Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini disampaikan beberapa pengertian dasar yang diperlukan pada
bab selanjutnya. Selain definisi, diberikan pula lemma dan teorema dengan
atau tanpa bukti. Untuk beberapa teorema yang tidak disertai bukti dapat
dilihat pada referensi terkait. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas
pengertian atau teorema. Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara
ringkas sesuai dengan tujuan dari penulisan.
2.1. Ruang Barisan
Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang
didefinisikan pada himpunan N = {0, 1, 2, · · · }. Dengan kata lain, barisan
bilangan real adalah fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) = xk untuk
setiap k ∈ N.
Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan
ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan
bilangan real disebut barisan saja.
Contoh 2.1.2.
(i) Barisan x = (xk ) dengan xk = (−1)k adalah barisan 1, −1, · · · , (−1)k , · · · .
(ii) Barisan e = (ek ) dengan ek = 1 untuk setiap k ∈ N disebut barisan
konstan dengan konstanta 1.
[n]
[n]
[n]
(iii) Barisan e[n] = ek dengan ek = 1 untuk k = n, dan ek = 0 untuk
k 6= n.
Definisi 2.1.3. Barisan x = (xk ) dikatakan konvergen ke suatu bilangan real
a, jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat K(ǫ) ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ K(ǫ)
berlaku |xk − a| < ǫ.
Dalam hal ini ditulis limk→∞ xk = a atau xk → a untuk k → ∞, dan a
disebut limit dari (xk ). Barisan (xk ) yang tidak konvergen dikatakan divergen.
Universitas Sumatera Utara
8
Selanjutnya, apabila diberikan barisan (xk ) dengan xk → a dan xk → b
untuk k → ∞, maka untuk setiap bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan K0 , K1 ∈ N
sehingga untuk setiap k ≥ K0 berlaku |xk − a| < ǫ dan untuk setiap k ≥ K1
berlaku |xk −b| < ǫ. Jika diambil K = sup{K0 , K1 }, maka untuk setiap k ≥ K
diperoleh |a − b| < ǫ. Karena berlaku untuk setiap ǫ > 0, maka |a − b| = 0
atau a = b.
Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan ke dalam pernyataan dasar
berikut.
Lemma 2.1.4. Limit dari suatu barisan bernilai tunggal.
Definisi 2.1.5. Barisan x = (xk ) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan
real M > 0 sehingga |xk | ≤ M untuk setiap k ∈ N.
Lemma 2.1.6. Setiap barisan konvergen bersifat terbatas.
Contoh 2.1.7. Barisan pada contoh 2.1.2 (i) merupakan barisan terbatas
tetapi tidak konvergen.
Barisan x = (xk ) dengan x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · atau xk ≤ xk+1 untuk
setiap k ∈ N disebut barisan naik dan ditulis dengan notasi xk ↑. Sebaliknya,
jika x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ · · · atau xk ≥ xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan
x = (xk ) disebut barisan turun dan ditulis dengan notasi xk ↓. Adapun apabila xk < xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk ) disebut barisan
naik kuat, dan apabila xk > xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk )
disebut barisan turun kuat
Definisi 2.1.8. Barisan x = (xk ) dikatakan monoton jika (xk ) merupakan
barisan naik atau barisan turun.
Definisi 2.1.9. Diberikan barisan x = (xk ) dan dibentuk sk = sup{xj : j ≥ k}
untuk setiap k ∈ N. Limit superior dari barisan x = (xk ) didefinisikan sebagai
lim sup xk = lim sk = lim sup{xj : j ≥ k}.
k→∞
k→∞
k→∞
Dalam hal ini, apabila y = lim supk→∞ xk , berarti untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku xk < y + ǫ.
Dengan cara yang sama, dibentuk tk = inf{xj : j ≥ k} untuk setiap k ∈ N.
Universitas Sumatera Utara
9
Limit inferior dari barisan x = (xk ) didefinisikan sebagai
lim inf xk = lim tk = lim inf{xj : j ≥ k}.
k→∞
k→∞
k→∞
Dalam hal ini, apabila z = lim inf k→∞ xk , berarti untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku z − ǫ < xk .
Definisi 2.1.10. Barisan x = (xk ) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat H(ǫ) ∈ N sehingga untuk setiap m ≥ n ≥ H(ǫ) berlaku
|xm − xn | < ǫ.
Cukup mudah diperlihatkan bahwa setiap barisan konvergen merupakan
barisan Cauchy.
Teorema 2.1.11. Barisan x = (xk ) di sistem bilangan real, konvergen jika
dan hanya jika (xk ) merupakan barisan Cauchy.
Contoh 2.1.12.
(i) Barisan
1
k+1
merupakan barisan Cauchy.
(ii) Barisan (1 + (−1)k ) bukan merupakan barisan Cauchy.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω, yaitu
ω=
x = (xk ) : xk ∈ R, ∀ k ∈ N .
