Bab 8 Transformasi Z

TRANSFORMASI-Z
 Transformsi-Z Langsung





Sifat-sifat Transformasi-Z
Transformasi -Z Rasional
Transformasi-Z Balik
Transformasi-Z Satu Sisi

 TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
 Definisi :


X(z) 

n
x
(

n
)
z


n 

Contoh Soal 8.1
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1
d ). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
X1 (z) 1  2z  1  5z  2  7z  3  z  5
b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1

X 2 (z)  z 2  2z1  5  7z  1  z  3
c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1
X 3 (z)  z  1  2z  2  5z  3  7 z  4  z  7
d ). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1
X 4 (z)  2z1  5  7z  1  z  3

Contoh Soal 8.2
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal impuls di bawah ini

a ). x1 (n )  (n )
b). x 2 (n )  (n  k ), k  0
c). x 3 (n )  (n  k ), k  0

Jawab:


a ). X1 (z) 

n


(
n
)
z
1


n 


b). X 2 (z) 

n
k

(
n

k
)

z

z


n 


c). X 3 (z) 

n
k

(
n

k
)
z


z


n 

Contoh Soal 8.3
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:

n

n

1
x (n )    u (n )
 2

n



1 n
 1 1
n
X(z)     z    z     A 

n 0  2 
n 0  2
n 0
1
2
3
1  A  A  A   
A 1
1 A


1 1
z 1
2



z 



n

x (n )   u (n )
x (n )  u (n )




1
2



X(z) 

1
 1  1
1   z
 2

1
X(z) 
1   z 1
1
X(z) 
1  z 1

 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
 Linieritas
x1 (n )  X1 (z)

x 2 ( n )  X 2 ( z)

x ( n )  a 1x1 ( n )  a 2 x 2 ( n )



Contoh Soal 8.4
Tentukan transformasi Z dari sinyal

X(z)  a1X1 (z)  a 2 X 2 (z)



Jawab:
x1 (n )  (2) n u (n )



x (n )  3(2) n  4(3) n u (n )

x 2 (n )  (3) n u (n )

3

4
X(z)  3X1 (z)  4X 2 (z) 

1
1  2z
1  3z  1

Contoh Soal 8.5
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

a ). x (n )  cos(o n ) u (n )
b). x (n )  sin(o n ) u (n )

Jawab:
1 jo n
1  j o n
a ). x (n )  cos(o n ) u (n )  e u (n )  e
u (n )
2
2

1
1
1
1
X (z) 

jo  1
21 e z
2 1  e  jo z  1
1 (1  e  jo )  (1  e  jo )
1 (1  e  jo z  1  e  jo z  1  1)
X(z) 

jo  1
 j o  1
2 (1  e z )(1  e z ) 2 (1  e  jo z  1  e  jo  z  2 )
x (n ) cos o n 

1  z  1 cos o
X(z) 
1  2z  1 cos o  z  2

1 j o n
1  j o n
b). x (n ) sin(o n ) u (n )  e u (n )  e
u (n )
2j
2j
1
1
1
1
X (z) 

jo  1
2 j 1 e z
2 j 1  e  j o z  1
1 (1  e  jo )  (1  e  jo )
X(z) 
2 j (1  e jo z  1 )(1  e  jo z  1 )
1
( e  j o z  1  e  j  o z  1 )

2 j (1  e  jo z  1  e  jo  z  2 )

x (n ) sin o n 

z  1 sin o
X(z) 
1  2z  1 cos o  z  2

 Scaling in the Z-domain
x (n )  X(z)

n

a x1 ( n ) 

z
X(a z) X 
a
1

Contoh Soal 8.6
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :

a ). x1 (n )  a n cos(o n ) u (n )

b). x 2 (n )  a n sin(o n ) u (n )

Jawab:
x (n ) cos o n 

1  z  1 cos o
X(z) 
1  2z  1 cos o  z  2

x1 (n ) a n cos o n 

1  (a  1z)  1 cos o
X1 (z) 
1  2(a  1z)  1 cos o  (a  1z)  2

1  az  1 cos o
X1 ( z ) 
1  2az  1 cos o  a 2 z  2

az  1 sin o
X 2 (z) 
1  2az  1 cos o  a 2 z  2

 Time Reversal
x (n )  X(z)

x ( n ) 

X(z  1 )

Contoh Soal 8.7
Tentukan transformasi Z dari sinyal

x (n ) u ( n )

Jawab:

x (n )  u (n )
x (n )  u ( n )



