bab 6 transformasi laplace

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

6.1 Transformasi Laplace Definisi

Misalkan F(t) _{suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace}

dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:





 _

 `

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

Karena L{F(t)}_{adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak}

hingga (



) maka





 _

 `

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

_



  

p st

pLim e F t dt

0

) (

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam

setiap interval 0t N dan eksponensial berorde  _{untuk t > N, maka}

transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > 

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

No. F(t) L{F(t)}

1. 1 1_{, 0}

 s s

2. t 1 _{, 0} 2 s

s

3. t2

0 , 2

3 s

s

4. tn

n = 0,1,2,3,….

0 , !

1 

 s

s n

n 5.

at

e _s1_a,s0

6. sinat

0 , 2

2 

a s s

a

7. cosat

0 , 2

2 

a s s

s

8. sinhat

a s a s

a

  2 , 2

9. coshat

a s a s

s

  2, 2

10. tcosat

2 2 2

2 ) (s a

a s

 

11.

a at t

2 sin

2 2

2 ₎

(s a s 

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. F(t) 1

_



 _

 `

0

) ( 1 )}

(

{F t e f s

L st

_



  

p st p

dt e Lim

0

p st

p se

0

1

lim _

  

  

 

 

 _ _  _



 0

1 1 lim

se se

p

s 1 0 

s 1 

f(s)

2. F(t)t





 

`

0 )} (

{F t e t dt

L st



st



p

p t sd e

 





 

0 1 . lim

te e dt

s

p st st

p



 



 

 

0 lim

1

p st st

p te se

s ₀

1 lim

1

   



 _



  

 

p sp

sp

p pe _se e _se

s 0

0 0 1

0 1

lim 1

   

 

 

   

 

 

  

 







  

 

     

   



s s

1 0 0 0 1



    

  

s s

1 0 1

2 1

s



3. _F(t)eat





 

`

0 )} (

{F t e t e dt

L st at

e dt

p

t a s

p



    

0

) (

lim



s at



p

p e

a

s 0

) ( lim

1  

   



  

 

 



 _{ }

 

 ( ) ( )0 1 1

lim ) (

1

a s a

s

p _e e

a s

a s

 1

dt e t F L st



   0 at sin )} ( { 

_

    p st

p e ad at

Lim 0 ) (cos 1 p st st p e atd a e at a Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1           

_

     p p st st

p a ate dt

s e at a Lim 0 . cos . cos 1            

_

     p st st

p a e ad at

s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1           

_

     p p st st st

p _a e at atd e

s e at a Lim 0 0

2( sin sin . ( )

. cos 1              

_

   p p st st st

p a e at at se

s e at a Lim 0 0

2 ( sin sin . )

. cos 1               

_

   p p st st st

p a atse

s at e a s e at a Lim 0 0 2 2

2 sin sin . )

. cos 1              

_

   p st st

p a ate

s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1                       

 _{st st}

e a at s e a at s a a . sin . . cos 2 2 2 2





_           _{ }   

 _{2 2} 0 0 1 0

2 a s a a         a s a a 1 2 2 2 _{2 2} s a a   5. F(t)cosat

dt e t F L st



   0 at cos )} ( {

_

    p st

pLim e ad at

0

) (sin 1

p st st

pLim a ate a atd e

0 0 ) ( sin 1 . sin 1          

_

     p p st st

p _a ate dt

s e at a Lim 0 . sin . sin 1          

_

     p st st

p a e ad at

s e at a Lim 0 0 ) cos ( 1 . . sin 1           

_

     p p st st st

p _a e at atd e

s e at a Lim 0 0

2( ( cos ) cos . ( )

. sin 1               

_

   p p st st st

p a e at at se dt

s e at a Lim 0 0

2 ( cos ) cos . )

. sin 1              

_

   p p st st st

p _a ate

s at e a s e at a Lim 0 0 2 2

2 ( cos ) cos . )

. sin 1             

_

   p st st

p _a ate

s e at a a s a Lim 0 2 2 2 2 . cos . sin 1       _              

 _{st st}

e a at s e a at a s a . cos . . sin 2 2 2 2





_               

 _{2 2 2}

2 0 0 0 a s a s a       

 _{2 2 2}

2 a s a s a _{2 2} a s a  

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0tNdan eksponensial berorde untuk t > N,

maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

6.2 Metode Transformasi Laplace

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi



 

 0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_



  

p st

pLim e F t dt

0

) (

Contoh



 

 0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_



  

p st

p e tdt

0 lim

lim . 1 ( )

0

st p

p t sd e

 





 

te e dt

s

p st st

p



 



 

 

0 lim

1

p st st

p te se

s ₀

1 lim

1

   



 _



  

 

_

    

  

s s

1 0 1

1₂

s



f(s)

b. Metode Deret

... )

( 3

3 2 2 1

0    

a at a t at t

F

n

n nt a



 



0

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

... } { } { } { } { )} (

{ 3

3 2

2 1

0    

L a L at L a t L a t t

F L

2!₃2 ...