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar untuk setiap x = (xk ), y = (yk ) ∈ ω
dan α ∈ R didefinisikan dengan aturan
x + y = (xk ) + (yk ) = (xk + yk ), dan
αx = α(xk ) = (αxk )
untuk setiap k ∈ N. Dalam hal ini, ω merupakan ruang linier (Maddox, 1970).
Definisi 2.1.13. Sebarang ruang linier bagian X ⊂ ω disebut ruang barisan.
Berikut ini merupakan salah satu bentuk ruang barisan klasik:
Universitas Sumatera Utara
10
(i) Koleksi dari semua barisan terbatas yang ditulis dengan notasi ℓ∞ ; yaitu
ℓ∞
= x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Dalam hal ini, ℓ∞ disebut ruang barisan terbatas.
(ii) Koleksi dari semua barisan konvergen yang ditulis dengan notasi c; yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ a ∈ R) xk → a, k → ∞ .
Dalam hal ini, c disebut ruang barisan konvergen.
(iii) Koleksi dari semua barisan konvergen ke nol yang ditulis dengan notasi
c0 ; yaitu
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0, k → ∞ .
Dalam hal ini, c0 disebut ruang barisan konvergen ke nol.
(iv) Koleksi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ; yaitu
N
Φ = x = (x0 , x1 , x2 , · · · , xN , 0, 0, · · · ) : N ∈ N .
Dalam hal ini, Φ disebut ruang barisan berhingga.
2.2. Ruang Banach
Definisi 2.2.1. Diberikan ruang linier X. Fungsi k · k : X → R disebut norma
apabila untuk setiap x, y ∈ X dan α ∈ R, memenuhi sifat-sifat :
(N1) kxk ≥ 0, kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0,
(N2) kαxk = |α|kxk, dan
(N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Ruang linier X yang dilengkapi dengan norma k · k disebut ruang bernorma
dan ditulis dengan notasi (X, k · k) atau X saja.
Contoh 2.2.2.
(i) Rn merupakan ruang bernorma terhadap norma k · kp untuk 1 ≤ p ≤ ∞,
yaitu:
Universitas Sumatera Utara
11
(a) Jika p = ∞, didefinisikan kxk∞ = sup |xk |, dan
k∈N
n
X
(b) Jika 1 ≤ p < ∞, didefinisikan kxkp =
|xk |p
k=1
! p1
untuk setiap x ∈ Rn dengan x = (x1 , x2 , · · · , xn ).
(ii) Diberikan ruang linier C[0, 1] yang memuat semua fungsi kontinu bernilai
real yang didefinisikan pada [0, 1] (Maddox, 1970), yaitu
C[0, 1] = f f : [0, 1] → R dan f kontinu .
Dapat diperlihatkan bahwa fungsi k · k : C[0, 1] → R dengan aturan
kf k =
merupakan suatu norma.
Diperoleh,
Z
1
|f (x)| dx
0
Untuk itu, diambil sebarang f ∈ C[0, 1].
kf k =
Z
1
|f (x)| dx ≥ 0.
(N1)
0
R1
Selanjutnya, diasumsikan kf k = 0, maka 0 |f (x)| dx = 0. Kemudian,
R1
apabila |f (x)| > 0, maka 0 |f (x)| dx > 0. Oleh karena itu, apabila
R1
kf k = 0 |f (x)| dx = 0, maka |f (x)| = 0 untuk setiap x ∈ [0, 1]. Akibatnya, f = 0. Sebaliknya, diasumsikan f = 0. Berarti, f (x) = 0 untuk
R1
setiap x ∈ [0, 1]. Oleh karena itu, diperoleh kf k = 0 |f (x)| dx = 0.
Jadi,
kf k = 0 jika dan hanya jika f = 0.
(N2)
Selanjutnya, diambil sebarang skalar α ∈ R. Diperoleh
Z
1
Z
1
|α||f (x)| dx
|αf (x)| dx =
0
0
Z 1
|f (x)| dx = |α|kf k.
= |α|
kαf k =
(N3)
0
Universitas Sumatera Utara
12
Kemudian, diambil sebarang g ∈ C[0, 1]. Diperoleh
Z
1
|f (x) + g(x)| dx
Z 1
|f (x)| dx + |g(x)| dx
≤
0
Z 1
Z 1
|g(x)| dx
|f (x)| +
=
kf + gk =
(N4)
0
0
0
= kf k + kgk.
Dari hasil (N1), (N2), (N3), dan (N4), diperoleh bahwa C[0, 1] meruR1
pakan ruang bernorma terhadap norma kf k = 0 |f (x)| dx.
Definisi 2.2.3. Barisan x = (xk ) di dalam ruang bernorma X disebut barisan
Cauchy atau barisan fundamental jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N
sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k0 berlaku kxj − xk k < ǫ.
Teorema 2.2.4. Setiap barisan konvergen di dalam ruang bernorma X merupakan barisan Cauchy.
