ANALISIS KESTABILAN EPIDEMIK HIVAIDS DENGAN KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK

• ^* 55 (
₁  E

   Titik

  Key words: HIV/AIDS model, SI model, the

  The disease-free equilibrium point is globally asymptotically stable, namely if parameter values not change then there no infected individual and subpopulation of juvenile and adults susceptible tend to constant positive value.

  . 000 10 , 029 .

   R The model of the HIV/AIDS has a unique disease- free equilibrium point, . ) , , 000 . 450 .

  99 ₁  R the infected reproduction ratio, 0001169 .  R and the infection contact rate, . 9878 . ₂

  For the case of data of HIV/AIDS in Indonesia with initial population of 2009, the threshold values of the susceptible reproduction ratio, , 2236 .

  R ), and the infection contact rate ( ₂ R ) .

  This paper examines and implementation a deterministic mathematical model of a simple SI (susceptible-infected) model to analyze the stability of the HIV/AIDS by age group and population density. The population is divided into two subpopulations, namely subpopulation of juvenile and adults. Subpopulation of adults who are sexually active is assumed produce both susceptible newborns and infected newborns. The local and global stability for the equilibrium point of the model were analyzed using a combination of analysis of eigenvalues of Jacobian matrix and the Lyapunov- LaSalle’s invariant principle or using a threshold values of the susceptible reproduced ratio ( ₁ R ), the infected reproduced ratio (

  ABSTRACT

  rasio reproduksi, kestabilan global

  Kata Kunci : model HIV/AIDS, model SI,

  susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan.

  kesetimbangan bebas penyakit adalah stabil asimtotik global, artinya jika nilai-nilai parameter tidak berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi

  . 000 10 , 029 .

   0001169 . R dan . 9878 . ₂  R Model epidemik HIV/AIDS mempunyai satu titik kesetimbangan bebas penyakit . ) , , 000 . 450 .

  99 ₁  R

  , 2236 .

  Untuk kasus data HIV/AIDS di Indonesia dengan populasi awal tahun 2009, nilai-nilai ambang

  infected ( R ) dan laju kontak infectious ( ₂ R ) .

  epidemik HIV/AIDS dengan kelompok umur dan kepadatan penduduk. Populasi dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu subpopulasi anak-anak dan subpopulasi dewasa. Subpopulasi dewasa diasumsikan aktif seksual dan subpopulasi infected dewasa melahirkan bayi susceptible dan bayi infected. Secara analitik, kestabilan lokal dan global dari titik kesetimbangan model (bebas penyakit dan kepunahan susceptible ) dianalisis menggunakan kombinasi analisis persamaan karakteristik dari matriks Jacobi dan prinsip invariansi Lyapunov-LaSalle atau menggunakan kondisi nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( ₁ R ), rasio reproduksi

  infected ) untuk menganalisis kestabilan model

  Makalah ini mengkaji dan mengimplementasikan suatu model matematika deterministik sederhana SI (susceptible-

  ABSTRAK

  e-mail: marsudi61@ub.ac.id

  

Marsudi dan Kwardiniya

¹ ₁ Jurusan Matematika Universitas Brawijaya Malang

   VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

ANALISIS KESTABILAN EPIDEMIK HIV/AIDS DENGAN

KELOMPOK UMUR DAN KEPADATAN PENDUDUK

  NOVEMBER-2014

   JEEST E-ISSN : 2356-3109

• ^* 55 (
₁  E

  reproduction ratio, the equilibrium point, Global stability

  JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY P-ISSN : 2356-3109 NOVEMBER-2014

  VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id PENDAHULUAN

  Saat ini, infeksi HIV (human immunodeficiency

  virus

  ) yang dapat menyebabkan AIDS (acquired immunodeficiency syndrome ) menunjukkan tingkat prevalensi yang tinggi dalam populasi hampir di semua negara. Di awal abad 20, model matematika diperkenalkan ke dalam epidemiologi oleh Kermack and McKendrick (1927). Model matematika telah banyak terbukti dalam membantu pemahaman fenomena penyebaran penyakit infeksius. Misalnya, Murray (1993) menggunakan model SIR untuk model epidemik penyakit infeksius.