2

1 _{ }

 

s a s

a s a_o

_

 





0 1

! n n

n

s a n

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:

a) Sifat linear

Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan )

( 2 t

F adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi

Laplace masing-masing f₁(s) dan f₂(s), maka:

) ( )

( )}

( )

(

{c₁F₁ t c₂F₂ t c₁f₁ s c₂f s

Bukti:





 _

 

0

2 2 1

1 2

2

1 ( ) ( )} { ( ) ( )}

{c F t c F t e c F t c F t dt

L st





  

 _



0

2 1 0

1

1F (t)dt e c F (t)dt

c

e st st

_

_

 

 _



0

2 0

2 1

1 e F(t)dt c e F (t)dt

c st

p st

c1f1(s)c2f2(s)

1. L{5t 3}L{5t 3a}L{5t} L{3} 5L{t} 3L{1}

s s

1 3 1 5 ₂  

s s

3 5

2  

2. L{6sin2t 5cos2t}L{6sin2t} L{5cos2t} 6L{sin2t} 5L{cos2t}

4 5 4 2

6 _{2 2}

   

s s s

4 5 12

2   

s s

3. {( 2 1)2} { 4 2 2 1}   

 L t t

t L

_L{_t4} _L{2_t2} _L{1}  



_L{_t4} 2_L{_t2} _L{1}  



s s

s

1 ! 2 2 ! 4

1 2 1

4 

     

 _{ }

s s s

1 4 24

3 5   

4. _L{4_e5t _6_t2 _ 3sin4_t2cos2_t}

_4L

 

e5t _6L

 

t2 _{ 3}L



_sin4t



_2L



_cos2t



4 2 4 4 3 2 6 5 1

4 _{3 2 2}

      

s s s

s

s

4 2 16 12 12 5 4

2 2

3  _  _ 

 

s s s

s

s

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.

1. t

e t t

F 

 2 2 )

( t

2. F(t)6sin2t cos2t

3. _{F(t) (sint cost)}2

 

4. F t t sinht

2 1 3 cosh )

(  

5. F(t)2t2 3

6. 2

) 3 (sin )

(t  t F

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika _L{_F(_t)}_f(_s)_{maka L}{_e2t_F(_t)}_f(_{s a}) Bukti

Karena

_



 _

 `

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

, maka





 

`

0

) ( )}

(

{e F t e e F t dt

L at st at

_

_

  

0

)

( _F(t)dt

e s a t

f(s a)

Contoh:

1. Tentukan _L{_e 3t_F(_t)} _jikaL{_F(_t)} _f(_s)  

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)} f(s a)  

Maka _L{_e3t_F(_t)}_f



_s (_3)



2. Tentukan       

a s f t F L jika t

F e

L_{ 2t _{( )}, { ( )}}

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)}_f(s_ a)

Karena 

       

     

a s f t F e L maka a

s f t F

L_{{ ( )} , {} 2t _{( )}} 2

   

 

 

a a

s

f 2

3. Tentukan

4 }

2 {cos )}

(

{ ₂

 



s s t

L jika t F e

L t

Karena

4 }

2

{cos ₂

 

s s t

L maka menurut sifat translasi pertama

) 1 ( )} (

{_e _{F t} _{f s}

L t

4 ) 1 (

1 )}

(

{ ₂

 

  

s s t

F e L t

5 2

1 2

 

 

s s

s

4. Tentukan { 2 (3cos6 5sin6 )} t t

e

L t





Me6nurut sifat linear,

)} 6 sin 5 ( { )} 6 cos 3 ( { )} 6 sin 5 6 cos 3 (

{_e 2 _{t t L e} 2 _{t L e} 2 _t

L  t  t  t

 



_3_L{2tcos6_t}_ 5_L{_e2t sin6_t}_}

Karena

36 6 } 6 {sin 36

} 6

{cos _{2 2}

  



s t L dan s

s t

L

maka menurut sifat translasi

) 2 ( 3 } 6 cos {

3_L 2t _{t  f s}

3₍ (₂₎₂2)₃₆  

 

s s

, dan

2 (

6 5 } 6 sin {

5 2

 



s t

L t

sehingga

L{e 5_{( 2)}6 ₃₆ 36

) 2 (

) 2 ( 3 )} 6 sin 5 6 cos 3 (

{ 2 _{2 2}

    

