Analisis Aproksimasi Fungsi Dengan Metode Minimum Norm Pada Ruang Hilbert C[a, b] ( Studi Kasus: Fungsi Irasional)

ABSTRACT

ANALYSIS OF APPROXIMATION FUNCTIONS BY MINIMUM NORM
METHOD IN HILBERT SPACE C[a, b]
(CASE STUDIES : IRATIONAL FUNCTIONS)

By
M. ASRI MULATSIH

Usually, approximation of functions used in numerical analysis. Two main
reasons for application of approximation of functions are : to give efective
approximation of functions, and to simplified complex function. Given a function
f , with some or all point are given, we wish to get approximation of spesific
function f that can be easier to be analyzed.For example, we wish to compute
1
8
0

�+

��. Then we approximate

its integran by series Maclaurin.

Optimization problems, espesially good aprroximation of function that can’t get
the best solution (for large errors) in real space , it can be solved by mathematics
system simplier, by carryng out the problem to abstract space or vector space,
espesially in Hilbert space C[a,b]. The problem known as minimum norm
problem in Hilbert Space C[a,b]. By minimum norm method we have minimum
approximation errors.
Keyword: Approximation, minimum norm, Hilbert space C[a,b],irational
functions, series Maclaurin, optimal error.

ABSTRAK

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM
NORM PADA RUANG HILBERT C[a, b]
(STUDI KASUS : FUNGSI IRASIONAL)

Oleh
M. ASRI MULATSIH

Aproksimasi fungsi dalam proses komputasi sering digunakan hampir di semua
bidang analisis numerik. Dua alasan utama penggunaan aproksimasi fungsi adalah
untuk memberikan fungsi pendekatan yang efektif dan mendekati suatu fungsi
yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana. Diberikan sebuah fungsi f, baik
secara utuh ataupun hanya beberapa nilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin
memperoleh aproksimasi untuk f yang mempunyai bentuk tertentu dengan
kesalahan yang dapat kita kontrol.
1

Misalnya kita hendak menghitung

8
0

�+

�� , kita hampiri integrannya

dengan deret Maclaurin. Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik

yang tidak medapatkan solusi terbaik (ralat yang besar) dalam ruang fisis atau
yang dikenal sebagai ruang real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang
sederhana, dengan membawa masalah aproksimasi tersebut ke ruang abstrak
(berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor, khususnya pada ruang Hilbert C[a,b].
Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang Hilbert
C[a,b]. Dengan menggunakan konsep minimum norm akan diperoleh kesalahan
optimal (galat) yang minimum.
Kata kunci: Aproksimasi, minimum norm, ruang Hilbert C[a,b], fungsi irasional,
deret Maclaurin, kesalahan optimaL.

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM
NORM PADA RUANG HILBERT C[ a, b]
( STUDI KASUS: FUNGSI IRASIONAL )

Oleh

M. Asri Mulatsih

Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2014

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pringsewu Timur, Kabupaten Pringsewu pada tanggal 7
Oktober 1992, sebagai anak keempat dari empat bersaudara dari bapak F. X.
Harsono dan Ibu L. Suwarni. Penulis telah mengawali Pendidikan Taman Kanakkanak Fransiskus di Pringsewu Timur Kabupaten Pringsewu pada tahun 1998,
Sekolah Dasar Fransiskus Pringsewu pada tahun 2004, Sekolah Menengah
Pertama

Xaverius Pringsewu pada tahun 2007, Sekolah Menengah Atas

Xaverius Pringsewu pada tahun 2010.

Pada tahun 2010 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, FMIPA UNILA melalui jalur Ujian Masuk
Lokal(UML). Penulis aktif dalam beberapa organisasi, yaitu menjadi anggota
Pramuka, Bina Vokalia, Seni Lukis, dan Seni Tari SD Fransiskus Pringsewu,
menjadi anggota Pramuka dan Seni Tari SMP Xaverius Pringsewu, menjadi
anggota Seni Tari, English Club, dan Karya Ilmiah Remaja (KIR) SMA Xaverius
Pringsewu. Penulis juga pernah mengikuti lomba Karya Ilmiah Remaja (KIR)
tingkat Provinsi di Balitbangda, dan menjabat sebagai anggota kesekretariatan
(KESTARI) Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) pada tahun 2010.

