bab 6 transformasi laplace

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung (integral tak wajar)

2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret.

3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial.

4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside.

5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.

Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli. 6.1 Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan F(t) _{suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)}





 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

Karena L{F(t)}adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (



) maka





 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

_



  

p st

pLim e F t dt

0

) (

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > 

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

No. F(t) L{F(t)}

1. 1 1_{, 0}

 s s

2. t 1 _{, 0}

2 s

s

3. t2

0 , 2

3 s

s

4. tn

n = 0,1,2,3,….

0 , !

1   s

s n

n

5.

at

6. sinat

0 ,

2

2 

a s s

a

7. cosat _{, 0}

2

2 

a s s

s

8. sinhat

a s a s

a

  2, 2

9. coshat

a s a s

s

  2, 2

10. tcosat

2 2 2

2

)

(s a

a s

 

11.

a at t

2 sin

2 2

2 ₎

(s a

s 

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. F(t)1

_



 _



`

0

) ( 1 )}

(

{F t e f s

L st

_

   

p st p

dt e Lim

0

p st

p se

0 1

lim 

  

  

 

 



  

 

 

 _



 0

1 1 lim

se se

p

s

1 0 

s

1



f(s)

2. F(t)t





 

`

0

)} (

{F t e t dt

L st



st



p

p t _sd e

 





 

0

1 . lim

te e dt

s

p st st

p



 



 

 

0

lim 1

p

o st st

p te se

s 

 



 _



  

 

1 lim

1

p sp

sp

p pe se e se

s ₀

0

0 1

0 1

lim 1

   

 

 

   

 

 

  

 





_

  

 

      _   



s s

1 0 0 0 1

     

  

s s

1 0 1

1₂

s



3. _F(t)eat





 

`

0

)} (

{F t e t e dt

L st at

e dt

p

t a s

p



    

0

) (

lim



s at



p

p e

a

s 0

) (

lim

1  

   



  

 

 



 _

 

 ( ) ( )0

1 1

lim ) (

1

a s a

s

p _{e s}

a s

a s  1

4. F(t)sinat

dt e

t F

L st



 



0

at sin )}

( {



_

  



p st

p e ad at

Lim 0

) (cos 1

p st st p e atd a e at a Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1           

_

     p p st st

p _a ate dt

s e at a Lim 0 . cos . cos 1            

_

     p st st

p a e ad at

s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1           

_

     p p st st st

p a e at atd e

s e at a Lim 0 0

2( sin sin . ( )

. cos 1              

_

   p p st st st

p _a e at at se

s e at a Lim 0 0

2 ( sin sin . )

. cos 1               

_

   p p st st st

p a atse

s at e a s e at a Lim 0 0 2 2

2 sin sin . )

. cos 1              

_

   p st st

p a ate

s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1                       

 _{st st}

e a at s e a at s a a . sin . . cos 2 2 2 2





_                

 _{2 2} 0 0 1 0

2 a s a a         a s a a 1 2 2 2 _{2 2} s a a   5. F(t)cosat

dt e t F L st



   0 at cos )} ( {

_

    p st

pLim e ad at

0 ) (sin 1 p st st

pLim a ate a atd e

0 0 ) ( sin 1 . sin 1          

_

    

p

p

st st

p a ate dt

s e at a Lim 0 . sin . sin 1          

_

     p st st

p a e ad at

s e at a Lim 0 0 ) cos ( 1 . . sin 1           

_

     p p st st st

p _a e at atd e

s e at a Lim 0 0

2 ( ( cos ) cos . ( )

. sin 1               

_

   p p st st st

p a e at at se dt

s e at a Lim 0 0

2 ( cos ) cos . )

. sin 1              

_

   p p st st st

p _a ate

s at e a s e at a Lim 0 0 2 2

2 ( cos ) cos . )

. sin 1             

_

   p st st

p a ate

s e at a a s a Lim 0 2 2 2 2 . cos . sin 1                    _ 

 _{st st}

e a at s e a at a s a . cos . . sin 2 2 2 2





_               

 _{2 2 2}

2 0 0 0 a s a s a         _{2 2 2}

2 a s a s a

_s2 _a2

a

 

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0tNdan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_

   

p st

pLim e F t dt

0

) (

Contoh



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_

   

p st

p e tdt

0

lim

lim . 1 ( )

0

st p

p t sd e

 





 

te e dt

s

p st st

p



 



 

 

0

lim 1

p st st

p te se

s ₀

1 lim

1

   



 _



  

 

_     

  

s s

1 0 1

2

1 s



f(s)

b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

... )

( 3

3 2 2 1

0   

a at a t a t t

n n

nt

a









0

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

... } { } { } { } { )} (

{ 3

3 2

2 1

0    

L a L at L a t L a t t

F L

2!₃2 ...