 

 

s s

s t

t e

L t

40 4

24 3 2

 

 

s s

s

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi

1) F t e t 2t

sin )

( 



2) _{F(t) (1 te}t₎3

 

3) F(t) t (3sinh2t 5cosh2t) 



4) _{F(t)(t2)}2_et

5) F₍t₎ e2t



_sinh2t _cosh3t







6) F(t) _e t(1_2t)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika L{F(t)}f(s) _dan















a

t

untuk

a

t

untuk

a

tF

tG

,0

),

(

)(

maka

) ( )}

(

{G t e f s

L _ as

Bukti

dt t G e t

G

L st



 

 0

) ( )}

( {(

_

_

 

 _



a

a st

st_{G t dt e G t dt}

e 0

) ( )

(

_

_

 

 _{ }



a

a st

st _{dt e F t a dt}

e 0

) ( )

0 (

_

_

  _ a

st_{F t a dt}

e ( )

_



_

  

 _{ }

0

)

( _{( )}

)

(t a dt e F u du

F

e su a

a st

_ 

_

 

0

)

(u du

F e e as su

eas f (s)



Contoh

Carilah L{F(t)}_jika





















3

2

,0

3

2

),

3

2

cos(

)(







t

t

t

t

F

Menurut definisi transformasi Laplace



 

 0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

e st₍₀₎dt e st_cos(t _{2 /3)}dt 3

/ 2 3

/ 2

0



 

 



_

_

  

_

_

  

0

) 3 / 2

( _cosudu

e su 

e s e su _cosudu

0 3 / 2



  

 

1 2

3 / 2

 



s se s

d. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)}f(s) _maka 

     

a s f a at F

L{ ( )} 1

Bukti Karena

dt t F e t

F

L st



 

 0

) ( )}

( {

dt at F e at

F

L st



 

 0

) ( )}

( {

Misal

a du dt sehingga adt

du maka at

u  

Menurut definisi



 



0

)

(

)

(

{

F

at

e

F

at

dt

L

st

_

 _

     

 0

) (

a du u F

e a

s u

_

     

 e F u du

a

u a s

) ( 1

      

a s f a 1

Contoh:

1. Jika ( )

) 2 (

6 )}

(

{ ₃ f s

s t F

L 

 

maka )

3 ( 3 1 )} 3 (

{F t f s

L 

3 2 3 3

6

     

 

s

_{( 6)}3 9 . 6  

s

Soal:

1. Hitunglah L{F(t)} _jika

















1

0,0

1

,)

1

(

)(

2

t

t

t

tF

2. Jika

) 1 ( ) 1 2 (

1 )}

(

{ ₂

2

 

  

s s

s s t

F

L _{, carilah} L{F(2t)}

3. Jika { ( )} ,

/ 1 s e t F L

s



 carilah L{etF(3t)}

Karena { ( )} ( ), /

1

s f s e t F L

s

 



maka menurut sifat 4 diperoleh



     

3 3 1 )} 3 (

{F t f s L

Sehingga

3 3 1 )} 3 ( {

3

s e t

F

L s





_e s

s

3 1 

 f(s)

Berdasarkan sifat Jika L{F(t)}f(s)

maka L{eatF(t)}_f(s_ a) _{(sifat 2)}

Maka _L{_et_F(3_t)}_f(_s1)

( 1) 3

) 1 (

1  



 e S

s

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika L{F(t)}f(s)_maka L{F'(t)}sf(s) F(0)

Karena Karena { ( )} ( ) ( )

0

s f dt t F e t

F

L st

 

_



 _{, maka}

dt t F e t

F

L st



 

 0

) ( ' )}

( ' {

_

_

 

0

) (t dF e st

p st st_{F t F t d e}

e

0 0

) ( ) ( )

( _

  

  





_



 

_

 

 



0

) ( )

0

( s e F t dt

F st

sf(s) F(0)

Jika L{F'(t)}sf(s) F(0)_maka { ''( )} 2 ( ) (0) '( ) s F sF

s f s t F

L   



 



0

)

(

"

)}

('

'

{

F

t

e

F

t

dt

L

st

_

 

 0

)) ( '

(F t

d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ) (

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_



 

0

) ( ' )

(

' t s F t e dt

F

e st st



e stF'(t) s(sf(s) F(0))







 

_s2_f(_s) _sF(0) _F'(0)  



Dengan cara yang sama diperoleh

dt t F e t

F

L_{{ '''( )}} st _{'''( )}

0



 



_

 

 0

)) ( ' '

(F t

d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ' ) ( '

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_

  

0

) ( ' ' )

( '

' t s e F t dt

F

e st st

_

  

  

 



_



 



0

) ( ) ( ' ) ( ' )

( '

' st st

st_{F t s e F t F t d e}

e

_s3_f(_s) _s2_F(0) _sF'(0) _F ''(0) 

 



Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

) ( )} (

{F t f s

L 

maka

) 0 ( )

0 ( ...

