Permodelan indeks harga saham gabungan dan penentuan rank correlation dengan menggunakan copula
PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN
PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN
MENGGUNAKAN COPULA
IKA SYATTWA BRAMANTYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI KARYA ILMIAH DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa karya ilmiah berjudul Pemodelan
Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan
Menggunakan Copula adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir karya ilmiah ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya ilmiah saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ika Syattwa Bramantya
NIM G54100066
ABSTRAK
IKA SYATTWA BRAMANTYA. Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan
dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula. Dibimbing oleh
RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA.
Indeks saham merupakan nilai dari gabungan banyak saham di mana
datanya berupa financial time series yang memiliki karakteristik sebaran fat tail.
Data yang memiliki sebaran fat tail merupakan data yang tidak menyebar normal
karena data tersebut memiliki ekor sebaran yang tebal. Metode rank correlation
dapat digunakan untuk menganalisis korelasi antarindeks saham yang tidak
menyebar normal dan metode ini hanya bergantung pada copula. Data yang
digunakan pada karya ilmiah ini berasal dari data harian indeks saham Jerman
(DAX) dan Jepang (NIK) yang diambil dari tanggal 27 April 1993 sampai
tanggal 20 Juni 2000. Untuk menentukan korelasinya, model terbaik perlu
ditentukan dahulu dengan menggunakan ARIMA. Selanjutnya, data dimodelkan
dengan GARCH untuk menghilangkan efek heteroskedastisitas. Setelah itu, data
diuji dengan menggunakan metode canonical maximum likelihood untuk
menentukan copula terbaik dan korelasinya dengan metode rank correlation.
Model terbaik untuk indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan
untuk indeks saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik
yang didapatkan ialah copula dan untuk hasil analisis korelasi antarindeks
menunjukan tingkat korelasi antarindeks di atas berkorelasi positif lemah.
Kata kunci: Indeks saham, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.
ABSTRACT
IKA SYATTWA BRAMANTYA. Stock Exchange Composite Index Modeling
and the Determination of Rank Correlation by Using Copula. Supervised by
RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.
Stock index is a composite value of many stocks, where its data type is
financial time series with fat tail distribution characteristic. Data with fat tail
distribution doesn’t normally distribute since the data has heavy distribution’s tail.
Rank correlation method, which depends on copula, can be used to analyze
correlation among stock indices which doesn’t normally distribute. Data in this
work come from daily data of Germany Stock Index (DAX) and Japan Stock
Index (NIK) which taken from April 27th 1993 until June 20th 2000. In order to
find out the correlation, the best model should be specified first through ARIMA.
After that, the data is modeled by using GARCH to eliminate heteroskedasticity’s
effect. Then, the data is examined by using canonical maximum likelihood
method for finding the best copula and determine the correlation. It is found that
the best model for DAX stock index is ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) and that for
NIK stock index is ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0), where the best copula is
copula. Additionally it is shown a weakly positive correlation among stock indices.
Key words: Stock index, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.
PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN
PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN
MENGGUNAKAN COPULA
IKA SYATTWA BRAMANTYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari ini ialah copula,
dengan judul Permodelan Indeks Saham Gabungan dan Penentuan Rank
Correlation dengan Menggunakan Copula.
Terima kasih penulis ucapkan terima kasih kepada Ibu Ir Retno Budiarti,
MS dan Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing saya, serta
Bapak Dr Dony Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math yang telah banyak memberi
saran terkait penyusunan karya ilmiah ini. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada rekan-rekan di forum Stack-Exchange dan Matlab Central yang
sudah membantu saya dalam menyusun kode-kode program yang saya
pergunakan dalam karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada bapak, ibu, serta seluruh keluarga dan teman-teman, atas segala doa, kasih
sayang, serta dukungan moril kepada saya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Ika Syattwa Bramantya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
METODE
12
Alat
13
Tahapan Penelitian
14
HASIL DAN PEMBAHASAN
15
Model ARIMA
16
Model ARIMA-GARCH
19
Copula
21
SIMPULAN DAN SARAN
23
Simpulan
23
Saran
23
DAFTAR PUSTAKA
24
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
41
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
Hasil uji ADF
Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX
Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK
Hasil pengujian ARCH-LM
Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX
Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK
Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan ARIMA-GARCH
Hasil uji Jarque-Bera
16
18
18
19
19
20
20
21
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Plot contoh data stasioner
Plot contoh data tidak stasioner
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 14 Juli 2003
Hasil uji ADF pada data asli indeks saham DAX
Hasil uji ADF pada DAX setelah pembedaan satu kali
Hasil uji ADF pada data asli indeks saham NIK
Hasil uji ADF pada NIK setelah pembedaan satu kali
Hasil model ARIMA (2,1,3) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (3,1,2) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (2,1,2) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (1,1,0) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (0,1,1) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (1,1,1) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada indeks DAX
Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (2,1) pada indeks DAX
Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (1,1) pada indeks NIK
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2) pada DAX
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada DAX
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1) pada NIK
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada NIK
Hasil uji Jarque-Bera ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX
Hasil uji Jarque-Bera ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Hasil uji distribusi ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX
Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Plot contoh vertex
Plot nilai indeks saham DAX
Plot nilai indeks saham NIK
Plot ACF untuk indeks DAX
Plot PACF untuk indeks DAX
Plot ACF untuk indeks NIK
Plot PACF untuk indeks NIK
Plot Residual pada indeks DAX
Plot Residual pada indeks NIK
6
6
8
15
15
16
17
17
17
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
26
28
28
28
28
29
29
30
30
31
31
32
33
34
35
36
36
37
37
38
38
39
39
39
25 Hasil estimasi parameter copula
26 Hasil uji rank correlation
40
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saham adalah satu instrumen investasi yang nilai jualnya berdasarkan
kinerja perusahaan penerbit saham dan diperdagangkan di bursa saham dengan
imbal hasil sejumlah tertentu tergantung jenis sahamnya. Sedangkan, Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG) adalah suatu nilai yang berfungsi sebagai
pengukuran kinerja suatu saham gabungan di bursa efek (Sunariyah 2003).
Nilai indeks saham sendiri dihitung berdasarkan nilai indeks seluruh saham
(metode penghitungan nilai tergantung bursa tersebut) yang diperdagangkan di
bursa itu. Misalkan, Dow Jones Average adalah bursa saham yang terdiri dari 30
perusahaan besar (blue chip) dan nilai indeksnya dihitung berdasarkan indeks 30
perusahaan tersebut. Karena indeks saham merupakan kumpulan saham-saham,
maka resiko yang terkandung didalam indeks saham kurang lebih sama dengan
resiko pada saham itu sendiri.
Pergerakan pasar yang tidak pasti memunculkan risiko yang bisa berasal
dari internal perusahaan penerbit saham seperti laporan keuntungan atau kondisi
keuangan perusahaan ataupun dari eksternal pasar seperti sentimen pasar,
perkembangan politik dan sosial negara, dan lain-lain. Sehingga, manajemen yang
baik mutlak diperlukan dalam mengelola risiko-risiko yang mungkin muncul.
Pada ilmu studi konvensional aset-aset yang ada diasumsikan saling bebas
padahal dalam kenyataannya di jaman pasar global seperti ini aset-aset tersebut
tidak sepenuhnya bebas karena setiap bursa saham yang ada hampir dipastikan
saling berinteraksi, baik secara langsung maupun tak langsung. Pada studi
kontemporer hubungan antar satu aset dengan yang lainnya dapat dimodelkan
dengan sebuah fungsi yang bernama copula.
Copula sendiri adalah sebuah fungsi yang menggabungkan dua atau lebih
fungsi sebaran multivariate dimana copula mengambil fungsi marjinal dari tiap
sebaran tersebut dan dijadikan sebagai sebuah fungsi marjinal satu dimensi yang
normal baku (nilainya [0,1]) (McNeill et al. 2005). Dalam ilmu ekonomi fungsi
marjinal merupakan fungsi yang menggambarkan risiko suatu aset, baik risiko
untung maupun risiko rugi, namun biasanya para analis berfokus pada risiko rugi.
Karena copula menggabungkan dua atau lebih fungsi marjinal yang ada, maka
copula sangat tepat digunakan untuk melihat korelasi antar aset yang ada, dalam
hal ini risiko antar aset yang ada. Untuk menggambarkan korelasi antar aset
dengan benar diperlukan jenis copula yang tepat yang dapat dilihat dari uji
estimasi copula terhadap model yang ada.
2
Perumusan Masalah
Karya ilmiah ini menggunakan dua set data nilai indeks saham gabungan
yang berasal dari bursa saham Jerman DAX (Deutscher Aktien Index) dan bursa
saham Jepang NIK ( Nikkei 225) dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20
Juni 2000. Data ini kemudian dicari model yang terbaik menggunakan metode
ARIMA dan metode GARCH untuk mengatasi masalah heteroskedatisitas pada
model. Pada karya ilmiah ini juga ditentukan hubungan antar dua set data di atas
dengan menggunakan uji mutual dependensi yang untuk selanjutnya ditentukan
pula parameter-parameter dari tiap jenis copula dan copula terbaik menggunakan
metode Canonical Maximum Likelihood. Copula yang diuji pada karya ilmiah ini
adalah copula Gauss, Gumbel, Frank, Clayton, dan t.
Tujuan Penelitian
Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Mencari model terbaik dari dua data indeks saham gabungan dengan
menggunakan model ARIMA-GARCH.
2. Mencari copula terbaik yang bisa menggambarkan keterkaitan antar dua
set data indeks saham.
3. Menentukan rank correlation dengan menggunakan metode copula.
Manfaat Penelitian
Hasil karya ilmiah ini dapat digunakan untuk mengatasi masalah analisis
korelasi antar data yang selama ini terjadi pada data financial time series yang
memiliki sebaran beraneka ragam dan memiliki ekor sebaran yang tebal. Karya
ilmiah ini juga dapat menjadi jawaban atas tuntutan para analis pasar saham yang
menginginkan saham-saham yang ada saling berinteraksi, bukan saling bebas
seperti anggapan para peneliti selama ini. Selain itu, hasil karya ilmiah ini juga
dapat digunakan sebagai bahan untuk analisis korelasi antar aset atau indikator
yang lebih kompleks guna mendapatkan kombinasi aset yang optimal.
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua
kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat
ditentukan dengan tepat disebut sebagai percobaan acak.
(Ross 2003)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu
percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan
bagian dari ruang contoh serta memenuhi,
1.
.
2. Jika
maka ⋃
3. Jika
maka
, dengan
menyatakan komplemen dari .
(Ghahramani 2005)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P adalah suatu fungsi dari medan- ke selang tertutup
[0,1] ( :
[0,1]) yang memenuhi tiga syarat berikut:
1. P(A) 0, untuk setiap A
2. P(S) = 1
3. Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan i, j dengan i j maka
∑
.
⋃
(Roussas 2004)
Definisi 5 (Peubah Acak)
Suatu peubah acak adalah suatu fungsi
dengan sifat bahwa
Ω
, untuk setiap
dengan adalah sebuah medan- dari
suatu ruang contoh Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan
Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepekatan Peluang)
Peubah acak
dikatakan kontinu jika ada fungsi
sebaran
dapat dinyatakan sebagai,
sehingga fungsi
∫
dengan
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak .
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definsi 7 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak
dinyatakan sebagai,
adalah fungsi
yang
4
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 8 (Fungsi Sebaran Bersama)
Misal diberikan dua peubah acak dan dimana fungsi
.
Maka fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak tersebut haruslah memenuhi
persamaan,
(Ghahramani 2005)
Definisi 9 (Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu)
Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
adalah,
asalkan integral di atas konvergen.
∫
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)
Beberapa sifat nilai harapan, antara lain:
1. Jika adalah suatu konstanta, maka
.
2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka
.
3. Jika
adalah konstanta dan
adalah suatu peubah acak, maka
.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 10 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan
adalah nilai
harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang
, maka ragam dan
simpangan baku dari dinotasikan dengan
dan
sama dengan,
[(
=∫
,
dan
√
.
(Ghahramani 2005)
Lema 2 (Sifat Ragam)
Beberapa sifat dari ragam antara lain:
1. Jika suatu konstanta, maka v
2. Jika suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka,
(Ghahramani 2005)
Definisi 11 (Sebaran Normal)
Misalkan diberikan peubah acak kontinu . Peubah acak dikatakan
menyebar normal dengan nilai harapan dan ragam , jika fungsi kepekatan
peluangnya diberikan oleh
√
),
.
5
Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0 dan ragam 1 disebut sebaran
normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki
fungsi kepekatan peluang
,
√
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Strict Stationarity)
Deret waktu
dikatakan strictly stationary jika
(
......,
,
untuk semua
dan untuk semua
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 13 (Covarian Stationarity)
Deret waktu
dikatakan covarian stationary jika terdapat dua
momen pertama dan memenuhi
dimana
didefinisikan sebagai fungsi rata-rata dan
autocovariance dengan persamaannya adalah,
(
)(
sebagai fungsi
)
Definisi 14 (Autocorrelation Function)
Autocorrelation function (ACF),
adalah
(McNeil et al. 2005)
dari proses covarian stationary
,
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 15 (White Noise)
Proses
dikatakan proses white noise jika
covarian stationarity dengan fungsi autokorelasi
{
memenuhi
.
Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam
akan dinotasikan dengan WN(0,
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 16 (Strict White Noise)
Proses
merupakan proses strict white noise jika
merupakan
deret yang bebas stokastik identik, peubah acak dengan ragam berhingga. Proses
strict white noise yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam
akan dinotasikan SWN(0,
(McNeil et al. 2005)
Definisi 17 (Tren dan Kestasioneran Data)
Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan
atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Bila
datanya memiliki tren menandakan data tidak stasioner. Data yang stasioner
adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan.
