Matematika u geodezij

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♥❛ ♦s❛♠ ♣♦❞r✉↔❥❛✱ ✏♦❦t❛♥❛t❛✑✱ ♦♠❡➒❡♥✐❤ s ♦❞❣♦✈❛r❛❥✉➣✐♠ ❞✐❥❡❧♦✈✐♠ r❛✈♥✐♥❛✳ Pr✈✐ ♦❦t❛♥t
❥❡ ♦♥❛❥ ❣❞❥❡ s✉ s✈❡ tr✐ ♣♦❧✉♦s✐ ♣♦③✐t✐✈♥❡✳

❙❧✐❦❛ ✷✿ ❑❛rt❡③✐❥❡✈ tr♦❞✐♠❡♥③✐♦♥❛❧♥✐ s✐st❡♠

✷✳✶✳✹

❯❞❛❧❥❡♥♦st ✐③♠❡➒✉ ❞✈✐❥❡ t❛↔❦❡ ✉ r❛✈♥✐

❯❞❛❧❥❡♥♦st ✐③♠❡➒✉ ❞✈✐❥❡ t❛↔❦❡ ✉ r❛✈♥✐ ♦❞r❡➒❡♥✐❤ ❑❛rt❡③✐❥❡✈✐♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛♠❛

(x2 , y2 )

✐

❥❡

d=
✷✳✶✳✺

(x1 , y1 )

p

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

❯❞❛❧❥❡♥♦st ✐③♠❡➒✉ ❞✈✐❥❡ t❛↔❦❡ ✉ ♣r♦st♦r✉

❯❞❛❧❥❡♥♦st ✐③♠❡➒✉ ❞✈✐❥❡ t❛↔❦❡ ✉ ♣r♦st♦r✉ ♦❞r❡➒❡♥✐❤ ✉ tr♦❞✐♠❡♥③✐♦♥❛❧♥♦♠ ❑❛rt❡③✐❥❡✈♦♠
❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠ s✐st❡♠✉

(x1 , y1 , z1 ) ✐ (x2 , y2 , z2 ) ❥❡
p
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐
✷✳✷

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✺

❙❢❡r♥✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠

❯ ♠❛t❡♠❛t✐❝✐✱ s❢❡r♥✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠ ❥❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠ ③❛ ♣r❡❞st❛✈❧❥❛♥❥❡ t✐❥❡❧❛ ✉ tr✐
❞✐♠❡♥③✐❥❡ ❦♦r✐➨t❡♥❥❡♠ tr✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡✿ ✉❞❛❧❥❡♥♦st t❛↔❦❡ ♦❞ ✜❦s✐r❛♥❡ ♥✉❧t❡ t❛↔❦❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t✲
♥♦❣ s✐st❡♠❛✱ ③❡♥✐t ✲ ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ ♣r❛✈❛ ❦♦❥❛ s♣❛❥❛ t❛↔❦✉ s❛ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐♠ ♣♦↔❡t❦♦♠ ③❛❦❧❛♣❛ s❛
♣♦③✐t✐✈♥✐♠ ❞✐❥❡❧♦♠ ③✲♦s❡✱ ✐ ❛③✐♠✉t ✲ ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ t❛ ✐st❛ ♣r❛✈❛ ③❛❦❧❛♣❛ s❛ ♣♦③✐t✐✈♥✐♠ ❞✐❥❡❧♦♠
①✲♦s❡✳

❙❧✐❦❛ ✸✿ ❙❢❡r♥✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠

✷✳✷✳✶ ◆♦t❛❝✐❥❛
P♦st♦❥✐ ♥❡❦♦❧✐❦♦ r❛③❧✐↔✐t✐❤ ❦♦♥✈❡♥❝✐❥❛ ③❛ ♣r❡❞st❛✈❧❥❛♥❥❡ ♦✈❡ tr✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ❯ ❙❥❡❞✐♥❥❡♥✐♠
❆♠❡r✐↔❦✐♠ ❉r➸❛✈❛♠❛ s❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ ♦❜✐↔♥♦ ♦③♥❛↔❛✈❛❥✉ s❛ (ρ, φ, θ) ③❛ r❛❞✐❥❛❧♥✉ ❞✐st❛♥❝✉✱
③❡♥✐t ✐ ❛③✐♠✉t✳ ❯ ❞r✉❣✐♠ ❦r❛❥❡✈✐♠❛ s✈✐❥❡t❛ s✉ ③❡♥✐t ✐ ❛③✐♠✉t ③❛♠✐❥❡♥❥❡♥✐✱ ✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ s✉
(ρ, θ, φ) ✳ Pr✈✐ ♥❛↔✐♥ ✐♠❛ ♣r❡❞♥♦st ❞❛ ❥❡ s❧✐↔♥✐❥✐ ❞✈♦❞✐♠❡♥③✐♦♥♦♠ ♣♦❧❛r♥♦♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠
s✐st❡♠✉ ✐ tr♦❞✐♠❡♥③✐♦♥♦♠ ❝✐❧✐♥❞r✐↔♥♦♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠ s✐st❡♠✉✱ ❛ ❞r✉❣✐ ♥❛↔✐♥ ❥❡ ❣❡♦❣r❛❢s❦✐
r❛➨✐r❡♥✐❥✐✳ ❉r✉❣❡ ♥♦t❛❝✐❥❡ ❦♦r✐st❡ r ③❛ r❛❞✐❥❛❧♥✉ r❛③❞❛❧❥✐♥✉✳ ❏❛ ➣✉ ♦✈❞✐❥❡ ❦♦r✐st✐t✐ ❛♠❡r✐↔❦✉
♥♦t❛❝✐❥✉✳