) 0 ( ' )

0 ( )

( )} (

{_F(n) _{t sf s  s}n1_{F  s}n2_{F   sF}(n2) _{ F}(n1) L

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

) ( }

{sin _{2 2} f s a

s a at

L 

 

Misal F(t)sinat_diperoleh F'(t) acosat,F ''(t) a2sinat 

 

sehingga

{sin

}

1

'{

)('

2

L

F

t

a

at

L



Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh



sf s sF F



f a

at

L{sin } 1₂ ( ) (0) '(0) 

     



  



 _{ }

 

 s a

a s

a s

a (0)

1

2 2 2 2

_

  

 

  

 a

a s

as

a 2 2

2 2 1

_

  

 

   

 _{2 2}

3 2 2 2 1

a s

a as as a

_{2 2}

a s

a

 

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika L{F(t)}f(s) _maka

s s f du u F L

t

) ( )

( 0

    

 



Bukti:

Misal 

_

t

du u F t

G 0

) ( )

( maka G'(t)F(t) danG(0) 0

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

)} ( { )} ( '

{G t L F t

L 

) ( } 0 { )} (

{G t G f s

sL  



) ( )} (

{G t f s

sL 



s s f t G

L{ ( )} ( ) 

Jadi diperoleh

s s f du u F L

t

) ( )

( 0

    

 



Contoh

1. Carilah

   

 



t

du u

u L

0 sin

Misal

t t t

F( ) sin

Maka

s t

F

L{ ( )}arctan1

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

s s

s s f du u

u L

t

1 arctan 1 ) ( sin

0

 

   

 



2. Buktikan

s s

du u

u L

t

1 arctan 1 sin

0

    

 



Bukti:

Misal ( ) sin (0) 0

0

 

_

dumaka F

u u t

F

t

t t t

F'( )sin _dan tF'(t)sint

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

1 1 } {sin )}

( '

{ ₂

  

s t L t tF L

1 1 )

( ₂

   

s s sf ds

d

ds s

s

sf

_

   

1 1 )

( ₂

 sf(s) arctansC

Menurut teorema harga awal, Lim_ssf(s)lim_t0F(t)F(0)0 Sehingga diperoleh

2 



c .

Jadi

s s

s

3. Buktikan





s s du

u u L

t 2

1 ln

cos 2 _

    

 





Bukti:

Misal du

u u t

F

t





 cos

)

( _maka

t t t

F'( ) cos _atau t{F'(t)} cost }

cos { )} ( '

{tF t L t

L  

 





1 )

( 1

) 0 ( ) (

1 _{2 2}

  

     

  



s s s sf ds

d atau s

s F

s sf ds

d



_

 ds

s s s

sf

1 )

( ₂

 ln



s 1



c 2

1 2

Menurut teorema harga akhir, lims0sf(s)limt0F(t)0, sehingga c = 0.

Jadi ln



1



0

2 1 )

(_{s  s}2 _{ }

sf atau

s s s

f

2 ) 1 ln( ) (

2 _ 

g. Perkalian dengan tn

Jika L{F(t)}f(s) _maka

{

)(

(

)1

f

s

)(

(

)1

f

(

)

s

)(

ds

d

t

F

t

L

_n

n

n

n

n









Bukti.

Karena f s e stF t dt



 

 0

) ( )

( _{maka menurut aturan Leibnitz untuk}

menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

_

  

   



_

  0

) ( )

(

' e F t dt

ds d s f ds

df st

e F t dt s

st _{( )}

0

 



_



_

_

_ 

0

) (t dt F te st

_

_

 

0

)} (

{tF t dt

e st

 L{tF(t)}

Jadi { ( )} f'(s)

ds df t

tF

L  

Contoh

1. Tentukan L{tsinat} Jawab

2 2 } {sin

a s

a at

L



 _{, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t}n

diperoleh

 

n n _n

ds s f d t

tF

L{ ( )} 1 ( ), sehingga

   

 

 

( 1) _{2 2}

} sin {

a s

a ds

d at

t L

₍ 2 2₎2 2

a s

as  

2. Tentukan _L{_t2 cos_at}

Menurut sifat di atas, 

  

 

 

 _{2 2 2}

2 2 2_{cos } ( 1)} {

a s

s ds

d at

t L

_   

 

 

 _{2 2 2}

2 2

) (s a

s a ds

d

2 2 3 2 3

) (

6 2

a s

s a s

  

h. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)}f(s) _maka

_

       

0 ) ( )

(

du u f t

t F L

Bukti: Misal

t t F t

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua

bagian, maka diperoleh bentuk

)} ( { )

( )}

( { )} (

{ L G t

ds d s

f atau t

tG L t F

L   _atau

ds dg s

f( )

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh









ds dg s

f( ) .