6
Gambar 1 Plot contoh data stasioner
(
Gambar 2 Plot contoh data tidak stasioner
(Firdaus 2006)
Definisi 18 ( Augmented Dickey-Fuller’s Test)
Augmented Dickey- Fuller’s Test (uji ADP) merupakan salah satu uji akar
unit untuk menguji apakah data sudah stasioner ataukah belum. Jika suatu data
belum stasioner pada orde nol, maka stasioneritas data tersebut bisa dicari melalui
orde berikutnya sehingga diperoleh tingkat stasioneritas pada order ke- . Modelmodel yang dapat dipilih untuk melakukan uji ADF adalah:
(tanpa intersep)
(dengan intersep)
(intersep dengan trend waktu),
dengan merupakan beda pertama dari variabel yang digunakan, variabel tren.
Hipotesis untuk pengujian ini adalah :
(terdapat akar unit, tidak stasioner)
(tidak terdapat akar unit, stasioner)
(Nachrowi dan Usman 2006)
Definisi 19 ( Uji Jarque-Bera)
Uji Jarque-Bera adalah uji untuk pengepasan model terbaik untuk
mencocokan apakah kurva model sudah sesuai dengan kurva normal (data
menyebar normal). Persamaan yang digunakan uji Jarque-Bera adalah
,
dengan n adalah jumlah data yang diuji, S adalah kesimetrisan dari sebaran sampel
dan K adalah ukuran ketinggian puncak kurva (peakedness).
(Jarque dan Bera 1981)
Definisi 20 (Uji ARCH-LM)
Uji ARCH-LM atau Autoregressive Conditionally Heteroscedastic –
Lagrange Multiplier adalah uji untuk menentukan adanya efek ARCH
(heteroskedastisitas) atau tidak. Misalkan
adalah residual dari
digunakan untuk memeriksa heteroskedastisitas
persamaan rata-rata. Barisan
bersyarat atau efek ARCH. Uji ini sama dengan statistik pada umumnya untuk
menguji = 0 (
dalam regresi linear
;
,
di mana adalah jumlah sampel atau banyaknya observasi,
adalah galat,
bilangan bulat.
7
Hipotesis untuk pengujian adalah:
(tidak terdapat efek ARCH)
:
:
(terdapat efek ARCH)
(Engle 1995)
Definisi 21 (Canonical Maximum Likelihood)
Canonical maximum likelihood adalah sebuah metode estimasi parameter
copula dengan mencari nilai maksimum menggunakan fungsi likelihood. Fungsi
likelihood nya sendiri adalah,
̂( )
̂ (
∑
)
,
∑
. Untuk pengestimasi parameter
di mana ̂
copula nya adalah ̂
yang persamaannya adalah,
argmax
artinya ketika
̂
argmax
,
mencapai nilai maksimum saat ̂.
(Giacomini 2005)
Definisi 22 (Model deret waktu ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive
(AR) berordo dan atau terjadi proses Moving Average (MA) berordo .
Pembeda berordo d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal
model ARIMA menginginkan data yang stasioner. Model deret waktu ini
dinotasikan dengan ARIMA (
) dan memiliki bentuk umum sebagai berikut
di mana adalah notasi backshift sehingga,
model AR dan adalah parameter model MA,
,
.
,
adalah parameter
(Cryer 1986)
Definisi 23 (Model Ragam Sisaan ARCH)
Model
Autoregressive
Conditionally
Heteroscedastic
(ARCH)
diperkenalkan oleh Engle. Diberikan
yang SWN(0,1), proses
adalah proses ARCH ( ) jika strictly stationary dan memenuhi persamaan nya
sebagai berikut,
untuk semua
∑
dimana
dan
(McNeil et al. 2005)
Definisi 24 (Model Ragam Sisaan GARCH)
Diberikan
yang SWN (0,1), proses
adalah proses
Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedatic atau GARCH (
) jika
proses tersebut adalah strictly stationary dan memenuhi beberapa proses
yang bernilai positif
, persamaan nya adalah,
∑
∑
,
8
di mana
dan
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 25 (Fungsi)
Diberikan himpunan
dan , sebuah fungsi dari
ke
merupakan
sebuah himpunan pasangan terurut ƒ di
dengan aturan bahwa jika
dan
merupakan elemen-elemen dari ƒ, maka = ʹ. Himpunan dari semua
elemen di mana elemennya merupakan anggota pertama dari elemen-elemen di
ƒ adalah domain pada ƒ dan dinotasikan sebagai D(ƒ). Himpunan dari semua
elemen di mana elemennya merupakan anggota kedua dari elemen-elemen di ƒ
adalah range pada ƒ (atau himpunan nilai pada ƒ) dan dinotasikan sebagai R(ƒ).
(Bartle dan Sherbert 2011)
Definisi 26 ( Copula)
Sebuah fungsi berdimensi 2 dikatakan fungsi copula jika memenuhi tiga
sifat berikut:
1. Dom
x , dimana dan adalah subset-subset di =[0,1].
2.
adalah grounded dan 2-increasing.
3.
di dan
di ,
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 27 (Grounded)
Misalkan
memiliki elemen terkecil masing-masing
fungsi dari
pada dikatakan grounded jika,
pada
dan
. Maka
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 28 (Vertex)
Dalam teori graf, vertex adalah titik atau pojok dimana dua garis lurus atau
lebih bertemu. Contoh ilustrasi dari vertex adalah sebagai berikut,
Gambar 3 Plot contoh vertex
(Chartrand 1985)
Definisi 29 (2-increasing)
Diberikan sebuah fungsi real dua dimensi sehingga Dom =
,
merupakan persegi yang semua
kemudian diberikan
vertex nya berada di Dom . Maka volume pada adalah,
9
+
Diberikan sebuah fungsi real 2 dimensi, fungsi ini disebut 2-increasing jika
untuk setiap persegi yang vertex nya berada di Dom .
(Nelsen 2005)
Definisi 30 (Teorema Sklar)
Diberikan fungsi sebaran bersama dengan fungsi marjinalnya dan .
Maka ada copula untuk setiap
dalam ,
(
)
jika dan kontinu, maka unik dan berlaku sebaliknya.
(Nelsen 2005)
Definisi 31 (Copula Archimedean)
Jika diberikan
yang merupakan pembangkit copula
Archimedean , maka
).
(
(McNeil et al. 2005)
Lema 3 (Sifat Copula Archimedean)
Diberikan sebagai copula Archimedean dengan pembangkit , maka
1.
simetris yang berarti
di
2.
asosiatif yang berarti
(
)
di
3. Jika
merupakan konstanta, maka
adalah pembangkit bagi
(Nelsen 2005)
Definisi 32 (Copula Gumbel)
Copula Gumbel atau copula Gumbel-Hougaard adalah copula yang
memenuhi persamaan berikut
],
di mana
.
(Schmidt 2006)
Definisi 33 (Copula Clayton)
Persamaan umum dari copula Clayton adalah sebagai berikut
di mana
.
{
}
,
(Schmidt 2006)
Definisi 34 (Copula Frank)
Persamaan umum dari copula Frank adalah sebagai berikut
untuk
.
(
)(
)
),
(Schmidt 2006)
Definisi 35 (Copula Gaussian)
Copula Gaussian 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan
berikut
(
),
di mana, adalah fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal dan
adalah
fungsi sebaran dua dimensi dari sebaran normal yang memiliki mean 0 dan
matriks kovarian . Matriks kovarian memiliki persamaan sebagai berikut,
10
.
(Schmidt 2006)
Definisi 36 (Copula Student’s )
Persamaan Copula- 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan
berikut,
(
)
dimana
adalah sebaran multivariate, adalah sebaran univariate, adalah
matriks kovarian di mana
, dan adalah derajat kebebasan dari sebaran
dan
(Schmidt 2006)
Definisi 37 (Kebebasan)
Peubah acak kontinu X dan Y dikatakan independen atau saling bebas jika
dan hanya jika,
,
,
merupakan fungsi kepekatan peluang bagi
dan
,
di mana
dan
adalah fungsi sebaran marjinal bagi X dan Y.
(Ghahramani.2005)
Definisi 38 (Dependence Measures)
Diberikan peubah acak bernilai real dan ,
sebagai dependency
measures yang bernilai real dan berkorespondensi dengan setiap pasangan peubah
acak dan bila memenuhi,
1.
, syarat kesimetrisan.
2.
, syarat kenormalan
3.
, syarat comonotonic.
=-1, syarat countermonotonic.
4. untuk
strictly monotonic pada selang di .
={
(Embrechts et al. 2001)
Definisi 39 (Strictly Monotonic)
Diberikan subset dari , dan diberikan fungsi dari
, maka
dikatakan strictly monotonic jika salah satu kondisi berikut terpenuhi,
1.
maka
(strictly increasing)
2.
, maka
(strictly decreasing)
untuk
(Aliprantis dan Burkinshaw 1990)
Definisi 40 (Comonotonicity dan Countermonotonicity)
Diberikan peubah acak
disebut comonotonic jika dan hanya
jika,
,
untuk peubah acak Z dan fungsi naik
. Sedangkan peubah acak
disebut countermonotonic jika dan hanya jika,
untuk peubah acak Z dengan fungsi naik
,
dan fungsi turun
vice versa.
(McNeil et al. 2005)
11
Definisi 41 (Equality in Distribution)
Diberikan peubah acak dan dimana
distribution (
jika,
dan
dikatakan equal in
(Castaneda et.al 2012)
Definisi 42 (Pearson’s Linear Correlation)
Pearson’s linear correlation merupakan dependence yang paling umum
digunakan karena uji nya yang sederhana. Uji ini menentukan derajat dan arah
hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya secara linier. Misal,
diberikan peubah acak tak turun X dan Y, maka koefisien linear correlation nya
adalah,
,
di mana
adalah kovarian antara X dan Y,
deviasi untuk peubah acak X dan Y.
dan
adalah standar
(Embrechts et al. 2001)
Definisi 43 (Rank Correlation)
Tingkat korelasi atau rank correlation merupakan dependence measure
skalar sederhana yang hanya bergantung dengan sebaran copula bivariate dan
tidak bergantung pada sebaran marjinalnya. Untuk mencari tingkat korelasi ada
dua cara yang bisa digunakan yaitu dengan mencari Kendall’s tau atau dengan
Spearman’s rho. Kelebihan rank correlation dibandingkan dengan Pearson’s
linear correlation ialah:
1. Rank correlation mampu mendeteksi zero dependence sedangkan
Pearson linear correlation tidak karena kebebasan antar variabel
berimplikasi korelasi bernilai nol sedangkan korelasi bernilai nol belum
tentu antar variabel saling bebas (independent).
2. Pearson linear correlation hanya mampu mendeteksi dependence pada
variabel yang menyebar normal karena linear correlation tidak bisa
menentukan kapan variance dari peubah acak X atau Y terbatas atau tak
terbatas.
3. Rank correlation mampu mendeteksi dependence pada sebaran yang
memiliki fat tail sedangkan Pearson linear correlation tidak karena
karakteristik sebaran tersebut dimiliki oleh sebaran selain sebaran
normal dan sehingga linear correlation tidak cocok untuk dijadikan uji
pada data-data financial time series.
( McNeil et al. 2005)
Definisi 44 (Concordant dan Discordant)
Diberikan pasangan peubah acak
dan
disebut concordant
jika
dan
atau jika
dan
, sedangkan
dan
disebut discordant jika
dan
atau jika
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 45 (Kendall’s Tau Rank Correlation)
Kendall’s rank correlation adalah uji yang mencari selisih antara peluang
concordant dengan peluang discordant. Kendall’s tau sendiri memiliki persamaan
sebagai berikut
12
di mana
,
∫ ∫
merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y.
(Cherubini et al. 2004 )
Definisi 46 (Spearman’s Rho Rank Correlation)
Spearman’s rho yang dinotasikan dengan ρ adalah uji dengan mencari
selisih proposional antara peluang concordant dengan peluang discordant peubah
yang memiliki marjinal yang sama tapi variabel
acak (
dan
pertama memiliki fungsi sebaran bersama dan peubah acak lainnya independen :
∫ ∫
di mana
merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y.
(Cherubini et al. 2004 )
METODE
Data dan Analisis
Pada penelitian ini data yang digunakan merupakan data sekunder dari nilai
indeks saham gabungan dua bursa saham yang berbeda. Data yang pertama
merupakan data yang berasal dari indeks saham DAX (Deutscher Aktien Index)
dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20 Juni 2000 dan data yang kedua
merupakan data yang berasal dari indeks saham NIK ( Nikkei 225) dan diambil
dalam jangka waktu yang sama dengan data yang pertama. Indeks saham DAX
terdiri dari saham-saham blue chip dari 30 perusahaan besar Jerman dan sahamsaham ini diperdagangkan di pasar saham Frankfurt. Indeks saham NIK terdiri
dari saham-saham seluruh perusahaan yang ada di Jepang dan saham-saham ini
diperdagangkan di pasar saham Tokyo. Pengambilan data tidak menggunakan
data yang termutakhir karena pada selang waktu itu sedang terjadi krisis moneter
di seluruh dunia yang juga Indonesia terkena dampaknya sehingga menurut
penulis data ini sangat ideal untuk dijadikan sampel menguji korelasi antar pasar
saham walaupun pasar saham itu tidak berasal dari negara yang sama bahkan
berbeda regional dan benua.
Langkah yang pertama yang dilakukan adalah mencari model yang terbaik
pada data untuk analisis lebih lanjut dengan menggunakan metode ARIMA.
Metode ARIMA ini digunakan karena data yang digunakan merupakan data deret
waktu non stasioner. Setelah didapatkan model yang terbaik, langkah selanjutnya
ialah mengatasi masalah heteroskedastisitas (ragam pada residual model untuk
semua pengamatan belum stasioner) pada model dengan metode GARCH.