Pada tahun 2013 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata di Pekon Menggala,
Kecamatan Kota Agung Barat, Kabupaten Tanggamus. Penulis melaksanakan
Kerja Praktek (KP) di Badan Pusat Statistik Kabupaten Pringsewu pada tahun
2013.

PERSEMBAHAN

Dengan segala cinta dan kasih sayang kupersembahkan karya kecilku ini untuk

orang-orang yang akan selalu berharga dalam hidupku.

Tuhan Yesus Kristus
Yang menjadi kekuatanku ketika putus asa

Bapak, ibu, Mas Ari , Mas Virri, Mas Aris, semua teman, dan keluarga besarku
Yang selalu memberikan canda dan tawa, selalu berdoa untuk keberhasilanku, dan
selalu memberikan kasih sayang yang tidak ternilai.

Para pendidikku
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, atas bimbingan dan
ajarannya.

Almamaterku Tercinta Universitas Lampung

MOTO

Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh
kepercayaan, kamu akan menerimanya
( Matius 21:22 )

Dibalik suatu keberhasilan ada doa dan usaha
(M. Asri Mulatsih)

Maka berdoalah agar Tuhan mentenagai ketegasan anda
untuk melakukan yang anda ketahui sebagai cara
mendekatkan anda kepada cita-cita dan impian anda
( Mario Teguh)

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah Bapa di Surga, yang telah
memberikan kasih karunia, anugerah, dan Berkat-Nya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dengan baik.

Skripsi dengan judul “Analisis Aproksimasi Fungsi Dengan Metode Minimum
Norm Pada Ruang Hilbert C[a,b] ( Studi Kasus: Fungsi Irasional)” disusun
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di
Universitas Lampung.

Skripsi ini dapat diselesaikan berkat bantuan sdan bimbingan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima
kasih banyak kepada:
1.

Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

2.

Bapak Amanto, S. Si., M. Si., selaku dosen pembimbing utama yang telah
membimbing dan mengarahkan penulis dari awal hingga akhir.

3.

Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua dan
juga selaku Sekretaris Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang telah banyak membantu dan
memberikan banyak pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

4.

Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku dosen penguji dan juga Ketua
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung, atas kesediaannya untuk menguji, memberikan saran,
dan kritik yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini.

5.

Bapak Ahmad Faisol, S. Si., M. Sc., selaku dosen pembimbing akademik
yang membimbing dan mengarahkan penulis selama kuliah.

6.

Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

7.

Untuk Bapak, Ibu, Mas Ari, Mas Virri, dan Mas Aris yang selalu memberikan

semangat, doa, serta canda tawa dalam menyelesaikan skripsi ini.

8.

Sahabat-sahabatku Duma, Fransiska, Rara, Eka, Apit, Dita, Encis, dan
MATH 2010 yang selalu memberikan dukungan serta canda tawa.

9.

Almamaterku tercinta Universitas Lampung.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kelemahan dan kekurangan dari skripsi
ini. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang bersifat membangun sangat
penulis harapkan. Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini dapat bermanfaat
bagi penulis maupun pembaca.

Bandar Lampung,
Penulis

M. Asri Mulatsih

Juli 2014

i

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiv
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xv
I. PENDAHULUAN ............................................................................................
1.1 Latar Belakang .........................................................................................
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................
1.3 Batasan Masalah ......................................................................................
1.4 Tujuan Penelitian .....................................................................................
1.5 Manfaat Penelitian ...................................................................................

1
1
3
3
4
4

II. TINJAUAN PUSTAKA ................................................................................. 5
2.1 Aproksimasi Fungsi ................................................................................. 5
2.2 Kesalahan Aproksimasi Fungsi................................................................ 6
2.3 Teorema Proyeksi .................................................................................... 7
2.4 Deret Maclaurin ....................................................................................... 16
2.5 Fungsi Irasional ........................................................................................ 17
III. METODE PENELITIAN ............................................................................ 18
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................................. 18
3.2 Metodologi Penelitian .............................................................................. 18
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................................... 20
4.1 Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Irasional Dengan Metode
Minimum Norm Pada Ruang Hilbert C[a,b]........................................... 20
4.2 Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Irasional Dengan
Deret Maclaurin ...................................................................................... 53
V. KESIMPULAN ............................................................................................... 54
5.1 Kesimpulan .............................................................................................. 54
DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

2.1 .......................................................................................................................... 10

