Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz- Chapter III V
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini disampaikan metodologi yang digunakan penulis dalam melakukan
penelitian ini. Selain itu, diberikan langkah-langkah sistematis dan diagram
alir penelitian sebagai penjelasan tentang proses yang akan dilakukan penulis
dalam melakukan penelitian.
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan, membaca, dan mempelajari referensi-referensi jurnal, buku-buku yang berkaitan, maupun informasiinformasi yang didapat dari internet. Berikut ini adalah langkah-langkah yang
dilakukan penulis dalam melakukan penelitian ini, yaitu:
1. Mendefinisikan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz. Dalam hal ini, ruang barisan ini disebut ruang
barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi
Orlicz, yaitu c0 (M ), c(M ), dan ℓ∞ (M ).
2. Memformulasikan beberapa ruang barisan baru dengan memanfaatkan
ruang barisan pada poin 1 dan matriks tak hingga Λ. Dalam hal ini,
ruang barisan ini disebut ruang barisan konvergen dan terbatas yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz-λ, yaitu [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan
[ℓ∞ (M )]Λ .
3. Meneliti sifat-sifat topologi dari ruang barisan pada poin 2 terhadap
norma yang didefinisikan.
4. Meneliti relasi inklusi yang bersesuaian dari ruang barisan pada poin 1
dan ruang barisan pada poin 2.
5. Meneliti karakteristik transformasi matriks dari ruang barisan pada poin
1 ke ruang barisan yang sama.
Secara garis besar keterkaitan antar topik yang sudah dilakukan peneliti lain
dengan penelitian ini, diberikan pada diagram berikut dengan segiempat bergaris
putus-putus merupakan penelitian yang dilakukan penulis dan alur bergaris
putus-putus menyatakan hubungan antara hasil penelitian sebelumnya dengan penelitian ini.
Universitas Sumatera Utara
19
Ruang Barisan � ⊂ �
� = {� = �� ∶ �� ∈ ℝ}
Fungsi Orlicz �: [0, ∞ → [0, ∞
Kontinu, naik, konveks,
� 0 = 0, � � > 0 untuk � > 0,
Generalisasi Fungsi Orlicz �: [0, ∞ → [0, ∞
Kontinu, naik, konveks,
� 0 = 0, � � > 0 untuk � > 0
� � → ∞ untuk � → ∞
Ruang Barisan Klasik
�0 , �, dan ℓ∞
Ruang Barisan yang Dibangun
Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz
Ruang Barisan Orlicz
∞
ℓ� = {� ∈ �: ∑ �
�=0
�0 � , � � , dan ℓ∞ �
|�� |
< ∞, � > 0}
�
Matriks Tak Hingga A= ���
��� ∈ ℝ, ∀ n, k ∈ ℕ
2.
Λ
3.
Euler
1.
��
Ruang Barisan yang Dibangun Oleh
Domain Matriks ��
1.
2.
3.
�
�0� , � � , dan ℓ∞
�
�0� , � � , dan �∞
Generalisasi Fungsi Orlicz-�
Norma
[�0 � ]Λ , [� � ]Λ , dan [ℓ∞ � ]Λ
1. Sifat Topologi
Norma
2. Relasi Inklusi
3. Tranformasi Matriks
�
�0� , � � , dan �∞
Norma
Gambar 1: Diagram Alur Penelitian
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
.1. Barisan Konvergen dan Terbatas-λ
Definisi 4.1.1. Diberikan barisan bilangan real positif naik kuat λ = (λk )∞
k=0
yang menuju tak hingga; yaitu
0 < λ0 < λ1 < · · · dan λk → ∞ untuk k → ∞.
(4.1.1)
Barisan x = (xk ) ∈ ω dikatakan konvergen-λ jika terdapat l ∈ R sehingga
Λn (x) → l untuk n → ∞. Dengan kata lain, untuk setiap ǫ > 0 terdapat
n0 ∈ N, sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku |Λn (x) − l| < ǫ, dengan
n
1 X
Λn (x) =
(λk − λk−1 )xk
λn k=0
(4.1.2)
untuk setiap n ∈ N. Dalam hal ini, bilangan l disebut limit-λ dari barisan
(xk ) dan barisan (xk ) disebut barisan konvergen-λ ke l. Adapun untuk setiap
unsur dengan indeks negatif, didefinisikan sama dengan nol, yaitu λ−1 = 0 dan
x−1 = 0.
Diberikan barisan (xn ) dan a ∈ R dengan limn→∞ xn = a. Berarti,
limn→∞ xn −a = 0. Akibatnya, limn→∞ |xn −a| = 0. Oleh karena itu, diperoleh
!
n
1 X
(λk − λk−1 )|xk − a|
(4.1.3)
lim
n→∞
λn k=0
1
λ0 |x0 − a| + (λ1 − λ0 )|x1 − a| + (λ2 − λ1 )|x2 − a| + · · · +
= lim
n→∞
λn
(λn−1 − λn−2 )|xn−1 − a| + (λn − λn−1 )|xn − a|
= 0.
Universitas Sumatera Utara
21
n
1 X
(λk − λk−1 ) = 1, maka diperoleh
Selanjutnya, karena
λn k=0
lim |Λn (x) − a|
n
1 X
= lim
(λk − λk−1 )xk − a
n→∞ λn
k=0
Pn
n
1
1 X
(λ
−
λ
)a
k
k−1
k=0
= lim
(λk − λk−1 )xk − λn1 Pn
n→∞ λn
k=0 (λk − λk−1 )
λn
k=0
!
n
1 X
a
(λk − λk−1 ) xk − 1 Pn
= lim
n→∞ λn
(λ
−
λ
)
k
k−1
k=0
λ
n
k=0
n
1 X
= lim
(λk − λk−1 )(xk − a)
n→∞ λn
n→∞
k=0
n
1 X
(λk − λk−1 ) |xk − a| .
≤ lim
n→∞ λn
k=0
Dengan menggunakan persamaan (4.1.3), diperoleh
n
1 X
(λk − λk−1 )(xk − a) = 0.
lim |Λn (x) − a| = lim
n→∞
n→∞ λn
k=0
Hal ini berakibat bahwa limn→∞ Λn (x) = a. Dengan kata lain, barisan x = (xk )
konvergen-λ ke a.
Hasil tersebut di atas dapat dinyatakan pada pernyataan dasar berikut.
Lemma 4.1.2. Setiap barisan konvergen, berakibat konvergen-λ dengan nilai
kekonvergenannya sama.
Lemma 4.1.3. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ. Jika barisan (xk ) konvergen, maka nilai kekonvergenannya sama dengan limit-λ dari barisan (xk ).
Bukti. Diketahui barisan (xk ) konvergen-λ, berarti terdapat l ∈ R sehingga
Λk (x) → l untuk k → ∞. Dalam hal ini, l merupakan limit-λ dari barisan
(xk ). Selanjutnya, diasumsikan barisan (xk ) konvergen, berarti terdapat l′ ∈ R
sehingga xk → l′ untuk k → ∞, atau untuk sebarang ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N
sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku |xk − l′ | < ǫ. Akan dibuktikan bahwa
Universitas Sumatera Utara
22
l′ = l. Untuk itu, karena xk → l′ , maka menurut Lemma 3.1.2 berlaku
′
lim Λk (x) − l = lim
k→∞
k→∞
k
1 X
(λj − λj−1 )(xj − l′ )
λk j=0
!
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa Λk (x) → l′ untuk k → ∞. Karena limit dari suatu
barisan bernilai tunggal, maka l′ = l. Dengan kata lain, nilai kekonvergenan
barisan (xk ) sama dengan limit-λ dari barisan (xk ).
Selanjutnya, diberikan barisan x = (xk ) ∈ ω dan n ≥ 1. Dengan menggunakan persamaan (4.1.2) diperoleh
n
1 X
xn − Λn (x) =
(λi − λi−1 )(xn − xi )
λn i=0
(4.1.4)
n−1
1 X
=
(λi − λi−1 )(xn − xi )
λn i=0
n−1
n
X
1 X
(λi − λi−1 )
(xk − xk−1 )
=
λn i=0
k=i+1
=
=
n−1
n
X
1 X
(λi − λi−1 )
(xk − xk−1 )
λn i=0
k=1
n
n−1
X
1 X
(xk − xk−1 )
(λi − λi−1 )
λn k=1
i=0
n
k−1
X
1 X
=
(xk − xk−1 )
(λi − λi−1 )
λn k=1
i=0
=
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ).
λn k=1
Oleh karena itu, untuk sebarang barisan x = (xk ) ∈ ω dapat dibentuk barisan
∞
S(x) = (Sn (x))∞
n=0 = (xn − Λn (x))n=0 , dengan
S0 (x) = 0, dan
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) untuk n ≥ 1.
Sn (x) =
λn k=1
(4.1.5)
Universitas Sumatera Utara
23
Dari pernyataan di atas, diperoleh lemma berikut.
Lemma 4.1.4. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ. Barisan (xk ) konvergen
jika dan hanya jika S(x) ∈ c0 .
Bukti. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ dan diasumsikan barisan (xk ) konvergen. Karena (xk ) konvergen di R, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy.
Artinya, untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k0 berlaku |xj − xk | < ǫ. Oleh karena itu, |xk − xk−1 | < ǫ untuk
sebarang bilangan ǫ > 0 dan untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 . Akibatnya,
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 )
λn k=1
!
= 0.
Hal ini berarti S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 .
Sebaliknya, jika S(x) ∈ c0 , maka limn→∞ Sn (x) = 0. Oleh karena itu,
diperoleh
lim Sn (x) = lim xn − Λn (x)
n→∞
n→∞
= lim xn − lim Λn (x)
n→∞
n→∞
= lim xn − l = 0.
n→∞
Hal ini menunjukkan bahwa limn→∞ xn = l. Dengan kata lain, barisan (xk )
konvergen ke l ∈ R.
Definisi 4.1.5. Barisan (xk ) dikatakan terbatas-λ, apabila sup |Λn (x)| < ∞.
n∈N
Contoh 4.1.6. Barisan e = (ek ) terbatas-λ.
Dari definisi barisan terbatas-λ, diperoleh lemma berikut.
Lemma 4.1.7. Jika barisan (xk ) terbatas, maka (xk ) terbatas-λ.
Bukti. Diketahui barisan (xk ) terbatas, berarti terdapat bilangan M > 0 sehingga |xk | ≤ M untuk setiap k ∈ N. Akan dibuktikan barisan (xk ) terbatas-λ,
Universitas Sumatera Utara
24
yaitu ada bilangan real positif M1 sehingga supn∈N |Λn (x)| ≤ M1 . Karena
n
1 X
|Λn (x)| =
(λk − λk−1 )xk
λn
≤
1
λn
k=0
n
X
(λk − λk−1 )|xk |
k=0
n
1 X
(λk − λk−1 )M = M
≤
λn k=0
untuk setiap n ∈ N, maka dapat diambil M1 = M sehingga
|Λn (x)| ≤ M1 untuk setiap n ∈ N.
Oleh karena itu, menurut sifat kelengkapan di R, terdapat supn∈N |Λn (x)| dengan supn∈N |Λn (x)| ≤ M1 < ∞. Dengan demikian, terbukti bahwa barisan
(xk ) terbatas-λ.
Sifat keterbatasan suatu barisan konvergen, juga berlaku pada barisan
konvergen-λ. Hal ini ditunjukkan oleh teorema berikut.
Teorema 4.1.8. Jika barisan (xk ) konvergen-λ, maka (xk ) terbatas-λ.
Bukti. Diketahui barisan (xk ) konvergen-λ, berarti ada bilangan real l sehingga
Λn (x) → l untuk n → ∞. Akan dibuktikan bahwa barisan (xk ) terbatas-λ.
Untuk itu, karena Λn (x) → l, berarti untuk setiap ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N
sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku |Λn (x) − l| < ǫ. Akibatnya, untuk setiap
n ≥ n0 diperoleh
|Λn (x)| = |Λn (x) − l + l|
≤ |Λn (x) − l| + |l|
< ǫ + |l|.
Selanjutnya, dianggap M = sup{|Λ0 (x)|, |Λ1 (x)|, · · · , ǫ + |l|}, maka
|Λn (x)| ≤ M untuk setiap n ∈ N.
Dengan demikian, terbukti bahwa barisan (xk ) terbatas-λ.
Universitas Sumatera Utara
25
Kebalikan dari teorema di atas belum tentu berlaku.
Contoh 4.1.9. Barisan ((−1)k ) terbatas-λ dan tidak konvergen-λ.
Lemma 4.1.10. Diberikan barisan (xk ) terbatas-λ. Barisan (xk ) terbatas jika
dan hanya jika S(x) ∈ ℓ∞ .
Bukti. Diketahui barisan (xk ) terbatas-λ. Berarti, supn∈N |Λn (x)| < ∞. Selanjutnya, diasumsikan barisan (xk ) terbatas, yaitu terdapat suatu bilangan
N > 0 sehingga |xk | ≤ N untuk setiap k ∈ N. Karena Sn (x) = xn − Λn (x)
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
|Sn (x)| = |xn − Λn (x)|
≤ |xn | + |Λn (x)|
≤ N + N0
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan N0 > 0, dengan N0 ≥ |Λn (x)|
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, dipilih N1 = N + N0 . Oleh karena itu, untuk
setiap n ∈ N diperoleh
|Sn (x)| ≤ N1 .
Hal ini menunjukkan bahwa barisan (Sn (x))∞
n=0 terbatas. Dengan kata lain,
S(x) = (Sn (x)) ∈ ℓ∞ .
∞
Sebaliknya, diasumsikan barisan (Sn (x))
n=0 ∈ ℓ∞ . Berarti, terdapat
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) ≤ N0
suatu bilangan N0 > 0 sehingga |Sn (x)| =
λn
k=1
untuk setiap n ∈ N. Karena xn − Λn (x) = Sn (x) untuk setiap n ∈ N, maka
diperoleh
|xn | = |Sn (x) + Λn (x)|
≤ |Sn (x)| + |Λn (x)|
≤ N 0 + N1
untuk N1 > 0 dengan N1 ≥ |Λn (x)| untuk setiap n ∈ N. Dengan kata lain,
untuk setiap k ∈ N diperoleh |xk | ≤ N2 , dengan N2 = N0 + N1 . Hal ini
menunjukkan bahwa barisan x = (xk ) terbatas.