Selanjutnya, residual model yang telah didapatkan akan diuji untuk melihat
adanya mutual dependensi antar data atau tidak dan residual data akan dicari
distribusi dari tiap residual. Hal ini bertujuan untuk memastikan bahwa ada
keterkaitan antar data dan metode rank correlation dapat digunakan pada data.
Langkah selanjutnya adalah menentukan copula terbaik dari residual model yang
dapat mengkorelasikan kedua model yang ada. Penentuan copula terbaik sangat
penting karena metode rank correlation hanya bergantung pada jenis copula yang
13
digunakan. Langkah terakhir, menentukan nilai korelasi dengan menggunakan
metode rank correlation.
Alat
Untuk melakukan penelitian ini setidaknya digunakan dua software yang
utama yaitu E-views version 6 dan Matlab R2010a. Software E-views sendiri
digunakan untuk melakukan permodelan ARIMA-GARCH dan software Matlab
digunakan untuk melakukan serangkaian uji pendukung dan mengestimasi
parameter copula guna mencari copula yang terbaik serta menentukan tingkat
korelasi antar data. Sedangkan, untuk software pendukung digunakan Minitab 15
memvisualisasikan model yang sudah didapatkan.
14
Tahapan Penelitian
Pengujian data (apakah
sudah stasioner atau belum)
Menguji adanya efek
heteroskedastisitas pada
data
Menghilangkan efek
heteroskedastisitas dengan
metode GARCH
Penentuan tingkat korelasi
dengan metode
Spearman's rho dan
Kendall's tau
Mencari ACF dan PACF
sebagai perkiraan indeks
AR dan MA
Menentukan model pada
data dengan menggunakan
metode ARIMA
Pengujian mutual
dependensi pada data untuk
melihat korelasi
antarindeks
Penentuan copula terbaik
dengan menggunakan metode
Canonical Maximum
Likelihood
15
HASIL DAN PEMBAHASAN
Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, pada skripsi ini digunakan dua
set data nilai indeks saham DAX dan NIK dari tanggal 27 April 1993 sampai
dengan 14 Juli 2003 dimana data ini diambil dari [finance.yahoo.com/q/hp]. Data
ini diambil per hari dan datanya terdapat di Lampiran1. Data nilai indeks saham
itu kemudian divisualisasikan seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4 dan
Gambar 5 berikut,
Gambar 4 Plot nilai indeks saham DAX
Gambar 5 Plot nilai indeks saham NIK
Kedua data di atas masing-masing terdiri dari 1866 data amatan. Data-data
ini selanjutnya ditentukan model terbaik serta copula terbaik. Copula yang di
dapat digunakan untuk analisis tingkat korelasi antar data.
16
Model ARIMA
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
metode yang biasa digunakan untuk peramalan data deret waktu. Model umum
ARIMA
) adalah
dengan,
nilai indeks saham pada waktu ke= derajat autoregressive
= derajat moving average (MA)
derajat pembeda (differencing)
= waktu
= parameter yang menjelaskan AR
= parameter yang menjelaskan MA
= sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas
stokastik
= operator backshift
.
Model umum ARIMA
) menyatakan bahwa data periode sekarang
dipengaruhi oleh data periode sebelumnya. Untuk melakukan permodelan
ARIMA dibutuhkan data yang stasioner. Untuk melihat kestasioneran data, data
diuji dengan uji Augmented Dickey-Fuller. Secara singkat, hasil uji ADF pada
data adalah sebagai berikut,
Tabel 1 Hasil uji ADF
Sebelum beda ke 1
Setelah beda ke 1
p-value DAX
0.6142
0.001
p-value NIK
0.2235
0.001
Pada Tabel 1, nilai p-value pada kedua set data sebelum beda ke 1 bernilai
lebih besar dari
yang artinya menurut uji ADF kedua data di atas tidak
stasioner. Ketika sudah dilakukan beda pertama, p-value lebih kecil dari
yang berarti kedua data di atas stasioner. Setelah data stasioner, tahap selanjutnya
mengindentifikasi plot ACF dan PACF setelah dilakukan beda pertama
sebelumnya. Hasil plot ACF dan PACF nilai indeks saham DAX dan NIK adalah
sebagai berikut,
Gambar 6 Plot ACF untuk indeks DAX
17
Gambar 7 Plot PACF untuk indeks DAX
Gambar 8 Plot ACF untuk indeks NIK
Gambar 9 Plot PACF untuk indeks NIK
Analisis yang sudah dilakukan dari plot ACF dan PACF menunjukkan
bahwa ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (2,1,3), ARIMA(2,1,2),
dan ARIMA (3,1,2) untuk indeks saham DAX dan ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,0),
dan ARIMA(0,1,1) untuk indeks saham NIK. Setelah itu, dilakukan pendugaan
parameter dengan metode “coba-coba” yaitu dengan memperkecil ordo p atau
yang memiliki -value yang kecil atau menambah ordo p atau yang memiliki t-
18
value yang besar. Rangkuman hasil pengujian model ARIMA adalah sebagai
berikut,
Tabel 2 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX
Model
ARIMA
ARIMA
(2,1,3)
ARIMA
(3,1,2)
ARIMA
(2,1,2)
Parameter
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
MA(3)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
AR(3)
MA(1)
MA(2)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
Koefisien
Parameter
3.005598
-0.184157
-0.513387
0.228640
0.503975
-0.052621
3.008278
-0.191178
-0.526178
-0.052377
0.235321
0.514810
3.007912
0.551854
-0.951658
-0.54152
0.909229
p-value
0.0205
0.5417
0.1181
0.4399
0.1182
0.2343
0.0205
0.5419
0.1318
0.2524
0.4457
0.1329
0.0206
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Nilai-log
likelihood
-10175.65
Nilai SIC Nilai AIC
-10170.66
10.94871 10.93809
-10167.13
10.93500 10.92016
10.94819 10.93038
Tabel 3 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK
Model
ARIMA
ARIMA
(1,1,1)
ARIMA
(1,1,0)
ARIMA
(0,1,1)
Parameter
Konstanta
AR(1)
MA(1)
Konstanta
AR(1)
Konstanta
MA(1)
Koefisien
Parameter
-2,152543
0,534887
-0,577687
-1,904531
-0.039578
-1.782652
-0.041997
p-value
0,6600
0,0462
0,0260
0,7132
0.0877
0.7297
0.0700
Nilai-log Nilai SIC
likelihood
-12799.16 13.74513
Nilai AIC
-12800.72 13.74275
13.73682
-12807.57 13.74274
13.73681
13.73623
Dari Tabel 2 terlihat bahwa model ARIMA (2,1,2) untuk DAX adalah
model ARIMA yang paling baik karena semua -value nya kurang dari
baik untuk koefisien AR maupun koefisien MA dan nilai AIC (Akaike
Information Criterion) paling kecil diantara ketiga kandidat model di atas.
Sedangkan pada Tabel 3 terlihat bahwa model ARIMA(1,1,1) untuk NIK
merupakan model ARIMA yang paling baik karena semua p-value nya kurang
dari
yang berarti parameter-parameternya bernilai signifikan dan
koefisien AIC pada model ARIMA ini juga yang terkecil diantara ketiganya.
Setelah diketahui model ARIMA yang terbaik bagi masing-masing indeks saham,
langkah selanjutnya adalah melakukan uji ARCH-LM untuk mengetahui apakah
19
ada efek heteroskedastisitas pada model. Hipotesis untuk pengujian ARCH-LM
sendiri ialah sebagai berikut,
data tidak memiliki efek heteroskedastisitas.
data memiliki efek heteroskedastisitas.
Untuk hasil ujinya ialah sebagai berikut,
Tabel 4 Hasil pengujian ARCH-LM
p-value pada DAX
0.0000
p-value pada NIK
0.0002
Pada Tabel 4 hasil pengujian pada kedua nilai indeks saham menunjukkan
bahwa p-value kurang dari
sehingga
ditolak yang artinya pada kedua
model ARIMA masih terdapat efek heteroskedastisitas, sehingga tahap
selanjutnya adalah memodelkan model ARIMA dengan metode GARCH.
Model ARIMA-GARCH
Permodelan ragam sisaan GARCH adalah permodelan yang bertujuan
untuk menstasionerkan ragam pada model sehingga model yang sudah didapatkan
tidak memiliki efek heteroskedastisitas. Pada model sebelumnya dilakukan uji
ARCH-LM yang hasilnya pada kedua model ARIMA masih terdapat efek
heteroskedastisitas, sehingga pada tahap ini ditentukan model ARIMA-GARCH
yang paling baik. Hasil analisis menunjukkan setidaknya terdapat dua model yang
kemungkinan merupakan model terbaik untuk masing-masing nilai indeks saham
yaitu, ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) dan ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) untuk DAX
dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) untuk NIK.
Secara ringkas hasil pengujiannya dapat dilihat pada Tabel 5 dan 6 berikut,
Tabel 5 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX
Model
ARIMAGARCH
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Nilai
AIC(1) dan
Nilai
SIC(2)
ARIMA
(2,1,2)GARCH
(1,1)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
1.830628
1.807790
-0.949970
-1.800065
0.933447
1.79909
0.287719
-0.963414
0.289505
0.969848
0.0206
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0021
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
C
RESID(-1)^2
4.620671
0.065778
0.0000
0.0000
(1)10.00454
(2)10.02828
GARCH(-1)
0.934875
0.0000
C
RESID(-1)^2
RESID(-2)^2
GARCH(-1)
5.280847
0.034087
0.038485
0.927958
0.0000
0.0776
0.0825
0.0000
ARIMA
(2,1,2)GARCH
(2,1)
(1)10.00967
(2)10.03639
20
Tabel 6 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK
Model
ARIMAGARCH
ARIMA
(1,1,1)GARCH(1,1)
ARIMA(1,1,1)GARCH (2,0)
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Konstanta
AR (1)
MA(1)
Konstanta
AR (1)
MA(1)
1.573310
0.573556
-0.585594
0.609350
0.626874
-0.655263
0.7446
0.0788
0.0704
0.8966
0.0530
0.0352
C
RESID(-1)^2
GARCH(-1)
C
RESID(-1)^2
RESID(-2)^2
2479.823
0.082077
0.873932
42284.71
0.123538
0.101009
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Nilai
AIC(1) dan
Nilai SIC(2)
(1)13.65916
(2)13.67696
(1)13.71109
(2)13.72889
Pada Tabel 5 terlihat bahwa p-value dari koefisien AR dan MA sudah baik
karena semua koefisennya kurang dari
. Namun, untuk persamaan
ragamnya model ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) masih belum signifikan karena
nilai p-value nya lebih besar dari
Sehingga, model ARIMA(2,1,2)GARCH(1,1) dipilih menjadi model yang terbaik untuk indeks DAX. Pada Tabel
6 terlihat bahwa p-value dari persamaan ragamnya sudah baik karena semua pvalue nya kurang dari Namun, untuk p-value pada koefisien AR dan MA pada
model ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) masih belum signifikan karena nilai p-value
nya lebih dari
. Sedangkan, pada model ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0)
nilai p-value pada koefisien AR sebesar 0.0530 atau kelebihan sebesar 0.003 dari
. Perlu diingat bahwa skala p-value bernilai kontinu dan memotong tepat
pada nilai 0,05 sangat tidak realistis. Untuk p-value antara 0.048 sampai 0.053
masih dalam range yang dapat diterima (borderline significant) (Kay 2007).
Sehingga, model ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) adalah model yang paling baik.
Tahap selanjutnya yaitu pengujian model dengan menggunakan uji ARCH-LM
untuk mengetahui apakah masih ada efek heteroskedastisitas pada model. Hasil
ujinya sebagai berikut,
Tabel 7 Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan
ARIMA-GARCH
p-value pada DAX
0.4897
p-value pada NIK
0.9241
Pada tabel terlihat nilai p-v
pada kedua model sudah lebih besar dari
yang berarti terima
sehingga kedua model sudah tidak memiliki efek
ARCH-GARCH. Didefinisikan merupakan beda (difference) dari variabel yang
digunakan sehingga,
. Persamaan model dari masingmasing indeks saham ialah sebagai berikut,
a. DAX:
dan ragam sisaannya,
b. NIK:
dan ragam sisaannya,
.
21
Copula
Langkah selanjutnya setelah mendapatkan model ARIMA-GARCH adalah
melakukan uji normalitas pada residualnya dengan menggunakan uji Jarque-Bera.
Hipotesis untuk pengujian Jarque-Bera ini adalah
data menyebar normal.
data tidak menyebar normal.
Hasil ujinya sendiri disajikan pada tabel berikut,
Tabel 8 Hasil uji Jarque-Bera
p-value indeks DAX
0.001
p-value indeks NIK
0.001
Pada tabel 8 terlihat bahwa p-value kedua residual kurang dari
yang berarti tolak
sehingga residual dari kedua model di atas tidak menyebar
normal sebagaimana hal ini tergambarkan pada Gambar 10 dan 11 berikut,
Gambar 10 Plot Residual pada Indeks DAX
Gambar 11 Plot Residual pada Indeks NIK
22
Setelah diketahui bahwa residual tidak menyebar normal maka dicari
distribusi masing-masing data dan hasilnya tergambarkan di Tabel 9 berikut,
Tabel 9 Hasil uji distribusi
Indeks Saham
Jenis Distribusi
DAX
NIK
location scale
location scale
AIC
BIC
19645
25468
19661
25485
Log-likelihood
value
9819.4
12731
Selanjutnya, dilakukan uji mutual dependensi pada kedua data indeks
saham. Hipotesis untuk pengujian mutual depedensi ini adalah,
Tidak ada mutual dependensi diantara indeks saham.
Ada mutual dependensi diantara indeks saham.