2

1 _{ }

 

s a s

a s a_o





 



0 1

!

n n

n

s a n

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan. 6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:

a) Sifat linear

Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t)

adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1(s) dan f2(s), maka:

) ( )

( )}

( )

(

{c₁F₁ t c₂F₂ t c₁f₁ s c₂f s

L   

Bukti:





 _

 

0

2 2 1

1 2

2

1 ( ) ( )} { ( ) ( )}

{c F t c F t e c F t c F t dt

_

_

  

 _



0

2 1 0

1

1F (t)dt e c F (t)dt

c

e st st

_

_





 _



0

2 0

2 1

1 e F(t)dt c e F (t)dt

c st

p st

c₁f₁(s)c₂f₂(s)

1. L{5t 3}L{5t 3a}L{5t} L{3}

5L{t} 3L{1}

s s

1 3 1

5 ₂ 



s s

3 5

2  

2. L{6sin2t 5cos2t}L{6sin2t} L{5cos2t}

6L{sin2t} 5L{cos2t}

4 5 4 2

6 _{2 2}

   

s s s

4 5 12

2   

s s

3. {( 2 1)2} { 4 2 2 1}

  

 Lt t

t L

_L{_t4} _L{2_t2} _L{1}  



_L{_t4} 2_L{_t2} _L{1}  



s s

s

1 ! 2 2 ! 4

1 2 1

4 

     

 _{ }

s s s

1 4 24

3 5   

4. _L{4_e5t _6_t2 _ 3sin4_t2cos2_t}

_L{4_e5t}_L{6_t2}_{ L}{3sin4_t}_L{2cos2_t}

4 2 4 4 3 2 6 5 1

4 _{3 2 2}

      

s s s

s

s

4 2 16 12 12 5 4

2 2

3  _  _ 

 

s s s

s

s

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.

1. t

e t t

F 

 2 2 )

( t

2. F(t) 6sin2t cos2t 3. _{F(t)(sint cost)}2

4. F t t sinht

2 1 3 cosh )

(  

5. F(t)2t2 3

6. _{F(t) (sint 3)}2

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika _L{_F(_t)} _f(_s)_makaL{_e2t_F(_t)} _f(_{s a})   

Bukti

Karena

_



 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

, maka



  

`

0

) ( )}

(

{e F t e e F t dt

L at st at

_

  



0

)

( _F(t)dt

e s a t

f(s a)

Contoh:

1. Tentukan _L{_e3t_F(_t)} _{jika L}{_F(_t)}_f(_s)

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)} f(s a)  

Maka _L{_e3t_F(_t)}_f



_s (_3)



f(s3)

2. Tentukan 

     

a s f t F L jika t

F e

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)} f(s a)  

Karena 

       

     

a s f t F e L maka a

s f t F

L_{{ ( )} , {} 2t _{( )}} 2

   

 

 

a a s

f 2

3. Tentukan

4 }

2 {cos )}

(

{ ₂

  

s s t

L jika t

F e

L t

Karena

4 }

2

{cos ₂

 

s s t

L _{maka menurut sifat translasi pertama}

) 1 ( )} (

{_e _{F t} _{f s} L t

4 ) 1 (

1 )}

(

{ ₂

 

  

s s t

F e L t

5 2

1

2  

 

s s

s

4. Tentukan_L{_e2t(3cos6_t 5sin6_t)}

Me6nurut sifat linear,

)} 6 sin 5 ( { )} 6 cos 3 ( { )} 6 sin 5 6 cos 3 (

{_e 2 _{t t L e} 2 _{t L e} 2 _t

L  t  t  t

 



3_L{2tcos6_t} 5_L{_e2t sin6_t} 

 }

Karena

36 6 } 6 {sin 36

} 6

{cos _{2 2}

  



s t L dan s

s t

L

maka menurut sifat translasi

) 2 ( 3 } 6 cos {

3 2

 



s f t L t

3_{( }(₂₎22_)₃₆

 

s s

, dan

2 (

6 5 } 6 sin {

5 2

 



s t

L t

sehingga

L{e { (3cos6 5sin6)} 3₍ (₂₎22)₃₆ 5_{( 2}6₎2 ₃₆ 2

    

