Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan N = {0, 1, 2, . . . }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah
suatu fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N, dalam
hal ini dapat ditulis x(k) = xk . Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan
bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan
saja. Pada barisan x = (xk ), bilangan real xk disebut suku ke-k
dari
∞ barisan
[n]
x = (xk ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e[n] = ek
untuk
k=0
n ∈ N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada
suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu
[n]
ek =
(
1 ; untuk k = n
0 ; untuk k =
6 n.
Dengan kata lain, e[n] = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · ) dengan entri 1 berada pada posisi
ke-n.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (xk ) :
xk ∈ R, ∀ k ∈ N}. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan.
Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan
ruang barisan terbatas, yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0 , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞
Universitas Sumatera Utara
2
ditulis dengan notasi ℓp ; yaitu
ℓp =
(
x = (xk ) ∈ ω :
∞
X
)
|xk |p < ∞ .
k=0
Ruang-ruang barisan yang dinotasikan tersebut di atas merupakan salah satu
bentuk ruang barisan klasik.
Ruang barisan X dikatakan ruang Banach jika X merupakan ruang
bernorma dan untuk setiap barisan Cauchy di dalamnya dapat diperoleh nilai
kekonvergenannya. Ruang barisan X disebut ruang BK (Banach Kantorovich)
jika X merupakan ruang Banach dan fungsi koordinat pk : X → R dengan aturan x 7→ pk (x) = xk kontinu pada X untuk semua x = (xk ) ∈ X dan setiap
k ∈ N.
Ruang barisan c, c0 , dan ℓ∞ yang diberikan di atas masing-masing merupakan ruang BK terhadap norma supremum k · k∞ ; yaitu
kxk∞ = sup |xk |.
k∈N
Adapun ruang barisan ℓp dengan 1 ≤ p < ∞ merupakan ruang BK terhadap
norma k · kp ; yaitu
!1/p
∞
X
kxkp =
|xk |p
k=0
untuk setiap x = (xk ) ∈ ℓp (Kamthan dan Gupta, 1981).
Sifat-sifat topologi selain dari ruang-ruang barisan di atas terhadap norma yang diberikan telah dibicarakan para peneliti antara lain Maddox (1967),
Kamthan dan Gupta (1981). Adapun salah satu applikasi dari ruang barisan
adalah transformasi matriks. Transformasi matriks merupakan fungsi pada
suatu ruang barisan ke ruang barisan yang sama atau berbeda dengan memanfaatkan matriks tak hingga A = (ank ) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N.
Dengan kata lain, apabila diberikan ruang barisan X, Y , dan matriks tak
hingga A = (ank ), fungsi T : X → Y dengan aturan x 7→ T (x) = Ax disebut
transformasi matriks. Dalam hal ini barisan Ax = (An (x))∞
n=0 ∈ Y , dengan
An (x) =
∞
X
ank xk
k=0
merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks
A ditulis dengan notasi An ; yaitu An = (ank )∞
k=0 untuk setiap n ∈ N. Selan-
Universitas Sumatera Utara
3
jutnya, koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis
dengan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika An (x)
konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk
setiap x ∈ X.
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik
telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984).
Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan
lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang
barisan seperti ini disebut domain matriks dan ditulis dengan notasi XA ; yaitu
XA = x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X .
Penelitian membentuk ruang barisan baru yang berbentuk domain matriks pada suatu ruang barisan dan matriks tertentu telah diselidiki oleh para
peneliti (Maddox 1967, 1970; Malkowsky dan Savas 2004; Aydin dan Basar
2004, 2005; Altay dan Basar 2005; Malkowsky dan Rakoc̆ević 2007; Mursaleen
dan Noman 2010). Selanjutnya, M. Mursaleen dan A.K. Noman (2010) memperkenalkan matriks Λ dan membentuk domain matriks pada ruang-ruang
barisan c, c0 , dan ℓ∞ dengan matriks Λ tersebut. Berhasil diperlihatkan sifatsifat topologi terhadap norma yang diberikan, beberapa relasi inklusi, dual-α,
-β, dan -γ, serta transformasi matriks antara ruang-ruang barisan berbentuk
domain matriks tersebut.