✷✳✷✳✷ ❉❡✜♥✐❝✐❥❛
❚r✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ (ρ, φ, θ) s✉ ❞❡✜♥✐s❛♥❡ ❦❛♦✿
• ρ ≥ 0 ❥❡ r❛③❞❛❧❥✐♥❛ ♦❞ ♥✉❧t❡ t❛↔❦❡ ❞♦ ❞❛t❡ t❛↔❦❡ P ✳
• 0 ≤ φ ≤ π ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ ③❛❦❧❛♣❛ ♣♦③✐t✐✈♥✐ ❞✐♦ ③✲♦s❡ s❛ ♣r❛✈♦♠ ❦♦❥❛ ♣r♦❧❛③✐ ❦r♦③ ♥✉❧t✉
t❛↔❦✉ ✐ t❛↔❦✉ P ✳
• 0 ≤ θ ≤ 2π ❥❡ ✉❣❛♦ ❦♦❥✐ ③❛❦❧❛♣❛ ♣♦③✐t✐✈♥✐ ❞✐♦ ①✲♦s❡ s❛ ♣r❛✈♦♠ ❦♦❥❛ ♣r♦❧❛③✐ ❦r♦③
♥✉❧t✉ t❛↔❦✉ ✐ t❛↔❦✉ P ♣r♦❥❡❦t♦✈❛♥✉ ♥❛ xOy ✲ r❛✈❛♥✳

❯❣❛♦ φ s❡ ♥❛③✐✈❛ ③❡♥✐t♦♠✱ ❛ θ s❡ ♥❛③✐✈❛ ❛③✐♠✉t♦♠✳

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐
✷✳✷✳✸

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✻

❑♦♥✈❡r③✐❥❛ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐❤ s✐st❡♠❛

Pr❛✈♦✉❣❧❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ s❡ ✐③ s❢❡r♥✐❤ ❞♦❜✐❥✉ ♥❛ s❧❥❡❞❡➣✐ ♥❛↔✐♥✿
x = ρ sin φ cos θ
y = ρ sin φ sin θ
z = ρ cos φ
✷✳✸

●❡♦❣r❛❢s❦❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ ♥❛ s❢❡r✐ ✐ r♦t❛❝✐❥s❦♦♠ ❡❧✐♣s♦✐❞✉

◆❛❦♦♥ ➨t♦ s♠♦ ❞❡✜♥✐r❛❧✐ s❢❡r♥❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡✱ ➸❡❧✐♠♦ ✐❤ ♣♦✈❡③❛t✐ s❛ ♠♦❞❡❧♦♠ ❩❡♠❧❥❡✳ Pr♦✲
♠❛tr❛❥♠♦ ♣♦✈r➨✐♥✉ ❩❡♠❧❥❡ ❦❛♦ s❢❡r✉ s❛ ❝❡♥tr♦♠ ✉ ✐s❤♦❞✐➨t✉ ❑❛rt❡③✐❥❡✈♦❣ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦❣
s✐st❡♠❛ ✐ ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦❛ R✱ ♦❞♥♦s♥♦ s❦✉♣ t❛↔❛❦❛ ↔✐❥❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ ③❛❞♦✈♦❧❥❛✈❛❥✉ s❧❥❡❞❡➣✉
❥❡❞♥❛❦♦st
x2 + y 2 + z 2 = R 2

✳ ❚❛❦✈✉ s❢❡r✉ ♥❛③✐✈❛♠♦
✳ ❉❡✜♥✐➨✐♠♦ s❧❥❡❞❡➣❡ ♣♦❥♠♦✈❡✿
• ❚❛↔❦❛ (0, 0, R) ♥❛③✐✈❛ s❡
✱ ❞♦❦ t❛↔❦❛ (0, 0, −R) s❡ ♥❛③✐✈❛
✳
• ❑r➸♥✐❝❛ ❦♦❥❛ ❥❡ ♣♦❞❥❡❞♥❛❦♦ ✉❞❛❧❥❡♥❛ ♦❞ ♣♦❧♦✈❛ ♥❛③✐✈❛ s❡
✐❧✐
✐ ♦♥❛
❞✐❥❡❧✐ s❢❡r✉ ♥❛ ❞✈✐❥❡ ♣♦❧✉s❢❡r❡✳
•
♥❛③✐✈❛♠♦ ♣r❛✈❛❝ ❦♦❥✐ ♣r♦❧❛③✐ ❦r♦③ ♣♦❧♦✈❡✱ ❛ r❛✈✐♥✉ ✉ ❦♦❥♦❥ s❡
♥❛❧❛③✐ ❡❦✈❛t♦r ✖
✳
• ❯❣❛♦ ❦♦❥✐ ③❛t✈❛r❛ ♥♦r♠❛❧❛ ♣r♦✐③✈♦❧❥♥❡ t❛↔❦❡ M ♥❛ ❩❡♠❧❥✐♥♦❥ s❢❡r✐ s ❡❦✈❛t♦rs❦♦♠
r❛✈♥✐♥♦♠ ♥❛③✐✈❛ s❡
✐ ♦③♥❛↔❛✈❛ s❛ φ✱ ❣❞❥❡ ❥❡ −π/2 ≤ φ ≤ π/2✳
❚❛↔❦❡ ❦♦❥❡ ✐♠❛❥✉ ✐st✉ ❣❡♦❣r❛❢s❦✉ ➨✐r✐♥✉ ❧❡➸❡ ♥❛ ❦r✉➸♥✐❝✐ ❦♦❥✉ ♥❛③✐✈❛♠♦
✐❧✐
✳
• P♦❧✉❦r✉➸♥✐❝❡ ♥❛ ❩❡♠❧❥✐♥♦❥ s❢❡r✐ ❦♦❥❡ s♣❛❥❛❥✉ ❏✉➸♥✐ ✐ ❙❥❡✈❡r♥✐ ♣♦❧ ♥❛③✐✈❛❥✉ s❡
✐❧✐
✳ ❯♦❜✐↔❛❥❡♥♦ ❥❡ ❞❛ ♠❡r✐❞✐❥❛♥ ❦♦❥✐ ❧❡➸✐ ✉ r❛✈♥✐♥✐ y = 0
♥❛③✐✈❛♠♦
✐❧✐
✳
• ❯❣❛♦ ✐③♠❡➒✉ ♠❡r✐❞✐❥❛♥❛ ❦♦❥✐ ♣r♦❧❛③✐ t❛↔❦♦♠ M ✐ ♥✉❧t♦❣ ♠❡r✐❞✐❥❛♥❛ ♥❛③✐✈❛♠♦ ❣❡✲
♦❣r❛❢s❦♦♠ ❞✉➸✐♥♦♠ ✐ ♦③♥❛↔❛✈❛♠♦ ❣❛ s❛ λ✱ ♣r✐ ↔❡♠✉ ❥❡ −π ≤ λ ≤ π✳ ❙❧✐❥❡❞✐✱ ❞❛ s✈❡
t❛↔❦❡ ❦♦❥❡ ❧❡➸❡ ♥❛ ✐st♦♠ ♠❡r✐❞✐❥❛♥✉ ✐♠❛❥✉ ✐st✉ ❣❡♦❣r❛❢s❦✉ ❞✉➸✐♥✉✳
❉❛❦❧❡✱ ❣❡♦❣r❛❢s❦✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠ ♠♦➸❡♠♦ s❤✈❛t✐t✐ ❦❛♦ r❡str✐❦❝✐❥✉ s❢❡r♥♦❣ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦❣
s✐st❡♠❛ ♥❛ s❢❡r✉ ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦❛ R✳ ❯ ❣❡♦❣r❛✜❥✐✱ ❦❛rt♦❣r❛✜❥✐ ✐ ❣❡♦❞❡③✐❥✐ ✐♠❛♠♦ r❡❧❛❝✐❥✉
λ = π/2 − φ✱ t❛❦♦ ❞❛ ❥❡ −π/2 ≤ φ ≤ π/2✳ ❙❛❞❛ ③❛ ♦✈❛❦✈❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡✱ ✈r✐❥❡❞❡ s❧❥❡❞❡➣❡
r❡❧❛❝✐❥❡✿
a
❩❡♠❧❥✐♥♦♠ s❢❡r♦♠
❙❥❡✈❡r♥✐ ♣♦❧