 

 

s s

s t

t e

L t

40 4

24 3

2  

 

s s

s

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi 1) F₍t₎ et_sin2t



2) _{F(t) (1 te}t₎3

 

3) F(t) t (3sinh2t 5cosh2t) 



4) t

e t

t

F 2

) 2 ( )

(  

5) F₍t_)e2t



_sinh2t_cosh3t



6) F(t)_e t(1_2t)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika L{F(t)}f(s) _dan















a

t

untuk

a

t

untuk

a

tF

tG

,0

),

(

)(

maka

) ( )}

(

{G t e f s

L as

 Bukti

dt t G e t

G

L st



 



0

) ( )}

( {(

_

_

 

 _



a

a st

st_{G t dt e G t dt}

e 0

) ( )

(

_

_

 

 _{ }



a

a st

st _{dt e F t a dt}

e 0

) ( )

0 (

_



 _



a

st_{F t a dt}

e ( )

_

_

   

 _{ }

0

)

( _{( )}

)

(t a dt e F u du

F

e su a

a st

_

  



0

) (u du F e e as su

easf (s)



Contoh

Carilah L{F(t)}_jika





















3

2

,0

3

2

),

3

2

cos(

)(







t

t

t

t

F

Menurut definisi transformasi Laplace



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

e st₍₀₎dt e st _cos(t _{2 /3)}dt 3

/ 2 3

/ 2

0

 



 



_

_

  

_

  



0

) 3 / 2

( _cosudu

e su 

e s e su_cosudu

0 3 / 2



  

 

1

2 3 / 2

 



s se s

d. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)}f(s) _maka       

a s f a at F

L{ ( )} 1

Bukti Karena

dt t F e t

F

L st



 



0

) ( )}

( {

maka

dt at F e at

F

L st



 



0

) ( )}

( {

Misal

a du dt sehingga adt

du maka at

u   

Menurut definisi



 



0

)

(

)

(

{

F

at

e

F

at

dt

L

st

_

 _

      

0

) (

a du u F

e a

s u

_

     

 e F u du

a

u a s

) ( 1

      

a s f a

1

Contoh:

1. Jika ( )

) 2 (

6 )}

(

{ ₃ f s

s t F

L 

 

maka )

3 ( 3 1 )} 3 (

{F t f s

L 

₂ 3

3 3

6

     

 

s

_{( 6)}3

9 . 6

 

s Soal:

1. Hitunglah L{F(t)} jika

















1

0,0

1

,)

1

(

)(

2

t

t

t

tF

2. Jika

) 1 ( ) 1 2 (

1 )}

(

{ ₂

2

 

  

s s

s s t

F

3. Jika { ( )} ,

/ 1 s e t F L

s



 carilah L{etF(3t)}

Jawab

Karena { ( )} 1/ f(s),

s e t F

L  s 



maka menurut sifat 4 diperoleh



     

3 3 1 )} 3 (

{F t f s

L

Sehingga

3 3 1 )} 3 ( {

3

s e t

F

L s

 

_e s

s

3

1 



f(s)

Berdasarkan sifat Jika L{F(t)}f(s)

maka L{eatF(t)} f(s a) 

 (sifat 2)

Maka {  (3 )} ( 1)

s f t F e L t

( 1) 3

) 1 (

1  



 e S

s

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)}f(s)_maka L{F'(t)}sf(s) F(0)

Karena Karena { ( )} ( ) ( )

0

s f dt t F e t

F

L _ st _



 

, maka

dt t F e t

F

L st



 



0

) ( ' )}

( ' {

_

 



0

) (t dF e st

p st st

e d t F t

F e

0 0

) ( ) ( )

( _

  

  





_



 

_

 

 



0

) ( )

0

( s e F t dt

F st

Jika L{F'(t)}sf(s) F(0)_maka { ''( )} 2 ( ) (0) '( )

s F sF

s f s t F

L   

Bukti



 



0

)

("

)}

('

'

{

F

t

e

F

t

dt

L

st

_

 



0

)) ( ' (F t d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ) (

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_



 

0

) ( ' )

(

' t s F t e dt

F

e st st



e stF'(t) s(sf(s) F(0))