_



 

s

du u f s

g( ) ( )



_



s

du u f( )

Jadi

_

       

0 ) ( )

(

du u f t

t F L

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan

a. F(t)tcos2t

b. F(t)tsin3t

c. F(t)t(3sin2t 2cos5t)

d. F(t) t2sint 

e. F(t)_(t2 _ 3t_2)sin3t

f. F(t) t3cost 

g. F₍t_{) }t_sin2t

2) Jika















1

,0

1

0,

)(

2

t

t

t

tF

Carilah L{F ''(t)}

3) Diketahui

  

   

1 ,

1 0

, 2 ) (

t t

t t t F

a. carilah L{F(t)}

c. apakah L{F'(t)}sf(s) F(0) _{berlaku untuk kasus ini}

4) Tunjukkan bahwa

_

  _

0 3

50 3 sintdt te t

5) Tunjukkan bahwa

( ) 1 { 2 }

0

2 t

t

u _{L t t e}

s du e u u

L  

  

    

  

 



_

6) Perlihatkan bahwa

a. L e _t e _ss _ab

bt at

      



   

ln

b. 2 2

2 2

ln 2 1 cos

cos

a s

b s t

bt at

L

  

   



 



7) Tunjukkan bahwa:

a.

s s

du u

u L

u ₁

1 ln 1 1

1

0

 

    

 

 _



_



b. Jika L{F(t)}f(s) _maka

2

0 0

1

) ( )

(

1

s s f du u F dt L

t t

     

  

 

6.4 Transformasi Laplace Invers

Definisi

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika

) ( )} (

{F t f s

L  _{maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari}

f(s). Secara simbolis ditulis ( ) 1{ ( )} s f L t

F 

 . 1

L disebut operator

transformasi Laplace invers. Contoh.

1. Karena _e t

s

L 2

2 1

      

 maka

 

2

1 2

1

  

s e

L t

2. Karena t e

s s

L cos 3

3

2 

   

 

 maka



cos 3



2 3

1

 



s s t

L

3. Karena

a at a

s

L ₂ 1 ₂ sinh

   

 

 maka 2 2

1 sinh 1

a s a

at L

     

  

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.

Contoh

t

e t

F 3

1( )



 dan













_

1

1

0

)(

₃

2

t

untuk

e

t

untuk

t

F

_t

Mengakibatkan

3 1 )} ( { )} (

{ 1 ₂

1 1

   



s t F L t F L

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara

sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0tN dan

eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu _L1



_f(_s)



_F(_t)_{, adalah tunggal. Jika tidak ada}

pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.

Nomo r

f(s) 1{ ( )} ( )

t F x f

L 

1.

s

1 1

2.

2 1

s

t

3. 1 _{, 0,1,2,3,...}

1 

 n

sn _n!

tn

4.

a s

5.

2 2

1

a

s 

a at sin

6.

2 2 _a

s s



at cos

7.

2 2

1

a

s  a

at sinh

8.

2 2 _a

s s



at

cosh

9.

2 2 2

2 2

) (s a

a s



 tcosat

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear

Misal c1dan c2adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan )

( 1 s

f dan f₂(s)berturut-turut adalah transformasi Laplace dari

) ( 1 t

F dan F2(t), maka:

)} ( { )} ( { )}

( )

(

{ 2 2

1 1

1 1 2

2 1

1

1 _{c F t c F t L c F t L c F t}

L  

 



{ ( )} { 2 2( )} 1

1 1

1 _{c F t L c F t}

L 

 

{ ( )} { 2( )} 1

2 1

1

1L F t c L F t

c  

 

c₁f₁(s)c₂f₂(s)

Contoh

   

 

 

   

 

 

   

 



  



9 12 9

3 9

12 3

2 1 2

1 2

1

s L s

s L s

s L

   

 

 

   

 



  