❏✉➸♥✐ ♣♦❧

❡❦✈❛t♦r

♣♦❧✉t❛r

❖s ❩❡♠❧❥✐♥❡ s❢❡r❡

❡❦✈❛t♦rs❦♦♠ r❛✈♥✐♥♦♠

❣❡♦❣r❛❢s❦♦♠ ➨✐r✐♥♦♠

♣❛r❛❧❡❧♦♠

✉s♣♦r❡❞♥✐❝♦♠

♠❡✲

r✐❞✐❥❛♥✐♠❛

♣♦❞♥❡✈♥✐❝✐♠❛

♥✉❧t✐♠

♣♦↔❡t♥✐♠ ♠❡r✐❞✐❥❛♥♦♠

cos φ cos λ,
W
a
y=
cos φ sin λ,
W
a
z=
(1 − ε2 ) sin φ,
W
x=

❣❞❥❡ ❥❡

W =

p
1 − ε2 sin φ,

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✼

❙❧✐❦❛ ✹✿ ●❡♦❣r❛❢s❦✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥✐ s✐st❡♠ ♥❛ r♦t❛❝✐❥s❦♦♠ ❡❧✐♣s♦✐❞✉
ε2 =

a2 − b2
.
a2

❉❡✜♥✐➨✐♠♦ s❛❞❛ ♣♦❥❛♠ ❡❧✐♣s♦✐❞♥❡ ✐❧✐ ❣❡♦❞❡ts❦❡ ✈✐s✐♥❡ ❦❛♦ ✉❞❛❧❥❡♥♦st t❛↔❦❡ ♦❞ ♣❧❛➨t❛
r♦t❛❝✐❥s❦♦❣ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✳
◆❛❞❛❧❥❡✱ ❛❦♦ ✉③♠❡♠♦ ♣r♦✐③✈♦❧❥♥✉ ❣❡♦❣r❛❢s❦✉ ❞✉➸✐♥✉ λ ❞♦❜✐❥❛♠♦ ❡❧✐♣s✉ s❛ ✈❡❧✐❦♦♠ ♣♦✲
❧✉♦s♦♠ a ✐ ♠❛❧♦♠ ♣♦❧✉♦s♦♠ b✳ ❚❛❞❛ ♠♦➸❡♠♦ ❞❡✜♥✐s❛t✐ ♣♦❥❛♠ ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦❛ ③❛❦r✐✈❧❥❡♥♦st✐
❦r✐✈❡ ✉ ❜✐❧♦ ❦♦❥♦❥ t❛↔❦✐ ♥❛ ❡❧✐♣s✐ ❦♦❥❛ ♦✈✐s✐ ♦ ❣❡♦❣r❛❢s❦♦❥ ➨✐r✐♥✐ ✐ ♦③♥❛↔✐t ➣❡♠♦ ❣❛ s❛ RN ✳
❙❛❞❛ ♠♦➸❡♠♦ ❞❡✜♥✐s❛t✐ ♣♦✈❡③❛♥♦st ❡❧✐♣s♦✐❞♥✐❤ ✐ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ ❛❦♦ s❡ ♥❡ ♥❛❧❛③✐♠♦
♥❛ ♣♦✈r➨✐♥✐ r♦t❛❝✐❥s❦♦❣ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✱ ♦❞♥♦s♥♦ ❦❛❞❛ ❥❡ h 6= 0✿
x = (RN + h) cos φ cos λ,
y = (RN + h) cos φ sin λ,

❣❞❥❡ ❥❡ RN =

a
.
W

z = [(1 − ε2 )RN + h] sin φ,

❯③ ❣❡♦ts❦✉ ➨✐r✐♥✉✱ ❞❡✜♥✐s❛t ➣❡♠♦ ✐ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥✉ ➨✐r✐♥✉ φc ❦❛♦ ✉❣❛♦ ✐③♠❡➒✉ ❡❦✈❛t♦r✐✲
❥❛❧♥❡ r❛✈♥✐♥❡ ✐ ♣r❡↔♥✐❦❛ ✐③ ❝❡♥tr❛ ❞♦ ♣r♦✐③✈♦❧❥♥❡ t❛↔❦❡ ♥❛ ♣♦✈r➨✐✳ ❱❡③❛ ✐③♠❡➒✉ ❣❡♦❞❡ts❦❡
✐ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❡ ➨✐r✐♥❡✿
tan φc = [1 − ε2

