Slide SIF203 Alin2 Matriks

ALJABAR LINIER
WEEK 2. MATRIKS

Aljabar linier #2. Matriks

1

Objective
• Mahasiswa mampu menjelaskan matriks
• Mahasiswa mampu menggunakan notasi matriks
• Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan 2
matriks

Aljabar linier #2. Matriks

2

DEFINISI MATRIKS
Matriks adalah : kumpulan bilangan yang disajikan secara 
teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi 
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang
mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya,
vektor, serta transformasi linear. Matriks dan
operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat
dengan bidang aljabar linear.

Aljabar linier #2. Matriks

3

Notasi Matriks
Nama matriks menggunakan huruf besar
Anggota­anggota matriks dapat berupa huruf kecil maupun angka
Digunakan kurung biasa atau kurung siku

  1 3 2

A 
 5 7 6

a b
H   d e
 g h

c
f 
i 

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis 
horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam 
matriks tersebut. 
Aljabar linier #2. Matriks

4

Notasi Matriks
Jadi,  suatu  matriks  yang  mempunyai  m  baris  dan  n  kolom  disebut 
matriks berordo atau berukuran m x n.
Notasi A = (aij)
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

    
 a11 a12 a13 ... a1n 

 Dengan
 a21 a22 a23 ... a2 n   i = 1,2,...,m
A = a
a32 a33 ... a3n   j = 1,2,...,n
31


...
... ... ... 
 ...
a

a
a
...
a
m2

m3
mn 
 m1
Aljabar linier #2. Matriks

5

Matriks
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

1 4 
3 1 

A 
2 1 


6

1




Bilangan­bilangan  yang  terdapat  dalam  sebuah  matriks  dinamakan 
entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
Aljabar linier #2. Matriks

6

Baris

Notasi matriks
 a11 a12  a1n 
a

a

a
21
22

2n 

A
 
  


 am1 am 2  amn 
Kolom

Unsur Matriks

Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n
Aljabar linier #2. Matriks

7

Matriks Baris dan Kolom
 Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu

baris

C 1 2 1 4
 Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.

1
E  3
 4

Aljabar linier #2. Matriks

8

Penjumlahan Matriks
 Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya
sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat

ditambahkan.
 a11
A   a 21
 a31

 b11 b12
B  b21 b22
b31 b32

a12 a13 
a 22dan
a 23 
a32 a33 

 a11  b11
A  B   a 21  b21
 a31  b31

a12  b12
a 22  b22

a32  b32

b13 
b23 
b33 

a13  b13 
a 23  b23 
a33  b33 

Aljabar linier #2. Matriks

9

Penjumlahan Matriks
 Contoh Soal
4 2
A   1 3 
 2  2

 3  4
B   2 1 
1  2

2 4 
 43
A  B    1  2 3  1 
 2  1  2  2

 7  2
A  B 1 4 
 3  4

Aljabar linier #2. Matriks

10

Pengurangan Matriks
 A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama,
maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan

mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian
dalam kedua matriks tersebut.
 Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
dikurangkan.
 a11
A   a 21
 a31

a12 a13 
a 22dan
a 23 
a32 a33 

 a11  b11
A  B   a 21  b21
 a31  b31

a12  b12
a 22  b22
a32  b32

 b11 b12
B  b21 b22
b31 b32

b13 
b23 
b33 

a13  b13 
a 23  b23 
a33  b33 

Aljabar linier #2. Matriks

11

Pengurangan Matriks
 Contoh :

 1 0  1
A   2 2  3
 3 4 0 

 1 1 1
B    1 2 4
 3 4 2

1  1 0  1  1  1 
A  B   2  1 2  2  3  4
3  3 4  4 0  2 
 0  1  2
A  B   3 0  7
0 0  2
Aljabar linier #2. Matriks

12

Penjumlahan k buah matriks
• Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang
berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya
adalah k kali elemen A yang seletak.
• Definisi: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah
matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan
setiap elemennya dengan k.
• Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh
dari A dengan cara mengalikan semua elemennya
dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0.
Aljabar linier #2. Matriks

13

Asosiasiatif dan Komutatif dalam
penjumlahan matriks
• Hukum yang berlaku dalam penjumlahan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
• Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks
B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C
= [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... +
aip bpj
Aljabar linier #2. Matriks

14

Kesamaan 2 matriks
 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A
dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama
(berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di
dalamnya sama.
 aij = bij dimana
- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
 A= B

 2 4
A 

 0 1

dan

 A≠ B

 2 4 2
A 

0 1 5

dan

 2 4
B 

 0 1

1 4
B 

3 1 

Aljabar linier #2. Matriks

15

Kesamaan 2 Matriks
• Bila dua matriks di atas
dinyatakan sama, maka berlaku
:
a = p; b = q; c = r
d = s; e = t; f = u
g = v; h = w; l = x

Aljabar linier #2. Matriks

16

Latihan
Jika diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini, maka
tentukanlah hubungan antara B + A dan A + B.

Pembahasan :
Sudah sangat jelas bahwa pada operasi penjumlahan
matriks berlaku sifat komutatif sehingga B + A = A + B.
Aljabar linier #2. Matriks

17

Latihan
Sebuah matriks P ordo 2 x 2 memenuhi persamaan
seperti di bawah ini, tentukanlah matriks P.

Pembahasan :
Misalkan elemen-elemen matriks P adalah a, b, c, dan d

Aljabar linier #2. Matriks

18

Latihan
7 - 3a = -5  ---> -3a = -12 ---> a = 4
1 - 3b = 10 ---> -3b = 9 ---> b = -3
-4 - 3c = 8 ---> -3c = 12 ---> c = -4
3- 3d = 9 ---> -3d = 6 ---> d = -2
Jadi matriks P adalah :

Aljabar linier #2. Matriks

19

Latihan
Tentukanlah nilai x dan z yang memenuhi persamaan matriks
berikut ini :

Pembahasan :
-1 + 6 = 2 + 2x
5 = 2 + 2x
3 = 2x
x = 3/2
3+2=3+z+1
5=4+z
z=1
Aljabar linier #2. Matriks

20

Latihan

Pembahasan :
-a +: 3 = 10 ---> a = -7
Diketahui persamaan matriks sebagai berikut
c - 2 + 10 = -6
c=-6-8
c = -14
Tentukanlah nilai a, b, c, dan d.

b + 4 + b + c = -6
2b + c = -10
2b - 14 = -10
2b = 4
b=2
2d + d = b - 2
3d = 2 - 2
d=0
Aljabar linier #2. Matriks

21

Te r i m a k a si h

Aljabar linier #2. Matriks

22