Kebalikan dari Teorema 2.2.4 belum tentu berlaku (Royden, 2010). Hal
ini ditunjukkan oleh contoh berikut:
Contoh 2.2.5. Dari Contoh 2.2.2 (ii), diperoleh bahwa ruang C[0, 1] meruR1
pakan ruang bernorma terhadap norma kf k = 0 |f (x)| dx untuk setiap
f ∈ C[0, 1]. Selanjutnya, didefinisikan (fk )∞
k=0 ⊂ C[0, 1] dengan aturan
fk (x) =
(
kx ; untuk 0 ≤ x < k1
1 ; untuk k1 ≤ x ≤ 1
untuk setiap k ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa (fk )∞
k=0 merupakan barisan
Cauchy di dalam ruang bernorma C[0, 1]. Untuk itu, diambil sebarang j, k ∈ N
Universitas Sumatera Utara
13
dengan j ≥ k. Diperoleh
kfj − fk k =
=
=
Z
Z
Z
1
|fj (x) − fk (x)| dx
0
1
j
|fj (x) − fk (x)| dx +
0
1
j
|jx − kx| dx +
0
= (j − k)
Z
1
j
Z
|x| dx +
0
1
k
Z
1
k
|fj (x) − fk (x)| dx +
1
j
|1 − kx| dx +
1
j
Z
1
k
Z
Z
1
|fj (x) − fk (x)| dx
1
k
1
|1 − 1| dx
1
k
|1 − kx| dx.
1
j
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
(j − k)
Z
1
j
0
|x| dx +
Z
1
k
1
j
1
1
j
k
j−k
1
x|x| + |1 − kx|(1 − kx)
|1 − kx| dx =
2
2k
1
0
j
k
k
1
j−k
1−
1−
−
=
2j 2
2k
j
j
2
2k k
1
j−k
1
−
−
+ 2
=
2j 2
2k
j
j
j − 2k
1
1
=
−
+
2j 2
2k j
1
1
1
≤
−
+
2j 2k j
1
1
1
1
−
+ = .
≤
2k 2k k
k
1
Selanjutnya, untuk sebarang bilangan ǫ > 0, terdapat k0 ∈ N sehingga k0 > .
ǫ
Oleh karena itu, untuk setiap j, k ∈ N dengan j ≥ k ≥ k0 , diperoleh
kfj − fk k ≤
1
1
≤
< ǫ.
k
k0
Hal ini menunjukkan bahwa (fk )∞
k=0 ⊂ C[0, 1] merupakan barisan Cauchy.
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa (fk )∞
k=0 tidak konvergen di dalam ruang
bernorma C[0, 1]. Untuk itu, didefinisikan fungsi f : [0, 1] → R dengan aturan
f (x) =
(
0 ; untuk x = 0
1 ; untuk 0 < x ≤ 1
Universitas Sumatera Utara
14
Oleh karena itu, diperoleh
kfk − f k =
=
=
=
Z
Z
Z
Z
1
|fk (x) − f (x)| dx
0
1
k
|fk (x) − f (x)| dx +
0
1
k
|kx − 1| dx +
0
1
k
Z
1
Z
1
|fk (x) − f (x)| dx
1
k
|1 − 1| dx
1
k
|kx − 1| dx.
0
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
Z
1
k
0
1
k
1
|kx − 1| dx =
|1 − kx|(kx − 1)
2k
0
1
1
1
1 − k · k · − 1 − |1 − k · 0| (k · 0 − 1)
=
2k
k
k
1
1
≤ .
=
2k
k
Karena k0 > 1ǫ untuk suatu bilangan ǫ > 0 dan untuk suatu k0 ∈ N, maka
untuk setiap k ∈ N dengan k ≥ k0 , diperoleh
kfk − f k ≤
1
1
≤
< ǫ.
k
k0
Selanjutnya, diambil x = 0. Kemudian, apabila diberikan sebarang bilangan
ǫ > 0, berarti terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x0 ∈ (0, 1] dengan |x0 −x| <
δ, diperoleh
|f (x0 ) − f (x)| = |1 − 0| = 1 ≮ ǫ.
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f tidak kontinu di x = 0. Jadi, f tidak
kontinu di [0, 1]. Dengan kata lain, f ∈
/ C[0, 1]. Jadi, barisan (fk )∞
k=0 tidak
konvergen di dalam ruang bernorma C[0, 1].
Definisi 2.2.6. Ruang bernorma dikatakan bersifat lengkap jika untuk setiap
barisan Cauchy di dalam ruang tersebut bersifat konvergen. Ruang bernorma
yang bersifat lengkap disebut ruang Banach.
Definisi 2.2.7. Ruang Banach X disebut ruang BK (Banach Kantorovich)
jika fungsi koordinat pk : X → R dengan aturan x 7→ pk (x) = xk kontinu pada
Universitas Sumatera Utara
15
X untuk setiap x = (xk ) ∈ X dan setiap k ∈ N.
Contoh 2.2.8.
Ruang barisan ℓ∞ , c, dan c0 masing-masing merupakan ruang BK terhadap
norma supremum k·k∞ ; yaitu kxk∞ = supk∈N |xk | (Kamthan dan Gupta, 1981).