1
X(z) 
1  z 1



1
1
X(z) 

1 1
1  (z )
1 z

x (n ) u ( n ) 

1
X(z) 
1 z

 Diferensiasi dalam domain z
x (n )  X(z)

nx (n ) 

dX (z)
z
dz

Contoh Soal 8.8
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
n

x1 (n ) a u (n ) 

x (n ) na n u (n )

1
X1 (z) 
1  az  1

dX1 (z)
dz
dX1 (z)
d  1 
 az  2
X( z)  z
 z 
( z)
1 
1 2
dz
dz  1  az 
1  az 
x (n ) na n u (n ) 

n

na u (n ) 

X(z)  z

az  1

1  az 

1 2

nu (n ) 

z 1

1  z 

1 2

 Konvolusi antara dua sinyal
x1 (n )  X1 (z)

x 2 (n ) 

x (n ) x1 (n ) * x 2 (n ) 

X 2 (z)

X(z) X1 (z)X 2 (z)

Contoh Soal 8.9
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
x1 (n ) 1,  2, 1

1, 0 n 5
x 2 (n ) 
 0, lainnya

Jawab:
X1 (z) 1  2z  1  z  2

X 2 (z) 1  z  1  z  2  z  3  z  4  z  5

X(z) X1 (z) X 2 (z) (1  2z  1  z  2 )(1  z  1  z  2  z  3  z  4  z  5 )
X(z) X1 (z)X 2 (z) 1  z  1  z  6  z  7

x (n ) x1 (n ) * x 2 (n ) 1,  1, 0, 0, 0, 0,  1,1

 TRANSFORMASI Z RASIONAL
 Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) = 
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0

 Fungsi Rasional
M

k
b
z
 k

N(z) b o  b1z  1    b M z  M k 0
X(z) 

 N
1
N
D ( z ) a o  a 1z    a N z

k
a
z
 k
k 0

 b1   M  1
 bM 

z    z
   
 bo 
 bo 
 a1  N 1
 aN 
N
Z    z     
 ao 
 ao 
M

a o 0 b o 0 

N(z) b o z  M
X (z) 
 N
D( z ) a o z

 b1   M  1
 bM 

z    z
   
 bo 
 bo 
 a1  N  1
 aN 
N
Z    z     
 ao 
 ao 
M

a o 0 b o 0 

N(z) b o z  M
X(z) 

D( z ) a o z  N

 N(z) dan D(z) polinom
N(z) b o N  M (z  z1 )(z  z 2 )  (z  z M )
X(z) 
 z
D( z ) a o
(z  p1 )(z  p 2 )  (z  p M )
M

X(z)  G z N  M

 (z 

zk )

 (z 

pk )

k 1
N

k 1

Contoh Soal 8.10
Tentukan pole dan zero dari

2  1,5z  1
X (z) 
1  1,5z  1  0,5z  2

Jawab:
2 z 1
z  0,75
X(z) 
1 z  2 z 2  1,5z  0,5
z  0,75
2z(z  0,75)
2 1
 2z

(z  1)(z  0,5) (z  1)(z  0,5)
Zero : z1  0

z 2  0,75

Pole : p1 1

p 2  0,5

Contoh Soal 8.11
Tentukan pole dan zero dari

1  z 1
X(z) 
1  z  1  0,5z  2

Jawab:
z(z  1)
X (z)  2
z  z  0,5


z(z  1)
[z  (0,5  j0,5)][z  (0,5  j0,5)]

Zero : z1  0

z 2 1

Pole : p1  0,5  j0,5

p 2  0,5  j0,5

p1  p 2

*

 Fungsi Sistem dari Sistem LTI
Y(z)
y( n )  h ( n ) * x ( n )  Y ( z )  H ( z ) X ( z )  H ( z ) 
X(z)

Respon impuls h (n )  H(z)

Fungsi sistem

Persamaan beda dari sistem LTI :

y( n )  

N

a

M

k

k 1

Y(z)  

y( n  k )   b k x ( n  k )
k 0

N

a
k 1

k

Y(z)z

k

M

  b k X(z)z
k 0

k

Y(z)  

N

a

k

Y(z)z

k

k 1

Y (z)[1 

k

k

k 1

  b k X(z)z

k

k 0

N

a

M

M

z ]  X ( z ) b k z

k

k 0

M

Y(z)

X(z)

k
b
z
 k
k 0

1

N

k
a
z
 k
k 1

 H(z) Fungsi sistem rasional

M

Y (z)