 

 

_s2_f(_s) _sF(0) _F'(0)

 



Dengan cara yang sama diperoleh

dt t F e t

F

L_{{ '''( )}} st _{'''( )} 0



 



_

 



0

)) ( ' ' (F t d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ' ) ( '

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_

  

0

) ( ' ' )

( '

' t s e F t dt

F

e st st

_

  

  

 



_



 



0

) ( ) ( ' ) ( ' )

( '

' st st

st_{F t s e F t F t d e}

e

3 ( ) 2 (0) '(0) ''(0)

F sF

F s s f

s   



Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

) ( )} (

{F t f s

L 

) 0 ( )

0 ( ...

) 0 ( ' )

0 ( )

( )} (

{_F(n) _{t sf s  s}n1_{F  s}n2_{F   sF}(n2) _{ F}(n1) L

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

) ( }

{sin _{2 2} f s

a s

a at

L 

 

Misal F(t)sinat_diperoleh F'(t) acosat,F ''(t) a2sinat

  

sehingga

{sin

}

1

'{

)('

2

L

F

t

a

at

L



Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh



sf s sF F



f a

at

L{sin } 1₂  ( ) (0) '(0)

      



  



 _{ }

 

 s a

a s

a s

a (0)

1

2 2 2 2

_

  

 

  

 a

a s

as

a 2 2

2 2

1

_

  

 

   

 _{2 2}

3 2 2 2

1

a s

a as as a

_s2 _a2

a

 

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral Jika L{F(t)}f(s) _maka

s s f du u F L

t

) ( )

(

0

    

 



Bukti:

Misal 

_

t

du u F t

G 0

) ( )

( _maka G'(t)F(t) danG(0) 0

)} ( { )} ( '

{G t L F t

L 

) ( } 0 { )} (

{G t G f s

sL  



) ( )} (

{G t f s

sL 



s s f t G

L{ ( )} ( ) 

Jadi diperoleh

s s f du u F L

t

) ( )

(

0

    

 



Contoh 1. Carilah

   

 



t

du u

u L

0

sin

Misal

t t t

F( ) sin

Maka

s t

F

L{ ( )}arctan1

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

s s

s s f du u

u L

t

1 arctan 1 ) ( sin

0

 

   

 



2. Buktikan

s s

du u

u L

t

1 arctan 1 sin

0

    

 



Bukti:

Misal ( ) sin (0) 0

0

 

_

du makaF

u u t

F

t

t t t

F'( )sin _dan tF'(t)sint

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

1 1 } {sin )}

( '

{ ₂

  

s t L t tF L

1 1 )

( ₂

   

s s sf ds

d

ds s s

sf

_

   

1 1 )

 sf(s)arctansC

Menurut teorema harga awal, Lim_ssf(s)lim_t0F(t)F(0)0 Sehingga diperoleh

2 

 c _. Jadi

s s

s

sf( )1arctan1

3. Buktikan





s s du

u u L

t 2

1 ln

cos 2 _

    

 





Bukti:

Misal du

u u t

F

t





 cos

)

( _maka

t t t

F'( ) cos _atau t{F'(t)} cost

} cos { )} ( '

{tF t L t

L  

 





1 )

( 1

) 0 ( ) (

1 _{2 2}

  

     

  



s s s sf ds

d atau s

s F

s sf ds

d



_

 ds

s s s

sf

1 )

( ₂

 ln



s 1



c

2

1 2

Menurut teorema harga akhir, lims0sf(s)limt0F(t)0, sehingga c = 0.

Jadi ln



1



0

2 1 )

(_{s  s}2 _{ }

sf atau

s s s

f

2 ) 1 ln( ) (

2 _



g. Perkalian dengan tn

Jika L{F(t)}f(s) _maka

{

)(

(

)1

f

s

)(

(

)1

f

(

)

s

)(

ds

d

t

F

t

L

n

n

n

n

n









Karena f s e stF t dt



 



0

) ( )

( _{maka menurut aturan Leibnitz untuk}

menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

_

  

   



_

  0

) ( )

(

' e F t dt

ds d s f ds

df st

e F t dt s

st _{( )}

0

 



_ 

_

 

 

0

) (t dt F te st

_

 

 

