Formulasi tersebut untuk meminisasi biaya penugasan dari fasilitas terbuka.
(Holmberg, et al., 1999)
Universitas Sumatera Utara
6
3. Batas lagrangian dan heuristik untuk dua tahap masalah lokasi fasilitas
berkapasitas
min
P
i
fi yi +
P
j
gj zj +
P
(i,j)
cij xij +
P
djk sjk
(j,k)
Formulasi ini meminimisasi biaya dari lokasi kepada himpunan pabrik atau
depot yang potensial. (Litvinchev dan Espinosa, 2011)
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORI
3.1 Model Persoalan Lokasi Fasilitas Berkapasitas
Banyak heuristik dan pendekatan algoritma yang tepat untuk menyelesaikan persoalan lokasi fasilitas berkapasitas yang telah diusulkan dalam literatur.
Salah satunya adalah dengan mengunakan relaksasi lagrangian dimana jumlah
permintaan terbatas dengan atau penambahan jumlah kapasitas.
Persoalan fasilitas lokasi berkapasitas adalah suatu himpunan yang terdiri
dari j dan k unsur dengan j adalah tempat atau lokasi yang potensial dengan fasilitas yang memadai dan k adalah pelanggan yang permintaannya dapat dipenuhi
dari fasilitas yang tersedia
Persoalan lokasi fasilitas berkapasitas atau Capacitated Facility Location
Problem (CFLP) disebut juga sebagai program linear integer campuran yang
mempunyai model sebagai berikut :
XX
X
Z=
Ckj xkj +
fj yj
k∈K j∈J
(3.1)
j∈J
Dengan kendala sebagai berikut :
X
xkj = 1, ∀k ∈ K
(3.2)
dk xkj 6 sj yj , ∀j ∈ J
(3.3)
j∈J
X
j∈J
X
sj yj > dk
(3.4)
j∈J
xkj − yi 6 0, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.5)
0 6 xkj 6 1 , 0 6 yj 6 1, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.6)
yj ∈ {0, 1}
(3.7)
7
Universitas Sumatera Utara
8
dimana :
Z
= fungsi tujuan.
J
= himpunan semua lokasi potensial.
K
= himpunan semesta.
Ckj
= biaya persediaan dk dari pelanggan ks′ dari fasilitas j.
ff
= biaya operasi fasilitas j dan kapasitas Cj juga dibuka.
xkj
= biaya permintaan pelanggan ks′ dari fasilitas j.
dengan asumsi sebagai berikut:
yj =
(
0, jika fasilitas j ditutup,
1, untuk fasilitas j dibuka
kendala persamaan (3.2) merupakan kendala permintaan
kendala persamaan (3.3) merupakan kendala kapasitas
kendala persamaan (3.4) merupakan kendala kapasitas secara keseluruhan
kendala persamaan (3.5) merupakan penambahan batas implisit
Dengan asumsi:
Ckj > 0, ∀k ∈ K, j ∈ J
(3.8)
ff > 0, ∀j ∈ J
(3.9)
sj > 0, ∀j ∈ J
(3.10)
dk > 0, ∀k ∈ K
X
X
dk
sj > d(K) =
(3.11)
j∈J
(3.12)
k∈K
Dengan menerapkan relaksasi lagrangian ke dalam permasalahan CFPLP dengan
mengabaikan kendala (3.2) maka model relaksasi lagrangian adalah
ZD (η) =
X
k∈K
ηk + minx,y
XX
k∈K
)j∈J (Ckj − ηk )xk j +
X
fj yj
(3.13)
j∈J
Universitas Sumatera Utara
9
dengan kendala :
X
dk xkj 6 sj yj
(3.14)
X
sj yj > d(K)
(3.15)
j∈J
j∈J
xkj − yj 6 0, ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.16)
0 6 xkj 6 1 , ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.17)
0 6 yj 6 1 , ∀k ∈ K, ∀j ∈ J
(3.18)
yj ∈ {0, 1}
(3.19)
Jika kendala persamaan (3.2) diganti dengan pengali ηk dengan k ∈ K maka
pengali lagrangian optimal yaitu nopt dapat ditentukan dari interval [η min , η max ]
dimana :
η min = min(Ckj , j ∈ J\j(k)) > 0
(3.20)
Ckj = minj∈J Ckj
(3.21)
η max = maxj∈j Ckj
(3.22)
Didefenisikan bahwa:
Vj = maxx {
X
(ηk − Ckj )xkj |
X
dk xk j > sj , 0 6 xkj 6 1 ∀k ∈ K}
(3.23)
j∈J
k∈K
