Modul H Profesional Layout Matematika Teknik layout 14.08
1
MODUL PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN MATEMATIKA TEKNIK SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN (SMK) TERINTEGRASI PENGUATAN PENDIDIKAN KARAKTER DAN PENGEMBANGAN SOAL KETERAMPILAN BERPIKIR ARAS TINGGI (HOTS) EDISI REVISI 2018 KELOMPOK KOMPETENSI H PROFESIONAL: Trigonometri Penulis: Wahyu Purnama, S.Si, M.Pd. Maya Siti Rohmah, S.Si, M.Pd. Penalaah: Harry Dwi Putra, S.Pd., M.Pd. Prof. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. Desain Grafis dan Ilustrasi: Tim Desain Grafis
Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Copyright © 2018 KebudayaanKATA SAMBUTAN
Peran guru profesional dalam proses pembelajaran sangat penting sebagai kunci keberhasilan belajar siswa. Guru profesional adalah guru yang kompeten membangun proses pembelajaran yang baik sehingga dapat menghasilkan pendidikan yang berkualitas dan berkarakter prima. Hal tersebut menjadikan guru sebagai komponen yang menjadi fokus perhatian pemerintah pusat maupun pemerintah daerah dalam peningkatan mutu pendidikan terutama menyangkut kompetensi guru. Pengembangan profesionalitas guru melalui Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan merupakan upaya Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan melalui Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependikan dalam upaya peningkatan kompetensi guru. Sejalan dengan hal tersebut, pemetaan kompetensi guru telah dilakukan melalui Uji Kompetensi Guru (UKG) untuk kompetensi pedagogi dan profesional pada akhir tahun 2015. Peta profil hasil UKG menunjukkan kekuatan dan kelemahan kompetensi guru dalam penguasaan pengetahuan pedagogi dan profesional. Peta kompetensi guru tersebut dikelompokkan menjadi 10 (sepuluh) kelompok kompetensi. Tindak lanjut pelaksanaan UKG diwujudkan dalam bentuk pelatihan guru paska UKG sejak tahun 2016 dan akan dilanjutkan pada tahun 2018 ini dengan Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan bagi Guru. Tujuannya adalah untuk meningkatkan kompetensi guru sebagai agen perubahan dan sumber belajar utama bagi peserta didik. Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan bagi Guru dilaksanakan melalui Moda Tatap Muka.
Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) dan, Lembaga Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Kelautan Perikanan Teknologi Informasi dan Komunikasi (LP3TK KPTK) merupakan Unit Pelaksanana Teknis di lingkungan Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan yang bertanggung jawab dalam mengembangkan perangkat dan melaksanakan peningkatan kompetensi guru sesuai bidangnya. Adapun perangkat pembelajaran yang dikembangkan tersebut
i adalah modul Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan melalui Pendidikan dan Pelatihan Guru moda tatap muka untuk semua mata pelajaran dan kelompok kompetensi. Dengan modul ini diharapkan program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan memberikan sumbangan yang sangat besar dalam peningkatan kualitas kompetensi guru.
Mari kita sukseskan Program Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan melalui Pendidikan dan Pelatihan Guru ini untuk mewujudkan Guru Mulia karena Karya.
Jakarta, Juli 2018 Direktur Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan,
Dr. Supriano, M.Ed.
NIP 196208161991031001
KATA PENGANTAR
Undang–Undang Republik Indonesia Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen mengamanatkan adanya pembinaan dan pengembangan profesi guru secara berkelanjutan sebagai aktualisasi dari profesi pendidik. Program Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan dilaksanakan bagi semua guru, baik yang sudah bersertifikasi maupun belum bersertifikasi. Untuk melaksanakan Program Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan bagi guru, pemetaan kompetensi telah dilakukan melalui Uji Kompetensi Guru (UKG) bagi semua guru di di Indonesia.
Dengan melihat hasil UKG dapat diketahui secara objektif kondisi guru saat ini, dan data tersebut dapat digunakan untuk meningkatan kompetensi guru tersebut.
Modul ini disusun sebagai materi utama dalam program peningkatan kompetensi guru mulai tahun 2017 yang diberi nama Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan (PKB). Program ini disesuaikan dengan mata pelajaran/paket keahlian yang diampu oleh guru dan kelompok kompetensi yang diindikasi perlu untuk ditingkatkan. Untuk setiap mata pelajaran/paket keahlian telah dikembangkan sepuluh modul kelompok kompetensi yang mengacu pada Standar Kompetensi Guru (SKG) dan indikator pencapaian kompetensi (IPK) yang ada di dalamnya. Demikian pula soal-soal Uji Kompetensi Guru (UKG) telah terbagi atas 10 kelompok kompetensi. Sehingga program Peningkatan Keprofesian Berkelanjutan yang ditujukan bagi guru berdasarkan hasil UKG diharapkan dapat menjawab kebutuhan guru dalam peningkatan kompetensinya.
