bab vii transformasi laplace
BAB VII
TRANSFORMASI LAPLACE 1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:
L {F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
= f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingg (
) maka L{F(t)} =
`
0
) (t dt F e st
=
p st
p e F t dt
Lim
0
) (
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t
N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
(2)
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1 1,
s s > 0
2. t 1 ,
2
s s > 0
3. t2
3
2
s , s > 0
4. tn
n = 0,1,2,3,….
1
!
n s
n
, s > 0
5. eat
, 1
a
s s > 0
6. sin at
,
2 2 a s
a
s > 0
7. cos at ,
2 2 a s
s
s > 0
8. sinh at ,
2 2 a s
a
s > a
9. cosh at ,
2 2 a s
s
s > a
Contoh
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut: 1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1} =
0
) 1 ( dt e st
=
p st
p e dt
Lim
0
=
p st
p se
0
1
lim
=
0
1 1 lim
se se
(3)
= s
1
2. F(t) = t
L{F(t)} =
0 st e t dt
=
p st
p e tdt
0
lim
= lim . 1 ( )
0
st p
p t sd e
= te e dt s
p st st
p
0
lim 1
=
p st st
p te se
s 0
1 lim
1
=
s s
1 0 1
o
= 2
1
s 3. F(t) = eat
L{F(t)} = e steatdt
0
= Lim e dt p
t a s
p
0
) (
=
s at
pp e
a
s 0
) (
lim
1
=
( ) ( )0
1 1
lim ) (
1
a s a
s
p e e
a s =
a s
(4)
4. F(t) = sin at
L{F(t)} = e st dt
0 at sin =
p stp e ad at
Lim 0 ) (cos 1 = p st st
p a ate a atd e
Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1
= p p st stp a ate dt
s e at a Lim 0 . cos . cos 1
= p st stp a e ad at
s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1
= p p st st stp a e at atd e
s e at a Lim 0 0
2 ( sin sin . ( )
. cos 1
= p p st st stp a e at at se
s e at a Lim 0 0
2( sin sin . )
. cos 1
= p p st st stp a at se
s at e a s e at a Lim 0 0 2 2
2 sin sin . )
. cos 1
= p st stp a ate
s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1
= a2 s2 a
5. F(t) = cos at
L{F(t)} = e st dt
0 at cos =
p stp e ad at
Lim
0
) (sin 1
(5)
=
p st st
p a ate a atd e
Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1
= p p st stp a ate dt
s e at a Lim 0 . cos . cos 1
= p st stp a e ad at
s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1
= p p st st stp a e at atd e
s e at a Lim 0 0
2( sin sin . ( )
. cos 1
= p p st st stp a e at at se
s e at a Lim 0 0
2( sin sin . )
. cos 1
= p p st st stp a at se
s at e a s e at a Lim 0 0 2 2
2 sin sin . )
. cos 1
= p st stp a ate
s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1
= 2 2 s a
a
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 N
t
dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace-ny f(s) ada untuk semua s > .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
(6)
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah 1) Sifat linear
Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing f1(s)
dan f2(s), maka:
L{c1F1(t)+cF2(t)} = c1 f1(s) + c2 f(s)
Bukti:
L{c1F1(t)+cF2(t)} =
0
2 2 1
1 ( ) ( )}
{c F t c F t dt e st
=
0
2 1 0
1
1F(t)dt e c F (t)dt c
e st st
=
0
2 0
2 1
1 e F(t)dt c e F (t)dt
c st
p st
= c1f1(s)c2f2(s)
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3} = 5 L{t} – 3 L{1} = 5
s s
1 3 1
2
= s s
3 5
2
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t} = 6
4 2 5 4 2
2 2
s
(7)
=
4 10 4 12
2 2 s s
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi berikut ini.
a. F(t) = 2t2 e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t c. F(t) = (sin t – cos t)2 d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat
F
(t
)}
= f(s-a) BuktiKarena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{eat
F
(t
)}
=
0
) (t dt F e e st at
=
pt a
s F t dt
e
0
)
( ( )
= f(s-a) Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s) 2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a) 3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
(8)
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =
a
t
a
t
a
t
F
,0
),
(
maka
L{G(t)} = eas f(s) Bukti
L{G(t)} = e stG t dt
0
) (
=
a
a st
stG t dt e G t dt e
0
) ( )
(
=
a
a st
st dt e F t a dt
e
0
) ( )
0 (
=
a
stF t a dt
e ( )
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
a
stF t a dt
e ( ) =
0
)
( F(u)du e s u a
= e
0
) (u du F e su as
= eas f(s) 4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
a s f a
1
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( maka
L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
Misal u = at, du = a dt atau dt = a du
(9)
Sehinga L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
=
0
) (
a du u F e a
s u
=
du u F e
a
a s u
) ( 1
=
a s f a
1
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0) Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{F’(t)} = e stF t dt
0
) ( '
=
0
) (t dF e st
=
p st st
e d t F t F e
0 0
) ( ) ( )
(
= -F(0) + s
0 st e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 f(s) sF(0) F'(s) Bukti
L{F”(t)} =
0
)
(
"
t
dt
F
(10)
=
0
)) ( ' (F t d e st
=
0
) ( ) ( ' ) (
' st
stF t F t d e
e e
=
0
) ( ' )
(
' t s F t e dt F
e st st
=
e stF'(t) s[sf(s) F(0)]
= s2 ( ) (0) '(0)
F sF
s
f
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka
L{F(n)
(
t
)}
= sn f(s) sn1F(0) sn2F'(0) ... sF(n2)(0) F(n1)(0) 6. Tansformasi Laplace dari Integral-integralJika L{F(t)} = f(s) maka L
s s f du u
F( ) ( )
1
0
7. Perkalian dengan tn
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn
F
(t
)}
= (-1) f(s)ds d
n n
n = (-1)f(n)(s)
Bukti.