Definisi 2.2.9. Ruang barisan X dengan X ⊃ Φ, dikatakan mempunyai sifat
AK(Abschnittskonvergenz) jika X merupakan ruang BK dan kx − x[n] k → 0
untuk n → ∞ dan untuk setiap x ∈ X. Dalam hal ini, untuk setiap n ∈ N,
x[n] didefinisikan dengan aturan
x
[n]
=
n
X
xk e[k] .
k=0
Ruang barisan X yang mempunyai sifat AK disebut ruang AK.
Contoh 2.2.10.
Ruang barisan c0 merupakan ruang AK, sedangkan ruang barisan c dan ℓ∞
merupakan ruang BK dan bukan ruang AK (Wilansky, 1984).
2.3. Domain Matriks
Definisi 2.3.1. Diberikan ruang barisan X, Y , dan matriks tak hingga A =
(ank ) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N. Fungsi T : X → Y dengan
aturan x 7→ T x = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini, barisan
Ax = (An (x))∞
n=0 ∈ Y , dengan
An (x) =
∞
X
ank xk
k=0
merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks
tak hingga A ditulis dengan notasi An ; yaitu An = (ank )∞
k=0 untuk setiap n ∈ N.
Koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis dengan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika An (x)
konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk
setiap x ∈ X.
Teori transformasi matriks erat kaitannya dengan karakteristik kelas
(X, Y ). Dengan kata lain, teori transformasi matriks berhubungan dengan
Universitas Sumatera Utara
16
membentuk syarat perlu dan cukup dari entri-entri sebuah matriks untuk
memetakan ruang barisan X ke ruang barisan Y .
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik
telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984).
Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan
lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang
barisan seperti ini disebut domain matriks.
Definisi 2.3.2. Diberikan ruang barisan X dan matriks tak hingga A. Himpunan yang didefinisikan oleh
XA =
x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X, ∀x ∈ X
disebut domain matriks dari A.
2.4. Ruang Barisan Orlicz
Definisi 2.4.1. Fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞)
yang kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0,
dan M (x) → ∞ untuk x → ∞.
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan kontinu di suatu titik c ∈ [0, ∞),
jika untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk
setiap x ∈ [0, ∞) dengan |x − c| < δ, berlaku |f (x) − f (c)| < ǫ. Selanjutnya,
fungsi M dikatakan kontinu pada [0, ∞) jika M kontinu di setiap c ∈ [0, ∞).
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan naik pada [0, ∞), jika untuk setiap
x1 , x2 ∈ [0, ∞) dengan x1 ≤ x2 berlaku M (x1 ) ≤ M (x2 ).
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan konveks pada [0, ∞), jika untuk
setiap t ∈ [0, ∞] dan x1 , x2 ∈ [0, ∞) berlaku
M (1 − t)x1 + tx2
≤ (1 − t)M (x1 ) + tM (x2 ).
Apabila sifat konveks dari fungsi Orlicz M diganti dengan M (x + y) ≤ M (x) +
M (y), maka fungsi Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox
1986).
Fungsi Orlicz M dikatakan memenuhi kondisi -∆2 untuk setiap x ∈ [0, ∞)
jika terdapat konstanta K > 0 sehingga M (2x) ≤ KM (x). Selanjutnya,
Universitas Sumatera Utara
17
Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang ditulis
dengan notasi ℓM ; yaitu
ℓM =
(
x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0)
∞
X
M
k=1
|xk |
ρ
)
0:
∞
X
k=1
M
|xk |
ρ
≤1
)
merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz.
Selanjutnya, generalisasi fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi Orlicz
dengan sifat diperumum. Dengan kata lain, generalisasi fungsi Orlicz adalah
sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks,
dengan M (0) = 0 dan M (x) > 0 untuk x > 0.
Universitas Sumatera Utara
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini disampaikan beberapa pengertian dasar yang diperlukan pada
bab selanjutnya. Selain definisi, diberikan pula lemma dan teorema dengan
atau tanpa bukti. Untuk beberapa teorema yang tidak disertai bukti dapat
dilihat pada referensi terkait. Beberapa contoh diberikan untuk memperjelas
pengertian atau teorema. Uraian tentang pengertian dasar ini disajikan secara
ringkas sesuai dengan tujuan dari penulisan.
2.1. Ruang Barisan
Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang
didefinisikan pada himpunan N = {0, 1, 2, · · · }. Dengan kata lain, barisan
bilangan real adalah fungsi x : N → R dengan aturan k 7→ x(k) = xk untuk
setiap k ∈ N.
Barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (xk ). Karena tulisan
ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan
bilangan real disebut barisan saja.
Contoh 2.1.2.
(i) Barisan x = (xk ) dengan xk = (−1)k adalah barisan 1, −1, · · · , (−1)k , · · · .
(ii) Barisan e = (ek ) dengan ek = 1 untuk setiap k ∈ N disebut barisan
konstan dengan konstanta 1.