Sasaran program strategis pencapaian target RPJMN tahun 2015–2019 antara lain adalah meningkatnya kompetensi guru dilihat dari Subject Knowledge dan
Pedagogical Knowledge yang diharapkan akan berdampak pada kualitas hasil
belajar siswa. Oleh karena itu, materi di dalam modul dirancang meliputi kompetensi pedagogi yang disatukan dengan kompetensi profesional yang didalamnya terintegrasi penguatan pendidikan karakter dan pengembangan soal keterampilan berpikir aras tinggi (HOTS) sehingga diharapkan dapat mendorong peserta diklat agar dapat langsung menerapkan kompetensi pedagoginya dalam proses pembelajaran sesuai dengan substansi materi yang diampunya. Disamping
iii dalam bentuk hard-copy, modul ini dapat diperoleh juga dalam bentuk digital, sehingga guru dapat lebih mudah mengaksesnya kapan saja dan dimana saja meskipun tidak mengikuti diklat secara tatap muka. Kepada semua pihak yang telah bekerja keras dalam penyusunan modul program Guru Pembelajar ini, kami sampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya.
Cimahi, Juli 2018
Kepala PPPPTK BMTI,
DAFTAR ISI DAFTAR ISI ................................................................................................................... v DAFTAR GAMBAR ...................................................................................................... vii DAFTAR TABEL .......................................................................................................... viii LAMPIRAN................................................................................................................. viii PENDAHULUAN ............................................................................................................ 1
Latar Belakang ......................................................................................... 1 Tujuan ...................................................................................................... 1 Peta Kompetensi ...................................................................................... 2 Ruang Lingkup ......................................................................................... 3 Saran Cara Penggunaan Modul ............................................................... 4
Kegiatan Belajar 1 Perbandingan Trigonometri ............................................................ 5
Pengantar................................................................................................. 5 Tujuan ...................................................................................................... 5 Indikator Pencapaian Kompetensi ............................................................ 6 Uraian Materi ............................................................................................ 6 Aktivitas Pembelajaran ........................................................................... 29 Latihan dan Tugas.................................................................................. 37 Rangkuman ............................................................................................ 39 Umpan Balik dan Tindak Lanjut .............................................................. 43
Kegiatan Belajar 2: Identitas Trigonometri dan Jumlah Selisih Dua Sudut ................. 45
Pengantar............................................................................................... 45 Tujuan .................................................................................................... 45 Indikator Pencapaian Kompetensi .......................................................... 46 Uraian Materi .......................................................................................... 46
v
Aktivitas Pembelajaran ........................................................................... 59 Latihan dan Tugas .................................................................................. 64 Rangkuman ............................................................................................ 66 Umpan Balik dan Tindak Lanjut .............................................................. 68
Kegiatan Belajar 3 Persamaan Trigonometri Dan Fungsi Trigonometri ...................... 69
Pengantar ............................................................................................... 69 Tujuan .................................................................................................... 69 Indikator Pencapaian Kompetensi .......................................................... 70 Uraian Materi .......................................................................................... 70 Aktivitas Pembelajaran ........................................................................... 77 Latihan dan Tugas .................................................................................. 80 Rangkuman ............................................................................................ 83 Umpan Balik dan Tindak Lanjut .............................................................. 85
PENUTUP ................................................................................................................... 89 EVALUASI ................................................................................................................... 90 GLOSARIUM ............................................................................................................... 94 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................................... 95 LAMPIRAN ................................................................................................................. 96