RN
] tan φ,
RN + h

❣❞❥❡ ❥❡ RN ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦ ③❛❦r✐✈❧❥❡♥♦st✐✱ ❛ h ❣❡♦❞❡ts❦❛ ✈✐s✐♥❛✳

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

✸

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✽

❖❜❧✐❦ ✐ ✈❡❧✐↔✐♥❛ ③❡♠❧❥❡

✸✳✶

❘♦t❛❝✐❥s❦✐ ❡❧✐♣s♦✐❞

◆❡❦❛ ❥❡ r♦t❛❝✐❥s❦✐ ❡❧✐♣s♦✐❞ ③❛❞❛♥ s❛
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a2 a2 b2

♣r✐ ↔❡♠✉ ❥❡ a ✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛✱ ❛ b ♠❛❧❛ ♣♦❧✉♦s❛✱ t❛❞❛ ❞❡✜♥✐➨❡♠♦ s❧❥❡❞❡➣❡ ❡❧❡♠❡♥t❡ ❡❧✐s♣♦✐❞❛✿
• s♣❧♦➨t❡♥♦st
• ❞r✉❣❛ s♣❧♦➨t❡♥♦st
• tr❡➣❛ s♣❧♦➨t❡♥♦st

f=

a−b
a

f′ =

a−b
b

n=

a−b
a+b

• ♣r✈✐ ♥✉♠❡r✐↔❦✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t
ε=
• ❞r✉❣✐ ♥✉♠❡r✐↔❦✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t
ε′ =
✸✳✷

√

a2 − b2
a

√

a2 − b2
b

❖♣➣✐ ❩❡♠❧❥✐♥ ❡❧✐♣s♦✐❞

❉❡✜♥✐❝✐❥❛ ✸✳✶✿ ❩❡♠❧❥✐♥ ♦♣➣✐ ❡❧✐♣s♦✐❞
❩❡♠❧❥✐♥ ♦♣➣✐ ❡❧✐♣s♦✐❞ ❥❡ ❡❧✐♣s♦✐❞ ❦♦❥✐♠ s❡ ♥❛❥❜♦❧❥❡ ♣r✐❦❛③✉❥❡ ❩❡♠❧❥❛ ❦❛♦ ♣❧❛♥❡t✳
■♠❛ ✈✐➨❡ ❞❡✜♥✐❝✐❥❛ t❛❦✈✐❤ ♠♦❞❡❧❛✱ ❛❧✐ ③❛ s✈❡ ❥❡ ③❛❥❡❞♥✐↔❦♦ ❞❛ s✉ ✉ ♣r♦st♦r✉ ❛♣s♦❧✉t♥♦
♦r✐❥❡♥t✐s❛♥✐✱ t❥✳ r❛✈♥✐♥❛ ❡❦✈❛t♦r❛ s❡ ♣♦❞✉❞❛r❛ s r❛✈♥✐♥♦♠ ❡❦✈❛t♦r❛ ❩❡♠❧❥❡✱ ❛ ♠❛❧❛ ♦s❛ s❛
sr❡❞♥❥✐♠ ♣♦❧♦➸❛❥❡♠ r♦t❛❝✐❥s❦❡ ♦s❡ ❩❡♠❧❥❡✳
✸✳✸

❇❡ss❡❧♦✈ ❡❧✐♣s♦✐❞

❋r✐❡❞r✐❝❤ ❲✐❧❤❡❧♠ ❇❡ss❡❧ ✭✶✼✹✽✳✲✶✽✹✻✳✮ ❥❡ ♥❥❡♠❛↔❦✐ ❛str♦♥♦♠✱ ♠❛t❡♠❛t✐↔❛r ✐ ❣❡♦❞❡t✳
■③r❛↔✉♥♦ ❥❡ ♣❛r❛♠❡tr❡ ❩❡♠❧❥✐♥♦❣ ❡❧✐♣s♦✐❞❛ ✶✽✹✶✳ ❣♦❞✐♥❡ ✲ ❇❡ss❡❧♦✈ ❡❧✐♣s♦✐❞✳ ❚✐ ♣❛r❛♠❡tr✐
s✉ ❜✐❧✐ ♣r✐❤✈❛➣❡♥✐ ✉ ♠♥♦❣✐♠ ③❡♠❧❥❛♠❛ ❞✉❣✐ ♥✐③ ❣♦❞✐♥❛ ③❛ s❧✉➸❜❡♥❛ ❣❡♦❞❡ts❦❛ ✐ ❦❛rt♦❣r❛❢s❦❛
♠❥❡r❡♥❥❛✳ ◆✉♠❡r✐↔❦❡ ✈r✐❥❡❞♥♦st✐ ✈❡❧✐❦❡ ✐ ♠❛❧❡ ♣♦❧✉♦s❡ ✉ ♠❡tr✐♠❛ s✉✿
a = 6377397.15500
b = 6356078.96325

❛ ✉ ♦❜❧✐❦✉ ❧♦❣❛r✐t♠❛✿
log a = 6.8046434637

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✾

log b = 6.8031892839.
❆❦♦ ❛♥t✐❧♦❣❛r✐t♠✉❥❡ ♣r❡t❤♦❞♥❛ ❞✈❛ ✐③r❛③❛ ❞♦➣✐ ➣❡ ❞♦ ♥❡s❧❛❣❛♥❥❛ ✉ ♠✐❧✐♠❡tr✐♠❛✱ t❥✳

a = 6377397.155076050
b = 6356078.962897785.
▼✐tt❡r♠❛②❡r ✭✶✾✻✹✳✮ ❥❡ r❡③✉❧t❛t❡ ❦♦❥❡ ❥❡ ♣r✈✐ ♦❜❥❛✈✐♦ ❍❡❧♠❡rt ✭✶✽✽✵✳✮ ♣r♦✉↔✐♦ t❡ ③❛❦❧❥✉↔✐♦
❞❛ t❛ r❛③❧✐❦❛ ♥✐❥❡ ③❛♥❡♠❛r✐✈❛✱ t❡ ♣r❡❞❧♦➸✐♦ ❞❛ s❡ ❦❛♦ ❜❡s♣♦❣r❡➨♥❡ ✈r✐❥❡❞♥♦st✐ ✉③♠✉ ❞❡❦❛❞s❦✐
❧♦❣❛r✐t♠✐ ♣♦❧✉♦s❛ t❡ s❡ ♣♦♠♦➣✉ ♥❥✐❤ ✐③r❛↔✉♥❛❥✉ s❛♠❡ ♣♦❧✉♦s❡ ✐ ♦st❛❧❡ ❦♦♥st❛♥t❡✳
✸✳✹