  Pada awalnya, model matematika untuk epidemik HIV hanya bersifat spekulatif dengan memasukkan aspek-aspek biologi dan perilaku dalam model, misalnya Brauer and Castillo-Chavez (2001) dan Rao (1993). Saat ini banyak penelitian tentang analisis matematika dari model dinamika yang disebarkan melalui kontak seksual dan dikombinasikan dengan data sehingga menjadi populer (Anderson, 2001). Model matematika telah dikembangkan dan digunakan untuk penyakit yang ditularkan melalui hubungan seksual. Penyakit yang disebarkan melalui kontak seksual (sexually transmitted

  Berdasarkan permasalahn di atas, pada penelitian ini dikaji untuk mendapatkan model epidemik HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok umur dan kepadatan penduduk menggunakan data HIV/AIDS di Indonesia.

METODE PENELITIAN

  Model epidemik HIV/AIDS yang digunakan dalam penelitian ini merujuk pada model yang diperkenalkan oleh Lopez et al. (2007) yang dideskripsikan menggunakan model kompartemen. Secara demografi, populasi total N=N(t) dibagi menjadi dua subpopulasi, yaitu subpopulasi anak-anak (berusia 0-14 tahun) dan subpopulasi dewasa (berusia 15 tahun ke atas). Secara epidemiologi, subpopulasi ana-anak terdiri dari kelas

  ditransfer dari satu orang ke satu orang lain melalui kontak seksual di dalam populasi. Lopez et al. (2007), Marsudi dan Kwardiniya (2011) menggunakan model matematika untuk STD yang berkaitan dengan dinamika HIV dengan struktur usia di mana subpopulasi dimodelkan melalui proses epidemik SI yang sesuai untuk STD tanpa recovery.

  (I d ). Jika jumlah populasi terus meningkat dan lingkungannya mempunyai jumlah sumber yang terbatas, maka akan terjadi kepadatan penduduk karena kompetisi internal dan mempengaruhi keberlangsungan hidup bahkan dapat menyebabkan kematian individu dalam populasi tersebut.

  diseases =STD) adalah penularan yang

  Sumber Data. Data yang akan

  digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data demografik dan data empirik penyakit HIV/AIDS di Indonesia. Data empirik penyakit HIV/AIDS di Indonesia diambil dari Dirjen Penanggulangan Penyakit Menular dan Penyehatan Lingkungan (PPM & PLP) Departemen Kesehatan RI atau Komisi Penanggulangan AIDS dan data demografik diambil dari Biro Pusat Statistik. Selain itu, parameter model akan diestimasi atau diambil dari literatur-literatur yang relevan.

  Rancangan Model. Model epidemik

  HIV/AIDS dideskripsikan menggunakan model kompartemen yang secara skematis transisi antara kedua subpopulasi dapat disajikan dalam diagram berikut (Lopez et al, 2007) Gambar

  1. Diagram kompartemen modelHIV/AIDS dengan dua kelompok umur

  susceptible anak-anak (S a ) dan infected anak- anak (I a ). Subpopulasi dewasa terdiri dari kelas susceptible dewasa (S d ) dan infected dewasa

   JEEST E-ISSN : 2356-3109

  infectious ( ₂ R ) dan (iv) mengeplot solusi

  infected dewasa adalah infected. Selanjutnya

  diasumsikan tidak ada migrasi, diinterpretasikan kedewasaan sebagai emigrasi dari tingkat anak-anak dan imigrasi ke dalam tingkat dewasa, individu tidak kebal, hanya individu dewasa yang dapat melahirkan, laju kematian kedua subpopulasi anak-anak identik terhadap laju kematian, ) 2 ,

   1 (  j _j

    dan

  tidak ada infeksi karena kontak seksual dalam subpopulasi anak-anak.