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Peta Kompetensi Profesional .............................................................. 2 Gambar 2 Segitiga Siku-siku ............................................................................... 7 Gambar 3 Segitiga XYZ ......................................................................................... 8 Gambar 4 Segitiga Dengan Sudut Istimewa ........................................................ 9 Gambar 5 Pemilihan Mode pada Kalkulator ....................................................... 13 Gambar 6 Grafik Sinus ...................................................................................... 14 Gambar 7 Grafik Cosinus .................................................................................. 14 Gambar 8 Grafik Tangen ................................................................................... 14 Gambar 9 Kedudukan Titik P pada Koordinat Kartesius .................................... 16 Gambar 10 Segitiga pada Penurunan Aturan Sinus ........................................... 19 Gambar 11 Segitiga ABC................................................................................... 20 Gambar 12 Segitiga ABC pada Penurunan Aturan Kosinus ............................... 22 Gambar 13 Segitiga ABC dengan Tinggi BD ..................................................... 24 Gambar 14 Segitiga MNO .................................................................................. 25 Gambar 15 Segitiga ABC pada Penurunan Luas segitiga .................................. 26 Gambar 16 Segitiga Siku-Siku ABC, HIJ dan FGH ............................................ 30 Gambar 17 Segitiga ABC................................................................................... 34 Gambar 18 Bangun ABCD ................................................................................. 35 Gambar 19 Koordinat Kutub .............................................................................. 48 Gambar 20 Segitiga ABC................................................................................... 54 Gambar 21 Segitiga BAC Rangkap dengan Segitiga BAD ................................. 62 Gambar 22 Grafik Fungsi y = sin x..................................................................... 73 Gambar 23 Grafik Fungsi y = cos x .................................................................... 74 Gambar 24 Grafik Fungsi y = tan x .................................................................... 74 Gambar 25 Perbandingan Beberapa Fungsi Sinus ............................................ 75
5 sin y x
=
2 Gambar 26 Grafik ........................................................................... 79 vii
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa ................................... 9 Tabel 2 Tabel Trigonometri untuk sin 13 .......................................................... 11 Tabel 3 Tabel Trigonometri untuk cos 322 ....................................................... 12
o
Tabel 4 Tabel Trigonometri untuk tan 77 ......................................................... 12 Tabel 5 Perbandingan Sudut-Sudut yang Berelasi ............................................ 15
LAMPIRAN
Lampiran 1 Perbandingan Trigonometri ............................................................ 96 Lampiran 2 Lembar Kerja Identitas Trigonometri dan Jumlah Selisi Dua Sudut ........................................................................................................................ 111 Lampiran 3 Lembar Kerja Persamaan Trigonometri Dan Fungsi Trigonometri 120 Lampiran 4 Tabel Trigonometri dari 0 sampai 360 ........................................ 125
PENDAHULUAN Latar Belakang
Pengembangan keprofesian berkelanjutan sebagai salah satu strategi pembinaan guru dan tenaga kependidikan diharapkan dapat menjamin guru dan tenaga kependidikan mampu secara terus menerus memelihara, meningkatkan, dan mengembangkan kompetensi sesuai dengan standar yang telah ditetapkan. Pelaksanaan kegiatan PKG akan mengurangi kesenjangan antara kompetensi yang dimiliki guru dan tenaga kependidikan dengan tuntutan profesional yang dipersyaratkan. Guru dan tenaga kependidikan wajib melaksanakan PKG baik secara mandiri maupun kelompok. Khusus untuk PKG dalam bentuk diklat dilakukan oleh lembaga pelatihan sesuai dengan jenis kegiatan dan kebutuhan guru. Penyelenggaraan diklat PKG dilaksanakan oleh PPPPTK dan LPPPTK KPTK atau penyedia layanan diklat lainnya. Pelaksanaan diklat tersebut memerlukan modul sebagai salah satu sumber belajar bagi peserta diklat. Modul merupakan bahan ajar yang dirancang untuk dapat dipelajari secara mandiri oleh peserta diklat berisi materi, metode, batasan-batasan, dan cara mengevaluasi yang disajikan secara sistematis dan menarik untuk mencapai tingkatan kompetensi yang diharapkan sesuai dengan tingkat kompleksitasnya. Untuk mempersiapkan kegiatan PKG dalam bentuk diklat bagi guru-guru matematika diperlukan adanya modul yang tepat sesuai dengan tuntutan dari Permendinas no. 16 Tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dari permendiknas tersebut, standar kompetensi guru yang dikembangkan dari kompetensi profesional memuat tentang trigonometri.
Tujuan
Tujuan penyusunan modul ini adalah agar peserta diklat PKG dapat menguasai konsep trigonometri melalui kegiatan diskusi dengan percaya diri dan dapat menerapkannya dalam bidang keahlian masing-masing.
1
Peta Kompetensi
Pada Gambar 1 berikut dicantumkan daftar kompetensi profesional sesuai dengan Permendiknas Nomor 16 Tahun 2007 tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru yang akan ditingkatkan melalui proses belajar dengan menggunakan modul ini.
20.10.1 Menentukan ukuran suatu segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri.
20.10.2 Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut trigonometri.
20.10.3 Dapat membuktikan suatu identitas trigonometri .
20.10
20.10.4 Menggunakan aturan sinus atau kosinus
Menggunakan untuk memecahkan masalahtrigonometri. trigonometri
20.10.5 Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut trigonometri.
