Pertemuan XI: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Variabel 2 atau Lebih) II
CATATAN KULI AH
Pe r t e m u a n X I : Opt im a si Ta n pa Ke n da la da n
Aplik a sin y a ( Fu n gsi de n ga n V a r ia be l 2 a t a u Le bih ) I I
A. Fu n gsi Tu j u a n de n ga n Le bih da r i D u a V a r ia be l
- Bentuk Um um Fungsi 3 Variabel : z= f(x
- =
1
3
2
2
2
3
3
1
3
2
3
2
2
1
2
1
1
2
3
=
1
3
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
1
3
H H = | |
1 x x H f =
1 | |
1
H =
2 x x x x x x x x f f f f
1 | |
1
1
2
2
1
2
2
1 dx dx dx f f f f f f f f f dx dx dx z d x x x x x x x x x x x x x x x x x x
1
1
2
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎢ ⎢ ⎣ ⎡
, x
- Diferensial Total Orde Dua m enghasilkan determ inan Hessian yang sim et ris:
3
1
3
2
1
2
2
2
3
1
1
3
2
3
3
) Diferensial Tot al Orde Sat u: Diferensial Tot al Orde Dua:
3
, x
2
2
1 | | x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f f f H =
1
2
2
3
1
2
3
= = = f f f
> > > H H H o sem ua m inor ut am a diuj i pada t it ik st asioner dim ana:
1
3
[ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢
z definit posit if ( m inim um ) bila : | | | | | |
2
< > < H H H o d
1
2
3
z definit negat if ( m aksim um ) bila : | | | | | |
2
Yang m inor ut am anya adalah: Sehingga syarat cukup orde kedua unt uk t it ik ekst rem dari z adalah: o d
1 dx f dx f dx f dz x x x
B. Pe n e r a pa n Ek on om i
- Perm asalahan Perusahaan Multiproduk • Contoh 1: Asum sikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan Persaingan sem purna. Karena berada dalam persaingan sem purna, harga- harga kedua kom odit i dianggap eksogen. Misalkan harga t ersebut dinot asikan
P d an P dengan
10
20 Jika P =
12 dan P = 18, Berapa kuantitas * Q *, Q yang memaksimal kan Laba, dan
10
20
1
2
- jumlah Laba nya .
π
- Fungsi pendapat an perusahaan: R = P Q P Q ,
10
1
20
2 Dim ana Q dan Q , adalah t ingkat out put produk 1 dan produk 2
1
2
2
2 Fungsi biaya perusahaan: C =
2 Q
1
1
2
2
2 Q Q Q + +
2
2
= R C = P Q P Q − + + +
- 2 Q Q Q
2 Q Maka fungsi Labanya: π
10
1
20 2 (
1
1
2 2 )
Derivat if orde pert am anya: ∂ ∂
π π
P
4 Q Q , P Q
4 Q = − − = = − − =
10
1
2
20
1
2
∂ Q ∂ Q
1
1 Dalam bent uk m at riks didapat : − 4 −
1 Q − P ⎡ ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 10 ⎤
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 1 −
4 Q − P
2
20 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
4 1 − P Q 1 ⎡ ⎤ ⎡ 10 ⎤ ⎡ 1 ⎤
=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
15 1 − 4 − P Q20
2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Didapat :
4
4 P − P P − P
10
20
20
10 Q = =
, Q
1
2
15
15 Sehingga: 4 ( ) 12 −
18 4 ( ) 18 − * 12 *
Q
2 , Q
4 = = = =
1
2
15
15
2
2
= + + + R C = - P Q P Q −
2 Q Q Q
2 Q π
10
1
20
2
1
1
2
2 ( )
2
- 12
= +
2 18 ( 4 ) −
2 2 −
2 4 −
2 4 =
24 72 − 8 − 8 − 32 =
- 2
48 π ( ) ( ) ( ) ( )