  Metode Analisis

  Penelitian ini dianalisis menggunakan langkah- langkah sebagai berikut: (i) mengestimasi parameter-parameter model (Model SI ) dinamika epidemik HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok umur (ii) mengkaji kestabilan model berdasarkan model persamaan diferensial nonlinear (1) (iii) menghitung nilai- nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( ₁ R

  ),

  rasio reproduksi infected ( ₁ R ) dan laju kontak

  numerik dari masing-masing subpopulasi (S a ,

  )  1 (   

  I ^a

  , S ^d dan

  I ^d

  ) terhadap waktu menggunakan parameter-parameter epidemiologi dan parameter geografi yang diberikan menggunakan alat bantu program Matlab.

  PEMBAHASAN

  Berdasarkan data Biro Pusat Statistik (Anonim, 2010a), jumlah penduduk (popupasi) Indonesia pada Tahun 2009 tercatat sebesar 231.369.592 jiwa dengan tingkat kepadatan penduduk sebesar 121 jiwa/km ² . Komposisi penduduk berdasarkan kelompok umur menunjukkan bahwa penduduk kelompok anak- anak (0-14 tahun) sebesar 26,96% atau 62.377.242 jiwa dan kelompok dewasa (

  15  tahun) sebesar 73,04% atau 168.992.230 jiwa.

  Komposisi penduduk berdasarkan jenis kelamin menunjukkan bahwa anak laki-laki berjumlah 31.810.108 jiwa, anak perempuan berjumlah 62.373.727 jiwa, laki-laki dewasa berjumlah 84.007.837 jiwa dan perempuan dewasa berjumlah 53.187.920 jiwa.

  Penyakit HIV dan AIDS di Indonesia senantiasa meningkat dari tahun ke tahun. Berdasarkan data dari Ditjen PP dan PL Depkes RI (Anonim, 2010b), kasus AIDS kumulatif yang dilaporkan dari 1 Januari 1987 sampai dengan 31 Desember 2009 berjumlah 19.973 jiwa terdiri dari 14.765 laki-laki dan 5.208 perempuan. Komposisi berdasarkan kelompok umur terdiri dari 528 anak-anak dan 19.445 dewasa. Jumlah kasus AIDS yang dilaporkan dari 1 Januari sampai dengan 31 Desember 2009 berjumlah 3.863 dengan komposisi 2.665 laki-laki dan 1198 perempuan. Menurut UNGASS Country Report, Populasi di Indonesia yang hidup dengan HIV/AIDS pada akhir Tahun 2007 diestimasi sebesar 270.000 jiwa.

  Setiap individu terinfeksi HIV dengan rata-rata durasi 8.6-19 tahun. Menurut Anonim (2010a), usia harapan hidup pada Tahun 2009 sekitar 71 tahun. Angka kematian anak-anak pada Tahun 2000-2005 sebesar 35 (per 1000) dan pada Tahun 2006-2010 sebesar 34 (per 1000). Rata-rata jumlah anak yang dilahirkan seorang perempuan dari kelompok dewasa (angka kelahiran total) pada Tahun 2009 sekitar

  menjelaskan porsi bayi lahir dari kelompok

  adalah laju kontak per kapita antara individu susceptible dan individu infected dewasa. Diasumsikan bahwa semua parameter dari sistem (1) adalah positif. Diasumsikan juga bahwa koefisien kepadatan penduduk m adalah positif dan

  NOVEMBER-2014

           

   VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  diagram kompartemen, model dapat dideskripsikan dengan empat persamaan diferensial nonlinear {Marsudi dan Kwardiniya, 2011)

  N mI

  I I

  I dt dI N mI

  I I

  I I dt dI N mS S S dt dS

  N mS S S

  I S dt dS d d d ^{I S I S a d a a a a d a d d I S I S a d a a a d d a} _{d d} ^{d d d d d d}

           

  

           

          