Jika persamaan (3.23) direduksi ke dalam persamaaan (3.13) diperoleh:
ZD (η) = η0 +
X
ηk
(3.24)
k∈k
Dimana:
η0 = min{
P
j∈J
(ff − vj )yf |
P
sj yj , yj ∈ (0, 1), ∀k ∈ K}
j∈J
Jadi, langrangian dari persamaan (3.13) adalah maksimum dari fungsi lagrangian
ZD (η) pada himpunan [η min , η max ], selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
10
Diasumsikan:
{y z , t ∈ T y } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.25)
{xzj , t ∈ Tjz } adalah himpunan semua solusi yang feasibel untuk persamaan (3.23)
Dan untuk semua t ∈ T y dan t ∈ Tjz didefenisikan :
Ft =
X
fj yjt
(3.25)
Ckj xtkj
(3.26)
j∈J
Ctj =
X
k∈K
Dengan menggunakan persamaan (3.23) dan (3.25) maka persamaan (3.13) dapat
ditulis menjadi :
ZD = maxη0 +
X
ηk
(3.27)
k∈K
Dengan kendala:
η0 +
X
yjt vj 6 Ft , ∀t ∈ Tjx
(3.28)
j∈J
X
x
xkj
t ηk − vj 6 CT J , ∀j ∈ J, ∀t ∈ Tj
(3.29)
k∈K
uj > 0, ∀j ∈ J
(3.30)
η m ink 6 ηk 6 η m axk , ∀k ∈ K
(3.31)
η0 ∈ R
(3.32)
Mengambil dua kali program master ganda diperoleh program master prima yang
bentuknya adalah:
ZD =
X
t∈Ty
Ft αt +
XX
Ctj Btj +
j∈J t∈Tjx
X
η max pk − η min pk
(3.33)
k∈K
Dengan batasan:
X
αt = 1
(3.34)
t∈T y
X
t∈T y
yjt αt −
X
βtj
(3.35)
t∈Tjx
Universitas Sumatera Utara
11
XX
j∈J
xtkj βtj + pk − (p)k > 1, ∀k ∈ K
(3.36)
t∈Tjx
αt > 0, ∀t ∈ Tjy
(3.37)
βtj > 0, ∀j ∈ J, ∀t ∈ Tjx
(3.38)
pk , pk > 0, ∀k ∈ K
(3.39)
dimana :
αt
= variabel rangkap dari persamaan (3.22).
βt
= variabel rangkap dari persamaan (3.23).
pk dan pk= variabel rangkap dari persamaan (3.25).
3.2 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Satu Sumber
Persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber adalah kasus khusus dalam persoalan lokasi berkapasitas dimana setiap pelanggan hanya boleh dilayani
oleh satu fasilitas. Untuk merumuskan model matematika dalam persoalan tersebut, misalkan m adalah jumlah potensial dari fasilitas, n adalah jumlah pelanggan,
aj adalah permintaan pelanggan, bj adalah kapasitas dari setiap fasilitas, fi adalah
biaya tetap yang digunakan untuk membuka fasilitas, cij adalah biaya penugasan
pelanggan j kepada fasilitas i. Setiap koefisien diasumsikan positif. Didefinisikan
variabel keputusan berikut:
yi =
(
xij =
(
1, jika fasilitas i dibuka,
0, untuk sebaliknya
1, jika fasilitas i melayani pelanggan j,
0, untuk sebaliknya
Masalah tersebut dapat dinyatakan dalam program berikut: [P ]
v ∗ = min
m P
n
n
P
P
(cij xij ) +
fi yi
i=1 j=
i=1
Universitas Sumatera Utara
12
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.40)
j=1
n
X
xij = 1, ∀j
(3.41)
i=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.42)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.43)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.44)
Fungsi objektif bertujuan untuk menimimisasi biaya penugasan dari pelanggan ke fasilitas yang dibuka dan biaya untuk mendirikan fasilitas. Kendala (3.40)
dapat dijadikan sebagai kendala kapasitas dan menjamin bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh fasilitas yang tidak melebihi kapasitasnya. Kendala (3.41)
merupakan kendala permintaan pelanggan dan menjamin setiap pelanggan ditugaskan hanya pada satu fasilitas. Kendala (3.43) menjamin bahwa penugasan
hanya pada fasilitas yang dibuka. Kendala (3.44) berlebihan dalam [P ], tetapi
relaksasi linier programming.