Selanjutnya, didefinisikan matriks tak hingga Λ = (λnk )∞
n,k=0 dengan
Universitas Sumatera Utara
26
aturan
λnk
λk − λk−1 ; untuk 0 ≤ k ≤ n
λn
=
0
; untuk k > n
untuk setiap n, k ∈ N. Transformasi-Λ adalah suatu fungsi Λ : X → Y dengan
aturan x 7→ Λx = (Λn (x)), dengan barisan Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 didefinisikan
oleh persamaan (4.1.2), untuk sebarang ruang barisan X dan Y . Selanjutnya,
jika barisan x = (xk ) ∈ ω konvergen-λ ke suatu bilangan l, maka Λn (x) → l
untuk n → ∞. Dalam hal ini, barisan x = (xk ) dikatakan terjumlah-Λ (Λsummable).
4.2. Topologi Norma Pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
Diberikan ruang barisan konvergen, konvergen ke nol, dan terbatas yang masingmasing ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ ; yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l, k → ∞ ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0, k → ∞ , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Ruang barisan c, c0 , dan ℓ∞ , masing-masing merupakan ruang Banach terhadap norma k · k∞ ; yaitu kxk∞ = supk∈N |xk |.
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0, dan M (x) → ∞ untuk x → ∞
disebut fungsi Orlicz. Apabila sifat konveks dari fungsi Orlicz M diganti dengan M (x + y) ≤ M (x) + M (y) untuk setiap x, y ∈ [0, ∞), maka fungsi
Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox 1986). Fungsi Orlicz
M dikatakan memenuhi kondisi-∆2 jika terdapat konstanta K > 0 sehingga
M (2x) ≤ KM (x) untuk setiap x ∈ [0, ∞).
Selanjutnya, diberikan generalisasi fungsi Orlicz M yang bersifat kontinu,
naik, konveks, M (0) = 0, dan M (x) > 0 untuk x > 0. Didefinisikan ruang
barisan c(M ), c0 (M ), dan ℓ∞ (M ), yang masing-masing disebut ruang barisan
Universitas Sumatera Utara
27
konvergen yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, ruang barisan konvergen ke nol yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, dan ruang barisan
terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz ; yaitu
→ l, k → ∞ ,
c(M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0, l ∈ R) M
|xk |
→ 0, k → ∞ , dan
c0 (M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) M
ρ
|xk |
ℓ∞ (M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) sup M
n
untuk setiap n, k ∈ N. Transformasi-Λ adalah suatu fungsi Λ : X → Y dengan
aturan x 7→ Λx = (Λn (x)), untuk sebarang ruang barisan X dan Y . Dalam
hal ini, barisan Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 didefinisikan oleh
n
1 X
(λk − λk−1 )xk
Λn (x) =
λn k=0
untuk setiap n ∈ N.
Apabila diberikan sebarang ruang barisan X dan matriks tak hingga A,
maka ruang barisan yang ditulis dengan notasi XA ; yaitu
XA = x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X
disebut domain matriks. Dengan memanfaatkan ruang barisan konvergen yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, ruang barisan konvergen ke nol yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, dan ruang barisan terbatas yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, serta matriks tak hingga Λ, dibentuk
Universitas Sumatera Utara
28
domain matriks yang didefinisikan sebagai berikut:
|Λn (x)|
→ l, n → ∞ ,
[c(M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0, l ∈ R) M
ρ
|Λn (x)|
[c0 (M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) M
→ 0, n → ∞ , dan
ρ
|Λn (x)|
[ℓ∞ (M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) sup M
0 dan l1 , l2 ∈ R sehingga
M
|Λn (x)|
ρ1
→ l1 dan M
|Λn (y)|
ρ2
→ l2
1
1
1
1
≤
atau ≤ . Karena
ρ
ρ1
ρ
ρ2
generalisasi fungsi Orlicz M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 ,
untuk n → ∞. Dipilih ρ = max{ρ1 , ρ2 }, berarti
Universitas Sumatera Utara
29
maka diperoleh
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x) + Λn (y)|
=M
ρ
|Λn (x)| |Λn (y)|
≤M
+
ρ
ρ
|Λn (x)| |Λn (y)|
≤M
+
ρ1
ρ
2
1
1
2|Λn (x)|
2|Λn (y)|
≤ M
+ M
2
ρ1
2
ρ
2
K1
|Λn (x)|
|Λn (y)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ1
2
ρ2
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
|Λn (y)|
→ l2 untuk n → ∞, maka diperoleh
l1 dan M
ρ2
K0
M
2
|Λn (x)|
ρ1
K1
+
M
2
|Λn (y)|
ρ2
→
|Λn (x)|
ρ1
→
K0
K1
l1 +
l2
2
2
|Λn (x + y)|
untuk n → ∞. Oleh karena itu, M
→ l untuk n → ∞ dengan
ρ
K1
|Λn (x + y)|
K0
l1 +
l2 . Karena M
→ l untuk suatu ρ > 0 dan l ∈ R,
l=
2
2
ρ
berarti x + y ∈ [c(M )]Λ .
Selanjutnya, diambil sebarang bilangan real α. Menurut sifat Archimedean,
terdapat n0 ∈ N sehingga α ≤ |α| ≤ 2n0 . Karena generalisasi fungsi Orlicz M
memenuhi kondisi-∆2 , maka terdapat bilangan K > 0 sehingga diperoleh
M
|Λn (αx)|
ρ
=M
|α||Λn (x)|
ρ
≤M
2n0 |Λn (x)|
ρ
n0
≤K M
|Λn (x)|
ρ
.
|Λn (x)|
|Λn (x)|
n0
Karena M
konvergen untuk n → ∞, berarti K M
ρ
ρ
′
konvergen untuk n → ∞. Jadi, ada bilangan l sehingga
n0
K M
|Λn (x)|
ρ
→ l′ untuk n → ∞.
|Λn (αx)|
Akibatnya, M
→ l′ untuk n → ∞. Hal ini menunjukkan bahwa
ρ
αx ∈ [c(M )]Λ . Karena x + y ∈ [c(M )]Λ dan αx ∈ [c(M )]Λ , maka [c(M )]Λ
merupakan ruang linier. Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa
Universitas Sumatera Utara
30
ruang barisan [c0 (M )]Λ merupakan ruang linier.
(2) Akan dibuktikan ruang barisan [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang linier.
Diambil sebarang x, y ∈ [ℓ∞ (M )]Λ , berarti terdapat ρ1 , ρ2 > 0 sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
< ∞ dan sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
< ∞.
1
1
1
1
≤
atau ≤
. Selanρ
2|α|ρ1
ρ
2|β|ρ2
jutnya, diambil sebarang skalar α dan β. Karena generalisasi fungsi Orlicz M
bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
Dipilih ρ = max(2|α|ρ1 , 2|β|ρ2 ), berarti
sup M
n∈N
|Λn (αx + βy)|
ρ
|Λn (αx) + Λn (βy)|
= sup M
ρ
n∈N
|αΛn (x) + βΛn (y)|
= sup M
ρ
n∈N
|αΛn (x)| |βΛn (y)|
+
≤ sup M
ρ
ρ
n∈N
|α||Λn (x)| |β||Λn (y)|
≤ sup M
+
2|α|ρ1
2|β|ρ2
n∈N
1
1
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤ sup M
+ sup M
< ∞.
2 n∈N
ρ1
2 n∈N
ρ2
Dengan kata lain, αx + βy ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang
linier.
Teorema 4.2.2. Diberikan X = {c, c0 , ℓ∞ }. Fungsi k · k : [X(M )]Λ → R
dengan aturan
kxk[X(M )]Λ
|Λn (x)|
= inf ρ > 0 : sup M
≤1
ρ
n∈N
(4.2.1)
merupakan norma.
Bukti. (1) Karena ρ > 0, berarti cukup jelas bahwa kxk ≥ 0. Selanjutnya,
dianggap kxk = 0, maka untuk sebarang bilangan ǫ > 0 berlaku
kxk = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena kxk < ǫ terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat
Universitas Sumatera Utara
31
suatu bilangan ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρǫ
≤ 1.
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρǫ
≤ 1.
|Λn (x)|
≤ 1. Selanjutnya,
Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh M
ǫ
karena generalisasi fungsi Orlicz M bersifat konveks, maka diperoleh
M (|Λn (x)|) = M
|Λn (x)|
ǫ
ǫ
≤ǫ·M
|Λn (x)|
ǫ
≤ǫ
untuk setiap n ∈ N. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M (|Λn (x)|) = 0 untuk setiap n ∈ N. Karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, maka diperoleh
n
1 X
|Λn (x)| =
(λk − λk−1 )xk = 0
λn
k=0
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
n
X
λk − λk−1
k=0
λn
xk = 0
untuk setiap n ∈ N. Akan diperlihatkan bahwa xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Untuk itu, dengan menggunakan induksi matematika, diambil n = 0, diperoleh
λ0 − λ−1
λ0
x0 = x0 = 0.
Selanjutnya, dianggap benar untuk n = m, yaitu
m
X
λk − λk−1
k=0
λm
xk = 0 ⇐⇒ xk = 0.
Universitas Sumatera Utara
32
Oleh karena itu, untuk n = m + 1, diperoleh
m+1
X
k=0
λk − λk−1
λm+1
xk =
m
X
λk − λk−1
λm+1
k=0
=
λm+1 − λm
λm+1
xk +
λm+1 − λm
λm+1
xm+1
xm+1 = 0.
λm+1 − λm
Karena
6= 0, maka xm+1 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa
λm+1
xk = 0 untuk setiap k ∈ N. Dengan kata lain, x = 0.
Sebaliknya, dianggap x = 0. Karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
= sup M
n∈N
|Λn (0)|
ρ
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa
|Λn (x)|
kxk = inf ρ > 0 : sup M
≤ 1 = 0.
ρ
n∈N
Jadi, diperoleh bahwa kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0.
(2) Akan dibuktikan bahwa kαxk = |α|kxk untuk setiap x ∈ [X(M )]Λ dan
untuk sebarang bilangan real α. Apabila diambil α = 0, maka peroalan cukup
jelas. Untuk itu, diasumsikan α 6= 0, maka diperoleh
|Λn (αx)|
≤1
kαxk = inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
(
!
)
ρ
|Λn (x)|
= inf |α|
> 0 : sup M
≤1
ρ
|α|
n∈N
|α|
!
)
(
|Λn (x)|
ρ
> 0 : sup M
≤1 .
= |α| inf
ρ
|α|
n∈N
|α|
Dengan mengambil ρ′ =
ρ
, diperoleh
|α|
′
kαxk = |α| inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ′
≤1
= |α|kxk.
(3) Akan dibuktikan bahwa kx + yk ≤ kxk + kyk. Untuk itu, diambil sebarang
Universitas Sumatera Utara
33
x, y ∈ [X(M )]Λ , berarti terdapat ρ1 , ρ2 > 0 sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
≤ 1 dan sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
≤ 1.
Oleh karena itu, diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ1
≤ 1 dan M
|Λn (y)|
ρ2
≤1
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, diambil ρ = ρ1 + ρ2 . Karena generalisasi
fungsi Orlicz M memenuhi sifat naik dan konveks, maka diperoleh
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x) + Λn (y)|
=M
ρ1 + ρ2
ρ2 |Λn (y)|
ρ1 |Λn (x)|
+
≤M
(ρ1 + ρ2 )ρ1 (ρ1 + ρ2 )ρ2
ρ1
ρ2
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤
+
M
M
ρ1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ2
ρ2
ρ1
ρ2
≤
+
=1
ρ1 + ρ2 ρ1 + ρ2
untuk setiap n ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa
sup M
n∈N
|Λn (x + y)|
ρ
≤ 1.
Selanjutnya, karena
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x)|
|Λn (y)|
ρ2
ρ1
M
M
+
≤
ρ1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ2
ρ2
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤M
+M
ρ1
ρ2
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x + y)|
ρ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
+ sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
.
Universitas Sumatera Utara
34
Oleh karena itu, diperoleh
|Λn (x + y)|
≤1
kx + yk = inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤ inf ρ1 > 0 : sup M
≤ 1 + inf ρ2 > 0 : sup M
≤1
ρ1
ρ2
n∈N
n∈N
= kxk + kyk.
Dari hasil (1), (2), dan (3), terbukti bahwa fungsi dengan aturan
kxk[X(M )]Λ
|Λn (x)|
≤1
= inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
merupakan norma. Oleh karena itu, [X(M )]Λ merupakan ruang bernorma
untuk X = {c, c0 , ℓ∞ }.
Pada pembahasan di subbab selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ruang
barisan [X(M )]Λ untuk X = {c0 , c, ℓ∞ } masing-masing saling memuat atau
termuat antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain, akan diperlihatkan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan himpunan bagian dari [c(M )]Λ dan [c(M )]Λ
merupakan himpunan bagian dari [ℓ∞ (M )]Λ . Oleh
karena itu,
hal ini yang
|Λn (x)|
untuk setiap
menjamin bahwa terdapat nilai supremum dari M
ρ
n ∈ N dan untuk suatu bilangan ρ > 0. Untuk selanjutnya, yang dimaksud
dengan norma k · k adalah k · k[X(M )]Λ , dan yang dimaksud dengan X adalah
himpunan {c, c0 , ℓ∞ }.
Teorema 4.2.3. [X(M )]Λ merupakan ruang Banach terhadap norma k · k.
Bukti. (1) Akan dibuktikan untuk X = ℓ∞ , yaitu pada ruang barisan [ℓ∞ (M )]Λ .
Untuk itu, diambil sebarang barisan Cauchy (xi ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ , dengan xi =
(xi0 , xi1 , xi2 , · · · ) untuk setiap i ∈ N. Karena (xi ) merupakan barisan Cauchy,
berarti untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat i0 ∈ N, sehingga untuk setiap
j ≥ i ≥ i0 berlaku
j
i
kx − x k = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat suatu bilangan ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ sehingga
sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρǫ
≤ 1.
Universitas Sumatera Utara
35
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρǫ
≤1
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 . Oleh karena itu, untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap
n ∈ N diperoleh
|Λn (xj − xi )|
M
≤ 1.
ǫ
Selanjutnya, karena M bersifat konveks, maka diperoleh
j
i
M |Λn (x − x )| = M
ǫ|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ǫ·M
|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M |Λn (xj − xi )| = 0
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Karena M merupakan generalisasi
fungsi Orlicz, berarti |Λn (xj − xi )| = 0 untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap
n ∈ N. Jadi,
n
1 X
(λk − λk−1 )(xjk − xik ) = 0
λn k=0
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Karena (λk ) merupakan barisan
bilangan real positif naik kuat, maka dengan menggunakan induksi matematika
dapat diperoleh xjk − xik = 0 untuk setiap k ∈ N dan setiap j ≥ i ≥ i0 .
Akibatnya, |xjk − xik | = 0 untuk setiap k ∈ N dan setiap j ≥ i ≥ i0 . Dengan
kata lain, |xjk − xik | < ǫ untuk sebarang bilangan ǫ > 0, j ≥ i ≥ i0 , dan k ∈ N.