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah

Persoalan-persoalan di bidang matematika dalam kehidupan sehari-hari biasanya
dinyatakan ke dalam bentuk fungsi. Persoalan-persoalan matematika tersebut
biasanya tidak dapat dicari solusinya dengan hanya perhitungan biasa(eksak).
Misalnya persoalan-persoalan akar-akar persamaan, sistem persamaan linier,
pencocokan kurva, integrasi, dan persamaan diferensial biasa. Oleh karena itu,
perlu digunakan perhitungan melalui aproksimasi untuk mendapatkan suatu nilai
yang mendekati nilai yang diinginkan. Aproksimasi adalah suatu pendekatan
untuk memperoleh nilai fungsi yang mendekati dengan nilai fungsi lainnya. Perlu
diperhatikan bahwa dalam pendekatan memperoleh nilai fungsi, harus diambil
nilai fungsi yang mendekati dengan nilai fungsi sebenarnya. Tetapi, penyelesaian
melalui aproksimasi terdapat suatu kesalahan terhadap nilainya. Dalam
perhitungan dengan aproksimasi terdapat tiga macam kesalahan yang mungkin
terjadi, yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan, dan kesalahan
pemotongan ( Triadmodjo, 2002).

2

Cara mencari aproksimasi fungsi tersebut adalah dengan optimisasi. Optimisasi
adalah suatu proses memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi objektif
yang memenuhi kendala tertentu. Suatu masalah optimisasi yang tidak
mendapatkan solusi terbaik dalam ruang fisis atau ruang real, dapat dipecahkan
dengan suatu sistem matematis, yaitu dengan membawa masalah tersebut ke ruang
abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vektor (Kreyzig, 1978). Masalah
aproksimasi fungsi di tersebut dapat diselesaikan pada ruang vektor, yaitu dengan
metode optimisasi ruang vektor. Ruang vektor yang digunakan adalah ruang
Hilbert. Ruang Hilbert merupakan ruang abstrak yang di dalamnya memuat
perpaduan tiga konsep, yaitu Aljabar, Analisis dan Geometri. Konsep geometri
yang digunakan adalah mengenai proyeksi, sebab ruang Hilbert dibangun oleh
konsep inner product (Berberian, 1961). Penelitian tentang masalah tersebut,
diantaranya adalah penyelesaian masalah minimum norm pada ruang Hilbert
L2[a,b] (Amanto dkk, 2003). Selanjutnya penelitian yang sama juga dilakukan
pada ruang Hilbert yang lain, yaitu ruang Hilbert C[a,b] (Joko Waluyo, 2003).
Dalam hal ini konsep yang digunakan yaitu minimum norm pada ruang Hilbert
C[a,b]. Fungsi yang akan dicari aproksimasinya adalah fungsi-fungsi kontinu
bernilai real yang terdefinisi pada [a,b]. Pada penelitian tersebut baru sampai pada
tahap mencari solusinya, belum pada tahap evaluasi atau analisis hasil terkait
dengan galat yang dihasilkannya.

Metode optimisasi dengan metode ruang vektor pada dasarnya adalah mencari
vektor dengan norma minimum atau meminimumkan norma suatu vektor
(Luenberger, 1969). Untuk membahas aproksimasi fungsi digunakan Teorema

3

Proyeksi [Adkinson (2001) & Luenberger (2001)]. Dalam pemecahan masalah ini,
langkah penting yang harus diperhatikan adalah pemilihan basis yang bebas linear
yang membangun ruang fungsi yang akan diaproksimasi dan penentuan kesalahan
optimal atau ralat optimal dari aproksimasi yang diambil. Basis ini tidak tunggal.
Pemilihan basis yang berbeda akan menghasilkan aproksimasi fungsi yang sama
dan juga kesalahan optimal yang sama pula. Oleh karena itu, berdasarkan latar
belakang masalah tersebut penulis ingin mengangkat judul " Analisis
Aproksimasi Fungsi Dengan Metode Minimum Norm Pada Ruang Hilbert
C[a,b] ( Studi Kasus : Fungsi Irasional) ".

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut di atas, maka yang menjadi
permasalahan dalam penelitian ini adalah:
“Bagaimana analisis aproksimasi fungsi irasional dengan metode minimum norm
pada ruang Hilbert C[a,b]?”

1.3. Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah membahas analisis
aproksimasi fungsi irasional dengan metode minimum norm pada ruang hilbert
C[a,b].