Tabel 10 Hasil Uji mutual dependensi
Rho
0.2101
-value
6.1757*
Pada Tabel 10 terlihat bahwa
value hasil pengujian lebih kecil dari
yang berarti tolak
sehingga ada mutual dependensi antara indeks
saham DAX dengan indeks saham NIK. Karena adanya mutual dependensi
antarindeks saham dan residual yang didapatkan tidak menyebar normal, maka
fungsi copula dapat mengkorelasikan kedua indeks saham tersebut. Selanjutnya,
parameter copula diestimasi dengan menggunakan copula Clayton, Frank,
Gumbel, Gaussian, dan Hasil estimasi parameter copula ialah sebagai berikut,
Tabel 11 Hasil Estimasi Parameter Copula
Copula
Gaussian
Frank
Gumbel
Clayton
Parameter
0.2286
1.4162
1.1292
0.2759
0.2321
Maximum Likelihood
Value
52.5339
49.4673
35.2181
46.3424
53.6436
Berdasarkan Tabel 11, copula memiliki nilai maximum likelihood
terbesar. Hal ini menunjukkan bahwa copula merupakan model copula terbaik
untuk kedua indeks saham. Setelah ditentukan copula yang akan digunakan,
selanjutnya akan diestimasi nilai tingkat korelasi antarindeks saham. Dalam
penelitian ini digunakan metode Kendall’s tau dan Spearman’s rho. Hasil
estimasinya adalah sebagai berikut,
Tabel 12 Hasil estimasi rank correlation
Metode
Kendall’s tau
Spearman’s rho
Nilai tingkat korelasinya
0.1491
0.2221
23
Pada tabel di halaman sebelumnya terlihat bahwa nilai tingkat korelasi
pada kedua residual data dengan menggunakan metode Kendall’s tau adalah
sebesar 0.1491 atau 14.91% dan jika menggunakan Spearman’s rho sebesar
0.2221 atau 22.21%. Hal ini menunjukkan bahwa kedua indeks saham gabungan
yang digunakan berkorelasi positif meskipun bernilai relatif kecil. Metode rank
correlation adalah metode penentuan tingkat korelasi ekor sebaran yang hanya
berdasarkan pada jenis copula yang digunakan. Sehingga, ketika indeks saham
DAX mengalami penurunan nilai maka kejadian itu berkorelasi lemah dengan
penurunan nilai yang terjadi pada indeks saham NIK. Korelasi diatas dikatakan
lemah karena berdasarkan rule of thumb yang dikemukakan Hinkle et.al
(1998:120) menyatakan, “... nilai koefisien korelasi yang berkisar dari 0.1 sampai
0.3 atau -0.3 sampai -0.1 dikategorikan berkorelasi lemah...”. Karena nilai korelasi
yang didapatkan semua nya di antara 0.1 sampai 0.3 maka kedua indeks
berkorelasi positif lemah.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Skripsi ini berhasil mencari model terbaik dari data nilai indeks saham DAX
dan NIK serta menentukan rank correlation menggunakan metode Spearman’s
rho dan Kendall’s tau. Dari hasil yang sudah didapatkan, model terbaik untuk data
indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan untuk data indeks
saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik yang didapatkan
pada skripsi ini adalah copula dengan parameter sebesar 0.2321. Untuk nilai
koefisien korelasi yang didapatkan dengan metode Kendall’s tau adalah sebesar
0.1491 dan jika dengan metode Spearman’s rho hasilnya sebesar 0.2221.
Saran
Pada skripsi ini dependence measures yang digunakan hanya Spearman’s
rho dan Kendall’s tau. Sebenarnya selain rank correlation, terdapat berbagai
macam jenis dependence measures lain yang lebih relevan dan akurat ketimbang
rank correlation yang mengintepretasikan korelasi berdasarkan nilai skalar seperti,
tail depedence, pengukuran berdasarkan Ginni’s coefficient, dan lain-lain.
Sehingga, untuk penelitian selanjutnya metode yang lain bisa digunakan untuk
mendapatkan hasil yang lebih akurat dan realistis. Copula yang digunakan pada
skripsi ini merupakan copula dua dimensi (bivariate) karena skripsi ini hanya
menganalisis dua variabel peubah acak. Copula ini kurang cocok untuk
menggambarkan investasi atau portofolio yang dimiliki baik oleh individu
maupun kelompok yang pada umumnya berjumlah sebanyak jenis investasi atau
portofolio. Sehingga, kedepannya penelitian ini perlu diperluas ke permodelan
dimensi banyak (multivariate) dan tentunya menggunakan copula multivariate
pula.
24
DAFTAR PUSTAKA
Aliprantis CD, Burkinshaw O. 1990. Principle of Real Analysis. Ed ke-2.
California (US): Academic Press.
Bartle RG, Shebert DR. 2011. Introduction to Real Analysis. Ed ke-4. New Jersey
(AS): John Wiley and Sons, Inc.
Castaneda L, Arunachalam V, Dharmaraja S. 2012. Introduction to Probability
and Stochastic Processes with Applications. West Sussex (GB): Wiley, Ltd
Chartrand G. 1985. Introductory Graph Theory. New York (US): Dover
Publications.
Cherubini W, Luciano W, Vecchiato W. 2004. Copula Methods In Finance. West
Sussex (GB): John Wiley and Sons, Ltd.
Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston (US): Duxburry Press.
Embrechts P, McNeil AJ, Straumann D. 2001. Correlation and depedency in risk
management: properties and pitfalls. Cambridge (GB): Cambridge University
Press.
Engle RF. 1995. ARCH: Selected Readings. Oxford (GB): Oxford University
Press.
Firdaus M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor (ID): IPB Press.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey (US): Pearson
Education, Inc.
Giacomini E.2005. Risk management with copulae [tesis]. Berlin (GE):
Humboldt-Universitat zu Berlin.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
Oxford (GB): Oxford University Press.
Hinkle DE, Wiersma W, Jurs SG. 1998. Applied Statistics for the Behavioral
Sciences. Ed ke-4. Boston (US): Houghton Mifflin Company.
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Pearson Education, Inc.
Jarque CM, Bera AK. 1981. Efficient test for normality test, homoscedasticity,
and serial independence. Economic Letters. 7(4):313-318.doi:10.1016/01651765(81)90035-5.
Kay R. 2007. Statistical Thinking for Non Staticians in Drug Regulation. West
Sussex (GB): John Wiley and Sons Ltd.
McNeil AJ, Rudger F, Embrechts P. 2005. Quantitative Risk Management.
Princeton (US): Princeton University Press
Nachrowi DN, Usman H. 2006. Pendekatan Populer dan Praktis Ekonometrika
untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. Jakarta (ID): UI Press.
Nelsen RB. 2005. An Introduction to Copulas. Oregon (US): Springer Science and
Business Media,Inc.
Ross SM. 2003. A First Course Linear Statistical Models. Burlington (CA):
Elsevier, Inc.
Roussas GG. 2004. An Introduction to Measure-theoretic Probability. California
(US): Academic Press.
Sunariyah. 2003. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal. Ed ke-3. Yogyakarta
(ID): UPP AMP YKPN.
25
Schmidt T. 2006. Copulas from theory to application in France. IJTAF,
forthcoming.
26
LAMPIRAN
Lampiran 1 Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 20 Juni 2000
[Sumber: finance.yahoo.com/q/hp]
Tanggal
27-Apr-1993
28-Apr-1993
29-Apr-1993
30-Apr-1993
03-May-1993
04-May-1993
05-May-1993
06-May-1993
07-May-1993
10-May-1993
11-May-1993
12-May-1993
13-May-1993
14-May-1993
17-May-1993
18-May-1993
19-May-1993
20-May-1993
21-May-1993
24-May-1993
25-May-1993
26-May-1993
27-May-1993
28-May-1993
31-May-1993
01-Jun-1993
02-Jun-1993
03-Jun-1993
04-Jun-1993
07-Jun-1993
08-Jun-1993
09-Jun-1993
10-Jun-1993
11-Jun-1993
14-Jun-1993
15-Jun-1993
16-Jun-1993
17-Jun-1993
18-Jun-1993
21-Jun-1993
22-Jun-1993
TSX
3691.2
3710.2
3755
3789.4
3773.4
3779.1
3788.8
3794.7
3779
3778.5
3780.3
3796.5
3801.3
3813.3
3792.4
3826.8
3811.2
3831.5
3835.9
3847.9
3859.9
3865.1
3869.7
3866.4
3882.6
3856.8
3859.8
3875
3894.6
3892.1
3862.7
3859.7
3875.4
3866.4
3872.1
3887.7
3892.4
3903.7
3906.9
3922.4
3935.7
CAC
1927.4
1942.5
1920.6
1939
1937
1923.6
1926.3
1920.5
1878.6
1877.2
1854.5
1872.7
1879.9
1851.7
1835.7
1846.4
1836.8
1845
1853.2
1861.4
1891.1
1890.4
1904.6
1888.7
1880.8
1872.8
1875.8
1867.9
1859.7
1887.9
1893.7
1915.2
1911.2
1920.4
1916.8
1897.9
1918.8
1900.3
1910.3
1929.2
1935.3
DAX
1640.8
1628.9
1623.9
1627.2
1629.2
1627.4
1623.2
1623.3
1611.9
1609
1616.2
1629.5
1639.8
1634.5
1627.9
1628.5
1617.4
1614
1610.6
1603.1
1618.2
1622
1634.5
1631.9
1625.9
1619.9
1625.2
1629.6
1637.9
1655.6
1661.6
1673.1
1677.1
1681
1692
1684.1
1689.6
1692.3
1686.9
1689.8
1698.1
....
NIK
20207
20455
20687
20919
20845
20771
20696
20622
20811
21055
20940
20615
20533
20474
20566
20229
20381
20330
20557
20476
20632
20896
20853
20844
20552
20591
20692
21076
20882
20844
20575
20534
20493
20501
20397
20046
19902
19926
19805
19212
19538
FTSE
2832.7
2797.3
2786.8
2813.1
2812.8
2812.6
2796.5
2786.3
2793.7
2829.7
2836.1
2860.8
2849.3
2847
2858.1
2847.3
2819.7
2816.8
2812.2
2825.6
2837.7
2846.9
2855.3
2840.7
2844.9
2849.2
2863
2852.8
2829.9
2844.8
2844.4
2866.9
2860
2861.8
2885.5
2870
2883
2875.7
2879.4
2903.4
2907.6
SP
438.01
438.02
438.89
440.19
442.46
444.05
444.52
443.26
442.31
442.8
444.36
444.8
439.23
439.56
440.37
440.32
447.57
450.59
445.84
448
448.85
453.44
452.41
450.19
452.01
453.83
453.85
452.49
450.06
447.69
444.71
445.78
445.38
447.26
447.71
446.27
447.43
448.54
443.68
446.22
445.93
27
Tanggal
19-Apr-2000
20-Apr-2000
21-Apr-2000
24-Apr-2000
25-Apr-2000
26-Apr-2000
27-Apr-2000
28-Apr-2000
01-May-2000
02-May-2000
03-May-2000
04-May-2000
05-May-2000
08-May-2000
09-May-2000
10-May-2000
11-May-2000
12-May-2000
15-May-2000
16-May-2000
17-May-2000
18-May-2000
19-May-2000
22-May-2000
23-May-2000
24-May-2000
25-May-2000
26-May-2000
29-May-2000
30-May-2000
31-May-2000
01-Jun-2000
02-Jun-2000
05-Jun-2000
06-Jun-2000
07-Jun-2000
08-Jun-2000
09-Jun-2000
12-Jun-2000
13-Jun-2000
14-Jun-2000
15-Jun-2000
16-Jun-2000
19-Jun-2000
20-Jun-2000
TSX
9034
8959.7
8891.1
8822.5
9108.4
9378
9322.7
9347.6
9527.3
9510.3
9291.3
9414.1
9597.3
9337.5
9294.4
9097.1
9132.6
9211.8
9281.9
9582
9552.8
9549.9
9293.1
9139.9
8986.6
9144.2
9043.7
9020.9
9060.1
9344.1
9252
9552.2
9747.7
9679.7
9609.9
9557.7
9652.4
9728.8
9819.6
9836.
PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN
MENGGUNAKAN COPULA
IKA SYATTWA BRAMANTYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI KARYA ILMIAH DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa karya ilmiah berjudul Pemodelan
Indeks Harga Saham Gabungan dan Penentuan Rank Correlation dengan
Menggunakan Copula adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir karya ilmiah ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya ilmiah saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, September 2014
Ika Syattwa Bramantya
NIM G54100066
ABSTRAK
IKA SYATTWA BRAMANTYA. Pemodelan Indeks Harga Saham Gabungan
dan Penentuan Rank Correlation dengan Menggunakan Copula. Dibimbing oleh
RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA.
Indeks saham merupakan nilai dari gabungan banyak saham di mana
datanya berupa financial time series yang memiliki karakteristik sebaran fat tail.
Data yang memiliki sebaran fat tail merupakan data yang tidak menyebar normal
karena data tersebut memiliki ekor sebaran yang tebal. Metode rank correlation
dapat digunakan untuk menganalisis korelasi antarindeks saham yang tidak
menyebar normal dan metode ini hanya bergantung pada copula. Data yang
digunakan pada karya ilmiah ini berasal dari data harian indeks saham Jerman
(DAX) dan Jepang (NIK) yang diambil dari tanggal 27 April 1993 sampai
tanggal 20 Juni 2000. Untuk menentukan korelasinya, model terbaik perlu
ditentukan dahulu dengan menggunakan ARIMA. Selanjutnya, data dimodelkan
dengan GARCH untuk menghilangkan efek heteroskedastisitas. Setelah itu, data
diuji dengan menggunakan metode canonical maximum likelihood untuk
menentukan copula terbaik dan korelasinya dengan metode rank correlation.