●❘❙✽✵ ❡❧✐♣s♦✐❞

●❘❙✽✵ ✐❧✐

• a

• J2

✲ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❛ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛✱

✲ ❞✐♥❛♠✐↔❦❛ s♣❧❥♦➨t❡♥♦st✱
✲ ✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛✳

❑♦♥st❛♥t✉

J2

✐③r❛↔✉♥❛✈❛♠♦ ❦❛♦

J2 =
❣❞❥❡ s✉

s❡ ③❛❞❛❥❡ s❛ ↔❡t✐r✐ ♣❛r❛♠❡tr❛✿

✲ ♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦ ❡❦✈❛t♦r❛✱

• GM
• ω

●❡♦❞❡ts❦✐ r❡❢❡r❡♥t♥✐ s✐st❡♠ ✶✾✽✵

C

❣❧❛✈♥✐ ♣♦❧❛r♥✐✱ ❛

♥❛♠♦ ♣r✈✐ ❡❦s❝❡♥tr✐❝✐t❡t

A

ε2 ✱

❣❧❛✈♥✐ ❡❦✈❛t♦rs❦✐ ♠♦♠❡♥t tr♦♠♦st✐✳ ❆❦♦ ➸❡❧✐♠♦ ❞❛ ✐③r❛↔✉✲

t♦ ➣❡♠♦ ✉↔✐♥✐t✐ ✐③

J2 =
✱ ♦❞❛❦❧❡ ♠♦➸❡♠♦ ✐③r❛③✐t✐

ε2 ✱

C −A
M a2

2 mε′
ε2
(1 −
)
3
15 q0
ω 2 a2 b
✐
GM
2 3 3

m=

❛ ❛❦♦ ③♥❛♠♦ ❞❛ ❥❡

ε2 = 3J2 +
✐ ✐♠❛♠♦ ❞❛ ❥❡

q0 = (1 +

4 ω a ε
15 GM 2q0

3
) arctan ε′ − 3/ε′ .
ε′2

❱r✐❥❡❞♥♦st✐ ③❛❞❛♥✐❤ ❦♦♥st❛♥t✐

◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡

a = 6378137m
GM = 3986005 × 108 m3 s−2

✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛

J2 = 108263 × 10

❞✐♥❛♠✐↔❦❛

−8

❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❛

❣r❛✈✐t❛✲

❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛
s♣❧❥♦➨t❡✲

♥♦st

ω = 7292115 × 10−11 rad s−1

✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛

■③r❛↔✉♥❛t❡ ❦♦♥st❛♥t❡

◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡

b = 6356752.3141
c = 6399752.6259

♠❛❧❛ ♣♦❧✉♦s❛
♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦ ③❛❦r✐✈❧❥❡✲
♥♦st✐ ♥❛ ♣♦❧✉

ε2 = 0.00669438002290
ε′2 = 0.00673949677548
f = 0.00335281068118
f −1 = 298.257222101

♣r✈✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t
❞r✉❣✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t
s♣❧♦➨t❡♥♦st
r❡❝✐♣r♦↔♥❛

✈r✐❥❡❞♥♦st

s♣❧❥♦➨t❡♥♦st✐

bε′ = aε

❞♦❜✐❥❛♠♦

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐
✸✳✺

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✵

❲●❙ ✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞

❲●❙ ✽✹ ✐❧✐ ❲♦r❧❞ ●❡♦❞❡t✐❝ ❙②st❡♠ ✶✾✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞ ❥❡ r❛③✈✐❥❡♥ ✉ ❙❆❉✲✉ ③❜♦❣ t❛↔♥✐❥✐❤ ❣❡♦❞❡t✲
s❦✐❤ ✐ ❣r❛✈✐♠❡tr✐❥s❦✐❤ ♠❥❡r❡♥❥❛ ▼✐♥✐st❛rst✈❛ ♦❞❜r❛♥❡✳ ❩❆ ❞❡✜♥✐r❛♥❥❡ ❲●❙ ✽✹ ✉③✐♠❛❥✉ s❡
s❧❥❡❞❡➣❡ ❦♦♥st❛♥t❡✿
• a ✲ ✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛✱
• f ✲ s♣❧❥♦➨t❡♥♦st✱

• ω ✲ ✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛ ❩❡♠❧❥❡✱

• GM ✲ ❩❡♠❧❥✐♥❛ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛✳

❱r✐❥❡❞♥♦st✐ ③❛❞❛♥✐❤ ❦♦♥st❛♥t✐

a = 6378137m
GM = 3986004, 418 × 108 m3 s−2
1/f = 298, 257223563
ω = 7292115 × 10−11 rad s−1

■③r❛↔✉♥❛t❡ ❦♦♥st❛♥t❡
b = 6356752.3142
c = 6399593.6258

ε2 = 0.00669437999014
ε′2 = 0.00673949674228

◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡
✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛
❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❛ ❣r❛✈✐t❛✲
❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛
❞✐♥❛♠✐↔❦❛
s♣❧❥♦➨t❡✲
♥♦st
✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛
◆❛③✐✈ ❦♦♥st❛♥t❡
♠❛❧❛ ♣♦❧✉♦s❛
♣♦❧✉♣r❡↔♥✐❦ ③❛❦r✐✈❧❥❡✲
♥♦st✐ ♥❛ ♣♦❧✉
♣r✈✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t
❞r✉❣✐ ❡❦s❡♥tr✐❝✐t❡t

