MATEMATIKA IV 2

1

(11)

Selesaikan

dy
( y  4 x ) 2
dx

Jawab : Ditulis dy = (y – 4x)2 dx. Transformasi y – 4x = v, dy = 4dx + dv.
Menyusutkan persamaan menjadi 4 dx + dv = v2 dx
Maka x 

1 v2
In
c1
4 v 2



In

atau dx 

dv
0 ,
v  4
2

v2
In C  4 x
v 2

v2
y  4x  2
ce  4 x dan
Ce  4 x
v 2
y  4x  2

(12)

Selesaikan tan2 (x + y) dx – dy =
Jawab : Transformasi x + y = v



menjadi (tan2 v) dx  (dv – dx) = 0



dy = dv – dx menyusutkan persamaan
dx 

dv
0
1  tan 2 v

atau dx – cos2 v dv = 0. Integrasi memberikan
x

(13)

1
1
v  sin 2v c1
2
v

dan 2 x  y  c  sin 2 x  y 

Selesaikan 2  2 x 2 y  y dx   x 2 2  2  x dy 0
1

Jawab : Transformasi v  x 2 y 2 , y 

v2
2v
4v 2
,

dy
dv

dx memberikan
x4
x4
x5

 2  2v  v 2 dx  x v  2  2v dv 

4v 2 
dx  0 atau
x4
x5
 x4

dx 2 dv 1 dv
v  3  v  dx  x v  2  dv 0. Maka



0
x
3 v
3 v 3
3 In x  2 In v  In  v  3 In c1 , x 3 c1v 2  v  3 dan
1
1
1 c1 xy  x 2 y 2  3  atau xy x 2 y 2  3  C





(14)

Selesaikan  2 x 2  3 y 2  7  x dx  3x 2  2 y 2  8 y dy 0
Jawab : Transformasi x 2  u, y 2 v, du 2 x dx, dv 2 y dy

 2u  3v  7  du   3u  2v  8 dv 0. Transfomasi u s  2, v t  1
memberikan persamaan homogen  2 s  3t  ds   3s  2t  dt 0

dan transformasis rt , ds r dt  t dr memberikan

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

BAMBANG S. HUTOMO
MATEMATIKA IV

2
2 r 2  1dt   2r  3t dr 0 Dengan memisahkan variabel.Kita peroleh'
dt
2r  3
dt
dr
5 dr
2 | 2
dr 2


0
t

t
r 1 2 r  1
r 1
maka 4 In t  In  r  1  5I n  r  1 In C
t 4  r  1
 s  t   u  v  1    x 2  y 2  1 C



r 1
s t
x2  y2  3
 u  v  3
5

dan  x 2  y 2  15 C  x 2  y 2  3

(15)

Selesaikan x 2  x dx  y dy   y  x dy  y dx  0

1
y
2
2
2
Jawab : x dx  y dy  d  x  y  dan x dy  y dx  x d  x 


2

y

Substitusi x2 + y2 =  2 ,

tan  atau x   cos 

x

y   sin  ; dx   sin   cos  d , dy   cos  d  sin  d



Persamaan yang diberikan berbentuk  2 cos 2    dρ    sin   2 d
atau d  tan  sec  d 0. Maka   sec  c1
 x 1
x2  y2 
 c1
 x 

(16)

dan

x

2





 y 2  x  1 2 Cx 2

Selesaikan 2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0
M

N





3
Jawab : y  y  2 x  3 y  3, x  x  3 x  y  1 3

Jadi

M
N


, berarti persamaan di atas adalah eksak
y
y

1
2

2 x 3  3 y dx  x 4  3 xy    y 
Misalkan   x, y  
x

3 x  '  y   N  x, y  3 x  y  1, '  y   y  1
y
1
  y   y 2  1. Persamaan memberikan :
2
1 4
1
x  3 xy  y 2  y c1 atau x 4  6 xy  y 2  2 y C
2
2

(17)





2





Selesaikan x 2 e xy  4 x 3 dx  2 xy e xy 2  3 y 2 dy 0
Jawab :

M
 2 xy 2

y e
 4 x 3 2 y e xy 2  2 xy 3 e xy 2
y
y
N


2 xy e xy 2  3 y 2 2 y e xy 2  2 xy 3 e xy 2
y
x



M



N

Jelas y  x dan persamaan di atas adalah eksak.

 y 2 e xy 2  4 x 3 dx e xy 2  x 4    y 
Misalkan   x, y   
x

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

BAMBANG S. HUTOMO
MATEMATIKA IV

3

2 xy e xy 2  '  y  2 xy e xy 2  3 y 2  '  y   3 y 2
y

  y   y 3 dan penyelesaiannya e xy 2  x 4  y 3 C

BILANGAN KOMPLEKS
z = x + j y x disebut bagian riil dan j y disebut bagian imajinasi (khayal). Dimana
disebut bilangan imajiner.
=
=jx4=4j

Garis bilangan rill

Garis bilangan khayal
z = x + jy

,

z = bilangan kompleks
x = bilangan rill
y = bilangan rill

z1 = a + j b dan z2 = C + jd jika dan hanya jika a = c dan b = d
j
2 z5
z2

z1
1
-3 -2

r

-1

z3

1 2
-1
-2

x6

3

x

z4

z 1= + 3 + j2
z2 = – 3 + j2
z3 = –3 – j2
z4 = 3 – j2
z5 = 2j
z6 = – 2j

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB

BAMBANG S. HUTOMO
MATEMATIKA IV

4

Bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri z = x + j y
y

x = cos 
y = r sin 

z
r


z = r cos  + j sin 
x

disebut modulus dari z
disebut argumen dari z.
Rumus ever : z = r cos  + j r sin  = r ej
Bilangan kompleks dalam bentuk eksponesial diubah menjadi bentuk polar : z = re j = r
Biasanya  = dalam derajat.
Jadi 4 bentuk bilangan kompleks.
1.
2.
3.
4.

Rectangular
Polar
Eksponendial
Trigonometri

:
:
:
:

z=x+jy
z=r