20.10.6 Menyelesaikan persamaan trigonometri trigonometri.
20.10.7 Menggunakan nilai maksimum fungsi trigonometri dalam menyelesaikan masalah trigonometri
Gambar 1 Peta Kompetensi Profesional
Ruang Lingkup
Ruang lingkup dari modul ini berisikan materi tentang:
1. Perbandingan Trigonometri
2. Aturan Sinus dan Kosinus
3. Luas Segitiga
4. Identitas Trigonometri
5. Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri
6. Sudut Rangkap
7. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Sinus dan Kosinus
8. Persamaan Trigonometri dan Grafik Trigonometri
9. Nilai Maksimum atau minimum Fungsi Trigonometri
3
Saran Cara Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu peserta diklat lakukan adalah sebagai berikut:
1. Baca dan pelajari semua materi yang disajikan dalam modul ini,
2. Kerjakan soal-soal latihan dan cocokkan jawabannya dengan Kunci Jawaban yang ada.
3. Jika ada bagian yang belum dipahami, diskusikanlah dengan rekan belajar Anda. Jika masih menemui kesulitan, mintalah petunjuk instruktor/widyaiswara.
4. Untuk mengukur tingkat penguasaan materi kerjakan soal-soal evaluasi di akhir bab dalam modul ini.
5 Kegiatan Belajar 1 Perbandingan Trigonometri Pengantar
Dalam kegiatan ini Anda akan melakukan serangkaian kegiatan untuk mencapai kompetensi berkaitan dengan trigonometri. Kegiatan-kegiatan tersebut akan terbagi dalam beberapa topik, diantaranya adalah:
a. Perbandingan trigonometri, pada bagian ini Anda akan belajar tentang nilai perbandingan trigonometri dalam sebuah segitiga siku-siku, nilai perbandingan trgonometri sudut-sudut istimewa, nilai trigonometri untuk sudut yang lain dengan menggunakan tabel matematika dan kalkulator, perbandingan trigonometri pada sudut-sudut yang berelasi dan hubungan antara koordinat kartesius dengan koordinat kutub.
b. Aturan sinus dan kosinus, pada bagian ini Anda akan belajar tentang aturan sinus, aturan kosinus dan kapan aturan sinus dan kosinus ini dipergunakan.
c. Luas segitiga, pada bagian ini Anda akan belajar tentang bagaimana cara mencari luas segitiga dengan menggunakan aturan trigonometri. Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, Anda diharapkan dapat mengidentifikasi permasalahan di dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan pembelajaran tentang perbandingan trigonometri,aturan sinus dan kosinus dan luas segitiga
Tujuan
Tujuan dari penulisan modul ini adalah:
1. Melalui pengamatan secara kelompok maupun mandiri peserta diklat dapat menentukan ukuran suatu segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri dengan benar dan penuh percaya diri.
2. Melalui diskusi kelompok peserta diklat dapat menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut dengan teliti.
3. Melalui diskusi kelompok peserta diklat dapat menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk memecahkan masalah dengan cermat.
4. Melalui diskusi kelompok peserta diklat dapat menghitung Luas segitiga dengan benar dan penuh percaya diri.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Indikator pencapaian kompetensi yang harus dikuasai setelah mengikuti kegiatan belajar ini adalah, peserta diklat dapat:
1. Menentukan ukuran suatu segitiga dengan menggunakan perbandingan trigonometri dengan benar dan penuh percaya diri
2. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut secara teliti 3. Menggunakan aturan sinus atau kosinus untuk memecahkan masalah.
4. Menghitung luas segitiga dengan benar dan penuh percaya diri
Uraian Materi
Pada kegiatan belajar ini akan dibahas mengenai perbandingan trigonometri, menentukan ukuran suatu segitiga menggunakan perbandingan trigonometri, aturan sinus, aturan kosinus, dan mengubah koordinat kartesius ke koordinat polar dan sebaliknya.
1. Perbandingan Trigonometri
Kata trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon dan metria. Trigonon berarti segitiga dan metria berarti ukuran. Seperti juga arti kata trigonometri, telah kita ketahui bahwa rumus-rumus trigonometri berasal dari perbandingan pada suatu segitiga siku-siku.
Pernahkan Anda melihat penggaris seperti gambar di bawah ini? Apabila pernah, apakah nama bangun datar yang menyerupai penggaris ini? Gambar 1 Penggaris Segitiga
Sekedar mengingatkan kembali perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, perhatikan gambar segitiga berikut.
a c Gambar 2 Segitiga Siku-siku
Di dalam segitiga siku-siku berlaku enam buah perbandingan trigonometri, yaitu
a c a sin a cos ec a a
Sinus , ditulis Kosecan , ditulis
= = c a b c a cos a sec
Kosinus , ditulis a Secan , ditulis a
= = c b a b a tan a a cot a
Tangen , ditulis Kotangen , ditulis
= = b a
Agar mudah diingat, sisi a dinamakan sisi depan, sisi b dinamakan sisi samping, dan sisi c dinamakan sisi miring, sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut:
sisi depan a sisi miring c sin a cos a ec
= = = = sisi miring c sisi depan a sisi samping b sisi miring c cos a sec a = = = = sisi miring c sisi samping b sisi depan a sisi samping b tan a cot a = = = = sisi samping b sisi depan a
Contoh
Diberikan segitiga XYZ siku-siku di Y dengan XY=3 dan YZ=4. Tentukan nilai dari
sin cos tan sin cos tan
, , , , , !