❙❧✐❦❛ ✺✿ ❲●❙ ✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞
✸✳✻

●❡♦❞❡ts❦✐ ❞❛t✉♠

❱❡❧✐❦✐ ❜r♦❥ ❞r➸❛✈❛ s✈♦❥❡ ❣❡♦❞❡ts❦❡ ♠r❡➸❡ ❜❛③✐r❛♦ ❥❡ ♥❛ s✈♦♠ ❣❡♦❞❡ts❦♦♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t♥♦♠
s✐st❡♠✉ s❛ r❡❢❡r❡♥❝✲❡❧✐♣s♦✐❞♦♠ ❦♦❥✐ ♥❛❥❜♦❧❥❡ ❛♣r♦❦s✐♠✐r❛ ♦❜❧✐❦ ✭♦❜❧✐❦ ③❡♠❧❥✐♥❡ ❡❦✈✐♣♦t❡♥❝✐✲
❥❛❧♥❡ ♣♦✈r➨✐✮ ♥❥❡♥❡ t❡r✐t♦r✐❥❡✳ ❉✈♦♦s♥✐ r❡❢❡r❡♥t♥✐ ❡❧✐♣s♦✐❞ ③❛❥❡❞♥♦ s❛ ❣❡♦❞❡ts❦✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t✲
♥✐♠ s✐st❡♠♦♠ ↔✐♥✐ ❣❡♦❞❡ts❦✐ ❤♦r✐③♦♥t❛❧♥✐ ❞❛t✉♠✱ ❦♦❥✐ ❥❡ ✉ ♦❞♥♦s✉ ♥❛ ❝❡♥t❛r ♠❛s❡ ❩❡♠❧❥❡
♥❡❣❡♦❝❡♥tr✐↔❛♥✱ ♦❞♥♦s♥♦ ❝❡♥t❛r ♠✉ ❥❡ ♣♦♠❥❡r❡♥ ♥❡❦❛❞ ✐ ✈✐➨❡ st♦t✐♥❛ ♠❡t❛r❛✳ Pr✐ t♦♠❡✱
❦♦♦r❞✐♥❛t♥❡ ♦s❡ ❣❡♦❞❡ts❦♦❣✱ ✉ ♦❞♥♦s✉ ♥❛ ❈❚ s✐st❡♠ ③❛r♦t✐r❛♥❡ s✉ ③❛ ♠❛❧❡ ✐③♥♦s❡ ✭❞♦ ✷✵
❧✉↔♥✐❤ s❡❦✉♥❞✐✮✳

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

✸✳✻✳✶

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✶

❉❛t✉♠s❦❛ tr❛♥s❢♦r♠❛❝✐❥❛

◆❛❦♦♥ ♦❜r❛❞❡ ●P❙ ♦♣❛➸❛♥❥❛ ❦❛♦ r❡③✉❧t❛t s❡ ❞♦❜✐❥✉ ❜✐❧♦ ♣r♦st♦r♥❡ ♣r❛✈♦✉❣❧❡
❜✐❧♦ ❡❧✐♣s♦✐❞♥❡

(φ, λ, h)

(X, Y, Z)✱

❦♦♦r❞✐♥❛t❡✳ ❑❛❦♦ s❡ r❛❞✐ ♦ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥✐♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛♠❛ ❦♦❥❡ s❡

♦❞♥♦s❡ ♥❛ ❲●❙ ✽✹ tr❡❜❛ ✐❤ tr❛♥s❢♦r♠✐s❛t✐ ✉ ❞r➸❛✈♥✐ ❣❡♦❞❡ts❦✐ s✐st❡♠ ✭❧♦❦❛❧♥✐ ❞❛t✉♠✮✳
▼❛t❡♠❛t✐↔❦✐ ♠♦❞❡❧ tr❛♥s❢♦r♠❛❝✐❥❡✿

XS = X0 + (1 + k)R(ωx , ωy , ωz )XL ,
♦❞♥♦s♥♦✿

 

   
1
ωz −ωy
X0
x
X
 Y  = X0  + (1 + k) −ωz
1
ωx  y 
z
ωy −ωx
1
Z0
Z

♣r✐ ↔❡♠✉ s✉✿

• XS = [X Y Z]T
• XL = [x y z]T

✲ ✈❡❦t♦r ♣r♦st♦r♥✐❤ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ ✉ ❲●❙ ✽✹ s✐st❡♠✉✱

✲ ✈❡❦t♦r ♣r♦st♦r♥✐❤ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ ✉ ❞r➸❛✈♥♦♠ s✐st❡♠✉✱

• X0 = [X0 Y0 Z0 ]T
• ωx , ωy , ωz
• k

✲ ✈❡❦t♦r ♣❛r❛♠❡t❛r❛ tr❛♥s❧❛❝✐❥❡✱

✲ ♣❛r❛♠❡tr✐ r♦t❛❝✐❥❡✱

✲ ❢❛❦t♦r r❛③♠❥❡r❡✳

✸✳✻✳✷

❖❞♥♦s ❡❧✐♣s♦✐❞♥✐❤ ✐ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛

P♦❧♦➸❛❥ t❛↔❦❡ ✉ ❈❚ s✐st❡♠✉ ❞❛t ❥❡ ♣r♦st♦r♥✐♠ ♣r❛✈♦✉❣❧✐♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛♠❛
❡❧✐♣s♦✐❞♥✐♠ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛♠❛

(φ, λ, h)✱ t❥✳

✈✐s✐♥❛✮✳ ■♠❛♠♦ s❧❥❡❞❡➣✐ ♦❞♥♦s ✐③♠❡➒✉ ❡❧✐♣s♦✐❞♥✐❤ ✐ ♣r❛✈♦✉❣❧✐❤ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛✿


  
(N + h) cos φ cos λ
X
 Y  =  (N + h) cos φ sin λ 
[N (1 − e2 ) + h] sin φ
Z
❣❥❞❡ s✉✿