9 1 12

9

3 1 ₂

2 1

s L s

s L

3 3 sin 12 3 cos

3 t  t



2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika 1{ ( )} ( )

t F s f

L  _maka

) ( )}

( {

1

t F e a s f

L at

 



t t s

L sinh3

9 1 2 1          maka 3 3 sinh 9 ) 2 ( 1 13 2 ( 1 2 2 1 2

1 _e t

s L s s L t                    

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika 1{ ( )} ( )

t F s f

L  _maka

















a

t

untuk

a

t

untuk

at

F

sf

e

L

as

,0

),

(

)}(

{

1

Contoh t s L sin 1 1 2 1          maka















































3

,0

3

),

3

sin(

9

2

3

1









t

untuk

t

untuk

t

s

e

L

s

4) Sifat pengubahan skala Jika _L1{_f(_s)}_F(_t) _maka

        k t F k ks f

L1{ ( )} 1

Contoh

Karena t

s s L cos 1 2 1         

maka diperoleh 

              3 cos 3 1 1 ) 3 ( 3 2 1 t s s L

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)



 _maka 1_{ ( )_{( )}} 1 _{f(s) (1 ) t F(t)}

ds d L s f

L n n _{ } n n

         Contoh

Karena t

s

L sin2

4 2 2 1         

dan 2 ₍ 2 ₄₎2

4 4 2           s s s ds d

maka diperoleh

t t t t s s L s ds d

L n n

2 sin 2 sin ) 1 ( ) 4 ( 4 4 2 2 2 1 2 1                      

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan

Jika 1{ ( )} ( )

t F s f

L  _maka

t t F du u f L

s

) ( )

(

1 _

   

 



 

Contoh

Karena _e t

s s L s

s

L  

     

 

  

   

 

 3

1 3 1 1 1 1 3 1 ) 1 ( 3

1 1

1

maka

diperoleh 1 `

3 1 )

1 ( 3

1 3

1 0 1

   

        

  

 

 



du _te

u u L

t



7) Sifat perkalian dengan _sn

Jika _L1{_f(_s)} _F(_t) 

 _{maka L} 1_{{sf(s)} F'(t)}

 

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika

f(t) 0, sehingga

) ( ' )} 0 ( ) ( {

1 _{sf s F F t}

L  

) ( ) 0 ( ) ( ' )} ( {

1 _{sf s F t F t}

L   

  _{dengan (t) adalah fungsi delta Dirac}

atau fungsi impuls satuan. Contoh

arena t

s

L sin5

25 5 2 1

    

 





dan sin5t 0 maka

t t

dt d s

s

L (sin5) 5cos5

25 5 2

1 _{ }

   

 





8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka 

_

      

t

du u F s

s f L

0

1 ( ) _{( )}

Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.

Karena t s

L sin2

4 2 2 1

    

 





maka diperoleh



cos2 1



2

1 2

cos 2 1 2

sin )

4 (

2

0 0

2

1 _{ }

   

   

   

 





 _{udu u t}

s s L

t t

9) Sifat konvolusi Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)



 _{dan L} 1_{{g(s)} G(t)}



 _maka

G F du u t G u F s

g s f L

t

* )

( ) ( )} ( ) ( {

0

1 _{  }





F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karena _e t

s

L1 4

4

1 

 _

     

 dan

t

e s

L1 2

2 1

      

 

maka diperoleh t u t t

t

u_{e du e e}

e s

s

L 2( ) 2 4

0 4 1

) 2 )( 4 (

1   

 _{  }

   

 







6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional

) (

) (

s Q

s P

, dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya

) (

) (

s Q

s P

dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai

bentuk , 1,2,3,....

) (

)

( 2 _{ } 



 as bs c dan seterusnya r

B As atau

b as

A

r r

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat ditentukan

   

  

) (

) ( 1

s Q

s P L

Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.

Contoh 1. Tentukan

   

 

 





6 16 3 2 1

s s

s

L

Jawab

   

 

 

 

   

 

 

 



) 3 )( 2 (

16 3 6

16

3 1

2 1

s s

s L

s s

s L

₍ 3₂₎₍16 _{3) 2} _{ 3} 

  



s B s

A s

s s

6 ) 2 ( ) 3 (

2 _{ }

   

s s

s B s

A

6 ) 3 2 ( ) (

2 _{ }

   

s s

A B s B A

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat

A = -2 dan B = 5

   

 

        

 

 

 



3 5 2 2 )

3 )( 2 (

16

3 1

1

s s

L s

s s L

     

 

     

 

  

3 5 4

2 1

1

s L s

L

_2e4t _5e3t

2. Tentukan

   

 

  

 

) 2 2 )( 3 (

1 2 1

s s s

s

L

                        ) 2 2 ( 3 ) 2 2 )( 3 ( 1 2 1 2 1 s s C Bs s A L s s s s L ) 2 2 )( 3 ( ) 3 )( ( ) 2 2 ( 2 2 3 2 2