X X
X Z Z Z
7 Jawab: Perhatikan gambar segitiga XYZ berikut.
Gambar 3 Segitiga XYZ Karena XYZ merupakan segitiga siku-siku, maka sisi XZ dapat dicari menggunakan Phytagoras
2
2
2 XZ = +
XY YZ
2 2
3
4
- =
16 = 9 + 25 =
25 XZ =
5 XZ =
4
XY sin sin
3 YZ
X = = Z = =
5
XZ
5 XZ
3
4 XY YZ cos cos
X = = Z = =
5
XZ
5 XZ
4
XY tan tan
3 YZ
X Z = = = =
3
4 XY YZ
a. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
30
45
60
90 Sudut-sudut yang berukuran ° ° ° ° °
, , , , dalam trigonometri disebut sudut istimewa, karena nilai sinus, cosinus dan tangen dari sudut-sudut tersebut dapat dengan mudah dicari. Perhatikan gambar segitiga berikut ini.
2
1
1
1 Gambar 4 Segitiga Dengan Sudut Istimewa Dari gambar 4, untuk sudut nilai
1
1 sisi depan sin
45
2 ° = = =
2
2 sisi miring
1
1 sisi samping cos
45
2 ° = = =
2
2 sisi miring Dan seterusnya, hasil dapat dirangkum dalam tabel berikut.
Tabel 1 Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
90 °
30
45
60 ° ° ° °
1
1
1
3
1 sin
2
2
2
2
1
1
1
3
1
cos
2
2
2
2
1
3
3 tan
1
1
3 Untuk memudahkan memahami konsep sudut istimewa kita dapat menggunakan jari-jari tangan seperti pada gambar berikut ini.
9 Anda telah memperoleh nilai sin dan cos, coba tentukan cara
memperoleh nilai tan dari setiap sudut-sudut istimewa!
b. Nilai Trigonometri untuk Sudut Lain
Kadang kala dalam prakterk di kehidupan nyata, kita dihadapkan pada pengukuran sudut lain yang tidak termasuk dalam sudut istimewa di atas. Sudut-sudut lain tersebut, nilai perbandingan trigonometrinya tidak dapat dihafal seperti hal nya pada sudut istimewa. Ada dua cara yang dapat dilakukan untuk menentukan nilai perbandingan trigonometrinya. Cara pertama yaitu dengan menggunakan tabel matematika dan cara kedua adalah dengan mempergunakan kalkulator.
Cara pertama, yaitu menggunakan tabel matematika sangat mudah. Hal yang perlu dilakukan adalah mencari nilai sudut pada kolom pertama, lalu cari nilai sinus, kosinus atau tangen pada kolom selanjutnya. Tabel matematika dapat dilihat di lampiran 4.
Contoh
Dengan menggunakan tabel trigonometri, tentukanlah nilai perbandingan trigonometri di bawah ini!
sin
13 a.
° cos 322
b.
° tan 77 c.
°
Jawab: Nilai sinus, kosinus dan tangen di atas dicari dengan menggunakan tabel trigonometri.
sin 13 . 2250 a.
° = Tabel 2 Tabel Trigonometri untuk sin 13 cos 322 . 7880 b.
° =
11
Tabel 3 Tabel Trigonometri untuk cos 322 tan
77 1 . 2799 c.
° = o Tabel 4 Tabel Trigonometri untuk tan 77
Cara yang kedua adalah dengan menggunakan kalkulator. Sebelum mencari nilai trigonometri suatu sudut dengan menggunakan kalkulator scientific, alangkah baiknya jika Anda mempelajari terlebih dahulu kalkulator yang Anda miliki. Perhatikan gambar berikut ini untuk mengetahui mode yang biasa ada pada kalkulator scientific
Gambar 5 Pemilihan Mode pada Kalkulator
1) Untuk mencari nilai perbandingan, ketik sin, cos atau tan lalu ketikkan besar sudutnya atau sebaliknya, tergantung dari jenis kalkulator yang Anda miliki. 2) Untuk mencari besar sudut dari nilai perbandingan trigonometri, ketik shift diikuti dengan nilai sin, cos, atau tan. Maksud dari diketikkannya shift adalah mencari nilai balikan dari sin, cos atau tan yang dikenal dengan arcsin, arccos atau arctan (invers dari sin, cos atau tan).
c. Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
Sebelum membicarakan perbandingan trigonometri pada sudut yang berelasi, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah ini.
