Potret Fase Sistem Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
31
Definisi 2.9: Hale Kocak, 1991: 266
Titik ekuilibrium cy pada sistem otonomus pada bidang c = dc dikatakan
stabil jika untuk setiap Q 0 terdapat R 0 sedemikian hingga untuk setiap c
e
dengan kc
e
− cyk R, solusi , c
e
dari c = dc melalui c
e
saat = 0
memenuhi pertidaksamaan
k , c
e
− cyk Q untuk semua S 0. Titik ekuilibrium
cy dikatakan tak stabil jika terdapat z 0 sedemikian hingga untuk
setiap R 0 terdapat c
e
dengan
kc
e
− cyk R dan
c
e
0 sedemikian hingga k
c
e
, c
e
− cyk = z.
Definisi 2.10: Hale Kocak, 1991: 266
Titik ekuilibrium
cy dikatakan stabil asimtotik jika stabil dan terdapat
T 0 sedemikian hingga k , c
e
− cyk → 0 untuk → + untuk setiap c
e
yang memenuhi kc
e
− cyk T.
Ilustrasi kestabilan titik ekuilibrium cy sistem otonomus dapat dilihat pada
Gambar 16 berikut:
a b
Gambar 16. a Titik ekuilibrium cy stabil, dan
b titik ekuilibrium
cy stabil asimtotik
32
Diberikan sistem linier c = {c
2.22
dengan c ∈ ℝ
.
, { matriks 2 × 2 dan
c = c
= } c
c
.
~.
Solusi dari sistem 2.22 dengan nilai awal c0 = c
e
untuk semua
∈ ℝ adalah
c = ,
{
c
e
. Solusi
c = ,
{
c
e
merupakan solusi tunggal dari sistem linier 2.22, dapat dilihat pada Teorema 5.1 Lampiran 1.c.
Definisi 2.11: Perko, 2001: 12
Misal { adalah matriks • × •, maka untuk ∈ ℝ,
,
{
= € {
• •
‚ .
•„
Definisi 2.12: Anton, 1998: 277
Misalkan
{ adalah matriks • × •, maka vektor tak nol … di dalam ℝ
†
dinamakan vektor eigen dari matriks
{ jika {… adalah kelipatan skalar dari …
yakni {… = ‡…
2.23
untuk suatu skalar
‡ ∈ ℂ. Skalar ‡ dinamakan nilai eigen dari matriks { dan …
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan ‡.
33
Untuk mencari nilai eigen matriks {, maka persamaan 2.23 dapat ditulis
{ − ‡‰… = 0 2.24
dengan
‰ adalah matriks identitas.
Persamaan 2.24 akan mempunyai solusi non trivial tak tunggal jika
dan hanya jika , { − ‡‰ = 0,
2.25 persamaan
2.25 disebut polinomial karakteristik dari {. Solusi dari sistem 2.22 dapat dinyatakan dalam bentuk kanonik yakni
c = Š,
Š
?i
{Š
Š
-
c
e
.
Dalam hal ini terdapat tiga kasus, yakni: 1.
Jika matriks { mempunyai nilai eigen real berbeda misal ‡
dan ‡
.
, maka menurut Teorema 5.2 Lampiran 1.d dan Definisi 2.11:
,
Š
?i
{Š
= ,
‹
x
‹
N
+
= ,
‹
x
,
‹
N
+, sehingga
c = Š ,
‹
x
,
‹
N
+ Š
-
c
e
. 2.26
2. Jika matriks
{ mempunyai nilai eigen kembar misal ‡, maka menurut
Definisi 2.11, Lemma 5.1Lampiran 1.a dan Teorema 5.2 Lampiran 1.d: ,
Š
?i
{Š
= ,
0‹ ‹2
= ,
‹
010 12, sehingga
c = Š,
‹
010 12Š
-
c
e
. 2.27
34
3. Jika matriks
{ mempunyai nilai eigen kompleks misal ‡ = 6 + b7, maka menurut Definisi 2.11, Teorema 5.2 Lampiran 1.d dan polinomial Taylor
Lampiran 1.f: ,
Š
?i
{Š
= ,
: - :+
= ,
:
cos 7 sin 7
− sin 7 cos 7 +, sehingga
c = Š,
:
cos 7 sin 7
− sin 7 cos 7 + Š
-
c
e
. 2.28
Kestabilan titik ekuilibrium pada sistem linier
c = {c dapat ditentukan
dengan melihat nilai-nilai eigen dari matriks {.