Salah satu pencapaian yang sukses dalam penyelesaian persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber adalah lagrangian heuristik. Heuristik tersebut
berdasarkan relaksasi lagrangian dan penyelesaiannya berhubungan dengan masalah dual, melalui penyelesaian barisan yang lebih kecil dan bagian dari persoalan yang lebih sederhana. Untuk menjamin bahwa pembentukan solusi yang
memungkinkan beberapa prosedur heuristik harus diadopsi dimana diberikan beberapa beberapa sub masalah penyelesaian dual untuk mengeneralisasi solusi yang
memungkinkan.
Heuristik lagrangian terdiri atas beberapa bagian berikut. Sebuah relaksasi lagrangian dengan hasil batas bawah merupakan nilai fungsi objektif, namun
jarang menjadi solusi yang memungkinkan. Sebuah prosedur subgradien digunakan untuk menyelesaikan dual lagrangian, perbaikan hasil pada batas bawah.
Sebuah heuristik primal digunakan untuk menemukan solusi primal yang memungkinkan, sesuai dengan batas bawah.
Universitas Sumatera Utara
13
Relaksasi lagrangian dapat diaplikasikan terhadap persoalan lokasi berkapasitas dalam berbagai cara. Dalam Ahlander (1994) sebuah perbandingan komputasi dari berbagai relaksasi telah dibuat.
Berikut, tiga pendekatan yang telah diselidiki:
1. Himpunan kendala relaksasi (3.40). Submasalah yang diperoleh merupakan
sebuah persoalan lokasi tak berkapasitas, yang sangat efisien diselesaikan
dengan metode Erlenkotter (1998)
2. Himpunan kendala relaksasi (3.41). Submasalah yang diperoleh dengan memisahkan ke dalam m masalah knapsak, satu untuk setiap fasilitas yang dapat diselesaikan dengan kode knapsak yang dapat ditemukan dalam Martello
dan Toth (1990)
3. Himpunan kendala (3.43) dengan menghapus variabel y dari kendala (3.40).
Submasalah diperoleh dengan memisahkan kedalam satu masalah trivial
dalam y dan masalah penugasan yang digeneralisasikan dalam x. Hal ini
merupakan masalah yang rumit, namun dapat diselesaikan dengan sebuah
metode yang dapat ditemukan dalam Martello dan Toth (1990).
Heuristik lagrangian cukup mudah diaplikasikan dalam primal heuristik dan
diuji coba pada masalah berukuran m = 50 dan n = 500. Hasilnya dapat dibandingkan dalam Ahlander (1994) bahwa pendekatan ke dua terlihat lebih efisien,
pendekatan ke tiga tidak begitu efisien sedangkan pendekatan pertama jelas tidak
cukup baik. Walaupun uji coba yang dilakukan Ahlander (1994) dapat dianggap
cukup, kesimpulan yang sama yang sama juga dikemukakan oleh Cortinhal dan
Captivo (2003). Oleh sebab itu, pendekatan yang dipilih adalah relaksasi kedua.