− 4 −
1 ⎡ ⎤
Penguj ian t it ik ekst rem : Mat riks Hessian H = ⎢ ⎥
− 1 −
4 ⎣ ⎦
− 4 −
1 H = =
15 H = − 4 negative definite, → max.
1
− 1 −
4
- Contoh 2: Asum sikan suatu perusahaan dengan dua produk berada pada keadaan Persaingan sem purna. Karena berada dalam persaingan sem purna, harga- harga kedua kom odit i dianggap eksogen. Misalkan harga t ersebut dinot asikan dengan P d an P . Dengan :
10
20
2
2 R = P Q P Q , C =
2 Q
10
1
20
2
1
2
2 Q
+ +
2 R C P Q P Q
- 10
2 Q
- 2
1
20
2
1
2 Q = = − + π ( )
2 Derivat if orde pert am anya:
∂ ∂ π π
= P −
4 Q = , = P −
4 Q =
10
1
20
2
∂ Q ∂ Q
1
1 P P 10 *
20
- Q = , Q =
1
2
4
4
2
2
⎛ ⎞
P P P P
10
20 ⎛ ⎞ ⎛
10 * 20 ⎞⎜ ⎟ P
2
2 = P − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +
π
10
20
⎜ ⎟
4
4
4
4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
2
2
2
2 ( ) P 2 ( ) ( ) ( ) P P P
1
10
20 10 *
20
2
2
= − − = P P + + π
10
20 ( )
8
8
8
8
8 Penguj ian t it ik ekst rem :
2
2
2
∂ ∂ ∂ π π π
= − 4 , = − 4 =
2
2
∂ Q ∂ Q ∂ Q ∂ Q
1
2
1
2
−
4
16 4 negative definite, maximum
H = = H = − →
1
−
4
- Diskrim inasi Harga Jika perusahaan m onopolist ic m enj ual sat u j enis produknya ke dalam dua at au lebih pasar yang t erpisah, m aka harus dit ent ukan j um lah out put Q yang dit aw arkan ke m asing- m asing pasar agar Laba m enj adi m aksim um . Pada um um nya, set iap pasar m em punyai kondisi perm int aan yang berbeda, dan bila elast isit as perm int aan berbeda dalam berbagai pasar, m aksim asi Laba m em erlukan prakt ik Diskrim inasi Harga.
Cont oh 1: Suat u perusahaan m onopoli yang m em produksi 2 m acam produk m em punyai fungsi perm int aan unt uk m asing- m asing produk sebagai berikut :
D : p =
36 − 3 q
1
1
1 D : p =
40 − 5 q
2
2
2
2
2 Fungsi biaya t ot alnya:
2
3 C = + + q q q q
1
1
2
2 Tent ukan kuant it as dan harga dari m asing- m asing produk yang
m em aksim um kan laba unt uk m onopolis t ersebut dan hit ung berapa laba m aksim um nya? Jawab:
π = TR – TC = ( p
- 1 q 1 + p
2 q 2 ) – C
2
2
= 36q
1 – 4q 1 + 40q 2 – 8q 2 – 2q 1 q
2 Turunan pert am a:
π
q1 = 18 - 4q 1 – q 2 = 0
π = 20 - 8q – q = 0
q2
2
1 Diperoleh q = 4 dan q = 2
1
2 Unt uk m enent ukan m aksim um at au m inim um , gunakan t urunan
kedua. π = - 8, π = - 2, π = - 16 ;
q1q1 q1q2 q2q2
2
π q1q1 . π - q1q2 π q1q2 = 124
2 Karena π < 0, π < 0, dan π . π π > 0, m aka - q1q1 q2q2 q1q1 q1q2 q1q2
t erbukt i bahw a produksi q
1 = 4 unit dan q 2 = 2 unit m enghasilkan keunt ungan m aksim um bagi perusahaan.
- p = 24 dan p = 30
1
2 Harga produk 1 = 24 dan Harga produk 2 = 30.
π m aksim um = 112. * Cont oh 2: Misalkan perusahaan m onopolist ik m em punyai fungsi pendapat an rat a- rat a pada 3 pasar yang berbeda sbb: Harga ( P) sebagai fungsi dari kuant it as ( Q)
P =
63
4Q P = 105
5Q - P =
75
6Q - -
1
1
2
2
3
3 Fungsi pendapat an sebagai perkalian Harga ( P) dengan
Kuant it as ( Q) , didapat :
2 R = P Q =
63Q
4Q , -
1
1
1
1
1
2 R = P Q = 105Q -
5Q ,
2
2
2
2
2
2 R Q
75Q
- 3
6Q = P =
3
3
3
3 Dan Fungsi biaya t ot alnya :
C
20
15 Q , Q Q Q Q ,
= = + + +
1
2
3 Fungsi profit :
= R ( ) Q R ( ) Q R ( ) Q − + + C ( Q ) π
1
1
2
2
3
3
= ∂ π / ∂ Q = 63 −
8 Q − 15 = 48 −
8 Q = Q = 6 , P =
39 π
1
1
1
1
1
1
/ 105
10
15
90
10 9 ,
60 = ∂ π ∂ Q = − Q − = − Q = Q = P =
π
2
2
2
2
2
2
= ∂ ∂ / Q = 75 −
12 Q − 15 = 60 −
12 Q = Q = 5 , P =
45 π π
3
3
3
3
3
3
- Jadi didapat Q =
20 dan Laba maksimum adalah:
234 540 245
R = R = R =
1
2
3
R 1019 C 340 679
= = = π
Unt uk m elihat im plikasi dari kondisi ini berkait an dengan diskrim inasi harga, dihit ung pendapat an m arj inal sbb :
R = P Q i i i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ dR dQ dP dP Q
1
1
1 MR = = + + P Q = P = P i i i i i
- i i i i i
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ dQ dQ dQ dQ P ε i i i i i di
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Di m ana ε : nilai elastisitas perm intaan dalam pasar ke-I
di
( biasanya negat if) . Unt uk kasus di at as :
dP dP dP
1
1
1
= − 4 = − 5 = −
6
dQ dQ dQ
1
1
1
39
1
60
1
45
1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = 1 . 625 , = = 1 . 33 , = = 1 .