Model terbaik untuk indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan
untuk indeks saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik
yang didapatkan ialah copula dan untuk hasil analisis korelasi antarindeks
menunjukan tingkat korelasi antarindeks di atas berkorelasi positif lemah.
Kata kunci: Indeks saham, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.
ABSTRACT
IKA SYATTWA BRAMANTYA. Stock Exchange Composite Index Modeling
and the Determination of Rank Correlation by Using Copula. Supervised by
RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.
Stock index is a composite value of many stocks, where its data type is
financial time series with fat tail distribution characteristic. Data with fat tail
distribution doesn’t normally distribute since the data has heavy distribution’s tail.
Rank correlation method, which depends on copula, can be used to analyze
correlation among stock indices which doesn’t normally distribute. Data in this
work come from daily data of Germany Stock Index (DAX) and Japan Stock
Index (NIK) which taken from April 27th 1993 until June 20th 2000. In order to
find out the correlation, the best model should be specified first through ARIMA.
After that, the data is modeled by using GARCH to eliminate heteroskedasticity’s
effect. Then, the data is examined by using canonical maximum likelihood
method for finding the best copula and determine the correlation. It is found that
the best model for DAX stock index is ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) and that for
NIK stock index is ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0), where the best copula is
copula. Additionally it is shown a weakly positive correlation among stock indices.
Key words: Stock index, rank correlation, ARIMA, GARCH, copula.
PEMODELAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGAN DAN
PENENTUAN RANK CORRELATION DENGAN
MENGGUNAKAN COPULA
IKA SYATTWA BRAMANTYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Februari ini ialah copula,
dengan judul Permodelan Indeks Saham Gabungan dan Penentuan Rank
Correlation dengan Menggunakan Copula.
Terima kasih penulis ucapkan terima kasih kepada Ibu Ir Retno Budiarti,
MS dan Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing saya, serta
Bapak Dr Dony Citra Lesmana, S.Si, M.Fin.Math yang telah banyak memberi
saran terkait penyusunan karya ilmiah ini. Di samping itu, penghargaan penulis
sampaikan kepada rekan-rekan di forum Stack-Exchange dan Matlab Central yang
sudah membantu saya dalam menyusun kode-kode program yang saya
pergunakan dalam karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada bapak, ibu, serta seluruh keluarga dan teman-teman, atas segala doa, kasih
sayang, serta dukungan moril kepada saya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014
Ika Syattwa Bramantya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
3
METODE
12
Alat
13
Tahapan Penelitian
14
HASIL DAN PEMBAHASAN
15
Model ARIMA
16
Model ARIMA-GARCH
19
Copula
21
SIMPULAN DAN SARAN
23
Simpulan
23
Saran
23
DAFTAR PUSTAKA
24
LAMPIRAN
26
RIWAYAT HIDUP
41
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
Hasil uji ADF
Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX
Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK
Hasil pengujian ARCH-LM
Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX
Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK
Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan ARIMA-GARCH
Hasil uji Jarque-Bera
16
18
18
19
19
20
20
21
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Plot contoh data stasioner
Plot contoh data tidak stasioner
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 14 Juli 2003
Hasil uji ADF pada data asli indeks saham DAX
Hasil uji ADF pada DAX setelah pembedaan satu kali
Hasil uji ADF pada data asli indeks saham NIK
Hasil uji ADF pada NIK setelah pembedaan satu kali
Hasil model ARIMA (2,1,3) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (3,1,2) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (2,1,2) untuk indeks DAX
Hasil model ARIMA (1,1,0) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (0,1,1) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (1,1,1) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada indeks DAX
Hasil model ARIMA (2,1,2)-GARCH (2,1) pada indeks DAX
Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada indeks NIK
Hasil model ARIMA (1,1,1)-GARCH (1,1) pada indeks NIK
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2) pada DAX
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (2,1,2)-GARCH (1,1) pada DAX
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1) pada NIK
Hasil dari uji ARCH-LM ARIMA (1,1,1)-GARCH (2,0) pada NIK
Hasil uji Jarque-Bera ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX
Hasil uji Jarque-Bera ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Hasil uji distribusi ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) pada DAX
Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Hasil uji distribusi ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) pada NIK
Plot contoh vertex
Plot nilai indeks saham DAX
Plot nilai indeks saham NIK
Plot ACF untuk indeks DAX
Plot PACF untuk indeks DAX
Plot ACF untuk indeks NIK
Plot PACF untuk indeks NIK
Plot Residual pada indeks DAX
Plot Residual pada indeks NIK
6
6
8
15
15
16
17
17
17
21
21
DAFTAR LAMPIRAN
26
28
28
28
28
29
29
30
30
31
31
32
33
34
35
36
36
37
37
38
38
39
39
39
25 Hasil estimasi parameter copula
26 Hasil uji rank correlation
40
40
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Saham adalah satu instrumen investasi yang nilai jualnya berdasarkan
kinerja perusahaan penerbit saham dan diperdagangkan di bursa saham dengan
imbal hasil sejumlah tertentu tergantung jenis sahamnya. Sedangkan, Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG) adalah suatu nilai yang berfungsi sebagai
pengukuran kinerja suatu saham gabungan di bursa efek (Sunariyah 2003).
Nilai indeks saham sendiri dihitung berdasarkan nilai indeks seluruh saham
(metode penghitungan nilai tergantung bursa tersebut) yang diperdagangkan di
bursa itu. Misalkan, Dow Jones Average adalah bursa saham yang terdiri dari 30
perusahaan besar (blue chip) dan nilai indeksnya dihitung berdasarkan indeks 30
perusahaan tersebut. Karena indeks saham merupakan kumpulan saham-saham,
maka resiko yang terkandung didalam indeks saham kurang lebih sama dengan
resiko pada saham itu sendiri.
Pergerakan pasar yang tidak pasti memunculkan risiko yang bisa berasal
dari internal perusahaan penerbit saham seperti laporan keuntungan atau kondisi
keuangan perusahaan ataupun dari eksternal pasar seperti sentimen pasar,
perkembangan politik dan sosial negara, dan lain-lain. Sehingga, manajemen yang
baik mutlak diperlukan dalam mengelola risiko-risiko yang mungkin muncul.
Pada ilmu studi konvensional aset-aset yang ada diasumsikan saling bebas
padahal dalam kenyataannya di jaman pasar global seperti ini aset-aset tersebut
tidak sepenuhnya bebas karena setiap bursa saham yang ada hampir dipastikan
saling berinteraksi, baik secara langsung maupun tak langsung. Pada studi
kontemporer hubungan antar satu aset dengan yang lainnya dapat dimodelkan
dengan sebuah fungsi yang bernama copula.
Copula sendiri adalah sebuah fungsi yang menggabungkan dua atau lebih
fungsi sebaran multivariate dimana copula mengambil fungsi marjinal dari tiap
sebaran tersebut dan dijadikan sebagai sebuah fungsi marjinal satu dimensi yang
normal baku (nilainya [0,1]) (McNeill et al. 2005). Dalam ilmu ekonomi fungsi
marjinal merupakan fungsi yang menggambarkan risiko suatu aset, baik risiko
untung maupun risiko rugi, namun biasanya para analis berfokus pada risiko rugi.
Karena copula menggabungkan dua atau lebih fungsi marjinal yang ada, maka
copula sangat tepat digunakan untuk melihat korelasi antar aset yang ada, dalam
hal ini risiko antar aset yang ada. Untuk menggambarkan korelasi antar aset
dengan benar diperlukan jenis copula yang tepat yang dapat dilihat dari uji
estimasi copula terhadap model yang ada.
2
Perumusan Masalah
Karya ilmiah ini menggunakan dua set data nilai indeks saham gabungan
yang berasal dari bursa saham Jerman DAX (Deutscher Aktien Index) dan bursa
saham Jepang NIK ( Nikkei 225) dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20
Juni 2000. Data ini kemudian dicari model yang terbaik menggunakan metode
ARIMA dan metode GARCH untuk mengatasi masalah heteroskedatisitas pada
model. Pada karya ilmiah ini juga ditentukan hubungan antar dua set data di atas
dengan menggunakan uji mutual dependensi yang untuk selanjutnya ditentukan
pula parameter-parameter dari tiap jenis copula dan copula terbaik menggunakan
metode Canonical Maximum Likelihood. Copula yang diuji pada karya ilmiah ini
adalah copula Gauss, Gumbel, Frank, Clayton, dan t.
Tujuan Penelitian
Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah:
1. Mencari model terbaik dari dua data indeks saham gabungan dengan
menggunakan model ARIMA-GARCH.
2. Mencari copula terbaik yang bisa menggambarkan keterkaitan antar dua
set data indeks saham.
3. Menentukan rank correlation dengan menggunakan metode copula.
Manfaat Penelitian
Hasil karya ilmiah ini dapat digunakan untuk mengatasi masalah analisis
korelasi antar data yang selama ini terjadi pada data financial time series yang
memiliki sebaran beraneka ragam dan memiliki ekor sebaran yang tebal. Karya
ilmiah ini juga dapat menjadi jawaban atas tuntutan para analis pasar saham yang
menginginkan saham-saham yang ada saling berinteraksi, bukan saling bebas
seperti anggapan para peneliti selama ini. Selain itu, hasil karya ilmiah ini juga
dapat digunakan sebagai bahan untuk analisis korelasi antar aset atau indikator
yang lebih kompleks guna mendapatkan kombinasi aset yang optimal.
TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua
kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat
ditentukan dengan tepat disebut sebagai percobaan acak.
(Ross 2003)
Definisi 2 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu
percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 3 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan
bagian dari ruang contoh serta memenuhi,
1.
.
2. Jika
maka ⋃
3. Jika
maka
, dengan
menyatakan komplemen dari .
(Ghahramani 2005)
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Ukuran peluang P adalah suatu fungsi dari medan- ke selang tertutup
[0,1] ( :
[0,1]) yang memenuhi tiga syarat berikut:
1. P(A) 0, untuk setiap A
2. P(S) = 1
3. Jika
adalah himpunan yang saling lepas, yaitu
untuk setiap pasangan i, j dengan i j maka
∑
.
⋃
(Roussas 2004)
Definisi 5 (Peubah Acak)
Suatu peubah acak adalah suatu fungsi
dengan sifat bahwa
Ω
, untuk setiap
dengan adalah sebuah medan- dari
suatu ruang contoh Ω. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan
Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 6 (Peubah Acak Kontinu dan Fungsi Kepekatan Peluang)
Peubah acak
dikatakan kontinu jika ada fungsi
sebaran
dapat dinyatakan sebagai,
sehingga fungsi
∫
dengan
adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak .
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definsi 7 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak
dinyatakan sebagai,
adalah fungsi
yang
4
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 8 (Fungsi Sebaran Bersama)
Misal diberikan dua peubah acak dan dimana fungsi
.
Maka fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak tersebut haruslah memenuhi
persamaan,
(Ghahramani 2005)
Definisi 9 (Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu)
Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
adalah,
asalkan integral di atas konvergen.
∫
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)
Beberapa sifat nilai harapan, antara lain:
1. Jika adalah suatu konstanta, maka
.
2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka
.
3. Jika
adalah konstanta dan
adalah suatu peubah acak, maka
.
(Hogg et al. 2005)
Definisi 10 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Kontinu)
Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan
adalah nilai
harapan dari , dengan fungsi kepekatan peluang
, maka ragam dan
simpangan baku dari dinotasikan dengan
dan
sama dengan,
[(
=∫
,
dan
√
.
(Ghahramani 2005)
Lema 2 (Sifat Ragam)
Beberapa sifat dari ragam antara lain:
1. Jika suatu konstanta, maka v
2. Jika suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka,
(Ghahramani 2005)
Definisi 11 (Sebaran Normal)
Misalkan diberikan peubah acak kontinu . Peubah acak dikatakan
menyebar normal dengan nilai harapan dan ragam , jika fungsi kepekatan
peluangnya diberikan oleh
√
),
.
5
Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0 dan ragam 1 disebut sebaran
normal baku. Misalkan peubah acak menyebar normal baku, maka memiliki
fungsi kepekatan peluang
,
√
.
(Grimmet dan Stirzaker 1992)
Definisi 12 (Strict Stationarity)
Deret waktu
dikatakan strictly stationary jika
(
......,
,
untuk semua
dan untuk semua
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 13 (Covarian Stationarity)
Deret waktu
dikatakan covarian stationary jika terdapat dua
momen pertama dan memenuhi
dimana
didefinisikan sebagai fungsi rata-rata dan
autocovariance dengan persamaannya adalah,
(
)(
sebagai fungsi
)
Definisi 14 (Autocorrelation Function)
Autocorrelation function (ACF),
adalah
(McNeil et al. 2005)
dari proses covarian stationary
,
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 15 (White Noise)
Proses
dikatakan proses white noise jika
covarian stationarity dengan fungsi autokorelasi
{
memenuhi
.
Proses white noise yang dipusatkan untuk memiliki rata-rata 0 dengan ragam
akan dinotasikan dengan WN(0,
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 16 (Strict White Noise)
Proses
merupakan proses strict white noise jika
merupakan
deret yang bebas stokastik identik, peubah acak dengan ragam berhingga. Proses
strict white noise yang dipusatkan untuk mendapatkan rata-rata 0 dengan ragam
akan dinotasikan SWN(0,
(McNeil et al. 2005)
Definisi 17 (Tren dan Kestasioneran Data)
Tren adalah komponen data deret waktu yang menunjukkan peningkatan
atau penurunan dalam jangka panjang selama periode waktu yang diamati. Bila
datanya memiliki tren menandakan data tidak stasioner. Data yang stasioner
adalah data dengan rataan dan ragam konstan sepanjang waktu pengamatan.