[n]
[n]
[n]
(iii) Barisan e[n] = ek dengan ek = 1 untuk k = n, dan ek = 0 untuk
k 6= n.
Definisi 2.1.3. Barisan x = (xk ) dikatakan konvergen ke suatu bilangan real
a, jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat K(ǫ) ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ K(ǫ)
berlaku |xk − a| < ǫ.
Dalam hal ini ditulis limk→∞ xk = a atau xk → a untuk k → ∞, dan a
disebut limit dari (xk ). Barisan (xk ) yang tidak konvergen dikatakan divergen.
Universitas Sumatera Utara
8
Selanjutnya, apabila diberikan barisan (xk ) dengan xk → a dan xk → b
untuk k → ∞, maka untuk setiap bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan K0 , K1 ∈ N
sehingga untuk setiap k ≥ K0 berlaku |xk − a| < ǫ dan untuk setiap k ≥ K1
berlaku |xk −b| < ǫ. Jika diambil K = sup{K0 , K1 }, maka untuk setiap k ≥ K
diperoleh |a − b| < ǫ. Karena berlaku untuk setiap ǫ > 0, maka |a − b| = 0
atau a = b.
Pernyataan tersebut di atas dapat dinyatakan ke dalam pernyataan dasar
berikut.
Lemma 2.1.4. Limit dari suatu barisan bernilai tunggal.
Definisi 2.1.5. Barisan x = (xk ) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan
real M > 0 sehingga |xk | ≤ M untuk setiap k ∈ N.
Lemma 2.1.6. Setiap barisan konvergen bersifat terbatas.
Contoh 2.1.7. Barisan pada contoh 2.1.2 (i) merupakan barisan terbatas
tetapi tidak konvergen.
Barisan x = (xk ) dengan x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · atau xk ≤ xk+1 untuk
setiap k ∈ N disebut barisan naik dan ditulis dengan notasi xk ↑. Sebaliknya,
jika x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ · · · atau xk ≥ xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan
x = (xk ) disebut barisan turun dan ditulis dengan notasi xk ↓. Adapun apabila xk < xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk ) disebut barisan
naik kuat, dan apabila xk > xk+1 untuk setiap k ∈ N, maka barisan x = (xk )
disebut barisan turun kuat
Definisi 2.1.8. Barisan x = (xk ) dikatakan monoton jika (xk ) merupakan
barisan naik atau barisan turun.
Definisi 2.1.9. Diberikan barisan x = (xk ) dan dibentuk sk = sup{xj : j ≥ k}
untuk setiap k ∈ N. Limit superior dari barisan x = (xk ) didefinisikan sebagai
lim sup xk = lim sk = lim sup{xj : j ≥ k}.
k→∞
k→∞
k→∞
Dalam hal ini, apabila y = lim supk→∞ xk , berarti untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku xk < y + ǫ.
Dengan cara yang sama, dibentuk tk = inf{xj : j ≥ k} untuk setiap k ∈ N.
Universitas Sumatera Utara
9
Limit inferior dari barisan x = (xk ) didefinisikan sebagai
lim inf xk = lim tk = lim inf{xj : j ≥ k}.
k→∞
k→∞
k→∞
Dalam hal ini, apabila z = lim inf k→∞ xk , berarti untuk sebarang bilangan
ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N, sehingga untuk setiap k ≥ k0 berlaku z − ǫ < xk .
Definisi 2.1.10. Barisan x = (xk ) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat H(ǫ) ∈ N sehingga untuk setiap m ≥ n ≥ H(ǫ) berlaku
|xm − xn | < ǫ.
Cukup mudah diperlihatkan bahwa setiap barisan konvergen merupakan
barisan Cauchy.
Teorema 2.1.11. Barisan x = (xk ) di sistem bilangan real, konvergen jika
dan hanya jika (xk ) merupakan barisan Cauchy.
Contoh 2.1.12.
(i) Barisan
1
k+1
merupakan barisan Cauchy.
(ii) Barisan (1 + (−1)k ) bukan merupakan barisan Cauchy.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω, yaitu
ω=
x = (xk ) : xk ∈ R, ∀ k ∈ N .
Operasi penjumlahan dan perkalian skalar untuk setiap x = (xk ), y = (yk ) ∈ ω
dan α ∈ R didefinisikan dengan aturan
x + y = (xk ) + (yk ) = (xk + yk ), dan
αx = α(xk ) = (αxk )
untuk setiap k ∈ N. Dalam hal ini, ω merupakan ruang linier (Maddox, 1970).
Definisi 2.1.13. Sebarang ruang linier bagian X ⊂ ω disebut ruang barisan.
Berikut ini merupakan salah satu bentuk ruang barisan klasik:
Universitas Sumatera Utara
10
(i) Koleksi dari semua barisan terbatas yang ditulis dengan notasi ℓ∞ ; yaitu
ℓ∞
= x = (xk ) ∈ ω : sup |xk | < ∞ .
k∈N
Dalam hal ini, ℓ∞ disebut ruang barisan terbatas.