2 _{  }

         

 s s s

s C Bs s s A s s C Bs s A ) 2 2 )( 3 ( 3 ) 3 ( 2 2 ` ₂ 2 2           s s s C s C B Bs A As As Sehingga                           ) 2 2 )( 3 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) ( ) 2 2 )( 3 ( 1 2 2

2 _{s s s}

C A s C B A s B A s s s s

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 Atau A =

5 4

 _{, B =}

5 4

, dan C =

5 1 Akhirnya diperoleh                                ) 2 2 ( 5 1 5 4 3 5 4 ) 2 2 )( 3 ( 1 2 1 2 1 s s s s L s s s s L                                        1 ) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 1 5 4 ) 2 2 ( 5 1 5 4 3 5 4 2 1 2 1 s s s L s s s s L t e

e t t_cos

5 4 5

4 3 _  



2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh

... )

( ₄3

3 2 2

1 _{  }

  s a s a s a s a s f o

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh

... ! 3 ! 2 ) ( 3 2 2

1   



a at a t at t F o Contoh Tentukan             s e L s 1 1 Jawab

   



 _{   }

           

... ! 3

1 !

2 1 1 1 1

3 2 1

s s s s s e s

=

   

 

 



 ...

! 3

1 !

2 1 1 1

4 3

2 _{s s}

s s

Sehingga

   



 _{   }

          

 

 _...

! 3

1 !

2 1 1 1

4 3 2

1 2

1 1

s s s

s L s

e L

s

₂2_{2 2 2}3 ₂

3 2 1 2 1

1 t t  t

 + ...

3) Metode persamaan diferensial 4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema 6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks 8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka





 _

    

 n

k

t k

k e k

Q P s

Q s P L

1 1

) ( '

) ( )

( )

( 

 

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda 1,2,3

, ... ,nmaka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

n n k k

s A s

A s

A s

A s Q

s P

 



       



 ...

) (

) (

2 2 1 1

...(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-k)dan mengambil s

k



 _{dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh}

   

   

 



 ( )( ) lim ( ) ( )

) ( lim

s Q s s P s

s Q

s P

A k

s k s

k

k k

 

 

        

 ( )lim ( )

lim s Q s s P k s

s k k

            ( ) lim ). ( s Q s P k s k k   

( ) _'1_{( )} s Q P k

 _...

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

n n n k k k s Q P s Q P s Q P s Q P s Q s P                    

 . 1

) ( ' ) ( 1 ) ( ' ) ( ... 1 . ) ( ' ) ( 1 . ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 dengan demikian                         n n n k k k s Q P s Q P s Q P s Q P L s Q s P L             1 . ) ( ' ) ( ... 1 . ) ( ' ) ( ... 1 . ) ( ' ) ( 1 . ) ( ' ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 1 1                                      n n n k k k s Q P L s Q P L s Q P L s Q P L             1 . ) ( ' ) ( ... 1 . ( ' ( .... 1 . ) ( ' ( 1 . ) ( ' ) ( 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 t n n t k k t

t k e n

Q P e Q P e Q P e Q

P    

        . ) ( ' ) ( ... . ) ( ' ) ( ... . ) ( ' ) ( . ) ( ' )

( _{1 2}

2 2 1

1 _{    }





  n k t k k e k

Q P

1 '( ) )

( 

 

9) Fungsi Beta

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) =

_

 _ 

1

0

1 1_{(1 n) du}

um n

a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

1. ( , ) (₍ ) ( ₎)

n m n m n m B      2. ) ( 2 ) ( ) ( ) , ( 2 1 cos sin 2 0 1 2 1 2 n m n m n m B d m m      



      Soal-soal

1. Tentukan, a.         s L 4 12 1 b.          9 5 2 2 1 s s L c.             16 24 4 4 8 3 2 2 1 s s s s L d.             2 3 7 2 3 2 5 1 s s s L e.         3 1 ) 1 (s s L f.           8 4 14 3 2 1 s s s L g.           32 12 20 8 2 1 s s s L h.           2 3 1 1 s s L i.           8 4 3 2 5 2 1 s s s L j.              16 24 4 ) 4

( 52 2

1 s s s s L k.           2 2 1 ) 2 2 ( 1 s s s L l.          ) 4 )( 4 ( 1 2 1 s s L m.         3 2 1 ) 1 ( 1 s L

2. Buktikan bahwa:

a. _e t _e t

s s

s

L 2 2

2

1 _{5 2}

6 16 3             

b. _e t _et s s s L 2 1 2 3 1 1 2 3 1             

c. 2 23

2 1 2 1 2 1 2 7 6

1 t t

e e

s s

s

L _  _ 

        

d. _e t _et _e t

s s s

s

L _{  } 

           2 2 3 5 ) 1 )( 1 2 )( 2 ( 5 2

11 2 2 ₂

1

e. 3 3cos(3)