N=
r❛❞✐❥✉s ❦r✐✈✐♥❡ ♣r✈♦❣ ✈❡rt✐❦❛❧❛ ✐

a

f

1

(1 − e2 sin2 φ) 2

e2 = 2f − f 2
✭a ❥❡ ♠❛❧❛ ♦s❛ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✱ ❛

(X, Y, Z)

✐❧✐

❣❡♦❞❡ts❦♦♠ ➨✐r✐♥♦♠✱ ❞✉➸✐♥♦♠ ✐ ✈✐s✐♥♦♠ ✭❡❧✐♣s♦✐❞♥❛

s♣❧❥♦➨t❡♥♦st✮✳

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

✹

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✷

●❡♦✐❞

❘❛③♥❡ ❣❡♦❞❡ts❦❡ ❛♣❧✐❦❛❝✐❥❡ ③❛❤t✐❥❡✈❛❥✉ ❞❛ s❡ ❥❛s♥♦ ❞❡✜♥✐r❛❥✉ tr✐ r❛③❧✐↔✐t❡ ♣❧♦❤❡✳ ❏❡❞♥❛ ♦❞
♥❥✐❤ ❥❡ t♦♣♦❣r❛❢s❦❛ ♣❧♦❤❛✱ ❦♦❥❛ ✉❦❧❥✉↔✉❥❡ ✈❛♥❥s❦✐ r❡❧❥❡❢ ✐ ♣♦❞✈♦❞♥✐ ♠♦rs❦✐ r❡❧❥❡❢✳ ❉r✉❣❛
✈rst❛ ❥❡ ♠❛t❡♠❛t✐↔❦❛ r❡❢❡r❡♥t♥❛ ♣❧♦❤❛✱ ❡❧✐♣s♦✐❞✱ t❡ ❡❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥❛ ♣❧♦❤❛ ❣❡♦✐❞✳
✹✳✶

●r❛✈✐t❛❝✐❥s❦✐ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧

❯❦✉♣♥✐ ❩❡♠❧❥✐♥ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦✐ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧ W s❡ r❛↔✉♥❛ ❦❛♦
W =V +Φ

❣❞❥❡ ❥❡ Φ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧ ✉s❧❥❡❞ ❩❡♠❧❥✐♥❡ r♦t❛❝✐❥❡ ✐ r❛↔✉♥❛ s❡ ❦❛♦
1
Φ = ω 2 (x2 + y 2 ),
2

❣❞❥❡ s✉ x ✐ y ❑❛rt❡③✐❥❡❝❡ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ ❜✐❧♦ ❦♦❥❡ t❛↔❦❡ ✉ ❲●❙ ✽✹ s✐st❡♠✉✱ ❛ ω ✉❣❛♦♥❛ ❜r③✐♥❛
❩❡♠❧❥❡✳ ❋✉♥❦❝✐❥❛ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦♦ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧❛ V ❥❡ ❞❡✜♥✐s❛♥❛ s❛
nX
n
max X
GM
a
V =
[1 +
( )n Pnm (sin φ′ )(C nm cos mλ + S nm sin mλ)]
r
r
n=2 n=2

❣❞❥❡ s✉✿
• GM ✲ ❩❡♠❧❥✐♥❛ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦❛ ❦♦♥st❛♥t❛✱
• r ✲ ✉❞❛❧❥❡♥♦st ♦❞ ❝❡♥tr❛ ❩❡♠❧❥✐♥❡ ♠❛s❡✱
• a ✲ ✈❡❧✐❦❛ ♣♦❧✉♦s❛ ❲●❙✽✹ ❡❧✐♣s♦✐❞❛✱
• n ✐ m ✲ st❡♣❡♥ ✐ r❡❞ ♠♦❞❡❧❛✱
• φ′ ✲ ❣❡♦❝❡♥tr✐↔♥❛ ➨✐r✐♥❛✱
• λ ✲ ❣❡♦❝❡tr✐↔♥❛ ❞✉➸✐♥❛ ❂ ❣❡♦❞❡ts❦❛ ❞✉➸✐♥❛
• C nm , S nm ✲ ♥♦r♠❛❧✐③✐r❛♥✐ ❣r❛✈✐t❛❝✐❥s❦✐ ❦♦❡✜❝✐❥❡♥t✱
d
• Pnm (sin φ′ ) = (cos φ′ )m d(sin
P (sin φ′ ) ✲ ♣r✐❞r✉➸❡♥❛ ▲❡❣❡♥❞r❡♦✈❛ ❢✉♥❦❝✐❥❛✱
φ)m n
m

• Pn sin φ′ =

d2
.
2n n!d(sin φ′ )n (sin2 φ′ −1)n

◆❛♣♦♠❡♥❛ ✹✳✶

❘❡❞ t❡♦r✐❥s❦✐ ❦♦♥✈❡r❣✐r❛ ③❛ r ≥ a✱ ✐❛❦♦ s❡ ♠♦➸❡ ♣r✐♠✐❥❡♥✐t✐✱ ✉③ ③❛♥❡♠❛r✐✈✉ ♣♦❣r❡➨❦✉✱
❜❧✐③✉ ❩❡♠❧❥✐♥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡✱ ❛❧✐ r❡❞ s❡ ♥❡ s♠✐❥❡ ❦♦r✐st✐t✐ ③❛ t❛↔❦❡ ✐s♣♦❞ ❩❡♠❧❥✐♥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡✳

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✸

✹✳✷ ❉❡✜♥✐❝✐❥❡
❉❡✜♥✐❝✐❥❛ ✹✳✶✿ ❊❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥❡ ♣❧♦❤❡
❊❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥❡ ♣❧♦❤❡ s✉ ♣❧♦❤❡ ❦♦❥❡ ✐♠❛❥✉ ❦♦♥st❛♥t♥✐ s❦❛❧❛r♥✐ ♣♦t❡♥❝✐❥❛❧✳ ❚❛❞❛
W = const.