Teorema 2.3: Hale Kocak, 1991: 266
Jika setiap nilai eigen dari matriks koefisien
{ pada sistem linier c = {c
mempunyai bagian real negatif, maka titik ekuilibrium
cy = e stabil asimtotik.
Selain itu, terdapat konstanta posistif • dan 6 sedemikian hingga
k,
{
c
e
k ≤ •,
-:
kc
e
k untuk semua S 0, c
e
∈ ℝ
j
. 2.29
Jika terdapat nilai eigen dari matriks koefisien
{ mempunyai bagian real
positif, maka titik ekuilibrium
cy = e tak stabil.
Bukti: Perhatikan bahwa persamaan 2.26, 2.27, atau 2.28 merupakan solusi
sistem 2.22 yang bergantung pada nilai eigen dari matriks {.
Jika semua •,‡
`
0, b = 1, 2 dari matriks {, maka c → e, untuk → ∞. Jadi dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium cy = e stabil asimtotik jika
semua nilai eigen { mempunyai bagian real negatif.
35
Jika semua nilai eigen dari
{ mempunyai bagian real negatif, maka
menurut bentuk kanonik Jordan terdapat konstanta positif 6 dan • sedemikian
hingga untuk semua c
e
∈ ℝ
j
memenuhi
k,
{
c
e
k ≤ •,
-:
kc
e
k. Jika terdapat nilai eigen dari
{ yang mempunyai bagian real positif, maka c ↛ e, untuk → ∞. Jadi dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium cy = e tak
stabil jika terdapat nilai eigen
{ mempunyai bagian real positif. ∎
Contoh 2.11: Diberikan sistem linier
c = 0−1 −3 2
4 2 c, c0 = c
e
. 2.30
Kestabilan titik ekuilibrium
cy = e dapat ditentukan dengan menggunakan
Teorema 2.3. Nilai eigen sistem 2.30 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan
2.25 yakni , 0−1 − ‡
−3 2
4 − ‡2 = 0 ⟺ −1 − ‡4 − ‡ + 6 = 0
⟺ ‡
.
− 3‡ + 2 = 0 ⟺ ‡ − 2‡ − 1 = 0
2.31 Dari persamaan
2.31 diperoleh nilai eigen dari matriks { adalah ‡ = 2
dan ‡
.
= 1, sehingga dengan menggunakan Teorema 2.3 dapat disimpukan bahwa titik ekuilibrium
cy = e tak stabil. Solusi sistem 2.30 dapat ditentukan dengan
menggunakan persamaan 2.26.
36
Untuk ‡
= 2, maka 0−3 −3
2 2 2 0
.
2 = 0002, sehingga dengan menggunakan operasi baris elementer diperoleh
+
.
= 0. Misal
.
= , maka = − . Vektor eigen yang bersesuaian dengan ‡
= 2 adalah
…
i
= 0−1 1 2 .
Untuk ‡
.
= 1, maka 0−2 −3
2 3 2 0
.
2 = 0002, sehingga dengan menggunakan operasi baris elementer diperoleh
2 + 3
.
= 0. Misal
.
= , maka = −
H .
. Vektor eigen yang bersesuaian dengan ‡
.
= 1
adalah …
j
= ’−
H .
1 “ . Vektor eigen sistem linier 2.30 adalah 0−1
1 2
dan
’−
H .
1
“,
sehingga diperoleh matriks transformasi Š = ’−1 −
H .
1 1
“, dengan Š
-
= 0 2 3
−2 −22. Solusi dari sistem 2.30 dengan menggunakan persamaan 2.26 diperoleh
c = ”−1 − 3
2 1
1 • 0,
.
0 , 2 0 2
3 −2 −22 c
e
= ’−2 − 3
.
,
.
+ 3 + 3
.
, 2
+ 3
.
,
.
+ −2 − 2
.
, “.
37