Pada sisi lain, Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang
barisan yang didefinisikan dengan menggunakan fungsi Orlicz. Fungsi Orlicz
adalah suatu fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, dan
konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0, dan M (x) → ∞ untuk
x → ∞. Ruang barisan ini ditulis dengan notasi ℓM , yaitu ruang barisan
∞
X
|xk |
< ∞ untuk suatu ρ > 0. Dengan kata
x = (xk ) dengan aturan
M
ρ
k=1
lain,
(
)
∞
X
|xk |
0)
M
ρ
k=1
Berhasil diperlihatkan bahwa ruang ℓM merupakan ruang Banach dan disebut
ruang barisan Orlicz.
Lebih lanjut, penelitian tentang ruang barisan bernilai real merupakan
salah satu penelitian yang sangat menarik. Apalagi kalau dihubungkan dengan
masalah-masalah real yang dihadapi manusia, yang sebagian besar merupakan
Universitas Sumatera Utara
4
bagian suatu struktur atau ruang yang lebih umum daripada ruang barisan
bilangan real. Hal ini antara lain dapat dilihat dalam teori transisi Markov
kontinu dan teori Ergodic (Aliprantis dan Border, 2006).
Sejauh yang penulis ketahui berdasarkan referensi jurnal maupun informasi para pakar, belum ditemukan adanya penelitian tentang domain matriks
dari matriks Λ pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Generalisasi fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang
bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0, dan M (x) > 0 untuk
x > 0. Oleh karena itu, berdasarkan ide dan hasil penelitian di atas, timbul pemikiran penulis untuk meneliti domain matriks dengan memanfaatkan
matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul skripsi, ”Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh
Generalisasi Fungsi Orlicz-λ”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan referensi-referensi jurnal yang ada, informasi yang didapat dari
internet maupun dari buku-buku yang terkait, serta informasi dari para pakar,
belum adanya pembahasan mengenai ruang barisan yang berbentuk domain
matriks dari suatu matriks tak hingga A = (ank ) pada ruang barisan yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Oleh karena itu, penelitian ini difokuskan pada ruang lingkup tersebut. Adapun masalah yang akan dibahas
dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah ruang barisan yang dapat dibentuk dengan memanfaatkan
generalisasi fungsi Orlicz terhadap ruang barisan klasik c, c0 , dan ℓ∞ .
2. Dengan menggunakan matriks tak hingga Λ yang diperkenalkan oleh M.
Mursaleen dan A. K. Noman, apakah dapat dibentuk domain matriks
dari matriks Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi
fungsi Orlicz.
3. Bagaimana sifat-sifat topologi pada ruang barisan yang berbentuk domain matriks tersebut terhadap norma yang didefinisikan. Dalam hal ini,
sifat-sifat topologi yang dimaksud terkait dengan ruang Banach, ruang
BK, dan ruang AK.
Universitas Sumatera Utara
5
4. Bagaimana relasi inklusi yang terjadi pada ruang barisan yang berbentuk
domain matriks tersebut.
5. Apakah yang menjadi syarat perlu dan cukup agar matriks tak hingga
A = (ank ) berada di dalam kelas transformasi matriks (X, Y ), untuk X
dan Y merupakan ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi
Orlicz.
1.3. Batasan Masalah
Penulis akan meneliti domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Selanjutnya, sifat-sifat topologi yang akan diteliti pada ruang barisan yang akan
diperkenalkan terkait dengan ruang Banach, ruang BK, dan ruang AK. Lebih
lanjut, karakteristik dari kelas transformasi matriks yang akan diteliti, dibatasi
pada beberapa ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan di atas,
tujuan penelitian ini adalah menyusun teori baru tentang ruang barisan dan
transformasi matriks, khususnya tentang sifat-sifat topologi dan relasi inklusi
dari ruang barisan yang diperkenalkan, serta karakteristik koleksi transformasi
matriks yang dibangun oleh ruang barisan yang diperkenalkan.
1.5. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari hasil penelitian ini, diharapkan dapat:
1. Memperkaya pengetahuan tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan
yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hingga A = (ank )
terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Olicz.
2. Membuka peluang munculnya teori baru tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan berbentuk domain matriks dari matriks tak hingga
tertentu, seperti matriks Hausdorff, matriks Cesàro, matriks Euler, matriks Riesz, matriks Nörlund, dan matriks Ar .
Universitas Sumatera Utara
6
3. Membuka area baru penelitian di bidang analisis matematika dan ilmuilmu terkait, seperti statistika dan biologi.
4. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan terutama bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan N = {0, 1, 2, . . . }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah
suatu fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) untuk setiap k ∈ N, dalam
hal ini dapat ditulis x(k) = xk . Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan
bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan
saja. Pada barisan x = (xk ), bilangan real xk disebut suku ke-k
dari
∞ barisan
[n]
x = (xk ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e[n] = ek
untuk
k=0
n ∈ N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada
suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu
[n]
ek =
(
1 ; untuk k = n
0 ; untuk k =
6 n.