❞❡✜♥✐r❛ ❢❛♠✐❧✐❥✉ ❡❦✈✐♣♦t❡♥❝✐❥❛❧♥✐❤ ♣❧♦❤❛ ✲ ❣❡♦♣❛✳

❉❡✜♥✐❝✐❥❛ ✹✳✷✿ ●❡♦✐❞
●❡♦✐❞ ❥❡ ❣❡♦♣ ❦♦❥✐ ♣r✐❜❧✐➸♥♦ ♣r❡❞st❛✈❧❥❛ sr❡❞♥❥✉ r❛③✐♥✉ ♠♦r❛
❯ ♣♦❞r✉↔✐❥✐♠❛ ❣❞❥❡ s❡ ✈✐s✐♥s❦✐ ♣♦❞❛❝✐ ♥❡ ♠♦❣✉ ❞♦❜✐t✐ st❛♥❞❛r❞♥✐♠ ♠❥❡r❡♥❥✐♠❛✱ r❛❞✐
s❡ ♣r♦❝❥❡♥❛ sr❡❞♥❥❡ r❛③✐♥❡ ♠♦r❛ ♥❛ s❧❥❡❞❡➣✐ ♥❛↔✐♥ ❦♦r✐st❡➣✐ ♦rt♦♠❡tr✐↔♥✉ ✈✐s✐♥✉✿
H =h−N

❣❞❥❡ s✉✿
• H ✲ r❡❧❛t✐✈♥❛ ✈✐s✐♥❛ ✉ ♦❞♥♦s✉ ♥❛ ❣❡♦✐❞✱
• h ✲ ❣❡♦❞❡ts❦❛ ✈✐s✐♥❛✱
• N ✲ ✉♥❞✉❧❛❝✐❥❛ ❣❡♦✐❞❛✳

❙❧✐❦❛ ✻✿ ❩❡♠❧❥✐♥ ❣❡♦✐❞ ✐ ❡❧✐♣s♦✐❞

❙❧✐❦❛ ✼✿ ❊●▼✾✻ ❣❡♦✐❞

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

✺
✺✳✶

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r

✶✹

◆❡❦❡ ❢♦r♠✉❧❡ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐
❘❛↔✉♥❛♥❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡ ✐③ ❦♦♦r❞✐♥❛t❛ t❛↔❛❦❛

❩❛ ♦✈❛❦✈♦ r❛↔✉♥❛♥❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡ ♣♦tr❡❜♥♦ ❥❡ ③♥❛t✐ ❦♦♦r❞✐♥❛t❡ s✈✐❤ ♣r❡❧♦♠♥✐❤ t❛↔❛❦❛ ♠❡➒♥❡
❧✐♥✐❥❡ ♣❛r❝❡❧❡ ❦♦❥♦ ❥ s❡ ♦❞r❡➒✉❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❛✳

❙❧✐❦❛ ✽✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛

T1 ✐ T2

1
T1 = (Y3 + Y2 )(X2 − X3 )
2
1
T2 = (Y4 + Y3 )(X3 − X4 )
2

❙❧✐❦❛ ✾✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛

T3 ✐ T4

1
T3 = (Y2 + Y1 )(X2 − X1 )
2
1
T4 = (Y4 + Y1 )(X1 − X4 )
2

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐

❇❡❣❛♥♦✈✐➣ ❉❛✈♦r ✶✺

❙❧✐❦❛ ✶✵✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ t❛↔❛❦❛ ♣♦✈r➨✐♥❡

❯✈r➨t❛✈❛♥❥❡♠ ❞♦❜✐❥❛♠♦✿

P = T1 + T2 − (T3 + T4 )

2P = Y1 (X4 − X2 ) + Y2 (X1 − X3 ) + Y3 (X2 − X4 ) + Y4 (X3 − X1 ).

❯ ♦♣➨t❡♠ s❧✉↔❛❥✉✿

n

1X
P =
Yi (Xi−1 − Xi+1 ).
2 i=1

❆♥❛❧♦❣♥♦✱ ❛❦♦ ❜✐ ❣❧❡❞❛❧✐ ♥❛ Y ♦s✐ ✐♠❛♠♦ ♦♣➨t✉ ❢♦r♠✉❧✉✿
n

1X
Xi (Yi+1 − Yi−1 ).
P =
2 i=1

P♦✈r➨✐♥❛ ♣❛r❝❡❧❡ s❡ ♠♦➸❡ ❞♦❜✐t✐ ✐ ♠❥❡r❡♥❥❡♠ ❞✐♠❡♥③✐❥❛ ♣❛r❝❡❧❡ ♦❜❧✐❦❛ ♥❡❦❡ ♣r❛✈✐❧♥❡ ✜❣✉r❡
♥❛ t❡r❡♥✉ ✭♥♣r✳ ❦✈❛❞r❛t❛✱ ♣r❛✈♦✉❣❛♦♥✐❦❛✱ tr❛♣❡③❛✱ tr♦❣✉❧❛✱ ✐t❞✳✮✳ P♦✈r➨✐♥❛ ♥❡♣r❛✈✐❧♥❡
✜❣✉r❡ s❡ ♠♦➸❡ ❞♦❜✐t✐ ❞✐♦❜♦♠ ♥❛ ♣♦③♥❛t❡ ♦❜❧✐❦❡✳

❙❧✐❦❛ ✶✶✿ ❘❛↔✉♥❛♥❥❡ ♣♦✈r➨✐♥❡ ♥❡♣r❛✈✐❧♥❡ ✜❣✉r❡

❙❊▼■◆❆❘❙❑■ ❘❆❉✿ ▼❛t❡♠❛t✐❦❛ ✉ ❣❡♦❞❡③✐❥✐
✺✳✷

❚r✐❛♥❣✉❧❛❝✐❥❛

❙❧✐❦❛ ✶✷✿ ❚r✐❛♥❣✉❧❛❝✐❥❛

S=

p
(xB − xA )2 + (yB − yA )2
yB − yA
νAB = arctan
xB − xA
νBA = νAB ± π

φA = νAB + α(−2π)
φB = νBA − β ⇒ γ = φB − φA
sin β
sin γ
sin α
SB = S
sin γ
SA = S

∆yA = SA sin φA
∆yB = SB sin