13
Gambar 6 Grafik Sinus Gambar 7 Grafik Cosinus Gambar 8 Grafik Tangen
Dari gambar grafik di atas, nilai sinus akan bernilai positif di kuadran I dan kuadran
II, nilai cosinus akan bernilai positif di kuadran I dan kuadran IV, sedangkan nilai tangen akan bernilai positif di kuadran I dan kuadran III.
Adapun perbandingan trigonometri dari sudut yang berelasi dituliskan pada tabel berikut ini.
Tabel 5 Perbandingan Sudut-Sudut yang Berelasi sin 90 a cos a ° = cosec (90 - a)° = sec a
- a a
( )
- tan -
cos 90 sin Kuadran I ( ) ° = sec (90 - a)° = cosec a
90 a cot a ° = cot (90 - a)° = tan a ( )
a a
sin 90 cos
- ° = cosec (90 + a)° = sec a
( )
a a
- = + ° tan
cos 90 sin sec (90 + a)° = - cosec a ( )
90 a cot a ° = cot (90 + a)° = - tan a ( )
- Kuadran II
a a
sin 180 sin ( )
- ° = cosec (180 - a)° = cosec a cos 180 a cos a
- ° = sec (180 - a)° = - sec a
( ) tan 180 a tan a - -
( ) cot (180 - a)° = - cot a ° =
- cos 180 a cos a
- sin 180 a sin a ° =
cosec (180 + a)° = - cosec a ( )
( ) sec (180 + a)° = - sec a + ° =
- tan 180 a tan a ° = cot (180 + a)° = cot a
- Kuadran III
( )
a a
sin 270 cos - - ( ) ° = cosec (270 - a)° = - sec a cos 270 a sin a - - ° = sec (270 - a)° = - cosec a
( ) tan 270 a cot a ° = cot (270 - a)° = tan a
- a a
- sin
- tan 360 a tan a
- cot (360 - a)° = - cot a
- a a
- tan 270 a cot a ° = cot (270 + a)° = - tan a
- =
- =
- =
- = ° °
- = - =
- 2 2 2 Û a b sin A cos A c 2 2 2 2 bc cos
- Û a b
- Û a b c
- 2
- 5 cos
- 2
- Û a × =
( )
360 sin ( ) ° = cosec (360 - a)° = - cosec a cos 360 a cos a ° = sec (360 - a)° = sec a
( )
( ) = °
a a
sin 270 cos ° = cosec (270 + a)° = - sec a ( )
a a
cos 270 sin Kuadran IV ( ) ° = sec (270 + a)° = cosec a +
( )
sin sin - - ( ) = cosec (- a)° = - cosec a cos a cos - a = sec (- a)° = sec a
( )
a a
tan tan - - = cot (- a)° = - cot a ( )
Jika kita perhatikan pada tabel di atas, terlihat sinus akan berubah menjadi cosinus, cosinus berubah menjadi sinus, dan tangen berubah menjadi cotangen bila sudut yang
90 270 180 360 berelasi atau . Dan akan tetap jika sudut yang berelasi atau . ° °
° °
Adapun nilai positif atau negatifnya tergantung dari berada di kuadran berapa sudut yang dicari. Sekarang kita coba contoh-contoh berikut ini.
Contoh cos 145
Kita akan menghitung nilai dari . Pertama, perhatikan bahwa letak sudut
° 145
berada pada kuadran II, artinya cosinus bernilai negatif. Ada dua cara yang
° dapat kita lakukan. cos 145 cos 180 35 cos
35 1. ° = ° = °
( ) - -
15 atau 2. cos 145 cos
90 55 sin
55
° = ° = + °
( ) -
Perhatikan bahwa nilai sinus dan nilai cosinus selalu berkebalikan pada dua sudut
90 cos 35 sin
55
yang berjumlah . Artinya, nilai adalah sama dengan nilai
° ° °
2. Hubungan Koordinat Kartesius dengan Koordinat Kutub
Suatu kedudukan titik pada koordinat kartesius, dapat dinyatakan juga dalam koordinat polar. Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 9 Kedudukan Titik P pada Koordinat Kartesius
Titik P pada koordinat kartesius dinyatakan dengan P(a,b) dengan a disebut absis dan b disebut ordinat. Sedangkan pada koordinat kutub, titik P dapat dinyatakan dengan P(r, ) dengan r disebut jari-jari dan disebut sudut kutub.
a. Mengubah koordinat Kartesius menjadi Koordinat Polar
Berikut cara mengubah titik P(a,b) menjadi P(r, ): 1) Cari nilai r dengan menggunakan teorema Phytagoras
2
2 r a b
2) Cari nilai dengan menggunakan perbandingan trigonometri
b a tan a
, nilai didapat dengan cara mencari nilai balikan dari
= a
tangen (arc tan). Atau dapat juga dicari dengan menggunakan balikan
a dari nilai sinus atau kosinus dari sudut .