X (z)

k
b
z
 k
k 0

1

N

 H(z)

pole-zero system

k
a
z
 k
k 1

Hal khusus I : ak = 0,
M

H(z)   b k z  k
k 0

1
 M
z

1kN
M

M k
All-zero system
b
z
 k
k 0

Hal khusus II : bk = 0, 1  k 
M
bo
bo
H(z) 
 N
a o 1
N
k
1   a kz k
a
z

k
All-pole system
k 1
k 0

Contoh Soal 8.12
Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :

1
y(n )  y(n  1)  2 x (n )
2
Jawab:
1 1
Y ( z )  z Y ( z )  2X ( z )
2
1 1
Y(z)(1  z )  2X(z)
2
2
H (z) 
1 1
1 z
2

n

1
h (n )  2   u (n )
 2

 TRANSFORMASI -Z BALIK
 Definisi transformasi balik


X(z) 

n
x
(
n
)
z


n 

1
n 1
x (n ) 
X
(
z
)
z
dz

2j

Teorema residu Cauchy :
 1
d k  1f (z)
, bila z o di dalam C

1
f (z)
k 1
dz   (k  1)! dz
z z o
k

C
2j (z  z o )

bila z o di luar C
 0,

 Ekspansi deret dalam z dan z-1


X(z) 

n
c
z
 n

n 

Contoh Soal 8.13
Tentukan transformasi-z balik dari

Jawab:

X(z) 

1
3 1 1  2
1 z  z
2
2

3  1 7  2 15  3 31  4
X(z) 1  z  z 
z 
z 
2
4
8
16


X(z) 

 x (n )z

n 

n

 3 7 15 31 
x (n )  1, , , , , 
 2 4 8 16


 Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
X(z)  1X1 (z)   2 X 2 (z)     K X K (z)
x ( n )  1 x 1 ( n )   2 x 2 ( n )     K x K ( n )
Contoh Soal 8.14
Tentukan transformasi-z balik dari

X(z) 

1
1  1,5z  1  0,5z  2

Jawab:
z2
z2
X(z)  2

z  1,5z  0,5 (z  1)(z  0,5)
X(z)
z
A1
A2
 2


z
z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5)

X(z)
z
A1
A2
2
1
 2




z
z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5) (z  1) (z  0,5)
z
A1
A2
A1 (z  0,5)  A 2 (z  1)



2
z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5)
(z  1)(z  0,5)
z
A1
A2
(A1  A 2 )z  (0,5A1  A 2 )



2
z  1,5z  0,5 (z  1) (z  0,5)
z 2  1,5z  0,5
A1  A 2 1

0,5A1  A 2  0

A1  0,5A1  0,5A1 1



2
1
X(z) 

1
(1  z ) (1  0,5z  1 )


A1  2

A 2   0,5A1


A2   1

x (n )  [2  (0,5) 2 ]u (n )

Contoh Soal 8.15
Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time
Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x (n )  9,5x (n  1)
Jawab:

Y(z)  3z  1Y(z)  2z  2 Y(z)  4,5X(z)  9,5z  1X(z)

Y(z)(1  3z

1

2

1

 2z )  X(z)(4,5  9,5z )

Y(z)
4,5  9,5z  1
H(z) 

1
2
X(z) 1  3z  2z

4,5  9,5z  1
H(z) 
1  3z  1  2z  2

H(z)
4,5z  9,5
 2
z
z  3z  2

H(z)
A1
A2
5
0,5




z
z 1 z  2 z 1 z  2
5
0,5
H(z) 

1
1
1  ( 1)z
1  ( 2)z

h (n )  [5( 1) n  0,5( 2) n ]u (n )

Contoh Soal 8.16
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang
dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x (n )  9,5x (n  1)
y( 1)  0

y( 2)  0

dan mendapat input x(n) = (-3)nu(n)

y(n )  y zs (n )

Jawab:
Y(z)  3z  1Y(z)  2z  2 Y(z)  4,5X(z)  9,5z  1X(z)
Y(z)(1  3z  1  2z  2 )  X(z)(4,5  9,5z  1 )

Y(z)(1  3z  1  2z  2 )  (4,5  9,5z  1 )X(z)
n

x (n )  ( 3) u (n )
Y(z)(1  3z

1



1
1
X(z) 