Hal ini berarti barisan (xjk ) dengan (xjk ) = (x0k , x1k , x2k , · · · ) merupakan barisan
Cauchy di R untuk setiap k ∈ N. Karena R bersifat lengkap, maka barisan
(xjk ) konvergen ke suatu xk ∈ R. Dengan kata lain, lim xjk = xk untuk setiap
j→∞
k ∈ N. Selanjutnya, apabila dibentuk barisan x = (xk ) = (x0 , x1 , x2 , · · · ),
maka xj → x untuk j → ∞. Karena generalisasi fungsi Orlicz M kontinu,
Universitas Sumatera Utara
36
maka diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ǫ
|Λn (limj→∞ xj − xi )|
=M
ǫ
limj→∞ |Λn (xj − xi )|
=M
ǫ
|Λn (xj − xi )|
= lim M
≤1
j→∞
ǫ
untuk setiap i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Dengan kata lain, untuk suatu bilangan
ρ > 0, berlaku
|Λn (x − xi )|
≤1
M
ρ
untuk setiap i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Hal ini berakibat bahwa
sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρ
≤1
untuk setiap i ≥ i0 . Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi norma
diperoleh
|Λn (x − xi )|
≤1 0 : sup M
ρ
n∈N
i
untuk setiap i ≥ i0 . Hal ini menunjukkan bahwa
xi → x untuk i → ∞ atau lim xi = x.
i→∞
(i)
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Karena xi ∈ [ℓ∞ (M )]Λ
untuk
sebarang
i ∈ N yang fix, berarti terdapat bilangan ρ > 0 sehingga
i
|Λn (x )|
sup M
< ∞. Selanjutnya, karena generalisasi fungsi Orlicz M
ρ
n∈N
bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤ sup M
ρ
n∈N
1
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
≤ sup M
+ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
i
K2
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
K1
+
sup M
sup M
≤
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
K1 K2
|Λn (xi )|
≤
+
sup M
0. Hal ini menunjukkan bahwa
x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
(ii)
Dari hasil (i) dan (ii) diperoleh kesimpulan bahwa [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang
Banach.
(2) Akan dibuktikan bahwa [c(M )]Λ merupakan ruang Banach. Dalam
hal ini, cukup dibuktikan bahwa [c(M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup
dari [ℓ∞ (M )]Λ . Untuk itu, diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ , berarti ada ρ > 0
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan real l.
sehingga M
ρ
Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga
untuk setiap n ≥ n0 berlaku
Oleh karena itu, diperoleh
M |Λn (x)| − l < ǫ.
ρ
|Λ
(x)|
|Λ
(x)|
n
n
M
= M
−
l
+
l
ρ
ρ
|Λn (x)|
− l + |l|
≤ M
ρ
< ǫ + |l|.
|Λ1 (x)|
|Λ0 (x)|
,M
, · · · , ǫ + |l| . KareKemudian dipilih K = sup M
ρ
ρ
na M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
|Λ
(x)|
n
< ǫ + |l| ≤ K
= M
ρ
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
< ∞.
Dengan kata lain, x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ . Selanjutnya,
diambil sebarang barisan (xi ) ⊂ [c(M )]Λ dengan xi → x untuk i → ∞ dan
x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Akan dibuktikan bahwa x ∈ [c(M )]Λ . Untuk itu, karena xi → x
untuk i → ∞, berarti terdapat ǫ > 0 sehingga kx − xi k ≤ ǫ. Selanjutnya,
Universitas Sumatera Utara
38
karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
M
|Λn (x)|
ǫ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤M
ǫ
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
1
+ M
≤ M
2
ǫ
2
ǫ
i
1
1
2|Λn (x − x )|
2|Λn (xi )|
≤ M
+ M
2
kx − xi k
2
ǫ
i
K1
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
K0
+
M
M
≤
2
kx − xi k
2
ǫ
untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0 dan untuk setiap n ∈ N. Karena kx−xi k < ǫ
terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka diperoleh
sup M
n∈N
Akibatnya,
M
|Λn (x − xi )|
kx − xi k
|Λn (x − xi )|
kx − xi k
≤ 1.
≤1
untuk setiap n ∈ N. Jadi, diperoleh
M
|Λn (x)|
ǫ
K0
K1
|Λn (x − xi )|
|Λn (xi )|
≤
+
M
M
2
kx − xi k
2
ǫ
K0 K 1
|Λn (xi )|
≤
+
M
2
2
ǫ
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, karenaxi ∈ [c(M)]Λ untuk suatu i ∈ N yang
|Λn (xi )|
fix, berarti terdapat ρ > 0 sehingga M
konvergen untuk n → ∞.
ρ
Jadi, terdapat bilangan real l sehingga
K0 K 1
+
M
2
2
|Λn (xi )|
ρ
→ l untuk n → ∞.
Oleh karena itu, diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
→ l untuk n → ∞.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ [c(M )]Λ . Dengan kata lain, [c(M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup dari [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [c(M )]Λ merupakan ruang
Banach terhadap norma k · k.
(3) Akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan ruang Banach. Dalam
Universitas Sumatera Utara
39
hal ini, cukup dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup
dari [c(M )]Λ
. Untuk
itu, diambil sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti ada ρ > 0
|Λn (x)|
→ 0 untuk n → ∞. Selanjutnya diambil l = 0, maka
sehingga M
ρ
diperoleh
|Λn (x)|
M
→ l untuk n → ∞.
ρ
Hal ini menunjukkan bahwa [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ bersifat tertutup terhadap [c(M )]Λ . Untuk itu, diambil
sebarang barisan (xi ) ⊂ [c0 (M )]Λ yang konvergen ke x ∈ [c(M )]Λ . Karena
xi → x untuk i → ∞, berarti untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat i0 ∈ N
sehingga untuk setiap i ≥ i0 berlaku kx − xi k < ǫ. Dengan kata lain,
i
kx − x k = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka terdapat ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ
sehingga
|Λn (x − xi )|
≤ 1.
sup M
ρǫ
n∈N
Akibatnya,
sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρǫ
≤ 1.
Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ 1.
Selanjutnya, karena M bersifat konveks, maka diperoleh
i
M |Λn (x − x )| ≤ ǫ · M
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ ǫ.
Dengan kata lain, M (|Λn (x − xi )|) → 0 untuk n → ∞. Karena generalisasi
fungsi Orlicz M kontinu, maka diperoleh |Λn (x− xi )| → 0 untuk n → ∞. Oleh
i )|
→ 0 untuk n → ∞.
karena itu, untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh |Λn (x−x
ρ
Karena M bersifat kontinu, maka diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Universitas Sumatera Utara
40
Selanjutnya diambil xi ∈ [c
sebarang i ∈ N yang fix. Berarti
0 (M )]Λ untuk
|Λn (xi )|
terdapat ρ > 0 sehingga M
→ 0 untuk n → ∞. Oleh karena itu,
ρ
diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤M
ρ
1
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
i
K0
K1
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
M
+
M
≤
2
ρ
2
ρ
untuk setiap n ∈ N. Karena M
untuk n → ∞, maka diperoleh
K0
M
2
|Λn (x − xi )|
ρ
|Λn (x − xi )|
ρ
K1
+
M
2
|Λn (xi )|
ρ
→ 0 dan M
|Λn (xi )|
ρ
→0
→ 0 untuk n → ∞.
Akibatnya,
M
|Λn (x)|
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ [c0 (M )]Λ . Dengan kata lain, [c0 (M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup dari [c(M )]Λ . Jadi, [c0 (M )]Λ merupakan ruang
Banach.
Teorema 4.2.4. [X(M )]Λ merupakan ruang-BK terhadap norma k · k.
Bukti. Diambil sebarang barisan x ∈ [X(M )]Λ dan sebarang bilangan ǫ >
ǫ
> 0.
0. Karena bilangan ǫ > 0 sebarang, berarti terdapat bilangan δ =
2
Selanjutnya, diambil sebarang y ∈ [X(M )]Λ dengan kx − yk < δ, yaitu
ǫ
|Λn (x − y)|
≤1 0 : sup M
ρ
2
n∈N
Karena berlaku untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat ρǫ dengan
0 < ρǫ < ǫ sehingga
|Λn (x − y)|
sup M
≤ 1.
ρǫ
n∈N
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x − y)|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x − y)|
ρǫ
≤ 1.
Universitas Sumatera Utara
41
Akibatnya, untuk setiap n ∈ N, diperoleh M
karena M bersifat konveks, maka diperoleh
M (|Λn (x − y)|) ≤ ǫ M
|Λn (x − y)|
ǫ
|Λn (x − y)|
ǫ
≤ 1. Selanjutnya,
≤ ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang bilangan ǫ > 0, berarti M (|Λn (x − y)|) = 0
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, berarti |Λn (x − y)| = 0 untuk setiap n ∈ N. Hal ini berakibat bahwa
n
1 X
(λk − λk−1 )(xk − yk ) = 0
λn k=0
untuk setiap n ∈ N. Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik
kuat, maka dengan menggunakan induksi matematika diperoleh |xk − yk | < ǫ
untuk setiap k ∈ N dan untuk sebarang bilangan ǫ > 0. Oleh karena itu,
diperoleh
|pk (x) − pk (y)| = |xk − yk | < ǫ
untuk setiap k ∈ N. Karena x ∈ [X(M )]Λ sebarang, maka fungsi pk kontinu
pada ruang Banach [X(M )]Λ . Jadi, [X(M )]Λ merupakan ruang-BK terhadap
norma k · k.
Teorema 4.2.5. [c0 (M )]Λ merupakan ruang-AK terhadap norma k · k.
Bukti. Diambil sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti terdapat ρ > 0 sehingga
M
|Λn (x)|
ρ
→ 0 untukn → ∞.
Karena [c0 (M )]Λ ruang bernorma, maka berlaku
kxk = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
≤1 .
Oleh karena itu, untuk sebarang bilangan ǫ > 0, terdapat m0 ∈ N sehingga
diperoleh
!
P
| λ1n nk=0 (λk − λk−1 )xk |
sup M
≤ 1.
ǫ
n≥m0
Universitas Sumatera Utara
42
Selanjutnya, didefinisikan barisan x[m] dengan aturan
x
[m]
=
m
X
xk e[k] untuk setiap m ∈ N.
k=0
Oleh karena itu, untuk setiap m ≥ m0 , diperoleh
kx − x[m] k = inf
≤ inf
(
ρ > 0 : sup M
(
| λ1n
n≥m0 +1
ρ > 0 : sup M
n≥m+1
| λ1n
Pn
k=0 (λk
Pn
− λk−1 )xk |
ρ
k=0 (λk
ρ
− λk−1 )xk |
!
!
≤1
≤1
)
)
< ǫ.
Dengan kata lain, kx − x[m] k → 0 untuk m → ∞. Jadi, [c0 (M )]Λ merupakan
ruang-AK.
Teorema 4.2.6. [X(M )]Λ merupakan isomorfik norma (norm isomorphic)
terhadap X(M ); yaitu
[X(M )]Λ ∼
= X(M ).
Bukti. Pertama sekali didefinisikan operator TΛ : [X(M )]Λ → X(M ) dengan
aturan x 7→ TΛ (x) = Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 . Akan dibuktikan bahwa operator TΛ
linier, bijektif, dan mempertahankan sifat norma. Untuk itu, diambil sebarang
x, y ∈ [X(M )]Λ dan sebarang skalar α, β. Maka diperoleh
TΛ (αx + βy) = (Λn (αx) + Λn (βy))
(i)
= α(Λn (x)) + β(Λn (y)) = αTΛ (x) + βTΛ (y).
Hal ini menunjukkan bahwa operator TΛ bersifat linier. Selanjutnya, diperoleh
Ker(TΛ ) = x ∈ [X(M )]Λ : TΛ (x) = 0
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0, ∀ n ∈ N
= x ∈ [X(M )]Λ : Λ(x) =
λn k=0
= x ∈ [X(M )]Λ : xk = 0, ∀ k ∈ N
= x ∈ [X(M )]Λ : x = 0 = 0 .
Jadi, operator linier TΛ bersifat injektif. Selanjutnya, diambil sebarang barisan
Universitas Sumatera Utara
43
y ∈ X(M ). Didefinisikan operator TΛ−1 : X(M ) → [X(M )]Λ dengan aturan
y 7→ TΛ−1 (y) = x =
k
X
λj
yj
(−1)k−j
λ
k − λk−1
j=k−1
!∞
.
k=0
Oleh karena itu diperoleh
TΛ (x) =
=
=
n
X
λk − λk−1
k=0
n
X
λn
xk
!
(iii)
k
λj
λk − λk−1 X
yj
(−1)k−j
λ
λ
n
k − λk−1
j=k−1
k=0
!
n
X λk yk − λk−1 yk−1
λn
k=0
!
= (yn ) = y.
Hal ini menunjukkan bahwa operator linier TΛ bersifat surjektif. Dengan kata
lain, operator linier TΛ bersifat bijektif. Selanjutnya, untuk melengkapi pembuktian teorema, diambil sebarang TΛ (x) ∈ X(M ) untuk x ∈ [X(M )]Λ . Maka
diperoleh
kTΛ (x)kX(M ) = kΛ(x)kX(M )
|Λn (x)|
≤1
= inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
(iv)
= kxk[X(M )]Λ .
Dari hasil (i), (ii), (iii), dan (iv), diperoleh bahwa operator linier bijektif TΛ
merupakan isomorfisma norma. Jadi, [X(M )]Λ ∼
= X(M ).
4.3. Relasi Inklusi Pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
Pada bagian ini akan diperlihatkan beberapa relasi inklusi yang bersesuaian
pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi
fungsi Orlicz-λ, dan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz.
Teorema 4.3.1. Jika diberikan [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ , maka relasi
Universitas Sumatera Utara
44
inklusi berikut berlaku kuat, yaitu
[c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
Bukti. Telah diperlihatkan pada pembuktian Teorema 4.2.3 bahwa [c0 (M )]Λ
merupakan ruang bagian dari [c(M )]Λ , dan [c(M )]Λ merupakan ruang bagian
dari [ℓ∞ (M )]Λ . Oleh karena itu, di dalam pembuktian ini akan diperlihatkan
bahwa relasi inklusi [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ bersifat kuat. Untuk
itu,diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ dan suatu bilangan real l 6= 0 sehingga
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan ρ > 0. Jadi,
M
ρ
x ∈ [c(M )]Λ \[c0 (M )]Λ . Oleh karena itu, diperoleh
[c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ .
(i)
Selanjutnya, diambil barisan x = (xk ) yang didefinisikan oleh
xk =
λk + λk−1
(−1)k + 2
λk − λk−1
untuk setiap k ∈ N. Diperoleh
n
X
λ
−
λ
λ
+
λ
k
k−1
k
k−1
(−1)k + 2
|Λn (x)| =
λ
λ
−
λ
n
k
k−1
k=0
n
n
X
X
λ
−
λ
λ
+
λ
k
k−1
k
k−1
(−1)k + 2
=
λn
λn
k=0
k=0
= |(−1)n + 2|
untuk setiap n ∈ N. Jadi,
M
|Λn (x)|
ρ
=M
|(−1)n + 2|
ρ
untuk setiap
suatu bilangan ρ > 0. Hal ini menunjukkan bahwa
n ∈ N dan
|Λn (x)|
barisan M
∈ ℓ∞ \c. Dengan kata lain, x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ \[c(M )]Λ .
ρ
Oleh karena itu, diperoleh
[c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
(ii)
Dari hasil (i) dan (ii) diperoleh [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
Universitas Sumatera Utara
45
Teorema 4.3.2. Diberikan c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ dan c(M ) ⊂ [c(M )]Λ . Relasi
inklusi c0 (M ) = [c0 (M )]Λ dan c(M ) = [c(M )]Λ masing-masing terpenuhi jika
dan hanya jika S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x di [c0 (M )]Λ dan [c(M )]Λ .
Bukti. (1) Akan dibuktikan bahwa c0 (M ) = [c0 (M )]Λ jika dan hanya jika
barisan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c0 (M )]Λ . Untuk itu, diasumsikan
c0 (M ) = [c0 (M )]Λ . Apabila diambil
x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti terdapat
sebarang
|Λn (x)|
→ 0 untuk n → ∞. Dengan kata
suatu bilangan ρ > 0 sehingga M
ρ
lain, untuk sebarang
bilangan ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga untuk setiap
|Λn (x)|
n ≥ n0 berlaku M
< ǫ. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0,
ρ
maka diperoleh
|Λn (x)|
= 0 untuk setiapn ∈ N.
M
ρ
|Λn (x)|
= 0 untuk
ρ
setiap n ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
Karena M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka
n
1 X
|Λn (x)| = |
(λk − λk−1 )xk | = 0.
λn k=0
Akibatnya,
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0 untuk setiap n ∈ N.
Λn (x) =
λn k=0
Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik kuat, maka dengan
menggunakan induksi matematika dapat diperoleh xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Dengan kata lain, untuk suatu bilangan ǫ > 0 diperoleh |xk | < ǫ untuk setiap
k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa barisan (xk ) konvergen ke nol di R.
Karena R bersifat lengkap, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy, yaitu untuk
sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ j ≥ k0
berlaku |xk − xj | < ǫ. Jadi, |xk − xk−1 | < ǫ untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 dan
sebarang bilangan ǫ > 0. Akibatnya,
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) = 0.
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞ λn
k=0
Universitas Sumatera Utara
46
Karena M kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
n→∞
|Sn (x)|
ρ
= 0.
Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c0 (M )]Λ .
Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) =
xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
M
|xn |
ρ
|xn − Sn (x)| |Sn (x)|
≤M
+
ρ
ρ
1
1
2|xn − Sn (x)|
2|Sn (x)|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
K1
|Λn (x)|
|Sn (x)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ
2
ρ
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
|Sn (x)|
→ 0 untuk n → ∞, maka diperoleh
0 dan M
ρ
K0
M
2
|Λn (x)|
ρ
K1
+
M
2
|Sn (x)|
ρ
|Λn (x)|
ρ
→
→ 0 untuk n → ∞.
Jadi,
M
|xn |
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Dengan kata lain, x ∈ c0 (M ). Hal ini menunjukkan bahwa [c0 (M )]Λ ⊂ c0 (M ).
Karena c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ dan [c0 (M )]Λ ⊂ c0 (M ), maka dapat disimpulkan
bahwa c0 (M ) = [c0 (M )]Λ .
(2) Akan dibuktikan c(M ) = [c(M )]Λ jika dan hanya jika S(x) ∈ c0 (M )
untuk setiap x ∈ [c(M )]Λ . Untuk itu, diasumsikan c(M ) = [c(M )]Λ . Apabila
diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ , maka x∈ c(M
). Hal ini berarti terdapat suatu
|xk |
bilangan ρ > 0 dan l ∈ R sehingga M
→ l untuk n → ∞. Selanjutnya,
ρ
|xk |
→ l′ untuk
karena generalisasi fungsi Orlicz M bersifat kontinu, maka
ρ
k → ∞ dengan l′ = M −1 (l). Dengan kata lain, |xk | → l1 = ρl′ untuk k → ∞.
Selanjutnya, apabila xk ≥ 0 untuk setiap k ∈ N, maka xk = |xk | → l1 untuk
k → ∞. Kemudian, apabila xk < 0 untuk setiap k ∈ N, maka diperoleh
−xk = |xk | → l1 untuk k → ∞. Dengan kata lain, xk → −l1 untuk k → ∞.
Universitas Sumatera Utara
47
Hal ini menunjukkan bahwa barisan (xk ) konvergen di R. Karena R bersifat
lengkap, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy, yaitu untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ j ≥ k0 berlaku |xk − xj | < ǫ.
Jadi, |xk − xk−1 | < ǫ untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 dan sebarang bilangan ǫ > 0.
Akibatnya,
n
1 X
lim Sn (x) = lim
λk−1 (xk − xk−1 ) = 0.
n→∞
n→∞ λn
k=0
Karena M kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
n→∞
|Sn (x)|
ρ
= 0.
Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c(M )]Λ . Karena
M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) = xn − Λn (x)
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
M
|xn |
ρ
|xn − Λn (x)| |Λn (x)|
≤M
+
ρ
ρ
1
1
2|xn − Λn (x)|
2|Λn (x)|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
K1
|Sn (x)|
|Λn (x)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ
2
ρ
|Sn (x)|
ρ
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
→
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan real l, maka
0 dan M
ρ
diperoleh
K0
M
2
|Sn (x)|
ρ
K1
+
M
2
|Λn (x)|
ρ
→ l′ untuk n → ∞.
→ l′ =
K1
l untuk n → ∞.
2
Jadi,
M
|xn |
ρ
Dengan kata lain, x ∈ c(M ). Hal ini menunjukkan bahwa [c(M )]Λ ⊂ c(M ).
Karena c(M ) ⊂ [c(M )]Λ dan [c(M )]Λ ⊂ c(M ), maka dapat disimpulkan bahwa
c(M ) = [c(M )]Λ .
Teorema 4.3.3. Diberikan ℓ∞ (M ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ . ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M )]Λ jika dan
Universitas Sumatera Utara
48
hanya jika S(x) ∈ ℓ∞ (M ) untuk setiap x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
Bukti. Diasumsikan ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M
diambil sebarang
x ∈[ℓ∞ (M )]Λ ,
)]Λ . Apabila
|xk |
|Λn (x)|
< ∞ dan sup M
0. Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi
kondisi-∆2 , serta Sn (x) = xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Sn (x)|
ρ
|Sn (x) − xn | |xn |
≤ sup M
+
ρ
ρ
n∈N
2|Sn (x) − xn |
2|xn |
1
1
+ sup M
≤ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
K0
K1
|Λn (x)|
|xn |
≤
+
sup M
sup M
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
0. Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ ℓ∞ (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ ℓ∞ (M ) untuk setiap x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) =
xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|xn |
ρ
|xn − Λn (x)| |Λn (x)|
≤ sup M
+
ρ
ρ
n∈N
1
1
2|xn − Λn (x)|
2|Λn (x)|
≤ sup M
+ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
K1
K0
|Sn (x)|
|Λn (x)|
+
≤
sup M
sup M
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
0. Jadi, x ∈ ℓ∞ (M ). Hal ini menunjukkan
bahwa [ℓ∞ (M )]Λ ⊂ ℓ∞ (M ). Karena ℓ∞ (M ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ dan [ℓ∞ (M )]Λ ⊂
ℓ∞ (M ), maka dapat disimpulkan bahwa ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M )]Λ .
Teorema 4.3.4. Jika diberikan c0 (M ), c(M ), dan [c0 (M )]Λ , maka
[c0 (M )]Λ ∩ c(M ) = c0 (M ).
Bukti. Dari Teorema 4.3.2 diperoleh c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ). Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ). Untuk itu, diambil
sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ), berarti terdapat suatu bilangan ρ > 0 sehing-
Universitas Sumatera Utara
49
|xk |
→ 0 dan M
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu
ga M
ρ
|Λn (x)|
bilangan real l. Karena M
→ 0 untuk n → ∞, berarti untuk seρ
barang
bilangan
ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku
|Λ
(x)|
n
< ǫ. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M
ρ
|Λn (x)|
ρ
M
|Λn (x)|
ρ
= 0 untuk setiapn ∈ N.
|Λn (x)|
= 0 untuk
ρ
setiap n ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
Karena M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka
|Λn (x)| = |
n
1 X
(λk − λk−1 )xk | = 0.
λn k=0
Akibatnya,
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0 untuk setiap n ∈ N.
Λn (x) =
λn k=0
Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik kuat, maka dengan
menggunakan induksi matematika dapat diperoleh xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Karena M bersifat kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
k→∞
|xk |
ρ
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ c0 (M ). Jadi, [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ).
Karena c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) dan [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ), maka dapat
disimpulkan bahwa [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) = c0 (M ).
Selanjutnya, apabila diberikan c(M ), ℓ∞ (M ), dan [c(M )]Λ , maka relasi inklusi
[c(M )]Λ ∩ ℓ∞ (M ) = c(M ) belum tentu berlaku. Untuk itu, diasumsikan
λk = k + 1 dan xk = (−1)k + 1 untuk setiap k ∈ N. Diperoleh
n
1
1 X
(−1)k + 1 =
Λn (x) =
λn k=0
λn
n
X
k=0
(−1)k +
n
X
k=0
1
!
1
=
λn
n
X
k=0
(−1)k + n
!
Universitas Sumatera Utara
50
untuk setiap n ∈ N. Dalam hal ini diperoleh
Λn (x) =
n+1
n+1
=
→ 1 ; untuk n genap
λn
n+1
n
n
=
→1
λn
n+1
; untuk n ganjil
|Λn (x)|
ρ
→l
Karena M kontinu, maka terdapat bilangan real l sehingga M
1
. Jadi, x ∈ [c(M )]Λ . Selanjutya, diperoleh
untuk n → ∞, dengan l = M
ρ
M
|xk |
ρ
=M
|(−1)k + 1|
ρ
untuk setiap k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa
x ∈ ℓ∞ (M )\c(M ).
M
|xk |
ρ
∈ ℓ∞ \c. Jadi,
Selanjutnya, diberikan x = (xk ) ∈ ω dan n ≥ 1. Dengan menggunakan
persamaan (4.1.4) dan (4.1.5) diperoleh
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 )
Sn (x) =
λn k=1
" n
#
n
X
X
1
=
λk−1 xk −
λk−1 xk−1
λn k=1
k=1
#
" n
n−1
X
1 X
=
λk−1 xk −
λk x k
λn k=0
k=0
"
#
n−1
X
1
λn−1 xn −
(λk − λk−1 )xk
=
λn
k=0
λn−1
xn − Λn−1 (x)
=
λn
λn−1
Sn (x) + Λn (x) − Λn−1 (x) .
=
λn
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
λn−1
Λn (x) − Λn−1 (x)
Sn (x) =
λn − λn−1
(4.3.1)
untuk setiap n ∈ N.
Universitas Sumatera Utara
51
Di sisi lain, dengan menggunakan definisi barisan λ = (λk )∞
k=0 pada perλk+1
> 1 untuk setiap k ∈ N. Karena
samaan (4.1.1), dapat diperoleh bahwa
λk
λk+1
> M (1)
generalisasi fungsi Orlicz M bersifat naik, maka diperoleh M
λk
untuk setiap k ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap k ∈ N dapat diperoleh
λj+1
M (1) ≤ inf M
;j ≥ k .
λj
Jadi, hanya terdapat dua kondisi yang berlaku pada barisan λ = (λk ); yaitu
lim inf M
k→∞
atau
λk+1
λk
λj+1
= lim inf M
; j ≥ k > M (1)
k→∞
λj
λj+1
= lim inf M
; j ≥ k = M (1).
lim inf M
k→∞
k→∞
λj
λk+1
> M (1), diperoleh
Untuk kondisi yang pertama, yaitu lim inf M
k→∞
λk
λk+1
λk
M (1) < inf M
λj+1
λj
;j ≥ k
≤M
λj+1
λj
untuk setiap j ∈ N. Oleh karena itu, diperoleh
M (1) < M
λj+1
λj
λj+1
⇐⇒ M (1) − M
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini disampaikan metodologi yang digunakan penulis dalam melakukan
penelitian ini. Selain itu, diberikan langkah-langkah sistematis dan diagram
alir penelitian sebagai penjelasan tentang proses yang akan dilakukan penulis
dalam melakukan penelitian.
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan, membaca, dan mempelajari referensi-referensi jurnal, buku-buku yang berkaitan, maupun informasiinformasi yang didapat dari internet. Berikut ini adalah langkah-langkah yang
dilakukan penulis dalam melakukan penelitian ini, yaitu:
1. Mendefinisikan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz. Dalam hal ini, ruang barisan ini disebut ruang
barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi
Orlicz, yaitu c0 (M ), c(M ), dan ℓ∞ (M ).
2. Memformulasikan beberapa ruang barisan baru dengan memanfaatkan
ruang barisan pada poin 1 dan matriks tak hingga Λ. Dalam hal ini,
ruang barisan ini disebut ruang barisan konvergen dan terbatas yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz-λ, yaitu [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan
[ℓ∞ (M )]Λ .
3. Meneliti sifat-sifat topologi dari ruang barisan pada poin 2 terhadap
norma yang didefinisikan.
4. Meneliti relasi inklusi yang bersesuaian dari ruang barisan pada poin 1
dan ruang barisan pada poin 2.
5. Meneliti karakteristik transformasi matriks dari ruang barisan pada poin
1 ke ruang barisan yang sama.
Secara garis besar keterkaitan antar topik yang sudah dilakukan peneliti lain
dengan penelitian ini, diberikan pada diagram berikut dengan segiempat bergaris
putus-putus merupakan penelitian yang dilakukan penulis dan alur bergaris
putus-putus menyatakan hubungan antara hasil penelitian sebelumnya dengan penelitian ini.