Relaksasi lagrangian dengan kendala (3.41) yaitu kendala permintaan satu
sumber. Hal ini juga telah dilakukan oleh Pirkull (1987) perbedaannya pada
heuristik primal dan kerangka kerja branch and bound. Dinotasikan pengali yang
terkait dengan kendala (3.41) dengan hasil uj dengan relaksasi lagragian sebagai
berikut:
Universitas Sumatera Utara
14
g(u) = min
n
m X
X
cij xij +
i=1 j=1
m
X
fi yi +
i=1
n
X
uj (1 −
j=1
m
X
xij )
(3.45)
i=1
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.46)
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.47)
j=1
n
X
j=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.48)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.49)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.50)
Persoalan ini dipisahkan dalam satu masalah untuk setiap fasilitas. Untuk
setiap i,
gi (u) = min
m
X
(cij − uj )xij + fi yi
(3.51)
j=1
dengan kendala:
n
X
aj xij 6 bi yi , ∀i
(3.52)
j=1
xij − yi 6 0, ∀i, j
(3.53)
xij ∈ {0, 1}, ∀i, j
(3.54)
yi ∈ {0, 1}, ∀i
(3.55)
Masalah knapsak ini telah diselesaikan dengan code MTR dalam Martello dan
Toth (1990).
Universitas Sumatera Utara
15
Masalah dual lagrangian adalah sebagai berikut :
(LD) vl = maxg(u)
(3.56)
dan subgradien d, pada fungsi konkaf g(u) dapat diperoleh sebagai berikut:
dj = 1 −
m
X
xij , ∀j
(3.57)
i=1
dimana x diperoleh dari solusi optimal (3.45). Masalah dual dapat diselesaikan
dengan metode optimisasi subgradien. Relaksasi lagrangian bersama dengan optimisasi subgradien memberikan batas bawah yang baik terhadap masalah tersebut.
Heuristik primal juga sangat baik dan cepat untuk menemukan nilai optimal atau
yang mendekati solusi optimal. Melalui, kombinasi pendekatan dual dan primal,
heurisrik lagrangian merupakan pendekatan heuristik yang efisien dalam menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas dengan satu sumber.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Model Persoalan Lokasi Berkapasitas dengan Dua Eselon dan Satu
Sumber
Formulasi untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu
sumber yang diperkenalkan oleh Tragantalerngsak, et al., (2000) adalah sebagai
berikut.
Misalkan :
I
= {1, ..., m}, himpunan fasilitas potensial.
J
= {1, ..., n}, himpunan para pelanggan.
K
= {1, ..., o}, himpunan dari depot gudang potensial.
aj
= permintaan dari pelanggan j, ∀j ∈ J.
bi
= kapasitas dari fasilitas i, ∀i ∈ I.
fik
= biaya dari fasilitas i ke depot k pelayanan pelanggan j, ∀i ∈ I, j ∈ J,
k ∈ K.
cijk
= biaya dari fasilitas i ke depot k pelayanan pelanggan j, ∀i ∈ I, j ∈ J,
k ∈ K.
gk
= biaya pengaturan sebuah gudang pada lokasi k depot k, ∀k ∈ K.
yik =
(
xijk =
zk =
1, jika fasilitas i dibuka dan dilayani dari depot k, ∀i ∈ I, k ∈ K.
0, untuk sebaliknya.
(
(
1, jika fasilitas i dilayani oleh depot k pelayanan pelanggan.
0, untuk sebaliknya.
1, jika depot ditetapkan pada sebuah lokasi, ∀k ∈ K.
0, untuk sebaliknya.