4

1.4. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah Tujuan penelitian ini adalah menganalisa
galat yang terjadi pada aproksimasi fungsi irasional dengan metode optimasi
ruang vektor, yaitu minimum norm pada ruang Hilbert C[a,b] untuk mendapatkan
aproksimasi fungsi irasional yang terbaik.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :
1.

Memberikan konsep analisa terhadap analisis galat atas pemilihan basis yang
dilakukan pada aproksimasi fungsi irasional dengan metode minimum norm
pada ruang Hilbert C[a,b] sehingga akan diperoleh aproksimasi fungsi
irasional terbaik dengan galat (kesalahan) yang paling kecil.

2.

Memberikan kontribusi bagi peneliti tentang metode minimum norm pada
ruang Hilbert C[a,b].

3.

Dapat memberikan sumbangan pemikiran dan menambah wawasan mengenai
metode minimum norm pada ruang Hilbert C[a,b].

II. TINJAUAN PUSTAKA

Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode
minimum norm pada ruang hilbert C[a,b] (Studi kasus: fungsi irasional), penulis
menggunakan definisi, teorema dan konsep dasar sebagai berikut:

2.1. Aproksimasi Fungsi

Suatu fungsi tidak memerlukan penyelesaian tetapi fungsi tersebut hanya dapat
dievaluasi apabila nilai variabelnya diberikan. Misalnya suatu fungsi variabel ini
dinyatakan oleh x(t) =

� 2 − 1 dengan 1 ≤ t ≤ 8. Suatu fungsi juga dapat

direpresentasikan dalam deret pangkat tak hingga. Suatu fungsi yang diekspansi
dalam deret pangkat tak hingga

~
�
�=0 �

tidak dapat diselesaikan dengan

perhitungan biasa untuk mendapatkan nilai eksaknya. Oleh karena itu, untuk
mencari nilainya dapat dilakukan dengan penggunaan suatu pendekatan.
Perhitungan dengan suatu aproksimasi menghasilkan nilai pendekatan ( Munir,
2006 ).

6

Ada dua jenis penggunaan aproksimasi pada suatu fungsi, yaitu:
1. Menggantikan fungsi-fungsi yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana
sehingga banyak operasi umum, seperti fungsi irasional dan fungsi integral,
atau bahkan mengevaluasi fungsi tersebut dapat dilakukan dengan mudah.
2. Untuk memperoleh kembali suatu fungsi dari informasi sebagian mengenai
fungsi itu, misalnya dari suatu tabel nilai ( Santoso, 2003 ).

2.2. Kesalahan Aproksimasi Fungsi

Dalam perhitungan dengan aproksimasi mungkin akan terjadi suatu kesalahan
terhadap nilai eksaknya. Menurut Triatmodjo (2002), terdapat tiga jenis kesalahan
yang mungkin terjadi dalam perhitungan dengan aproksimasi yaitu kesalahan
bawaan, kesalahan pembulatan (round-off error), dan kesalahan pemotongan
(truncation error).

Definisi 2.2.1. Kesalahan Bawaan
Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data yang terjadi karena kekeliruan
dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya
pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur (Triatmodjo,
2002).
Munir (2006) menyebut kesalahan bawaan dengan istilah kesalahan eksperimental
yaitu kesalahan yang timbul dari data yang diberikan misalnya karena kesalahan
pengukuran, ketidaktelitian alat ukur, dan sebagainya.

7

Definisi 2.2.2. Kesalahan Pembulatan (round-off error).
Kesalahan

pembulatan

adalah

kesalahan

yang

terjadi

karena

tidak

diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan (Triatmodjo,
2002). Kesalahan pembulatan misalnya 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14.

Definisi 2.2.3. Kesalahan Pemotongan (truncation error).
Kesalahan

pemotongan

adalah

kesalahan

yang

terjadi

karena

hanya

diperhitungkannya beberapa suku pertama dari suatu deret tak hingga
(Triatmodjo, 2002). Selain definisi di atas, kesalahan pemotongan (truncation
error) juga didefinisikan sebagai kesalahan yang timbul dari penggunaan suatu
aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak (Chapra, 2002).
Kesalahan pemotongan terjadi misalnya pada penggunaan aproksimasi dengan
deret Taylor. Kesalahan (error) yang muncul dalam penggunaan aproksimasi
diharapkan bernilai sangat kecil sehingga nilai yang diperoleh mendekati atau
hampir sama dengan nilai eksaknya. Oleh karena itu, dalam menghampiri suatu
fungsi deret pangkat tak hingga nilai kesalahannya akan bernilai semakin kecil
jika suku-suku deret yang digunakan untuk menghampiri fungsi tersebut semakin
banyak.