(ii) Koleksi dari semua barisan konvergen yang ditulis dengan notasi c; yaitu
c = x = (xk ) ∈ ω : (∃ a ∈ R) xk → a, k → ∞ .
Dalam hal ini, c disebut ruang barisan konvergen.
(iii) Koleksi dari semua barisan konvergen ke nol yang ditulis dengan notasi
c0 ; yaitu
c0 = x = (xk ) ∈ ω : xk → 0, k → ∞ .
Dalam hal ini, c0 disebut ruang barisan konvergen ke nol.
(iv) Koleksi dari semua barisan berhingga ditulis dengan notasi Φ; yaitu
N
Φ = x = (x0 , x1 , x2 , · · · , xN , 0, 0, · · · ) : N ∈ N .
Dalam hal ini, Φ disebut ruang barisan berhingga.
2.2. Ruang Banach
Definisi 2.2.1. Diberikan ruang linier X. Fungsi k · k : X → R disebut norma
apabila untuk setiap x, y ∈ X dan α ∈ R, memenuhi sifat-sifat :
(N1) kxk ≥ 0, kxk = 0 jika dan hanya jika x = 0,
(N2) kαxk = |α|kxk, dan
(N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Ruang linier X yang dilengkapi dengan norma k · k disebut ruang bernorma
dan ditulis dengan notasi (X, k · k) atau X saja.
Contoh 2.2.2.
(i) Rn merupakan ruang bernorma terhadap norma k · kp untuk 1 ≤ p ≤ ∞,
yaitu:
Universitas Sumatera Utara
11
(a) Jika p = ∞, didefinisikan kxk∞ = sup |xk |, dan
k∈N
n
X
(b) Jika 1 ≤ p < ∞, didefinisikan kxkp =
|xk |p
k=1
! p1
untuk setiap x ∈ Rn dengan x = (x1 , x2 , · · · , xn ).
(ii) Diberikan ruang linier C[0, 1] yang memuat semua fungsi kontinu bernilai
real yang didefinisikan pada [0, 1] (Maddox, 1970), yaitu
C[0, 1] = f f : [0, 1] → R dan f kontinu .
Dapat diperlihatkan bahwa fungsi k · k : C[0, 1] → R dengan aturan
kf k =
merupakan suatu norma.
Diperoleh,
Z
1
|f (x)| dx
0
Untuk itu, diambil sebarang f ∈ C[0, 1].
kf k =
Z
1
|f (x)| dx ≥ 0.
(N1)
0
R1
Selanjutnya, diasumsikan kf k = 0, maka 0 |f (x)| dx = 0. Kemudian,
R1
apabila |f (x)| > 0, maka 0 |f (x)| dx > 0. Oleh karena itu, apabila
R1
kf k = 0 |f (x)| dx = 0, maka |f (x)| = 0 untuk setiap x ∈ [0, 1]. Akibatnya, f = 0. Sebaliknya, diasumsikan f = 0. Berarti, f (x) = 0 untuk
R1
setiap x ∈ [0, 1]. Oleh karena itu, diperoleh kf k = 0 |f (x)| dx = 0.
Jadi,
kf k = 0 jika dan hanya jika f = 0.
(N2)
Selanjutnya, diambil sebarang skalar α ∈ R. Diperoleh
Z
1
Z
1
|α||f (x)| dx
|αf (x)| dx =
0
0
Z 1
|f (x)| dx = |α|kf k.
= |α|
kαf k =
(N3)
0
Universitas Sumatera Utara
12
Kemudian, diambil sebarang g ∈ C[0, 1]. Diperoleh
Z
1
|f (x) + g(x)| dx
Z 1
|f (x)| dx + |g(x)| dx
≤
0
Z 1
Z 1
|g(x)| dx
|f (x)| +
=
kf + gk =
(N4)
0
0
0
= kf k + kgk.
Dari hasil (N1), (N2), (N3), dan (N4), diperoleh bahwa C[0, 1] meruR1
pakan ruang bernorma terhadap norma kf k = 0 |f (x)| dx.
Definisi 2.2.3. Barisan x = (xk ) di dalam ruang bernorma X disebut barisan
Cauchy atau barisan fundamental jika untuk setiap ǫ > 0 terdapat k0 ∈ N
sehingga untuk setiap j ≥ k ≥ k0 berlaku kxj − xk k < ǫ.
Teorema 2.2.4. Setiap barisan konvergen di dalam ruang bernorma X merupakan barisan Cauchy.
