Modul Matematika Kelas X Trigonometri

MODUL

MATEMATIKA

KELAS X

SEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog

SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan

bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub, 5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku 1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut



dinamakan a Panjang sisi dihadapan sudut  _{dinamakan b} Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c2 _{= a}2 _{+ b}2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah _{180}0 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin  ₌

miring depan

=

c b

b. cos  samping_miring a_c c. tan  _sampingdepan _ab d. cotg  samping_depan _ba e. sec  _sampingmiring _ac f. csc  miring_depan _bc

a

b c

B C

A





Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : Cotg  _

tan 1

 Sec  _

cos 1

 Csc  _

sin 1



Contoh :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut



Jawab :

3 4 tan

5 3 cos

5 4 sin

5 25 3

42 2 2

2

 

 

 

     

b a c b c a

b a c

  

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00_{, 30}0_{, 45}0_{, 60}0_{, 90}0₎

A C

B

3

c 4



450

450

1

2

1

600

300

2

3

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 ₃₀0 ₄₅0 ₆₀0 ₉₀0

Sin 0

2

1

Cos 1

₃

2

1

Tan 0

₃

3

1

Csc t.t 2

Sec 1

₃

3

2

Cotg t.t 3

Contoh : _{ 180}0 Tentukan nilai dari :

1. Sin 00 _{+ Csc 45}0 _{= 0 + 2  2}

2.

3 3 3

3 3 1 3 3 2

3 tan

3 cot 6 sec

 

 

   _g

= 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran 1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif

Ordinat positif

positif x

y Tan

positif r

x Cos

positif r

y Sin

    

    

    

  

A(x,y)

x y r

2. Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif

Ordinat positif

negatif x

y Tan

negatif r

x Cos

positif r

y Sin

     

     

    

  

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV

Sin + + -

-Cos + - - +

Tan + - +

-Csc + + -

-Sec + - - +

Cotg + - +

-Contoh :

Diketahui Sin



= , 5 3



dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai Sec,Csc,Cotg

Jawab : Sin

5 3



 _{, y = 3, r = 5, x =} 52 32 25 9 16 4     

Karena dikuadran II, nilai x = -4 Sehingga : Sec



=

4 5

 , Csc 3 5



 , Cotg

3 4

 



TUGAS I

A(-x,y)

-x y r

Kuadran I Semua + Kuadran II

Sin & Csc +

Kuadran III Tan & Cotg +

Kuadran IV Cos & Csc +

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut



pada tiap gambar berikut :

a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari :

a. Sin600 _{cotg 60}0 _{+ sec 45}0 _{cos 45}0

b. Tan 300 _{+ cos 30}0

c. 2 sin 600 _{cos 45}0

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600_{, seperti gambar berikut.}

Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran

a. Rumus di kuadran I

      Cotg Tan Cos Sin       ) 90 ( sin ) 90 ( cos ) 90 (

b. Rumus di kuadran II       Cotg Tan Sin Cos Cos Sin         ) 90 ( ) 90 ( ) 90 ( atau       Tan Tan Cos Cos Sin Sin         ) 180 ( ) 180 ( ) 180 (

c. Rumus di kuadran III

5 12 5 2 2 Tinggi pohon

Tinggi dani _{10 m}

      Cotg Tan Sin Cos Cos Sin         ) 270 ( ) 270 ( ) 270 ( atau       Tan Tan Cos Cos Sin Sin         ) 180 ( ) 180 ( ) 180 (

d. Rumus di kuadran IV       Cotg Tan Sin Cos Cos Sin         ) 270 ( ) 270 ( ) 270 ( atau       Tan Tan Cos Cos Sin Sin         ) 360 ( ) 360 ( ) 360 (

e Rumus sudut negatif       Tan Tan Cos Cos Sin Sin         ) ( ) ( ) (

f.Rumus sudut lebih dari 3600       Tan k Tan Cos k Cos Sin k Sin       ) 360 . ( ) 360 . ( ) 360 . ( Contoh :

Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin 1200 _{= Sin (90}0 _{+ 30}0₎

= Sin 300

= 3 2 1

Atau

Sin 1200 _{= Sin (180}0 _{– 60}0₎

= Sin 600

= 3 2 1

b. Cos 2250 _{= Cos (270}0 _{– 45}0₎

= -Sin 450

= 2 2 1



Atau

Cos 2250 _{= Cos (180}0 _{+ 45}0₎

= -Cos 450

= 2 2 1



c. Sin 7500 _{= Sin (2.360}0 _{+ 30}0₎

= Sin 300

=

2 1

d. Sin (-2250_{) = - Sin 225}0

= - Sin(1800 _{+ 45}0₎

= - (-sin 450₎

= 2 2 1

TUGAS II

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300

b. Tan (-1200₎

c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :

a. Sin 3000 _{+ Cos 545}0

b. Cos 3900 _{+ Sec 570}0

c. Cotg 7500 _{+ Tan (-60}0₎

3. Sederhanakan a. cos(_Sin(360270 _pp₎)

 

b. _Sincos(₍₁₈₀90 p_p)₎

 

c. 0 ₀ 0 ₀ 0

300 . 210 240 sec . 225 . 120 cos Sec Cos Co Tan

4. Buktikan bahwa

a. 1

) 180 ( ). 90 ( ) 180 ( ). 270 (      p Cos p Cos p Sin p Sin

b. 1

) 90 ( ). 180 ( ) 360 ( ). 180 (       p Cotg p Cotg p Sec p Cos

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2



X2 = (180 – p) + k.360 x2 = (



- p) + k.2



2. Cos x = Cos p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2



X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2



3. Tan x = Tan p

X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.



Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200 _{; 0x360}0

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k = 1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160

b. 2 Cos x = 3 ; 0x3600

Cos x =

1

₂

3

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak

memenuhi)

K = 1 x2 = 330

HP = {30, 330} TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk_0x3600 a. Cos x = Cos 50

b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0

d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0x2

a. 2 sin x = - 2 b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2_{x + Cos}2_{x = 1}

Sin2_{x = 1 – Cos}2_x

Cos2_{x = 1 – Sin}2_x

2. 1 + tan2_{x = sec}2_x

1 = sec2_{x – tan}2_x

Tan2_{x = sec}2_{x – 1}

3. 1 + cotg2_{x = cosec}2_x

1 = cosec2_{x – cotg}2_x

Cotg2_{x = cosec}2_{x – 1}

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan2_{x + 4 = 5 sec}2_{x – 1}

Jawab :

5 tan2_{x + 4 = 5 (sec}2_{x – 1) + 4}

= 5 sec2_{x – 5 + 4}

= 5 sec2_{x – 1 (terbukti)}

Jawab :

3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3 (cos}2_{x + sin}2_x)

= 3 . 1

= 3 (terbukti) D. RUMUS SINUS DAN COSINUS

1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

SinC c SinB

b SinA

a

 

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1, _{ B30}0_{,C 53,1}0_{. Hitunglah c.} Jawab :

SinC c SinB

b

 

SinB bSinC c

=

30 1 , 53 12

Sin Sin

= 12₀._,0₅,8 = 9₀,_,56 = 19,2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46.

2 , 68



B _{. Hitunglah} C

SinC c SinB

b

  _{Sin C =}

65 2 , 68 46Sin b

cSinB



=

65 928 , 0 46x

=

65 710 , 42

= 0,657

A B

C

a

c b

C

 = 41,1

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku : a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bc cos}



b2 _{= a}2 _{+ c}2 _{– 2ac cos}



c2 _{= a}2 _{+ b}2 _{– 2ab cos}



Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 60A 0_.

Hitung panjang BC Jawab :

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bc cos A}

= 52 _{+ 8}2 _{– 2.5.8. cos 60}

= 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40

= 49 a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A

A B

C







A B

C

a b

c D

L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

A C B a

L

sin 2

sin . sin .

2



B C A b

L

sin 2

sin . sin .

2



C B A c

L

sin 2

sin . sin .

2



3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui )

).( ).(

.(s a s b s c s

L   

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ 2

= 10 2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,  A65,B60_.

Tentukan luasnya. Jawab :

55 60 65

180   

C B A c L sin 2 sin . sin . 2  55 sin 2 60 sin . 65 sin . 52  L 82 , 0 87 , 0 . 425 , 0 . 25  L 27 , 11  L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6 )

).( ).(

.(s a s b s c s

L    ) 5 6 ).( 4 6 ).( 3 6 .(

6     L 1 . 2 . 3 . 6  L 6 36  

L cm2

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, 0

46



P

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 _dan

kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 _{dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua}

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.

C

 = 41,1

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku : a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bc cos}



b2 _{= a}2 _{+ c}2 _{– 2ac cos}



c2 _{= a}2 _{+ b}2 _{– 2ab cos}



Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 60A 0_.

Hitung panjang BC Jawab :

a2 _{= b}2 _{+ c}2 _{– 2bc cos A}

= 52 _{+ 8}2 _{– 2.5.8. cos 60}

= 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40

= 49 a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A

A B

C







A B

C

a b

c D

L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

A C B a L sin 2 sin . sin . 2  B C A b L sin 2 sin . sin . 2  C B A c L sin 2 sin . sin . 2 

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

) ).( ).(

.(s a s b s c

s

L   

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ 2 = 10 2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,  A65,B60_. Tentukan luasnya.

Jawab :

55 60 65

180   

C B A c L sin 2 sin . sin . 2  55 sin 2 60 sin . 65 sin . 52  L 82 , 0 87 , 0 . 425 , 0 . 25  L 27 , 11  L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

) ).( ).(

.(s a s b s c

s

L   

) 5 6 ).( 4 6 ).( 3 6 .(

6   

 L 1 . 2 . 3 . 6  L 6 36  

L cm2

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, 0

46



P

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 _dan

kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 _{dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua}

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.