Persoalan tersebut dapat dinyatakan sebagai
[P ] = min
XXX
cijk xijk +
i∈I k∈K j∈J
XX
i∈I k∈K
fik yik +
X
gk zk
(4.1)
k∈K
16
Universitas Sumatera Utara
17
dengan kendala :
X
aj xijk 6 bi , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.2)
j∈J
XX
xijk = 1, ∀j ∈ J
(4.3)
j∈J k∈K
X
yik 6 1, ∀i ∈ I
(4.4)
k∈K
xijk 6 yijk , ∀i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K
(4.5)
yik 6 zk , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.6)
xijk , yik , zk = {0, 1},
(4.7)
Fungsi objektif (4.1) adalah total biaya yang terdiri atas biaya penugasan dari
pelanggan ke fasilitas, biaya untuk mendirikan fasilitas, dan biaya pembukaan
gudang. Kendala (4.2) menjamin bahwa permintaan pelanggan dilayani oleh ketentuan fasilitas yang tidak melebihi kapasitas. Kendala (4.3) menjamin bahwa
bahwa setiap pelanggan dilayani oleh tepat satu fasilitas. Kendala (4.4) menjamin
bahwa setiap fasilitas dilayani oleh satu pabrik dan (4.5) menjamin bahwa penugasan yang terjadi adalah pada fasilitas yang dibuka. Persyaratan yang sesuai
dari penugasan fasilitas kepada pabrik yang dibuka dijamin oleh (4.6). Akhirnya,
setiap variabel yang digunakan dalam model adalah sesuai dengan biner. Standar persoalan lokasi berkapasitas adalah NP-hard. Pada masalah khusus ini, juga
sesuai dengan NP-hard.
4.2 Lagrangian Heuristik
Sebuah relaksasi lagrangian dibentuk dengan menghilangkan sebuah himpunan kendala, pembobotannya dengan pengali lagrangian dan kemudian menempatkannya dalam fungsi objektif. Hal ini bertujuan untuk menentukan sebuah masalah yang relaks yang dinamakan sub masalah lagrangian yang lebih
mudah diselesaikan dari pada masalah awalnya. Nilai objektif dari relaksasi lagrangian, untuk beberapa pengali himpunan, menyediakan sebuah batas bawah
(dalam kasus minimisasi) untuk solusi opimal terhadapa masalah awal. Batas
Universitas Sumatera Utara
18
bawah terbaik dapat diperoleh dari penyelesaian dual lagrangian. Oleh karena
fungsi dual lebih sering untuk yang tak terdiferensialkan dimana dibutuhkan sebuah metode khusus untuk jenis masalah ini. Metode yang sering dan efisien yang
digunakan adalah optimisasi subgradien. Informasi yang terdapat dari relaksasi
lagrangian sering digunakan dalam aplikasi yang tergantung pada heuristik untuk
membangun solusi yang memungkinkan dan batas atas untuk masalah asalnya.
4.2.1
Relaksasi Lagrangian
Kendala (4.5) dalam [P ] menghubungkan variabel y dan z. Jika kendala
tersebut direlaksasi, [P ] dipisahkan ke dalam dua bagian masalah, masalah pertama menyangkut variabel x dan y dan yang lain variabel z. Lebih dari itu,
jika himpunan kendala (4.2) dengan paksaan setiap pelanggan ditugaskan tepat
kepada tepat satu fasilitas yang direlakskan, dapat digunakan struktur himpunan
masalah yang ada pada kendala (4.1). Relaksasi ini dapat diperbaharui dengan
menyertakan dua himpunan kendala yang berlebihan yang mungkin mengetatkan
formulasi relaksasi. Pertama-tama adalah sebuah pemaksaan kendala minimal
satu pabrik harus dibuka.
X
zk > 1,
(4.8)
k∈K
Kedua adalah pemaksaan kendala fasilitas yang dibuka untuk memiliki kapasitas
yang dapat memenuhi total permintaan pelanggan
XX
bi yik >
i∈I k∈K
X
aj ,
(4.9)
j∈J
Penambahan kendala di atas dan relaksasi himpunan kendala (4.2) dan (4.5)
dengan vektor pengali λ dan ω masing-masing memberikan relaksasi lagrangian
berikut:
PP
P
P
PP P
(cijk − λj )xijk +
(fik + wik )yik +
(gk − wik )zk +
[LR] = min
i∈I k∈K
i∈I
i∈I k∈K j∈J
k∈K
P
αj
j∈J
dengan kendala (4.1),(4.3),(4.4),(4.6),(4.7).