Kebalikan dari Teorema 2.2.4 belum tentu berlaku (Royden, 2010). Hal
ini ditunjukkan oleh contoh berikut:
Contoh 2.2.5. Dari Contoh 2.2.2 (ii), diperoleh bahwa ruang C[0, 1] meruR1
pakan ruang bernorma terhadap norma kf k = 0 |f (x)| dx untuk setiap
f ∈ C[0, 1]. Selanjutnya, didefinisikan (fk )∞
k=0 ⊂ C[0, 1] dengan aturan
fk (x) =
(
kx ; untuk 0 ≤ x < k1
1 ; untuk k1 ≤ x ≤ 1
untuk setiap k ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa (fk )∞
k=0 merupakan barisan
Cauchy di dalam ruang bernorma C[0, 1]. Untuk itu, diambil sebarang j, k ∈ N
Universitas Sumatera Utara
13
dengan j ≥ k. Diperoleh
kfj − fk k =
=
=
Z
Z
Z
1
|fj (x) − fk (x)| dx
0
1
j
|fj (x) − fk (x)| dx +
0
1
j
|jx − kx| dx +
0
= (j − k)
Z
1
j
Z
|x| dx +
0
1
k
Z
1
k
|fj (x) − fk (x)| dx +
1
j
|1 − kx| dx +
1
j
Z
1
k
Z
Z
1
|fj (x) − fk (x)| dx
1
k
1
|1 − 1| dx
1
k
|1 − kx| dx.
1
j
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
(j − k)
Z
1
j
0
|x| dx +
Z
1
k
1
j
1
1
j
k
j−k
1
x|x| + |1 − kx|(1 − kx)
|1 − kx| dx =
2
2k
1
0
j
k
k
1
j−k
1−
1−
−
=
2j 2
2k
j
j
2
2k k
1
j−k
1
−
−
+ 2
=
2j 2
2k
j
j
j − 2k
1
1
=
−
+
2j 2
2k j
1
1
1
≤
−
+
2j 2k j
1
1
1
1
−
+ = .
≤
2k 2k k
k
1
Selanjutnya, untuk sebarang bilangan ǫ > 0, terdapat k0 ∈ N sehingga k0 > .
ǫ
Oleh karena itu, untuk setiap j, k ∈ N dengan j ≥ k ≥ k0 , diperoleh
kfj − fk k ≤
1
1
≤
< ǫ.
k
k0
Hal ini menunjukkan bahwa (fk )∞
k=0 ⊂ C[0, 1] merupakan barisan Cauchy.
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa (fk )∞
k=0 tidak konvergen di dalam ruang
bernorma C[0, 1]. Untuk itu, didefinisikan fungsi f : [0, 1] → R dengan aturan
f (x) =
(
0 ; untuk x = 0
1 ; untuk 0 < x ≤ 1
Universitas Sumatera Utara
14
Oleh karena itu, diperoleh
kfk − f k =
=
=
=
Z
Z
Z
Z
1
|fk (x) − f (x)| dx
0
1
k
|fk (x) − f (x)| dx +
0
1
k
|kx − 1| dx +
0
1
k
Z
1
Z
1
|fk (x) − f (x)| dx
1
k
|1 − 1| dx
1
k
|kx − 1| dx.
0
Dengan menggunakan proses pengintegralan biasa, diperoleh
Z
1
k
0
1
k
1
|kx − 1| dx =
|1 − kx|(kx − 1)
2k
0
1
1
1
1 − k · k · − 1 − |1 − k · 0| (k · 0 − 1)
=
2k
k
k
1
1
≤ .
=
2k
k
Karena k0 > 1ǫ untuk suatu bilangan ǫ > 0 dan untuk suatu k0 ∈ N, maka
untuk setiap k ∈ N dengan k ≥ k0 , diperoleh
kfk − f k ≤
1
1
≤
< ǫ.
k
k0
Selanjutnya, diambil x = 0. Kemudian, apabila diberikan sebarang bilangan
ǫ > 0, berarti terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x0 ∈ (0, 1] dengan |x0 −x| <
δ, diperoleh
|f (x0 ) − f (x)| = |1 − 0| = 1 ≮ ǫ.
Hal ini menunjukkan bahwa fungsi f tidak kontinu di x = 0. Jadi, f tidak
kontinu di [0, 1]. Dengan kata lain, f ∈
/ C[0, 1]. Jadi, barisan (fk )∞
k=0 tidak
konvergen di dalam ruang bernorma C[0, 1].
Definisi 2.2.6. Ruang bernorma dikatakan bersifat lengkap jika untuk setiap
barisan Cauchy di dalam ruang tersebut bersifat konvergen. Ruang bernorma
yang bersifat lengkap disebut ruang Banach.
Definisi 2.2.7. Ruang Banach X disebut ruang BK (Banach Kantorovich)
jika fungsi koordinat pk : X → R dengan aturan x 7→ pk (x) = xk kontinu pada
Universitas Sumatera Utara
15
X untuk setiap x = (xk ) ∈ X dan setiap k ∈ N.
Contoh 2.2.8.
Ruang barisan ℓ∞ , c, dan c0 masing-masing merupakan ruang BK terhadap
norma supremum k·k∞ ; yaitu kxk∞ = supk∈N |xk | (Kamthan dan Gupta, 1981).