2.3. Teorema Proyeksi

Teorema proyeksi merupakan prinsip dasar dalam penyelesaian masalah
optimisasi. Sebelum ke Teorema proyeksi, terlebih dahulu akan diperkenalkan
konsep ortogonalitas.

8

Definisi 2.3.1 (Luenberger, 1969)
Dalam suatu ruang pre-Hilbert X, vektor x,y  X dikatakan ortogonal jika = 0, dinotasikan dengan x  y. Suatu vektor x dikatakan ortogonal dengan
himpunan S, dinotasikan x  S jika x  s untuk setiap s  S.
Lemma berikut menunjukkan bahwa Teorema Phytagorean dalam geometri
bidang merupakan akibat dari konsep ortogonalitas.

Lemma 2.3.1
Misalkan X suatu ruang Hilbert dan x, y  X. Jika x  y, maka
x y  x  y
2

2

2

Bukti :
x  y  x  y, x  y  x, x  x, y  y, x  y, y
2

= x 00 y = x  y . 
2

2

2

2

Selanjutnya akan dibahas suatu masalah optimisasi yang berhubungan dengan
Teorema proyeksi. Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, diberikan suatu vektor x
X dan M ruang bagian dari X, maka akan ditentukan vektor m M yang terdekat
ke x, yaitu vektor yang meminimalkan x  m .
Jika x berada di M maka penyelesaiannya trivial, yaitu vektor x sendiri. Secara
umum ada empat pernyataan penting dalam penyelesaian masalah tersebut yaitu :

1. Adakah vektor m  M yang meminimalkan x  m ?
2. Apakah penyelesaiannya tunggal ?
3. Kondisi apa yang harus dipenuhi agar ada penyelesaian optimal ?

9

4. Bagaimana menentukan penyelesaian optimal ?
Pernyataan nomor 1, 2 dan 3 akan dijawab dengan Teorema proyeksi. Ada dua
versi Teorema proyeksi, satu versi pada ruang Pre-Hilbert dan satu versi yang lain
pada ruang Hilbert dengan hipotesis dan kesimpulan yang lebih kuat.

Teorema 2.3.2 (Teorema Proyeksi di Ruang pre-Hilbert)
Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, M suatu ruang bagian dari X dan x sebarang
vektor di X. Jika ada vektor m0  M , sedemikian sehingga x  mo  x  m , m  M
, maka m0 tunggal. Syarat perlu dan cukup m0  M , suatu vektor minimal tunggal
di M adalah vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap M.
Bukti :
Akan di tunjukkan jika m0 adalah vektor minimal, maka x – m0 ortogonal terhadap
M. Andaikan kondisi sebaliknya, terdapat m  M yang tidak ortogonal terhadap x
– m0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, dimisalkan m  1 dan =

  0 . Didefinisikan vektor m1  M , sebagai m1 = m0 +  m maka
x  m1

2

 x  m0  m

2

 x  m0  m, x  m0  m 
 x  m0 , x  m0    x  m0 ,m    m, x  m0    m,m 
 x  m0   x  m0 , m    m, x  m0    m
2

2

2

2

 x  m0

2

   x  m0 , m    m, x  m0   

 x  m0

2

 2  

 x  m0

2



 x  m0

2

 x  m0   m, x  m0    m, x  m0   
2

2

2

2

2

10

Ini berarti  m1 dengan m1 = m0 +  m sehingga x  m1  x  m0 , ini berarti
2

2

m1 bukan vektor minimal. Jadi m0 vektor minimal maka x – m0 ortogonal terhadap
M atau (x – m0)  m, m  M . Dengan demikian jika x – m0 tidak ortogonal
terhadap M maka m0 bukan vektor minimal.

Selanjutnya akan ditunjukkan jika vektor x – m0 ortogonal terhadap M, diambil
sebarang m  M, berdasarkan Teorema Phytagorea :
x  m  x  m0  m0  m  x  m0  m0  m
2

2

sehingga x  m  x  m0
2

2

2

2

untuk m  m0 . 