5 ε ⎜ ⎟ ε ⎜ ⎟ ε ⎜ ⎟
d 1 d 1 d
1
6
4
9
5
5
6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Æ Syarat Orde pert am a = = = M C = M R = M R = M R
π
1 π
2 π
3
1
2
3 Karena :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1 ⎜ ⎟
1 MR = P = P −
- 1
i i i
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟
ε ε
di di
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Maka syarat orde pert am a m enj adi : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1
1
1 P − = P − = P −
1
2
3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ε ε ε
d 1 d 2 d
3
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
39 1 − =
60 1 − =
45 1 − =
15 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 . 625
1 .
33 1 .
5 Fungsi Produksi : ( ) b a Q Q , = Am bil derivat if t ot alnya, m aka isokuannya adalah:
Q dengan P e Q P P e Q P
Q dengan P e Q P P e Q P
3. Proses produksi m em but uhkan t t ahun unt uk selesai , sehingga pendapat an ( fut ure) harus didiskont okan sebelum dapat dibandingkan dengan biaya sekarang ( present )
1
→ < > <
− −
− =
= = = = = = − = − =
− = = − =
= − = = − =
H H H Q Q Q
Asum sikan
1. Dua input a dan b digunakan dalam produksi produk Q
2. Harga dari out put P dan harga- harga input P a dan P b
4. Tingkat diskont o adalah i Fungsi Biaya C dan fungsi pendapat an R:
2
( ) rt b a
Q e b a P R bP aP C
−= + = , Jadi Fungsi Labanya:
( ) ,
π
b a rt
Q bP aP e b a P C R − − = − =
−
Am bil derivat if parsialnya :
π π b a
> = = − = > = = − =
− − − − b b rt b b rt b a a rt a a rt a
1
2
Penguj ian t it ik ekst rem max. definite, negative , , ,
48 π
12
10
8 π π π π π π
12 π
10 π
8 π
12
60 π
10
90 π
8
1
3
2
32
23
31
13
21
12
33
22
11
3
- Keputusan I nput dalam Perusahaan Variabel pilihan dari perusahaan j uga bisa t im bul dalam bent uk t ingkat input , selain t ingkat out put Q i
= + dQ Q da Q db =
a b db − Q − MPP
a a
= =
da Q MPP b b
Not e: MPP = Marginal Physical Product / Produk Fisik Marj inal Unt uk m endapat kan Q & Q > , m aka m em bat asi input pilihan
a b
hanya pada bagian dengan kem iringan negat if pada isokuan t ersebut sehingga t iap isokuan dapat dianggap sebagai fungsi b = (a)
φ Syarat Orde Kedua unt uk Laba m aksim um :
rt rt
− −
P Q e P Q e aa ab
H dan
= > rt rt
− −
P Q e P Q e ab bb−rt H = P Q e <
1 aa
Maka syarat t ersebut t erpenuhi j ika:
Q < dan
aaQ Q Q Q
>
aa bb ab ab
Q Q QNot e: adalah laj u perubahan dari dim ana konst an
aa a b
C. Aspe k St a t is Kom pa r a t if da r i Opt im a si
- I de utam a: untuk m engetahui ‘bagaim ana perubahan pada sem barang param et er akan m em pengaruhi posisi ekuilibrium pada m odel, yang berkait an dengan nilai opt im al dari variabel pilihan’
- Pem ecahan Bentuk Ringkas (reduced-form )
Pada Perm asalahan Perusahaan Mult iproduk Cont oh 1, P d an P : harga- harga kedua kom odit i bersifat eksogen.
10
20 Tingkat out put opt im al dinyat akan dalam param et er eksogen
t ersebut :
4 P − P
4 P − P
10
20
20
10
,
Q = Q =
1
2
15
15 Diferensiasi parsial dari solusi opt im al t ersebut akan m em berikan sifat - sifat st at is kom parat if dari m odel t ersebut :
- Q
∂
4 ∂ Q 1 ∂ Q 1 ∂ Q
4
1
1
2
2
= , = − , = − , = ∂ P 15 ∂ P 15 ∂ P 15 ∂ P
15
10
20
10
20 JADI dapat disim pulkan: unt uk m em aksim alkan laba, set iap produk sebaiknya diproduksi dalam j um lah besar j ika harga naik at au bila harga pasar produk lain t urun.