Universitas Sumatera Utara
19
Ruang Barisan � ⊂ �
� = {� = �� ∶ �� ∈ ℝ}
Fungsi Orlicz �: [0, ∞ → [0, ∞
Kontinu, naik, konveks,
� 0 = 0, � � > 0 untuk � > 0,
Generalisasi Fungsi Orlicz �: [0, ∞ → [0, ∞
Kontinu, naik, konveks,
� 0 = 0, � � > 0 untuk � > 0
� � → ∞ untuk � → ∞
Ruang Barisan Klasik
�0 , �, dan ℓ∞
Ruang Barisan yang Dibangun
Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz
Ruang Barisan Orlicz
∞
ℓ� = {� ∈ �: ∑ �
�=0
�0 � , � � , dan ℓ∞ �
|�� |
< ∞, � > 0}
�
Matriks Tak Hingga A= ���
��� ∈ ℝ, ∀ n, k ∈ ℕ
2.
Λ
3.
Euler
1.
��
Ruang Barisan yang Dibangun Oleh
Domain Matriks ��
1.
2.
3.
�
�0� , � � , dan ℓ∞
�
�0� , � � , dan �∞
Generalisasi Fungsi Orlicz-�
Norma
[�0 � ]Λ , [� � ]Λ , dan [ℓ∞ � ]Λ
1. Sifat Topologi
Norma
2. Relasi Inklusi
3. Tranformasi Matriks
�
�0� , � � , dan �∞
Norma
Gambar 1: Diagram Alur Penelitian
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
.1. Barisan Konvergen dan Terbatas-λ
Definisi 4.1.1. Diberikan barisan bilangan real positif naik kuat λ = (λk )∞
k=0
yang menuju tak hingga; yaitu
0 < λ0 < λ1 < · · · dan λk → ∞ untuk k → ∞.
(4.1.1)
Barisan x = (xk ) ∈ ω dikatakan konvergen-λ jika terdapat l ∈ R sehingga
Λn (x) → l untuk n → ∞. Dengan kata lain, untuk setiap ǫ > 0 terdapat
n0 ∈ N, sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku |Λn (x) − l| < ǫ, dengan
n
1 X
Λn (x) =
(λk − λk−1 )xk
λn k=0
(4.1.2)
untuk setiap n ∈ N. Dalam hal ini, bilangan l disebut limit-λ dari barisan
(xk ) dan barisan (xk ) disebut barisan konvergen-λ ke l. Adapun untuk setiap
unsur dengan indeks negatif, didefinisikan sama dengan nol, yaitu λ−1 = 0 dan
x−1 = 0.
Diberikan barisan (xn ) dan a ∈ R dengan limn→∞ xn = a. Berarti,
limn→∞ xn −a = 0. Akibatnya, limn→∞ |xn −a| = 0. Oleh karena itu, diperoleh
!
n
1 X
(λk − λk−1 )|xk − a|
(4.1.3)
lim
n→∞
λn k=0
1
λ0 |x0 − a| + (λ1 − λ0 )|x1 − a| + (λ2 − λ1 )|x2 − a| + · · · +
= lim
n→∞
λn
(λn−1 − λn−2 )|xn−1 − a| + (λn − λn−1 )|xn − a|
= 0.
Universitas Sumatera Utara
21
n
1 X
(λk − λk−1 ) = 1, maka diperoleh
Selanjutnya, karena
λn k=0
lim |Λn (x) − a|
n
1 X
= lim
(λk − λk−1 )xk − a
n→∞ λn
k=0
Pn
n
1
1 X
(λ
−
λ
)a
k
k−1
k=0
= lim
(λk − λk−1 )xk − λn1 Pn
n→∞ λn
k=0 (λk − λk−1 )
λn
k=0
!
n
1 X
a
(λk − λk−1 ) xk − 1 Pn
= lim
n→∞ λn
(λ
−
λ
)
k
k−1
k=0
λ
n
k=0
n
1 X
= lim
(λk − λk−1 )(xk − a)
n→∞ λn
n→∞
k=0
n
1 X
(λk − λk−1 ) |xk − a| .
≤ lim
n→∞ λn
k=0
Dengan menggunakan persamaan (4.1.3), diperoleh
n
1 X
(λk − λk−1 )(xk − a) = 0.
lim |Λn (x) − a| = lim
n→∞
n→∞ λn
k=0
Hal ini berakibat bahwa limn→∞ Λn (x) = a. Dengan kata lain, barisan x = (xk )
konvergen-λ ke a.
Hasil tersebut di atas dapat dinyatakan pada pernyataan dasar berikut.
Lemma 4.1.2. Setiap barisan konvergen, berakibat konvergen-λ dengan nilai
kekonvergenannya sama.
Lemma 4.1.3. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ. Jika barisan (xk ) konvergen, maka nilai kekonvergenannya sama dengan limit-λ dari barisan (xk ).
Bukti. Diketahui barisan (xk ) konvergen-λ, berarti terdapat l ∈ R sehingga
Λk (x) → l untuk k → ∞. Dalam hal ini, l merupakan limit-λ dari barisan
(xk ). Selanjutnya, diasumsikan barisan (xk ) konvergen, berarti terdapat l′ ∈ R
sehingga xk → l′ untuk k → ∞, atau untuk sebarang ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N
sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku |xk − l′ | < ǫ. Akan dibuktikan bahwa
Universitas Sumatera Utara
22
l′ = l. Untuk itu, karena xk → l′ , maka menurut Lemma 3.1.2 berlaku
′
lim Λk (x) − l = lim
k→∞
k→∞
k
1 X
(λj − λj−1 )(xj − l′ )
λk j=0
!
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa Λk (x) → l′ untuk k → ∞. Karena limit dari suatu
barisan bernilai tunggal, maka l′ = l. Dengan kata lain, nilai kekonvergenan
barisan (xk ) sama dengan limit-λ dari barisan (xk ).
Selanjutnya, diberikan barisan x = (xk ) ∈ ω dan n ≥ 1. Dengan menggunakan persamaan (4.1.2) diperoleh
n
1 X
xn − Λn (x) =
(λi − λi−1 )(xn − xi )
λn i=0
(4.1.4)
n−1
1 X
=
(λi − λi−1 )(xn − xi )
λn i=0
n−1
n
X
1 X
(λi − λi−1 )
(xk − xk−1 )
=
λn i=0
k=i+1
=
=
n−1
n
X
1 X
(λi − λi−1 )
(xk − xk−1 )
λn i=0
k=1
n
n−1
X
1 X
(xk − xk−1 )
(λi − λi−1 )
λn k=1
i=0
n
k−1
X
1 X
=
(xk − xk−1 )
(λi − λi−1 )
λn k=1
i=0
=
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ).
λn k=1
Oleh karena itu, untuk sebarang barisan x = (xk ) ∈ ω dapat dibentuk barisan
∞
S(x) = (Sn (x))∞
n=0 = (xn − Λn (x))n=0 , dengan
S0 (x) = 0, dan
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) untuk n ≥ 1.
Sn (x) =
λn k=1
(4.1.5)
Universitas Sumatera Utara
23
Dari pernyataan di atas, diperoleh lemma berikut.
Lemma 4.1.4. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ. Barisan (xk ) konvergen
jika dan hanya jika S(x) ∈ c0 .
Bukti. Diberikan barisan (xk ) konvergen-λ dan diasumsikan barisan (xk ) konvergen. Karena (xk ) konvergen di R, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy.
Artinya, untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k0 berlaku |xj − xk | < ǫ. Oleh karena itu, |xk − xk−1 | < ǫ untuk
sebarang bilangan ǫ > 0 dan untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 . Akibatnya,
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 )
λn k=1
!
= 0.
Hal ini berarti S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 .
Sebaliknya, jika S(x) ∈ c0 , maka limn→∞ Sn (x) = 0. Oleh karena itu,
diperoleh
lim Sn (x) = lim xn − Λn (x)
n→∞
n→∞
= lim xn − lim Λn (x)
n→∞
n→∞
= lim xn − l = 0.
n→∞
Hal ini menunjukkan bahwa limn→∞ xn = l. Dengan kata lain, barisan (xk )
konvergen ke l ∈ R.
Definisi 4.1.5. Barisan (xk ) dikatakan terbatas-λ, apabila sup |Λn (x)| < ∞.
n∈N
Contoh 4.1.6. Barisan e = (ek ) terbatas-λ.
Dari definisi barisan terbatas-λ, diperoleh lemma berikut.
Lemma 4.1.7. Jika barisan (xk ) terbatas, maka (xk ) terbatas-λ.
Bukti. Diketahui barisan (xk ) terbatas, berarti terdapat bilangan M > 0 sehingga |xk | ≤ M untuk setiap k ∈ N. Akan dibuktikan barisan (xk ) terbatas-λ,
Universitas Sumatera Utara
24
yaitu ada bilangan real positif M1 sehingga supn∈N |Λn (x)| ≤ M1 . Karena
n
1 X
|Λn (x)| =
(λk − λk−1 )xk
λn
≤
1
λn
k=0
n
X
(λk − λk−1 )|xk |
k=0
n
1 X
(λk − λk−1 )M = M
≤
λn k=0
untuk setiap n ∈ N, maka dapat diambil M1 = M sehingga
|Λn (x)| ≤ M1 untuk setiap n ∈ N.
Oleh karena itu, menurut sifat kelengkapan di R, terdapat supn∈N |Λn (x)| dengan supn∈N |Λn (x)| ≤ M1 < ∞. Dengan demikian, terbukti bahwa barisan
(xk ) terbatas-λ.
Sifat keterbatasan suatu barisan konvergen, juga berlaku pada barisan
konvergen-λ. Hal ini ditunjukkan oleh teorema berikut.
Teorema 4.1.8. Jika barisan (xk ) konvergen-λ, maka (xk ) terbatas-λ.
Bukti. Diketahui barisan (xk ) konvergen-λ, berarti ada bilangan real l sehingga
Λn (x) → l untuk n → ∞. Akan dibuktikan bahwa barisan (xk ) terbatas-λ.
Untuk itu, karena Λn (x) → l, berarti untuk setiap ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N
sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku |Λn (x) − l| < ǫ. Akibatnya, untuk setiap
n ≥ n0 diperoleh
|Λn (x)| = |Λn (x) − l + l|
≤ |Λn (x) − l| + |l|
< ǫ + |l|.
Selanjutnya, dianggap M = sup{|Λ0 (x)|, |Λ1 (x)|, · · · , ǫ + |l|}, maka
|Λn (x)| ≤ M untuk setiap n ∈ N.
Dengan demikian, terbukti bahwa barisan (xk ) terbatas-λ.
Universitas Sumatera Utara
25
Kebalikan dari teorema di atas belum tentu berlaku.
Contoh 4.1.9. Barisan ((−1)k ) terbatas-λ dan tidak konvergen-λ.
Lemma 4.1.10. Diberikan barisan (xk ) terbatas-λ. Barisan (xk ) terbatas jika
dan hanya jika S(x) ∈ ℓ∞ .
Bukti. Diketahui barisan (xk ) terbatas-λ. Berarti, supn∈N |Λn (x)| < ∞. Selanjutnya, diasumsikan barisan (xk ) terbatas, yaitu terdapat suatu bilangan
N > 0 sehingga |xk | ≤ N untuk setiap k ∈ N. Karena Sn (x) = xn − Λn (x)
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
|Sn (x)| = |xn − Λn (x)|
≤ |xn | + |Λn (x)|
≤ N + N0
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan N0 > 0, dengan N0 ≥ |Λn (x)|
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, dipilih N1 = N + N0 . Oleh karena itu, untuk
setiap n ∈ N diperoleh
|Sn (x)| ≤ N1 .
Hal ini menunjukkan bahwa barisan (Sn (x))∞
n=0 terbatas. Dengan kata lain,
S(x) = (Sn (x)) ∈ ℓ∞ .
∞
Sebaliknya, diasumsikan barisan (Sn (x))
n=0 ∈ ℓ∞ . Berarti, terdapat
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) ≤ N0
suatu bilangan N0 > 0 sehingga |Sn (x)| =
λn
k=1
untuk setiap n ∈ N. Karena xn − Λn (x) = Sn (x) untuk setiap n ∈ N, maka
diperoleh
|xn | = |Sn (x) + Λn (x)|
≤ |Sn (x)| + |Λn (x)|
≤ N 0 + N1
untuk N1 > 0 dengan N1 ≥ |Λn (x)| untuk setiap n ∈ N. Dengan kata lain,
untuk setiap k ∈ N diperoleh |xk | ≤ N2 , dengan N2 = N0 + N1 . Hal ini
menunjukkan bahwa barisan x = (xk ) terbatas.
Selanjutnya, didefinisikan matriks tak hingga Λ = (λnk )∞
n,k=0 dengan
Universitas Sumatera Utara
26
aturan
λnk
λk − λk−1 ; untuk 0 ≤ k ≤ n
λn
=
0
; untuk k > n
untuk setiap n, k ∈ N. Transformasi-Λ adalah suatu fungsi Λ : X → Y dengan
aturan x 7→ Λx = (Λn (x)), dengan barisan Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 didefinisikan
oleh persamaan (4.1.2), untuk sebarang ruang barisan X dan Y . Selanjutnya,
jika barisan x = (xk ) ∈ ω konvergen-λ ke suatu bilangan l, maka Λn (x) → l
untuk n → ∞. Dalam hal ini, barisan x = (xk ) dikatakan terjumlah-Λ (Λsummable).
4.2. Topologi Norma Pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
Diberikan ruang barisan konvergen, konvergen ke nol, dan terbatas yang masingmasing ditulis dengan notasi c, c0 , dan ℓ∞ ; yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ l ∈ R) xk → l, k → ∞ ,
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0, k → ∞ , dan
ℓ∞ = x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Ruang barisan c, c0 , dan ℓ∞ , masing-masing merupakan ruang Banach terhadap norma k · k∞ ; yaitu kxk∞ = supk∈N |xk |.
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0, dan M (x) → ∞ untuk x → ∞
disebut fungsi Orlicz. Apabila sifat konveks dari fungsi Orlicz M diganti dengan M (x + y) ≤ M (x) + M (y) untuk setiap x, y ∈ [0, ∞), maka fungsi
Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox 1986). Fungsi Orlicz
M dikatakan memenuhi kondisi-∆2 jika terdapat konstanta K > 0 sehingga
M (2x) ≤ KM (x) untuk setiap x ∈ [0, ∞).