Dalam dimensi tiga, teorema proyeksi ini dapat dinyatakan sebagai berikut :
Ruang bagian M adalah bidang yang melalui titik asal dan x di ruang dimensi tiga
X. Jika ada vektor minimal m0  M maka m0 tunggal dan vektor selisih x – m0
tegak lurus terhadap bidang M, seperti digambarkan dalam gambar di bawah ini :

x
(x – m0)
M



Gambar 2.1
Teorema di atas belum menjamin keberadaan vektor minimal, tetapi jika ada
vektor minimal m0 , maka m0 tunggal dan vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap
ruang bagian M. Dengan hipotesis yang lebih kuat didapatkan kesimpulan yang

11

lebih kuat, yaitu terjaminnya keberadaan vektor minimal. Hal ini dinyatakan
dalam teorema berikut.

Teorema 2.3.3 Teorema Proyeksi Klasik
Misalkan H ruang Hilbert dan M ruang bagian tertutup dari H, maka untuk
sebarang vektor x  H , terdapat tunggal vektor m0  M sedemikian hingga

x  mo  x  m , m  M . Syarat perlu dan cukup m0  M ,suatu vektor
minimal tunggal adalah vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap ruang bagian M.
Bukti :
Ketunggalan dan ortogonalitasnya telah dibuktikan pada Teorema 2.3.2, sehingga
tinggal membuktikan keberadaan vektor minimal. Jika x  M dan m0 = x maka
bukti selesai.
Misalkan x  M dan didefinisikan   inf x  m akan ditentukan m0  M dengan
mM

x m0   . Misalkan {mi} suatu barisan vektor dalam M dan x  mi   .
Menurut hukum jajaran genjang (parallelogram),
2

2

2

(m j  x)  ( x  mi )  (m j  x)  ( x  mi )  2 m j  x  2 x  mi

2

dengan menyusun kembali persamaan di atas didapatkan :
2

2

m j  mi = 2 m j  x  2 x  mi - 4 x 
Dan vektor

mi  m j

2

mi  m j

2

2

untuk setiap i, j .

berada di M.

2

Karena M ruang bagian linier sehingga dari definisi  , x 
dan didapatkan :

mi  m j
2



12

m j  mi

2

2

 2 m j  x  2 x  mi  4 2
2

karena


Maka



mi  x

2

m j  mi

2

  2

, i

 0

, i, j   .

Dengan demikian {mi} adalah barisan Cauchy dan karena M ruang bagian tertutup
dari ruang lengkap, maka barisan {mi} mempunyai limit m0 di dalam M.
Dengan kekontinuan norm maka x  m0   . 

Jadi dalam penulisan ini, Teorema proyeksi klasik menjamin keberadaan dan
ketunggalan penyelesaian optimal serta kondisi yang harus dipenuhi agar
keberadaan

vektor

minimal

ada

penyelesaian

optimalnya,

penyelesaian

optimalnya sendiri belum dapat ditentukan.

Selanjutnya teorema proyeksi di atas akan ditetapkan untuk membangun sifat
struktural tambahan dari suatu ruang Hilbert, antara lain adalah dalam sebarang
ruang bagian tertutup dari ruang Hilbert, sebarang vektor dapat ditulis sebagai
jumlahan dua vektor, satu vektor di ruang bagian tertutup dan vektor yang lain
ortogonal terhadapnya.

Definisi 2.3.2 (Luenberger, 1969)
Misalkan y1,y2,......,yn basis dari M. Diberikan sebarang vektor x  H dan akan
dicari vektor m0 di M yang terdekat ke x. Jika vektor m0 dinyatakan dalam sukusuku dalam vektor yi sebagai :

13

n

 y

mo =

i 1

i

i

Maka masalah tersebut ekuivalen dengan menemukan skalar  i , i = 1, 2, ....., n
yang meminimalkan x  1 y1   2 y2  .......   n yn .
Menurut Teorema proyeksi, vektor minimal tunggal m0 adalah proyeksi ortogonal
x pada M, atau vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap setiap vektor yi .
Dengan demikian :  x  1 y1   2 y2  ..........   n yn , yi  0 untuk i = 1, 2, ...., n.
Atau
- <  1y1, y1> - <  2y2, y1> - .............- <  nyn, y1> = 0
- <  1y1, y2> - <  2y2, y2> - .............- <  nyn, y2> = 0