9 )( 4 ( 12 27 4 2

1 _{e t}

s s s L t             

f. sin(4 ) cos(2 ) sin(2 )

2 1 64 20 24 16 2 4 2

1 _{t t t}

s s

s s

L   

          

g.





t

e t t s s s s L 3 2 1 5 4 sin 3 cos 4 5 1 ) 2 2 )( 3 ( 1               

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa a.           ) 3 )( 2 ( 11 2 1 s s s L b.            ) 3 )( 1 )( 2 ( 27 19 1 s s s s L c.             6 11 6 ( 5 6 2 2 3 2 1 s s s s s L d.           ) 3 )( 2 )( 1 ( 2 2 1 s s s s L

6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial

14 3 2 4 ) 2 3

( 2 _{ }

     s s y s s 2 3 14 3 ) 2 )( 2 3 ( 4 2

2 _{ }

       s s s s s s y 2 2 ) 2 )( 1 ( 24 20 3       s s s s

_{( 2)}2 4 2 4 1 7        s s s

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers               2 1 ) 2 ( 4 2 4 1 7 s s s L Y                             2 1 1 1 ) 2 ( 4 2 4 1 7 s L s L s L

_7ex _4e2x _4xe2x

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk_xn_Y(n)(_x) _sehingga

transformasi Laplace diperoleh









      

 ( 1) ( )

)

( ( )

)

( _{LY x}

ds d x Y x L n m m m n m

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika L{F(t)}f(s) _{maka { ( )}}

 

_{1 f(s)}

 

_{1 f}( )_(s) ds d t F t L n n n n

n _{  }

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) xY ''2Y'xY 0 dengan Y(0) = 1 dan Y(



)= 0 Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:



xY

"

2

Y

'

xY



L

 

0

L









"







2

'











0



L

xY

L

Y

L

xY



(0) '(0)



2( (0)) ( 1) ( ) 0 )

1

(_ 1 2 _{     } 1 _

 y ds d Y sy Y sY y s ds d



1



2( 1) ( 1) ( ) 0 1 2 _{     } 1 _   y ds d sy s y s ds d 0 ) 1 ( ) 1 ( 2 0 1

2 2 _{    }

           ds dy sy ds dy s sy 0 ' 2 2 1 '

2 _ 2 _{    }



 sy s y sy y

1 ' ) 1 ( 2   

 s y

) 1 ( 1 ' ₂     s y

Diperoleh ds s C

s

y  

 



_

arctan

) 1 (

1 2

Karena y 0 _bila

s





_{kita dapatkan} 2

 

c , sehingga

s s

y arctan arctan1

2  

 Akhirnya didapat t t s L

Y arctan1 sin      

 _{, hal ini memenuhi Y(})₌₀

2) Y '' xY'Y 1, dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:



Y

"

xY

'

Y



L

 

1

L









Y

"



L



xY

'



L

 

Y

L

 

1

L











s2y_ sY(0)_ Y'(0)



_ (_1)1 d {sy_ Y(0)}_y_1



2 _ .1_ 2



_ ( _1)_{ }0

 sy y

ds d s y s





s y sy y s y

s2 _{ } 2 _( _ )'_ '_1



s s

y s

sy'_( 2 _1) _{ }2_1



Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:

2 1 2 1 1 ' s s y s s

y    

     _  

Faktor integral persamaan di atas adal 2 2

2 1 2 ln 2 2 1 1 s s s ds s e s e

e    

   



Maka 2 2

2 2

1 2

2

2 _{2 1}

1 s s e s s s y e s ds d                 

Sehingga s e ds

s s e s y s y s



 

 2 2

2 2 ) 1 2 1 ( 1 2 2 2 2 2 1 s e s c s s  

Akhirnya diperoleh y 12t

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut: 1) Y'xY'Y 0dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1

2) xY''(1 2x)Y'2Y 0 _{dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2} 3) xY''(x 1)Y'Y 0 _{dengan Y(0) = 5 dan Y(}

_

_{) = 0} 4) Y ''Y'4xY 0dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0

5) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

c) Persamaan Diferensial Simultan

Soal-soal

Tentukan selesaian dari persamaan berikut: 1) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

8) Transformasi fungsi periodic 9) Sifat f(s) bila s





10) Teorema harga awal 11) Teorema harga akhir

12) Perluasan dari teorema harga awal 13) Perluasan dari teorema harga akhir