0

)} ( {tF t dt e st

 L{tF(t)}

Jadi { ( )} f'(s)

ds df t

tF

L  

Contoh

1. Tentukan L{tsinat}

Jawab

2 2

} {sin

a s

a at

L



 , maka menurut sifat perkalian dari pangkat tn

diperoleh

 

n n _n

ds s f d t

tF

L{ ( )} 1 ( ), sehingga

   

 

 

( 1) _{2 2} }

sin {

a s

a ds

d at

t L

₍ 2 2₎2

2

a s

as  

2. Tentukan _L{_t2cos_at}

Menurut sifat di atas, 

  

 

 

 _{2 2 2}

2 2 2_{cos } ( 1)}

{

a s

s ds

d at

t L

_

  

 

 

 _{2 2 2}

2 2

)

(s a

s a ds

2 2 3 2 3

) (

6 2

a s

s a s

  

h. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)}f(s) _maka

_

       

0

) ( )

(

du u f t

t F L

Bukti: Misal

t t F t

G( ) ( ) maka F(t)tG(t)

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk { ( )} { ( )} ( ) L{G(t)}

ds d s

f atau t

tG L t F

L   _atau

ds dg s

f( )

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh









ds dg s

f( ) _.

_



 

s

du u f s

g( ) ( )

_





s

du u f( )

Jadi

_

       

0

) ( )

(

du u f t

t F L

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F(t)tcos2t

b. F(t) tsin3t

c. F(t)t(3sin2t 2cos5t)

d. F(t) t2sint



e. F(t)_(t2 _ 3t_2)sin3t f. F(t) t3cost

g. F t t 2t

sin )

( 

2) Jika















1

,0

1

0,

)(

2

t

t

t

tF

Carilah L{F ''(t)}

3) Diketahui

  

   

1 ,

1 0 , 2 ) (

t t

t t t F

a. carilah L{F(t)}

b. carilah L{F'(t)}

c. apakah L{F'(t)}sf(s) F(0) _{berlaku untuk kasus ini}

4) Tunjukkan bahwa

_



 _

0 3

50 3 sintdt te t

5) Tunjukkan bahwa

( ) 1 { 2 }

0

2 t

t

u _{L t t e}

s du e u u

L  

  

    

  

  

_

6) Perlihatkan bahwa

a. L e _t e _ss _ab

bt at

      



   

ln

b. 2 2

2 2 ln 2 1 cos

cos

a s

b s t

bt at

L

  

   



 



7) Tunjukkan bahwa: a.

s s

du u

u L

u

1 1 ln 1 1

1 0

 

    

   _ 

_



b. Jika L{F(t)}f(s) _{maka 2}

0 0

1

) ( )

(

1

s s f du u F dt L

t t

     

  

 

6.4 Transformasi Laplace Invers Definisi

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F(t)}f(s)

maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis _F(_t) _L1{_f(_s)}

 . _L1 _{disebut operator transformasi Laplace invers.}

Contoh.

1. Karena _e t

s

L 2

2 1

      

 maka

 

2

1

2 1

  

s e

L t

2. Karena t e

s s

L cos 3

3

2 

   

 

 maka



cos 3



2 3

1

  

s s t

L

3. Karena

a at a

s

L ₂ 1 ₂ sinh

   

 

 maka 2 2

1 sinh 1

a s a

at L

     

  

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.

Contoh

t

e t

F 3

1( )   dan













_

1

1

0

)(

₃

2

t

untuk

e

t

untuk

t

F

_t

Mengakibatkan

3 1 )} ( { )} (

{ 1 ₂

1 1

   



s t F L t F L

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0tN dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu _L1



_f(_s)



_F(_t)_,

adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.

Nomor f(s) 1{ ( )} ( )

t F x f

L 

1.

s

1 1

2.

2

1 s

t 3. 1 _{, 0,1,2,3,...}

1 

 n

sn _n!

tn

4.

a s

1 _eat

5.

2 2

1 a

s 

a at

sin

6.

2 2 _a

s s



at

cos

7.

2 2

1 a

s  a

at

sinh

8.

2 2 _a

s s



at cosh

9.

