Slide SIF203 Alin4 Determinan

Chapter 4
Determinan Matriks

Objective
• Mahasiswa mampu menjelaskan
determinan matriks
• Mampu menyelesaikan determinan
matriks menggunakan sifat-sifat matriks

DETERMINAN MATRIKS
 Setiap matriks persegi atau bujur sangkar
memiliki nilai determinan
 Nilai
determinan
dari
suatu
matriks
merupakan suatu skalar.
 Jika nilai determinan suatu matriks sama
dengan nol, maka matriks tersebut disebut
matriks singular.

 Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang
menghubungkan suatu bilangan real dengan
suatu matriks bujursangkar.

NOTASI DETERMINAN
 Misalkan matriks A
merupakan sebuah
matriks bujur sangkar
 Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A)
 Jumlah det(A) disebut determinan A
 det(A) sering dinotasikan |A|

NOTASI DETERMINAN
 Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai
determinannya adalah :
 a11
A 
 a21

a12 

a11
 det( A) 
a22 
a21

a12
a22

 Contoh :
 2 5

A 
 1 3
det( A) 

2 5
1 3

det( A) 6  5 1

det( A) a11 a22  a21a12

METODE SARRUS
 Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai
determinannya adalah menggunakan Metode
Sarrus
 Metode
Sarrus
hanya
untuk
matrix
 a11 a12 a13 


berdimensi
3x3
A  a21
a
 31

a22
a32

a23 
a33 

det( A) a11 a22a33  a12a23a31  a13a21a32  a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12

METODE SARRUS
 Contoh :
  2 2  3


A   1 1 3 
 2 0  1


 Nilai
Determinan
dicari

menggunakan
metode Sarrus
det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1
·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)
= 2 +12+0+6-0-2
= 18

MINOR
 Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij
adalah
determinan
yang
berasal
dari
determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan
baris ke-i dan kolom ke-j.
 Dinotasikan dengan Mij
a13  dari elemen
 a11 a12Minor
 Contoh

a22 aa
23 ₁₁


A  a21
a
 31

 a11

a
A  21
a
 31
a
 41

a22
a32

a12
a22
a32
a42

a23 
a33 

a13
a23
a33
a43

a14 

a24 
a34 

a44 

M 11 

a32

a33

a22
M 11  a32

a23
a33

a24
a34

a42

a43

a44

MINOR
 Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

KOFAKTOR MATRIKS
 Kofaktor dari baris
dituliskan dengan
 Contoh :
Kofaktor dari elemen a11
c23 ( 1) 23 M 23  M 23

ke-i

dan

kolom

ke-j

TEOREMA LAPLACE

 Determinan dari suatu matriks sama dengan
jumlah
perkalian
elemen-elemen
dari
sembarang baris atau kolom dengan kofaktorkofaktornya

TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada
Baris
a13  sebuah matriks A berordo 3x3
 a11 a12 ada
 Misalkan


A  a21
a
 31

a22

a32

a23 
a33 

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
a11 c11 baris
 a12c12 pertama
a13c13
kofaktor
|A| a11 M 11  a12 M 12  a13 M 13
a22
a11
a32

a23
a21
 a12
a33
a31

a23
a21
 a13
a33
a31

a22
a32

TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor
baris kedua
|A| a 21c 21  a 22 c 22  a 23c 23
a 21 M 21  a 22 M 22  a 23 M 23
a12
a 21
a 32

a13
a11
 a 22
a33
a31

a13
a11
 a 23
a33
a 31

a12
a32

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor
baris ketiga
|A| a31c31  a32 c32  a33c33
a31 M 31  a32 M 32  a33 M 33
a12
a31
a 22

a13
a11
 a32
a 23
a 21

a13
a11
 a33
a 23
a 21

a12
a 22

TEOREMA LAPLACE
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada
Kolom
a13  sebuah matriks A berordo 3x3
 a11 a12 ada
 Misalkan


A  a21
a
 31

a22
a32

a23 
a33 

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi
a11 c11 kolom
 a 21c 21 pertama
a31c31
kofaktor
|A| a11 M 11  a 21 M 21  a31 M 31
a 22
a11
a 32

a 23
a12
 a 21
a 33
a32

a13
a12
 a31
a33
a 22

a13
a 23

TEOREMA LAPLACE
 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor
kolom kedua
|A| a12 c12  a 22 c 22  a32 c32
a12 M 12  a 22 M 22  a32 M 32
a 21
a12
a31

a 23
a11
 a 22
a 33
a31

a13
a11
 a32
a33
a 21

a13
a 23

 Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor
kolom ketiga
|A| a13c13  a 23c 23  a33c33
a13 M 13  a 23 M 23  a33 M 33
a 21
a13
a31

a 22
a11
 a 23
a32
a 31

a12
a11
 a33
a32
a 21

a12
a 22

DET MATRIKS SEGITIGA
 Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar
berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka
nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks
tersebut
det( A) a11 a 22 a33 dst
 Contoh
det( A) 2 ( 3) 6 9 4  1296

Latihan , dengan menggunakan minor-kofaktor tentukan Determinan :

  2 2  3


A   1 1 3 
 2 0  1



REFERENSI
1. Discrete
Mathematics
and
its
Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw
Hill; sixth edition; 2007
2. http://p4tkmatematika.org/
3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Chapter 4
Determinan Matriks