- <  1y1, yn> - <  2y2, yn> - .............- <  nyn, yn> = 0
Atau
 1 +  2 + .............+  n =
 1 +  2 + ..............+  n =









 1 +  2 + ..............+  n =
Persamaan dalam koefisien  i sebanyak n kali ini dikenal sebagai persamaan
normal untuk masalah minimalisasi.
Matriks n x n yang berhubungan dengan vektor y1, y2,...,yn yaitu :
 y1 , y1   y1 , y2  ..........  y1 , yn 

G = G(y1, y2,......, yn) =

 y2 , y1   y2 , y2  .........  y2 , yn 



 yn , y1   yn , y2  .........  yn , yn 

14

disebut matriks Gram dari y1, y2, y3, ........, yn. Matriks ini adalah tranpose dari
matriks koefisien normal.

Teorema 2.3.4
Determinan Gram g = g(y1, y2,…., yn)  0 jika dan hanya jika y1, y2,…., yn bebas
linear.
Bukti :
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan vektor–vektor y1, y2,…., yn
bergantung linear jika dan hanya jika g = g(y1, y2,….,yn) = 0.

Misalkan yi bergantung linier, berarti terdapat i yang tidak sama dengan nol
n

sedemikian sehingga

 y
i 1

i

i

 0 . Karena barisan-barisan pada determinan Gram

bergantung pada yi, maka determinannya nol.

Misalkan g = g(y1, y2,…., yn) = 0. Maka ada kebergantungan linier di antara
barisan-barisannya sehingga terdapat konstanta I yang tidak semuanya nol
n

sedemikian hingga


i 1

n

  i yi , y j  0 atau

i

 yi , y j  0 , untuk semua j. Dengan demikian
n

 i yi

2

 0 . Sehingga

n

 y

 0 dan vektor

y1,

Walaupun persamaan normal tidak memiliki penyelesaian tunggal jika

yi

i 1

i 1

i 1

i

i

y2,…., yn bergantung linier. 

bergantung linier, tetapi selalu ada paling sedikit satu penyelesaian. Jika g = 0

15

maka selalu dihasilkan penyelesaian yang tidak tunggal, bukan penyelesaian yang
tidak konsisten.
Teorema berikut menyatakan jarak minimum suatu vektor ke ruang bagian dapat
dicari dengan determinan matriks Gram.

Teorema 2.3.5
Misalkan y1,….., yn bebas linear dan  jarak minimum vektor x ke ruang bagian M
yang dibangun oleh yi, yaitu :


  min x  1 y1   2 y2  .......   n yn  x  x

maka,
2 

g ( y1 , y2 ,..., yn , x)
g ( y1 , y2 ,...., yn )

Bukti :
 2









Menurut definisi  2  x  x   x  x, x  x    x  x, x    x  x, x 


Menurut teorema proyeksi, x - x ortogonal terhadap M, sehingga secara khusus






karena x  M maka : = 0, sehingga




 2   x  x, x    x, x    x, x    x, x  i  y1 , x  ......   n  yn , x 
atau

 2  1  y1 , x  ......   n  yn , x    x, x 

persamaan ini bersama persamaan normal memberikan n + 1 persamaan linier
dalam n + 1 variabel 1 , 2 ,....., n ,  2 . Dengan aturan Cramer didapatkan

16

 y1 , y1   y2 , y1  ..........  yn , y1   x, y1 
 y1 , y2   y2 , y2  .........  yn , y2   x, y1 




 y1 , yn   y2 , yn  ........  yn , yn   x, yn 
2 

 y1 , x   y2 , x  .........  yn , x   x, x 
g ( y1 ,......., yn , x)

 y1 , y1   y2 , y1  .............  yn , y1  0
g ( y1 ,..........., yn )
 y1 , y2   y2 , y2  .............  yn , y2  0




 y1 , yn   y2 , yn  .............  yn , yn  0
 y1 , x   y2 , x  .................  yn , x  1

2.4. Deret Maclaurin

Kasus khusus pada deret Taylor adalah bila fungsi diperluas sekitar t0 = 0 maka
deretnya dinamakan deret Maclaurin yang juga merupakan deret Taylor baku
sebagai berikut:
�

=
=

′ (0)

0 +
∞
=1

1!

(0)
!

(Purcell, 2004)

�

�+

"(0) 2
�
2!