Universitas Sumatera Utara
19
Model ini dipisahkan ke dalam dua sub masalah yang dinamakan:
[LRz ] = min
X
(gk −
X
wik )zk
(4.10)
i∈I
k∈K
dengan kendala :
X
zk > 1,
(4.11)
k∈K
zk ∈ {0, 1}, ∀k ∈ K
(4.12)
dan
[LRz ] = min
XXX
(cijk − λj )xijk +
i∈I k∈K j∈J
XX
(fk + wik )yik +
X
λj
(4.13)
j∈J
i∈J k∈K
dengan kendala:
X
aj xijk > bi , ∀i ∈ I, k ∈ K
(4.14)
j∈J
X
yik > 1, ∀i ∈ I
(4.15)
k∈K
XX
i∈I k∈K
bi yik >
X
aj ,
(4.16)
j∈j
xijk , yik ∈ {0, 1}, ∀i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K
(4.17)
Masalah pertama merupakan masalah knapsak dan yang kedua dapat diformulasikan kedalam beberapa jumlah masalah knapsak.
Batas bawah dari fungsi objektif dengan nilai [P ] diberikan oleh v(LRxy )
+v(LRz ). Masalah [LR]z ) dapat dengan mudah diselesaikan dengan inspeksi.
Untuk menyelesaikan masalah [LRxy ], hal ini dapat dirumuskan kembali dalam
bentuk masalah knapsak.
Universitas Sumatera Utara
20
Sebuah relaksasi langrangian yang mendekati solusi yang memungkinkan
penyediaaan batas atas. Di sini, digunakan sebuah heuristik berdasarkan penyelesaian sebuah GAP (Generalized Assignment Problem) dimana setiap pelanggan
ditugaskan untuk sebelum pemilihan beberapa dari fasilitas yang ditugaskan ke
beberapa pabrik. Heuristik ini diadaptasi dari sebuah heuristik yang diusulkan
oleh Pirkul (1987) untuk menentukan solusi yang memungkinkan pada satu sumber, persoalan lokasi berkapasitas.
Optimisasi subgradien adalah sebuah metode yang efektif untuk menemukan
sebuah pengali lagrangian dan untuk menyelesaikan masalah dual. Diberikan sebuah vektor λ0 , sebuah barisan dari λz yang digeneralisasikan dengan mengambil
sebuah langkah berukuran yt . Langkah ini dapat didefinisikan dengan sebuah aturan umum yang praktis yaitu: θt = dt (Z−v(LRλ2 )/ky t k 2
Dimana Z adalah sebuah batas atas dari nilai optimal fungsi objektif. Sebagian besar, dikenal dengan solusi terbaik yang memungkinkan [P ] digunakan, k.k
dinotasikan dengan aturan Euclid dan dt akan dipenuhi setiap saat pada prosedur
melalui jumlah tetap dari iterasi yang terjadi tanpa perbaikan di batas bawah.
4.2.2
Prosedur Branch and Bound(B&B)
Branch and bound merupakan metode yang membagi permasalahan menjadi
subregion yang mengarah ke solusi (branching) dengan membentuk sebuah struktur pohon pencarian (search tree) dan melakukan pembatasan (bounding) untuk
mencapai solusi optimal. Proses branch merupakan membangun semua cabang
yang menuju solusi, sedangkan proses bound merupakan menghitung titik dengan
memperhatikan batas kendala.
Prosedur di dalam branch and bound dilakukan berulang secara rekursif hingga membentuk sebuah pohon pencarian (search tree) dan melakukan proses bounding dengan menentukan batas atas (upper bound) dan batas bawah (lower bound).
Ketika tangkai pohon (node) dicabangkan, satu atau lebih node ditambahkan ke
job yang ada di depannya. Pemilihan node untuk cabang yang memiliki jumlah
job paling besar. Sebuah lower bound dihitung berdasarkan masing-masing node
yang dihasilkan.