1
1  ( 3)z
1  3z  1

1
 2z )  (4,5  9,5z )
1
1  3z
2

1

(4,5  9,5z  1 )
Y(z) 
(1  3z  1  2z  2 )(1  3z  1 )
Y(z)
z 2 (4,5  9,5z  1 )
 3
z
z (1  3z  1  2z  2 )(1  3z  1 )
Y(z)
(4,5z 2  9,5z)
(4,5z 2  9,5z)
 2

z
(z  3z  2)(z  3) (z  1)(z  2)(z  3)

Y(z)
(4,5z 2  9,5z)
(4,5z 2  9,5z)
 2

z
(z  3z  2)(z  3) (z  1)(z  2)(z  3)
(4,5z 2  9,5z)
A1
A2
A3



(z  1)( z  2)( z  3) (z  1) (z  2) (z  3)
Y(z) A1 (z 2  5z  6)  A 2 (z 2  4z  3)  A 3 (z 2  3z  2)

z
(z  1)(z  2)(z  3)
A1  A 2  A 3  4,5
5A1  4A 2  3A 3  9,5
6A1  3A 2  2A 3  0

1

1

1

D 5
6

4
3

3 2
2

A1 

4,5

1

1

1

4,5

1

9,5

4

3

5

9,5

3

6

0

2

0

3
D

2



 5
  2,5
2

 2,5  1  A 3  4,5



A2 

A3  6

Y(z)
 2,5
1
6



z
(z  1) (z  2) (z  3)
 2,5
1
6
Y(z) 


1
1
(1  z ) (1  2z ) (1  3z  1 )
y zs (n )  [ 2,5( 1) n  ( 2) 2  6( 3) n ]u (n )

D



2
1
2

 Pole-pole berbeda semua

AN
X(z)
A1
Ak



z
z  p1
z  pk
z  pN
(z  p k )X(z) (z  p k )A1
(z  p k )A N

   Ak   
z
z  p1
z  pN

(z  p k )X(z)
 Ak
z
z p k

Contoh Soal 8.17
Tentukan zero-state response dari suatu sistem LTI yang mendapat
input x(n) = u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2)

Jawab:
Y(z)  6z  1Y(z)  8z  2 Y(z)  5X(z)  28z  1X(z)  8z  2 X(z)
1
X(z) 
1  z 1

(5  28z  1  8z  2 ) 1
Y(z) 
1  6z  1  8z  2 1  z  1

A3
Y(z)
(5z 2  28z  8)
A1
A2
 2



z
(z  6z  8)(z  1) z  2 z  4 z  1

A3
Y(z)
(5z 2  28z  8)
A1
A2




z
(z  2)(z  4)(z  1) z  2 z  4 z  1
(z  2)Y(z) 5z 2  28z  8
20  56  8
84
A1 



  14
z
(z  4)( z  1) z  2
(2)(  3)
 6

(z  4)Y(z) 5z 2  28z  8
80  112  8 200
A2 



 20
z
(z  2)(z  1) z  4
( 2)( 5)
10
(z  1)Y(z) 5z 2  28z  8
5  28  8  15
A3 



 1
z
(z  2)(z  4) z 1
(3)(5)
15

Y(z)
 14
20
 1



z
z2 z4 z 1

 14
20
 1
Y(z) 


1
1
1  2z
1  4z
1  z 1

y zs (n )  [ 14( 2) n  20( 4) n  1]u (n )

 Ada dua pole yang semua
AN
X(z)
A1
A1k
A 2k




2
z
z  p1
(z  p k )
z  pk
z  pN
2

A1k

A 2k

(z  p k ) X(z)

z
z p

k

d  (z  p k ) 2 X (z) 
 

dz 
z
 z p k

Contoh Soal 8.18
Tentukan transformasi-Z balik dari :

1
X(z) 
(1  z  1 )(1  z  1 ) 2
Jawab:
2

A3
X(z)
z
A1
A2




2
2
z
(z  1)(z  1)
z  1 (z  1)
(z  1)

(z  1)X(z)
z2
A1 

z
(z  1) 2

z  1

1

4

2

2

(z  1) X(z)
z
1
A2 


z
(z  1) z 1 2
d  (z  1) 2 X(z) 
d  z2 
A3  
  

dz 
z
 dz  (z  1) 
(2z)( z  1)  (1)( z 2 ) z 2  2z
3



2
2
(z  1)
(z  1) z 1 4

1
1
3
n
x (n )  [ ( 1)  n  ]u (n )
4
2
4

 Pole kompleks

A1
A2
X(z) 