+

′′′

(0) 3

� +⋯

3!

Contoh 2.4.1
Fungsi ( � =

1
0

8

1

� + 1 �,0 ≤ � ≤ )
8

Menentukan deret Maclaurin dari fungsi
nilai 0.
� = �+1

′ � =

1

2 �+1

↔

x(0) = 1

↔

′ 0 =

1
2

� =

1
0

8

� + 1 � dan pendekatan ke

17

� =

Sehingga diperoleh deret Maclaurin dari fungsi
�+1=1+

1
2

1!
1

=1+ �

�+⋯

1
0

8

�+1 �

2

2.5. Fungsi Irasional

Fungsi Irasional adalah akar dari fungsi polinom.
Bentuk umumnya :
=
(Albari, 2001)

0

+

1

+

2

2

+ ⋯+

,

tidak bulat,

, �R

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.

3.2. Metode Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode yang bersifat studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari, menganalisis masalah dengan definisi-definisi, dan definisi tersebut
menjadi acuan berfikir untuk mengemukakan teori yang sesuai dengan masalah
yang bersangkutan, dan kemudian membuat kesimpulan.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Menginventaris pustaka meliputi jurnal, skripsi dan buku yang berkaitan
dengan aproksimasi fungsi irasional.

19

2. Membawa masalah aproksimasi fungsi ke ruang Hilbert C[a,b] dengan cara
terlebih dahulu menentukan produk skalar terhadap ruang Hilbert C[a,b] yang
sesuai untuk digunakan.
3. Menentukan basis-basis yang akan digunakan Mencari penyelesaian optimal
(aproksimasi fungsi terbaik) dengan persamaan normal.
4. Menentukan kesalahan optimal dari pengambialan basis yang berbeda-beda
pada langkah (2) dan melakukan analisis serta evaluasi terhadap galat dan
fungsi yang dihasilkan.
5. Melakukan langkah (1) s.d. (4) untuk kasus fungsi yang lain.
6. Melakukan perbandingan dengan aproksimasi deret Maclaurin dan selanjutnya
mengambil kesimpulan.

V. KESIMPULAN

Masalah optimisasi khususnya aproksimasi fungsi irasional terbaik yang tidak
mendapatkan solusi terbaik dalam ruang real, dapat dipecahkan dengan membawa
masalah aproksimasi tersebut ke ruang vektor, khususnya pada ruang Hilbert
C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah minimum norm dalam ruang
Hilbert C[a,b] dengan studi kasus fungsi irasional. Dengan menggunakan konsep
minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.
Dibandingkan dengan menggunakan metode deret Maclaurin yang menghasilkan
galat berdasarkan pada panjang suku pada deret.

Sehingga dalam penyelesaian masalah minimum norm dengan menggunakan
ruang Hilbert C[a,b] maka fungsi aproksimasi tidak tergantung pada pemilihan
basis, asalkan basis yang dipilih membangun ruang Hilbert C[a, b].

DAFTAR PUSTAKA

Albari. 2001. Matematika Untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta: Ekonisia.
Amanto, Suharsono, dan Waluyo, J.,2003. Penyelesaian Masalah Minimum Norm
dalam Ruang Hilbert L2[a,b]. Jurnal Matematika, Aplikasi dan
Pembelajarannya (JMAP), Vol 2, hal. 124 – 131.
Atkinson, K. And Han, W., 2001. Theoretical Numerical Analysis : A Functional
Analysis Framework. Springer Verlag, New York.
Berberian, SK., 1961. Introduction to Hilbert Space, Academic Press, Inc., New
York.
Joko Waluyo, 2003. Penyelesaian Masalah Minimum Norm Dalam Ruang Hilbert
C[a,b]. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Unila.
Kreyzig, Erwin. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New
York : John Willey.
Luenberger, D.G., 1969. Optimization by Vector Space Methods John Wiley and
Sons, New York.
Munir, Rinaldi. 2006. Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus. Jilid Dua. Jakarta: Erlangga.
Santoso, Gatot Iman. 2003. Aproksimasi Polinomial sebagai Metode Hampiran
untuk Fungsi Turunan ke-n yang Kontinu. Madiun: Universitas Katolik
Widya Mandala.
Soemantri, R. 1994. Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Universitas Gadjah
Mada.
Triatmodjo, Bambang. 2002. Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.