  2 ^{2 2 1 1 2 1}

  ) 1 ( di mana ) ( _{2 1}

    adalah laju kelahiran per

  kapita dari rata-rata susceptible (infected) dewasa, ₁

  

  ( ₂

  

  ) adalah laju maturasi per kapita dari susceptible (infected) anak-anak, ) (   adalah laju kematian alami dari subpopulasi anak-anak (dewasa),  adalah laju kematian karena HIV per kapita dan

  (1)

  JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY P-ISSN : 2356-3109 NOVEMBER-2014

  VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id susceptibl e total populasi perempuan  total laju kelahiran (53.182.71 2) ( 2.17)  

   ¹ total populasi perempuan 53.187.920

  sama dengan angka maturasi dewasa, yaitu

   2 , 16979 .

  sekitar 16 tahun.

  Estimasi jumlah penduduk Indonesia (dalam ribuan) selama 8 tahun (2004-2011)

  (b) Laju kelahiran per kapita dari rata-rata dikelompokkan dalam interval satu tahun dewasa ( ) dihitung dengan

  infected  ₂

  disajikan dalam Tabel 1 dan grafik ditunjukkan dalam Gambar 1. rumus Tabel 1 Estimasi jumlah penduduk

  

  Indonesia (dalam ribuan) total populasi perempuan infected total laju kelahiran (5208)(2,1 7)

    _{Tahun 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011}  ₂ total populasi perempuan 53.187.920 _{Pendud 072 Jumlah 217. 218.8 222. 225.6 228. 231. 234. 237.5 uk 69 192 5 42 523 369 181 56}  , 0002125 . _{2.4 x 10}

  (c) Laju kematian anak-anak per kapita atau _2.35 JDR (  ) dihitung menggunakan rata-rata laju _2.3 kematian anak-anak dari dua tahun berbeda,

  uk (dalam ribuan) _{J DR ( 2000 2005 ) J DR ( 2006 2010 ) (35/1000) ( 34/1000) 2.25}     _{, 0345 . 2.2}

      _{2 2} Jumlah Pendud _{2.15 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 (d) Laju kematian per kapita ( ) Tahun} 

  didefinisikan sama dengan kebalikan dari Gambar 1 Data Penduduk Indonesia selama rata-rata harapan hidup waktu lahir (ALE)

  8tahun dihitung dengan rumus

  1

  1 Grafik jumlah penduduk terhadap tahun dalam     , 01409 . ALE

  71 Gambar 1 tampak berbentuk logistik dengan persamaan diferensial

  dN

   aN ( K  N ) (e) Laju kematian karena HIV per kapita

  dt

  (  )Setiap individu terinfeksi dengan HIV, di mana N adalah jumlah penduduk Indonesia rata-rata durasi infeksi 8.6-19 tahun. Rata-rata pada waktu t, K adalah nilai akhir (carrying sisa hidup dari individu infected dewasa sama

  capacity ) dan r adalah parameter kinetik (laju

  dengan kebalikan periode infeksi rata-rata kenaikan intrinsik). Nilai K dan a ditentukan dengan aproksimasi persamaan diferensial, (MIP), diasumsikan MIP=17 tahun. yaitu dengan persamaan diferensi

  1

  1  N  , 05882 .

      aN ( K  N ) .

  MIP

  17

  t

   (f) Laju kontak ( ) dihitung dengan rumus

  

1. Estimasi Nilai Parameter Model

  Nilai dari parameter-parameter model total infected baru dewasa (dalam 1 tahun) total populasi

   .  