Karena f(s) = e stF t dt
0
)
( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds df
= f’(s) = ds
d
dt t F e st
0
) (
= e F t dt s
st ( ) 0
(11)
=
0
) (t dt F te st
= -
0
)} ( {tF t dt e st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - f'(s)
ds df
8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
0
) ( )
(
du u f t
t F
Bukti: Misal G(t) =
t t F( )
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}
ds d
atau f(s) = -ds dg
. Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) =
-ds dg.
g(s) = -
s
du u f( )
=
s
du u f( )
Jadi L
t t F( )
s
du u f( )
9. Transformasi fungsi periodic 10. Sifat f(s) bila s
(12)
11. Teorema harga awal 12. Teorema harga akhir
13. Perluasan dari teorema harga awal 14. Perluasan dari teorema harga akhir
3. Transformasi Laplace Invers 3.1 Definisi
3.2 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers 3.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers 4. Penggunaan Transformasi Laplace
4.1 Persamaan Differensial (PD)
4.2 PD Biasa dengan Koefisien Konstan 4.3 PD Biasa dengan Koefisien Variabel 4.4 PD Simultan
(1)
=
4 10 4 12
2 2 s
s
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi berikut ini.
a. F(t) = 2t2 e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t c. F(t) = (sin t – cos t)2 d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat
F
(
t
)}
= f(s-a) BuktiKarena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{eat
F
(
t
)}
=
0
) (t dt F e e st at
=
p
t a
s F t dt
e
0
)
( ( )
= f(s-a) Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s) 2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a) 3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
(2)
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =
a
t
a
t
a
t
F
,0
),
(
maka
L{G(t)} = eas f(s)
Bukti
L{G(t)} = e stG t dt
0
) (
=
a
a st
stG t dt e G t dt
e
0
) ( )
(
=
a
a st
st dt e F t a dt
e
0
) ( )
0 (
=
a
stF t a dt
e ( )
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
a
stF t a dt
e ( ) =
0
)
( F(u)du
e s u a
= e
0
) (u du F e su as
= eas f(s)
4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} =
a s f a
1
Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( maka
L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a du
(3)
Sehinga L{F(at)} =
0
) (at dt F
e st
=
0
) (
a du u F e a
s u
=
du u F e
a
a s u
) ( 1
=
a s f a
1
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0) Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt
0
)
( = f(s), maka
L{F’(t)} = e stF t dt
0
) ( '
=
0
) (t dF e st
=
p st st
e d t F t F e
0 0
) ( ) ( )
(
= -F(0) + s
0
st
e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 f(s) sF(0) F'(s)
Bukti
L{F”(t)} =
0
)
(
"
t
dt
F
(4)
=
0
)) ( ' (F t d e st
=
0
) ( ) ( ' ) (
' st
stF t F t d e
e e
=
0
) ( ' )
(
' t s F t e dt F
e st st
=
e stF'(t) s[sf(s) F(0)]
= s2 ( ) (0) '(0)
F sF
s
f
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka
L{F(n)
(
t
)}
= sn f(s) sn1F(0) sn2F'(0) ... sF(n2)(0) F(n1)(0)6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral Jika L{F(t)} = f(s) maka L
s s f du u
F( ) ( )
1
0
7. Perkalian dengan tn
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn
F
(
t
)}
= (-1) f(s)ds d
n n
n = (-1)f(n)(s) Bukti.
Karena f(s) = e stF t dt
0
)
( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds df
= f’(s) =
ds d
dt t F e st
0
) (
= e F t dt s
st ( ) 0
(5)
=
0
) (t dt F te st
= -
0
)} ( {tF t dt e st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - f'(s)
ds df
8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
0
) ( )
(
du u f t
t F
Bukti: Misal G(t) =
t t F( )
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka
diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}
ds d
atau f(s) =
-ds dg
. Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
f(s) =
-ds dg
.
g(s) = -
s
du u f( )
=
s
du u f( )
Jadi L
t t F( )
s
du u f( )
9. Transformasi fungsi periodic 10. Sifat f(s) bila s
(6)
11. Teorema harga awal 12. Teorema harga akhir
13. Perluasan dari teorema harga awal 14. Perluasan dari teorema harga akhir
3. Transformasi Laplace Invers 3.1 Definisi
3.2 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers 3.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers 4. Penggunaan Transformasi Laplace
4.1 Persamaan Differensial (PD)
4.2 PD Biasa dengan Koefisien Konstan 4.3 PD Biasa dengan Koefisien Variabel 4.4 PD Simultan