6
Gambar 1 Plot contoh data stasioner
(
Gambar 2 Plot contoh data tidak stasioner
(Firdaus 2006)
Definisi 18 ( Augmented Dickey-Fuller’s Test)
Augmented Dickey- Fuller’s Test (uji ADP) merupakan salah satu uji akar
unit untuk menguji apakah data sudah stasioner ataukah belum. Jika suatu data
belum stasioner pada orde nol, maka stasioneritas data tersebut bisa dicari melalui
orde berikutnya sehingga diperoleh tingkat stasioneritas pada order ke- . Modelmodel yang dapat dipilih untuk melakukan uji ADF adalah:
(tanpa intersep)
(dengan intersep)
(intersep dengan trend waktu),
dengan merupakan beda pertama dari variabel yang digunakan, variabel tren.
Hipotesis untuk pengujian ini adalah :
(terdapat akar unit, tidak stasioner)
(tidak terdapat akar unit, stasioner)
(Nachrowi dan Usman 2006)
Definisi 19 ( Uji Jarque-Bera)
Uji Jarque-Bera adalah uji untuk pengepasan model terbaik untuk
mencocokan apakah kurva model sudah sesuai dengan kurva normal (data
menyebar normal). Persamaan yang digunakan uji Jarque-Bera adalah
,
dengan n adalah jumlah data yang diuji, S adalah kesimetrisan dari sebaran sampel
dan K adalah ukuran ketinggian puncak kurva (peakedness).
(Jarque dan Bera 1981)
Definisi 20 (Uji ARCH-LM)
Uji ARCH-LM atau Autoregressive Conditionally Heteroscedastic –
Lagrange Multiplier adalah uji untuk menentukan adanya efek ARCH
(heteroskedastisitas) atau tidak. Misalkan
adalah residual dari
digunakan untuk memeriksa heteroskedastisitas
persamaan rata-rata. Barisan
bersyarat atau efek ARCH. Uji ini sama dengan statistik pada umumnya untuk
menguji = 0 (
dalam regresi linear
;
,
di mana adalah jumlah sampel atau banyaknya observasi,
adalah galat,
bilangan bulat.
7
Hipotesis untuk pengujian adalah:
(tidak terdapat efek ARCH)
:
:
(terdapat efek ARCH)
(Engle 1995)
Definisi 21 (Canonical Maximum Likelihood)
Canonical maximum likelihood adalah sebuah metode estimasi parameter
copula dengan mencari nilai maksimum menggunakan fungsi likelihood. Fungsi
likelihood nya sendiri adalah,
̂( )
̂ (
∑
)
,
∑
. Untuk pengestimasi parameter
di mana ̂
copula nya adalah ̂
yang persamaannya adalah,
argmax
artinya ketika
̂
argmax
,
mencapai nilai maksimum saat ̂.
(Giacomini 2005)
Definisi 22 (Model deret waktu ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
diperkenalkan oleh Box dan Jenkins. Pada model ini terjadi proses Autoregressive
(AR) berordo dan atau terjadi proses Moving Average (MA) berordo .
Pembeda berordo d dilakukan jika data deret waktu bersifat non-stasioner, padahal
model ARIMA menginginkan data yang stasioner. Model deret waktu ini
dinotasikan dengan ARIMA (
) dan memiliki bentuk umum sebagai berikut
di mana adalah notasi backshift sehingga,
model AR dan adalah parameter model MA,
,
.
,
adalah parameter
(Cryer 1986)
Definisi 23 (Model Ragam Sisaan ARCH)
Model
Autoregressive
Conditionally
Heteroscedastic
(ARCH)
diperkenalkan oleh Engle. Diberikan
yang SWN(0,1), proses
adalah proses ARCH ( ) jika strictly stationary dan memenuhi persamaan nya
sebagai berikut,
untuk semua
∑
dimana
dan
(McNeil et al. 2005)
Definisi 24 (Model Ragam Sisaan GARCH)
Diberikan
yang SWN (0,1), proses
adalah proses
Generalized Autoregressive Conditionally Heteroscedatic atau GARCH (
) jika
proses tersebut adalah strictly stationary dan memenuhi beberapa proses
yang bernilai positif
, persamaan nya adalah,
∑
∑
,
8
di mana
dan
.
(McNeil et al. 2005)
Definisi 25 (Fungsi)
Diberikan himpunan
dan , sebuah fungsi dari
ke
merupakan
sebuah himpunan pasangan terurut ƒ di
dengan aturan bahwa jika
dan
merupakan elemen-elemen dari ƒ, maka = ʹ. Himpunan dari semua
elemen di mana elemennya merupakan anggota pertama dari elemen-elemen di
ƒ adalah domain pada ƒ dan dinotasikan sebagai D(ƒ). Himpunan dari semua
elemen di mana elemennya merupakan anggota kedua dari elemen-elemen di ƒ
adalah range pada ƒ (atau himpunan nilai pada ƒ) dan dinotasikan sebagai R(ƒ).
(Bartle dan Sherbert 2011)
Definisi 26 ( Copula)
Sebuah fungsi berdimensi 2 dikatakan fungsi copula jika memenuhi tiga
sifat berikut:
1. Dom
x , dimana dan adalah subset-subset di =[0,1].
2.
adalah grounded dan 2-increasing.
3.
di dan
di ,
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 27 (Grounded)
Misalkan
memiliki elemen terkecil masing-masing
fungsi dari
pada dikatakan grounded jika,
pada
dan
. Maka
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 28 (Vertex)
Dalam teori graf, vertex adalah titik atau pojok dimana dua garis lurus atau
lebih bertemu. Contoh ilustrasi dari vertex adalah sebagai berikut,
Gambar 3 Plot contoh vertex
(Chartrand 1985)
Definisi 29 (2-increasing)
Diberikan sebuah fungsi real dua dimensi sehingga Dom =
,
merupakan persegi yang semua
kemudian diberikan
vertex nya berada di Dom . Maka volume pada adalah,
9
+
Diberikan sebuah fungsi real 2 dimensi, fungsi ini disebut 2-increasing jika
untuk setiap persegi yang vertex nya berada di Dom .
(Nelsen 2005)
Definisi 30 (Teorema Sklar)
Diberikan fungsi sebaran bersama dengan fungsi marjinalnya dan .
Maka ada copula untuk setiap
dalam ,
(
)
jika dan kontinu, maka unik dan berlaku sebaliknya.
(Nelsen 2005)
Definisi 31 (Copula Archimedean)
Jika diberikan
yang merupakan pembangkit copula
Archimedean , maka
).
(
(McNeil et al. 2005)
Lema 3 (Sifat Copula Archimedean)
Diberikan sebagai copula Archimedean dengan pembangkit , maka
1.
simetris yang berarti
di
2.
asosiatif yang berarti
(
)
di
3. Jika
merupakan konstanta, maka
adalah pembangkit bagi
(Nelsen 2005)
Definisi 32 (Copula Gumbel)
Copula Gumbel atau copula Gumbel-Hougaard adalah copula yang
memenuhi persamaan berikut
],
di mana
.
(Schmidt 2006)
Definisi 33 (Copula Clayton)
Persamaan umum dari copula Clayton adalah sebagai berikut
di mana
.
{
}
,
(Schmidt 2006)
Definisi 34 (Copula Frank)
Persamaan umum dari copula Frank adalah sebagai berikut
untuk
.
(
)(
)
),
(Schmidt 2006)
Definisi 35 (Copula Gaussian)
Copula Gaussian 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan
berikut
(
),
di mana, adalah fungsi sebaran kumulatif dari sebaran normal dan
adalah
fungsi sebaran dua dimensi dari sebaran normal yang memiliki mean 0 dan
matriks kovarian . Matriks kovarian memiliki persamaan sebagai berikut,
10
.
(Schmidt 2006)
Definisi 36 (Copula Student’s )
Persamaan Copula- 2 dimensi adalah copula yang memenuhi persamaan
berikut,
(
)
dimana
adalah sebaran multivariate, adalah sebaran univariate, adalah
matriks kovarian di mana
, dan adalah derajat kebebasan dari sebaran
dan
(Schmidt 2006)
Definisi 37 (Kebebasan)
Peubah acak kontinu X dan Y dikatakan independen atau saling bebas jika
dan hanya jika,
,
,
merupakan fungsi kepekatan peluang bagi
dan
,
di mana
dan
adalah fungsi sebaran marjinal bagi X dan Y.
(Ghahramani.2005)
Definisi 38 (Dependence Measures)
Diberikan peubah acak bernilai real dan ,
sebagai dependency
measures yang bernilai real dan berkorespondensi dengan setiap pasangan peubah
acak dan bila memenuhi,
1.
, syarat kesimetrisan.
2.
, syarat kenormalan
3.
, syarat comonotonic.
=-1, syarat countermonotonic.
4. untuk
strictly monotonic pada selang di .
={
(Embrechts et al. 2001)
Definisi 39 (Strictly Monotonic)
Diberikan subset dari , dan diberikan fungsi dari
, maka
dikatakan strictly monotonic jika salah satu kondisi berikut terpenuhi,
1.
maka
(strictly increasing)
2.
, maka
(strictly decreasing)
untuk
(Aliprantis dan Burkinshaw 1990)
Definisi 40 (Comonotonicity dan Countermonotonicity)
Diberikan peubah acak
disebut comonotonic jika dan hanya
jika,
,
untuk peubah acak Z dan fungsi naik
. Sedangkan peubah acak
disebut countermonotonic jika dan hanya jika,
untuk peubah acak Z dengan fungsi naik
,
dan fungsi turun
vice versa.
(McNeil et al. 2005)
11
Definisi 41 (Equality in Distribution)
Diberikan peubah acak dan dimana
distribution (
jika,
dan
dikatakan equal in
(Castaneda et.al 2012)
Definisi 42 (Pearson’s Linear Correlation)
Pearson’s linear correlation merupakan dependence yang paling umum
digunakan karena uji nya yang sederhana. Uji ini menentukan derajat dan arah
hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya secara linier. Misal,
diberikan peubah acak tak turun X dan Y, maka koefisien linear correlation nya
adalah,
,
di mana
adalah kovarian antara X dan Y,
deviasi untuk peubah acak X dan Y.
dan
adalah standar
(Embrechts et al. 2001)
Definisi 43 (Rank Correlation)
Tingkat korelasi atau rank correlation merupakan dependence measure
skalar sederhana yang hanya bergantung dengan sebaran copula bivariate dan
tidak bergantung pada sebaran marjinalnya. Untuk mencari tingkat korelasi ada
dua cara yang bisa digunakan yaitu dengan mencari Kendall’s tau atau dengan
Spearman’s rho. Kelebihan rank correlation dibandingkan dengan Pearson’s
linear correlation ialah:
1. Rank correlation mampu mendeteksi zero dependence sedangkan
Pearson linear correlation tidak karena kebebasan antar variabel
berimplikasi korelasi bernilai nol sedangkan korelasi bernilai nol belum
tentu antar variabel saling bebas (independent).
2. Pearson linear correlation hanya mampu mendeteksi dependence pada
variabel yang menyebar normal karena linear correlation tidak bisa
menentukan kapan variance dari peubah acak X atau Y terbatas atau tak
terbatas.
3. Rank correlation mampu mendeteksi dependence pada sebaran yang
memiliki fat tail sedangkan Pearson linear correlation tidak karena
karakteristik sebaran tersebut dimiliki oleh sebaran selain sebaran
normal dan sehingga linear correlation tidak cocok untuk dijadikan uji
pada data-data financial time series.
( McNeil et al. 2005)
Definisi 44 (Concordant dan Discordant)
Diberikan pasangan peubah acak
dan
disebut concordant
jika
dan
atau jika
dan
, sedangkan
dan
disebut discordant jika
dan
atau jika
dan
.
(Nelsen 2005)
Definisi 45 (Kendall’s Tau Rank Correlation)
Kendall’s rank correlation adalah uji yang mencari selisih antara peluang
concordant dengan peluang discordant. Kendall’s tau sendiri memiliki persamaan
sebagai berikut
12
di mana
,
∫ ∫
merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y.
(Cherubini et al. 2004 )
Definisi 46 (Spearman’s Rho Rank Correlation)
Spearman’s rho yang dinotasikan dengan ρ adalah uji dengan mencari
selisih proposional antara peluang concordant dengan peluang discordant peubah
yang memiliki marjinal yang sama tapi variabel
acak (
dan
pertama memiliki fungsi sebaran bersama dan peubah acak lainnya independen :
∫ ∫
di mana
merupakan copula bivariate dari fungsi sebaran X dan Y.
(Cherubini et al. 2004 )
METODE
Data dan Analisis
Pada penelitian ini data yang digunakan merupakan data sekunder dari nilai
indeks saham gabungan dua bursa saham yang berbeda. Data yang pertama
merupakan data yang berasal dari indeks saham DAX (Deutscher Aktien Index)
dari tanggal 27 April 1993 sampai tanggal 20 Juni 2000 dan data yang kedua
merupakan data yang berasal dari indeks saham NIK ( Nikkei 225) dan diambil
dalam jangka waktu yang sama dengan data yang pertama. Indeks saham DAX
terdiri dari saham-saham blue chip dari 30 perusahaan besar Jerman dan sahamsaham ini diperdagangkan di pasar saham Frankfurt. Indeks saham NIK terdiri
dari saham-saham seluruh perusahaan yang ada di Jepang dan saham-saham ini
diperdagangkan di pasar saham Tokyo. Pengambilan data tidak menggunakan
data yang termutakhir karena pada selang waktu itu sedang terjadi krisis moneter
di seluruh dunia yang juga Indonesia terkena dampaknya sehingga menurut
penulis data ini sangat ideal untuk dijadikan sampel menguji korelasi antar pasar
saham walaupun pasar saham itu tidak berasal dari negara yang sama bahkan
berbeda regional dan benua.