  (1) dapat diestimasi menggunakan data di atas total populasi infected total populasi susceptibl e  dan menggunakan rumus-rumus yang telah total dewasa infected baru (dalam 1 tahun) digunakan oleh Lopez et al. (2007).  total populasi infected

  (a) Laju kelahiran per kapita dari rata-rata

  susceptible dewasa ( ) dihitung  ₁

  dengan rumus

   JEEST E-ISSN : 2356-3109

   

   

  2 ₁ 

  . 050 000 . 448 , 16979 01409 ,

  . 050 000 . 448  K sehingga . 113 0000000048 ,

  Jika nilai K diambil rata-rata dari _{2 1} K dan K , diperoleh . 448050  K Jadi, estimasi carrying capacity karena kepadatan penduduk adalah

  K K K K K K

      

  K m  

  2 ^{1 2 2}

  4

  , 896 03 2006528961 896103 0154 , ) 223917 )( 3450 (

  diperoleh . 438170 dan 457930 896 ,

  A y y  ,

  Menggunakan rumus dari y untuk mendapatkan nilai K dengan rumus ) ( ) ( ₂ ^K _maks

  K a K a

   

  Dengan demikian, estimasi nilai-nilai parameter model epidemik HIV/AIDS untuk Indonesia disajikan dalam Tabel 3 berikut.

  )( 223917 3450 ) 223917 ( 

  6. Peluang kontak antara individu dewasa ν 0,07202

  10 ^-9

  

  9. Kompetisi internal m 4,8113

   0,0625

  8. Laju maturasi per kapita subpopulasi infected anak- anak ²

   0,0625

  7. Laju maturasi per kapita subpopulasi susceptible anak-anak ¹

  5. Laju kematian per kapita dari penyakit γ 0,05882

  Tabel 3 Estimasi Nilai Parameter Model

  4. Laju kematian per kapita dari individu dewasa α 0,01409

  3. Laju kematian alami subpopulasi anak- anak µ 0,0345

   0,0002125

  2. Laju kelahiran per kapita subpopulasi infected dewasa ²

   2,16979

  1. Laju kelahiran per kapita subpopulasi susceptible dewasa ¹

  Parameter Simb ol Nilai (per tahun)

    

  . 223917 0154 ,

  NOVEMBER-2014

  16

  dengan K adalah carrying capacity Indonesia karena kepadatan penduduk yang disebabkan oleh kompetisi internal.

  K m     ¹

  yang mendeskripsikan kompetisi internal dihitung dengan rumus:

  m

  (h) Parameter

   

  1 _{2 1}   

   ) diestimasi dengan rumus . 0625 .

  internal diestimasi menggunakan data Indonesia selama 8 tahun (2004-2009). Nilai K dan a dapat diturunkan dengan memeriksa nilai maksimum dari fungsi

  sama dengan laju maturasi dewasa ( ₂

   ) diasumsikan

  (g) Laju maturasi anak-anak ( ₁

  19   

  . 000 . 270 445 .

  diestimasi 270.000 jiwa sehingga . 07202 .

   VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  Carrying capacity karena kompetisi

  ) ( ) ( N K aN

2 K

  A y i _{i i i} A A y   

  4 2881 5 2846 6 2812 7 3375

  A y y 

  ) ( ) ( ₂ ^K _maks

  1 1797 2 3323 3 3450

  y

  Nilai maksimum

  1

  Untuk menentukan hubungan antar a dan K, digunakan rumus untuk ) ( A y dengan mengambil 223917  A , yaitu nilai rata-rata di mana nilai maksimum ditemukan, yaitu

  dt dN N y    .

  ) ( _maks A y dari data dalam Tabel 1.

   Tabel 2 menyajikan estimasi dari

  N _maks

   N 2 (  K a dan .

  diperoleh )

  dN dy

  Dari , 

  Tabel 2 Estimasi ) ( _maks

  JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY P-ISSN : 2356-3109 NOVEMBER-2014

  Jadi, nilai rasio reproduksi susceptible lebih kecil satu. Gambar 3 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kelahiran per kapita dari rata-rata infected dewasa ( ₂

  pada R (b) Nilai Ambang Rasio Reproduksi Infected

  Nilai ambang rasio reproduksi infected ( R ) adalah rata-rata jumlah susceptible baru yang dihasilkan oleh individu susceptible.

  Menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3, 000169 , ₂ ^{2 2} 

    

    

      

    

   

        

  R

   ) terhadap nilai ambang rasio reproduksi infected ( R ).

  pada ₁ R Gambar 3 Plot ₂

  Tampak bahwa jika nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata infected dewasa ( ₂

  

  ) meningkat, maka nilai rasio reproduksi infected dewasa (

  R ) juga meningkat. Nilai R lebih kecil 1 jika nilai . 8 ,

  1 ₂  

  (c) Nilai Ambang Laju Kontak Infectious Nilai ambang laju kontak infectious ( ₂ R ) adalah rata-rata jumlah kontak dari individu infected dewasa selama hidupnya.

  Menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3, . 9878 , ₂

   

  

     R Jadi,

  nilai ambang laju kontak infectious lebih kecil satu. Gambar 4 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kontak (  ) terhadap nilai ambang laju kontak infectious ( ₂ R ), menunjukkan bahwa jika nilai rata-rata jumlah kontak infected dewasa (  ) meningkat, maka nilai laju kontak infectious ( ₂ R ) juga meningkat. ^{0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Laju Kelahiran per kapita rata-rata Infected Dewasa}

  

  

  VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

     

  Menggunakan rumus-rumus yang telah digunakan oleh Lopez et al. (2007) dan menggunakan nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3, nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible ( ₁ R ), rasio reproduksi

  infected

  ( ₁ R ) dan laju kontak infectious ( ₂ R

  ) adalah sebagai berikut. (a) Nilai Ambang Rasio Reproduksi

  Susceptible

  Nilai ambang rasio reproduksi

  susceptible ( ₁ R ) adalah rata-rata jumlah bayi susceptible yang dilahirkan oleh individu susceptible selama hidupnya. Menggunakan

  nilai-nilai parameter model dalam Tabel 3, . 2236 ,

  99 ₁ ^{1 1} ₁    

    

    

  Gambar 2 Plot ₁

  

      

  R

  Jadi, nilai rasio reproduksi susceptible lebih besar satu.

  Gambar 2 merepresentasikan grafik dari pengaruh laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa ( ₁

   ) terhadap nilai

  ambang rasio reproduksi susceptible ( ₁ R ).

  Tampak bahwa jika nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa meningkat, maka nilai rasio reproduksi

  susceptible juga meningkat. Nilai

  1 ₁  R jika

  nilai laju kelahiran per kapita dari rata-rata susceptible dewasa lebih besar dari 0,021.

  Rasio Reprodu ksi Infected (Ro) 0.005 ^{0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.5 1 1.5 2 2.5} _{Laju Kelahiran per kapita rata-rata Susceptible Dewasa} ^{Rasio Reprodu ksi Suceptible (R1)}

   JEEST E-ISSN : 2356-3109

  NOVEMBER-2014

   VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  adalah stabil asimtotik lokal jika R  ₁

  1

  dan R 

  1 ( 

  1 ) dan stabil global jika 

       ₂ 1 , 1 dan R  .

  R    ₁  ₂ Menggunakan nilai-nilai parameter

  dalam Tabel 3 dan karena R   , ₁ 99 , 2236

  1 dan

  R  , 0001169 

  1 ,

  R  , 9878  , 9998831  ₂ 1  R , maka

  Gambar 4 Plot dari terhadap model HIV/AIDS dengan pengaruh kelompok

   R ₂

  umur dan kepadatan penduduk di Indonesia

3. Analisis Kestabilan Model

  hanya mempunyai titik kesetimbangan bebas Sistem (1) mempunyai titik penyakit kesetimbangan bebas penyakit _{* * *}

  