Contoh:
Bagaimana cara merubah titik P(6,8) menjadi koordinat kutub? Jelaskan jawabanmu! Jawab:
Ø x = a = 6 Ø y = b = 8
a
2
2 a r a b sin
Ø Ø
= r 2 2
6
6
8 =
10
3
64 = = 36 +
5
3 100 a
= arc sin
= o
5
10
a
37 =
=
o
Jadi koordinat kutub dari P(6,8) adalah P(10, 37 )
b. Mengubah Koordinat Polar menjadi Koordinat Kartesius
Berikut cara mengubah titik P(r, ) menjadi P(a,b): 1) Nilai a didapat dengan melihat perbandingan sudut trigonometri, yaitu
r cos a a =
2) Nilai b didapat dengan melihat perbandingan sudut trigonometri, yaitu
r sin a b =
Contoh: o
Bagaimana cara merubah koordinat kutub P(2,120 ) menjadi koordinat kartesius? Jelaskan jawabanmu!
Jawab: Ø r = 2 o
a
= 120 Ø
17
r cos a b 2 sin 120
Ø Ø
a = = ° 2 cos 120
2 sin( 180 60 )
= °
2 sin
60
2 cos( 180 60 ) = ° ° = ° -
1
3
2 ( cos 60 )
=
= × 2 × -
2
1
3 ( ) = 2 - × =
2 = -
1
o
Jadi koordinat kartesius dari P(2,120 ) adalah P(-1, )
3. Aturan Sinus dan Kosinus
Aturan Sinus dipergunakan untuk menentukan unsur-unsur dalam suatu segitiga apabila unsur yang lain telah diketahui. Kemungkinan unsur-unsur yang diketahui adalah sisi, sudut, sudut (ss,sd,sd), sudut, sisi, sudut (sd,ss,sd), atau sisi, sudut, sisi (ss,sd,ss). Sedangkan aturan Kosinus dipergunakan untuk menghitung panjang sisi suatu segitiga jika pada segitiga tersebut diketahui dua sisi yang lain dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut dan menentukan besar sudut dalam sebuah segitiga jika panjang ketiga sisinya diketahui.
a. Aturan Sinus
Untuk menurunkan aturan sinus, kita perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga ABC merupakan segitiga lancip. Garis AQ merupakan garis tinggi pada sisi a, garis BP merupakan garis tinggi pada sisi b, dan garis CR merupakan garis tinggi pada sisi c.
19 Gambar 10 Segitiga pada Penurunan Aturan Sinus
= ) .......... 4 .......( .......... .......... .......... .......... sin sin C b AQ b AQ
C c B b
=
B c c b
) .......... 6 ........( .......... .......... .......... .......... .......... .......... sin sin
=
B = Û
= ) .......... 5 .......( .......... .......... .......... .......... sin sin B c AQ c AQ
C = Û
B a A b = Û
Perhatikan segitiga ACR Lalu perhatikan segitiga BCR
B b A a
) .......... 3 ........( .......... .......... .......... sin sin sin sin
= Û =
B a CR a CR B
= ) .......... 2 ......( .......... .......... .......... .......... sin sin
CR A = Û
) .......... 1 .......( .......... .......... .......... .......... sin sin A b CR b
Persamaan (1) dan (2) diperoleh Sekarang perhatikan segitiga CAQ Pada segitiga BAQ Persamaan (4) dan (5) diperoleh Maka dari persamaan (3) dan (6) diperoleh
A a sin sin sin = =
Contoh
Perhatikan gambar segitiga di bawah ini!
Gambar 11 Segitiga ABC
Berdasarkan gambar di atas, coba Anda tentukan disertai penjelasan:
a) Besar sudut C
b) Panjang sisi a dan sisi c Jawab: o
a. Jumlah besar sudut pada segitiga adalah 180 , maka besar sudut C didapat dari:
Ð C 180 A B = ° - Ð + Ð ( )
Û Ð C 180
60
45 = ° - ° + ° ( )
Û Ð C 180 105 = ° - ° Û Ð C
75 = ° o
Jadi besar sudut c adalah 75 b. Panjang sisi a dan panjang sisi c dicari dengan menggunakan aturan sinus.