Universitas Sumatera Utara
21
Avella dan Boccia (2011), di dalam algoritma branch and bound terdapat 3
buah bagian utama yaitu : ekspresi batas bawah (Lower Bound (LB)), strategi
pencarian dan pencabangan (branching). Di dalam prosedur ini, suatu masalah
dipecah menjadi beberapa sub masalah yang merepresentasikan pembagian kerja
secara parsial. Simpul-simpul terus bercabang lebih jauh sampai diperoleh solusi
lengkap. Jika LB tidak digunakan maka segala kemungkinan penyelesaian harus
dienumerasikan satu persatu. Oleh karena itu, LB dikalkulasikan pada setiap simpul. Jika nilai LB yang dikalkulasikan lebih besar dari nilai solusi lengkap terbaik,
eliminasi simpul tersebut. Prosedur ini terus diulang sampai pencarian pada pohon berakhir dan solusi optimal ditemukan. Algoritma branch and bound yang
menggunakan fungsi heuristik merupakan algoritma yang cukup baik dan cukup
efisien untuk menyelesaikan persoalan kombinatorial. Hal ini disebabkan karena
fungsi heuristik lebih mengoptimalisasi solusi yang sudah ada sehingga tidak perlu memeriksa atau mencoba semua kemungkinan yang ada. Untuk, menjalankan
jumlah n > 100 algoritma ini memakan memory yang sangat besar. Sedangkan,
untuk n < 100 algoritma ini tergolong sangat efisien.
Prosedur branch & bound berdasarkan relaksasi lagrangian dan optimisasi
subgradien telah diaplikasikan dengan sukses oleh beberapa peneliti untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas seperti Marin dan Pelegrin (2010), Gendron
dan Semet (2010 ), serta Liu dan Ziu (2011). Salah satu alasan bahwa batas bawah
dari relaksasi lagrangian dapat dibandingkan dan sering lebih baik dari batas yang
ditentukan dari relaksasi linier programming. Hal ini mengakibatkan batas bawah
dari titik dalam pohon B&B.
Nauss (1998) mengajukan sebuah metode B&B berdasarkan relaksasi lagrangian untuk menyelesaikan persoalan lokasi berkapasitas. Tujuan khusus dikombinasikan pada skema optimisasi subgradien untuk menetapkan fasilitas yang dibuka
atau ditutup. Pada setiap titik, variabel fasilitas bebas dengan maksimum penalti
akan dipilih sebagai variabel cabang.
Christofides dan Beasley (1987) mengajukan sebuah prosedur yang mirip
untuk persoalan lokasi berkapasitas dengan limit atas dan bawah dari jumlah
fasilitas yang dibuka. Beberapa reduksi telah diuji coba dan dikombinasikan dengan optimisasi subgradien. Pada titik ini, dimana setiap fasilitas ditetapkan
Universitas Sumatera Utara
22
untuk dibuka atau ditutup, persoalan ini direduksi pada masalah aliran jaringan
yang digabungkan dengan himpunan fasilitas yang dibuka. Beasley (1993) memodifikasi metode ini dengan mengusulkan solusi yang memungkinkan pengecualian
kendala pada model untuk direduksi pada pohon pencarian yang lebih luas
Untuk persoalan satu sumber, Cortinhal dan Captivo (2003) merumuskan
persoalan sebagai sebuah himpunan partisi dari masalah. Sebuah relaksasi LP
berdasarkan B&B dengan formulasi yang telah dikembangkan untuk menemukan
solusi optimal. Kemudian, persoalan direduksi ke dalam persoalan generalisasi
penugasan.
Persoalan [P ] memuat tiga himpunan dari variabel x,y dan z. Keputusan
untuk tidak membuka sebuah pabrik yaitu zk = 0 berpengaruh kuat terhadap variabel yang lain. Dalam observasi, pemilihan yang tepat akan jumlah dan lokasi
dari pabrik, pada kenyataannya memungkinkan pengaruh yang besar terhadap
biaya operasional. Hal ini diikuti dengan keputusan tentang fasilitas dan penugasan pelanggan secara individual. Pada titik sumber, dua buah batas bawah
yang diusulkan oleh Martello dan Toth (1990), solusi dari GAP untuk masalah
yang lebih besar memungkinkan untuk mendapatkan batas bawah terbaik dan
dapat ditentukan sebagai batas bawah untuk [P ].