• _* E ( S , S , , ), _{1 a d}

  ( 55 . 029 . 000 , 10 . 450 . 000 , , ) yang

• _{* *} E 
₁

    m N N

  ( ) _{1 1 *}

  S  dan _a ^*

  stabil asimtotik lokal. Hal ini dapat juga dilihat   m N

    _{1 1}

  dari matriks Jacobi pada

• ^* 
_{1 *} N ₁ S  (2) _d .
• ^*    
^{1 1 *}

  m N E ( ₁  55 . 029 . 000 , 10 . 450 . 000 , , ) , yaitu di mana ₂  

• 0,6768 - - 1,9050 0,2648 0,2646  

           R (    ) (    ) _{1 1} 4 [  (   )( ₁ 1 )] ₁

• ^* 0,0122 0,3794 0,0503 0,1223

  N ₁

  

    ^* J ( E )  . ₁ m

  2

   

• 0,4709 , 00002125

  jika R  ₁

  1

   

  dan titik kesetimbangan kepunahan susceptible _{* * *}

• _* E  ( , , _{2 a d}
• , 0625 , 3159  

  I , I ),

  di mana semua nilai eigen dari ( ) adalah

• _{* *}

  J E ₁ (     m N ) N _{2 2} ^* I  dan _a

  negatif , 7412 , , 3150 ,

        _{1 2}

• ^*   

     ₂ m N ₂    , 4709 dan    , 3159 . _{3 * 4}  N _{2 2}

• ^* 

  I . (3) _d

• ^*      
₂ m N ₂ Selanjutnya, karena , 9879

  1 dan

  R  R   ₂ Di mana ₂   

    ₂

               (    ₂ 2  ) (    ₂ 2  ) 4 [(   )(    )( _{2 R }

  1 R ] ₁ 99 , 2236  2 , 4931  , maka ^{2 *} N 

   ₂ 2 m

  titik kesetimbangan bebas penyakit jika R  1 dan  1 .

  

• _* Menurut Lopez et al. (2007), titik

  ( 55 . 029 . 000 , 10 . 450 . 000 , , ) stabil

  E  ₁

  kesetimbangan bebas penyakit _{* * *} asimtotik global. Kestabilan global dari titik

  E ( S , S , , ) stabil asimtotik lokal jika _{1 a d} 

  kesetimbangan bebas penyakit ini dapat dilihat

  R ₂  1 dan R  R  ₂ 1 dan stabil global jika pada grafik solusi numerik model epidemik

  HIV/AIDS menggunakan metode Runge- Kutta

  (  )(  )     ₁ R  dan

  1 . Titik ₁ R   R _{2 order empat berikut (Gambar 5).}

    _{1 *} (a)

  kesetimbangan kepunahan susceptible

  E ₂

  JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY P-ISSN : 2356-3109 NOVEMBER-2014

  pada satu tahun pertama kemudian turun terus hingga 16 tahun pertama dan tampak _a

  Infected Dewasa (Id) _{5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.2 0.4} ^{0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 8} t (Tahun)

  Infected Anak (Ia) ^{5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 4} t (Tahun)

  5 ^{10 15 20 25 30 35 40 45 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 50 100} t (Tahun)

  Suceptible Dewas a (Sd)

   10 ^* _d S ^{5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 8} t (Tahun)

  S konvergen menuju . 000 . 450 .

  jumlahnya dan _d

  susceptible dewasa ( _d S ) berkurang terus

  5 (b) menunjukkan bahwa sejak awal tahun hingga 17 tahun pertama subpopulasi

   55 ^* _a S . Gambar

  S konvergen menuju 000 . 029 .

  S ) cenderung bertambah

  VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  I Gambar 5 (a) menunjukkan bahwa subpopulasi susceptible anak ( _a

  . 19445  _d

  I dan  

    528  _a

  , 168972405  _d S

  S  

  , 62376714  _a

   

  5 Kestabilan global titik kesetimbangan bebas penyakit dari model epidemik HIV-AIDS dengan pengaruh kelompok umur di Indonesia:

  Gambar

  (b) (c)

  Suceptible Anak (Sa)

  R

  berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan.

  Anonim (2007). Profil Kesehatan Indonesia, Departemen Kesehatan RI. http:/www.depkes.go.id/ Tanggal Akses 12 Agustus 2011. Anonim, (2010a) Profil Kesehatan Indonesia.