Langkah yang pertama yang dilakukan adalah mencari model yang terbaik
pada data untuk analisis lebih lanjut dengan menggunakan metode ARIMA.
Metode ARIMA ini digunakan karena data yang digunakan merupakan data deret
waktu non stasioner. Setelah didapatkan model yang terbaik, langkah selanjutnya
ialah mengatasi masalah heteroskedastisitas (ragam pada residual model untuk
semua pengamatan belum stasioner) pada model dengan metode GARCH.
Selanjutnya, residual model yang telah didapatkan akan diuji untuk melihat
adanya mutual dependensi antar data atau tidak dan residual data akan dicari
distribusi dari tiap residual. Hal ini bertujuan untuk memastikan bahwa ada
keterkaitan antar data dan metode rank correlation dapat digunakan pada data.
Langkah selanjutnya adalah menentukan copula terbaik dari residual model yang
dapat mengkorelasikan kedua model yang ada. Penentuan copula terbaik sangat
penting karena metode rank correlation hanya bergantung pada jenis copula yang
13
digunakan. Langkah terakhir, menentukan nilai korelasi dengan menggunakan
metode rank correlation.
Alat
Untuk melakukan penelitian ini setidaknya digunakan dua software yang
utama yaitu E-views version 6 dan Matlab R2010a. Software E-views sendiri
digunakan untuk melakukan permodelan ARIMA-GARCH dan software Matlab
digunakan untuk melakukan serangkaian uji pendukung dan mengestimasi
parameter copula guna mencari copula yang terbaik serta menentukan tingkat
korelasi antar data. Sedangkan, untuk software pendukung digunakan Minitab 15
memvisualisasikan model yang sudah didapatkan.
14
Tahapan Penelitian
Pengujian data (apakah
sudah stasioner atau belum)
Menguji adanya efek
heteroskedastisitas pada
data
Menghilangkan efek
heteroskedastisitas dengan
metode GARCH
Penentuan tingkat korelasi
dengan metode
Spearman's rho dan
Kendall's tau
Mencari ACF dan PACF
sebagai perkiraan indeks
AR dan MA
Menentukan model pada
data dengan menggunakan
metode ARIMA
Pengujian mutual
dependensi pada data untuk
melihat korelasi
antarindeks
Penentuan copula terbaik
dengan menggunakan metode
Canonical Maximum
Likelihood
15
HASIL DAN PEMBAHASAN
Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, pada skripsi ini digunakan dua
set data nilai indeks saham DAX dan NIK dari tanggal 27 April 1993 sampai
dengan 14 Juli 2003 dimana data ini diambil dari [finance.yahoo.com/q/hp]. Data
ini diambil per hari dan datanya terdapat di Lampiran1. Data nilai indeks saham
itu kemudian divisualisasikan seperti yang dapat dilihat pada Gambar 4 dan
Gambar 5 berikut,
Gambar 4 Plot nilai indeks saham DAX
Gambar 5 Plot nilai indeks saham NIK
Kedua data di atas masing-masing terdiri dari 1866 data amatan. Data-data
ini selanjutnya ditentukan model terbaik serta copula terbaik. Copula yang di
dapat digunakan untuk analisis tingkat korelasi antar data.
16
Model ARIMA
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
metode yang biasa digunakan untuk peramalan data deret waktu. Model umum
ARIMA
) adalah
dengan,
nilai indeks saham pada waktu ke= derajat autoregressive
= derajat moving average (MA)
derajat pembeda (differencing)
= waktu
= parameter yang menjelaskan AR
= parameter yang menjelaskan MA
= sisaan acak pada waktu ke-t yang diasumsikan menyebar normal bebas
stokastik
= operator backshift
.
Model umum ARIMA
) menyatakan bahwa data periode sekarang
dipengaruhi oleh data periode sebelumnya. Untuk melakukan permodelan
ARIMA dibutuhkan data yang stasioner. Untuk melihat kestasioneran data, data
diuji dengan uji Augmented Dickey-Fuller. Secara singkat, hasil uji ADF pada
data adalah sebagai berikut,
Tabel 1 Hasil uji ADF
Sebelum beda ke 1
Setelah beda ke 1
p-value DAX
0.6142
0.001
p-value NIK
0.2235
0.001
Pada Tabel 1, nilai p-value pada kedua set data sebelum beda ke 1 bernilai
lebih besar dari
yang artinya menurut uji ADF kedua data di atas tidak
stasioner. Ketika sudah dilakukan beda pertama, p-value lebih kecil dari
yang berarti kedua data di atas stasioner. Setelah data stasioner, tahap selanjutnya
mengindentifikasi plot ACF dan PACF setelah dilakukan beda pertama
sebelumnya. Hasil plot ACF dan PACF nilai indeks saham DAX dan NIK adalah
sebagai berikut,
Gambar 6 Plot ACF untuk indeks DAX
17
Gambar 7 Plot PACF untuk indeks DAX
Gambar 8 Plot ACF untuk indeks NIK
Gambar 9 Plot PACF untuk indeks NIK
Analisis yang sudah dilakukan dari plot ACF dan PACF menunjukkan
bahwa ada tiga model yang teridentifikasi yaitu ARIMA (2,1,3), ARIMA(2,1,2),
dan ARIMA (3,1,2) untuk indeks saham DAX dan ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,0),
dan ARIMA(0,1,1) untuk indeks saham NIK. Setelah itu, dilakukan pendugaan
parameter dengan metode “coba-coba” yaitu dengan memperkecil ordo p atau
yang memiliki -value yang kecil atau menambah ordo p atau yang memiliki t-
18
value yang besar. Rangkuman hasil pengujian model ARIMA adalah sebagai
berikut,
Tabel 2 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham DAX
Model
ARIMA
ARIMA
(2,1,3)
ARIMA
(3,1,2)
ARIMA
(2,1,2)
Parameter
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
MA(3)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
AR(3)
MA(1)
MA(2)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
Koefisien
Parameter
3.005598
-0.184157
-0.513387
0.228640
0.503975
-0.052621
3.008278
-0.191178
-0.526178
-0.052377
0.235321
0.514810
3.007912
0.551854
-0.951658
-0.54152
0.909229
p-value
0.0205
0.5417
0.1181
0.4399
0.1182
0.2343
0.0205
0.5419
0.1318
0.2524
0.4457
0.1329
0.0206
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Nilai-log
likelihood
-10175.65
Nilai SIC Nilai AIC
-10170.66
10.94871 10.93809
-10167.13
10.93500 10.92016
10.94819 10.93038
Tabel 3 Hasil pendugaan model ARIMA pada indeks saham NIK
Model
ARIMA
ARIMA
(1,1,1)
ARIMA
(1,1,0)
ARIMA
(0,1,1)
Parameter
Konstanta
AR(1)
MA(1)
Konstanta
AR(1)
Konstanta
MA(1)
Koefisien
Parameter
-2,152543
0,534887
-0,577687
-1,904531
-0.039578
-1.782652
-0.041997
p-value
0,6600
0,0462
0,0260
0,7132
0.0877
0.7297
0.0700
Nilai-log Nilai SIC
likelihood
-12799.16 13.74513
Nilai AIC
-12800.72 13.74275
13.73682
-12807.57 13.74274
13.73681
13.73623
Dari Tabel 2 terlihat bahwa model ARIMA (2,1,2) untuk DAX adalah
model ARIMA yang paling baik karena semua -value nya kurang dari
baik untuk koefisien AR maupun koefisien MA dan nilai AIC (Akaike
Information Criterion) paling kecil diantara ketiga kandidat model di atas.
Sedangkan pada Tabel 3 terlihat bahwa model ARIMA(1,1,1) untuk NIK
merupakan model ARIMA yang paling baik karena semua p-value nya kurang
dari
yang berarti parameter-parameternya bernilai signifikan dan
koefisien AIC pada model ARIMA ini juga yang terkecil diantara ketiganya.
Setelah diketahui model ARIMA yang terbaik bagi masing-masing indeks saham,
langkah selanjutnya adalah melakukan uji ARCH-LM untuk mengetahui apakah
19
ada efek heteroskedastisitas pada model. Hipotesis untuk pengujian ARCH-LM
sendiri ialah sebagai berikut,
data tidak memiliki efek heteroskedastisitas.
data memiliki efek heteroskedastisitas.
Untuk hasil ujinya ialah sebagai berikut,
Tabel 4 Hasil pengujian ARCH-LM
p-value pada DAX
0.0000
p-value pada NIK
0.0002
Pada Tabel 4 hasil pengujian pada kedua nilai indeks saham menunjukkan
bahwa p-value kurang dari
sehingga
ditolak yang artinya pada kedua
model ARIMA masih terdapat efek heteroskedastisitas, sehingga tahap
selanjutnya adalah memodelkan model ARIMA dengan metode GARCH.
Model ARIMA-GARCH
Permodelan ragam sisaan GARCH adalah permodelan yang bertujuan
untuk menstasionerkan ragam pada model sehingga model yang sudah didapatkan
tidak memiliki efek heteroskedastisitas. Pada model sebelumnya dilakukan uji
ARCH-LM yang hasilnya pada kedua model ARIMA masih terdapat efek
heteroskedastisitas, sehingga pada tahap ini ditentukan model ARIMA-GARCH
yang paling baik. Hasil analisis menunjukkan setidaknya terdapat dua model yang
kemungkinan merupakan model terbaik untuk masing-masing nilai indeks saham
yaitu, ARIMA(2,1,2)-GARCH(1,1) dan ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) untuk DAX
dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) dan ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0) untuk NIK.
Secara ringkas hasil pengujiannya dapat dilihat pada Tabel 5 dan 6 berikut,
Tabel 5 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham DAX
Model
ARIMAGARCH
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Nilai
AIC(1) dan
Nilai
SIC(2)
ARIMA
(2,1,2)GARCH
(1,1)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
Konstanta
AR (1)
AR(2)
MA(1)
MA(2)
1.830628
1.807790
-0.949970
-1.800065
0.933447
1.79909
0.287719
-0.963414
0.289505
0.969848
0.0206
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0021
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
C
RESID(-1)^2
4.620671
0.065778
0.0000
0.0000
(1)10.00454
(2)10.02828
GARCH(-1)
0.934875
0.0000
C
RESID(-1)^2
RESID(-2)^2
GARCH(-1)
5.280847
0.034087
0.038485
0.927958
0.0000
0.0776
0.0825
0.0000
ARIMA
(2,1,2)GARCH
(2,1)
(1)10.00967
(2)10.03639
20
Tabel 6 Hasil analisis model ARIMA-GARCH untuk indeks saham NIK
Model
ARIMAGARCH
ARIMA
(1,1,1)GARCH(1,1)
ARIMA(1,1,1)GARCH (2,0)
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Parameter
Koefisien
Parameter
p-value
Konstanta
AR (1)
MA(1)
Konstanta
AR (1)
MA(1)
1.573310
0.573556
-0.585594
0.609350
0.626874
-0.655263
0.7446
0.0788
0.0704
0.8966
0.0530
0.0352
C
RESID(-1)^2
GARCH(-1)
C
RESID(-1)^2
RESID(-2)^2
2479.823
0.082077
0.873932
42284.71
0.123538
0.101009
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Nilai
AIC(1) dan
Nilai SIC(2)
(1)13.65916
(2)13.67696
(1)13.71109
(2)13.72889
Pada Tabel 5 terlihat bahwa p-value dari koefisien AR dan MA sudah baik
karena semua koefisennya kurang dari
. Namun, untuk persamaan
ragamnya model ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) masih belum signifikan karena
nilai p-value nya lebih besar dari
Sehingga, model ARIMA(2,1,2)GARCH(1,1) dipilih menjadi model yang terbaik untuk indeks DAX. Pada Tabel
6 terlihat bahwa p-value dari persamaan ragamnya sudah baik karena semua pvalue nya kurang dari Namun, untuk p-value pada koefisien AR dan MA pada
model ARIMA(1,1,1)-GARCH(1,1) masih belum signifikan karena nilai p-value
nya lebih dari
. Sedangkan, pada model ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0)
nilai p-value pada koefisien AR sebesar 0.0530 atau kelebihan sebesar 0.003 dari
. Perlu diingat bahwa skala p-value bernilai kontinu dan memotong tepat
pada nilai 0,05 sangat tidak realistis. Untuk p-value antara 0.048 sampai 0.053
masih dalam range yang dapat diterima (borderline significant) (Kay 2007).
Sehingga, model ARIMA (1,1,1)-GARCH(2,0) adalah model yang paling baik.
Tahap selanjutnya yaitu pengujian model dengan menggunakan uji ARCH-LM
untuk mengetahui apakah masih ada efek heteroskedastisitas pada model. Hasil
ujinya sebagai berikut,
Tabel 7 Hasil uji ARCH-LM setelah dilakukan permodelan
ARIMA-GARCH
p-value pada DAX
0.4897
p-value pada NIK
0.9241
Pada tabel terlihat nilai p-v
pada kedua model sudah lebih besar dari
yang berarti terima
sehingga kedua model sudah tidak memiliki efek
ARCH-GARCH. Didefinisikan merupakan beda (difference) dari variabel yang
digunakan sehingga,
. Persamaan model dari masingmasing indeks saham ialah sebagai berikut,
a. DAX:
dan ragam sisaannya,
b. NIK:
dan ragam sisaannya,
.
21
Copula
Langkah selanjutnya setelah mendapatkan model ARIMA-GARCH adalah
melakukan uji normalitas pada residualnya dengan menggunakan uji Jarque-Bera.
Hipotesis untuk pengujian Jarque-Bera ini adalah
data menyebar normal.
data tidak menyebar normal.