Definisi 2.2.9. Ruang barisan X dengan X ⊃ Φ, dikatakan mempunyai sifat
AK(Abschnittskonvergenz) jika X merupakan ruang BK dan kx − x[n] k → 0
untuk n → ∞ dan untuk setiap x ∈ X. Dalam hal ini, untuk setiap n ∈ N,
x[n] didefinisikan dengan aturan
x
[n]
=
n
X
xk e[k] .
k=0
Ruang barisan X yang mempunyai sifat AK disebut ruang AK.
Contoh 2.2.10.
Ruang barisan c0 merupakan ruang AK, sedangkan ruang barisan c dan ℓ∞
merupakan ruang BK dan bukan ruang AK (Wilansky, 1984).
2.3. Domain Matriks
Definisi 2.3.1. Diberikan ruang barisan X, Y , dan matriks tak hingga A =
(ank ) dengan ank ∈ R untuk setiap n, k ∈ N. Fungsi T : X → Y dengan
aturan x 7→ T x = Ax disebut transformasi matriks. Dalam hal ini, barisan
Ax = (An (x))∞
n=0 ∈ Y , dengan
An (x) =
∞
X
ank xk
k=0
merupakan deret konvergen untuk setiap n ∈ N. Barisan ke-n dari matriks
tak hingga A ditulis dengan notasi An ; yaitu An = (ank )∞
k=0 untuk setiap n ∈ N.
Koleksi semua transformasi matriks yang memetakan X ke Y ditulis dengan notasi (X, Y ). Oleh karena itu, A ∈ (X, Y ) jika dan hanya jika An (x)
konvergen untuk setiap n ∈ N dan untuk setiap x ∈ X, dan Ax ∈ Y untuk
setiap x ∈ X.
Teori transformasi matriks erat kaitannya dengan karakteristik kelas
(X, Y ). Dengan kata lain, teori transformasi matriks berhubungan dengan
Universitas Sumatera Utara
16
membentuk syarat perlu dan cukup dari entri-entri sebuah matriks untuk
memetakan ruang barisan X ke ruang barisan Y .
Penelitian tentang transformasi matriks pada ruang-ruang barisan klasik
telah cukup lengkap dilakukan para peneliti (Maddox 1970; Wilansky 1984).
Oleh karena itu, para peneliti mengalihkan perhatian mereka ke ruang barisan
lain dengan membentuk ruang barisan baru. Salah satunya dengan memanfaatkan ruang barisan X dan matriks tak hingga A yang diberikan. Ruang
barisan seperti ini disebut domain matriks.
Definisi 2.3.2. Diberikan ruang barisan X dan matriks tak hingga A. Himpunan yang didefinisikan oleh
XA =
x = (xk ) ∈ ω : Ax ∈ X, ∀x ∈ X
disebut domain matriks dari A.
2.4. Ruang Barisan Orlicz
Definisi 2.4.1. Fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞)
yang kontinu, naik, dan konveks, dengan M (0) = 0, M (x) > 0 untuk x > 0,
dan M (x) → ∞ untuk x → ∞.
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan kontinu di suatu titik c ∈ [0, ∞),
jika untuk sebarang bilangan ǫ > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk
setiap x ∈ [0, ∞) dengan |x − c| < δ, berlaku |f (x) − f (c)| < ǫ. Selanjutnya,
fungsi M dikatakan kontinu pada [0, ∞) jika M kontinu di setiap c ∈ [0, ∞).
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan naik pada [0, ∞), jika untuk setiap
x1 , x2 ∈ [0, ∞) dengan x1 ≤ x2 berlaku M (x1 ) ≤ M (x2 ).
Fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) dikatakan konveks pada [0, ∞), jika untuk
setiap t ∈ [0, ∞] dan x1 , x2 ∈ [0, ∞) berlaku
M (1 − t)x1 + tx2
≤ (1 − t)M (x1 ) + tM (x2 ).
Apabila sifat konveks dari fungsi Orlicz M diganti dengan M (x + y) ≤ M (x) +
M (y), maka fungsi Orlicz M disebut fungsi modulus (Ruckle 1973; Maddox
1986).
Fungsi Orlicz M dikatakan memenuhi kondisi -∆2 untuk setiap x ∈ [0, ∞)
jika terdapat konstanta K > 0 sehingga M (2x) ≤ KM (x). Selanjutnya,
Universitas Sumatera Utara
17
Lindenstrauss dan Tzafriri (1971) memperkenalkan ruang barisan yang ditulis
dengan notasi ℓM ; yaitu
ℓM =
(
x = (xk ) ∈ ω : (∃ ρ > 0)
∞
X
M
k=1
|xk |
ρ
)
0:
∞
X
k=1
M
|xk |
ρ
≤1
)
merupakan ruang Banach dan disebut ruang barisan Orlicz.
Selanjutnya, generalisasi fungsi Orlicz merupakan sebuah fungsi Orlicz
dengan sifat diperumum. Dengan kata lain, generalisasi fungsi Orlicz adalah
sebuah fungsi M : [0, ∞) → [0, ∞) yang bersifat kontinu, naik, dan konveks,
dengan M (0) = 0 dan M (x) > 0 untuk x > 0.
Universitas Sumatera Utara