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN
Dalam persoalan lokasi berkapasitas dengan dua eselon dan satu sumber, setiap pelanggan menerima persediaan dari tepat satu pabrik melalui fasilitas eselon kedua (gudang) yang terbatas dan hanya dapat disediakan dari satu fasilitas
eselon pertama (pabrik) dan setiap pelanggan hanya dilayani oleh tepat satu fasilitas. Sedemikian dengan model menjadi lebih besar bahkan untuk persoalan
yang berukuran sedang dimana sangat penting untuk mendapatkan model yang
optimal atau dekat dengan solusi optimal. Dalam tulisan ini diusulkan untuk
menggunakan relaksasi lagrangian berdasarkan B&B.
23
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Ahlander, F. 1994. The capacitated facility location problem with single sourching.
LiTH-MAT-EX -1994-07. Lingkoping University. Sweden
Arya, V., Garg, N., Khandekar, R., Meyerson, A., Pandit, V. 2004. Local search
heuristics for k-median and facility location problem. Siam J. Comput. Vol
33, No.3, 544-562
Avella, V., M. Boccia. 2011. A cutting plane algorithm for the capacitated facility
location. Computational Optimization and Application. Vol 43, 39-65.
Beasley, J.E. 1993. An algorithm for solving capacitated warehouse location problem European Journal of Operational Research. Vol 33, 314-325.
Christofides,N., J.E. Beasley. 1987. Extensions to a lagrangian relaxation approach
for the capacitated plant location problem.European Journal of Operational
Research. Vol 12, 19-28.
Cortinhal, M.J, M.E. Captivo. 2003. Upper and lower for the single source capacitated location problem. European Journal Of Operation Research. Vol 151,
333-351
Doyen, A., Aras, N., Barbarosoglu, G. 2012. A two-echelon stochastic facility location model for humanitarian relief logistics. Optim Lett. Vol 6, 1123-1145.
Erlenkotter, D. 1998. A dual based procedure for uncapacitated location problem.Computers and Operation Research . Vol 18, 263-274.
Gendron, B., F. Semet. 2010. Formulations and relaxations for a multi-echelon capacitated location-distribution problem. Computers and Operation Research.
Vol 36, 1335-1355.
Holmberg, K., Ronnqvist, D., Yuan, D. 1999. An exact algorithm for the capacitated facility location problem with single sourching. European Journal of
Operational Research. Vol 113, 544-559.
Litvincef, I., Espinosa, E.L. 2011. Lagrangian bounds and heuristic for the capacitated location problem. Department of Systems Engineering. Universidad
Autonoma de Nuevo Leon, Mexico.
Liu, Z., X. Zhu. 2011. Capacitated fuzzy two-stage location-allocation problem.
International Journal of Innovative Computing, Information and Control.
Vol 3, 987-999.
Marin, A., B. Pelegrin. 2010. Applying Lagrangian relaxation to the solution of
two-stage location problem. Annals of Operation Research. Vol 86, 179-198.
Martello, S., Toth, P. 1990. Knapsack problems,algorithms, and computer implementations. Wiley. New York
Nauss, R.M.. 1998. An improved algorithm for the capacitated facility location
problem location problem. Journal of Operation Research. Vol 29, No.3, 11951201
24
Universitas Sumatera Utara
25
Pirkull, H. 1987. Efficient algorithm for the capacitated concetrator location problem. Compuiter and Operation Research. Vol 14, 197-208.
Prins, C., Prodhon, C. 2007. Solving the capacitated location routing problem by a
cooperative lagrangian relaxation granular tabu search heuristic. Transportation Station. Vol 41, No.2, 470-483.
Tragantalerngsak, S., Holt, J., Ronnqvist, M. 2000. An exact method for the twoechelon, single-source, capacitated facility location Problem. European Journal Operational Research. Vol 123, 473-489.
Universitas Sumatera Utara