Hasil ujinya sendiri disajikan pada tabel berikut,
Tabel 8 Hasil uji Jarque-Bera
p-value indeks DAX
0.001
p-value indeks NIK
0.001
Pada tabel 8 terlihat bahwa p-value kedua residual kurang dari
yang berarti tolak
sehingga residual dari kedua model di atas tidak menyebar
normal sebagaimana hal ini tergambarkan pada Gambar 10 dan 11 berikut,
Gambar 10 Plot Residual pada Indeks DAX
Gambar 11 Plot Residual pada Indeks NIK
22
Setelah diketahui bahwa residual tidak menyebar normal maka dicari
distribusi masing-masing data dan hasilnya tergambarkan di Tabel 9 berikut,
Tabel 9 Hasil uji distribusi
Indeks Saham
Jenis Distribusi
DAX
NIK
location scale
location scale
AIC
BIC
19645
25468
19661
25485
Log-likelihood
value
9819.4
12731
Selanjutnya, dilakukan uji mutual dependensi pada kedua data indeks
saham. Hipotesis untuk pengujian mutual depedensi ini adalah,
Tidak ada mutual dependensi diantara indeks saham.
Ada mutual dependensi diantara indeks saham.
Tabel 10 Hasil Uji mutual dependensi
Rho
0.2101
-value
6.1757*
Pada Tabel 10 terlihat bahwa
value hasil pengujian lebih kecil dari
yang berarti tolak
sehingga ada mutual dependensi antara indeks
saham DAX dengan indeks saham NIK. Karena adanya mutual dependensi
antarindeks saham dan residual yang didapatkan tidak menyebar normal, maka
fungsi copula dapat mengkorelasikan kedua indeks saham tersebut. Selanjutnya,
parameter copula diestimasi dengan menggunakan copula Clayton, Frank,
Gumbel, Gaussian, dan Hasil estimasi parameter copula ialah sebagai berikut,
Tabel 11 Hasil Estimasi Parameter Copula
Copula
Gaussian
Frank
Gumbel
Clayton
Parameter
0.2286
1.4162
1.1292
0.2759
0.2321
Maximum Likelihood
Value
52.5339
49.4673
35.2181
46.3424
53.6436
Berdasarkan Tabel 11, copula memiliki nilai maximum likelihood
terbesar. Hal ini menunjukkan bahwa copula merupakan model copula terbaik
untuk kedua indeks saham. Setelah ditentukan copula yang akan digunakan,
selanjutnya akan diestimasi nilai tingkat korelasi antarindeks saham. Dalam
penelitian ini digunakan metode Kendall’s tau dan Spearman’s rho. Hasil
estimasinya adalah sebagai berikut,
Tabel 12 Hasil estimasi rank correlation
Metode
Kendall’s tau
Spearman’s rho
Nilai tingkat korelasinya
0.1491
0.2221
23
Pada tabel di halaman sebelumnya terlihat bahwa nilai tingkat korelasi
pada kedua residual data dengan menggunakan metode Kendall’s tau adalah
sebesar 0.1491 atau 14.91% dan jika menggunakan Spearman’s rho sebesar
0.2221 atau 22.21%. Hal ini menunjukkan bahwa kedua indeks saham gabungan
yang digunakan berkorelasi positif meskipun bernilai relatif kecil. Metode rank
correlation adalah metode penentuan tingkat korelasi ekor sebaran yang hanya
berdasarkan pada jenis copula yang digunakan. Sehingga, ketika indeks saham
DAX mengalami penurunan nilai maka kejadian itu berkorelasi lemah dengan
penurunan nilai yang terjadi pada indeks saham NIK. Korelasi diatas dikatakan
lemah karena berdasarkan rule of thumb yang dikemukakan Hinkle et.al
(1998:120) menyatakan, “... nilai koefisien korelasi yang berkisar dari 0.1 sampai
0.3 atau -0.3 sampai -0.1 dikategorikan berkorelasi lemah...”. Karena nilai korelasi
yang didapatkan semua nya di antara 0.1 sampai 0.3 maka kedua indeks
berkorelasi positif lemah.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Skripsi ini berhasil mencari model terbaik dari data nilai indeks saham DAX
dan NIK serta menentukan rank correlation menggunakan metode Spearman’s
rho dan Kendall’s tau. Dari hasil yang sudah didapatkan, model terbaik untuk data
indeks saham DAX adalah ARIMA(2,1,2)-GARCH(2,1) dan untuk data indeks
saham NIK adalah ARIMA(1,1,1)-GARCH(2,0). Copula terbaik yang didapatkan
pada skripsi ini adalah copula dengan parameter sebesar 0.2321. Untuk nilai
koefisien korelasi yang didapatkan dengan metode Kendall’s tau adalah sebesar
0.1491 dan jika dengan metode Spearman’s rho hasilnya sebesar 0.2221.
Saran
Pada skripsi ini dependence measures yang digunakan hanya Spearman’s
rho dan Kendall’s tau. Sebenarnya selain rank correlation, terdapat berbagai
macam jenis dependence measures lain yang lebih relevan dan akurat ketimbang
rank correlation yang mengintepretasikan korelasi berdasarkan nilai skalar seperti,
tail depedence, pengukuran berdasarkan Ginni’s coefficient, dan lain-lain.
Sehingga, untuk penelitian selanjutnya metode yang lain bisa digunakan untuk
mendapatkan hasil yang lebih akurat dan realistis. Copula yang digunakan pada
skripsi ini merupakan copula dua dimensi (bivariate) karena skripsi ini hanya
menganalisis dua variabel peubah acak. Copula ini kurang cocok untuk
menggambarkan investasi atau portofolio yang dimiliki baik oleh individu
maupun kelompok yang pada umumnya berjumlah sebanyak jenis investasi atau
portofolio. Sehingga, kedepannya penelitian ini perlu diperluas ke permodelan
dimensi banyak (multivariate) dan tentunya menggunakan copula multivariate
pula.
24
DAFTAR PUSTAKA
Aliprantis CD, Burkinshaw O. 1990. Principle of Real Analysis. Ed ke-2.
California (US): Academic Press.
Bartle RG, Shebert DR. 2011. Introduction to Real Analysis. Ed ke-4. New Jersey
(AS): John Wiley and Sons, Inc.
Castaneda L, Arunachalam V, Dharmaraja S. 2012. Introduction to Probability
and Stochastic Processes with Applications. West Sussex (GB): Wiley, Ltd
Chartrand G. 1985. Introductory Graph Theory. New York (US): Dover
Publications.
Cherubini W, Luciano W, Vecchiato W. 2004. Copula Methods In Finance. West
Sussex (GB): John Wiley and Sons, Ltd.
Cryer JD. 1986. Time Series Analysis. Boston (US): Duxburry Press.
Embrechts P, McNeil AJ, Straumann D. 2001. Correlation and depedency in risk
management: properties and pitfalls. Cambridge (GB): Cambridge University
Press.
Engle RF. 1995. ARCH: Selected Readings. Oxford (GB): Oxford University
Press.
Firdaus M. 2006. Analisis Deret Waktu Satu Ragam. Bogor (ID): IPB Press.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey (US): Pearson
Education, Inc.
Giacomini E.2005. Risk management with copulae [tesis]. Berlin (GE):
Humboldt-Universitat zu Berlin.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.
Oxford (GB): Oxford University Press.
Hinkle DE, Wiersma W, Jurs SG. 1998. Applied Statistics for the Behavioral
Sciences. Ed ke-4. Boston (US): Houghton Mifflin Company.
Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed ke-6. New Jersey (US): Pearson Education, Inc.
Jarque CM, Bera AK. 1981. Efficient test for normality test, homoscedasticity,
and serial independence. Economic Letters. 7(4):313-318.doi:10.1016/01651765(81)90035-5.
Kay R. 2007. Statistical Thinking for Non Staticians in Drug Regulation. West
Sussex (GB): John Wiley and Sons Ltd.
McNeil AJ, Rudger F, Embrechts P. 2005. Quantitative Risk Management.
Princeton (US): Princeton University Press
Nachrowi DN, Usman H. 2006. Pendekatan Populer dan Praktis Ekonometrika
untuk Analisis Ekonomi dan Keuangan. Jakarta (ID): UI Press.
Nelsen RB. 2005. An Introduction to Copulas. Oregon (US): Springer Science and
Business Media,Inc.
Ross SM. 2003. A First Course Linear Statistical Models. Burlington (CA):
Elsevier, Inc.
Roussas GG. 2004. An Introduction to Measure-theoretic Probability. California
(US): Academic Press.
Sunariyah. 2003. Pengantar Pengetahuan Pasar Modal. Ed ke-3. Yogyakarta
(ID): UPP AMP YKPN.
25
Schmidt T. 2006. Copulas from theory to application in France. IJTAF,
forthcoming.
26
LAMPIRAN
Lampiran 1 Data asli indeks saham dari tanggal 27 April 1993 s.d 20 Juni 2000
[Sumber: finance.yahoo.com/q/hp]
Tanggal
27-Apr-1993
28-Apr-1993
29-Apr-1993
30-Apr-1993
03-May-1993
04-May-1993
05-May-1993
06-May-1993
07-May-1993
10-May-1993
11-May-1993
12-May-1993
13-May-1993
14-May-1993
17-May-1993
18-May-1993
19-May-1993
20-May-1993
21-May-1993
24-May-1993
25-May-1993
26-May-1993
27-May-1993
28-May-1993
31-May-1993
01-Jun-1993
02-Jun-1993
03-Jun-1993
04-Jun-1993
07-Jun-1993
08-Jun-1993
09-Jun-1993
10-Jun-1993
11-Jun-1993
14-Jun-1993
15-Jun-1993
16-Jun-1993
17-Jun-1993
18-Jun-1993
21-Jun-1993
22-Jun-1993
TSX
3691.2
3710.2
3755
3789.4
3773.4
3779.1
3788.8
3794.7
3779
3778.5
3780.3
3796.5
3801.3
3813.3
3792.4
3826.8
3811.2
3831.5
3835.9
3847.9
3859.9
3865.1
3869.7
3866.4
3882.6
3856.8
3859.8
3875
3894.6
3892.1
3862.7
3859.7
3875.4
3866.4
3872.1
3887.7
3892.4
3903.7
3906.9
3922.4
3935.7
CAC
1927.4
1942.5
1920.6
1939
1937
1923.6
1926.3
1920.5
1878.6
1877.2
1854.5
1872.7
1879.9
1851.7
1835.7
1846.4
1836.8
1845
1853.2
1861.4
1891.1
1890.4
1904.6
1888.7
1880.8
1872.8
1875.8
1867.9
1859.7
1887.9
1893.7
1915.2
1911.2
1920.4
1916.8
1897.9
1918.8
1900.3
1910.3
1929.2
1935.3
DAX
1640.8
1628.9
1623.9
1627.2
1629.2
1627.4
1623.2
1623.3
1611.9
1609
1616.2
1629.5
1639.8
1634.5
1627.9
1628.5
1617.4
1614
1610.6
1603.1
1618.2
1622
1634.5
1631.9
1625.9
1619.9
1625.2
1629.6
1637.9
1655.6
1661.6
1673.1
1677.1
1681
1692
1684.1
1689.6
1692.3
1686.9
1689.8
1698.1
....
NIK
20207
20455
20687
20919
20845
20771
20696
20622
20811
21055
20940
20615
20533
20474
20566
20229
20381
20330
20557
20476
20632
20896
20853
20844
20552
20591
20692
21076
20882
20844
20575
20534
20493
20501
20397
20046
19902
19926
19805
19212
19538
FTSE
2832.7
2797.3
2786.8
2813.1
2812.8
2812.6
2796.5
2786.3
2793.7
2829.7
2836.1
2860.8
2849.3
2847
2858.1
2847.3
2819.7
2816.8
2812.2
2825.6
2837.7
2846.9
2855.3
2840.7
2844.9
2849.2
2863
2852.8
2829.9
2844.8
2844.4
2866.9
2860
2861.8
2885.5
2870
2883
2875.7
2879.4
2903.4
2907.6
SP
438.01
438.02
438.89
440.19
442.46
444.05
444.52
443.26
442.31
442.8
444.36
444.8
439.23
439.56
440.37
440.32
447.57
450.59
445.84
448
448.85
453.44
452.41
450.19
452.01
453.83
453.85
452.49
450.06
447.69
444.71
445.78
445.38
447.26
447.71
446.27
447.43
448.54
443.68
446.22
445.93
27
Tanggal
19-Apr-2000
20-Apr-2000
21-Apr-2000
24-Apr-2000
25-Apr-2000
26-Apr-2000
27-Apr-2000
28-Apr-2000
01-May-2000
02-May-2000
03-May-2000
04-May-2000
05-May-2000
08-May-2000
09-May-2000
10-May-2000
11-May-2000
12-May-2000
15-May-2000
16-May-2000
17-May-2000
18-May-2000
19-May-2000
22-May-2000
23-May-2000
24-May-2000
25-May-2000
26-May-2000
29-May-2000
30-May-2000
31-May-2000
01-Jun-2000
02-Jun-2000
05-Jun-2000
06-Jun-2000
07-Jun-2000
08-Jun-2000
09-Jun-2000
12-Jun-2000
13-Jun-2000
14-Jun-2000
15-Jun-2000
16-Jun-2000
19-Jun-2000
20-Jun-2000
TSX
9034
8959.7
8891.1
8822.5
9108.4
9378
9322.7
9347.6
9527.3
9510.3
9291.3
9414.1
9597.3
9337.5
9294.4
9097.1
9132.6
9211.8
9281.9
9582
9552.8
9549.9
9293.1
9139.9
8986.6
9144.2
9043.7
9020.9
9060.1
9344.1
9252
9552.2
9747.7
9679.7
9609.9
9557.7
9652.4
9728.8
9819.6
9836.