BAB II LANDASAN TEORI
A. Urutan Bilangan Real
Definisi 2.1
Dipunyai a,b P
∈ dengan P adalah himpunan bilangan positif. i jika
P b
a ∈
− , maka a b atau b a
ii jika
{ }
∪ ∈
− P
b a
, maka b
a ≥ dan
b a
≤ Bartle, 1994:29
Teorema 2.1.
Jika 0 c 1 dan N
n m
∈ ,
maka
n m
c c
jika dan hanya jika m n. Bukti:
⇒ Dipunyai
n m
c c
. Andaikan
n m
≤ . Jelas
≥ − m
n .
Jadi
m n
n m
c c
c
−
⇔ 1
. Jelas
m n
c
−
1 .
Hal ini kontradiksi dengan 0 c 1. Jadi m n.
⇐ Dipunyai m n. Jelas m-n 0.
Jadi
n m
n m
c
− −
1
1 c
n m
⇔
−
1 c
c
n m
⇔
n m
c c
⇔ Jadi
n m
c c
. B.
Nilai Mutlak Definisi 2.2
Jika x suatu bilangan real, nilai mutlak x yang dituliskan x didefinisikan
sebagai berikut. x untuk
≥ x
= x
- x untuk x 0
Darmawijaya 2006:40
Teorema 2.2 ketidaksamaan segitiga
Jika x,y R
∈ , maka y
x y
x +
≤ +
. Darmawijaya, 2006:40
Bukti:
. x
. 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
y y
y x
x y
xy x
y xy
x y
x y
x
+ =
+ +
= +
+ ≤
+ +
= +
= +
≤
Jadi terbukti y
x y
x +
≤ +
.
Akibat 2.2
Untuk setiap x,y R
∈ , berlaku i
y x
y x
− ≤
− ii
y x
y x
+ ≤
− Darmawijaya, 2006:41
i. Karena
b y
y x
x +
+ −
= maka
y x
y x
− ≤
− …………………1
Karena x
y x
x y
y −
≤ +
− =
= x
x y
+ −
− x
y x
+ −
= maka
y x
y x
y x
x y
− ≤
− −
⇔ −
≤ −
……………………….2 dari 1 dan 2 diperoleh
y x
y x
− ≤
− .
ii. Berdasar teorema ketaksamaan segitiga diperoleh
. y
x y
x y
x y
x +
= −
+ ≤
− +
= −
C. Lingkungan
Definisi 2.3
Dipunyai R
a ∈ dan
ε maka lingkungan
ε dari a adalah himpunan
{ }
R a
x R
x a
V −
∈ =
:
ε
Bartle, 1994:41
Contoh 2.1
Selang buka R
⊂ 2
, merupakan lingkungan yang berpusat di a = 1 dengan
1 =
ε .
D. Interval bersarang
Barisan dari interval N
n I
n
∈ ,
dikatakan bersarang jika mengikuti rantai inklusi sebagai berikut
... ...
1 3
2 1
⊇ ⊇
⊇ ⊇
⊇ ⊇
+ n
n
I I
I I
I atau dapat digambarkan dalam gambar berikut
Gambar 1. bagan interval bersarang
Contoh 2.2
jika N
n n
I
n
∈ ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ =
, 1
, , maka
1 +
⊇
n n
I I
untuk masing-masing n jadi interval tersebut adalah bersarang.
2
I
4
I
3
I
E. Barisan Bilangan
Definisi 2.4
Barisan bilangan real barisan di R adalah fungsi pada himpunan bilangan asli N yang daerah hasilnya di dalam himpunan bilangan real R.
Bartle, 1994:67 Lebih jauhnya dapat dijelaskan sebagai berikut:
Dipunyai fungsi f : R
N → .
Jelas
f
R =
{ }
… f3,
f2, f1,
Barisan bilangan tersebut adalah f1, f2, f3, …. Perhatikan f1, f2, f3, … ≠ f1, f3, f2, ….
Ekspresi f1, f2, f3, … disingkat fn
N n
∈
disebut barisan yang dibangun oleh fungsi f. Jelas bahwa urutan elemen-elemen pada barisan tidak
boleh ditukar berbeda dengan teori himpunan.
Contoh 2.3
Suatu barisan disajikan dengan 5 unsur pertama, yaitu: 2, 4, 6, 8, 10, …. Jelas 2, 4, 6, 8, 10, … = 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, ….
Jadi 2, 4, 6, 8, 10, … = 2n
N n
∈
. Jadi barisan terdiri dari elemen-elemen yang terurut. Jika ada dua barisan yang
memiliki elemen yang sama dapat terjadi kemungkinan bahwa kedua barisan tersebut tidak sama. Hal ini dapat ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 2.4
Barisan ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ n
1 mempunyai elemen-elemen balikan dari bilangan bulat positif
yaitu ,...