2 2 2

2 2

)

(s a

a s



 tcosat

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear

Misal c1dan c2adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1(s) dan

) (

2 s

f berturut-turut adalah transformasi Laplace dari F1(t)dan F2(t),

maka:

)} ( { )} ( { )}

( )

(

{ 2 2

1 1

1 1 2

2 1

1

1 _{c F t c F t L c F t L c F t}

L  

 



{ ( )} { 2 2( )}

1 1

1 1

t F c L t F c

L 

 

{ ( )} { 2( )}

1 2 1

1

1L F t c L F t

c  

 

c₁f₁(s)c₂f₂(s)

Contoh

   

 

 

   

 

 

   

 



  



9 12 9

3 9

12 3

2 1 2

1 2

1

s L s

s L s

s L

   

 

 

   

 



  

9 1 12

9

3 1 ₂

2 1

s L s

s L

3 3 sin 12 3 cos

3 t t



2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)

 

maka _L1{_f(_{s a})} _eat_F(_t)

 

 Contoh

t t s

L sinh3

9 1

2 1

    

 

 

maka

3 3 sinh 9

) 2 (

1 13

2 (

1 2

2 1

2

1 _e t

s L s

s

L _ t

   

 

  

   

 

 

 

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)





maka

















a

t

untuk

a

t

untuk

at

F

sf

e

L

as

,0

),

(

)}(

{

1

Contoh

t s

L sin

1 1

2 1

    

 

 















































3

,0

3

),

3

sin(

9

2

3

1









t

untuk

t

untuk

t

s

e

L

s

4) Sifat pengubahan skala Jika _L1{_f(_s)}_F(_t)

maka 

      

k t F k ks f

L1{ ( )} 1

Contoh

Karena t

s s

L cos

1

2

1 _

   

 

 

maka diperoleh 

         

 

 

3 cos 3 1 1 ) 3 (

3

2

1 t

s s L

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)



 _maka 1_{ ( )_{( )}} 1 _{f(s) (1 ) t F(t)}

ds d L s f

L n n _{ } n n

   

 

 



Contoh

Karena t

s

L sin2

4 2

2

1 _

   

 

 

dan 2 ₍ 2 ₄₎2

4 4

2

      

 

 s

s s

ds d

maka diperoleh

t t t t s

s L

s ds

d

L _{( 1)}n n_{sin2 sin2}

) 4 (

4 4

2

2 2 1 2

1 _{  }

   

 

  

   

 



 

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)



 _maka

t t F du u f L

s

) ( )

(

1 _

   

 



 

Contoh

Karena _e t

s s L s

s

L  _{ } 

   

 

  

   

 

 3

1 3 1 1 1 1 3 1 ) 1 ( 3

1 1

1

diperoleh 1 ` 3

1 )

1 ( 3

1 3

1

0 1

   

        

  

 

 



du _te

u u L

t 

7) Sifat perkalian dengan _sn

Jika _L1{_f(_s)}_F(_t) _{maka L}1_{{sf(s)}F'(t)}

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t) 0, sehingga

) ( ' )} 0 ( ) ( {

1 _{sf s F F t}

L  

) ( ) 0 ( ) ( ' )} ( {

1

t F t F s sf

L   

 

dengan (t) _{adalah fungsi delta Dirac}

atau fungsi impuls satuan. Contoh

arena t

s

L sin5

25 5

2 1

    

 

 

dan sin5t 0 maka

t t

dt d s

s

L (sin5) 5cos5

25 5

2 1

 

   

 

 

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka 

_

      

t

du u F s

s f L

0

1 ( ) _{( )}

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t. Contoh

Karena t

s

L sin2

4 2

2 1

    

 

 

maka diperoleh



cos2 1



2 1 2

cos 2 1 2

sin )

4 (

2

0 0

2

1 _{ }

   

   

   

 





 _{udu u t}

s s L

t t

9) Sifat konvolusi

Jika _L1{_f(_s)} _F(_t) 



dan _L 1{_g(_s)} _G(_t) 



G F du u t G u F s

g s f L

t

* )

( ) ( )} ( ) ( {

0

1 _{  }





F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karena _e t

s

L1 4

4

1 

 _

     

 dan

t

e s

L1 2

2 1

      

 

maka diperoleh t u t t

t

u_{e du e e}

e s

s

L 2( ) 2 4

0 4 1

) 2 )( 4 (

1   

 _{  }

   

 







6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional _QP₍(s_s)₎ , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak

(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya _QP(₍s_s)) dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk

,.... 3 , 2 , 1 , )

( )

( 2 _{ } 



 as bs c danseterusnya r B

As atau

b as

A

r r

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat ditentukan

   

  

) (

) (

1 s Q

s P L

Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.