Dengan kata lain, e[n] = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · ) dengan entri 1 berada pada posisi
ke-n.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (xk ) :
xk ∈ R, ∀ k ∈ N}. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan.
Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan
ruang barisan terbatas, yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0 , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 ≤ p < ∞
Universitas Sumatera Utara
2
ditulis dengan notasi ℓp ; yaitu
ℓp =
(
x = (xk ) ∈ ω :
∞
X
)
|xk |p < ∞ .
k=0
Ruang-ruang barisan yang dinotasikan tersebut di atas merupakan salah satu
bentuk ruang barisan klasik.
Ruang barisan X dikatakan ruang Banach jika X merupakan ruang
bernorma dan untuk setiap barisan Cauchy di dalamnya dapat diperoleh nilai
kekonvergenannya. Ruang barisan X disebut ruang BK (Banach Kantorovich)
jika X merupakan ruang Banach dan fungsi koordinat pk : X → R dengan aturan x 7→ pk (x) = xk kontinu pada X untuk semua x = (xk ) ∈ X dan setiap
k ∈ N.
Ruang barisan c, c0 , dan ℓ∞ yang diberikan di atas masing-masing merupakan ruang BK terhadap norma supremum k · k∞ ; yaitu
kxk∞ = sup |xk |.
k∈N
Adapun ruang barisan ℓp dengan 1 ≤ p < ∞ merupakan ruang BK terhadap
norma k · kp ; yaitu
!1/p
∞
X
kxkp =
|xk |p
k=0
untuk setiap x = (xk ) ∈ ℓp (Kamthan dan Gupta, 1981).
Sifat-sifat topologi selain dari ruang-ruang barisan di atas terhadap norma yang diberikan telah dibicarakan para peneliti antara lain Maddox (1967),
Kamthan dan Gupta (1981). Adapun salah satu applikasi dari ruang barisan
adalah transformasi matriks. Transformasi matriks merupakan fungsi pada
suatu ruang barisan ke ruang barisan yang sama atau berbeda dengan memanfaatkan matriks tak hingga A = (ank ) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N.
Dengan kata lain, apabila diberikan ruang barisan X, Y , dan matriks tak
hingga A = (ank ), fungsi T : X → Y dengan aturan x 7→ T (x) = Ax disebut
transformasi matriks. Dalam hal ini barisan Ax = (An (x))∞
n=0 ∈ Y , dengan
An (x) =
∞
X
ank xk
k=0
merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks
A ditulis dengan notasi An ; yaitu An = (ank )∞
k=0 untuk setiap n ∈ N. Selan-
Universitas Sumatera Utara
3
jutnya, koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis
dengan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika An (x)
konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk
setiap x ∈ X.
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik
telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984).
Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan
lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang
barisan seperti ini disebut domain matriks dan ditulis dengan notasi XA ; yaitu
XA = x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X .
Penelitian membentuk ruang barisan baru yang berbentuk domain matriks pada suatu ruang barisan dan matriks tertentu telah diselidiki oleh para
peneliti (Maddox 1967, 1970; Malkowsky dan Savas 2004; Aydin dan Basar
2004, 2005; Altay dan Basar 2005; Malkowsky dan Rakoc̆ević 2007; Mursaleen
dan Noman 2010). Selanjutnya, M. Mursaleen dan A.K. Noman (2010) memperkenalkan matriks Λ dan membentuk domain matriks pada ruang-ruang
barisan c, c0 , dan ℓ∞ dengan matriks Λ tersebut. Berhasil diperlihatkan sifatsifat topologi terhadap norma yang diberikan, beberapa relasi inklusi, dual-α,
-β, dan -γ, serta transformasi matriks antara ruang-ruang barisan berbentuk
domain matriks tersebut.
Pada sisi lain, Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang
barisan yang didefinisikan dengan menggunakan fungsi Orlicz. Fungsi Orlicz
adalah suatu fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, dan
konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0, dan M (x) → ∞ untuk
x → ∞. Ruang barisan ini ditulis dengan notasi ℓM , yaitu ruang barisan
∞
X
|xk |
< ∞ untuk suatu ρ > 0. Dengan kata
x = (xk ) dengan aturan
M
ρ
k=1
lain,
(
)
∞
X
|xk |
0)
M
ρ
k=1
Berhasil diperlihatkan bahwa ruang ℓM merupakan ruang Banach dan disebut
ruang barisan Orlicz.