1 ,...,
5 1
, 4
1 ,
3 1
, 2
1 ,
1 n
1 Barisan di mana
1 jika n ganjil, =
n f
n +
2 2
jika n genap mempunyai elemen-elemen ,...
5 1
, 1
, 4
1 ,
1 ,
3 1
, 1
, 2
1 ,
1 2
Elemen-elemen dari barisan-barisan 1 dan 2 adalah sama, tetapi kedua barisan tidak sama.
Definisi 2.5
Jika X =
x
n
dan Y =
y
n
adalah suatu barisan bernilai real maka: 1
Jumlahan barisan X + Y =
x
n
+
y
n
: n ∈N .
2 Pengurangan barisan X - Y =
x
n
-
y
n
: n ∈N .
3 Hasil kali barisan X .Y =
N n
y x
n n
∈ :
. 4
Jika R
c ∈ kita definisikan perkalian X dengan c,
: N
n cX
cX
n
∈ =
.
5 Jika
n
z Z
= adalah sebuah barisan bernilai real dengan
≠
n
z untuk
setiap N
n ∈ , maka kita definisikan pembagian dari X dan Z, XZ =
N n
z x
n n
∈ :
. Bartle, 1994:67
Contoh 2.5
Jika X dan Y adalah suatu barisan. X = 2, 4, 6, …, 2n, …, Y =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
,... 1
,..., 3
1 ,
2 1
, 1
1 n
. maka didapat
X + Y = ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
,... 1
2 ,...,
3 19
, 2
9 ,
1 3
2
n n
,
X – Y = ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
,... 1
2 ,...,
3 17
, 2
7 ,
1 1
2
n n
, X.Y = 2, 2, 2, …, 2, …,
3X = 6,12,18, …, 6n, …, XY = 2, 8, 18, …,2
2
n , ….
F. Limit Barisan
Definisi 2.6
Dipunyai
n
s
∞ =1
n
sebuah barisan bilangan real. Dikatakan
n
s menuju limit L dengan n mendekati tak hingga, jika untuk setiap
ε terdapat bilangan N
positif sedemikian hingga ε
− L s
n
N n
≥ .
Jika
n
s mendekati limit L kita tulis L
s
n n
=
∞ →
lim atau
n
s L
→ ∞
→ n
. Goldberg,
1976:29
Definisi 2.7
Dipunyai barisan bilangan real
n
x
N n
∈
. Suatu x∈R merupakan limit barisan
n
x
N n
∈
ditulis
n
x
N n
∈
→ x jika dan hanya jika untuk setiap ε
terdapat bilangan asli
ε K
sehingga untuk setiap n
K n
≥
n
x terletak dalam
lingkungan x
V
ε
. Selanjutnya jika
n
x
N n
∈
→ x, dikatakan barisan
n
x
N n
∈
konvergen ke x. Jika
n
x
N n
∈
tidak mempunyai limit, barisan ini dikatakan divergen. Bartle, 1994:70
Definisi 2.8
Jika suatu barisan bernilai real
n
s
∞ =1
n
mempunyai limit L, dapat dikatakan
n
s
∞ =1
n
konvergen ke L. Goldberg, 1976:33
Definisi 2.9
Barisan
n
s dikatakan konvergen ke s, jika dan hanya jika: ,
ε ε
− ∋
∈ ∃
∀ s
s N
N
n
apabila N
n .
Notasi: Barisan
n
S konvergen ke s ditulis
1.
n
S s
→ dengan kata lain s
S
n n
=
∞ →
lim 2.
n
S s
→ .
Contoh 2.6
Dipunyai
n
s
∞ =1
n
dengan
n
s = n
1 .
Tunjukkan
n
s
∞ =1
n
mempunyai limit 0.
Penyelesaian
Ambil sembarang ε
. Pilih
ε ε
1 =
K .
Bila ε
K n
≥ maka diperoleh
ε K
n 1
1 ≤ .
Jadi 1
− =
− n
s
n
= n
1 .
1 ε
K ≤
= ε .
Jadi ε
ε ε
− ∋
∈ ∃
∀
n
s N
K apabila
ε K
n ≥
. Jadi
1 → n
.
Jadi 1
lim =
∞ →
n
n
.
Definisi 2.10 kriteria kedivergenan
Diberikan barisan bilangan real
n
a . Pernyataan-pernyataan di bawah ini
ekuivalen i
n
a tak konvergen ke
R a
∈ ii Terdapat bilangan
ε sehingga untuk setiap
N K
∈ ε
berlaku ε
≥ − a
a
n
apabila R
a ∈ .
G. Ekor Barisan
Kategori