Slide SIF203 Alin5 Inverse
Chapter 4
(2)
Objective
•Mahasiswa mampu menjelaskan Invers matriks
•Mampu menyelesaikan Invers matriks
•Mampu menyelesaikan spl menggunakan invers matriks
(3)
Definisi
•Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan
B = A − 1 ( B sama dengan invers A ).
•Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1.
•Jika tidak ditemukan matriks B, maka A
dikatakan matriks tunggal (singular).
•Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka
(4)
Contoh
•Jika A dan B matriks berodo sama 2x2
AB =
= = I (matriks identitas) BA = = = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A
(5)
Invers Matriks
1. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2 Jika matriks A = dengan det A = ad-bc maka invers dari matris A :
A-1 = 1 (adjoint A) |A|
A-1 =
Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0
d c
b a
c a
b d
bc ad
(6)
Langkah Penyelesaian
1. Elemen-elemen pada diagonal utama
dipertukarkan
2. Tanda elemen-elemen pada diagonal
samping diubah. Jika elemen itu (+)
diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-)
diganti (+)
3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1
dan 2 di atas kemudian dibagi dengan
determinan matriks persegi awal.
(7)
Tentukanlah invers matriks berikut ini.
Jawab: Det A =
Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah
2
4
3
5
A
2 12 10 4 ). 3 ( ) 2 .( 5 2 4 3 5 2 5 24 2 3 22 1 5 4 3 2 2 1 A(8)
1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3 a. Pengertian Minor
Misalkan A adalah matriks persegi berordo tiga yang disajikan dalam bentuk:
Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matrisk A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
(9)
Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari
matriks A, dilambangkan dengan |Mij|
Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.
Contoh:
Diketahui matriks A =
Tentukanlah minor-minor dari matriks A.
3 4
1
4 3
1
3 2
(10)
Jawab:
6
3
.
4
3
.
2
3
4
3
2
1
3
.
1
4
.
1
4
1
3
1
1
4
.
1
3
.
1
3
1
4
1
7
4
.
4
3
.
3
3
4
4
3
21 21 13 13 12 12 11 11
M
adalah
a
Minor
M
adalah
a
Minor
M
adalah
a
Minor
M
adalah
a
Minor
(11)
1 2 . 1 3 . 1 3 1 2 1 1 3 . 1 4 . 1 4 1 3 1 1 3 . 3 4 . 2 4 3 3 2 2 2 . 1 4 . 1 4 1 2 1 0 3 . 1 3 . 1 3 1 3 1 33 33 32 32 31 31 23 23 22 22 M adalah a Minor M adalah a Minor M adalah a Minor M adalah a Minor M adalah a Minor
(12)
b. Pengertian Kofaktor
Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A, maka bentuk (-1)i+j |M
ij| disebut kofaktor dari aij. Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.
Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus
αij = (-1)i+j |M ij|
(13)
Contoh:
Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M
11|= + |M11|
Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M
12|= - |M12|
Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M
13|= + |M13|
Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M
21|= - |M21|
Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M
22|= + |M22|
Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M
23|= - |M23|
Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M
31|= + |M31|
Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M
32|= - |M32|
Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M
(14)
c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3
Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:
Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:
adj A =
Dengan αij adalah kofaktor dari aij
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
33 23
13
32 22
12
31 21
11
(15)
d. Invers matriks berorodo 3 x 3
Misalkan matriks A adalah matriks
berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A dirumuskan dengan aturan:
0
det
det
1
1
adj
A
untuk
A
A
A
(16)
Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.
Jawab:
Jadi matriks A mempunyai invers
0 2
1
1 3
0
1 2
1
A
1
)
0
2
3
(
)
0
2
0
(
2
3
2
1
0
1
0
2
1
1
3
0
1
2
1
det
A
(17)
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:
Determinan menggunakan ekpansi Laplace :
Det(A) = a11 c11 – a12 c12 + a13 c13 = 1 (-2) – 2( 1) + 1(3)
= -1
2
0
2
1
2
3
2
1
3
0
1
0
1
1
0
2
0
2
1
3
21 13 12 11
(18)
3
3
0
2
1
1
1
0
1
1
1
1
3
1
2
4
2
1
2
1
1
0
1
1
1
33 32 31 23 22
(19)
Matriks adjoinnya:
Adj A= =
A-1 = 1/det A. adj A
= 1/-1 =
33 23 13 32 22 12 31 21 11
3
4
3
1
1
1
1
2
2
3 4 3 1 1 1 1 2 2
3
4
3
1
1
1
1
2
2
(20)
Penyelesaian persamaan matriks.
Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:
Penyelesaian persamaan matriks A.X = B
ditentukan oleh X = A-1. B
Penyelesaian persamaan matriks X.A = B,
(21)
Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.
4x + 5y = 17 2x + 3y = 11 Jawab:
Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers
matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.
11
17
3
2
5
4
y
x
(22)
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
X = -2 dan y = 5
2 5 . 2 3 . 4 3 2 5 4 det , 3 2 5 4
maka A
A
4
2
5
3
2
1
1A
5 2 11 17 4 2 5 3 2 1 y x(23)
Contoh 2:
Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:
2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -9 4 i1 - i2 + 2i3 = 8
Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.
(24)
Jawab:
Langkah 1:
Mengubah persamaan dalam bentuk matriks
B I A i i i . 8 9 13 . 2 1 4 3 2 1 1 1 2 3 2 1
35
)
2
6
8
(
)
1
12
8
(
1
2
1
4
1
2
2
1
4
3
2
1
1
1
2
det
A
(25)
Kofaktor- kofaktor dari matriks A 5 2 1 1 2 5 3 1 1 2 5 3 2 1 1 6 1 4 1 2 33 32 31 23 8 2 4 1 2 1 2 1 1 1 7 1 4 2 1 14 2 4 3 1 7 2 1 3 2 22 21 13 12 11
(26)
Matriks adjoin :
I = A-1 . B
I = 1/det A . Adj A . B
5
6
7
5
8
14
5
1
7
A
Adj
(27)
3
;
2
;
4
3
2
4
8
9
13
5
6
7
5
8
14
5
1
7
35
1
3 2 1 3 2 1 3 2 1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(28)
Chapter 5
(1)
Contoh 2:
Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:
2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -9 4 i1 - i2 + 2i3 = 8
Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.
(2)
Jawab:
Langkah 1:
Mengubah persamaan dalam bentuk matriks
B I A i i i . 8 9 13 . 2 1 4 3 2 1 1 1 2 3 2 1
35
)
2
6
8
(
)
1
12
8
(
1
2
1
4
1
2
2
1
4
3
2
1
1
1
2
det
A
(3)
Kofaktor- kofaktor dari matriks A 5 2 1 1 2 5 3 1 1 2 5 3 2 1 1 6 1 4 1 2 33 32 31 23 8 2 4 1 2 1 2 1 1 1 7 1 4 2 1 14 2 4 3 1 7 2 1 3 2 22 21 13 12 11
(4)
Matriks adjoin :
I = A-1 . B
I = 1/det A . Adj A . B
5
6
7
5
8
14
5
1
7
A
Adj
(5)
3
;
2
;
4
3
2
4
8
9
13
5
6
7
5
8
14
5
1
7
35
1
3 2 1 3 2 1 3 2 1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(6)