Lebih lanjut, penelitian tentang ruang barisan bernilai real merupakan
salah satu penelitian yang sangat menarik. Apalagi kalau dihubungkan dengan
masalah-masalah real yang dihadapi manusia, yang sebagian besar merupakan
Universitas Sumatera Utara
4
bagian suatu struktur atau ruang yang lebih umum daripada ruang barisan
bilangan real. Hal ini antara lain dapat dilihat dalam teori transisi Markov
kontinu dan teori Ergodic (Aliprantis dan Border, 2006).
Sejauh yang penulis ketahui berdasarkan referensi jurnal maupun informasi para pakar, belum ditemukan adanya penelitian tentang domain matriks
dari matriks Λ pada ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Generalisasi fungsi Orlicz adalah suatu fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang
bersifat kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0, dan M (x) > 0 untuk
x > 0. Oleh karena itu, berdasarkan ide dan hasil penelitian di atas, timbul pemikiran penulis untuk meneliti domain matriks dengan memanfaatkan
matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penulis memilih judul skripsi, ”Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh
Generalisasi Fungsi Orlicz-λ”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan referensi-referensi jurnal yang ada, informasi yang didapat dari
internet maupun dari buku-buku yang terkait, serta informasi dari para pakar,
belum adanya pembahasan mengenai ruang barisan yang berbentuk domain
matriks dari suatu matriks tak hingga A = (ank ) pada ruang barisan yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Oleh karena itu, penelitian ini difokuskan pada ruang lingkup tersebut. Adapun masalah yang akan dibahas
dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah ruang barisan yang dapat dibentuk dengan memanfaatkan
generalisasi fungsi Orlicz terhadap ruang barisan klasik c, c0 , dan ℓ∞ .
2. Dengan menggunakan matriks tak hingga Λ yang diperkenalkan oleh M.
Mursaleen dan A. K. Noman, apakah dapat dibentuk domain matriks
dari matriks Λ terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi
fungsi Orlicz.
3. Bagaimana sifat-sifat topologi pada ruang barisan yang berbentuk domain matriks tersebut terhadap norma yang didefinisikan. Dalam hal ini,
sifat-sifat topologi yang dimaksud terkait dengan ruang Banach, ruang
BK, dan ruang AK.
Universitas Sumatera Utara
5
4. Bagaimana relasi inklusi yang terjadi pada ruang barisan yang berbentuk
domain matriks tersebut.
5. Apakah yang menjadi syarat perlu dan cukup agar matriks tak hingga
A = (ank ) berada di dalam kelas transformasi matriks (X, Y ), untuk X
dan Y merupakan ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi
Orlicz.
1.3. Batasan Masalah
Penulis akan meneliti domain matriks dari matriks Λ pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Selanjutnya, sifat-sifat topologi yang akan diteliti pada ruang barisan yang akan
diperkenalkan terkait dengan ruang Banach, ruang BK, dan ruang AK. Lebih
lanjut, karakteristik dari kelas transformasi matriks yang akan diteliti, dibatasi
pada beberapa ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz.
1.4. Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan yang telah dirumuskan di atas,
tujuan penelitian ini adalah menyusun teori baru tentang ruang barisan dan
transformasi matriks, khususnya tentang sifat-sifat topologi dan relasi inklusi
dari ruang barisan yang diperkenalkan, serta karakteristik koleksi transformasi
matriks yang dibangun oleh ruang barisan yang diperkenalkan.
1.5. Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari hasil penelitian ini, diharapkan dapat:
1. Memperkaya pengetahuan tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan
yang berbentuk domain matriks dari suatu matriks tak hingga A = (ank )
terhadap ruang barisan yang dibangun oleh generalisasi fungsi Olicz.
2. Membuka peluang munculnya teori baru tentang ruang barisan, khususnya ruang barisan berbentuk domain matriks dari matriks tak hingga
tertentu, seperti matriks Hausdorff, matriks Cesàro, matriks Euler, matriks Riesz, matriks Nörlund, dan matriks Ar .
Universitas Sumatera Utara
6
3. Membuka area baru penelitian di bidang analisis matematika dan ilmuilmu terkait, seperti statistika dan biologi.
4. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan terutama bagi mahasiswa yang akan melakukan penelitian serupa.
Universitas Sumatera Utara