Selanjutnya, diberikan generalisasi fungsi Orlicz M yang bersifat kontinu,
naik, konveks, M (0) = 0, dan M (x) > 0 untuk x > 0. Didefinisikan ruang
barisan c(M ), c0 (M ), dan ℓ∞ (M ), yang masing-masing disebut ruang barisan
Universitas Sumatera Utara
27
konvergen yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, ruang barisan konvergen ke nol yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, dan ruang barisan
terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz ; yaitu
→ l, k → ∞ ,
c(M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0, l ∈ R) M
|xk |
→ 0, k → ∞ , dan
c0 (M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) M
ρ
|xk |
ℓ∞ (M ) = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) sup M
n
untuk setiap n, k ∈ N. Transformasi-Λ adalah suatu fungsi Λ : X → Y dengan
aturan x 7→ Λx = (Λn (x)), untuk sebarang ruang barisan X dan Y . Dalam
hal ini, barisan Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 didefinisikan oleh
n
1 X
(λk − λk−1 )xk
Λn (x) =
λn k=0
untuk setiap n ∈ N.
Apabila diberikan sebarang ruang barisan X dan matriks tak hingga A,
maka ruang barisan yang ditulis dengan notasi XA ; yaitu
XA = x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X
disebut domain matriks. Dengan memanfaatkan ruang barisan konvergen yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, ruang barisan konvergen ke nol yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, dan ruang barisan terbatas yang
dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, serta matriks tak hingga Λ, dibentuk
Universitas Sumatera Utara
28
domain matriks yang didefinisikan sebagai berikut:
|Λn (x)|
→ l, n → ∞ ,
[c(M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0, l ∈ R) M
ρ
|Λn (x)|
[c0 (M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) M
→ 0, n → ∞ , dan
ρ
|Λn (x)|
[ℓ∞ (M )]Λ = x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0) sup M
0 dan l1 , l2 ∈ R sehingga
M
|Λn (x)|
ρ1
→ l1 dan M
|Λn (y)|
ρ2
→ l2
1
1
1
1
≤
atau ≤ . Karena
ρ
ρ1
ρ
ρ2
generalisasi fungsi Orlicz M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 ,
untuk n → ∞. Dipilih ρ = max{ρ1 , ρ2 }, berarti
Universitas Sumatera Utara
29
maka diperoleh
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x) + Λn (y)|
=M
ρ
|Λn (x)| |Λn (y)|
≤M
+
ρ
ρ
|Λn (x)| |Λn (y)|
≤M
+
ρ1
ρ
2
1
1
2|Λn (x)|
2|Λn (y)|
≤ M
+ M
2
ρ1
2
ρ
2
K1
|Λn (x)|
|Λn (y)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ1
2
ρ2
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
|Λn (y)|
→ l2 untuk n → ∞, maka diperoleh
l1 dan M
ρ2
K0
M
2
|Λn (x)|
ρ1
K1
+
M
2
|Λn (y)|
ρ2
→
|Λn (x)|
ρ1
→
K0
K1
l1 +
l2
2
2
|Λn (x + y)|
untuk n → ∞. Oleh karena itu, M
→ l untuk n → ∞ dengan
ρ
K1
|Λn (x + y)|
K0
l1 +
l2 . Karena M
→ l untuk suatu ρ > 0 dan l ∈ R,
l=
2
2
ρ
berarti x + y ∈ [c(M )]Λ .
Selanjutnya, diambil sebarang bilangan real α. Menurut sifat Archimedean,
terdapat n0 ∈ N sehingga α ≤ |α| ≤ 2n0 . Karena generalisasi fungsi Orlicz M
memenuhi kondisi-∆2 , maka terdapat bilangan K > 0 sehingga diperoleh
M
|Λn (αx)|
ρ
=M
|α||Λn (x)|
ρ
≤M
2n0 |Λn (x)|
ρ
n0
≤K M
|Λn (x)|
ρ
.
|Λn (x)|
|Λn (x)|
n0
Karena M
konvergen untuk n → ∞, berarti K M
ρ
ρ
′
konvergen untuk n → ∞. Jadi, ada bilangan l sehingga
n0
K M
|Λn (x)|
ρ
→ l′ untuk n → ∞.
|Λn (αx)|
Akibatnya, M
→ l′ untuk n → ∞. Hal ini menunjukkan bahwa
ρ
αx ∈ [c(M )]Λ . Karena x + y ∈ [c(M )]Λ dan αx ∈ [c(M )]Λ , maka [c(M )]Λ
merupakan ruang linier. Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa
Universitas Sumatera Utara
30
ruang barisan [c0 (M )]Λ merupakan ruang linier.
(2) Akan dibuktikan ruang barisan [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang linier.
Diambil sebarang x, y ∈ [ℓ∞ (M )]Λ , berarti terdapat ρ1 , ρ2 > 0 sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
< ∞ dan sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
< ∞.
1
1
1
1
≤
atau ≤
. Selanρ
2|α|ρ1
ρ
2|β|ρ2
jutnya, diambil sebarang skalar α dan β. Karena generalisasi fungsi Orlicz M
bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
Dipilih ρ = max(2|α|ρ1 , 2|β|ρ2 ), berarti
sup M
n∈N
|Λn (αx + βy)|
ρ
|Λn (αx) + Λn (βy)|
= sup M
ρ
n∈N
|αΛn (x) + βΛn (y)|
= sup M
ρ
n∈N
|αΛn (x)| |βΛn (y)|
+
≤ sup M
ρ
ρ
n∈N
|α||Λn (x)| |β||Λn (y)|
≤ sup M
+
2|α|ρ1
2|β|ρ2
n∈N
1
1
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤ sup M
+ sup M
< ∞.
2 n∈N
ρ1
2 n∈N
ρ2
Dengan kata lain, αx + βy ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang
linier.
Teorema 4.2.2. Diberikan X = {c, c0 , ℓ∞ }. Fungsi k · k : [X(M )]Λ → R
dengan aturan
kxk[X(M )]Λ
|Λn (x)|
= inf ρ > 0 : sup M
≤1
ρ
n∈N
(4.2.1)
merupakan norma.
Bukti. (1) Karena ρ > 0, berarti cukup jelas bahwa kxk ≥ 0. Selanjutnya,
dianggap kxk = 0, maka untuk sebarang bilangan ǫ > 0 berlaku
kxk = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena kxk < ǫ terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat
Universitas Sumatera Utara
31
suatu bilangan ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρǫ
≤ 1.
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρǫ
≤ 1.
|Λn (x)|
≤ 1. Selanjutnya,
Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh M
ǫ
karena generalisasi fungsi Orlicz M bersifat konveks, maka diperoleh
M (|Λn (x)|) = M
|Λn (x)|
ǫ
ǫ
≤ǫ·M
|Λn (x)|
ǫ
≤ǫ
untuk setiap n ∈ N. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M (|Λn (x)|) = 0 untuk setiap n ∈ N. Karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, maka diperoleh
n
1 X
|Λn (x)| =
(λk − λk−1 )xk = 0
λn
k=0
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
n
X
λk − λk−1
k=0
λn
xk = 0
untuk setiap n ∈ N. Akan diperlihatkan bahwa xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Untuk itu, dengan menggunakan induksi matematika, diambil n = 0, diperoleh
λ0 − λ−1
λ0
x0 = x0 = 0.
Selanjutnya, dianggap benar untuk n = m, yaitu
m
X
λk − λk−1
k=0
λm
xk = 0 ⇐⇒ xk = 0.
Universitas Sumatera Utara
32
Oleh karena itu, untuk n = m + 1, diperoleh
m+1
X
k=0
λk − λk−1
λm+1
xk =
m
X
λk − λk−1
λm+1
k=0
=
λm+1 − λm
λm+1
xk +
λm+1 − λm
λm+1
xm+1
xm+1 = 0.
λm+1 − λm
Karena
6= 0, maka xm+1 = 0. Hal ini menunjukkan bahwa
λm+1
xk = 0 untuk setiap k ∈ N. Dengan kata lain, x = 0.
Sebaliknya, dianggap x = 0. Karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
= sup M
n∈N
|Λn (0)|
ρ
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa
|Λn (x)|
kxk = inf ρ > 0 : sup M
≤ 1 = 0.
ρ
n∈N
Jadi, diperoleh bahwa kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0.
(2) Akan dibuktikan bahwa kαxk = |α|kxk untuk setiap x ∈ [X(M )]Λ dan
untuk sebarang bilangan real α. Apabila diambil α = 0, maka peroalan cukup
jelas. Untuk itu, diasumsikan α 6= 0, maka diperoleh
|Λn (αx)|
≤1
kαxk = inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
(
!
)
ρ
|Λn (x)|
= inf |α|
> 0 : sup M
≤1
ρ
|α|
n∈N
|α|
!
)
(
|Λn (x)|
ρ
> 0 : sup M
≤1 .
= |α| inf
ρ
|α|
n∈N
|α|
Dengan mengambil ρ′ =
ρ
, diperoleh
|α|
′
kαxk = |α| inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ′
≤1
= |α|kxk.
(3) Akan dibuktikan bahwa kx + yk ≤ kxk + kyk. Untuk itu, diambil sebarang
Universitas Sumatera Utara
33
x, y ∈ [X(M )]Λ , berarti terdapat ρ1 , ρ2 > 0 sehingga
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
≤ 1 dan sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
≤ 1.
Oleh karena itu, diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ1
≤ 1 dan M
|Λn (y)|
ρ2
≤1
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, diambil ρ = ρ1 + ρ2 . Karena generalisasi
fungsi Orlicz M memenuhi sifat naik dan konveks, maka diperoleh
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x) + Λn (y)|
=M
ρ1 + ρ2
ρ2 |Λn (y)|
ρ1 |Λn (x)|
+
≤M
(ρ1 + ρ2 )ρ1 (ρ1 + ρ2 )ρ2
ρ1
ρ2
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤
+
M
M
ρ1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ2
ρ2
ρ1
ρ2
≤
+
=1
ρ1 + ρ2 ρ1 + ρ2
untuk setiap n ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa
sup M
n∈N
|Λn (x + y)|
ρ
≤ 1.
Selanjutnya, karena
M
|Λn (x + y)|
ρ
|Λn (x)|
|Λn (y)|
ρ2
ρ1
M
M
+
≤
ρ1 + ρ2
ρ1
ρ1 + ρ2
ρ2
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤M
+M
ρ1
ρ2
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x + y)|
ρ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ1
+ sup M
n∈N
|Λn (y)|
ρ2
.
Universitas Sumatera Utara
34
Oleh karena itu, diperoleh
|Λn (x + y)|
≤1
kx + yk = inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
|Λn (x)|
|Λn (y)|
≤ inf ρ1 > 0 : sup M
≤ 1 + inf ρ2 > 0 : sup M
≤1
ρ1
ρ2
n∈N
n∈N
= kxk + kyk.
Dari hasil (1), (2), dan (3), terbukti bahwa fungsi dengan aturan
kxk[X(M )]Λ
|Λn (x)|
≤1
= inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
merupakan norma. Oleh karena itu, [X(M )]Λ merupakan ruang bernorma
untuk X = {c, c0 , ℓ∞ }.
Pada pembahasan di subbab selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa ruang
barisan [X(M )]Λ untuk X = {c0 , c, ℓ∞ } masing-masing saling memuat atau
termuat antara satu dengan yang lainnya. Dengan kata lain, akan diperlihatkan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan himpunan bagian dari [c(M )]Λ dan [c(M )]Λ
merupakan himpunan bagian dari [ℓ∞ (M )]Λ . Oleh
karena itu,
hal ini yang
|Λn (x)|
untuk setiap
menjamin bahwa terdapat nilai supremum dari M
ρ
n ∈ N dan untuk suatu bilangan ρ > 0. Untuk selanjutnya, yang dimaksud
dengan norma k · k adalah k · k[X(M )]Λ , dan yang dimaksud dengan X adalah
himpunan {c, c0 , ℓ∞ }.
Teorema 4.2.3. [X(M )]Λ merupakan ruang Banach terhadap norma k · k.
Bukti. (1) Akan dibuktikan untuk X = ℓ∞ , yaitu pada ruang barisan [ℓ∞ (M )]Λ .
Untuk itu, diambil sebarang barisan Cauchy (xi ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ , dengan xi =
(xi0 , xi1 , xi2 , · · · ) untuk setiap i ∈ N. Karena (xi ) merupakan barisan Cauchy,
berarti untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat i0 ∈ N, sehingga untuk setiap
j ≥ i ≥ i0 berlaku
j
i
kx − x k = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat suatu bilangan ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ sehingga
sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρǫ
≤ 1.
Universitas Sumatera Utara
35
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (xj − xi )|
ρǫ
≤1
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 . Oleh karena itu, untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap
n ∈ N diperoleh
|Λn (xj − xi )|
M
≤ 1.
ǫ
Selanjutnya, karena M bersifat konveks, maka diperoleh
j
i
M |Λn (x − x )| = M
ǫ|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ǫ·M
|Λn (xj − xi )|
ǫ
≤ ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M |Λn (xj − xi )| = 0
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Karena M merupakan generalisasi
fungsi Orlicz, berarti |Λn (xj − xi )| = 0 untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap
n ∈ N. Jadi,
n
1 X
(λk − λk−1 )(xjk − xik ) = 0
λn k=0
untuk setiap j ≥ i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Karena (λk ) merupakan barisan
bilangan real positif naik kuat, maka dengan menggunakan induksi matematika
dapat diperoleh xjk − xik = 0 untuk setiap k ∈ N dan setiap j ≥ i ≥ i0 .
Akibatnya, |xjk − xik | = 0 untuk setiap k ∈ N dan setiap j ≥ i ≥ i0 . Dengan
kata lain, |xjk − xik | < ǫ untuk sebarang bilangan ǫ > 0, j ≥ i ≥ i0 , dan k ∈ N.
Hal ini berarti barisan (xjk ) dengan (xjk ) = (x0k , x1k , x2k , · · · ) merupakan barisan
Cauchy di R untuk setiap k ∈ N. Karena R bersifat lengkap, maka barisan
(xjk ) konvergen ke suatu xk ∈ R. Dengan kata lain, lim xjk = xk untuk setiap
j→∞
k ∈ N. Selanjutnya, apabila dibentuk barisan x = (xk ) = (x0 , x1 , x2 , · · · ),
maka xj → x untuk j → ∞. Karena generalisasi fungsi Orlicz M kontinu,
Universitas Sumatera Utara
36
maka diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ǫ
|Λn (limj→∞ xj − xi )|
=M
ǫ
limj→∞ |Λn (xj − xi )|
=M
ǫ
|Λn (xj − xi )|
= lim M
≤1
j→∞
ǫ
untuk setiap i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Dengan kata lain, untuk suatu bilangan
ρ > 0, berlaku
|Λn (x − xi )|
≤1
M
ρ
untuk setiap i ≥ i0 dan setiap n ∈ N. Hal ini berakibat bahwa
sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρ
≤1
untuk setiap i ≥ i0 . Oleh karena itu, dengan menggunakan definisi norma
diperoleh
|Λn (x − xi )|
≤1 0 : sup M
ρ
n∈N
i
untuk setiap i ≥ i0 . Hal ini menunjukkan bahwa
xi → x untuk i → ∞ atau lim xi = x.
i→∞
(i)
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Karena xi ∈ [ℓ∞ (M )]Λ
untuk
sebarang
i ∈ N yang fix, berarti terdapat bilangan ρ > 0 sehingga
i
|Λn (x )|
sup M
< ∞. Selanjutnya, karena generalisasi fungsi Orlicz M
ρ
n∈N
bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤ sup M
ρ
n∈N
1
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
≤ sup M
+ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
i
K2
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
K1
+
sup M
sup M
≤
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
K1 K2
|Λn (xi )|
≤
+
sup M
0. Hal ini menunjukkan bahwa
x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
(ii)
Dari hasil (i) dan (ii) diperoleh kesimpulan bahwa [ℓ∞ (M )]Λ merupakan ruang
Banach.