Contoh 1. Tentukan           6 16 3 2 1 s s s L Jawab                      ) 3 )( 2 ( 16 3 6 16 3 1 2 1 s s s L s s s L 3 2 ) 3 )( 2 ( 16 3        s B s A s s s 6 ) 2 ( ) 3 (

2 _{ }     s s s B s A 6 ) 3 2 ( ) (

2 _{ }     s s A B s B A

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5

                      3 5 2 2 ) 3 )( 2 ( 16 3 1 1 s s L s s s L                    3 5 2 2 1 1 s L s L

_2e2t _5e3t

2. Tentukan            ) 2 2 )( 3 ( 1 2 1 s s s s L Jawab                         ) 2 2 ( 3 ) 2 2 )( 3 ( 1 2 1 2 1 s s C Bs s A L s s s s L ) 2 2 )( 3 ( ) 3 )( ( ) 2 2 ( 2 2 3 2 2

2 _{  }

         

 s s s

s C Bs s s A s s C Bs s A ) 2 2 )( 3 ( 3 ) 3 ( 2 2 ` ₂ 2 2           s s s C s C B Bs A As As Sehingga

                          ) 2 2 )( 3 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) ( ) 2 2 )( 3 ( 1 2 2

2 _{s s s}

C A s C B A s B A s s s s

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 Atau A =

5 4

 _{, B =}

5 4

, dan C =

5 1 Akhirnya diperoleh                                ) 2 2 ( 5 1 5 4 3 5 4 ) 2 2 )( 3 ( 1 2 1 2 1 s s s s L s s s s L                                        1 ) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 1 5 4 ) 2 2 ( 5 1 5 4 3 5 4 2 1 2 1 s s s L s s s s L t e e t t _cos

5 4 5

4 3 _ 

 

2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh

... )

( ₄3

3 2 2

1 _{  }   s a s a s a s a s f o

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh

... ! 3 ! 2 ) ( 3 2 2

1   



a at a t a t t F _o Contoh Tentukan             s e L s 1 1 Jawab       _{   }             ... ! 3 1 ! 2 1 1 1 1 3 2 1 s s s s s e s =           ... ! 3 1 ! 2 1 1 1 4 3

2 _{s s}

s s

Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui nilainya pada variabel yang saling bergantung.

Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.

1.

,

(

)0

,8

(

)0

3

2

3

2

























Y

X

pada

bergantung

x

y

dt

dY

y

x

dt

dX

2.

,

(

)0

,3

('

)0

,2

(

)0

0

2

2































Z

Y

Y

pada

bergantung

e

Z

dt

Y

d

t

dt

dZ

dt

dX

t

3.

,

)0(

,1

)0('

,2

)0(

4

',

)0('

0

sin

'

''

cos

3

''

3''

3





























Z

Z

Y

Y

pada

bergantung

t

Z

tY

t

te

Z

Y

t

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang diperoleh.

Contoh

1)

,

(

)0

,8

(

)0

3

2

3

2

























Y

X

pada

bergantung

x

y

dt

dY

y

x

dt

dX

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

) 3 ( ) 2

( x L y

L dt dX

L  

    

) 2 ( )

(y L x L

dt dY

L  

    

atau

8 3 ) 2 ( 3 2 ) 0

(      

 X x y s x y

sx

3 2 ) 1 ( 2 )

0

(      

 Y y x s y x

sy

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

6 3 ) 2 ( 2 ) 2 3 ( ) 2 ( 3 2 ) 1

( 2

         

 y x s s s y s x s

s

(6 2 3 2) 22 3 ₍ 22_{2 3}3 _{4) (} 3₁₎₍22₄₎

 

    

 

   

 

s s

s s

s s y

s y

s s

Analog, untuk variabel y

) 1 ( 8 ) 1 ( 3 ) 2 )( 1 ( ) 1 .( 8 3 ) 2

(s x y  s  s s x s y  s

( 2 3 2 6) 8( 1) 9 ₍ 8₁₎₍17₄₎

 

      

 

s s

s x

s x s

s

Sehingga

9 6 ) 1 ( 3 3 . 3 2 ) 1

(s y x   s y x

16 6 ) 2 ( 2 ) 2 ( 8 3 ) 2

     

 

     

 

   

 

   

   

 

 

 

     

4 2 1

5 4

2 1 5 )

4 )( 1 (

22 3 )