- Model Fungsi Um um (general-function m odels) Pada Keput usan I nput dalam Perusahaan , asum sikan Q > 0.
ab
Berapa banyak param et er pada m odel t ersebut ? Fungsi Labanya:
rt −
= R − C = P Q ( ) a , b e − aP − bP π a b
Derivat if parsialnya :
rt rt − −
= P Q e − P = P Q e = P dengan Q > π a
a a a a a
rt rt− − = P Q e − P = P Q e = P dengan Q > π b b b b b b
- rt - 1
Dalam m odel diskrit : e = ( 1 + i ) Sehingga: F
1 ( a, b; P , Pa , Pb , i ) = P Qa( a, b) ( 1 + i ) - 1 – Pa = 0
F
2 ( a, b; P , Pa , Pb , i ) = P Qb( a, b) ( 1 + i ) - 1 – Pb = 0
Jadi t erdapat em pat param et er ( P , Pa , Pb , i ) Selanj ut nya cari ( ∂a* / ∂i ) and ( ∂b* / ∂i ) , dan apa int erpret asi ekonom inya?
a = a ( P , P , P , i )
a bb = b ( P , P , P , i ) a b
−
1 P Q ( a , b )( 1 i ) − P ≡ a a
- 1 *
P Q ( a , b )( 1 i ) − P ≡ b b
- −
Derivat if orde keduanya:
1 * *
1
1
2 − − − −
P Q ( 1 i ) da P Q ( 1 i ) db = − Q ( 1 i ) dP dP P Q ( + + + + + 1 i ) di aa ab a a a
1
1 * *
1
2 − − − −
P Q ( 1 i ) da P Q ( 1 i ) db = − Q ( + + + + + + + 1 i ) dP dP P Q ( 1 i ) di ab bb b b b
Dalam bent uk m at riks:
− 1 −
1 −
1 −2 ⎡ (
- 1 ) (
1 ) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ( 1 ) ( 1 ) ⎤
P Q i P Q i da − Q i dP dP P Q i di
aa ab a a a+ + + + + +
= ⎢ − 1 −
1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −
1 − * 2 ⎥( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
P Q i P Q i db − Q i dP dP P Q i di
+ +ab bb b b b
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Misalkan hanya variabel eksogen I saj a yang bervariasi m aka:
1
1
- aa ab a
2 − − −
⎡ P Q ( 1 i ) P Q ( 1 i ) ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡ P Q ( + + + 1 i ) ∂ i ⎤ ∂
= ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥
− − −
- P Q (
1 i ) P Q ( 1 i ) b P Q ( 1 i ) ∂ i ab bb b
- ∂
⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Jika ∂i ≠
1
2 − − −
- 1 i ) P Q (
⎡ P Q ( + +
1 i ) ⎤ ⎡ ∂ a ∂ i ⎤ ⎡ P Q ( 1 i ) ⎤ aa ab a
- 1
= ⎢ 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
2 − − −
- P Q (
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 i ) P Q ( 1 i ) ∂ b ∂ i P Q ( + + + 1 i ) ab bb b
Dengan at uran Cram er:
− −
2
1
( 1 ) ( 1 )
P Q i P Q i
a ab A = a
−
2 −
1
( 1 ) ( 1 )
P Q i P Q i b bb
1
1 − − P Q (
1 i ) P Q ( 1 i )
aa ab J =
1
1 − − P Q (
1 i ) P Q ( 1 i )
ab bb
3 −
( Q Q − Q Q ) P (
- a ⎞ a bb b ab
1 i ) ⎛ ∂
- 2
= < ⎜⎜ ⎟⎟
∂ i J ⎝ ⎠
- a
∂
Jika Q 0, maka > <
ab
∂ i I nt erpret asi: kuant it as dari input akan m enurun ket ika t ingkat diskont o ( i ) m eningkat . Selanj ut nya ket ika t ingkat diskont o ( i ) m eningkat , nilai uang sekarang ( present ) dari out put P m enurun, yang m engurangi perm int aan im plisit ( MVP) unt uk input a dan b.
Lat ihan:
1. Suat u peusahaan dengan dua produk m enghadapi fungsi perm int aan dan biaya sbb: Q1 = 40 – 2 P1– P2 Q2 = 35 – P1 – P2
2
2 C = Q1 + 2 Q2 + 10
A. Carilah t ingkat out put yang m em enuhi syarat cukup orde pert am a unt uk laba m aksim um ? B. Periksa syarat cukup orde kedua. Dapat kah anda m em ut uskan bahw a persoalan ini m em iliki m aksim um m ut lak yang unik?