(2) Akan dibuktikan bahwa [c(M )]Λ merupakan ruang Banach. Dalam
hal ini, cukup dibuktikan bahwa [c(M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup
dari [ℓ∞ (M )]Λ . Untuk itu, diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ , berarti ada ρ > 0
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan real l.
sehingga M
ρ
Dengan kata lain, untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga
untuk setiap n ≥ n0 berlaku
Oleh karena itu, diperoleh
M |Λn (x)| − l < ǫ.
ρ
|Λ
(x)|
|Λ
(x)|
n
n
M
= M
−
l
+
l
ρ
ρ
|Λn (x)|
− l + |l|
≤ M
ρ
< ǫ + |l|.
|Λ1 (x)|
|Λ0 (x)|
,M
, · · · , ǫ + |l| . KareKemudian dipilih K = sup M
ρ
ρ
na M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
|Λ
(x)|
n
< ǫ + |l| ≤ K
= M
ρ
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
< ∞.
Dengan kata lain, x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ . Selanjutnya,
diambil sebarang barisan (xi ) ⊂ [c(M )]Λ dengan xi → x untuk i → ∞ dan
x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ . Akan dibuktikan bahwa x ∈ [c(M )]Λ . Untuk itu, karena xi → x
untuk i → ∞, berarti terdapat ǫ > 0 sehingga kx − xi k ≤ ǫ. Selanjutnya,
Universitas Sumatera Utara
38
karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , maka diperoleh
M
|Λn (x)|
ǫ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤M
ǫ
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
1
+ M
≤ M
2
ǫ
2
ǫ
i
1
1
2|Λn (x − x )|
2|Λn (xi )|
≤ M
+ M
2
kx − xi k
2
ǫ
i
K1
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
K0
+
M
M
≤
2
kx − xi k
2
ǫ
untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0 dan untuk setiap n ∈ N. Karena kx−xi k < ǫ
terpenuhi untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka diperoleh
sup M
n∈N
Akibatnya,
M
|Λn (x − xi )|
kx − xi k
|Λn (x − xi )|
kx − xi k
≤ 1.
≤1
untuk setiap n ∈ N. Jadi, diperoleh
M
|Λn (x)|
ǫ
K0
K1
|Λn (x − xi )|
|Λn (xi )|
≤
+
M
M
2
kx − xi k
2
ǫ
K0 K 1
|Λn (xi )|
≤
+
M
2
2
ǫ
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, karenaxi ∈ [c(M)]Λ untuk suatu i ∈ N yang
|Λn (xi )|
fix, berarti terdapat ρ > 0 sehingga M
konvergen untuk n → ∞.
ρ
Jadi, terdapat bilangan real l sehingga
K0 K 1
+
M
2
2
|Λn (xi )|
ρ
→ l untuk n → ∞.
Oleh karena itu, diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
→ l untuk n → ∞.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ [c(M )]Λ . Dengan kata lain, [c(M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup dari [ℓ∞ (M )]Λ . Jadi, [c(M )]Λ merupakan ruang
Banach terhadap norma k · k.
(3) Akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan ruang Banach. Dalam
Universitas Sumatera Utara
39
hal ini, cukup dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup
dari [c(M )]Λ
. Untuk
itu, diambil sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti ada ρ > 0
|Λn (x)|
→ 0 untuk n → ∞. Selanjutnya diambil l = 0, maka
sehingga M
ρ
diperoleh
|Λn (x)|
M
→ l untuk n → ∞.
ρ
Hal ini menunjukkan bahwa [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ bersifat tertutup terhadap [c(M )]Λ . Untuk itu, diambil
sebarang barisan (xi ) ⊂ [c0 (M )]Λ yang konvergen ke x ∈ [c(M )]Λ . Karena
xi → x untuk i → ∞, berarti untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat i0 ∈ N
sehingga untuk setiap i ≥ i0 berlaku kx − xi k < ǫ. Dengan kata lain,
i
kx − x k = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρ
≤1
< ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka terdapat ρǫ dengan 0 < ρǫ < ǫ
sehingga
|Λn (x − xi )|
≤ 1.
sup M
ρǫ
n∈N
Akibatnya,
sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x − xi )|
ρǫ
≤ 1.
Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ 1.
Selanjutnya, karena M bersifat konveks, maka diperoleh
i
M |Λn (x − x )| ≤ ǫ · M
|Λn (x − xi )|
ǫ
≤ ǫ.
Dengan kata lain, M (|Λn (x − xi )|) → 0 untuk n → ∞. Karena generalisasi
fungsi Orlicz M kontinu, maka diperoleh |Λn (x− xi )| → 0 untuk n → ∞. Oleh
i )|
→ 0 untuk n → ∞.
karena itu, untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh |Λn (x−x
ρ
Karena M bersifat kontinu, maka diperoleh
M
|Λn (x − xi )|
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Universitas Sumatera Utara
40
Selanjutnya diambil xi ∈ [c
sebarang i ∈ N yang fix. Berarti
0 (M )]Λ untuk
|Λn (xi )|
terdapat ρ > 0 sehingga M
→ 0 untuk n → ∞. Oleh karena itu,
ρ
diperoleh
M
|Λn (x)|
ρ
|Λn (x − xi )| + |Λn (xi )|
≤M
ρ
1
1
2|Λn (x − xi )|
2|Λn (xi )|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
i
K0
K1
|Λn (x − x )|
|Λn (xi )|
M
+
M
≤
2
ρ
2
ρ
untuk setiap n ∈ N. Karena M
untuk n → ∞, maka diperoleh
K0
M
2
|Λn (x − xi )|
ρ
|Λn (x − xi )|
ρ
K1
+
M
2
|Λn (xi )|
ρ
→ 0 dan M
|Λn (xi )|
ρ
→0
→ 0 untuk n → ∞.
Akibatnya,
M
|Λn (x)|
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ [c0 (M )]Λ . Dengan kata lain, [c0 (M )]Λ merupakan ruang bagian tertutup dari [c(M )]Λ . Jadi, [c0 (M )]Λ merupakan ruang
Banach.
Teorema 4.2.4. [X(M )]Λ merupakan ruang-BK terhadap norma k · k.
Bukti. Diambil sebarang barisan x ∈ [X(M )]Λ dan sebarang bilangan ǫ >
ǫ
> 0.
0. Karena bilangan ǫ > 0 sebarang, berarti terdapat bilangan δ =
2
Selanjutnya, diambil sebarang y ∈ [X(M )]Λ dengan kx − yk < δ, yaitu
ǫ
|Λn (x − y)|
≤1 0 : sup M
ρ
2
n∈N
Karena berlaku untuk sebarang bilangan ǫ > 0, maka terdapat ρǫ dengan
0 < ρǫ < ǫ sehingga
|Λn (x − y)|
sup M
≤ 1.
ρǫ
n∈N
Oleh karena itu, diperoleh
sup M
n∈N
|Λn (x − y)|
ǫ
≤ sup M
n∈N
|Λn (x − y)|
ρǫ
≤ 1.
Universitas Sumatera Utara
41
Akibatnya, untuk setiap n ∈ N, diperoleh M
karena M bersifat konveks, maka diperoleh
M (|Λn (x − y)|) ≤ ǫ M
|Λn (x − y)|
ǫ
|Λn (x − y)|
ǫ
≤ 1. Selanjutnya,
≤ ǫ.
Karena berlaku untuk sebarang bilangan ǫ > 0, berarti M (|Λn (x − y)|) = 0
untuk setiap n ∈ N. Selanjutnya, karena M merupakan generalisasi fungsi
Orlicz, berarti |Λn (x − y)| = 0 untuk setiap n ∈ N. Hal ini berakibat bahwa
n
1 X
(λk − λk−1 )(xk − yk ) = 0
λn k=0
untuk setiap n ∈ N. Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik
kuat, maka dengan menggunakan induksi matematika diperoleh |xk − yk | < ǫ
untuk setiap k ∈ N dan untuk sebarang bilangan ǫ > 0. Oleh karena itu,
diperoleh
|pk (x) − pk (y)| = |xk − yk | < ǫ
untuk setiap k ∈ N. Karena x ∈ [X(M )]Λ sebarang, maka fungsi pk kontinu
pada ruang Banach [X(M )]Λ . Jadi, [X(M )]Λ merupakan ruang-BK terhadap
norma k · k.
Teorema 4.2.5. [c0 (M )]Λ merupakan ruang-AK terhadap norma k · k.
Bukti. Diambil sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti terdapat ρ > 0 sehingga
M
|Λn (x)|
ρ
→ 0 untukn → ∞.
Karena [c0 (M )]Λ ruang bernorma, maka berlaku
kxk = inf ρ > 0 : sup M
n∈N
|Λn (x)|
ρ
≤1 .
Oleh karena itu, untuk sebarang bilangan ǫ > 0, terdapat m0 ∈ N sehingga
diperoleh
!
P
| λ1n nk=0 (λk − λk−1 )xk |
sup M
≤ 1.
ǫ
n≥m0
Universitas Sumatera Utara
42
Selanjutnya, didefinisikan barisan x[m] dengan aturan
x
[m]
=
m
X
xk e[k] untuk setiap m ∈ N.
k=0
Oleh karena itu, untuk setiap m ≥ m0 , diperoleh
kx − x[m] k = inf
≤ inf
(
ρ > 0 : sup M
(
| λ1n
n≥m0 +1
ρ > 0 : sup M
n≥m+1
| λ1n
Pn
k=0 (λk
Pn
− λk−1 )xk |
ρ
k=0 (λk
ρ
− λk−1 )xk |
!
!
≤1
≤1
)
)
< ǫ.
Dengan kata lain, kx − x[m] k → 0 untuk m → ∞. Jadi, [c0 (M )]Λ merupakan
ruang-AK.
Teorema 4.2.6. [X(M )]Λ merupakan isomorfik norma (norm isomorphic)
terhadap X(M ); yaitu
[X(M )]Λ ∼
= X(M ).
Bukti. Pertama sekali didefinisikan operator TΛ : [X(M )]Λ → X(M ) dengan
aturan x 7→ TΛ (x) = Λ(x) = (Λn (x))∞
n=0 . Akan dibuktikan bahwa operator TΛ
linier, bijektif, dan mempertahankan sifat norma. Untuk itu, diambil sebarang
x, y ∈ [X(M )]Λ dan sebarang skalar α, β. Maka diperoleh
TΛ (αx + βy) = (Λn (αx) + Λn (βy))
(i)
= α(Λn (x)) + β(Λn (y)) = αTΛ (x) + βTΛ (y).
Hal ini menunjukkan bahwa operator TΛ bersifat linier. Selanjutnya, diperoleh
Ker(TΛ ) = x ∈ [X(M )]Λ : TΛ (x) = 0
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0, ∀ n ∈ N
= x ∈ [X(M )]Λ : Λ(x) =
λn k=0
= x ∈ [X(M )]Λ : xk = 0, ∀ k ∈ N
= x ∈ [X(M )]Λ : x = 0 = 0 .
Jadi, operator linier TΛ bersifat injektif. Selanjutnya, diambil sebarang barisan
Universitas Sumatera Utara
43
y ∈ X(M ). Didefinisikan operator TΛ−1 : X(M ) → [X(M )]Λ dengan aturan
y 7→ TΛ−1 (y) = x =
k
X
λj
yj
(−1)k−j
λ
k − λk−1
j=k−1
!∞
.
k=0
Oleh karena itu diperoleh
TΛ (x) =
=
=
n
X
λk − λk−1
k=0
n
X
λn
xk
!
(iii)
k
λj
λk − λk−1 X
yj
(−1)k−j
λ
λ
n
k − λk−1
j=k−1
k=0
!
n
X λk yk − λk−1 yk−1
λn
k=0
!
= (yn ) = y.
Hal ini menunjukkan bahwa operator linier TΛ bersifat surjektif. Dengan kata
lain, operator linier TΛ bersifat bijektif. Selanjutnya, untuk melengkapi pembuktian teorema, diambil sebarang TΛ (x) ∈ X(M ) untuk x ∈ [X(M )]Λ . Maka
diperoleh
kTΛ (x)kX(M ) = kΛ(x)kX(M )
|Λn (x)|
≤1
= inf ρ > 0 : sup M
ρ
n∈N
(iv)
= kxk[X(M )]Λ .
Dari hasil (i), (ii), (iii), dan (iv), diperoleh bahwa operator linier bijektif TΛ
merupakan isomorfisma norma. Jadi, [X(M )]Λ ∼
= X(M ).
4.3. Relasi Inklusi Pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas
yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ
Pada bagian ini akan diperlihatkan beberapa relasi inklusi yang bersesuaian
pada ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi
fungsi Orlicz-λ, dan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh
generalisasi fungsi Orlicz.
Teorema 4.3.1. Jika diberikan [c0 (M )]Λ , [c(M )]Λ , dan [ℓ∞ (M )]Λ , maka relasi
Universitas Sumatera Utara
44
inklusi berikut berlaku kuat, yaitu
[c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
Bukti. Telah diperlihatkan pada pembuktian Teorema 4.2.3 bahwa [c0 (M )]Λ
merupakan ruang bagian dari [c(M )]Λ , dan [c(M )]Λ merupakan ruang bagian
dari [ℓ∞ (M )]Λ . Oleh karena itu, di dalam pembuktian ini akan diperlihatkan
bahwa relasi inklusi [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ bersifat kuat. Untuk
itu,diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ dan suatu bilangan real l 6= 0 sehingga
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan ρ > 0. Jadi,
M
ρ
x ∈ [c(M )]Λ \[c0 (M )]Λ . Oleh karena itu, diperoleh
[c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ .
(i)
Selanjutnya, diambil barisan x = (xk ) yang didefinisikan oleh
xk =
λk + λk−1
(−1)k + 2
λk − λk−1
untuk setiap k ∈ N. Diperoleh
n
X
λ
−
λ
λ
+
λ
k
k−1
k
k−1
(−1)k + 2
|Λn (x)| =
λ
λ
−
λ
n
k
k−1
k=0
n
n
X
X
λ
−
λ
λ
+
λ
k
k−1
k
k−1
(−1)k + 2
=
λn
λn
k=0
k=0
= |(−1)n + 2|
untuk setiap n ∈ N. Jadi,
M
|Λn (x)|
ρ
=M
|(−1)n + 2|
ρ
untuk setiap
suatu bilangan ρ > 0. Hal ini menunjukkan bahwa
n ∈ N dan
|Λn (x)|
barisan M
∈ ℓ∞ \c. Dengan kata lain, x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ \[c(M )]Λ .
ρ
Oleh karena itu, diperoleh
[c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
(ii)
Dari hasil (i) dan (ii) diperoleh [c0 (M )]Λ ⊂ [c(M )]Λ ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ .
Universitas Sumatera Utara
45
Teorema 4.3.2. Diberikan c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ dan c(M ) ⊂ [c(M )]Λ . Relasi
inklusi c0 (M ) = [c0 (M )]Λ dan c(M ) = [c(M )]Λ masing-masing terpenuhi jika
dan hanya jika S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x di [c0 (M )]Λ dan [c(M )]Λ .
Bukti. (1) Akan dibuktikan bahwa c0 (M ) = [c0 (M )]Λ jika dan hanya jika
barisan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c0 (M )]Λ . Untuk itu, diasumsikan
c0 (M ) = [c0 (M )]Λ . Apabila diambil
x ∈ [c0 (M )]Λ , berarti terdapat
sebarang
|Λn (x)|
→ 0 untuk n → ∞. Dengan kata
suatu bilangan ρ > 0 sehingga M
ρ
lain, untuk sebarang
bilangan ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga untuk setiap
|Λn (x)|
n ≥ n0 berlaku M
< ǫ. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0,
ρ
maka diperoleh
|Λn (x)|
= 0 untuk setiapn ∈ N.
M
ρ
|Λn (x)|
= 0 untuk
ρ
setiap n ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
Karena M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka
n
1 X
|Λn (x)| = |
(λk − λk−1 )xk | = 0.
λn k=0
Akibatnya,
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0 untuk setiap n ∈ N.
Λn (x) =
λn k=0
Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik kuat, maka dengan
menggunakan induksi matematika dapat diperoleh xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Dengan kata lain, untuk suatu bilangan ǫ > 0 diperoleh |xk | < ǫ untuk setiap
k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa barisan (xk ) konvergen ke nol di R.
Karena R bersifat lengkap, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy, yaitu untuk
sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ j ≥ k0
berlaku |xk − xj | < ǫ. Jadi, |xk − xk−1 | < ǫ untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 dan
sebarang bilangan ǫ > 0. Akibatnya,
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 ) = 0.
lim Sn (x) = lim
n→∞
n→∞ λn
k=0
Universitas Sumatera Utara
46
Karena M kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
n→∞
|Sn (x)|
ρ
= 0.
Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c0 (M )]Λ .
Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) =
xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
M
|xn |
ρ
|xn − Sn (x)| |Sn (x)|
≤M
+
ρ
ρ
1
1
2|xn − Sn (x)|
2|Sn (x)|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
K1
|Λn (x)|
|Sn (x)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ
2
ρ
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
|Sn (x)|
→ 0 untuk n → ∞, maka diperoleh
0 dan M
ρ
K0
M
2
|Λn (x)|
ρ
K1
+
M
2
|Sn (x)|
ρ
|Λn (x)|
ρ
→
→ 0 untuk n → ∞.
Jadi,
M
|xn |
ρ
→ 0 untuk n → ∞.
Dengan kata lain, x ∈ c0 (M ). Hal ini menunjukkan bahwa [c0 (M )]Λ ⊂ c0 (M ).
Karena c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ dan [c0 (M )]Λ ⊂ c0 (M ), maka dapat disimpulkan
bahwa c0 (M ) = [c0 (M )]Λ .
(2) Akan dibuktikan c(M ) = [c(M )]Λ jika dan hanya jika S(x) ∈ c0 (M )
untuk setiap x ∈ [c(M )]Λ . Untuk itu, diasumsikan c(M ) = [c(M )]Λ . Apabila
diambil sebarang x ∈ [c(M )]Λ , maka x∈ c(M
). Hal ini berarti terdapat suatu
|xk |
bilangan ρ > 0 dan l ∈ R sehingga M
→ l untuk n → ∞. Selanjutnya,
ρ
|xk |
→ l′ untuk
karena generalisasi fungsi Orlicz M bersifat kontinu, maka
ρ
k → ∞ dengan l′ = M −1 (l). Dengan kata lain, |xk | → l1 = ρl′ untuk k → ∞.
Selanjutnya, apabila xk ≥ 0 untuk setiap k ∈ N, maka xk = |xk | → l1 untuk
k → ∞. Kemudian, apabila xk < 0 untuk setiap k ∈ N, maka diperoleh
−xk = |xk | → l1 untuk k → ∞. Dengan kata lain, xk → −l1 untuk k → ∞.
Universitas Sumatera Utara
47
Hal ini menunjukkan bahwa barisan (xk ) konvergen di R. Karena R bersifat
lengkap, maka (xk ) merupakan barisan Cauchy, yaitu untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ j ≥ k0 berlaku |xk − xj | < ǫ.
Jadi, |xk − xk−1 | < ǫ untuk setiap k > k − 1 ≥ k0 dan sebarang bilangan ǫ > 0.
Akibatnya,
n
1 X
lim Sn (x) = lim
λk−1 (xk − xk−1 ) = 0.
n→∞
n→∞ λn
k=0
Karena M kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
n→∞
|Sn (x)|
ρ
= 0.
Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ c0 (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ c0 (M ) untuk setiap x ∈ [c(M )]Λ . Karena
M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) = xn − Λn (x)
untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
M
|xn |
ρ
|xn − Λn (x)| |Λn (x)|
≤M
+
ρ
ρ
1
1
2|xn − Λn (x)|
2|Λn (x)|
≤ M
+ M
2
ρ
2
ρ
K1
|Sn (x)|
|Λn (x)|
K0
+
M
M
≤
2
ρ
2
ρ
|Sn (x)|
ρ
untuk setiap n ∈ N dan untuk suatu bilangan K0 , K1 > 0. Karena M
→
|Λn (x)|
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu bilangan real l, maka
0 dan M
ρ
diperoleh
K0
M
2
|Sn (x)|
ρ
K1
+
M
2
|Λn (x)|
ρ
→ l′ untuk n → ∞.
→ l′ =
K1
l untuk n → ∞.
2
Jadi,
M
|xn |
ρ
Dengan kata lain, x ∈ c(M ). Hal ini menunjukkan bahwa [c(M )]Λ ⊂ c(M ).
Karena c(M ) ⊂ [c(M )]Λ dan [c(M )]Λ ⊂ c(M ), maka dapat disimpulkan bahwa
c(M ) = [c(M )]Λ .
Teorema 4.3.3. Diberikan ℓ∞ (M ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ . ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M )]Λ jika dan
Universitas Sumatera Utara
48
hanya jika S(x) ∈ ℓ∞ (M ) untuk setiap x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
Bukti. Diasumsikan ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M
diambil sebarang
x ∈[ℓ∞ (M )]Λ ,
)]Λ . Apabila
|xk |
|Λn (x)|
< ∞ dan sup M
0. Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi
kondisi-∆2 , serta Sn (x) = xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|Sn (x)|
ρ
|Sn (x) − xn | |xn |
≤ sup M
+
ρ
ρ
n∈N
2|Sn (x) − xn |
2|xn |
1
1
+ sup M
≤ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
K0
K1
|Λn (x)|
|xn |
≤
+
sup M
sup M
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
0. Jadi, S(x) = (Sn (x))∞
n=0 ∈ ℓ∞ (M ).
Sebaliknya, diasumsikan S(x) ∈ ℓ∞ (M ) untuk setiap x ∈ [ℓ∞ (M )]Λ .
Karena M bersifat naik, konveks, dan memenuhi kondisi-∆2 , serta Sn (x) =
xn − Λn (x) untuk setiap n ∈ N, maka diperoleh
sup M
n∈N
|xn |
ρ
|xn − Λn (x)| |Λn (x)|
≤ sup M
+
ρ
ρ
n∈N
1
1
2|xn − Λn (x)|
2|Λn (x)|
≤ sup M
+ sup M
ρ
ρ
n∈N 2
n∈N 2
K1
K0
|Sn (x)|
|Λn (x)|
+
≤
sup M
sup M
2 n∈N
ρ
2 n∈N
ρ
0. Jadi, x ∈ ℓ∞ (M ). Hal ini menunjukkan
bahwa [ℓ∞ (M )]Λ ⊂ ℓ∞ (M ). Karena ℓ∞ (M ) ⊂ [ℓ∞ (M )]Λ dan [ℓ∞ (M )]Λ ⊂
ℓ∞ (M ), maka dapat disimpulkan bahwa ℓ∞ (M ) = [ℓ∞ (M )]Λ .
Teorema 4.3.4. Jika diberikan c0 (M ), c(M ), dan [c0 (M )]Λ , maka
[c0 (M )]Λ ∩ c(M ) = c0 (M ).
Bukti. Dari Teorema 4.3.2 diperoleh c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ). Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ). Untuk itu, diambil
sebarang x ∈ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ), berarti terdapat suatu bilangan ρ > 0 sehing-
Universitas Sumatera Utara
49
|xk |
→ 0 dan M
→ l untuk n → ∞ dan untuk suatu
ga M
ρ
|Λn (x)|
bilangan real l. Karena M
→ 0 untuk n → ∞, berarti untuk seρ
barang
bilangan
ǫ > 0 terdapat n0 ∈ N, sehingga untuk setiap n ≥ n0 berlaku
|Λ
(x)|
n
< ǫ. Karena berlaku untuk sebarang ǫ > 0, maka diperoleh
M
ρ
|Λn (x)|
ρ
M
|Λn (x)|
ρ
= 0 untuk setiapn ∈ N.
|Λn (x)|
= 0 untuk
ρ
setiap n ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap n ∈ N diperoleh
Karena M merupakan generalisasi fungsi Orlicz, maka
|Λn (x)| = |
n
1 X
(λk − λk−1 )xk | = 0.
λn k=0
Akibatnya,
n
1 X
(λk − λk−1 )xk = 0 untuk setiap n ∈ N.
Λn (x) =
λn k=0
Karena (λk ) merupakan barisan bilangan real positif naik kuat, maka dengan
menggunakan induksi matematika dapat diperoleh xk = 0 untuk setiap k ∈ N.
Karena M bersifat kontinu, maka untuk suatu bilangan ρ > 0 diperoleh
lim M
k→∞
|xk |
ρ
= 0.
Hal ini menunjukkan bahwa x ∈ c0 (M ). Jadi, [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ).
Karena c0 (M ) ⊂ [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) dan [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) ⊂ c0 (M ), maka dapat
disimpulkan bahwa [c0 (M )]Λ ∩ c(M ) = c0 (M ).
Selanjutnya, apabila diberikan c(M ), ℓ∞ (M ), dan [c(M )]Λ , maka relasi inklusi
[c(M )]Λ ∩ ℓ∞ (M ) = c(M ) belum tentu berlaku. Untuk itu, diasumsikan
λk = k + 1 dan xk = (−1)k + 1 untuk setiap k ∈ N. Diperoleh
n
1
1 X
(−1)k + 1 =
Λn (x) =
λn k=0
λn
n
X
k=0
(−1)k +
n
X
k=0
1
!
1
=
λn
n
X
k=0
(−1)k + n
!
Universitas Sumatera Utara
50
untuk setiap n ∈ N. Dalam hal ini diperoleh
Λn (x) =
n+1
n+1
=
→ 1 ; untuk n genap
λn
n+1
n
n
=
→1
λn
n+1
; untuk n ganjil
|Λn (x)|
ρ
→l
Karena M kontinu, maka terdapat bilangan real l sehingga M
1
. Jadi, x ∈ [c(M )]Λ . Selanjutya, diperoleh
untuk n → ∞, dengan l = M
ρ
M
|xk |
ρ
=M
|(−1)k + 1|
ρ
untuk setiap k ∈ N. Hal ini menunjukkan bahwa
x ∈ ℓ∞ (M )\c(M ).
M
|xk |
ρ
∈ ℓ∞ \c. Jadi,
Selanjutnya, diberikan x = (xk ) ∈ ω dan n ≥ 1. Dengan menggunakan
persamaan (4.1.4) dan (4.1.5) diperoleh
n
1 X
λk−1 (xk − xk−1 )
Sn (x) =
λn k=1
" n
#
n
X
X
1
=
λk−1 xk −
λk−1 xk−1
λn k=1
k=1
#
" n
n−1
X
1 X
=
λk−1 xk −
λk x k
λn k=0
k=0
"
#
n−1
X
1
λn−1 xn −
(λk − λk−1 )xk
=
λn
k=0
λn−1
xn − Λn−1 (x)
=
λn
λn−1
Sn (x) + Λn (x) − Λn−1 (x) .
=
λn
untuk setiap n ∈ N. Akibatnya,
λn−1
Λn (x) − Λn−1 (x)
Sn (x) =
λn − λn−1
(4.3.1)
untuk setiap n ∈ N.
Universitas Sumatera Utara
51
Di sisi lain, dengan menggunakan definisi barisan λ = (λk )∞
k=0 pada perλk+1
> 1 untuk setiap k ∈ N. Karena
samaan (4.1.1), dapat diperoleh bahwa
λk
λk+1
> M (1)
generalisasi fungsi Orlicz M bersifat naik, maka diperoleh M
λk
untuk setiap k ∈ N. Oleh karena itu, untuk setiap k ∈ N dapat diperoleh
λj+1
M (1) ≤ inf M
;j ≥ k .
λj
Jadi, hanya terdapat dua kondisi yang berlaku pada barisan λ = (λk ); yaitu
lim inf M
k→∞
atau
λk+1
λk
λj+1
= lim inf M
; j ≥ k > M (1)
k→∞
λj
λj+1
= lim inf M
; j ≥ k = M (1).
lim inf M
k→∞
k→∞
λj
λk+1
> M (1), diperoleh
Untuk kondisi yang pertama, yaitu lim inf M
k→∞
λk
λk+1
λk
M (1) < inf M
λj+1
λj
;j ≥ k
≤M
λj+1
λj
untuk setiap j ∈ N. Oleh karena itu, diperoleh
M (1) < M
λj+1
λj
λj+1
⇐⇒ M (1) − M