  Anderson, R.M., (2001) The Role of Mathematical Models in The Study of HIV Transmission and The Epidemiology of AIDS, J. AIDS 1;214- 256.

  2009, National AIDS Commision Republic of Indonesia. Anonim, (2010c) United Nations General Assembly Special Sesion (UNGASS) Country Report. Depkes RI.

  Brauer, F. and Castillo-Chavez, C. (2001)

  . 9878 . ₂  R Model epidemik HIV/AIDS dengan dua kelompok umur dan kepadatan penduduk mempunyai satu titik kesetimbangan bebas penyakit

  rasio reproduksi infected  0001169 . R dan laju kontak infeksi

   JEEST E-ISSN : 2356-3109

  99 ₁ 

  Untuk kasus data HIV/AIDS di Indonesia dengan data awal tahun 2009, nilai-nilai ambang rasio reproduksi susceptible , 2236 .

  KESIMPULAN

   _d I . Jadi, jika parameter tidak

  Country Report of the Follow up to The Declaration of Commitment on HIV/AIDS : Reporting Period 2008-

  menuju ^*

  I konvergen

  . Gambar 5.5 (d) menunjukkan bahwa sejak awal tahun hingga 18 tahun cenderung turun terus jumlahnya dan _d

  I

  I konvergen menuju _*  _a

  hampir sama seperti subpopulasi susceptible dewasa. Dari awal tahun hingga 6 tahun pertama tampak jumlahnya turun terus ( Gambar 5 (c)) dan _a

  I )

  Kecenderungan subpopulasi infected anak ( _a

   VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  NOVEMBER-2014

  Depkes RI. http:/www.depkes.go.id/ Tanggal Akses 12 Agustus 2011. Anonim, (2010b) Republic of Indonesia

• ^* 55 (
₁  E yang stabil asimtotik global. Jadi, jika parameter tidak berubah maka tidak ada individu yang terinfeksi dan subpopulasi susceptible anak dan dewasa menuju nilai positif yang konstan.

  Pada kesempatan ini, kami Tim Peneliti menyampaikan ucapan terima kasih kepada Direktorat Jenderal Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakat, Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi, Kementerian Pendidikan Nasional atas pembiayaan pelaksanaan Penelitian Fundamental Tahun 2011 ini.

  ) , , 000 . 450 . . 000 10 , 029 .

  Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology , Text in

  Applied Mathematics Vol. 40, Springer Verlag. Kermack, W.O san McKendrick, A.G. (1927)

  A Contribution to the Mathematical of Epidemics, Proceedings of the Royal Society of London 1997; 115;700-721.

UCAPAN TERIMAKASIH.

  Lopez, R., Kuang, Y. dan Tridane, A. (2007).

  A Simple SI with Two age groups and Its Application to US HIV epidemics: To Treat or Not to Treat, Journal of Biological Systems 2007; 15; 169-184.

  JOURNAL OF ENVIRONMENTAL ENGINEERING & SUSTAINABLE TECHNOLOGY P-ISSN : 2356-3109 NOVEMBER-2014

  VOLUME 01 NO. 02 http://jeest.ub.ac.id

  Penyebaran Epidemik dan Penyebaran Spatial (Geografi) Epidemik Demam Berdarah, Jurnal Ilmu-Ilmu Hayati

  (Live Science ), Vol. 16 Nomor 1, Lemlit Unibraw Malang.

  Marsudi dan Kwardiniya (2011) Analisis Kestabilan Model HIV/AIDS dengan Pengaruh Kelompok Umur dan

  Penelitian Fundamental

  DP2M Dikti, Universitas Brawijaya. Murray, J. D. ( 1993) Mathematical Biology,

  Springer-Verlag Berlin Heidelberg, NewYork. Rao, A.S.R.S.. (1993) Mathematical modeling

  of AIDS Epidemic in India , Current Science, Vol. 84 No. 9.