1
1  p1z
1  p2z 1
p1  p



p2  p *

A1  A



A2  A *

1

1

A
A*
A  Ap * z  A *  A * pz


1
1
1  pz
1 p*z
1  pz  1  p * z  1  pp * z  2
(A  A*)  (Ap * A * p)z  1
b o  b1z  1

1
2
1
2
1  (p  p*)z  pp * z
1  a 1z  a 2 z

A  A*  Re(A)  j Im(A)  Re(A)  j Im(A)  2 Re(A)
b o  A  A*  2 Re(A)
p  p*  Re(p)  j Im(p)  Re(p)  j Im(p)  2 Re(p)
a1  (p  p*)   2 Re(p)
pp*  [Re(p)  j Im(p)][Re(p)  j Im(p)]
2

2

 Re (p)  Im (p)  p

2



a 2  pp*  p

2

Ap * A * p  [Re(A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]
 [Re(A)  j Im(A)][Re( p)  j Im(p)]
 2 Re(A) Re(p)  2 Im(A) Im(p)
Ap*  [Re(A)  j Im(A)][Re(p)  j Im(p)]
 [Re(A) Re(p)  Im(A) Im(p)]  j [Re(p) Im(A)  Re(A) Im(p]
b1   (Ap * A * p)   2 Re(Ap*)

Contoh Soal 8.19
Tentukan transformasi-Z balik dari :

Jawab:

1  z 1
X(z) 
1  z  1  0,5z  2

1  z 1
b o  b1z  1
X (z) 

1
2
1  z  0,5z
1  a 1z  1  a 2 z  2

b o  2 Re( A) 1

Re( A)  0,5



a 1   2 Re(p)   1



Re(p)  0,5

b1  2 Re( Ap*) 1



Re( Ap*)  0,5

2

a 2  p  0,5



Re 2 (p)  Im 2 (p)  0,5

Re(p)  0,5
2

Re(A)  0,5
2

2

Re (p)  Im (p)  0,25  Im (p)  0,5
Im2 (p)  0,25  Im(p)  0,5  p  0,5  j 0,5
Ap*  [0,5  j Im(A)](0,5  j0,5)
Re(Ap*)  0,25  0,5 Im(A)  0,5
Im(A)  0,25



A  0,5  j 0,25

A
A*
X(z) 

1
1
1  pz
1 p*z
0,5  j 0,25
0,5  j 0,25


1
1  (0,5  j 0,5)z
1  (0,5  j 0,5)z  1

0,5  j 0,25
0,5  j 0,25
X(z) 

1
1  (0,5  j 0,5)z
1  (0,5  j 0,5)z  1

0,5  j 0,5  0,707e j45

0,5  j 0,5  0,707e  j45

x (n )  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n  (0,5  j 0,25)(0,707e j45 ) n
 (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )
n

 j(0,25)(0,707 )(cos 45n  j sin 45n )
 (0,5)(0,707) n (cos 45n  j sin 45n )
 j(0,25)(0,707 n )(cos 45n  j sin 45n )
 (0,707) n cos 45n  0,5(0,707) n sin 45n

TRANSFORMASI-Z SATU SISI
 Definisi :



X  (z)   x (n )z  n
n 0

Contoh Soal 8.20
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal diskrit di
bawah ini

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1
d). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1

Jawab:

a ). x1 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
X1 (z) 1  2z  1  5z  2  7 z  3  z  5
b). x 2 (n )  1, 2, 5, 7, 0, 1
X 2 (z)  5  7 z  1  z  3
c). x 3 (n )   0, 1, 2, 5, 7, 0, 1
X 3 (z)  z  1  2z  2  5z  3  7 z  4  z  7
d ). x 4 (n )   2, 5, 7, 0, 1
X 4 (z)  5  7 z  1  z  3

Contoh Soal 8.21
Tentukan transformasi Z satu sisi dari beberapa sinyal impuls di
bawah ini

a ). x 5 (n )  (n )
b). x 6 (n )  (n  k ), k  0
c). x 7 (n )  (n  k ), k  0
Jawab:


a ). X 5 (z)   (n )z  n 1
n 0


b). X 6 (z)   (n  k )z  n  z  k
n 0


c). X 7 (z)   (n  k )z  n  0
n 0

 Time Delay

k

x (n  k )  z  k [X  (z)   x ( n )z n ]
n 1

Contoh Soal 8.22
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x1(n) = x(n-2)
dimana x(n) = anu(n )

Jawab:

1
x (n )  a u (n ) 
X (z) 
1  az  1
2


2

n
X1 ( z )  z  X   x (  n ) z 
n 1


 z  2 X   x ( 1)z  x ( 2)z 2
n





z 2
1 1
2


a
z

a
1  az  1



 Time advance
x (n  k )  z k [X  (z) 

k 1

n
x
(
n
)
z
]

n 0

Contoh Soal 8.23
Tentukan transformasi Z satu sisi dari x2(n) = x(n+2)
dimana x(n) = anu(n )

Jawab:
x (n )  a n u (n )

1

X (z) 
1  az  1
1


2

n
X 2  z  X (z)   x (n )z 
n 0


 z 2 X   x (0)  x (1)z  1



z2
2


z
 az
1
1  az





Contoh Soal 8.24
Tentukan output dari suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) yang
dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  3y(n  1)  y(n  2)  4,5x (n )  9,5x (n  1)
y( 1)   8,5

y( 2)  7,5
y(n )  y zi (n )

dengan input x(n) = 0

Jawab:

Y  (z)  3z  1[Y  (z)  y( 1)z]
2



2

 2z [Y (z)  y( 1)z  y( 2)z ]  0

Y  (z)  3z  1[Y  (z)  y( 1)z]
 2z  2 [Y  (z)  y( 1)z  y( 2)z 2 ]  0


Y (z)[1  3z

1

2

 2z ]   3y( 1)  2 y( 1)z

1

3
(

8
,
5
)

2
(

8
,
5
)
z
 2(7,5)

Y (z) 
1  3z  1  2z  2
1
17z  10,5

1  3z  1  2z  2

Y  (z)
10,5z  17
10,5z  17
 2

z
z  3z  2 (z  1)(z  2)

1

 2 y (  2)

Y  (z)
10,5z  17
10,5z  17
A1
A2
 2



z
z  3z  2 (z  1)(z  2) z  1 z  2

(z  1)Y  (z) 10,5z  17
6,5
A1 


 6,5
z
z  2 z  1
1
(z  2)Y  (z) 10,5z  17
 4
A2 


4
z
z  1 z  2
 1
6,5z
4z
6,5
4
Y (z) 



1
1
z 1 z  2 1 z
1  2z


y zi (n )  6,5( 1) n  4( 2) n

Contoh Soal 8.25
Tentukan output dari suatu sistem LTI yang mendapat input x(n) =
u(n) dan dinyatakan oleh persamaan beda :

y(n )  6 y(n  1)  8y(n  2)  5x (n )  28x (n  1)  8x (n  2)
y( 1)   4

y( 2)  3

Jawab:
Y  (z)  6z  1[Y  (z)  y( 1)z]
2



2



 8z [Y (z)  y( 1)z  y( 2)z ]  5X (z)
 28z  1[X  (z)  x ( 1)z]  8z  2 [X  (z)  x ( 1)z  x ( 2)z 2 ]
Y  (z)[1  6z  1  8z  2 ]  24  32z  1  24
 X  (z)[5  28z  1  8z  2 ]

Y  (z)[1  6z  1  8z  2 ]  24  32z  1  24
 X  (z)[5  28z  1  8z  2 ]
Y  (z)[1  6z  1  8z  2 ]  32z  1

5  28z  1  8z  2


1
1 z

1
2
1
2
32
z

32
z

5

28
z

8
z
Y  (z) 
(1  6z  1  8z  2 )(1  z  1 )
1
2
5

4
z

24
z
Y  (z) 
(1  6z  1  8z  2 )(1  z  1 )

Y  (z)
5z 2  4z  24
 2
z
(z  6z  8)(z  1)

Y  (z)
5z 2  4z  24
5z 2  4z  24
 2

z
(z  6z  8)(z  1) (z  2)(z  4)(z  1)
5z 2  4z  24
A1
A2
A3



(z  2)(z  4)(z  1) z  1 z  2 z  4
5z 2  4z  24
5  4  24  15
A1 


 1
(z  2)(z  4) z 1
(3)(5)
15
5z 2  4z  24
20  8  24  12
A2 


2
(z  4)(z  1) z  2
(2)( 3)
 6
5z 2  4z  24
80  16  24 40
A3 


4
(z  2)( z  1) z  4
( 2)(  5)
10

Y
 1
2
4



z
z 1 z2 z4
1
2
4
Y 


1
1
1 z
1  2z
1  4z  1


n

2

y(n )  [ 1  2( 2)  4( 4) ]u (n )