( 1 1 1 1

1

s L s

L s

s L s

s s L

y L Y

     

 

     

 

   

 

   

   

 

 

 

     

4 3 1

5 4

3 1 5 )

4 )( 1 (

17 8 )

( 1 1 1 1

1

s L s

L s

s L s

s s L

x L X

Atau

t

t _e

e

X _5  _3 4 _{dan Y 5e}t _{ 2e}4t _{merupakan selesaian persamaan diferensial}

simultan

,

(

)0

,8

(

)0

3

2

3

2

























Y

X

pada

bergantung

x

y

dt

dY

y

x

dt

dX

2)

,

)0(

,35

)0('

,48

)0(

,27

)0('

55

2

sin

15

3

4''

15

3'

''





























Y

Y

X

X

dengan

t

Y

X

Y

e

X

Y

X

t

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:



_X ''



_L(_Y') _L(3_x) _L(15_e t)

L 

 





Y ''



L(4X) L(3Y) L(15sin2t)

L   

atau

1 15 3

) 0 ( )

0 ( ' ) 0 (

2

   

 



s x Y

sy X

sX x s

4 30 3

)) 0 ( ( ( 4 ) 0 ( ' ) 0

( ₂

2

   

 



s y X

sx Y

sY y s

1 15 3 27 48 35 2        s x sy s x s 4 30 3 140 4 55 27 ₂ 2        s y sx s y s Atau





1 15 21 35 3 2       s s sy x s





4 30 195 27 4 3 ₂ 2       s s sx y s

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:





 

1 15 21 35 ) 4 ( ) 4 ( 4 3 2         s s s sy s x s s









 



4 30 195 27 3 3 4 3

3 2 2 2 ₂

2          s s s x s s y s s ) 9 )( 4 )( 1 ( 30 ) 9 )( 1 )( 1 ( ) 3 ( 15 ) 9 )( 1 ( 63 300 48 35 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3                s s s s s s s s s s s s s x 4 2 1 3 9 45 1 30 2 2 2         s s s s s s

Analog, untuk variabel y





 







} 1 15 21 35 { 3 3 3

3 2 2 2

2          s s s sy s x s s





 

} 4 30 195 27 { ) ( 4 3 ₂ 2       s s s x s s y s s











( 1)( 4)( 9)

) 3 ( 30 9 1 1 60 ) 9 )( 1 ( 585 3 55 27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3                s s s s s s s s s s s s s y

_(s302_9)_(s260_1) _s3_1_s2_2₄₎ s Sehingga t e t t y L

Y _ 1_{( )30cos3  60sin  3} t _sin2

t e t t x L

X 1_{( ) 30cos 15sin3 3} t _2cos2

  



  

55

)0('

,27

)0(

,48

)0('

,35

)0(

,

2

sin

15

3

4''

15

3'

''





























Y

Y

X

X

dengan

t

Y

X

Y

e

X

Y

X

t

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:

1)

,

)0(

)0('

)0(

0

0

'2

''

sin

2

2'

'



























Z

Y

Y

dengan

Y

Z

Y

t

Z

Y

Z

Y

2)

,

)0(

)0(

)0('

0

1

2'

''

2'

























Y

Y

X

dengan

Y

X

X

e

Y

X

t

3)

,

)0(

,1

)0(

1

'

)1

('

'





























Z

Y

dengan

e

Z

Y

e

t

tZ

Z

tY

t

t

4)

,

)0(

,0

)('

,1

)0(

1

0

'2

''

sin

2

2'

'



























Z

Y

Y

dengan

Y

Z

Y

t

Z

Y

Z

Y

5)

,

)0(

3

',

)0(

,2

)0(

0

''

'

'























dengan

Y

Y

X

e

X

Y

t

X

Y

t

Topik-topik pada bab VI dilaksanakan selama 3 x tatap muka masing-masing tatap muka 150 menit (3 SKS).

Berdasarkan hasil penilaian tugas-tugas yang diberikan oleh peneliti kepada mahasiswa diperoleh kriteria ketuntasan pembelajaran sebagai berikut: Nomor Kriteria Ketuntasan Jumlah Peserta Persentase (%)

1 Sangat Memuaskan (A) 7 10,61

2 Memuaskan (B) 32 48,48

3 Cukup (C) 21 31,82

4 Kurang (D) 2 3,03

5 Sangat Kurang (E) 4 6,06