Ø Panjang sisi a
a b = sin A sin B Û a
5 = sin 60 sin 45 ° ° Û a sin 60
5 = ° sin 45 ° Û ×
5
1 a
3 =
1
2
2
2 Û a
5
6 =
2
5
a =
6 Jadi, panjang sisi
2
Ø Panjang sisi c
b c = sin B sin C Û c × sin C b
= sin B Û c × sin 75
5 = ° sin 45 ° Û c × sin 90
5
15 = ° - ° ( ) sin 45 ° Û c ×
5 cos15 = ° sin 45
° Û c ´
5 0, 966 =
1
2 Û c
2 6,831 =
21
b. Aturan Kosinus
Aturan kosinus juga diturunkan dari segitiga. Perhatikan segitiga ABC di bawah ini, dimana garis CR adalah garis tinggi terhadap sisi c.
Gambar 12 Segitiga ABC pada Penurunan Aturan Kosinus
Perhatikan segitiga siku-siku BCR, dengan menggunakan teorema Phytagoras, diperoleh
2
2
2 a h BR
= + ..................................................................................................................... (1)
Pada segitiga siku-siku ACR, diperoleh
h b sin A =
.............................................................................................................................. (2) dan
AR b cos A =
.......................................................................................................................... (3) Perhatikan bahwa
BR AB AR c b cos A
........................................................................................... (4) Sehingga ketika (2) dan (4) disubstitusikan ke (1) akan diperoleh 2 2 2
a b sin A c b cos A
=
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
Û a b sin A c 2 bc cos A b cos A 2 = + + 2
= + +
( )
1 c 2 bc cos A 2 = × + 2 2
2 bc cos A =
Dengan cara yang sama, diperoleh 2 2 2
b a c
2 ac cos B 2 2 + = × - 2
c a b
2 ab cos
C
= - × +
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi b = 5, sisi c = 6 dan besar sudut A o = 53 . Hitunglah panjang sisi BC
Jawab: Gunakan aturan kosinus untuk mencari panjang BC 2 2 2
a b c bc A
2 cos = × 2 2 - + 2
6
2
5
6
53 Û a = °
( )( )
4
25
36
60
( )
5
Û a
13 =
13 Û a =
13 Jadi, panjang sisi a adalah
23
4. Luas Segitiga
Pehatikan gambar tenda kemah berikut ini! Salah satu permukaan pada tenda kemah berbentuk segitiga.
Dapatkah Anda menentukan cara memperoleh luas permukaan tenda kemah berbentuk segitiga tersebut menggunakan konsep trigonometri? Apabila Anda tidak dapat memperolehnya, silahkan pahami konsep Luas Segitiga berikut ini! Luas segitiga dapat dicari dengan menggunakan trigonometri ketika dua sisi dan satu sudut yang diketahui atau ketiga sisinya diketahui.
a. Luas segitiga dengan dua sisi dan satu sudut diketahui
Untuk dapat menghitung luas segitiga dengan dua sisi dan satu sudut yang diketahui, perhatikan gambar segitiga di bawah ini
Gambar 13 Segitiga ABC dengan Tinggi BD Segitiga ABC merupakan segitiga sembarang dengan tinggi BD.
Luas segitiga ABC = Perhatikan bahwa , sehingga didapat Dengan cara yang sama, didapat Dan
Contoh 4
Pada segitiga MNO, diketahui sisi n = 6 cm, m = 10 cm. apabila luas segitiga MNO 2 adalah 24 cm , bagaimana cara menentukan nilai sin x? Berikan penjelasan dari jawabanmu!
X°
Gambar 14 Segitiga MNO
Jawab:
1 24 6 10 sin x = ´ ´ ´ °
2
24 30 sin x = ´ °
25
24
x
sin ° =
30
x
sin 0,8 ° =
Jadi , sin x° = 0,8
b. Luas segitiga dengan ketiga sisi diketahui
Adapun untuk mencari luas segitiga yang panjang ketiga sisinya diketahui adalah dengan menggunakan rumus yang didapat dari penurunan rumus sebagai berikut. Perhatikan segitiga ABC berikut
Gambar 15 Segitiga ABC pada Penurunan Luas segitiga
Rumus Pythagoras pada segitiga ADC adalah 2 2 2 x + t = b …… …………. (1) Rumus Pythagoras pada segitiga ADB adalah 2 2 2
(a – x) + t = c 2 2 2 2 a – 2ax + x + t = c …… (2) Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh 2 2 2 a – 2ax + b = c 2 2 2
2ax = a + b – c
27
æ ö ç ÷ ç ÷ è ø 2 2 2 c - (a - 2ab + b ) 2a
1
4a